[1]
[2]
Definice skala´rnı´ho soucˇinu
Skala´rnı´ soucˇin
Necht’ L je linea´rnı´ prostor nad R. Operaci ⋅ : L × L → R nazy´va´me → → → skala´rnı´ soucˇin, pokud pro vsˇechna − x ,− y ,− z splnˇuje: − → − → − → − → (1) x ⋅ y = y ⋅ x , → → → → → → → (2) (− x +− y)⋅− z =− x ⋅− z +− y ⋅− z, − → − → − → − → (3) (α ⋅ x ) ⋅ y = α ⋅ ( x ⋅ y ), → → → → → → (4) − x ⋅− x ≥ 0, − x ⋅− x = 0 jen tehdy, kdyzˇ − x =− o.
• axiomaticka´ definice • odvozenı´ velikosti vektoru˚ a u´hlu mezi vektory • geometricka´ interpretace
Pozna´mka: Je-li L linea´rnı´ prostor nad C, pak se skala´rnı´m soucˇinem oznacˇuje operace ⋅ : L × L → C se stejny´mi vlastnostmi, jako vy´sˇe, azˇ na prvnı´. Mı´sto nı´ je:
• ortogonalita • vlastnosti ortonorma´lnı´ch ba´zi
− → → → → x ⋅− y =− y ⋅− x Cˇ´ısla jsou si vza´jemneˇ komplexneˇ sdruzˇena´.
[3]
[4]
Prˇı´klady skala´rnı´ch soucˇinu ˚
Dalsˇı´ skala´rnı´ soucˇiny v R
• V Rn definujeme
Na R2 je operace
(x1 , x2, . . . xn) ⋅ (y1, y2, . . . , yn) = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn. Toto je skala´rnı´ soucˇin, skutecˇneˇ splnˇuje axiomy (1) azˇ (4). • V prostoru orientovany´ch u´secˇek definujeme skala´rnı´ soucˇin − → → → → u ⋅− v = ||− u || ||− v || cos α , kde || . . . || znacˇ´ı velikost vektoru a α je u´hel mezi vektory. • V linea´rnı´m prostoru spojity´ch funkcı´ na intervalu 〈0, 1〉 definujeme skala´rnı´ soucˇin
(x1, x2) ◦ (y1, y2) = (x1, x2)
1 2 2 6
y1 y2
n
= x1y1 + 6x2y2 + 2x1y2 + 2x2y1 .
take´ skala´rnı´ soucˇin. Na druhe´ straneˇ trˇeba 1 2 y1 (x1, x2) ◦ (y1, y2) = (x1, x2) = x1y1 + 2x2 y2 + 2x1 y2 + 2x2 y1 2 2 y2 nenı´ skala´rnı´ soucˇin (neplatı´ axiom 4). Obecneˇ, je-li A symetricka´ a pozitivneˇ definitnı´ matice (vsˇechny hlavnı´ subdeterminanty jsou kladne´), pak
1
T − → → x ⋅A⋅− y
0
→ → je skala´rnı´ soucˇin. Z tohoto pohledu nazy´va´me − x ⋅− y standardnı´m n skala´rnı´m soucˇinem na R .
f ⋅ g = ∫ f (x) g(x) dx
T
[5]
[6]
Skala´rnı´ soucˇin −→ velikost
Skala´rnı´ soucˇin −→ u ´ hel mezi vektory
V linea´rnı´m prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem definujeme velikost → → vektoru − x , neboli normu vektoru − x vzorcem √ → → → x ⋅− x. ||− x || = −
V linea´rnı´m prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem definujeme u´hel → → mezi dveˇma nenulovy´mi vektory − x a− y jako takove´ φ ∈ 〈0, π ), pro ktere´ je − → → x ⋅− y cos φ = − → → || x || ||− y ||
Axiom (4) zarucˇuje, zˇe velikost je definova´na pro libovolny´ vektor a zˇe nulovou velikost ma´ pouze nulovy´ vektor. → → Tvrzenı´: ||α − x || = |α | ⋅ ||− x ||, protozˇe p √ √ √ → → → → → → → → x || x || = α − x ⋅ α− x = α 2 (− x ⋅− x = |α | ⋅ ||− ||α − x ⋅− x ) = α2 −
Zˇe φ v uvedene´m vzorci existuje pro libovolne´ dva nenulove´ vektory zarucˇuje Schwartzova nerovnost: Pro libovolne´ dva vektory platı´ → → → → |− x ⋅− y | ≤ ||− x || ⋅ ||− y ||. → → → → → → → → → → y ) ⋅ (− x +α − y)=− x ⋅− x + α ⋅ 2(− x ⋅− y ) + α 2 ⋅ (− y ⋅− y ). Du˚kaz: 0 ≤ (− x +α − Pro uvedeny´ kvadraticky´ polynom Aα 2 + Bα + C musı´ platit: → → → → x ||2 ||− y ||2 , B2 − 4AC ≤ 0, tj. B2 ≤ 4AC, tj. (−2(− x ⋅− y ))2 ≤ 4 ||− p p p − → − → − → − → − → − → − → − → 2 2 2 tj. ( x ⋅ y ) ≤ || x || || y || tj. | x ⋅ y | ≤ || x || ⋅ || y ||.
[7]
[8]
Skala´rnı´ soucˇin −→ vzda´lenost vektoru ˚
Axiomy metriky a normy
V linea´rnı´m prostoru L se skala´rnı´m soucˇinem definujeme vzda´→ → lenost mezi dveˇma vektory − x a− y , neboli metriku vzorcem
Je-li na mnozˇineˇ L zavedena metrika ρ (x, y) s vlastnostmi
→ → → → ρ (− x ,− y ) = ||− x −− y || Pro metriku patı´ troju ´ helnı´kova´ nerovnost: → → → → → → ρ (− x ,− y ) + ρ (− y ,− z ) ≥ ρ (− x ,− z ), → → → → → → → → → neboli ||− x −− y || + ||− y −− z || ≥ ||− x −− z ||, ktera´ oznacˇenı´ − a =− x −− y, − → − → b =→ y −− z prˇecha´zı´ na tvar − → − → → → ||− a || + || b || ≥ ||− a + b ||. − → − → → − → →− − → − →− → → → → Du˚kaz: ||− a + b ||2 = (− a + b ) ⋅ (− a + b) =− a→ a + 2− a b + b b ≤ − → − → − → → → → (Schwartzova nerovnost) ≤ ||− a ||2 +2 ||− a ||⋅|| b ||+|| b ||2 = (||− a ||+|| b ||)2 .
(1) (2) (3)
ρ (x, y) ≥ 0, ρ (x, y) = 0 pra´veˇ kdyzˇ x = y, ρ (x, y) = ρ (y, x), ρ (x, y) + ρ (y, z) ≥ ρ (x, z),
rˇ´ıka´me mnozˇineˇ L s metrikou ρ metricky´ prostor. Je-li na linea´rnı´m prostoru L zavedena norma || . . . || s vlastnostmi → → → → (1) ||− x || ≥ 0, ||− x || = 0 pra´veˇ kdyzˇ − x =− o, − → − → (2) ||α x || = |α | ⋅ || x ||, → → → → (3) ||− x +− y || ≤ ||− x || + ||− y ||, rˇ´ıka´me prostoru L linea´rnı´ prostor s normou. My jsme odvodili normu a metriku ze skala´rnı´ho soucˇinu. Je ovsˇem mozˇne´ je zave´st jen podle uvedeny´ch axiomu˚, nebo zave´st normu → → → → x ,− y ) = ||− x −− y ||. axiomaticky a odvodit metriku jako ρ (−
[9]
[10]
Prˇı´klady
Ortonorma´lnı´ ba´ze
Pythagorova veˇta: Pravou´hly´ troju´helnı´k budou tvorˇit dva na → → sebe kolme´ vektory − x a− y . Jejich rozdı´l tvorˇ´ı prˇeponu.
Na linea´rnı´m prostoru se skala´rnı´m soucˇinem mu˚zˇeme meˇrˇit velikosti vektoru˚ a u´hly mezi nenulovy´mi vektory. → → Zejme´na kolmost (ortogonalitu) dvou nenulovy´ch vektoru˚ − x a− y − → − → pozna´me podle podmı´nky x ⋅ y = 0.
→ → → → → → → → → → → → → → ||− x −− y ||2 = (− x −− y ) ⋅ (− x −− y)=− x ⋅− x − 2− x ⋅− y +− y ⋅− y = ||− x ||2 + ||− y ||2 → → Ve vy´pocˇtu jsme vyuzˇili toho, zˇe dva nenulove´ vektory − x a− y jsou → → na sebe kolme´ pra´veˇ kdyzˇ − x ⋅− y = 0. Rovnobeˇzˇnı´kova´ rovnost: soucˇet druhy´ch mocnin velikostı´ u´hloprˇ´ıcˇek v rovnobeˇzˇnı´ku je roven dvojna´sobku soucˇtu druhy´ch mocnin velikostı´ sousednı´ch stran. → → → → → → ||− x +− y ||2 + ||− x −− y ||2 = 2 ||− x ||2 + ||− y ||2 . protozˇe
→ → → → → → → → → → → → ||− x +− y ||2 + ||− x −− y ||2 = ||− x ||2 + 2− x ⋅− y + ||− y ||2 + ||− x ||2 − 2− x ⋅− y + ||− y ||2 .
Mezi ru˚zny´mi ba´zemi se uka´zˇe vy´hodne´ vybı´rat takove´ ba´ze, ve ktery´ch jsou si vsˇechny vektory navza´jem kolme´ a majı´ jednotkovou velikost. Tyto ba´ze nazy´va´me ortonorma´lnı´. Definice: Ba´ze se nazy´va´ ortogona´lnı´, pokud pro kazˇde´ dva ru˚zne´ − → − → − → − → prvky ba´ze b i a b j platı´ b i ⋅ b j = 0. Ba´ze se nazy´va´ ortonorma´lnı´, je-li ortogona´lnı´ a vsˇechny jejı´ prvky majı´ jednotkovou velikost, neboli − → − → 1 pro i = j, bi⋅ bj = 0 pro i 6= j.
[11]
[12]
Skala´rnı´ soucˇin pocˇı´tany´ pomocı´ sourˇadnic
Kolmost zarucˇuje linea´rnı´ neza´vislost
Veˇta: Necht’ (B) je konecˇna´ ortonorma´lnı´ ba´ze linea´rnı´ho pro→ storu L. Necht’ (x1, x2, . . . , xn) jsou sourˇadnice vektoru − x vzhledem → k ba´zi (B) a necht’ (y1, y2, . . . , yn) jsou sourˇadnice vektoru − y vzhledem k ba´zi (B). Pak
→ → → Veˇta: Necht’ − x 1, − x 2, . . . , − x n jsou nenulove´ vektory, ktere´ jsou na sebe navza´jem kolme´. Pak jsou tyto vektory linea´rneˇ neza´visle´.
− → → x ⋅− y = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn . Du˚kaz: − → − → − → − → − → − → (x1 b 1 + x2 b 2 + · · · + xn b n) ⋅ (y1 b 1 + y2 b 2 + · · · + yn b n) = − → − → − → − → − → − → − → − → = x1 y1 b 1 ⋅ b 1 + x2 y1 b 2 ⋅ b 1 + · · · + x1 y2 b 1 ⋅ b 2 + · · · + xn yn b n ⋅ b n = = x1 y1 ⋅ 1 + x2 y1 ⋅ 0 + · · · + x1 y2 ⋅ 0 + · · · + xn yn ⋅ 1 = = x1 y1 + x2 y2 + · · · + xn yn .
Du˚kaz: Oveˇrˇ´ıme → → → → α1 ⋅ − x 1 + α2 ⋅ − x 2 + · · · + αn ⋅ − xn=− o
αi = 0 ∀ i
⇒
→ Vyna´sobı´me-li obeˇ strany rovnosti skala´rneˇ vektorem − x i, dosta´va´me na leve´ straneˇ soucˇet nul s vy´jimkou jedine´ho scˇ´ıtance, pro→ → tozˇe vektor − x i je kolmy´ na vsˇechny vsˇechny ostatnı´ vektory − x j. Ma´me tedy → → → → αi − xi⋅− xi=− o ⋅− x i = 0. → → Protozˇe − x ⋅− x je nenulove´ cˇ´ıslo, musı´ by´t α = 0. Tuto operaci i
i
i
mu˚zˇeme prove´st pro kazˇdy´ index i ∈ {1, 2, . . . , n}, takzˇe vsˇechna cˇ´ısla cˇ´ısla αi jsou nutneˇ nulova´.
[13]
Sourˇadnice pocˇı´tane´ ze skala´rnı´ho soucˇinu − → − → − → Veˇta: Necht’ (B) = ( b 1 , b 2 , . . . , b n) je ortonorma´lnı´ ba´ze linea´rnı´ho prostoru se skala´rnı´m soucˇinem. Pak sourˇadnice libovolne´ho → vektoru − x vzhledem k ba´zi (B) jsou − → →− → − → → → (− x ⋅ b 1, − x ⋅ b 2, . . . , − x ⋅ b n). − → − → − → − → − → − → → → → → Du˚kaz: Oznacˇme − y = (− x ⋅ b 1 ) b 1 + (− x ⋅ b 2 ) b 2 + · · · + (− x ⋅ b n) b n. − → → → → Ma´me doka´zat, zˇe − x =− y . Na´sobme vektor − y vektorem b i : − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − → → y ⋅ b i = (( x ⋅ b 1 ) b 1 + ( x ⋅ b 2 ) b 2 + · · · + (− x ⋅ b n) b n) ⋅ b i = − → − → − → − → → → = (− x ⋅ b i) b i ⋅ b i = − x ⋅ b i, − → − − → − → protozˇe ba´ze je ortonorma´lnı´. Je x ⋅ b i = → y ⋅ b i ∀i ∈ {1, 2, . . . , n}. − → → → → → Co, kdyby − x 6= − y ? Vektor − x −− y je kolmy´ na vsˇechny prvky b i , − → − → − → − → − − → − → → → protozˇe ( x − y ) ⋅ b i = 0. Pak jsou vektory b 1, b 2 , . . . , b n, x − − y linea´rneˇ neza´visle´, ale to je ve sporu s tı´m, zˇe (B) je ba´ze.
[14]
Ba´snicˇka: cˇtvrta´ dimenze Jednou v hospodeˇ u Karla cˇtvrte´ho, uvideˇl jsem kus prostoru cˇtvrte´ho. Cˇtyrˇi pu˚llitry u stropu nad sa´lem, leteˇly k sobeˇ kolmo navza´jem, cozˇ nenı´ mozˇne´ v dimenzi trˇetı´, kde nejvy´sˇe trˇi pu˚llitry k sobeˇ letı´. Tak poznal jsem dı´ky otci vlasti, jake´ jsou v pu˚llitru skryty slasti. Jak vsˇem cˇechu˚m rozsˇirˇuje obzory o n-dimenziona´lnı´ prostory. in: Emil Calda: Rˇ´ıkanky mnozˇinoveˇ nelogicke´
[15]
[16]
Geometricka´ prˇedstava skala´rnı´ho soucˇinu
´ hly vektoru s osami U
→ → Prˇedpokla´dejme, zˇe vektory − x a− y jsou orientovane´ u´secˇky, na→ vı´c necht’ − y ma´ jednotkovou velikost. Sestrojme z koncove´ho bodu → → vektoru − x kolmy´ pru˚meˇt na prˇ´ımku, procha´zejı´cı´ vektorem − y. Velikost tohoto kolme´ho pru˚meˇtu (je-li na poloprˇ´ımce spolecˇneˇ → → → s vektorem − y ) je skala´rnı´ soucˇin − x ⋅− y . Je-li pru˚meˇt na opacˇne´ poloprˇ´ımce, pak skala´rnı´ soucˇin je za´porny´ a jeho absolutnı´ hodnota je rovna velikosti pru˚meˇtu.
→ Veˇta: Necht’ (x1, x2, . . . , xn) jsou sourˇadnice vektoru − x vzhledem − → − → − → k ortonorma´lnı´ ba´zi ( b 1 , b 2, . . . , b n). Pak u´hel φi mezi vektorem − → − → x a vektorem b i ma´ velikost φi, pro kterou je xi . cos φi = − ||→ x ||
Tato geometricka´ interpretace vycha´zı´ ze vzorce: − → → → → x ⋅− y = ||− x || ||− y || cos φ . Z tohoto pohledu rˇ´ıka´ veˇta ze stra´nky [13], zˇe sourˇadnice vektoru jsou pru˚meˇty vektoru na jednotlive´ sourˇadnicove´ osy.
Du˚kaz:
− → − → − → − → xi x ⋅ bi x ⋅ bi = − . = − − → → → − → || x || || x || || x || || b i|| − → V u´prava´ch jsme vyuzˇili toho, zˇe || b i|| = 1 (ba´ze je ortonorma´lnı´) a − → → da´le prˇedchozı´ veˇty, podle ktere´ je xi = − x ⋅ b i. cos φi =
Du ˚ sledek: cos2 φ1 + cos2 φ2 + · · · + cos2 φn = 1
[17]
Schmidtu ˚ v ortogonalizacˇnı´ proces Zhruba: kazˇdou konecˇnou ba´zi lze „opravit“ tak, aby byla ortonorma´lnı´. Oprava k-te´ho vektoru vzˇdy probı´ha´ v linea´rnı´m obalu prvnı´ch k vektoru˚. Tj. prvnı´ vektor opravı´me na prˇ´ımce dane´ prvnı´m vektorem, druhy´ vektor opravı´me v rovineˇ dane´ prvnı´mi dveˇma vektory, atd. − → − → − → Prˇesneˇ: Necht’ { b 1, b 2 , . . . , b n} je libovolna´ ba´ze. Pak existuje − → − → → ortonorma´lnı´ ba´ze { c 1, c 2 , . . . , − c n} takova´, zˇe − → − → − → − → − → → 〈 b 1, b 2, . . . , b k〉 = 〈 c 1, c 2, . . . , − c k 〉, ∀k ∈ {1, 2, . . . , n}. Du˚kaz: oprava kazˇde´ho vektoru probı´ha´ ve dvou krocı´ch. Vektor se (uvnitrˇ zmı´neˇne´ho lin. obalu) „natocˇ´ı“ a na´sledneˇ se „normuje“: − →′ k − →′ − → − → b k+1 → → − → . b k+1 = b k+1 − ∑( b k+1 ⋅ − c i) − c i, c k+1 = − →′ i=1 || b k+1 ||
