VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA fakulta strojní katedra hydromechaniky a hydraulických zařízení
Návody do cvičení z předmětu Využití počítačů v oboru Tomáš Blejchař Viskozita oleje
2.50E-04
2.00E-04
1.50E-04 ν [m2.s-1] 1.00E-04
5.00E-05 5.00E+07 4.40E+07 3.80E+07 p [Pa]
0.00E+00
3.20E+07 2.60E+07 2.00E+07
22 20 26 24 30 28 32 36 34 40 38 t [°C] 44 42 46 50 48
OSTRAVA 2009
2.00E-04-2.50E-04 1.50E-04-2.00E-04 1.00E-04-1.50E-04 5.00E-05-1.00E-04 0.00E+00-5.00E-05
Úvod ........................................................................................................................................... 3 1 Výpočet třecí ztráty ............................................................................................................ 4 1.1 Zadání......................................................................................................................... 4 1.2 Definice vztahů .......................................................................................................... 5 1.3 Výpočet hydraulického průměru ................................................................................ 6 1.4 Výpočet třecí ztráty .................................................................................................... 7 1.5 Tvorba grafu ............................................................................................................. 10 2 Pracovní bod čerpacího systému ...................................................................................... 14 2.1 Definice vztahů ........................................................................................................ 14 2.2 Výpočet pracovního bodu ........................................................................................ 16 2.2.1 Charakteristika potrubí ..................................................................................... 16 2.2.2 Graf charakteristiky potrubí a čerpadla ............................................................ 17 2.2.3 Pracovní bod čerpacího systému ...................................................................... 19 2.2.4 Výpočet výkonu ............................................................................................... 22 3 Výpočet koeficientů viskozity.......................................................................................... 23 3.1 Zadání....................................................................................................................... 23 3.2 Definice vztahů ........................................................................................................ 23 3.3 Základní analýza ...................................................................................................... 23 3.4 Regresní funkce (spojnice trendu)............................................................................ 25 3.5 Víceparametrická regrese ......................................................................................... 28 3.6 Trojrozměrný graf .................................................................................................... 32
2
Úvod Tyto sylaby se zabývají řešením několika základních úloh z mechaniky tekutin. Pro řešení je využit program MS Excel z programového balíku MS OFFICE XP. Řešené úlohy jsou využity pro seznámení studentů s možnostmi programu a jeho možným využitím při řešení a psaní bakalářské práce.
3
1 Výpočet třecí ztráty 1.1 Zadání Vypočtěte třecí ztrátu a měrnou ztrátovou energii pro obdélníkové potrubí o délce l, průřezu a x b pro rozsah rychlostí 5-25m.s-1. Proudícím médiem je vzduch o hustotě ρ , viskozitě ν. Třecí ztrátu vyhodnoťte graficky λ=f(v), počet bodů grafu je 10.
a = 0.04 m b = 0.05m l = 5m vmin = 5m s-1 vmax = 25m s-1 ρ = 1.18kg m-3 ν = 1.95E-05 m2 s-1 počet bodů grafu10 Tabulku se zadáním definujeme v excelu do záložky LIST 1.
Řecká písmena je možné v excelu definovat dvěma způsoby 1)
využití příkazu vložit symbol
a z následné tabulky vybrat daný symbol
4
V položce Písmo: musí být zvolen font Symbol 2) druhá možnost spočívá v definování písmen pomocí latinských ekvivalentů a následné změně fontu. Jako příklad zvolíme symbolu pro hustotu. Do buňky vepíšeme text r=. Pomocí kurzoru vybereme písmeno r a pomocí pravého tlačítka vyvoláme menu. Zvolíme položku Formát buněk. V okně pak zaměníme v políčku Písmo: formát písma z Arial na Symbol.
→ Stejným způsobem definujeme také symbol pro viskozitu. (latinský ekvivalent symbolu ν je n) Horní a dolní index definujeme stejným způsobem. Pokud tedy chceme definovat např. jednotku rychlosti, do buňky napíšeme text m.s-1. Kurzorem vybereme -1, pravým tlačítkem vyvoláme menu a zvolíme položku formát buněk. V okně pak zaškrtneme v poli Efekty horní index. Tento postup je možné využít také v popiskách os grafu.
1.2 Definice vztahů Koeficient třecí ztráty budeme počítat podle vztahu λ =
0.3164 4
Re
.
V předchozím vztahu se vyskytuje Reynoldsovo číslo. To je definováno vztahem Re =
v*d
. ν Pro nekruhový průřez je nutné určit hydraulický průměr a zaměnit tak nekruhový průřez za
5
4∗S . Kde S je plocha průřezu a o je smáčený obvod. Třecí ztráta pz je o l v2 definována na základě Bernouliho rovnice vztahem p z = λ ∗ ∗ ∗ ρ d 2
kruhový vztahem d h =
1.3 Výpočet hydraulického průměru Hydraulický průměr je možné upravit po dosazení výrazů pro obvod a plochu obdélníku o = 2 * (a + b ) S = a ∗b 4∗ S 4∗ a ∗b 2∗ a ∗b dh = = = o 2(a + b ) a+b 2∗a∗b dh = a+b
Po dosazení 2 ∗ a ∗ b 2 ∗ 0.04 ∗ 0.05 = a+b 0.04 + 0.05 d h = 0.444444m
dh =
Pod tabulkou zadání v excelu provedeme výpočet hydraulického průměru Výpočet provedeme následujícím způsobem: Do první buňky vepíšeme název (text je pouze orientační a výpočet neovlivní) Do další buňky napíšeme = a začneme definovat vzorec pro hydraulický průměr. Ručně pomocí numerické klávesnice napíšeme 2*, myší následně vybereme (pravým tlačítkem) buňku s číselným údajem rozměru a numerickou klávesnicí zadáme * a vybereme buňku s číselným údajem rozměru b. Tím máme definován čitatel zlomku, numerickou klávesnicí zadáme symbol pro dělení / a budeme definovat jmenovatel. Jelikož je ve jmenovateli součin je nutné jej uzavřít do závorek. Vložíme tedy otevírací závorku (definujeme součin a+b následně výraz uzavřeme). Po definování vztahu by měl vypadat vzorec takto
Pomocí barevného značení je možné, se v definovaném vztahu lepe orientovat. Po dokončení definice stiskneme klávesu Enter . Výraz v buňce by se měl změnit na hodnotu 0.4444444 6
Tímto máme definován numericky hydraulický průměr.
1.4 Výpočet třecí ztráty Třecí ztrátu nebudeme definovat přímo, ale vytvoříme si tabulku se základními parametry. V jednotlivých buňkách si tedy definujeme jednotlivé veličiny, v pořadí tak jak je budeme využívat ve výpočtech. Jednotky napíšeme pod veličinu do hranatých závorek.
Do buňky B18 definujeme hodnotu minimální rychlosti ze zadání (zadáme = a vybereme buňku B6. Ve vedlejší buňce budeme počítat Re číslo pro rychlost 5 m.s-1. V buňce C18 tedy budeme definovat vzorec pro výpočet Re čísla. Ve vzorci je proměnná pouze rychlost v, průměr a viskozita je v našem případě konstanta. Konstantu ve vzorci definujeme pomocí symbolu $. Tento symbol není nutné definovat ručně ale po výběru buňky, která je pro daný výpočet konstantní je možné stiskonut klávesu F4. V buňce by měl být tento text =B18*$B$14/$B$9, po stisknutí klávesy enter se v buňce vypíše hodnota Re čísla 11396.01 Dále budeme definovat koeficient třecí ztráty λ =
0.3164 4
. Ve vzorci se vyskytuje čtvrtá
Re
odmocnina. Tu nelze v excelu přímo definovat, proto je nutné definovat odmocninu 1 n
x = x ). V buňce D18 tedy budeme prostřednictvím mocniny.(matematická definice definovat vzorec =0.3164/(C18^(1/4)) (pozn. namísto zlomku 1/4 je možné napsat 0.25). n
l d
Další počítanou veličinou je tlaková ztráta p z = λ ∗ ∗
v2 ∗ ρ . Vzorec tedy budeme definovat 2
do buňky E18. Vzorec v buňce by měl být definován takto. =(D18*$B$5/$B$14)*((B18^2)/2)*$B$8 konstantní veličiny jsou opět fixovány pomocí symbolu $. Poslední počítanou veličinou je měrná ztrátová energie. Tu je možné vypočítat
7
pomocí hodnoty ztrátového tlaku pomocí vzorce ez =
pz
ρ . Při definici využijeme hodnotu
tlakové ztráty. Vzorec je definován =E18/$B$8. Hustota je ve výpočtu konstantní proto ji opět fixujeme stisknutím klávesy F4. Tímto máme definovány všechny výpočty pro rychlost 5 m.s1 .
Dalším krokem bude definice rychlosti. V zadání je definována minimální, maximální hodnota rychlosti a počet bodů grafu. Rychlost budeme definovat pomocí diference vztahem v − v min v n +1 = v n + max , kde n je počet bodů grafu. n −1 Do buňky B19 budeme definovat vztah =B18+($B$7-$B$6)/($B$10-1). Kopírováním vzorce z buňky B19 pak vypočteme zbylé hodnoty rychlosti až po maximální hodnotu. Pravým tlačítkem myši vybereme buňku B19. Buňky by se měla ohraničit tlustou černou čarou. Kurzor umístíme na malý čtvereček v pravém horním rohu buňky tak, až se symbol kurzoru změní barvu a velikost (vzhled kurzoru +). Po změně kurzoru stiskneme levé tlačítko myši, a se stisknutým levým tlačítkem posuneme kurzor svisle dolů o 8 řádků. Po uvolnění levého tlačítka se v sloupci objeví hodnoty rychlosti od 5 do 25 s dělením na 10 hodnot.
8
→
→
Stejným způsobem budeme definovat také hodnoty všech počítaných veličin. Jelikož jsou již vzorce definovány je možné je pouze kopírovat. Levým tlačítkem vybereme buňku s hodnotou Re čísla pro rychlost 5 m.s-1 (kurzor se v tomto případě nezmění) a při stisknutém tlačítku posouváme kurzor vodorovně až na buňku s výpočtem měrné ztrátové energie. Tímto je vybrán celý řádek se všemi vzorci. Nyní můžeme způsobem shodným s definicí rychlosti vypočítat všechny hodnoty. Přesuneme kurzor na černý čtvereček tak až se opět změní kurzor na +. Stejně jako u rychlosti stiskneme levé tlačítko a posuneme kurzor svisle o osm buněk dolů. Po uvolnění levého tlačítka se vypočtou všechny vzorce pro ostatní hodnoty rychlosti.
↓
Tímto jsme si ukázali hlavní výhodu tabulkového procesoru při technických výpočtech. Samotnou tabulku je možné pak pomocí ctrl+v a ctrl+c vložit do textového editoru MS Word.
9
1.5 Tvorba grafu Další veliče užitečnou funkcí je tabulkového procesoru je tvorba rozličných grafů. Dle zadání máme graficky vyhodnotit koeficient třecí ztráty v závislosti na rychlosti. Graf je možné vytvořit velice jednoduše pomocí průvodce grafu. Ten je možné vyvolat pomocí ikony . Průvodce grafu nabízí celou řadu grafů, ale v technické praxi se nejčastěji používá XY graf, proto jej zvolíme. Dále je možné zvolit pět grafických modifikací grafu. V našem případě zvolíme graf se spojnicí bodů a jejich zvýrazněním. Po volbě stiskneme tlačítko Další >.
Dalším krokem při tvorbě grafu je výběr zdrojových dat. Data pro tvorbu grafu vybereme ručně. Přepneme se na záložku Řada a stiskneme tlačítko Přidat
→ Do políčka Název je možné napsat slovní popis grafu nebo vybrat buňku s textem. My zde napíšeme text „Koeficient třecí ztráty“ Dále zvolíme data, které reprezentují hodnoty na ose x. V tomto případě jde o rychlost v.
10
Myší tedy vybereme ikonu , tím se minimalizuje průvodcem grafu. Nyní můžeme vybrat hodnoty rychlosti pomocí levého tlačítka (vybereme buňku s hodnotou rychlosti 5 a při stisknutém levém tlačítku přesuneme kurzor svisle dolů až na buňku s hodnotou rychlosti 25). Po vybrání dat pro osu X se vrátíme do průvodce grafu pomocí ikony minimalizovaném průvodci grafu.
na
Stejným způsobem vybereme data pro osu Y. Data pro osu Y jsou v našem případě ve sloupečku, v němž jsou vypočítány koeficienty třecí ztráty λ.
…. Původce grafu by měl po vybrání dat pro osu Y vytvořit náhled grafu
11
Pokud jsou data vybrána správně, můžeme pokračovat v definici grafu tlačítkem další Další >. Další krok spočívá v definici popisek os. K jednotlivým osám přiřadíme textový popis. Na ose x je rychlost, proto do políčka Osa X (hodnoty): text v [m.s-1] Na ose y je rychlost, proto do políčka Osa Y (hodnoty): text l [-]
Formáty a indexy změníme posléze. Nyní stiskneme tlačítko Další >. V tomto kroku definujeme umístění grafu. Existují dvě možnosti 1) Jako nový list: v tomto případě bude graf vytvořen jako nový list, tedy záložka v excelu 2) Jako objekt do: v tomto případě bude do aktuálního listu umístěn graf V našem případě zvolíme druhou možnost a stiskneme tlačítko Dokončit. Vytvořený graf nyní opravíme, u jednotky rychlosti změníme -1 na horní index a font v názvu osy y změníme z Arial na Symbol. V jednotce rychlosti vybereme pomocí levého tlačítka text -1 a pravým tlačítkem vyvoláme menu. V něm zvolíme Formát názvu osy. V okně formátu názvu osy zaškrtneme v poli Efekty políčko Horní index a potvrdíme.
→
→
Stejným způsobem změníme písmeno l v názvu osy y na písmeno λ. V okně formátu názvu osy změním v poli Písmo font Arial na font Symbol a potvrdíme
→
→ 12
Poslední krok spočívá v odstranění šedého pozadí v grafu. To je vhodné z důvodu tisku, protože šedé pozadí je pro tisk nevhodné. Levým tlačítkem zvolíme šedé pozadí, pravým vyvoláme menu a zvolíme položku Formát zobrazované oblasti. V poli Plocha vybereme možnost Žádná. Tímto je odstraněno šedé pozadí.
→ Tento jednoduchý úvodní příklad demonstroval možnosti využití MS excel při tvorbě tabulek a grafů pro technické zprávy. Další příklady již budou vycházet ze znalostí tohoto příkladu a jednotlivé nastavení nebude popisováno tak detailně.
13
2 Pracovní bod čerpacího systému Odstředivé čerpadlo čerpá vodu ze spodní nádrže do horní, přičemž výškový rozdíl je Hg. Obě nádrže jsou otevřené, na hladinách je atmosférický tlak. Parametry sacího i výtlačného potrubí jsou zadány. Charakteristika daného čerpadla byla určena a je popsána rovnicí. Najděte pracovní bod čerpadla. Vytvořte graf obou charakteristik. Charakteristika čerpadla
10 3 10 6 2 Yč = 130 − ∗ Qv − ∗ Qv 3 3 Průměr sacího potrubí ds= Délka sacího potrubí ls= Třecí koeficient sacího potrubí λs= Suma místních ztrát v sacím potrubíΣξs= Průměr výtlačného potrubí ds= Délka výtlačného potrubí ls= Třecí koeficient výtlačného potrubí λs= Suma místních ztrát ve výtlačném potrubíΣξs= Geodetická výška Hg=
100 mm 10 m 0.025 2 75 mm 30 m 0.027 12 8.15m
2.1 Definice vztahů Pracovní bod čerpacího systému je průsečík charakteristiky čerpadla a charakteristiky potrubí. Charakteristika čerpadla je definována v zadání, takže naším prvním úkolem bude odvození vztahu pro charakteristiku potrubí.
14
Měrná energie potrubí je dána následujícím vztahem. v2 v2 l l Yp = g ⋅ h g + g ⋅ (h zs + h zv ) = g ⋅ h g + g ⋅ λ s ⋅ s + ∑ ξ s ⋅ s + g ⋅ λ v ⋅ v + ∑ ξ v ⋅ v ds dv 2⋅ g 2⋅ g Rychlosti proudění vody v sacím a výtlačném potrubí se stanoví jako
Qv , Ss Po dosazení: vs =
vv =
Qv . Sv
ls Q v2 ⋅ 4 2 lv Q v2 ⋅ 4 2 Yp = g ⋅ h g + g ⋅ λ s ⋅ + ∑ ξ s ⋅ 2 + g ⋅ λ v ⋅ + ∑ ξ v ⋅ 2 . 4 4 ds dv π ⋅ ds ⋅ 2 ⋅ g π ⋅ dv ⋅ 2 ⋅ g
l l 8 8 Yp = g ⋅ h g + Qv2 ⋅ g ⋅ λ s ⋅ s + ∑ ξ s ⋅ 2 4 + λv ⋅ v + ∑ ξ v ⋅ 2 4 ds dv π ⋅ ds ⋅ g π ⋅ d v ⋅ g Po úpravě je rovnice měrné energie potrubí v následujícím tvaru.
l 8 l 8 Yp = g ⋅ h g + τ s ⋅ s + ∑ ξ s ⋅ 2 4 + τ v ⋅ v + ∑ ξ v ⋅ 2 4 ⋅ Qv2 ds dv π ⋅ ds π ⋅ d v k Rovnici měrné energie potrubí lze zjednodušit do tvaru:
Ysp = g ⋅ Hg + k ⋅ Qv2 . Kde konstanta k je definována
l l 8 8 k = λ s ⋅ s + ∑ ξ s ⋅ 2 4 + λ v ⋅ v + ∑ ξ v ⋅ 2 4 ds dv π ⋅ ds π ⋅ d v
15
2.2 Výpočet pracovního bodu První řešení spočívá ve vytvoření zadání, do zadání jsou také zahrnuty konstanty pro tíhové zrychlení a hustotu vody.
2.2.1 Charakteristika potrubí Charakteristika porubí je popsána rovnicí
Ysp = g ⋅ Hg + k ⋅ Qv2 V této rovnici je jediná neznámá konstanta k a ta je definována vztahem
l l 8 8 k = λ s ⋅ s + ∑ ξ s ⋅ 2 4 + λv ⋅ v + ∑ ξ v ⋅ 2 4 ds dv π ⋅ ds π ⋅ d v Vztah je možné počítat v jedné buňce ale vzhledem k délce vzorce a počtu veličin je velká pravděpodobnost chyby. Hodnotu k tedy budeme počítat v několika krocích. Nejprve vypočteme ztrátu sacího a výtlačného potrubí l z s = λs ⋅ s + ∑ ξ s =($C$5*$C$4/($C$3/1000))+$C$6 ds z v = λv ⋅
lv + ∑ξv dv
=($C$10*$C$9/($C$8/1000))+$C$11
pozn.. 1000 slouží ve vzorci jako přepočet průměru potrubí z mm na m. 16
tím se vzorec pro k modifikuje
8 8 + zv ⋅ 2 4 4 π ⋅ ds π ⋅ dv =($D$21*8/(((PI())^2)*(($C$3/1000)^4)))+($D$22*8/(((PI())^2)*(($C$8/1000)^4))) k = zs ⋅
2
Pokud je ve vzorci použito číslo π není nutné jej přesně definovat jako 3.141592654… ale v excelu existuje zástupný symbol PI(). Tento zástupný symbol jsme vhodně využili při výpočtu konstanty k.
Charakteristika potrubí je tedy po vyčíslení dána vztahem
Y p = 79.9515 + 620565.98 ∗ Qv
2
2.2.2 Graf charakteristiky potrubí a čerpadla Obě charakteristiky si vytabelujeme pro rozsah průtoku 0-0.01 m3.s-1. obě charakteristiky jsou číselně definovány, takže je možné provést výpočet jednotlivých hodnot v tabulce.
Příklad vzorců pro první řádek tabulky (průtok je roven 0) Potrubí =$C$25+$C$26*B32^2 Čerpadlo =$C$17+$C$18*B32+$C$19*B32^2 Z této tabulky pak vytvoříme graf s charakteristikou potrubí a čerpadla. 17
Pracovní bod čerpadla 160.000 Yč=f(Q) Yp=f(Q)
140.000 120.000
-1
Y [Jkg ]
100.000 80.000 60.000 40.000 20.000 0.000 0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
3 -1
Qv [m s ]
Dvě a více křivek v grafu vytvoříme v průvodci při definici řady. Po definici první řady nestiskneme tlačítko Další >, ale Přidat. Nyní je možné definovat druhou křivku grafu. Tento postup je možné libovolně opakovat.
18
2.2.3 Pracovní bod čerpacího systému Pracovní bod je graficky průsečík charakteristiky čerpadla a potrubí. Z grafu je možné hodnotu Q a Y odhadnou. Našim cíle je ale přesný výpočet Y a Q. Výpočet spočívá v hledání průsečíku dvou kvadratických rovnic a v pracovním bodě musí být identické hodnoty Y a Q pro obě charakteristiky. Výpočet je možné provést ručně tak že porovnáme obě charakteristiky a vytvoříme novou rovnici pro hodnotu průsečíku, nebo použijeme nástroj Řešitel. Tento nástroj umí numericky řešit algebraické rovnice. Ruční výpočet Vyjdeme z předpokladu, že v pracovním bodě je Yč = Y p
Yč = 130 − 333.33 ∗ Qv − 333333.33 ∗ Qv Y p = 79.9515 + 620565.98 ∗ Qv
2
2
130 − 333.33 ∗ Qv − 333333.33 ∗ Qv = 79.9515 + 620565.98 ∗ Qv 2
2
Rovnici přeskupíme tak abychom sloučili čísla u stejných mocnin a přesunuli je na levou stranu rovnice.
(− 333333.33 − 620565.98) ∗ Qv 2 − 333.33 ∗ Qv + (130 − 79.9515) = 0
po úpravě
− 953899.31 ∗ Qv − 333.33 ∗ Qv + 50.05 = 0 2
což je vlastně obyčejná kvadratická rovnice
a ∗ x2 + b ∗ x + c = 0 , jejíž řešení je
x1, 2 =
−b± D 2 , kde D = b − 4 ∗ a ∗ c 2∗a
Řešením jsou dvě hodnoty průtoku. Správná hodnota je kladná
kladnou hodnotu průtoku Qv=0.0070708 m3.s-1 dosadíme do libovolné charakteristiky potrubí, nebo čerpadla a zjistíme tak měrnou energii Y v pracovním bodě. Nejjednodušší možnost je převedení vypočteného průtoku do sloupce s průtokem a následné protažení výpočtu o jeden řádek.
Tím si ověříme také správnost výpočtu, protože měrná energie čerpadla a potrubí musí být stejná. 19
Využití nástroje řešitel Pro využití řešitele je nutné mít připraveny algebraické rovnice tak, aby rovnice odkazovaly na buňku s počítanou veličinou, a tato buňky nesmí obsahovat žádné číslo.Nejjednodušší způsob spočívá v protažení výpočtu charakteristiky čerpadla a potrubí o další řádek.
Tím jsou tedy připraveny rovnice. Nástroj Řešitel vyvoláme z textového menu a nabídky Nástroje
Nyní musíme definovat rovnice a všechny podmínky, které musí splňovat řešení.
Nastavit buňku: v tomto políčku musí být odkaz na buňku s vzorcem. V našem případě to může být jak výpočet charakteristiky potrubí, tak charakteristika čerpadla (zvolili jsme charakteristiku čerpadla).
20
Měněné buňky: v tomto políčku musí být odkaz prázdnou buňku, na kterou se také odkazuje vzorec (v této buňce bude iteračním postupem měněna hodnota tak dlouho až budou splněny všechny omezující podmínky. Omezující podmínka: aby byla rovnice řešitelná, je nutné definovat omezující podmínku. Stiskneme tedy tlačítko Přidat. Omezující podmínka v našem případě popisuje podmínku, která platí v pracovním bodě systému. V pracovním bode je stejná měrná energie čerpadla a potrubí, proto tedy vybereme buňky pro charakteristiku potrubí a čerpadla a ty se musí přesně rovnat. Podmínku potvrdíme tlačítkem OK.
Rovno: poslední podmínky specifikuje výchozí bod řešení. Víme, že průtok musí být kladný, proto zvolíme min a zadáme 0. Průtok se tedy začne řešit od nulové hodnoty. Tím jsme specifikovali všechny nezbytné podmínky a nyní můžeme začít řešit hodnotu průtoku. Stiskneme tlačítko Řešit. Následně by se měla objevit v prázdné buňce hodnot průtoku, pro který jsou obě charakteristiky totožné, současně se také objeví okno s výsledky. Zde již pouze přijmeme výsledek tlačítkem OK.
Výsledek by měl být totožný s výsledkem, který jsme obdrželi ručním výpočtem.
21
2.2.4 Výpočet výkonu Posledním krokem v této úloze je stanovení výkonu čerpacího systému. Hydraulický výkon je definován vztahem
P = ρ ∗ Qv ∗ Y
Z tohoto důvodu jsme tedy stanovovali přesně Qv a Y v pracovním bodě
P = 1000 ∗ 0.007071∗ 110.97758 P = 784.702W
22
3 Výpočet koeficientů viskozity 3.1 Zadání V rámci experimentu byla změřena kinematická viskozita ν hydraulického oleje pro hodnoty teploty t (23,32,43,50) °C a tlaky p (10, 20, 30, 40, 50) MPa .Určete metodou nejmenších čtverců regresní funkci, pro tlak p, teplotu t (několik typů) a dále funkci dvou proměnných. ν 2 -1 [m s ] t [°C ]
23 32 43 50
5,00E+07 2.25E-04 1.18E-04 5.89E-05 4.32E-05
4,00E+07 1.71E-04 8.51E-05 5.84E-05 3.78E-05
p [Pa] 3,00E+07 1.38E-04 7.39E-05 4.10E-05 3.39E-05
2,00E+07 1.08E-04 6.41E-05 4.03E-05 2.75E-05
1,00E+07 8.91E-05 5.79E-05 3.33E-05 2.46E-05
3.2 Definice vztahů Viskozita oleje je obecně závislá na tlaku a teplotě. Tato závislost je obecně dána vztahem
ν = ν 0 ∗ e − at ∗ e b∆p neznáme veličiny, jsou v tomto případě: ν 0 což je viskozita při normálních podmínkách a je koeficient závislosti na teplotě b je koeficient závislosti na tlaku Našim úkole je tedy stanovení těchto tří parametrů.
3.3 Základní analýza První krok spočívá v přepsání dat do tvaru, který lze analyzovat a lze z něj vytvořit graf. Data tedy přepíšeme podle do následujícího tvaru.Následně pak vytvoříme dva jednoduché grafy. Jeden pro závislost viskozity na teplotě a druhý pro závislost na tlaku. Typ grafu zvolíme XY bodový bez spojnic.
23
Zavislost viskozity na teplotě 2.50E-04
2.00E-04
2 -1 ν [m s ]
1.50E-04
Zavislost na teplotě 1.00E-04
5.00E-05
0.00E+00 0
10
20
30
40
50
60
t [°C]
24
Závislost viskozity na tlaku 2.50E-04
2.00E-04
2 -1 ν [m s ]
1.50E-04
Závislost na tlaku 1.00E-04
5.00E-05
0.00E+00 0
10
20
30
40
50
60
p [MPa]
Jednotlivé parametry je možné určit pomocí jednorozměrné regresní funkce. Tu je možné velice jednoduše vytvořit v grafu.
3.4 Regresní funkce (spojnice trendu) V grafu vybereme řadu, tj. pravým tlačítkem vybereme řadu (klikneme na libovolný bod řady). Levým tlačítkem vyvoláme menu a zvolíme položku Přidat spojnici trendu.
V první záložce vybereme, jaký Typ spojnice předpokládáme. Ze zadání je zřejmé že závislost je exponenciální proto také tuto spojnici zvolíme.
25
V záložce Možnosti upřesníme nastavení výpočtu regrese a zobrazení výsledků. V položce Název spojnice trendu můžeme zvolit vlastní název přidané spojnice v grafu. V položce Odhad je možné nastavit extrapolaci funkce mimo hraniční body grafu. Položka Hodnota Y = tuto položku zaškrtneme pouze v případě, že vzorec obsahuje nějakou konstantu, která je nezávislá na vstupních datech. V našem případě tato konstanta neexistuje, proto ponecháme políčko nezaškrtnuté. Položka Zobrazit rovnici regrese umožňuje zobrazení regresní funkce v grafu. Nás zajímají koeficienty regrese, proto tuto volbu zaškrtneme. Položka Zobrazit hodnotu spolehlivosti R umožňuje zobrazení přesnosti proložené funkce. Tato hodnota se limitně blíží 1. V případě že je R=1 pak spojnice prochází přesně zdrojovými body. V technické praxi se považuje za dostatečně přesné regrese s hodnotou R = 0.95 a výše.Z důvodu vyhodnocení si tuto položku také zobrazíme.
Po nastavení všech parametrů stiskneme tlačítko OK. Nyní by se v grafu měla objevit černá spojnice a políčko s funkcí
26
Zavislost viskozity na teplotě 2.50E-04
2.00E-04
2 -1 ν [m s ]
1.50E-04 Zavislost na teplotě Exponenciální (Zavislost na teplotě) 1.00E-04 -0.053x
y = 0.0004e 2 R = 0.8165
5.00E-05
0.00E+00 0
10
20
30
40
50
60
t [°C]
y = 0.0004e −0.053x R 2 = 0.8165 Z regrese je nyní možné vyčíslit hodnotu ν 0 a
a . Tlak jsme v tomto případě zanedbali, takže
se základní vzorec pro viskozitu zjednoduší do tvaru ν
= ν 0 ∗ e − at .
Srovnáním tohoto
vzorce s výsledkem regrese obdržíme parametry ν 0 a a
ν = ν 0 ∗ e − at
=
y = 0.0004e −0.053 x
ν 0 = 0.0004m 2 .s −1 a = 0.053 °C −1 .
27
Stejným způsobem analyzujeme regresi pro viskozitu jako funkci tlaku. V toto případě zanedbáváme vliv teploty. Závislost viskozity na tlaku 2.50E-04
2.00E-04
2 -1 ν [m s ]
1.50E-04 Závislost na tlaku Exponenciální (Závislost na tlaku)
2E-08x
y = 4E-05e 2 R = 0.1662 1.00E-04
5.00E-05
0.00E+00 0
10
20
30
40
50
60
p [MPa]
ν = ν 0 ∗ e bp
=
y = 0.00004e 0.00000008x
ν 0 = 0.00004m 2 .s −1 b = 2 *10 −8 Pa −1 . Z výsledků je zřejmé že přesnost obou regresí je výrazně nižší než R2<0.95 a také počáteční viskozita ν 0 se liší v rozsahu jednoho řádu. Data se tedy pokusíme vyhodnotit v jednom kroku, jelikož je viskozita funkcí dvou proměnných je nutné využít víceparametrické regrese.
3.5 Víceparametrická regrese Tabulku zadaní je vždy nutné překopírovat do následující podoby, tedy první proměnná, druhá proměnná, a neznámá. Sloupec s přirozeným logaritmem je vytvořen z důvodu typu funkce ν = ν 0 ∗ e − at ∗ e b∆p , vyskytují se základ e, víceparametrická regrese je definována pouze jako lineární, proto je pomocí inverzní funkce ln ze vztahu odstraněn exponent e. ln(ν ) = ln(ν 0 ) + (− at ) + (b∆p ) vztah po logaritmování je již lineární, ale je nutné analyzovat logaritmus viskozity nikoli samotnou viskozitu. Z tohoto důvodu je nutné vypočítat hodnotu logaritmu viskozity. Přirozený logaritmus je v excelu definován textem LN(číslo). V prvním řádku je tedy vzorec =LN(D38)
28
Pokud jsou již data připravena, je možné vypočítat regresní koeficienty (Pokud není tato nabídka k dispozici, je nutné ji doinstalovat. Postup je zobrazen na konci této kapitoly)
Je nutné vybrat i řádek s jednotkami z důvodu identifikace konstant, aby excel správně identifikoval první řádek jako text, je nutné zaškrtnout políčko POPISKY. Výpočet spustíme kliknutím na OK
29
Výsledkem výpočtu je následující list Kde hranice je konstantní hodnota tedy lnν0 (ze vztahu ln(ν ) = ln(ν 0 ) + (− at ) + (b∆p ) ) Podle jednotek je možné identifikovat zbývající dva koeficienty u °C je a, u Pa je b.
30
Výsledek regrese je tedy ln (ν 0 ) = −8.234247723 → ν 0 = 0.0002654 m 2 .s −1
a = 0.05297 °C −1 b = 1.74384 *10 −8 Pa −1 Hodnotu viskozit získáme pomocí funkce EXP, čímž ji odlogaritmujeme. Položka Násobné R popisuje přesnost regrese a je vidět, že přesnost se v tomto případě blíží 1. Víceparametrická regrese tedy poskytne v tomto případě daleko přesnější výsledky než obyčejné jednorozměrné regrese.
31
3.6 Trojrozměrný graf Pro trojrozměrný graf si vytvoříme data pomocí výpočtu na základě dat z víceparametrické regrese. Viskozitu budeme kalkulovat pro širší rozsah teploty a tlaku t = (20-50)°C; ∆t = 2 °C p = (20-50)MPa; ∆p = 2 MPa Připravíme si tedy tabulku v tomto tvaru
V tabulce budeme počítat hodnoty viskozity dle vzorce ν = ν 0 ∗ e − at ∗ e b∆p . Vzorec pro viskozitu je nutné napsat tak aby při posunu výpočtu dolů a doleva. U buňky, která obsahuje tlak, je nutné symbolem $ zafixovat hodnoty na řádku, proto je tento symbol pouze u čísla buňky. U buňky, která obsahuje teplotu, je nutné symbolem $ zafixovat hodnoty ve sloupci, proto je tento symbol pouze u písmene buňky.
Nyní můžeme výpočet nakopírovat do prvního řádku pro všechny hodnoty tlaku a posléze celý první řádek kopírovat směrem dolů pro všechny teploty.
→ Tím jsou vytvořena data pro 3D graf.
32
Vybereme tedy celou tabulku včetně prvního řádku s tlakem a prvního sloupce s teplotou. Buňka v prvním řásku a prvním sloupci musí zůstat prázdná. Podle této prázdné buňky jsou detekovány osy X a Y. Na osu z jsou pak vynášeny hodnoty viskozity.
Vyvoláme průvodce grafem pomocí ikony Zvolíme povrchový typ grafu
.
Dvakrát stiskneme tlačítko Další >a vyplníme popisky grafu. Formát textu a indexy opravíme až v hotovém grafu
Stiskneme tlačítko Další >a zvolíme umístění grafu Jako nový list: 33
Graf vygenerujeme tlačítkem Dokončit.
V grafu ještě opravíme symbol viskozity a u jednotky upravíme indexy. Viskozita oleje
2.50E-04
2.00E-04
1.50E-04 2.00E-04-2.50E-04 1.50E-04-2.00E-04 1.00E-04-1.50E-04 5.00E-05-1.00E-04 0.00E+00-5.00E-05
ν [m .s ] 2
-1
1.00E-04
5.00E-05
50 44 38 32
t [°C]
4.80E+07
4.40E+07
4.00E+07
26 3.60E+07
p [Pa]
3.20E+07
2.80E+07
2.40E+07
2.00E+07
0.00E+00
20
Graf je možné prostorově otáčet pomocí menu, které vyvoláme levým tlačítkem a zvolíme položku Prostorové zobrazení V tomto menu je možné graf libovolně natáčet, pro lepší přehlednost.
→
Z
34
Na následujícím grafu je změněna rotace na 240°. Viskozita oleje
2.50E-04
2.00E-04
1.50E-04 ν [m2.s-1] 1.00E-04
2.00E-04-2.50E-04 1.50E-04-2.00E-04 1.00E-04-1.50E-04 5.00E-05-1.00E-04 0.00E+00-5.00E-05
5.00E-05 5.00E+07 4.40E+07 3.80E+07 p [Pa]
0.00E+00
3.20E+07 2.60E+07 2.00E+07
20 24 22 28 26 30 32 36 34 40 38 t [°C] 44 42 46 50 48
Takto je možné jednoduše zobrazit graficky funkci dvou proměnných. Víceparametrická regrese umožňuje provést analýzu dat pro funkce, které obsahují více než jednu vstupní proměnnou veličinu. Požití regrese bylo vysvětleno na jednoduché analýze viskozity oleje v závislosti na tlaku a teplotě. V praxi je však tento přístup možné aplikovat na celou řadu technických problému.
35
