Navier Stokesovy rovnice. Doc. Mgr. Milan Pokorný Ph.D

Navier–Stokesovy rovnice Doc. Mgr. Milan Pokorný Ph.D. 15. května 2014

2

. . . v budoucnosti se bude umění s technikou tak nějak harmonicky doplňovat – lyrickoepické verše pomohou při chemizaci likvidační praxe – periodická soustava pomůže rozvoji impresionismu – na každém technickém výrobku bude zvláštní ploška, vyhrazená pro účinný estetický vjem – komíny atomových elektráren budou pomalovány našimi nejlepšími krajináři – dvacet tisíc mil pod mořem budou čítárny přístupné všem – diferenciální rovnice se budou psát ve verších – na střechách cyklotronů budou divadla malých forem – a v nich se budou recitovat diferenciální rovnice – tak nějak lidsky . . . Václav Havel, Zahradní slavnost

Obsah 1 Předmluva

4

2 Základní prostory funkcí 2.1 Sobolevovy a Lebesgueovy prostory . . . . . . . . . . 2.2 Bochnerovy prostory . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Prostory Lp (I; X) . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Prostory s časovou derivací . . . . . . . . . . 2.3 Prostory s nulovou divergencí . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Temamovy prostory . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2 Sobolevovy prostory . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Rozklad funkcí z (L2 (Ω))N . Existence tlaku. . 2.4 Stokesův problém . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

7 7 9 10 11 18 18 20 21 25

3 Slabé řešení evolučních rovnic 3.1 Existence slabého řešení . . . . . . . . . 3.2 Rekonstrukce tlaku . . . . . . . . . . . . 3.3 Regularita (N = 2) . . . . . . . . . . . . 3.4 Jednoznačnost (N = 3) . . . . . . . . . 3.5 Globální podmíněná regularita (N = 3) 3.6 Lokální regularita (N = 3) . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

29 29 40 47 50 54 57

4 Appendix 4.1 Integrální operátory . . . . . . . . . . . . . 4.2 Bogovského operátor v omezených oblastech 4.2.1 Homogenní okrajová podmínka . . . 4.2.2 Nehomogenní okrajová podmínka . . 4.3 Neomezené oblasti . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Celý prostor . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Vnější oblasti . . . . . . . . . . . . . 4.3.3 Oblasti s nekompaktní hranicí . . . . 4.3.4 Aplikace . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

60 60 61 61 67 70 70 70 71 72

3

. . . . . .

Kapitola 1

Pánové Navier, Stokes, jeden systém PDR, několik dalších pánů, jedna dáma a milion dolarů S tekutinami se setkáváme stále. Země je obklopena atmosférou, voda tvoří 80% lidského těla, přenáší základní živiny. Každé pondělí si dáváme „matematický čajÿ a bez vína či piva bychom byli o něco ochuzeni. Je tedy zřejmé, že lidstvo se snažilo studovat tekutiny od samého prvopočátku, kdy si začalo uvědomovat svou existenci. Staří Řekové pokládali vodu za jeden ze čtyř živlů. Ale až poměrně pozdě se přistoupilo k matematickému chápání popisu tekutin. V roce 1822 navrhl francouzský inženýr C.M.L.H. Navier jistou soustavu parciálních diferenciálních rovnic jako model popisující viskózní nestlačitelné tekutiny. Když se na jeho odvození rovnic podívali fyzikové, okamžitě jej smetli ze stolu – fyzikální předpoklady byly naprosto nerealistické. Později, v roce 1845, G.H. Stokes odvodil mnohem rigoróznějším způsobem, takovým, jaký znáte z přednášky z mechaniky kontinua, model lineárně viskózní tekutiny. A dostal tytéž rovnice co o 23 let dříve Navier. Tedy co vlastně zkoumáme. Hledáme u : h0, T ) × Ω → RN , tak, že

p : h0, T ) × Ω → R,

∂u + u · ∇u − ν∆u + ∇p = f ∂t div u = 0

v (0, T ) × Ω

v (0, T ) × Ω

)

≡ QT , Ω ⊂ RN , N ≥ 2.

(1.1) Je třeba dodat počáteční podmínku pro rychlost u(0, x) = u0 (x) a okrajové podmínky. My budeme uvažovat pouze u = 0 na (0, T ) × ∂Ω, ale nesnažíme se vůbec tvrdit, že je to ten jediný správný model. Koneckonců, mohli bychom klidně uvažovat řešení Cauchyovy úlohy a potíží bude stále dost a dost.

4

5 Na první pohled je to docela kultivovaný systém PDR. Jediná nelinearita je kvadratická a navíc má ještě pěknou vlastnost, která umožňuje odvodit základní apriorní odhady, což uvidíme později. Ale přesto, je to nelinearita záludná. Z hlediska charakterizace nelinearit je to pro N = 2 případ kritický, totiž s jistou námahou zvládnutelný, zatímco pro N = 3 (a ten bychom asi vyřešili nejraději) problém superkritický. Tedy bez dodatečných triků nezvládnutelný. Prvním, kdo se pokusil tento systém seriózně matematicky studovat, byl C.W. Oseen [22]. Na jeho práce pak navázal J. Leray v sérii dalších článků z let 1933–34 ([13], [14]), které obsahovaly výsledky jeho doktorské práce. Zatímco pro případ Ω = R2 dokázal existenci a jednoznačnost klasického řešení, pro Ω = R3 neuspěl. Dokázal pouze existenci tzv. „turbulentního řešeníÿ (věřil, že právě turbulence je zodpovědná za případné singularity), což je v moderním jazyce de facto slabé řešení splňující silnou energetickou nerovnost. Navrhl též jistou možnost kterak ukázat, že klasické řešení nemusí obecně existovat. To, že tato metoda nefunguje, bylo ukázáno až relativně nedávno v článcích J. Nečas, M. Růžička, V. Šverák [20]; J. Málek, J. Nečas, M. Pokorný, M. Schonbek [17] a T. Tsai [27]. Pak přišla druhá světová válka. Po ní německý matematik E. Hopf [9] rozšířil výsledky J. Leraye i do omezených oblastí. Zhruba o desetiletí později se objevuje O.A. Ladyženská [12], která se až do své smrti intenzívně Navier– Stokesovým rovnicím věnovala. Po ní potom celá řada vynikajících matematiků: J.-L. Lions [15], L. Cafferelli, R. Kohn, L. Nirenberg [2], P.-L. Lions [16], . . . Fundamentální otázka, zda existuje ve třech prostorových dimenzích hladké (tj. klasické) řešení pro libovolně velká data úlohy a libovolně dlouhý časový interval, zůstává stále nezodpovězena. To, spolu se snahou napodobit D. Hilberta ve formulaci „otevřených problémů pro další stoletíÿ, vedlo Clayův institut v Massachusetts k vyhlášení „sedmi otevřených problémůÿ a odměny 1 000 000 dolarů za jejich vyřešení. A tak se Navier–Stokesovy rovnice objevily vedle takových problémů, jako je dnes již dokázaná Poincarého hypotéza, Riemannova hypotéza atd. Co to je slabé řešení? Vezměme ϕ , hladkou funkci s kompaktním nosičem a nulovou divergencí, a přenásobme jí rovnici (1.1). Jelikož (připomeňme, že budeme používat sumační konvenci) (u · ∇u)j = ui

∂uj ∂ ∂ui = (ui uj ) − uj , ∂xi ∂xi ∂x |{z}i =0

Z

Ω

∂p ϕi dx = ∂xi

dostáváme ZT Z

0 Ω

Z

∂Ω

p ϕ · n dx − | {z } =0

Z

Ω

p div ϕ dx, | {z } =0

ZT Z ZT Z ZT Z ∂ϕi ∂ϕi ui fi ϕi dx dt. ui uj ui ∆ϕi dx dt = − dx dt+ dx dt+ν ∂t ∂xj 0 Ω

0 Ω

0 Ω

(My si později ukážeme mírně analogickou formulaci, ale myšlenka je tato.) Stačí nám tedy předpokládat, že u ∈ (L2loc (QT ))N a f ∈ (L1loc (QT ))N ; pak mají všechny členy smysl.

KAPITOLA 1. PŘEDMLUVA

6

Budou nás zajímat následující otázky: 1. Existence slabého řešení. (N = 2, 3) 2. Zda je slabé řešení jednoznačné v rozumné třídě řešení. (N = 2) 3. Pokud máme řešení hladší, zda už je to nutně jediné řešení („weak–strong uniquenessÿ – je-li slabé řešení silné, potom je již jediné na třídě slabých řešení). (N = 3) 4. Zda je každé slabé řešení s hladkými daty nutně hladké. (N = 2 ano, N = 3 není známo). Právě tato otázka je oním problémem za 1 000 000 dolarů: (C. Fefferman): f : hladká funkce s kompaktním nosičem u0 : hladká funkce s kompaktním nosičem Existuje klasické řešení Navier–Stokesových rovnic na R3 pro libovolně dlouhý čas? (Buď dokázat, nebo najít protipříklad.)

Kapitola 2

Základní prostory funkcí 2.1

Sobolevovy a Lebesgueovy prostory

Používáme standardní značení pro Sobolevův prostor: W k,p (Ω), k ∈ N, 1 ≤ p ≤ ∞ Lebesgueův prostor: Lq (Ω), 1 ≤ q ≤ ∞ S těmito prostory se lze podrobněji seznámit například ve skriptech z moderní teorie parciálních diferenciálních rovnic [18]. Uveďme jen jednu poznámku o interpolacích: a) Lebesgue: Tvrzeníčko 2.1.1. Nechť f ∈ Lp (Ω) ∩ Lq (Ω), 1 ≤ p < q ≤ ∞, Ω ⊂ RN . Potom f ∈ Lr (Ω), p ≤ r ≤ q a 1−α kf kr ≤ kf kα , p kf kq

1 α 1−α = + , r p q

α ∈ [0, 1].

(2.1)

Důkaz. Je přenechán čtenáři jako elementární rozcvička na úvod.

b) Lebesgue, Sobolev: Máme f ∈ Lq (Ω) ∩ W 1,s (Ω), 1 ≤ q < ∞. Je možno odvodit nerovnost typu kf kr ≤ Ckf kq1−α kf kα 1,s ,

pro jisté hodnoty r, q a s? Odpověď je pozitivní.

Věta 2.1.1. Nechť Ω ∈ C 0,1 je omezená oblast v RN , f ∈ W 1,s (Ω) ∩ Lq (Ω), 1 ≤ q < ∞. a) Je-li s < N , potom f ∈ Lr (Ω), r ≤ C = C(Ω, N, s, q, r):

Ns N −s

a pro q ≤ r ≤

1−α kf kr ≤ C kf kα , α ∈ [0, 1], 1,s kf kq 1 1 1 1 + (1 − α) . =α − r s N q

Ns N −s

existuje

b) Je-li s = N , potom lze brát v (2.2) q ≤ r < ∞ a r ≤ ∞ pro s > N . 7

(2.2)

KAPITOLA 2. ZÁKLADNÍ PROSTORY FUNKCÍ

8

Důkaz. Idea důkazu je založena na následujících dvou krocích: a) ukážeme, že (2.2) platí pro f ∈ C0∞ (RN ), b) kombinací věty o prodloužení (proto Ω ∈ C 0,1 !) a hustoty hladkých funkcí (popř. regularizátor) se převede situace na omezenou oblast. Poznámka: Je-li Ω = RN nebo f ∈ W01,s (Ω), lze v (2.2) místo kf k1,s psát k∇f ks . Poznámka: Ukážeme si dvě speciální situace (2.2): N = 2, r = 4, s = q = 2 :

1 4

=α

1 2

−

1 2

N = 3, r = 4, s = q = 2 :

1 4

=α

1 2

−

1 3

+ (1 − α) 12 ⇒ α = 12 , + (1 − α) 12 ⇒ α = 43 ,

1/2

1/2

tj. ∃C = C(N ) : ∀u ∈ W 1,2 (Ω) : kuk4 ≤ C kuk1,2 kuk2 , Ω ⊂ R2 , 3/4 1/4 kuk4 ≤ C kuk1,2 kuk2 , Ω ⊂ R3 .

Proveďme důkaz:

a) N = 2: Nechť u ∈ C0∞ (R2 ). Potom kuk4 ≤

√ 1/2 1/2 2k∇uk2 kuk2 .

Důkaz. Z Gagliardo-Nirenbergovy nerovnosti víme, že pro v ∈ C0∞ (R2 ) kvk2 ≤ k∇vk1 .

Vezmeme v = |u|2 a dostáváme Z Z |∇(u2 )|dx ≤ 2 |u||∇u|dx ≤ 2kuk2 k∇uk2 , kuk24 ≤ R2

R2

tj. kuk4 ≤

√

1

1

2kuk22 k∇uk22 .

1

(Konstanta není optimální — viz R. Temam [25]: C = 2 4 .) 3

3/4

1/4

b) N = 3: Nechť u ∈ C0∞ (R3 ). Potom kuk4 ≤ ( 38 ) 4 k∇uk2 kuk2 . Důkaz. Analogicky jako výše máme

kvk 32 ≤ k∇vk1 . 8

Zvolme v = |u| 3 . Potom Z Z 8 5 8 8/3 |∇(u) 3 | dx ≤ kuk4 ≤ |∇u||u| 3 dx 3 3 3 R R Z 5 5 8 8 4/3 1/3 α (1−α) 3 dx ≤ k∇uk2 kuk4 kuk2 . |∇u||u| 3 |u| = 3 R3 3 1 2

+

5α 12

5(1−α) 6

= 1 ⇒ α = 45 .) Tedy celkem 3/4 8 3/4 1/4 kuk4 ≤ k∇uk2 kuk2 . 3 √ (Optimálně lze získat C = 2, viz [25].) (Neboť

+

Speciálně, je-li u ∈ W01,2 (Ω), pak platí nerovnosti výše se stejnou konstantou, stačí použít větu o hustotě hladkých funkcí. V obecném případě se použije věta o prodloužení a místo normy gradientu se objeví celá W 1,2 -norma.

2.2. BOCHNEROVY PROSTORY

2.2

9

Bochnerovy prostory

Budou nás zajímat prostory funkcí u : I ⊂ R → X, kde X je Banachův prostor. Důkazy následujících tvrzení je možno nalézt např. v [11]. Definice 2.2.1. a) f : I → X se nazývá jednoduchá funkce, jestliže existují c1 . . . , ck ∈ X a O1 , . . . , Ok ⊂ I, Oi ∩ Oj = ∅ i 6= j, Oi měřitelné tak, že k P ci χOi (t). f (t) = i=1

b) f : I → X se nazývá silně měřitelná, existuje-li posloupnost jednoduchých funkcí fn tak, že lim kfn (t) − f (t)kX = 0 pro s.v. t ∈ I. n→∞

Lemma 2.2.1. Nechť f je silně měřitelná. Potom kf (·)kX : I → R je měřitelná v Lebesgueově smyslu. Definice 2.2.2. Funkce f : I → X je bochnerovsky integrovatelná, jestliže exis∞ tuje posloupnost {fn }n=1 jednoduchých funkcí tak, že • lim kfn (t) − f (t)kX = 0 pro s.v. t ∈ I (tj. f je silně měřitelná), n→∞

• lim

n→∞

R I

kfn (·) − f (·)kX dt = 0.

Je-li J ⊆ I a f je bochnerovsky integrovatelná přes I, pak Z

f dt = lim

n→∞

Z

χJ (t)fn (t) dt = lim

n→∞

I

J

kn X i=1

cni |Oin ∩ J|,

kde fn splňuje předpoklady uvedené výše. Věta 2.2.1 (Bochner). Silně měřitelná funkce f : I → X je bochnerovsky integrovatelná ⇐⇒ kf (·)kX má konečný Lebesgueův integrál přes I.

Důsledek 2.2.1. Je-li f ∈ C I; X , pak je bochnerovsky integrovatelná ⇐⇒ kf (·)kX má konečný Lebesgueův integrál přes I. Lemma 2.2.2. Je-li f bochnerovsky integrovatelná přes I, pak R R a) k f dtkX ≤ kf kX dt, I

b)

I

lim

R

|J|→0+ , J⊂I J

f dt = 0 ∈ X (nulový prvek).

Poznámka. Z definice plyne, že pro η ∈ X ∗ , ϕ bochnerovsky integrovatelná přes I platí Z D Z E η, ϕ(t)dt ∗ = hη, ϕ(t)iX ∗ ,X dt. X ,X

I

I


10

2.2.1

Prostory Lp (I; X)

Definice 2.2.3. Nechť X je Banachův prostor, 1 ≤ p ≤ ∞, I ⊂ R. Potom Lp (I; X) je množina všech silně měřitelných f : I → X takových, že a) 1R ≤ p < ∞ ||f (t)||pX dt < ∞,, I

b) p = ∞ ess sup kf (t)kX < ∞. I

Věta 2.2.2. Prostory Lp (I; X) jsou lineární prostory. Pokud položíme f1 = f2 jestliže f1 (t) = f2 (t) pro s.v. t ∈ I (ve smyslu prostoru X), pak Lp (I; X) jsou Banachovy prostory s normou Z 1/p kf kLp (I;X) = kf (t)kpX dt , 1 ≤ p < ∞, I

kf kL∞ (I;X) = ess sup kf (·)kX , I

p = ∞.

Poznamenejme, že je-li I omezený interval, pak • Lp (I; X) ֒→ Lq (I; X), 1 ≤ q ≤ p, R R 1 • k f (t) dtkX ≤ kf (t)kX dt ≤ kf kLp (I;X) |I|1− p I

I

kf (·)kX ∈ L1 (I) ⇒ f je bochnerovsky integrovatelná.

Věta 2.2.3. Nechť X je reflexivní Banachův prostor, X ∗ jeho duál, 1 ≤ p < ∞. Potom každý spojitý lineární funkcionál na Lp (I; X) lze reprezentovat jako Z ′ hΦ, f i(Lp (I;X))∗ ,Lp (I;X) = hϕ(t), f (t)iX ∗ ,X dt, f ∈ Lp (I; X), ϕ ∈ Lp (I; X ∗ ). I

Je-li 1 < p < ∞, X reflexivní Banachův prostor, potom Lp (I; X) je reflexivní Banachův prostor. Mějme I = (0, T ), T < ∞ a položme pro f ∈ Lp (I; X), f prodloužené nulou vně I. Nechť ω je standardní regularizační jádro. Označme Z 1 t−s fh (t) = f (s) ds. ω h h R

Potom fh ∈ C ∞ ([0, T ] ; X) .

Jestliže f ∈ Lp (I; X) pro 1 ≤ p < ∞, pak

fh −→ f v Lp (0, T ; X), a pro libovolné 1 ≤ p ≤ ∞ kfh kLp (0,T ;X) ≤ kf kLp (0,T ;X) . Jako důsledek dostáváme


11

Věta 2.2.4. Nechť 1 ≤ p < ∞, X separabilní Banachův prostor. Potom též Lp (I; X) je separabilní Banachův prostor. Důkaz. Je analogický situaci, kdy X = R, a je ponechán na rozmyšlení čtenáři. Speciálně, pro 1 ≤ p < ∞ jsou v Lp (0, T ; X) husté funkce z C0∞ ((0, T ) ; X) .

2.2.2

Prostory s časovou derivací

Nyní se pokusme definovat časovou derivaci. Situace je analogická jako u slabé derivace funkcí z Lp (Ω). Definice 2.2.4. Nechť u ∈ L1loc (0, T ; X), g ∈ L1loc (0, T ; X). Potom g = u′ (= ∂u ∂t ), jestliže ZT 0

′

u(t)ϕ (t) dt = −

ZT

g(t)ϕ(t) dt

∀ϕ ∈ D(0, T ).

0

Lemma 2.2.3. Nechť X je Banachův prostor, X ∗ jeho duál. Nechť u, g ∈ L1 (0, T ; X). Potom následující tvrzení jsou ekvivalentní: u(t) = ξ +

Zt

pro s.v. t ∈ [0, T ] , ξ ∈ X,

(2.3)

ZT

g(t)ϕ(t)dt,

(2.4)

d hη, uiX ∗ ,X = hη, giX ∗ ,X v D′ (0, T ). dt

(2.5)

g(s) ds,

0

∀ϕ ∈ D(0, T ) : ∀η ∈ X ∗ :

ZT 0

′

u(t)ϕ (t) dt = −

0

Je-li (2.3)–(2.5) splněno, pak u = u e s.v. na [0, T ], přičemž u e ∈ C ([0, T ] ; X).

Důkaz. Rt Nejprve poznamenejme, že zobrazení t 7→ 0 g(s)ds je absolutně spojité na [0, T ] s hodnotami v X. Proto: (2.3) ⇒ (2.4): násobme (2.3) ϕ′ (t) ∈ D(0, T ) a výsledek plyne integrací per partes. (2.3) ⇒ (2.5): nejprve aplikujme na (2.3) η ∈ X ∗ a pak stejně jako výše. (2.5) ⇒ (2.4): víme, že ∀ϕ ∈ D(0, T ) ZT 0

′

hη, uiX ∗ ,X ϕ dt = −

ZT 0

hη, giX ∗ ,X ϕ dt,

η ∈ X ∗ . Protože η nezávisí na t, díky linearitě integrálu ZT D ZT E ′ η, uϕ dt + gϕ dt

X ∗ ,X

0

0

= 0 ∀η ∈ X ∗ ,


12

což je (2.4). (2.4) ⇒ (2.3): můžeme bez újmy na obecnosti předpokládat, že g = 0. Položme Rt totiž u0 (t) = g(s) ds a v = u(t) − u0 (t). Zřejmě u0 ∈ AC ([0, T ]; X), u0 ′ = g 0

s.v. na I. Tedy nechť

ZT

vϕ′ dt = 0

0

∀ϕ ∈ D(0, T ).

Dokažme, že potom v = const ∈ X. Každou funkci ϕ ∈ D(0, T ) lze psát jako ′

ϕ = λϕ0 + ψ ,

λ=

ZT

ϕ(s) ds,

0

kde ϕ0 ∈ D(0, T ) je pevná funkce, pro níž ZT

ϕ0 ds = 1

0

a ψ ∈ D(0, T ) je primitivní funkce k ϕ − λϕ0 taková, že ψ(0) = 0. Máme tedy ZT 0

(v(t) − ξ) ϕ(t) dt = 0 ∀ϕ ∈ D(0, T ), ξ =

ZT

v(s)ϕ0 (s) ds.

0

Nyní standardní regularizací v čase plyne, že v(t) − ξ = 0 s.v. na (0, T ). W01,2 (Ω)) ∗

2

Uvažujme dva Hilbertovy prostory, V (např. a H (např. L (Ω)). Pomocí Rieszovy věty proveďme ztotožnění H = H . Potom nechť ֒→ H = H ∗ hustě ֒→ V ∗ V hustě

(2.6)

(husté vnoření duálů dokážeme později, viz Tvrzeníčko 2.2.1). Uvažujme naše prostory V = W01,2 (Ω) a H = L2 (Ω). Vnoření prostoru V do H reprezentuje operátor identity I : W01,2 (Ω) → L2 (Ω). Nyní se podívejme na ztotožnění ∗ R H a H ∗ . K libovolnému Φ ∈ L2 (Ω) ∃!g ∈ L2 (Ω): hΦg , ϕiH ∗ ,H = gϕ dx, Ω

kΦk(L2 (Ω))∗ = kgkL2 (Ω) . Tento funkcionál patří do (W01,2 (Ω))∗ ve smyslu hΦg , ψi(W 1,2 (Ω))∗ ,W 1,2 (Ω) = 0

0

Z

gψ dx ∀ψ ∈ W01,2 (Ω).

Ω

Proto pro g ∈ W01,2 (Ω) hg, ψi(W 1,2 (Ω))∗ ,W 1,2 (Ω) = hΦg , ψi(W 1,2 (Ω))∗ ,W 1,2 (Ω) = 0

0

0

0

Z

Ω

V obecném případě máme pro u ∈ V ֒→ H (Iu, v)H = hΦIu , viH ∗ ,H ,

gψ dx ∀ψ ∈ W01,2 (Ω).


13

kde I: V → H je operátor identity reprezentující vnoření a Φ(·) hraje jako výše roli zobrazení z Rieszovy věty o reprezentaci. Potom def

hu, viV ∗ ,V = hΦIu , IviH ∗ ,H , ∀v ∈ V. V tomto smyslu chápeme, že V ֒→ V ∗ . Vše projde analogicky i pro případ, kdy V je pouze reflexivní Banachův prostor. Poznámka. V terminologii prostorů V a H lze definovat časovou derivaci funkce u ∈ Lp (0, T ; V ) ležící v prostoru Lq (0, T ; V ∗ ) tak, že platí Z T Z T (u, v)H ψ ′ dt ∀v ∈ V, ∀ψ ∈ C0∞ (0, T ). hu′ , viV ∗ ,V ψdt = − 0

0

′

Navíc, jsou-li u, v ∈ Lp (0, T ; V ), u′ , v ′ ∈ Lp (0, T ; V ∗ ) a ψ ∈ C0∞ (0, T ), 2 ≤ p < ∞, pak Z T Z T hu′ , viV ∗ ,V + hv ′ , uiV ∗ ,V ψdt = − (u, v)H ψ ′ dt. 0

0

Důkaz je analogický lemmatu níže.

Lemma 2.2.4. Nechť V je reflexivní Banachův prostor, H je Hilbertův prostor, ֒→ V ∗ . Nechť ֒→ H = H ∗ hustě V ∗ a H ∗ jsou příslušné duální prostory. Nechť V hustě ′

u ∈ Lp (0, T ; V ), u′ ∈ Lp (0, T ; V ∗ ), 1 < p < ∞. Potom je u rovno s.v. na (0, T ) spojité funkci z [0, T ] do H. Navíc d 2 kukH = 2 hu′ , uiV ∗ ,V v D′ (0, T ). dt

(2.7)

Důkaz. Důkaz provedeme ve třech krocích. Krok 1. Dokažme platnost rovnosti (2.7). Z lemmatu 2.2.3 víme, že u ∈ C ([0, T ] ; V ∗ ), neboť V ֒→ V ∗ , tj. u, u′ ∈ L1 (0, T ; V ∗ ). Dále 2

kukH = (u, u)H = hu, uiH ∗ ,H = h

u |{z}

,

u |{z}

∈L∞ (0,T ;V ∗ ) ∈Lp (0,T ;V )

iV ∗ ,V ∈ L1 (0, T ),

tj. u ∈ L2 (0, T ; H). Nyní nechť um je regularizace u ˜ (˜ u = u na [0, T ], jinak u ˜ = 0 ∈ V ), um ∈ C ∞ ([0, T ] ; V ), um u′m um Tedy

−→ u v Lp (0, T ; V ), ′

−→ u v Lp (0, T ; V ∗ ), −→ u v L2 (0, T ; H).

d 2 kum kH = 2 (u′m , um )H = 2 hu′m , um iV ∗ ,V dt

∀m ∈ N,

tj. −

ZT 0

2 kum kH

′

ϕ dt = 2

ZT 0

hu′m , um iV ∗ ,V ϕ dt ∀ϕ ∈ D(0, T ) | {z } ∈L1 (0,T )


14

a tedy limitním přechodem m → ∞ −

ZT 0

2 kukH

′

ϕ dt = 2

ZT 0

hu′ , uiV ∗ ,V ϕ dt ∀ϕ ∈ D(0, T ),

což je rovnost (2.7), kde jsme použili, že funkce: t 7→ hu′ , uiV ∗ ,V (t) ∈ L1 (0, T ), ′ neboť díky tomu, že u′ ∈ Lp (0, T ; V ∗ ) a u ∈ Lp (0, T ; V ), ZT 0

hu′ , uiV ∗ ,V dt ≤

ZT 0

ku′ kV ∗ kukV dt < +∞;

tedy u ∈ L∞ (0, T ; H). Navíc u ∈ C ([0, T ] ; V ∗ ) (po změně na množině míry 0) a kuk2H ∈ C[0, T ]. Krok 2. Platí: Lemma 2.2.5. Nechť X, Y jsou Banachovy prostory, X je reflexivní a platí ֒→ Y . Nechť ϕ ∈ L∞ (0, T ; X) a současně ϕ ∈ C ([0, T ] ; Yw ). Potom ϕ ∈ X hustě C ([0, T ] ; Xw ). Důkaz lemmatu 2.2.5 uvedeme níže. Jen připomenutí: ϕ

∈

C ([0, T ] ; Y ) ⇐⇒ lim kϕ(t) − ϕ(t0 )kY = 0 ∀t0 ∈ [0, T ],

ϕ

∈

C ([0, T ] ; Yw ) ⇐⇒ lim hη, ϕ(t)i − hη, ϕ(t0 )i

=

lim hη, ϕ(t) − ϕ(t0 )i = 0 ∀η ∈ Y ∗ , ∀t0 ∈ [0, T ].

t→t0

t→t0

t→t0

Zřejmě ϕ ∈ C ([0, T ] ; Y ) ⇒ ϕ ∈ C ([0, T ] ; Yw ), obrácená implikace platí jen pro Y konečně dimenzionální. Proto máme, že u ∈ C([0, T ]; V ∗ ), což implikuje u ∈ C([0, T ]; Vw∗ ), a proto díky lemmatu 2.2.5 a ztotožnění H = H ∗ víme, že u ∈ C ([0, T ] ; Hw ). Krok 3. Dokažme nyní, že u ∈ C ([0, T ] ; H). Nechť t0 ∈ I. Počítejme 2

2

2

ku(t) − u(t0 )kH = ku(t)kH − 2 (u(t), u(t0 ))H + ku(t0 )kH . Tedy, díky tomu, že ku(·)k2H ∈ C[0, T ] a u(t) ⇀ u(t0 ) pro t → t0 , 2

2

lim ku(t) − u(t0 )kH

t→t0

= lim ku(t)kH − limt→t0 t→t0 | {z } →ku(t0 )k2H

=

2 ku(t0 )kH

−

2 (u(t), u(t0 ))H {z } |

2

+ ku(t0 )kH

→2(u(t0 ),u(t0 ))H díky kroku 2 2 2 2 ku(t0 )kH + ku(t0 )kH = 0.

Zbývá dokázat lemma 2.2.5. Uvědomme si nejprve, že ֒→ Y . Tvrzeníčko 2.2.1. Nechť X je reflexivní Banachův prostor. Nechť X hustě ֒→ X ∗ . Potom Y ∗ hustě


15

Důkaz. Označme i : X −→ Y zobrazení realizující vnoření X ֒→ Y , tj. spojité prosté zobrazení z X do Y , definované na celém X. Dle předpokladu dále víme, že i(X) je husté v Y . Definujme i∗ : Y ∗ −→ X ∗ tak, že hi∗ (y ∗ ), xiX ∗ ,X := hy ∗ , i(x)iY ∗ ,Y . Ukažme, že i∗ realizuje vnoření Y ∗ do X ∗ , tj. je prosté spojité zobrazení definované na celém Y ∗ , takové, že i∗ (Y ∗ ) je husté v X ∗ . Nechť i∗ (y ∗ ) = 0, tj. hy ∗ , i(x)iY ∗ ,Y = 0 pro všechna x ∈ X. Protože i(X) je husté v Y , je nutně y ∗ = 0. Nyní, nechť X je reflexivní Banachův prostor. Předpokládejme, že Y ∗ 6= X ∗ . Potom ∃ x∗∗ ∈ X ∗∗ : ∀ y ∗ ∈ Y ∗ je hx∗∗ , i∗ (y ∗ )iX ∗∗ ,X ∗ = 0, ale x∗∗ 6= 0. Díky reflexivitě existuje x ∈ X: x∗∗ = J(x) (J(x) je kanonické zobrazení) tak, že hi∗ (y ∗ ), xiX ∗ ,X = 0 ∀y ∗ ∈ Y ∗ hy ∗ , i(x)iY ∗ ,Y = 0 ∀y ∗ ∈ Y ∗

=⇒ =⇒

i(x) = 0,

tedy díky prostotě zobrazení i je x = 0, což je spor s tím, že Y ∗ 6= X ∗ .

Nyní můžeme přistoupit k důkazu lemmatu 2.2.5, které má samostatný význam. ֒→ Y , je Y ∗ hustě ֒→ X ∗ . Dle předpokladu Důkaz (lemmatu 2.2.5). Protože X hustě víme, že −→0 hη, ϕ(t0 )iY ∗ ,Y ∀η ∈ Y ∗ . hη, ϕ(t)iY ∗ ,Y t→t Cílem je ukázat, že −→0 hµ, ϕ(t0 )iX ∗ ,X ∀µ ∈ X ∗ . hµ, ϕ(t)iX ∗ ,X t→t Definujme ϕ(t) e ∈ X tak, že

hJ(ϕ(t)), e µiX ∗∗ ,X ∗

1 = lim inf h→0 h t+h∈I

t+h Z hµ, ϕ(s)iX ∗ ,X ds. t

Zřejmě pravá stana je omezena kϕkL∞ (0,T ;X) kµkX ∗ a tudíž J(ϕ(t)) e ∈ X ∗∗ . Protože X je reflexivní, je ϕ(t) e ∈ X jednoznačně definovaný. Navíc kϕ(t)k e X =

sup

kµkX ∗ ≤1

hµ, ϕ(t)i ˜ ≤

sup

kµkX ∗ ≤1

kϕkL∞ (0,T ;X) kµkX ∗ ≤ kϕkL∞ (0,T ;X) .

֒→ X ∗ ) vidíme, že ϕ(t) e = ϕ(t) na [0, T ] . Platí tedy Speciálně pro µ ∈ Y ∗ ( hustě kϕ(t)kX ≤ kϕkL∞ (0,T ;X) ∀t ∈ [0, T ] . Nyní, protože Y ∗ je husté v X ∗ , ∀µ ∈ X ∗ a ∀ε > 0 ∃µε ∈ Y ∗ : kµε − µkX ∗ < ε. Zvolme pevně ε > 0. Tedy hµ, ϕ(t) − ϕ(t0 )iX ∗ ,X = hµ − µε˜, ϕ(t) − ϕ(t0 )iX ∗ ,X + hµε˜, ϕ(t) − ϕ(t0 )iX ∗ ,X .


16

Nyní, pro ε˜ vhodně zvolené, je první člen | hµ − µε˜, ϕ(t) − ϕ(t0 )iX ∗ ,X |

≤ kµ − µε˜kX ∗ kϕ(t) − ϕ(t0 )kX ≤ 2 kϕkL∞ (0,T ;X) ε˜ < Druhý člen je malý pro t dosti blízko t0 , neboť µε˜ ∈ Y ∗ a | hµε˜, ϕ(t) − ϕ(t0 )iX ∗ ,X | = | hµε˜, ϕ(t) − ϕ(t0 )iY ∗ ,Y | <

ε . 2 ε . 2

Tedy k libovolnému číslu ε > 0 ∃δ > 0 ∀t ∈ Uδ (t0 ): | hµ, ϕ(t) − ϕ(t0 )iX ∗ ,X | < ε. Důležité bude pro nás kompaktní vnoření z prostoru α0 ,α1 = {v ∈ Lα0 (0, T ; X0 ); v ′ ∈ Lα1 (0, T ; X1 )} W = WX 0 ,X1

do vhodného prostoru Lα (0, T ; X). Položme kvkW = kvkLα0 (0,T ;X0 ) + kv ′ kLα1 (0,T ;X1 ) . Platí Věta 2.2.5 (Aubin; Lions). Nechť X0 , X1 , X jsou tři Banachovy prostory splňující X0 ֒→֒→ X ֒→ X1 . Nechť X0 , X1 jsou navíc prostory reflexivní. Dále nechť 1 < αi < ∞, i = 0, 1. Potom pro 0 < T < ∞ je W ֒→֒→ Lα0 (0, T ; X). Poznámka. Je možno brát α1 = 1, pak je ovšem důkaz komplikovanější a my nepotřebujeme ani komplikace, ani sílu tohoto tvrzení. Nejprve dokažme: Lemma 2.2.6. Nechť X0 , X1 , X jsou Banachovy prostory splňující: X0 ֒→֒→ X ֒→ X1 . Potom ∀η > 0 ∃cη tak, že ∀v ∈ X0 kvkX ≤ η kvkX0 + cη kvkX1 .

(2.8)

Důkaz. Lemma budeme dokazovat sporem. Nechť (2.8) neplatí, tj. ∃η > 0: ∀m ∈ N ∃wm ∈ X0 , že kwm kX > η kwm kX0 + m kwm kX1 . Položme vm = tedy

wm , kwm kX0

kvm kX > η + m kvm kX1 .

Protože kvm kX0 = 1, vm je omezená v X (díky vnoření) a tedy kvm kX1 −→ 0 pro m −→ ∞. Dále existuje podposloupnost vmk silně konvergentní v X (X0 ֒→֒→ X) a tedy vmk → 0 v X. Ale kvmk kX > η > 0, což dává spor.


17

Důkaz (Aubin, Lions). Důkaz provedeme ve čtyřech krocích. Krok 1. Nechť um je omezená posloupnost prvků z W. Chceme dokázat, že existuje umk , silně konvergentní podposloupnost v Lα0 (0, T ; X). Protože X0 , X1 jsou reflexivní, 1 < αi < ∞, je i W reflexivní a tudíž existuje u ∈ W tak, že umk ⇀ u ve W, tedy u mk

⇀

u v Lα0 (0, T ; X0 ),

u′mk

⇀

u′ v Lα1 (0, T ; X1 ).

Je třeba dokázat, že vmk = umk − u → 0 v Lα0 (0, T ; X). Krok 2. Stačí dokázat, že vmk → 0 v Lα0 (0, T ; X1 ). Pak totiž kvmk kLα0 (0,T ;X) ≤ η kvmk kLα0 (0,T ;X0 ) + cη kvmk kLα0 (0,T ;X1 ) , a díky omezenosti v mk ve W máme kvmk kLα0 (0,T ;X) ≤ Cη + cη kvmk kLα0 (0,T ;X1 ) . K libovolnému ε > 0 existuje η > 0: Cη < cη kv mk kLα0 (0,T ;X1 ) < 2ε . Proto

ε 2

a existuje n0 : ∀mk > n0 je

kvmk kLα0 (0,T ;X) < ε a ε > 0 bylo libovolné, tvrzení je proto dokázáno. Krok 3. Ukažme, že W ֒→ C ([0, T ] ; X1 ) . Víme, že každý prvek z W patří do C ([0, T ] ; X1 ) díky lemmatu 2.2.3. Spojitost je zřejmá, neboť díky lemmatu 2.2.3 víme, že Zt u(t) = u(0) + u′ (s) ds 0

a tedy ku(t)kX1 ≤ ku(0)kX1 + ku′ kL1 (0,T ;X1 ) . Dále, integrováním rovnosti výše přes (0, T ) T ku(0)kX1 ≤ kukL1 (0,T ;X1 ) + T ku′ kL1 (0,T ;X1 ) ≤ C kukL1 (0,T ;X0 ) + T ku′ kL1 (0,T ;X1 )

=⇒ max ku(t)kX1 ≤ C kukW . t∈[0,T ]

Krok 4. Víme, že kvmk (t)kX1 ≤ C ∀t ∈ [0, T ] a tedy díky Lebesgueově větě o limitním přechodu nám stačí dokázat, že vmk (t) −→ 0 silně v X1 . Zvolme např. t = 0. Potom vmk (0) = vmk (t) −

Zt 0

′ vm (τ ) dτ. k


18

Integrujme tuto rovnost od nuly do s: vmk (0)

=

=

1n s 1 s

Zs 0

Zs 0

vmk (t) dt −

vmk (t) dt −

Zvolme ε > 0. Zjevně kbmk kX1 ≤

1 s

Zs Zt 0

0

Zs 0

o ′ vm (τ ) dτ dt k

′ (s − τ )vm (τ ) dτ := amk + bmk . k

Rs ′

vm (τ ) k X

1

0

dτ ≤

ε 2

pro s vhodně malé

(α1 > 1!). Víme, že vmk ⇀ 0 v Lα0 (0, T ; X0 ) a tedy amk = v X1 . Protože s je pevné, je pro n0 dosti velké kamk kX1 <

2.3 2.3.1

ε 2

1 s

Rs 0

vmk (t) dt → 0

∀mk > n0 .

Prostory s nulovou divergencí Temamovy prostory

Definujme Definice 2.3.1. Nechť Ω ⊂ RN je omezená oblast. Položme pro 1 ≤ p < ∞ E p (Ω) = {g ∈ (Lp (Ω))N ; div g ∈ Lp (Ω)},

kgkE p (Ω) = kgkp + k div gkp , E0p (Ω) = (C0∞ (Ω))N

k · kE p (Ω)

.

Zřejmě jsou oba prostory Banachovými prostory, které jsou pro p > 1 reflexivní. Cílem bude dokázat, že v prostoru E p (Ω) jsou husté funkce hladké až do hranice. K tomu budeme potřebovat pojem hvězdicovité oblasti. Definice 2.3.2. Oblast Ω ⊂ RN se nazývá hvězdicovitá vzhledem k bodu x0 ∈ Ω, jestliže existuje spojitá kladná funkce h: ∂B1 → R taková, že n x − x o 0 Ω = x ∈ RN ; |x − x0 | < h . |x − x0 | Oblast Ω ⊂ RN se nazývá hvězdicovitá vzhledem ke kouli B ⊂ Ω, je-li hvězdicovitá vzhledem ke všem bodům x ∈ B. Oblasti s lipschitzovskou hranicí lze rozložit na hvězdicovité oblasti. Platí (viz [6]): Lemma 2.3.1. Nechť Ω ⊂ RN je omezená oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom existuje třída otevřených oblastí G = {G1 , G2 , . . . , Gr , Gr+1 , . . . , Gr+m }, takových, že Sr+m (i) Ω ⊂ i=1 Gi

r, m ∈ N

2.3. PROSTORY S NULOVOU DIVERGENCÍ (ii) ∂Ω ⊂

Sr

i=1

19

Gi

(iii) existuje třída koulí B = {B1 , B2 , . . . , Br+m }

takových, že každá oblast

Ωi = Ω ∩ Gi ,

i = 1, . . . , r + m

je hvězdicovitá vzhledem ke kouli Bi . R Nechť dále f ∈ C0∞ (Ω) a Ω f dx = 0. Potom existuje třída funkcí F = {f1 , . . . , fr , fr+1 , . . . , fr+m }

takových, že R (i) fi ∈ C0∞ (Ωi ), Ωi fi dx = 0 Pr+m (ii) f (x) = i=1 fi (x)

(iii)

kfi kk,q,Ωi ≤ C(m, q, Ω1 , . . . , Ωr+m , Ω)kf kk,q,Ω ,

1 < q < ∞, k = 0, 1, . . . . Platí:

Věta 2.3.1. Nechť Ω ∈ C 0,1 , 1 ≤ p < ∞. Potom E p (Ω) = (C ∞ (Ω))N

k · kE p (Ω)

.

Důkaz. Nebudeme dělat, pouze naznačíme jeho ideu: a)

Ω = RN výsledek plyne přímo regularizací

b)

Ω = C 0,1 , omezená oblast použijeme lokální popis hranice a rozklad jednotky m [ Vi Ω⊂V ∪ i=1

na V – použijeme regularizaci na Vi – vhodnou translací a opětovným použitím rozkladu jednotky lze převést oblast Vi+ (tj. Vi ∩ Ω) na oblasti, které jsou hvězdicovité vzhledem k počátku, viz lemma 2.3.1 (zde se použije toho, že Ω ∈ C 0,1 !). Na hvězdicovité oblasti si nejprve funkci „vysunemeÿ ven pomocí x uλ (x) = u , λ>1 λ a tato vysunutá funkce se zregularizuje. Limitou λ → 1+ a h → 0+ (regularizační faktor) se ukáže, že uh → u v E p (Ω), uh ∈ (C ∞ (Ω))N , kde uh (x) = (uλn )hh . Přesný důkaz je možno nalézt např. v knize [26].


20

2.3.2

Sobolevovy prostory

Speciálně nás budou zajímat prostory typu n o 1,p W0,div (Ω) = u ∈ (W01,p (Ω))N ; div u = 0 , resp.

1,p W0,div (Ω) = {u ∈ (C0∞ (Ω))N ; div u = 0}

k · k1,p

.

Ukažme, že pro Ω ∈ C 0,1 jsou oba prostory totožné. To je založeno na následujícím výsledku Lemma 2.3.2 (Bogovskii, Solonnikov, Ladyženská, Borchers-Sohr aj.). Nechť Ω ∈ C 0,1 je omezená oblast v RN . Nechť f ∈ W0m,q (Ω), m ≥ 0, 1 < q < ∞, R f dx = 0. Potom ∃v ∈ (W0m+1,q (Ω))N , které je řešením

Ω

div v

= f v Ω,

v |∂Ω

= 0,

takové, že k∇vkm,q ≤ C kf km,q ,

kde C nezávisí na f. Speciálně, je-li f ∈ C0∞ (Ω), pak též v ∈ (C0∞ (Ω))N . Je-li f = div g, g ∈ E0q (Ω), pak také kvkq ≤ Ckgkq . Důkaz. Důkaz je uveden v appendixu k tomuto textu, viz Věta 4.2.1, popř. je ho možno nalézt i v [7] či [21]. 1,p 1,p (Ω). Lemma 2.3.3. Nechť Ω ∈ C 0,1 . Potom W0,div (Ω) = W0,div 1,p 1,p Důkaz. Zřejmě W0,div (Ω) ⊆ W0,div (Ω). Ukažme druhou inkluzi. Nechť u ∈ 1,p ∞ N −→ 0. Obecně W0,div (Ω). Nechť un ∈ (C0 (Ω)) jsou takové, že kun − uk1,p n→∞

p (Ω) div u = 0. Z lemmatu 2.3.2 plyne, máme ale div un 6= 0. Nicméně div un L−→ že úloha

div vn = div un , vn |∂Ω = 0, k∇vn kp ≤ C kdiv un kp

(2.9)

(a díky podmínce na hranici i kvn kp ≤ C(Ω) k∇vn kp ) má řešení (podmínka R R kompatibility 0 = div un dx = un · n dS je triviálně splněna) takové, že Ω

∂Ω

vn ∈ (C0∞ (Ω))N . Navíc, protože div un → 0 v Lp (Ω), je nutně pro nekonečně mnoho n ∈ N un 6= vn . Položme wn = un − vn . Potom a) div wn = div un − div vn = 0, b) kwn − uk1,p ≤ kun − uk1,p + kvn k1,p → 0,

c) wn ∈ (C0∞ (Ω))N , 1,p tj. u ∈ W0,div (Ω).

2.3. PROSTORY S NULOVOU DIVERGENCÍ

21

Poznámka. S jistou modifikací by výsledek prošel i např. pro Ω vnější oblast nebo Ω = RN , viz Appendix. Existují ale oblasti, kde rovnost prostorů nenastává, např. oblasti s více exity do nekonečna.

Rozklad funkcí z (L2 (Ω))N . Existence tlaku.

2.3.3

Budeme uvažovat prostory typu L20,div (Ω) = {u ∈ (C0∞ (Ω))N ; div u = 0}

k · k2

.

Cílem bude jednak charakterizovat tento prostor a jednak ukázat, že prostor (L2 (Ω))N = L20,div (Ω) ⊕ P, kde budeme doplněk P charakterizovat. 1

Nechť 1 < p < ∞. Označme W 1− p ,p (∂Ω) obor hodnot operátoru stop z 1 1,p W (Ω). Připomeňme, že náš prostor W 1− p ,p (∂Ω) – neceločíselná derivace – je něco jako interpolační prostor mezi Lp (∂Ω) a W 1,p (∂Ω), přesněji kuk

W

p1 Z Z |u(x) − u(y)|p . dS dS = kukLp (∂Ω) + x y |x − y|N +p−2

1− 1 ,p p (∂Ω)

∂Ω ∂Ω

− p1′

′

,p

Označme W (∂Ω) = (W ∞ 0,1 v ∈ C (Ω), Ω ∈ C . Potom Z

u · ∇v dx +

Ω

1 1− p ,p

Z

(∂Ω))∗ , p′ =

v div u dx =

Ω

Z

p p−1 .

N Nechť u ∈ C ∞ (Ω) ,

(u · n) v dS.

∂Ω

Protože Ω ∈ C 0,1 , normála n existuje s.v. na ∂Ω. Levá strana má smysl i pro ′ 1− 1 ,p′ u ∈ E p (Ω), v ∈ W 1,p (Ω)1 . Napravo je v ∈ W p′ (∂Ω); v jistém smyslu budeme moci tuto Stokesovu formuli rozšířit i pro tyto funkce. Věta 2.3.2. Nechť Ω ∈ C 0,1 , 1 < p < ∞. Potom existuje spojitý lineární 1 1− 1 ,p′ operátor γn z E p (Ω) do W − p ,p (∂Ω) = (W p′ (∂Ω))∗ takový, že γn u = u · n|∂Ω pro u ∈ (C ∞ (Ω))N . ′

Pro u ∈ E p (Ω), v ∈ W 1,p (Ω) platí Z

u · ∇v dx +

Ω

Z

v div u dx = hγn u, T vi

W

kde T v je stopa funkce v (T v ∈ W Důkaz. Nechť ϕ ∈ W položme

1− 1′ ,p′ − 1 ,p p p (∂Ω),W (∂Ω)

,

Ω

1− p1′ ,p′

1− p1′ ,p′

(∂Ω)). ′

(∂Ω), v ∈ W 1,p (Ω) tak, že ϕ = T v. Pro u ∈ E p (Ω)

Xu (ϕ) =

Z

(v div u + u · ∇v) dx.

Ω 1 Ve skutečnosti stačí mít div u ∈ (W 1,p (Ω))∗ , pokud nahradíme druhý integrál odpovídající dualitou. S touto modifikací pak zůstává výsledek věty 2.3.2 v platnosti.


22

Hodnota Xu (ϕ) nezávisí na v, ale pouze na její stopě T v = ϕ. Totiž, nechť ′ v1 , v2 ∈ W 1,p (Ω) jsou takové, že platí T v1 = T v2 = ϕ. Položme v = v1 − v2 . Ukažme, že Z (v div u + u · ∇v) dx = 0. Ω

′

′

Pro v ∈ W01,p (Ω) existuje vm ∈ C0∞ (Ω), že platí vm → v v W 1,p (Ω), pro u ∈ E p (Ω), existuje um ∈ (C ∞ (Ω))N , že platí um → u v E p (Ω). Zřejmě 0=

Z

Z

−→ (vm div um + um · ∇vm ) dx m→∞

Ω

(v div u + u · ∇v) dx.

Ω

Tedy díky inverzní větě o stopách máme pro vhodné v (můžeme brát libovolné v, tedy speciálně vezmeme to, které získáme z inverzní věty o stopách) Xu (ϕ) ≤ kukE p (Ω) kvkW 1,p′ (Ω) ≤ C0 kukE p (Ω) kϕk Pro pevné u ∈ E p (Ω) je Xu (·) ∈ (W 1 W − p ,p (∂Ω) tak, že Xu (ϕ) = hg, ϕi

W

1− p1′ ,p′

Zřejmě zobrazení: u 7→ g(u) je lineární, kgk

Xu (T v) =

div (vu) dx =

Ω

.

∀ϕ ∈ W

1− p1′ .p′

(∂Ω).

≤ C0 kukE p (Ω) . Zbývá N je g(u) = u · n |∂Ω . Nechť tedy u ∈ C ∞ (Ω) , W

Z

1− 1′ ,p′ p (∂Ω)

(∂Ω))∗ a tedy existuje g = g(u) ∈

1− 1′ ,p′ − 1 ,p p p (∂Ω) (∂Ω),W

dokázat, že pro u ∈ (C ∞ (Ω))N v ∈ C ∞ (Ω). Potom

W

Z

∂Ω

v u · n dS =

− 1 ,p p (∂Ω)

Z

(T v)u · n dS = hu · n, T vi .

∂Ω

1− 1 ,p′ 1− 1 ,p′ Protože T C ∞ (Ω) je hustý v W p′ (∂Ω) (neboť máme W p′ (∂Ω) = ′ ′ T W 1,p (Ω) a C ∞ (Ω) je husté v W 1,p (Ω)), platí rovnost Xu (ϕ) = hu · n, ϕi

Potom

1− 1′ ,p′ − 1 ,p p W p (∂Ω),W (∂Ω)

∀ϕ ∈ W

1− p1′ ,p′

(∂Ω).

N g(u) = u · n|∂Ω pro u ∈ C ∞ (Ω) .

Než se nám podaří charakterizovat L20,div (Ω), budeme potřebovat lemma o existenci tlaku. Platí následující N ∗ Lemma 2.3.4. Nechť Ω ∈ C 0,1 , 1 < q < ∞ a nechť G ∈ W01,q (Ω) N ′ (= W −1,q (Ω) ) je takový, že 1,q hG, ϕ i((W 1,q (Ω))N )∗ ,(W 1,q (Ω))N = hG, ϕ i = 0 ∀ϕ ∈ W0,div (Ω). 0

0

2.3. PROSTORY S NULOVOU DIVERGENCÍ

23

R ′ q ′ (Ω) = {u ∈ Lq (Ω); udx = 0} takové, že Potom ∃! p ∈ Lf Ω

hG, ϕ i =

Z

Ω

N ϕ ∈ W01,q (Ω) . p div ϕ dx ∀ϕ

K důkazu budeme potřebovat jedno lemma z funkcionální analýzy, viz např. [1, Theorème II.18]. Lemma 2.3.5. Nechť A: X → Y je spojitý lineární operátor, D(A) = X, A−1 existuje a je spojitý. Nechť X, Y jsou reflexivní Banachovy prostory. Potom ⊥ R (A∗ ) = (ker A) 2 = f ∈ X ∗ ; hf, ui = 0 ∀u ∈ ker A .

(W01,q (Ω))N

fq (Ω), Av = div v. Důkaz (lemmatu 2.3.4). Uvažujme A : →L Vezmeme speciální větev A−1 , tzv. „Bogovského operátorÿ, tj. řešící operátor úlohy div w w|∂Ω kwk1,q

=

div v

v Ω,

= 0, ≤ C kdiv vkq ,

viz lemma 2.3.2. Tento operátor je lineární a omezený, tedy spojitý. Víme proto, že ⊥ (ker A) = R (A∗ ) . Zřejmě

N ker A = u ∈ W01,q (Ω) ; div u = 0 ,

⊥ fq (Ω), je tedy G ∈ (ker A) = R (A∗ ) . Protože Y = L o n ′ Y ∗ = Lq (Ω)|R 3 .

Potom, vzhledem k hA∗ v, uiX ∗ ,X = hv, AuiY ∗ ,Y , platí hG, ϕ i =

Z

Ω

ϕ dx = p Aϕ |{z}

g q ′ (Ω) p∈L

Z

p div ϕ dx.

Ω

Nyní je vše přiraveno k charakterizaci L20,div (Ω): Věta 2.3.3. Nechť Ω ∈ C 0,1 . Potom o n N L20,div (Ω) = u ∈ L2 (Ω) ; div u = 0 v D′ (Ω); γn (u) = 0 ≡ L20,div (Ω)

2 tady

L20,div (Ω)

tzv. anihilátor

4

n o N = v ∈ L2 (Ω) ; v = ∇p, p ∈ W 1,2 (Ω) (≡ P ) .

g q ′ (Ω)) (a lze jej speciálně reprezentovat pomocí L ortogonální doplněk

3 faktorprostor 4 zde

⊥


24

N Důkaz. Krok 1. Nechť v ∈ P. Potom ∀w ∈ w ∈ (C0∞ (Ω)) ; div w = 0 Z

Z

v · w dx =

Ω

w · ∇p dx = −

Ω

Z

p div w dx = 0,

Ω

⊥ ⊥ tj. v ∈ L20,div (Ω) . Obráceně, nechť v ∈ L20,div (Ω) . Tedy Z

v · w dx = 0 ∀w ∈ L20,div (Ω),

Ω

k · k1,2 ⊂ L20,div (Ω). Díky lemmatu speciálně i ∀w ∈ w ∈ (C0∞ (Ω))N ; div w = 0 | {z } 1,2 (Ω) =W0,div

f2 (Ω), pro něž platí 2.3.4 tedy existuje p ∈ L Z Z v · w dx = − p div w dx ∀w ∈ (C0∞ (Ω))N . Ω

Ω

⊥ ⊂P a Odtud plyne, že v = ∇p v D′ (Ω) tj. p ∈ W 1,2 (Ω), tedy L20,div (Ω) ⊥ = P. dohromady L20,div (Ω) Krok 2. Nechť u ∈ L20,div (Ω). Potom existuje um ∈ (C0∞ (Ω))N , div um = 0: um → u v (L2 (Ω))N . Dále Z Z 0 = div um ϕ dx = − um · ∇ϕ dx ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), Ω

Ω

tedy pro m → ∞ 0=−

Z

u · ∇ϕ dx ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω),

Ω ′

a proto div u = 0 v D (Ω). Máme u ∈ E(Ω) a tedy (připomeňme, že um → u v E(Ω)) 0 = γn (um ) → γn (u) = 0 =⇒ u ∈ L20,div (Ω). Obráceně, nechť L20,div (Ω) ( L20,div (Ω). Nechť u ∈ H, kde H označuje ortogo-

nální doplněk L20,div (Ω) do L20,div (Ω) (oba prostory jsou uzavřené!). Tedy dle kroku 1 ∃p ∈ W 1,2 (Ω) tak, že u = ∇p. Potom ale div u = div(∇p) u · n |∂Ω

∆p = 0 v D′ (Ω), ∂p = 0 ve smyslu operátoru γn (u), = ∂n 1 γn (u) ∈ H − 2 (∂Ω) .

=

V prostoru W 1,2 (Ω) existuje řešení této úlohy, jednoznačné až na aditivní konstantu, toto řešení je p = const, tj. u = 0 a H = {0}. Tedy L20,div (Ω) = L20,div (Ω).

2.4. STOKESŮV PROBLÉM

2.4

25

Stokesův problém

Uvažujme problém: Hledáme u ∈ (C 2 (Ω))N ∩ (C(Ω))N , p ∈ C 1 (Ω): −∆u + ∇p = f v Ω, div u = 0 v Ω, = 0.

u |∂Ω

Pro slabou formulaci máme dvě možnosti: 1,2 a) u ∈ W0,div (Ω), p ∈ L2 (Ω), f ∈ (L2 (Ω))N (popřípadě f ∈ (W −1,2 (Ω))N ): Z

ϕ dx − ∇u : ∇ϕ

Ω

spolu s

Z

p div ϕ dx =

Ω

Ω

|

Ω

ϕ ∈ (C0∞ (Ω))N f · ϕ dx ∀ϕ {z

}

ϕi popř.hf,ϕ

ϕ ∈ (W01,2 (Ω))N , popř. ∀ϕ Z

Z

u · ∇ψ dx = 0

∀ψ ∈ W 1,2 (Ω).

1,2 (Ω), f ∈ (L2 (Ω))N (popřípadě f ∈ (W −1,2 (Ω))N ): b) u ∈ W0,div

Z

ϕ dx = ∇u : ∇ϕ

Ω

Z

ϕ ∈ V = {w ∈ (C0∞ (Ω))N ; div w = 0} f · ϕ dx ∀ϕ

Ω

{z 1,2 ϕ ∈ W0,div popř. ∀ϕ (Ω) |

}

ϕi popř.hf,ϕ

Otázkou je, zda formulace b) nějak nezničí informaci o tlaku. Ukazuje se, že ne. Máme totiž z lemmatu 2.3.4 pro hG, ϕ i =

Z

ϕ − f · ϕ ) dx, (∇u : ∇ϕ

Ω

že • G ∈ (W −1,2 (Ω))N , 1,2 ϕ ∈ W0,div • hG, ϕ i = 0 ∀ϕ (Ω),

a tedy ∃!p ∈ L2 (Ω), Z

Ω

R

p dx = 0:

Ω

ϕ − f · ϕ ) dx = (∇u : ∇ϕ

Z

ϕ ∈ W01,2 (Ω), p div ϕ dx ∀ϕ

Ω

což je přesně to, co je uvedeno výše. Proto je výhodnější formulace b), neboť


26

Věta 2.4.1. Nechť f ∈ (W −1,2 (Ω))N . Potom existuje právě jedno slabé řešení Stokesova problému ve smyslu b) výše. Navíc k∇uk2 kpk2

≤ C kfk−1,2 , ≤ C kfk−1,2 ,

kde tlak p je zkontruován výše tak, aby byla splněna slabá formulace a). Důkaz. Existence jediného u, včetně odhadu, plyne z Lax–Milgramova lemmatu, existence tlaku z lemmatu 2.3.4. Navíc, pokud použijeme ve slabé formulaci ve tvaru b) výše (uvědomme si, že to již teď můžeme) jako testovací funkci ϕ , řešení úlohy div ϕ ϕ |∂Ω máme Z

2

p dx = hf, ϕ i +

Ω

Z

Ω

= p, =

0,

ϕ dx =⇒ kpk2 ≤ C kfk−1,2 + k∇uk2 . ∇u : ∇ϕ

∗ 1,2 Poznámka. Pokud bereme f ∈ W0,div (Ω) , pak existence slabého řešení u projde, ale není jasná existence tlaku – proto pozor! Obecně pak (důkaz viz kniha [6]): Věta 2.4.2. Nechť m ≥ −1, 1 < q < ∞. Nechť f ∈ (W m,q (Ω))N , Ω ∈ R 1 C max{m+2,2} , u∗ ∈ (W m+2− q ,q (∂Ω))N , ∂Ω u∗ · n dS = 0. Potom existuje právě jedno slabé řešení Stokesova problému s nehomogenní okrajovou podmínkou takové, že u ∈ (W m+2,q (Ω))N , Z m+1,q p ∈ W (Ω), p dx = 0 Ω

(2.10) a ∃C = C(Ω, N, q), že kukm+2,q + kpkm+1,q ≤ C(kfkm,q + ku∗ km+2− 1 ,q,∂Ω ). q

Poznámka. Slabým řešením nazýváme u ∈ (W 1,q (Ω))N , u−u∗ ∈ (W01,q (Ω))N Z

Ω

ϕ dx = hf, ϕ i ∀ϕ ϕ ∈ V = w ∈ (C0∞ (Ω))N ; div w = 0 . ∇u : ∇ϕ

2.4. STOKESŮV PROBLÉM

27

Vraťme se k situaci q = 2. Označme Λ řešící operátor Stokesova problému s homogenní okrajovou podmínkou, tedy 1,2 Λ : L20,div (Ω) −→ W0,div (Ω) ⊂ (W01,2 (Ω))N ,

tak, že Λf = u, kde u je slabé řešení Stokesova problému. (Uvědomme si, že obecné f ∈ (L2 (Ω))N můžeme rozložit následovně: f = f1 + ∇π, kde f1 ∈ L20,div (Ω) a π můžeme přidat do tlaku, a proto uvažovat pravé strany rovnou z L20,div (Ω) je v pořádku). Lemma 2.4.1. Operátor Λ je jakožto operátor z L20,div (Ω) do L20,div (Ω) samoadjungovaný a kompaktní. Důkaz. Operátor je zřejmě lineární, omezený, D(Λ) = L20,div (Ω), dále R(Λ) ⊂ 1,2 W0,div (Ω) ֒→֒→ L20,div (Ω) a proto je kompaktní. Nechť u, v ∈ L20,div (Ω). Potom pro Λu = f, Λv = g platí Z

Ω

Λu · v dx =

Z

f · v dx =

Ω

Z

∇f : ∇g dx =

Ω

Z

u · g dx =

Ω

Z

u · Λv dx.

Ω

Proto máme ∀u, v ∈ L20,div (Ω) = D(Λ), že (Λu, v)L20,div (Ω) = (u, Λv)L20,div (Ω) , tj. D(Λ) ⊆ D(Λ∗ ). Potřebujeme ukázat, že D(Λ∗ ) ⊆ D(Λ). Nechť u ∈ D(Λ∗ ). Potom existuje f = Λ∗ u ∈ L20,div (Ω) tak, že ∀v ∈ D(Λ) (Λv, u)L20,div (Ω) = (v, f)L20,div (Ω) . e ∈ D(Λ) tak, že f = Λe Protože Λ je bijekce na L20,div (Ω), existuje u u. Ukažme, e = u. že u e ∈ D(Λ) tak, že Λw e = w. Máme Nechť w ∈ L20,div (Ω) je libovolné a nechť w e )L20,div (Ω) = (Λw, e u)L20,div (Ω) − (Λw, e u e )L20,div (Ω) . (w, u − u

Díky definici adjungovaného operátoru

e u)L20,div (Ω) = (w, e Λ∗ u)L20,div (Ω) = (w, e f)L20,div (Ω) , (Λw,

e, w e ∈ D(Λ), a protože u

e f)L20,div (Ω) . e Λe e u e )L20,div (Ω) = (w, u)L20,div (Ω) = (w, (Λw,

Proto pro všechna w ∈ L20,div (Ω)

e )L20,div (Ω) = 0, (w, u − u

e , speciálně tedy u ∈ D(Λ). Tedy Λ je samoadjungovaný. což dává u = u


28

Poznámka. Vlastní funkce operátoru Λ tvoří ortonormální bázi na prostoru L20,div (Ω), 1 j w j ∈ N , λj → ∞ pro j → ∞. Λwj = λj Zřejmě

Z

j

∇w : ∇v dx = λj

Ω

a

Z

Ω

j ∞

Z

1,2 wj · v dx ∀v ∈ W0,div (Ω)

Ω

j

i

w · w dx = δij ⇒

Z

∇wj : ∇wi dx = λj δij ,

Ω

1,2 w j=1 je ortogonální systém ve W0,div (Ω). Zřejmě je též bází ve R R 1,2 n n ϕ dx = 0 ∀n ⇒ w · ϕ = 0 ∀n ⇒ ϕ = 0). W0,div (Ω) ( ∇w : ∇ϕ

a tudíž

Ω

Ω

Dále, díky regularitě řešení Stokesova problému, je-li Ω ∈ C m+2 , pak wj ∈ N m+2,2 (W (Ω))N , m ≥ 0 (a zřejmě wj ∈ (C ∞ (Ω)) ).

Kapitola 3

Slabé řešení evolučních Navier–Stokesových rovnic 3.1

Existence slabého řešení

Připomeňme klasickou formulaci ∂u + u · ∇u − ν∆u + ∇p = f v (0, T ) × Ω, ∂t div u = 0 v (0, T ) × Ω, = 0 na (0, T ), = u0 (x) v Ω.

u |∂Ω u(0, x)

Slabá formulace se získá tak, že násobíme rovnici ϕ ∈ (C0∞ (Ω))N , div ϕ = 0 a integrujeme „per partesÿ: Z

Ω

∂u · ϕ dx + ∂t

Z

(u · ∇u) · ϕ dx + ν

Ω

Z

ϕ dx + ∇u : ∇ϕ

Ω

Z

p div ϕ dx =

Ω

Z

f · ϕ dx.

Ω

Nejprve si uvědomme, že člen s tlakem je nulový. Dále nebudeme schopni ukázat, 1 že ∂u ∂t ∈ Lloc (QT ), proto místo skalárního součinu budeme uvažovat dualitu a navíc budeme pak moct brát obecnější pravou stranu.1 Máme 1,2 Definice 3.1.1. Nechť Ω ⊂ RN , N = 2, 3. Nechť f ∈ L2 (0, T ; (W0,div (Ω))∗ ), 2 u0 ∈ L0,div (Ω).

1,2 Potom funkce u ∈ L2 (0, T ; W0,div (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ) s ∂u ∈ ∂t 1,2 1 ∗ L (0, T ; (W0,div (Ω)) ) se nazývá slabým řešením Navier–Stokesových rovnic od1 Také můžeme uvažovat časové závislou testovací funkci, nulovou v t = T , integrovat horní rovnici přes čas a časovou derivaci nahradit výrazem

−

ZT Z

u·

ϕ ∂ϕ dx dt − ∂t

0 Ω

Z

Ω

29

u(0) · ϕ (0) dx.

KAPITOLA 3. SLABÉ ŘEŠENÍ EVOLUČNÍCH ROVNIC

30

povídající datům f a u0 , jestliže Z Z ∂u ϕ dx ,ϕ + (u · ∇u) · ϕ dx + ν ∇u : ∇ϕ ∗ 1,2 1,2 ∂t (Ω) (Ω)) ,W0,div (W0,div Ω Ω 1,2 ϕ ∈ W0,div ∀ϕ (Ω) a s.v. t ∈ (0, T ), = hf, ϕ i(W 1,2 )∗ ,W 1,2 (Ω) 0,div 0,div Z Z ϕ ∈ L20,div (Ω). lim u(t, ·) · ϕ dx = u0 · ϕ dx ∀ϕ

t→0+

Ω

Ω

Poznámka. Případ N > 3 je možno řešit analogicky; to zde nebudeme dělat. Je třeba brát ϕ hladké, aby se dal smysl konvektivnímu členu a uvažovat časovou derivaci v jiných prostorech. 1,2 Poznámka. Položme V = W0,div (Ω), H = L20,div (Ω). Protože dle dříve dokáza∗ ∞ ného je u ∈ C ([0, T ] ; V )∩L (0, T ; H), máme u ∈ C ([0, T ] ; Hw ) díky lemmatu 2.2.5 a v tomto smyslu chápeme počáteční podmínku, za předpokladu, že funkce u byla případně změněna na množině míry nula. Díky větě 2.3.3 dokonce máme, že u ∈ C([0, T ]; ((L2 (Ω))N )w ). Uvidíme později, že de facto dokážeme silnější výsledek: lim ku(t) − u0 k2 = 0. t→0+

Poznámka. Uvažujme „dostatečně hladkéÿ řešení Navier–Stokesových rovnic. Násobme rovnici (klasická formulace) u a integrujme přes Ω (respektive – položme ϕ := u ve slabé formulaci) Z Z Z ∂u · u dx + (u · ∇u) · u dx + ν ∇u : ∇u dx = hf, ui , ∂t Ω

Ω

Ω

1 d 2 kuk2 2 dt Z Z 1 (u · ∇u) · u dx = u · ∇|u|2 dx 2

1. člen: 2. člen:

Ω

1 =− 2

Z

Ω

Pokud integrujeme přes čas, Z

2

|u(t)| dx + 2ν

Ω

Zt Z

0 Ω

Ω

1 (div | {zu})|u| dx + 2 2

=0

2

|∇u| dx dτ =

Z

Z

∂Ω

2

u · n} |u| dS. | {z =0

2

|u0 | dx + 2

Ω

Zt 0

hf, ui dτ,

což je tzv. energetická rovnost. My ale pro N = 3 dokážeme pouze slabší tvrzení, energetickou nerovnost: Z

2

|u(t)| dx + 2ν

Ω

pro s.v. t ∈ (0, T ).

Zt Z

0 Ω

2

|∇u| dx dτ ≤

Z

Ω

2

|u0 | dx + 2

Zt 0

hf, ui dτ

(3.1)

3.1. EXISTENCE SLABÉHO ŘEŠENÍ

31

Definice 3.1.2. Řešení budeme nazývat Leray–Hopfovým slabým řešením Navier–Stokesových rovnic, je-li u řešením slabým a navíc splňuje pro s.v. t ∈ (0, T ) nerovnost (3.1). Cílem je dokázat následující výsledek: Věta 3.1.1 (slabé řešení, N = 2). Nechť Ω ⊂ R2 je omezená oblast a nechť f a u0 splňují předpoklady Definice 3.1.1. Potom existuje právě jedno slabé řešení Navier–Stokesových rovnic. Toto řešení je současně Leray–Hopfovým řešením a splňuje počáteční podmínku ve smyslu lim ku(t) − u0 k2 = 0. Navíc2 , u ∈ t→0+

C([0, T ]; L20,div (Ω)).

Věta 3.1.2 (slabé řešení, N = 3). Nechť Ω ⊂ R3 je omezená oblast a nechť f a u0 splňují předpoklady Definice 3.1.1. Potom existuje alespoň jedno Leray– Hopfovo slabé řešení Navierových–Stokesových rovnic. Toto řešení splňuje počáteční podmínku ve smyslu lim ku(t) − u0 k2 = 0. t→0+

Důkaz obou vět budeme provádět paralelně a rozdělíme jej až na úplný závěr. Postup bude následující: a) Galerkinovské aproximace – formulace b) řešitelnost Galerkinovských aproximací + apriorní odhady pro un c) apriorní odhady pro časovou derivaci d) limitní přechod e) energetická nerovnost f) nabývání počáteční podmínky g) jednoznačnost pro N = 2 ∞ 1,2 Ad a) Vezměme wi i=1 ortogonální bázi prostoru W0,div (Ω) tvořenou vlastními funkcemi Stokesova problému. Definice 3.1.3. Funkci un (t, x) = Galerkinovskou aproximací, jestliže Z

∂un · wj dx + ∂t

Z

Ω

Ω

n

n

n P

i=1

cni (t)wi (x) budeme nazývat n-tou

j

(u · ∇u ) · w dx + ν

= f, wj

Z

Ω

∀j = 1, .., n, n X ai wi (x), un (0, x) =

(∇un ) : ∇wj dx

i=1

kde ai =

R

Ω

i

n

u0 (x) · w (x) dx (tj. u (0, x) je projekce u0 (x) do Lin

v L20,div (Ω)). 2a

tedy díky větě 2.3.3 také u ∈ C([0, T ]; (L2 (Ω))2 )

(3.2)

n wi i=1


32

Rovnost (3.2) můžeme přepsat na systém obyčejných diferenciálních rovnic R n pro {cni }i=1 . Připomeňme, že wi · wj dx = δij . Ω

c˙nj (t) + cnk (t)cnl (t)

Z

wk · ∇wl · wj dx + ν λj cnj (t) = f, wj , j = 1, .., n, | {z }

Ω

nesčítá se

cnj (0)

(3.3)

= aj .

Kvůli lepší čitelnosti budeme nadále horní index n vynechávat. Ad b) Na systém (3.3) můžeme použít Caratheodóryho teorii ODR (a kdyby f ∈ C([0, T ], ((W01,2 (Ω))∗ )N ), pak dokonce teorii klasickou). Existuje tedy (lokálně v čase) právě jedno zobecněné řešení – cj ∈ AC [0, Tn∗ ) – systému (3.3) ∀n ∈ N. Je-li časový interval [0, Tn∗ ), na kterém toto řešení existuje, −→ ∗ − + ∞. Ukážeme, že toto takový, že Tn∗ < T, pak nutně max |cj (t)| t→(T n) nenastane a tudíž řešení bude existovat na celém intervalu (0, T ). Násobme (3.3)j cj (t) a sečtěme přes j = 1, .., n. Integrujme přes (0, t) (formálně je to totéž, jako vzít za testovací funkci v (3.2) un ). Máme tedy Zt 0

+ν

n

1X d 2 |cj | dτ + 2 j=1 dt Zt X n 0

j=1

|cj |2 λj dτ =

Zt

ck cl cj

0

Z

Ω

Zt 0

wk · ∇wl · wj dx dτ

n

X cj wj dτ, f, j=1

nebo ekvivalentně Zt 0

+ν

1 d 2 kun (t)k2 dτ + 2 dt Zt Z

0 Ω

2

Zt Z

(un · ∇un ) · un dx dτ

0 Ω

|∇un | dx dτ =

|

{z

}

=0

Z

0

t

hf, un i dτ

a tedy 1 n 2 ku (t)k2 + ν 2

Zt 0

2

k∇un k2 dτ

≤ kfkL2 (0,t;(W 1,2

∗ 0,div (Ω)) )

kun kL2 (0,t;W 1,2

0,div (Ω))

+

1 n 2 ku (0)k2 . 2

První člen na pravé straně můžeme pomocí Friedrichsovy a Youngovy nerovnosti odhadnout 2

C(ν) kfkL2 (0,t;(W 1,2

0,div (Ω))

∗)

1 2 + ν k∇un kL2 (0,t;L2 (Ω)) , 2


33

tedy máme ku 2

neboť kun (0)k2 =

n

2 (t)k2

+ν

Zt 0

n P

2

k∇un k2 dτ ≤ C (f, u0 ) ,

(3.4)

2

j=1

a2j ≤ ku0 k2 . Odtud plyne, že cj (·) jsou omezené

funkce v čase, a proto Tn∗ = T ∀n ∈ N. Máme tedy sup ku

n

t∈[0,T )

2 (t)k2

+ν

ZT 0

2

k∇un k2 dτ ≤ C (f, u0 ) .

(3.5)

(Posloupnost un je proto omezená v prostorech L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ) a L2 (0, T ; (W 1,2 (Ω))N ).) Ad c) Odhad (3.5) nám na limitní přechod nestačí, neboť řešíme nelineární evoluční úlohu. Máme k dispozici Aubin–Lionsovo lemma, ale k němu potřebujeme odhad časové derivace. Ten nám vyjde různě pro různé dimenze, a proto nejprve počítejme lehčí dvoudimenzionální situaci, pro 1,2 N = 3 jen ukážeme, kde je změna. Nechť ϕ ∈ L2 (0, T ; W0,div (Ω)). Po∞ R P ak (t)wk (x), ak (t) = Ω ϕ (t, x)wk (x) dx. tom je možno psát ϕ (t, x) = Označme ϕn (t, x) =

n P

k=1

ak (t)wk (x). Zřejmě (proveďte podrobně!)

k=1

ϕn kL2 (0,T ;W 1,2 kϕ

0,div (Ω))

ϕkL2 (0,T ;W 1,2 ≤ kϕ

0,div (Ω))

.

Tedy

n

∂u

∂t 2 L (0,T ;(W 1,2

=

0,div (Ω))

=

sup 1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W 0,div

ϕk≤1 kϕ

=

sup ϕk≤1 kϕ

−ν ≤

0 Ω

ϕk≤1 kϕ

0 Ω

sup

1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W (Ω)) 0,div

0 Ω

= |{z}

můžeme použít definici 3.1.3

ZT Z ZT n (un · ∇un ) · ϕ n dx dt hf, ϕ i dt − 0 Ω

0

ϕn dx dt ∇un : ∇ϕ

ϕk≤1 kϕ

1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W 0,div

ZT Z ∂un · ϕ dx dt ∂t (Ω))

ZT Z ∂un · ϕ n dx dt ∂t (Ω))

1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W (Ω)) 0,div

ZT Z

∗)

sup

h

kfkL2 (0,T ;(W 1,2

0,div (Ω))

∗)

n ϕ kL2 (0,T ;W 1,2 +ν k∇un kL2 (0,T ;(L2 (Ω))N ) kϕ

0,div (Ω))

i + K.Č. .


34

Odhadujme konvektivní člen (K.Č.) ZT Z ZT Z n n n ϕn ) dx dt un · (un · ∇ϕ (u · ∇u ) · ϕ dx dt = − 0 Ω

0 Ω

≤

ZT 0

ϕn k2 kun k24 dt ≤ C k∇ϕ

ZT 0

ϕn k2 k∇un k2 kun k2 dt k∇ϕ

ϕn kL2 (0,T ;(L2 (Ω))4 ) . ≤ C kun kL∞ (0,T ;(L2 (Ω))2 ) k∇un kL2 (0,T ;(L2 (Ω))4 ) k∇ϕ Celkem tedy máme sup 1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W 0,div

ϕk≤1 kϕ

≤

sup

ZT Z ∂un · ϕ n dx dt ∂t (Ω)) 0 Ω

1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W (Ω)) 0,div

C kfkL2 (0,T ;(W 1,2

0,div (Ω))

∗)

+ ν k∇un kL2 (0,T ;(L2 (Ω))4 )

ϕk≤1 kϕ

n ϕ kL2 (0,T ;W 1,2 + k∇u kL2 (0,T ;(L2 (Ω))4 ) kun kL∞ (0,T ;(L2 (Ω))2 ) kϕ n

0,div (Ω))

≤ C (f, u0 ) a tedy

n

∂u

∂t 2 L (0,T ;(W 1,2

N =2

0,div (Ω))

∗)

≤ C (f, u0 ) .

(3.6)

Ve třech dimenzích je jediná změna v konvektivním členu: ZT Z

0 Ω

≤C

n 2

n

ϕ | dx dt ≤ |u | |∇ϕ ZT 0

ZT 0

ϕn k2 kun k24 dt k∇ϕ

1

3

ϕn k2 kun k22 k∇un k22 dt k∇ϕ 3

1

ϕn kL4 (0,T ;(L2 (Ω))9 ) ≤ C kun kL2 ∞ (0,T ;(L2 (Ω))3 ) k∇un kL2 2 (0,T ;(L2 (Ω))9 ) k∇ϕ a tedy u výše uvedeného odhadu máme sup 1,2 ϕ ∈L4 (0,T ;W 0,div

ϕk≤1 kϕ

N =3

ZT Z ∂un · ϕ dx dt ≤ C (f, u0 ) , ∂t (Ω)) 0 Ω

n

∂u

∂t 4 L 3 (0,T ;(W 1,2

0,div (Ω))

∗)

≤ C (f, u0 ) .

(3.7)

Jak uvidíme později, horší integrovatelnost časové derivace bude mít dalekosáhlé důsledky.


35

Ad d) Nyní už máme vše připravené pro limitní přechod. Díky apriorním od1,2 hadům víme, že existuje u ∈ L2 (0, T ; W0,div (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ) 1,2 ∂u q ∗ s ∂t ∈ L (0, T ; (W0,div (Ω)) ) q = 2 pro N = 2, q = 34 pro N = 3 takové, že pro vhodnou podposloupnost nk : ∗ unk ⇀ u

v

L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ),

unk ⇀ u

v

1,2 L2 (0, T ; W0,div (Ω)),

∂u ∂unk ⇀ ∂t ∂t

1,2 v Lq (0, T ; (W0,div (Ω))∗ ).

1,2 Vezmeme-li v Aubin–Lionsově lemmatu za prostory X0 = W0,div (Ω), X = 1,2 2 ∗ L0,div (Ω) a X1 = (W0,div (Ω)) , pak pro Ω omezenou zřejmě

X0 ֒→֒→ X ֒→ X1 , a tedy (obecně pro další podposloupnost) unk −→ u

v L2 (0, T ; (L2 (Ω))N ).

1,2 Navíc, díky omezenosti unk v L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ) a L2 (0, T ; W0,div (Ω)) máme, že

unk −→ u

v

Lq (0, T ; (L2 (Ω))N )

∀q < ∞

v L2 (0, T ; (Lp (Ω))N ), unk −→ u ∀p < ∞ pro N = 2, ∀p < 6 pro N = 3. Vezměme tedy rovnost (3.2) pro pevnou funkci wj . Násobme ji ψ ∈ C0∞ (0, T ) a integrujme přes (0, T ). Máme (místo nk pišme opět n) ZT D 0

+ν

∂un j E , w ψ dt + ∂t

ZT

Z

0 Ω

n

j

ZT Z

0 Ω

(un · ∇un ) · wj dx ψ dt

∇u : ∇w dx ψ dt =

ZT 0

f, wj ψ dt,

přičemž D ∂un ∂t

,w

j

E

=

D ∂un ∂t

,w

j

E

1,2 1,2 (W0,div (Ω))∗ ,W0,div (Ω)

=

Z

∂un · wj dx ∀n ∈ N. ∂t

Ω

Nyní proveďme přechod n → ∞. V lineárních členech není problém, tam vystačíme se slabou konvergencí. Proto se podívejme na konvektivní člen. Máme, díky silné konvergenci (odhady provádíme pro N = 3, pro N = 2


36

je situace jednodušší) ZT Z (un · ∇un ) · wj − (u · ∇u) · wj dx ψ dt 0 Ω

ZT Z (u · ∇wj ) · u − un · ∇wj · un dx ψ dt = 0 Ω

ZT Z ∂wkj (ui − uni ) ≤ uk ψ dx dt ∂xi 0 Ω

ZT Z ∂wkj uni + (uk − unk ) ψ dx dt ∂xi 0 Ω

≤

ZT

+

ZT

0

0

ku − un k3 kuk6 ∇wj 2 |ψ| dt

ku − un k3 kun k6 ∇wj 2 |ψ| dt ≤

≤ ku − un kL2 (0,T ;(L3 (Ω))N ) ∇wj (L2 (Ω))N 2 kψkL∞ (0,T ) × × kukL2 (0,T ;(L6 (Ω))N ) + kun kL2 (0,T ;(L6 (Ω))N ) −→ 0.

Limitní funkce u tedy splňuje ZT D 0

+ν

∂u j E , w ψ dt + ∂t

ZT

Z

0 Ω

j

∇u : ∇w

ZT Z

0 Ω

(u · ∇u) · wj dxψ dt

dxψ dt =

ZT 0

∀j ∈ N, ∀ψ ∈ C0∞ (0, T ).

f, wj ψ dt

(3.8)

∞ 1,2 Nyní nechť ϕ ∈ W0,div (Ω), tedy ϕ ∈ Lin {wj }j=1 a tudíž (formálně lin mita w , n → ∞) je rovnost (3.8) splněna pro všechny testovací funkce z 1,2 W0,div (Ω). Nyní si stačí uvědomit, že díky splnění rovnosti ∀ψ ∈ C0∞ (0, T ) platí ve skutečnosti Z D ∂u E Z ϕ dx = hf, ϕ i , ϕ + (u · ∇u) · ϕ dx + ν ∇u : ∇ϕ ∂t Ω

Ω

1,2 ϕ ∈ W0,div ∀ϕ (Ω)

pro s.v. t ∈ (0, T ).

Ad e) Vezměme rovnost 1 n 2 ku (t)k2 + ν 2

Zt Z

0 Ω

n 2

|∇u | dx dτ −

Zt 0

hf, un i dτ −

1 n 2 ku (0)k2 = 0, 2


37

násobme ji ψ ∈ C0∞ (0, T ), ψ ≥ 0 na [0, T ] a integrujme přes [0, T ]. Máme ZT h 0

−

1 n 2 ku (t)k2 ψ + ν 2

Zt 0

hf, un i dτ ψ −

Zt Z

0 Ω

2

|∇un | dx dτ ψ

i 1 n 2 ku (0)k2 ψ dt = 0 2

a pošleme n → ∞. První člen jde díky silné konvergenci un → u v RT 2 L2 (0, T ; (L2 (Ω))N ) k 21 kuk2 ψ dt. Ve druhém použijeme slabou zdola 0

polospojitost normy a Fatouovo lemma. Protože lim inf n→∞

Zt Z

0 Ω

n 2

|∇u | dx dτ ≥

Zt Z

0 Ω

|∇u|2 dx dτ

a ψ ≥ 0, máme lim inf n→∞

ZT Zt Z 0

≥

ZT

0 Ω

lim inf n→∞

0

2

|∇un | dx dτ ψ dt

Zt Z 0

Ω

n 2

|∇u | dx dτ ψ dt ≥

ZT Zt Z 0

0 Ω

2

|∇u| dx dτ ψ dt.

Třetí člen je jednoduchý – stačí slabá konvergence a poslední člen jde k ∞ RT 1 2 − 2 ku(0)k2 ψ dt, díky úplnosti systému wi i=1 v L20,div (Ω). Celkem 0

máme

ZT h 0

1 2 ku(t)k2 + ν 2

Zt Z

0 Ω

2

|∇u| dx dτ −

Zt 0

hf, ui dτ

i 1 2 − ku0 k2 ψ(t) dt ≤ 0 ∀ψ ∈ C0∞ (0, T ); 2

ψ ≥ 0 na [0, T ] .

Vhodnou volbou ψ = ωε – regularizační jádro – díky limitě ε → 0+ dostáváme, že 1 2 ku(t)k2 + ν 2

Zt Z

0 Ω

1 2 |∇u| dx dτ ≤ ku0 k2 + 2 2

Zt 0

hf, ui dτ

pro s.v. t ∈ (0, T ), což je hledaná energetická nerovnost. Ad f) Vyšetřeme nyní v jakém smyslu se nabývá počáteční podmínka. Postupujeme jako v limitním přechodě, pouze v členu s časovou derivací s


38

ψ ∈ C ∞ [0, T ], ψ(T ) = 0 integrujeme per partes přes čas. Máme −

ZT Z

∂ψ u ·w dx dt − ∂t

+

ZT

(un · ∇un ) · wj ψ dx dt

n

0 Ω

un (0) · wj ψ(0) dx

Ω

Z

0 Ω

+ν

Z

j

ZT Z

n

j

∇u : ∇w ψ dx dt =

0 Ω

ZT 0

f, wj ψ dt

a limitním přechodem n → ∞ s využitím úplnosti systému {wj }∞ j=1 máme (ve skutečnosti jde o dva limitní přechody, stejně jako v části d)) −

ZT Z

0 Ω

+ν

ZT Z

0 Ω

∂ψ dx dt − u·ϕ ∂t

Z

u0 · ϕ ψ(0) dx +

Ω

ϕψ dx dt = ∇u : ∇ϕ

ZT 0

ZT Z

0 Ω

(u · ∇u) · ϕ ψ dx dt

hf, ϕ i ψ dt.

Nyní si uvědomme, že ZT D 0

∂u E , ϕ ψ dt = ∂t

ZT 0

d hu, ϕ i ψ dt dt | {z } d dt

=

=−

ZT Z 0

Ω

R

ϕ dx u·ϕ

Ω

Z ∂ψ dt − u(0) · ϕ dxψ(0) . u · ϕ dx ∂t Ω | {z } u∈C([0,T ];(L2w (Ω))N )

Volbou ψ(0) 6= 0 máme Z Z u(0) · ϕ dx = u0 · ϕ dx, Ω

Ω

tedy u(t) ⇀ u0 v (L2 (Ω))N pro t −→ 0+ . Speciálně 2

2

lim inf ku(t)k2 ≥ ku0 k2 . t→0+

Na druhou stranu ale z energetické nerovnosti plyne 2

2

2

2

lim sup ku(t)k2 ≤ ku0 k2 =⇒ lim ku(t)k2 = ku0 k2 . t→0+

t→0+


39

Tedy, díky stejnoměrné konvexitě L2 (Ω) (popř. lze dokázat i přímo díky 2 hilbertovské struktuře) je lim ku(t) − u0 k2 = 0. Poznamenejme, že ve t→0+

dvou dimenzích máme díky lemmatu 2.2.4 u ∈ C([0, T ]; L20,div (Ω)), a silná konvergence k počáteční podmínce plyne přímo.

Ad g) Nechť u1 , u2 jsou dvě různá řešení Navier–Stokesových rovnic ve dvou dimenzích, příslušná počáteční podmínce u0 a pravé straně f. Potom D ∂u

i

∂t

Z Z E ϕ ϕ , + ν ∇ui : ∇ϕ dx + (ui · ∇ui ) · ϕ dx = hf, ϕi Ω

Ω

i = 1, 2.

Odečtením máme Z D ∂(u − u ) E 1 2 ϕ dx , ϕ + ν ∇(u1 − u2 ) : ∇ϕ ∂t +

Ω

Z

(u1 · ∇u1 − u2 · ∇u2 ) · ϕ dx = 0.

Ω 1,2 Nyní si připomeňme, že rozdíl řešení u1 − u2 ∈ L2 (0, T ; (W0,div (Ω))N ) ∩ ∞ 2 N L (0, T ; (L (Ω)) ). Analogicky jako v důkazu výše je možno ukázat, že 1,2 ∂ (u1 − u2 ) ∈ L2 (0, T ; (W0,div (Ω))∗ ) a tudíž též ∂t

u1 − u2 ∈ C([0, T ]; L20,div (Ω)) a E D ∂(u − u ) d 1 2 2 ku1 − u2 k2 = 2 , u1 − u2 , dt ∂t

viz lemma 2.2.4. Funkce u1 − u2 je dobrou testovací funkcí, po dosazení máme 1 d 2 ku1 − u2 k2 + ν 2 dt =

Z

Z

2

|∇ (u1 − u2 )| dx

Ω

(u2 · ∇u2 − u1 · ∇u1 ) · (u1 − u2 ) dx.

Ω

Přepišme pravou stranu (P.S.) =

Z

Ω

+

Z

|

− u2 · ∇(u1 − u2 ) · (u1 − u2 ) dx {z

=0

(u2 − u1 ) · ∇u1 · (u1 − u2 ) dx

}

Ω 2

≤ ku1 − u2 k4 k∇u1 k2 ≤ C ku1 − u2 k2 k∇ (u1 − u2 )k2 k∇u1 k2 .


40 Máme tedy

1 d 2 ku1 − u2 k2 + ν 2 dt

Z

2

|∇ (u1 − u2 )| dx ≤

ν 2 k∇ (u1 − u2 )k2 2

Ω

+C(ν) ku1 −

2 u2 k2

2

k∇u1 k2 ,

což dává d 2 ku1 − u2 k2 + ν dt

Z

2

2

2

|∇ (u1 − u2 )| dx ≤ C(ν) ku1 − u2 k2 k∇u1 k2 .

Ω 2

Protože k∇u1 k2 ∈ L1 (0, T ) a (u1 − u2 )(0) = 0, plyne z Gronwallovy nerovnosti 2

ku1 − u2 k2 (t) = 0 s.v. na (0, T ), tj. u1 = u2 s.v. na (0, T ) × Ω.

3.2

Rekonstrukce tlaku

Cílem je zjistit, zda slabá formulace nezničila informaci o tlaku, tj. zda ∃p ∈ D′ ((0, T ) × Ω) (popř. hladší) tak, že D ∂u ∂t

Z E Z ϕ dx + h∇p, ϕ i = hf, ϕ i , ϕ + (u · ∇u) · ϕ dx + ν ∇u : ∇ϕ Ω

Ω

ϕ ∈ (C0∞ (Ω))N a s.v. t ∈ (0, T ). ∀ϕ

(3.9)

1,2 ∗ Obecně, pokud pouze f ∈ L2 (0, T ; (W0,div ) ), to není zřejmé a tlak nemusí existovat, viz např. článek [23]. Můžeme se pokusit použít pro f ∈ L2 (0, T ; (W −1,2 (Ω))N ) dříve dokázanou větu o existenci tlaku. Tedy uvažujme funkcionál Z Z D E ∂u ϕ dx. F, ϕ = − f, ϕ + (u · ∇u) · ϕ dx + ν ∇u : ∇ϕ ∂t Ω

Ω

Ale obecně není zřejmé, že F je distribuce! Důvodem je, že časová derivace 1,2 ∂u q ∗ ∂t ∈ L (0, T ; (W0,div (Ω)) ), ale nemáme žádnou informaci o tom, zda patří do 1,2 q ∗ N L (0, T ; ((W0 (Ω)) ) ). Poznámka. Při jiných okrajových podmínkách, např. pouze u · n = 0 (spolu s např. podmínkou smyku na hranici) bychom měli ϕ ∈ (W01,2 (Ω))N =⇒ ϕ =

ϕ1 |{z}

∈(W 1,2 (Ω))N , div ϕ

D ∂u ∂t

E

, ∇π = 0,

1 =0, ϕ 1 ·n=0

+∇π, na ∂Ω

a teď je nutno ověřit, že ϕ 1 je dobrá testovací funkce; při podmínkách u · n = 0 je to v pořádku a vše projde. Proto ∂u ∂t je distribuce a můžeme použít lemma

3.2. REKONSTRUKCE TLAKU

41

o existenci tlaku. Pro Cauchyův problém nebo periodické okrajové podmínky můžeme postupovat jinak. Použijeme-li na bilanci hybnosti operátor divergence (ve smyslu distribucí), získáme následující rovnici ∆p = div f − div div(u ⊗ u). Ve výše zmíněných případech je tento problém v odpovídajících prostorech jednoznačně řešitelný. Na druhou stranu, pro např. Dirichletovy podmínky na rychlost, nám chybí okrajová podmínka pro výše uvedenou rovnici a postup tedy selže. Vidíme, že problém existence tlaku se v důsledku homogenních Dirichletových podmínek komplikuje. Platí nicméně Věta 3.2.1. Nechť u je slabé řešení Navier–Stokesových rovnic zkonstruované Galerkinovou metodou, Ω ∈ C 0,1 , N = 2, 3. Potom existuje P : (0, T ) × Ω → R tak, že P (t) ∈ L2 (Ω) ∀t ∈ (0, T ) a splňuje Zt

−ν

=

P (t) div χ dx +

0

Z

Z

χ dx − ∇u : ∇χ

Ω

Ω

Z

(u · ∇u) · χ dx + hf, χ i

Ω

Z

u(t) · χ dx −

Ω

Z

u0 · χ dx

dτ

χ ∈ (W01,2 (Ω))N . ∀χ

Ω

Důkaz. Vezměme vztah pro Galerkinovu aproximaci, integrujme přes čas, časovou derivaci integrujme per partes: Zt Z

0 Ω

∂um · wi dx dτ = ∂t

Z

um (t) · wi dx −

Ω

Z

um (0) · wi dx.

Ω

Máme tedy Zt

−ν

=

um (t) · wi dx −

0

Z

Z

∇um : ∇wi dx −

Ω

Ω

Z

Z

Ω

dτ (um · ∇um ) · wi dx + f, wi

um (0) · wi dx ∀wi , i = 1, .., m.

Ω

Limitním přechodem m → ∞ připomeňme, že u patří do prostoru V = 1,2 ∗ q v ∈ L2 (0, T ; (W 1,2 (Ω)N )) ∩ L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ); ∂v ∂t ∈ L (0, T ; (W0,div ) ) ֒→ C([0, T ]; (L20,div )w ) a dále „wi → χ ÿ máme χ) = F (χ

−

Z

Ω

Zt n 0

−ν

Z

Ω

u(t) · χ dx +

Z

Ω

χ− ∇u : ∇χ

Z

(u · ∇u) · χ + hf, χ i

Ω 1,2 χ ∈ W0,div u0 · χ dx = 0 ∀χ (Ω).

o

dτ


42

χ) má smysl pro ∀χ χ ∈ (W01,2 (Ω))N , ∀t ∈ (0, T ), tedy díky lemmatu Navíc F (χ 2.3.4 ⇒

∀t ∈ (0, T ) ∃P (t) ∈ L2 (Ω) : Z χ) = P (t) div χ dx ∀χ χ ∈ (W01,2 (Ω))N , F (χ

N = 2, 3.

Ω

Poznámka. Obecně není ale pravda, že P (t) =

Rt

p(τ ) dτ , není zřejmé, že náš

0

„tlakÿ je skutečně primitivní funkcí k hledanému tlaku. Tedy získaný výsledek není příliš uspokojivý. Pro případ, kdy je oblast Ω hladká, je možné předchozí výsledek zesílit:3 Věta 3.2.2. Nechť Ω ∈ C 2 , u ∈ Lq (0, T ; (Ls (Ω))N ), div u = 0 ve slabém 2 smyslu, Hi ∈ Lqi (0, T ; (Lsi (Ω))N ), i = 1, 2 jsou takové, že Z TZ Z TZ ϕ ∂ϕ ϕ dx dt u· − (H1 + H2 ) : ∇ϕ (3.10) dx dt = ∂t 0 Ω 0 Ω pro všechna ϕ ∈ (C0∞ ((0, T ) × Ω))N s div ϕ = 0. Potom existují skalární funkce pi ∈ Lqi (0, T ; Lsi (Ω)), i = 1, 2 a skalární harmonická funkce ph ∈ ∗ s Lq (0, T ; Ls (Ω)) s ∇ph ∈ Lq (0, T ; (Ls (Ω))N ), s∗ = NN−s pro s < N , s∗ ∈ [1, ∞) ∗ pro s = N a s ∈ [1, ∞] pro s > N taková, že Z TZ Z TZ ϕ ∂ϕ ϕ dx dt (H1 + H2 ) : ∇ϕ u· dx dt = − ∂t 0 Ω 0 Ω (3.11) Z TZ Z TZ ϕ ∂ϕ dx dt ∇ph · (p1 + p2 ) div ϕ dx dt + + ∂t 0 Ω 0 Ω pro všechna ϕ ∈ (C0∞ ((0, T ) × Ω))N . Navíc kpi kLqi (0,T ;Lsi (Ω)) ≤ CkHi kLqi (0,T ;(Lsi (Ω))N 2 ) ,

i = 1, 2,

k∇ph kLq (0,T ;(Ls (Ω))N ) ≤ CkukLq (0,T ;(Ls (Ω))N ) . Poznámka. Tuto větu lze použít tak, že za H1 vezmeme u ⊗ u a za H2 funkci −ν∇u − F, f = div F. Význam této věty spočívá v tom, že umožňuje uvažovat poměrně obecnou pravou stranu, na druhou stranu ale ukazuje, že tlak se obecně nechová tak, jak bychom mohli naivně očekávat. Důkaz. Zvolme t0 ∈ (0, T ) libovolné takové, že t0 je Lebesgueův bod, tj. Z t0 +r 1 u(τ ) dτ = u(t0 ) lim r→0+ 2r t0 −r v (Ls (Ω))N . Definujme pro i = 1, 2 fi (t) = H

Z

t

Hi (τ ) dτ.

t0

3 Část věty lze dokázat i pro méně hladké oblasti, to ale vyžaduje poměrně hluboké výsledky z teorie regularity pro stacionární Stokesův problém pro oblasti s lipschitzovskou hranicí.


43

Uvažujme následující Stokesovy problémy −∆vi

div vi vi |∂Ω

fi (t) = −∇πi − div H

v Ω,

= 0 v Ω, = 0.

Díky regularitě Stokesova problému máme pro s.v. t a s.v. h ∈ (0, T − t) 1 C f f kπi (t + h) − πi (t)ksi ≤ kH i (t + h) − Hi (t)ksi . h h

Proto πi ∈ W 1,qi (0, T ; Lsi (Ω)) a platí

∂π

i ≤ CkHi kLqi (0,T ;Lsi (Ω)) .

∂t Lqi (0,T ;Lsi (Ω))

Dále uvažujme Stokesův problém −∆vh

div vh vh |∂Ω

= −∇πh + u(t0 ) − u(t) v Ω,

= 0 v Ω, = 0.

Opět, použitím regularity Stokesova problému a integrací přes čas máme k∇πh kLq (0,T ;Ls (Ω)) ≤ CkukLq (0,T ;Ls (Ω)) . Zřejmě též ∆πh = 0 na (0, T ) × Ω. Sečtením úloh výše máme f1 + H f2 ) + u(t0 ) − u(t). (3.12) −∆(v1 + v2 + vh ) = −∇(π1 + π2 + πh ) − div(H

Pokud ve (3.10) vezmeme ϕ n ∈ C0∞ ((0, T ) × Ω)N tak, že ϕ n → ϕ , kde τ ∈ (t0 , t) ψ (x) ∈ (C0∞ (Ω))N ϕ (τ, x) = 0 τ ∈ (0, T ) \ (t0 , t), máme

Z

Ω

(u(t) − u(t0 )) · ψ dx =

Z

Ω

f1 + H f2 ) : ∇ψ ψ dx (H

pro všechna ψ ∈ (C0∞ (Ω))N , div ψ = 0 a tedy díky lemmatu 2.3.4 existuje π ∈ Lr (Ω), r > 1 tak, že f1 + H f2 ) + ∇π u(t) − u(t0 ) = − div(H

v D′ (Ω).

(3.13)

Proto z (3.12) a (3.13) plyne −∆(v1 + v2 + vh )

div(v1 + v2 + vh ) v1 + v2 + vh |∂Ω

= −∇(π1 + π2 + πh − π) v Ω, = 0 v Ω, = 0

a z jednoznačnosti řešení stacionárního Stokesova problému (pro tlak až na aditivní konstantu) máme, že v1 + v 2 + v h = 0

π1 + π2 + πh = π.

Proto v D′ (0, T ) p= kde pi =

∂πi ∂t .

∂ph ∂π = p1 + p2 + , ∂t ∂t


44

Ukažme si jinou možnost rekonstrukce tlaku. K tomu se budeme muset chvíli zabývat nestacionárním Stokesovým problémem ∂u − ν∆u + ∇p = g ∂t div u = 0 u = 0 u(0) = u0

v (0, T ) × Ω, v (0, T ) × Ω,

na (0, T ) × ∂Ω, v Ω.

Slabá formulace je analogická slabé formulaci pro Navier–Stokesovy rovnice. 1,2 ∗ 1,2 2 Hledáme u ∈ L2 (0, T ; W0,div (Ω))∩L∞ (0, T ; (L2 (Ω))N ), ∂u ∂t ∈ L (0, T ; (W0,div ) ) takové, že D ∂u ∂t

Z E ϕ dx = hg, ϕ i , ϕ + ν ∇u : ∇ϕ

1,2 ϕ ∈ W0,div ∀ϕ (Ω)

Ω

a s.v. t ∈ (0, T ), u(t) ⇀ u0 v L20,div (Ω) pro t → 0+ . Zřejmě pak platí (důkaz je analogický důkazu pro evoluční Navier–Stokesovy rovnice, jen o něco jednodušší) Věta 3.2.3. Nechť g ∈ L2 (0, T ; (W −1,2 (Ω))N ), Ω ⊂ RN , u0 ∈ L20,div (Ω). Potom existuje právě jedno slabé řešení nestacionárního Stokesova problému. Analogií věty 3.2.2 je (důkaz viz [10]): Věta 3.2.4. Nechť je počáteční podmínka dostatečně hladká, Ω ∈ C 2 je kon2 vexní a nechť g = div F, F ∈ (Lp ((0, T ) × Ω))N , 1 < p < ∞. 1 1,p Potom jediné řešení u ∈ Lp (0, T ; W0,div (Ω)) ∩ W 2 ,p (0, T ; (Lp (Ω))N ). Navíc, tlak π = p1 +

∂P , ∂t

kde P je harmonická funkce, p1 ∈ Lp ((0, T ) × Ω), P ∈ Lp 0, T ; W 2,p (Ω) , 1 ∇P ∈ W 2 ,p (0, T ; (Lp (Ω))N ) a platí kuk

W

1 2

(0,T ;(Lp (Ω))N )

+ k∇P k

W

1 2

+ k∇ukLp (0,T ;(Lp (Ω))N 2 ) + kp1 kLp (0,T ;Lp (Ω))

(0,T ;(Lp (Ω))N )

+ k∇P kLp (0,T ;(W 1,p (Ω))N )

≤ C kFkLp (0,T ;(Lp (Ω))N 2 ) + C1 (u0 ). Navíc kpk

1 +r 1− 1 − r ,p 2p 2 W (0,T ;Wpp (Ω))

1i ≤ C(u0 , kFkLp (0,T ;(Lp (Ω))N 2 ) ) , r ∈ 0, 1 − . p

Opět jsme nebyli schopni odstranit harmonickou část tlaku, která je hladká v prostoru, ale ne v čase. O něco lepší situace je v případě, kde pravá strana f ∈ Lt (0, T ; Ls (Ω)) . Pak máme (viz [8])


45

Věta 3.2.5 (Solonnikov, Giga, Sohr). Nechťje počáteční podmínka dostatečně hladká, Ω ∈ C 2 , nechť g ∈ Lt 0, T ; (Ls (Ω))N . t s k Potom jediné řešení také splňuje ∇2 u, ∂u ∂t , ∇p ∈ L (0, T ; (L (Ω)) ) a platí

2

∇ u + ∂u + k∇pk ≤ C (u0 , kgkX ) , X

∂t X X kde X = Lt 0, T ; (Ls (Ω))k , 1 < t, s < ∞, k = N 2 resp. N . Poznámka. Původně byly tyto odhady dokázány pouze pro t = s V.A. Solonnikovem, práce [8] je rozšířením pro t 6= s.

Nyní můžeme tyto odhady pro nestacionární Stokesův problém použít následovně. Konvektivní člen dáme na pravou stranu. Máme ∂u − ν∆u + ∇p = f − u · ∇u, ∂t div u = 0, u(0) = u0 , u |∂Ω

(3.14)

= 0.

Protože naše řešení u existuje a Stokesův problém má jednoznačně definované řešení, je jasné, že odhady z vět 3.2.4 a 3.2.5 můžeme použít na naše řešení. Uvědomme si též, že věta 3.2.4 se pro naše účely moc nehodí, tlak není Lp funkce, harmonická část má špatnou regularitu v čase. Proto použijeme spíše větu 3.2.5. Předpoklady na pravou stranu f si můžeme sami upravit. Počítejme tedy chvíli, v jakých prostorech máme konvektivní člen: a) N = 2 Z

s

s

s

|u · ∇u| dx ≤ k∇uk2 kuk

2s 2−s

,

1 < s < 2,

Ω

kuk

2−s

2s 2−s

2s−2

≤ C kuk2 s kuk1,2s ,

tj. ZT Z 0

Ω

≤ C kuk

st 1t ZT 1 t t+(2s−2) st (2−s) t |u · ∇u| dx k∇uk2 dτ ≤C kuk2s s

0

1 s (2−s) L∞ (0,T ;(L2 (Ω))2 )

3s−2 s L2 (0,T ;(W 1,2 (Ω))2 )

kuk

za předpokladu, že 2 2 t t + (2s − t) = 2 =⇒ + = 3, s < 2. s t s b) N = 3 3 2s ≤ 6, tj. s ≤ . 2−s 2


46 Pak

3s−3

3−2s

kuk 2s ≤ C kuk2 s kuk1,2s 2−s 2 − s α 1−α 3 − 2s 3s − 3 = + ⇒α= , 1−α= 2s 2 6 s s

a

ZT Z 0

t 1t ≤C |u · ∇u| dx s dt s

Ω

1 s (3−2s) L∞ (0,T ;(L2 (Ω))3 )

≤ C kuk

ZT 0

t+(3s−3) st

kuk1,2

4s−3 s L2 (0,T ;(W 1,2 (Ω))3 )

kuk

1

kuk2s

(3−2s)

dt

1t

,

je-li t 2 3 3 t + (2s − 3) = 2 =⇒ + = 4, s ≤ . s t s 2 Máme tedy Věta 3.2.6. Nechť u je slabé řešení Navier–Stokesových rovnic a nechť Ω ∈ C 2 , f a u0 jsou dostatečně hladké. Potom existuje tlak a Navier–Stokesovy rovnice jsou splněny s.v. na časoprostoru. Navíc ∂u N , ∇p ∈ Lt (0, T ; (Ls (Ω))k ), 1 < s < , k = N 2 resp. N ∂t N −1 2 N + = N + 1, N = 2, 3. t s

∇2 u,

Poznámka. Tento výsledek zůstává v platnosti i pro N > 3. Podívejme se, jakou informaci nám to ve třech dimenzích dává pro samotný R tlak. Pro zajištění jednoznačnosti budeme předpokládat, že p(x, t) dx = 0 pro

s.v. t ∈ (0, T ). Budeme se zabývat situací N = 3. Víme, že ∇p ∈ Lt (0, T ; Ls ) ,

Ω

3 2 3 + =4, s< , t s 2

tj. ∗

p ∈ Lt (0, T ; Ls (Ω)),

s∗ =

3s , 3−s

2 3−s 2 3 + ∗ = + t s t s 2 3 =⇒ + ∗ = 3. t s 5

Pokud chceme, aby t = s∗ ⇒ 2t + 3t = 3 ⇒ t = 35 tj. p ∈ L 3 ((0, T ) × Ω) . (Zkuste si sami, že pro N = 2 máme p ∈ Lq ((0, T ) × Ω) pro libovolné q < 2.)

3.3. REGULARITA (N = 2)

3.3

47

Regularita (N = 2)

Ukažme nyní, že námi zkonstruované jednoznačné slabé řešení Navierových– Stokesových rovnic je ve dvou prostorových dimenzích hladší. Dokážeme následující tvrzení 1,2 Věta 3.3.1. Nechť Ω ∈ C 2 , u0 ∈ W0,div (Ω), f ∈ L2 (0, T ; (L2 (Ω))2 ). Potom slabé řešení Navier–Stokesových rovnic ve dvou prostorových dimenzích splňuje

∂u , ∇p ∈ L2 (0, T ; (L2 (Ω))k ), ∇u ∈ L∞ (0, T ; (L2 (Ω))4 ), k = 4 resp. 2, ∂t

2

∂u

∇ u 2 + k∇pkL2 (0,T ;(L2 (Ω))2 ) +

∂t 2 L (0,T ;(L2 (Ω))4 ) 2 2 ∇2 u,

L (0,T ;(L (Ω)) )

+ k∇ukL∞ (0,T ;(L2 (Ω))4 ) ≤ C(kfkL2 (0,T ;(L2 (Ω))2 ) , ku0 k1,2 ).

Speciálně tedy u ∈ C([0, T ]; (W 1,2 (Ω))2 ). Je-li pouze u0 ∈ (L2 (Ω))2 , potom výše uvedené odhady platí na [δ, T ], δ > 0, libovolně malé. Dokažme nejprve jedno lemma: Lemma 3.3.1. Označme P projekci z (L2 (Ω))N do L20,div (Ω) (nazývá se též někdy Lerayův projektor). Nechť Ω ∈ C 2 . Potom 1,2 ∃C1 , C2 : ∀u ∈ W0,div (Ω) ∩ (W 2,2 (Ω))N platí

C1 kuk2,2 ≤ kP ∆uk2 ≤ C2 kuk2,2 . Důkaz. Uvažujme Stokesův problém: −ν∆u + ∇p = f div u = 0 u|∂Ω

v Ω, v Ω,

= 0.

Bez újmy na obecnosti uvažujme f ∈ L20,div (Ω). Problém je možno přepsat na tvar −νP ∆u = f

v Ω,

div u = 0 v Ω, u|∂Ω = 0.

Díky regularitě řešení Stokesova problému víme, že řešení splňuje kuk2,2 ≤ C kfk2 a tudíž kuk2,2 ≤ C kfk2 = C kP ∆uk2 . Naopak, díky tomu, že P je projektor, kP ∆uk2 ≤ k∆uk2 ≤ C kuk2,2 .


48

Důkaz (věty 3.3.1). Připomeňme si, že jsme řešení konstruovali pomocí Galerkinovské aproximace. Vezměme si ji a násobme j-tou rovnici c˙m j (t), sečtěme přes m j a integrujme přes čas. Máme (vlastně použijeme jako testovací funkci ∂u ∂t )

Z t Z m 2 Zt Z ∂u d 2 dx dτ + 1 ν |∇um | dx dτ ∂t 2 dt 0 Ω

Zt Z

=

0 Ω

0

m

∂u dx dτ − ∂t

f·

Ω

Zt Z

(um · ∇um ) ·

0 Ω

∂um dx dτ. ∂t

Současně násobme j-tou rovnici λj cm j (t), sečtěme přes j a integrujme přes čas. Připomeňme, že

Z

ϕ dx = λj ∇wj : ∇ϕ

Ω

Z

wj · ϕ dx

1,2 ϕ ∈ W0,div ∀ϕ (Ω),

Ω

tedy vlastně použijeme jako testovací funkci −P ∆um . Máme

1 2 =

Zt Z

0 Ω

Zt 0

f·

d dt

Z

Ω m X j=1

|

m 2

|∇u | dx dτ + ν

cj (τ )λj wj dx dτ − {z

=−P ∆um

}

Zt Z

∇um :

0 Ω

Zt Z

m X j=1

(um · ∇um ) ·

0 Ω

cj (τ )λj ∇wj dx dτ m X j=1

cj (τ )λj wj dx dτ.

Počítejme

Zt Z 0 Ω

=− |

∇um :

Zt

Z

m X j=1

cj (τ )λj ∇wj dx dτ m X

∆um :

j=1

0 Ω

Rt R

0 Ω

(

(P ∆um +∇z)

cj (τ )λj wj dx dτ .

{z

Pm

j=1

cj (τ )λj

wj

) dx dτ

}

3.3. REGULARITA (N = 2)

49

Celkem tedy máme Zt m 2 Zt

2

∂u 2

dτ + ν ∇2 um 2 dτ + k∇um k2 (t)

∂t 2 0

0

Zt Zt ∂um 2 1

2 2 ≤C

dτ + ν kP ∆um k2 dτ + (1 + ν) k∇um k2 (t)

∂t 2 2 0

0

≤

Zt 0

+C

∂um

kfk2

+ kP ∆um k2 dτ ∂t 2

Zt Z 0

(3.15)

1/2 Z ∂um 2 1/2 2 |∇um |2 |um |2 dx + (P ∆um ) dx dτ ∂t

Ω

Ω

Zt Zt

2 1 1

∂um 2 m 2 +Ck∇u (0)k2 ≤

dτ + ν ∇2 um 2 dτ

2 ∂t 2 4 0

0

+C(ν)

Zt 0

2

kfk22 dτ + C k∇um (0)k2 + C

I≤ ≤

0

1 ν 4

Celkem máme

2 k∇um k4

Z

0

t

2 kum k4

dτ ≤ C

2 m 2

∇ u + C(ν) 2

0 Ω

2

Zt 0

Zt 0

2

|∇um | |um | dx dτ ,

|

přičemž konvektivní člen odhadneme Zt

Zt Z

{z

}

I

2

k∇um k1,2 k∇um k2 kum k2 dτ 4

k∇um k2 dτ.

Zt m 2 Zt

2

∂u 2

dτ + ν ∇2 um 2 dτ + k∇um k2 (t) ∂t 2 0

0

≤ k∇u

m

2 (0)k2

+ C(ν)

Zt 0

2 kfk2

dτ + C(ν)

Zt 0

4

k∇um k2 dτ.

Z Gronwallovy nerovnosti (integrální tvar) f (t) ≤ f (0) +

Zt

g(τ ) dτ +

0

f (t) ≤ f (0) +

Zt 0

Zt

h(τ )f (τ ) dτ =⇒

0

Rt

g(τ ) dτ e0

h(τ ) dτ


50

2

2

volbou f = k∇um (t)k2 , h = k∇um (t)k2 ∈ L1 (0, T ) plyne sup k∇um (t)k2 ≤ C k∇um (0)k2 ,

(0,T )

ZT 0

2 kfk2 dτ, T .

Pokud toto dosadíme zpět do odhadu výše, dostáváme Zt m 2 Zt

∂u 2 2

dτ + ν kP ∆um k2 dτ + sup k∇um (t)k2

∂t 2 (0,T ) 0

0

≤ C k∇um (0)k2 ,

ZT 0

2

kfk2 dτ, T

≤ C (u0 , f, T ) ,

neboť k∇um (0)k2 ≤ k∇u0 k2 . Nyní stačí použít lemma 3.3.1 a přejít s m → ∞. Pokud nemáme informaci o počáteční podmínce, zvolíme funkci g(t) := 0 g(t) := 1 g ∈ C 1 ([0, T ])

0
δ , 2

t > δ, g≥0

a před integrováním přes čas nerovnost násobíme funkcí g. Potom Zt 0

d 2 2 k∇um (τ )k2 dτ = g(t) k∇um (t)k2 − g(τ ) dt

Zt 0

2

g ′ (τ ) k∇um (τ )k2 dτ.

Druhý člen dáme na pravou stranu a v odhadech pokračujeme stejně jako výše. Díky vlastnostem funkce se nám „ztratíÿ informace o chování pro časy blížící se k nule, ale zato nepotřebujeme vědět nic o gradientu počáteční podmínky. Věta je dokázána. Nyní bychom mohli studovat další regularitu. Je možné dokázat, že je li div u0 = 0, u0 = 0 na ∂Ω a f ∈ (C ∞ (0, T ) × Ω )N , potom též u ∈ (C ∞ (0, T ) × Ω )2 , p ∈ C ∞ (0, T ) × Ω — pozor, ne až do času 0, to jen při splnění jistých podmínek kompatibility mezi u0 a f + regularita u0 . To nás nebude v tomto okamžiku zajímat. My budeme studovat spíše jednoznačnost a regularitu ve třech dimenzích.

3.4

Jednoznačnost (N = 3)

Nejprve si uvědomme, že obecně ne každé slabé řešení Navier–Stokesových rovnic ve třech prostorových dimenzích nutně splňuje energetickou nerovnost. Platí ale

3.4. JEDNOZNAČNOST (N = 3)

51

Lemma 3.4.1. Nechť u je slabé řešení Navierových–Stokesových rovnic, které navíc patří do L4 0, T ; (L4 (Ω))N 4 . Potom u splňuje energetickou rovnost. Důkaz. Ukažme, že je-li navíc rovnic a navíc u slabé řešení2Navier–Stokesových 1,2 ∗ ∈ L (0, T ; (W ) ). Máme totiž patří do L4 0, T ; (L4 (Ω))N , potom ∂u 0,div ∂t sup 1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W 0,div

ϕk≤1 kϕ

ZT ∂u , ϕ dτ = ∂t (Ω)) 0

sup 1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W (Ω)) 0,div

ϕk≤1 kϕ

≤

Z Z ZT ϕ dx + hf, ϕ i − (u · ∇u) · ϕ dx dτ − ν ∇u : ∇ϕ 0

sup 1,2 ϕ ∈L2 (0,T ;W (Ω)) 0,div

ϕk≤1 kϕ

Ω

ZT 0

Ω

2

ϕk2 + kfk−1,2 kϕ ϕk1,2 + k∇ϕ ϕk2 kuk4 k∇uk2 k∇ϕ

dτ

≤ C. Proto můžeme vzít za testovací funkci samotné řešení u, všechny integrály jsou konečné. Integrací přes čas máme Z Z 1 d 2 2 kuk2 + ν |∇u| dx = − (u · ∇u) · u dx + hf, ui . 2 dt Ω Ω | {z } =0

Navíc u ∈ C([0, T ]; L20,div (Ω)) a tudíž integrací přes čas 1 2 ku(t)k2 + ν 2

Zt Z

0 Ω

1 2 |∇u| dx dτ = ku0 k2 + 2 2

Zt 0

hf, ui dt

∀t ∈ [0, T ] .

Poznámka. Připomeňme, že ve dvou prostorových dimenzích patří slabé řešení Navier–Stokesových rovnic do u ∈ L4 (0, T ; (L4 (Ω))2 ) a tedy splňuje nejen energetickou nerovnost, ale dokonce energetickou rovnost. Obecně není známo, zda je třída slabých řešení ve třech prostorových dimenzích třídou jednoznačnosti. Platí ale Věta 3.4.1. Nechť u, v jsou dvě slabá řešení Navier–Stokesových rovnic odpovídající týmž datům. Nechť u splňuje energetickou nerovnost a nechť v splňuje navíc v ∈ Lt (0, T ; (Ls (Ω))3 ),

2 3 + = 1, s ∈ [3, ∞] . t s

Potom u = v s.v. na (0, T ) × Ω. 4 Tuto

podmínku se podařilo v jistém smyslu zeslabit, viz [3]. Podmínku na dodatečnou regularitu řešení lze vyjádřit pomocí Sobolev–Slobodetského prostorů, tj. prostorů s neceločíselnou derivací.


52

Poznámka. Jedná se o jednoznačnost typu silné řešení = slabé řešení. Tedy je vidět, že regularita a jednoznačnost slabých řešení jsou dosti provázány. Podmínky z věty 3.4.1 na v se v literatuře často nazývají Prodi–Serrinovy podmínky. Důkaz (věty 3.4.1). Budeme jej dělat pro s > 3. Případ L∞ (0, T ; (L3 (Ω))3 ) je technicky komplikovanější. Nejprve proveďme formální důkaz. Vezměme jako testovací funkci pro u a v rozdíl u − v (to ale nemůžeme) a odečtěme od sebe výsledné nerovnosti. Máme Z Z 1 d 2 ku − vk2 + ν |∇(u − v)|2 dx = (v · ∇v − u · ∇u) · (u − v) dx 2 dt =

Z

Ω

(v · ∇v) · (u − v) dx −

Ω

−

Z

Z

=

(u · ∇(u − v)) · (u − v) dx

Ω

|

(u · ∇v) · (u − v) dx = −

Ω

Z

Ω

Z

{z

(3.16)

}

=0

((u − v) · ∇v) · (u − v) dx

Ω

(u − v) ⊗ v : ∇(u − v) dx.

Ω

Odhadujme člen napravo Z |K.Č.| ≤ |∇(u − v)| |u − v| |v| ≤ k∇(u − v)k2 ku − vk 2s kvks s−2 | {z } | {z } |{z} Ω

2

s+3 s

≤ k∇(u − v)k2 ku − vk

2s s−2

2s s−2

s−3 s

ku − vk2 s−3 s

≤ ku − vk2

s

kvks , 3

ku − vk6s ,

2s 1 2 2 ν k∇(u − v)k2 + C(ν) ku − vk2 kvkss−3 . 2 (Je-li s = 3, pak tento důkaz nefunguje.) Pro s = ∞ lze konvektivní člen odhadnout pomocí

=⇒ |K.Č.| ≤

kvk∞ ku − vk2 k∇(u − v)k2 ≤

1 2 2 2 k∇(u − v)k2 + C ku − vk2 kvk∞ . 2

Tedy celkem

d 2 2 t ku − vk2 ≤ C ku − vk2 kvks , dt a protože (u − v)(0) = 0, plyne z Gronwallovy nerovnosti, že u − v = 0.

Pokusme se nyní odvodit vztah (3.16) rigorózně; resp. odvodíme tvar zintegrovaný přes čas a místo rovnosti budeme mít nerovnost. To však na samotný závěr důkazu nemá vliv, bude nám to naprosto stačit. Prvním vztahem, který máme k dispozici, je energetická nerovnost pro u: 1 2 ku(t)k2 + ν 2

Zt Z

0 Ω

1 2 |∇u| dx dτ ≤ ku0 k2 + 2 2

Zt 0

hf, ui dτ.

(3.17)

3.4. JEDNOZNAČNOST (N = 3)

53

Dále v ∈ L4 (0, T ; (L4 (Ω))3 ), což plyne jednoduše interpolací a tudíž dle lemmatu 3.4.1 1 2 kv(t)k2 + ν 2

Zt Z

1 2 |∇v| dx dτ = ku0 k2 + 2 2

0 Ω

Zt 0

hf, vi dτ.

(3.18)

Je třeba ukázat, že mohu vzít za testovací funkci pro v funkci u a naopak. 1,2 ∗ 2 Z důkazu lemmatu 3.4.1 víme, že ∂v ∂t ∈ L (0, T ; (W0,div ) ), a tudíž můžeme 1,2 použít u ∈ L2 (0, T ; W0,div (Ω)) jako testovací funkci. Máme tedy −

Zt D 0

=−

∂v E ,u − ∂t

Zt 0

Zt Z

0 Ω

(v · ∇v) · u dx dτ − ν

Zt Z

0 Ω

∇v : ∇u dx dτ

hf, ui dτ.

(3.19)

Zbývá poslední – testování rovnice pro u funkcí v. Ukažme nejprve, že ∗ 1,2 L2 (0, T ; W0,div (Ω)) ∩ Lt (0, T ; (Ls (Ω))3 ) : ZT D 0

∂u E , ϕ dτ ∂t

= −ν −

ZT Z

0 Ω

ZT 0

ϕ dx dτ − ∇u : ∇ϕ

ZT Z

0 Ω

∂u ∂t

∈

(u · ∇u) · ϕ dx dτ

hf, ϕ i dτ.

První a třetí člen odhadujeme standardně, pro konvektivní člen máme (viz výše) ZT ZT Z ϕks kuk 2s dτ (u · ∇u) · ϕ dx dτ ≤ k∇uk2 kϕ s−2 0

0 Ω

≤

ZT 0

2

k∇uk2 dτ

s+3 ZT 2s

0

2s

ϕkss−3 dτ kϕ

s−3 2s

1− 3

kukL∞s(0,T ;(L2 (Ω))3 ) .

Případ s = ∞ je ponechán jako cvičení čtenáři. Tudíž můžeme testovat rovnici pro u funkcí v: −

Zt D 0

−ν

∂u E , v dτ − ∂t

Zt Z

0 Ω

Zt Z

0 Ω

(u · ∇u) · v dx dτ

∇u : ∇v dx dτ = −

Zt 0

hf, vi dτ.

(3.20)

Budeme-li postupovat stejně jako v lemmatu 2.2.4 (viz též poznámka před ním),


54

můžeme dokázat (pomocí aproximace), že Zt D 0

=

Z

∂u E D ∂v E ,v + , u dτ = ∂t ∂t

(u · v)(t) dx −

Ω

Z

Zt

d dt

0

Z

u · v dx dτ

Ω

(u · v)(0) dx.

(3.21)

Ω

Poznamenejme, že u ∈ C([0, T ]; (L20,div (Ω))w ) a v ∈ C([0, T ]; L20,div (Ω)) a tedy hodnota v nule je dobře definovaná. Pokud sečteme (3.17)–(3.20) a použijeme (3.21), dostáváme 1 2 ku − vk2 (t) + ν 2 +

Zt Z

0 Ω

Zt Z

0 Ω

2

|∇(u − v)| dx dτ ≤

Zt Z

0 Ω

(v · ∇v) · u dx dτ

(u · ∇u) · v dx dτ

a dále postupujeme úplně stejně jako ve formální části důkazu.

3.5

Globální podmíněná regularita (N = 3)

Cílem je dokázat následující Věta 3.5.1. Nechť Ω ⊂ R3 , Ω ∈ C 2 , u je slabé řešení Navier–Stokesových rovnic s počáteční podmínkou u0 ∈ L20,div (Ω) a pravou stranou f ∈ L2 (0, T ; (L2 (Ω))3 ). Nechť u ∈ Lt (0, T ; (Ls (Ω))3 ), 2t + 3s ≤ 1, s > 3 nebo kukL∞ (0,T ;(Ls (Ω))3 ) je dostatečně malá. Potom toto slabé řešení u ∈ L2 (ε, T ; (W 2,2 (Ω))3 ) ∩ L∞ (ε, T ; (W 1,2 (Ω))3 ), ∂u 2 2 3 ∂t ∈ L (ε, T ; (L (Ω)) ) ∀ε > 0. Větu dokážeme ve dvou krocích. Nejprve uvažujme úlohu ∂v + u · ∇v − ν∆v + ∇π = f, ∂t div v = 0, v(0, x) v|∂Ω

(3.22)

= u0 (x), = 0

(ve slabém smyslu). Ukážeme nejprve Lemma 3.5.1. Nechť u, u0 , f a Ω splňují předpoklady věty 3.5.1. Nechť navíc 1,2 u ∈ L2 (0, T ; W0,div (Ω)) ∩ L∞ (0, T ; L20,div (Ω)). Potom existuje právě jedno řešení (3.22) ve slabém smyslu. Navíc, v ∈ 2 2 3 L2 (ε, T ; (W 2,2 (Ω))3 ) ∩ L∞ (ε, T ; (W 1,2 (Ω))3 ), ∂v ∂t ∈ (L (ε, T ; L (Ω)) ). Dále pak

3.5. GLOBÁLNÍ PODMÍNĚNÁ REGULARITA (N = 3)

55

Lemma 3.5.2. Nechť u je slabé řešení Navier–Stokesových rovnic odpovídající datům u0 , f a v je slabé řešení (3.22) odpovídající týmž datům. Nechť jsou splněny předpoklady věty 3.5.1. Potom u = v s.v. v (0, T ) × Ω. Zřejmě lemma 3.5.1 a lemma 3.5.2 implikují důkaz věty 3.5.1. Připomeňme pouze (viz [4], [5], [19]), že pro případ Ω = R3 , Ω = R3+ nebo Ω ∈ C 2 stačí předpokládat, že u ∈ L∞ (0, T ; (L3 (Ω))3 ). Důkaz uděláme pouze za předpokladu s > 3, případ s = 3 s dodatečným předpokladem malosti se dokazuje analogicky a je ponechán jako cvičení. Poznamenejme dále, že díky větě 3.5.1 můžeme stejně jako ve dvou prostorových dimenzích dokázat plnou regularitu. Speciálně, pokud pravá strana a oblast Ω jsou C ∞ , potom je také řešení C ∞ , ale obecně ne až do 1,2 času 0. Konečně, je-li u0 ∈ W0,div (Ω), pak tvrzení věty 3.5.1 platí s ε = 0. Důkaz (lemmatu 3.5.1). Existence řešení se dokazuje Galerkinovskou metodou. Vezměme si bázi tvořenou vlastními vektory Stokesova problému a slabé řešení konstruujeme jako v existenční větě pro Navier–Stokesovy rovnice. Zřejmě uká R žeme ( u · ∇vk · vk dx = 0!), že Ω

k

v ∞ + ν ∇vk L2 (0,T ;(L2 (Ω))3×3 ) L (0,T ;(L2 (Ω))3 ) ≤ C kfkL2 (0,T ;(L2 (Ω))3×3 ) , ku0 k2 .

Navíc, analogicky jak bylo ukázáno několikrát výše,

∂vk

≤ C kfkL2 (0,T ;(L2 (Ω))3 ) , ku0 k2 .

2

1,2 ∗ ∂t L (0,T ;(W0,div (Ω)) )

Stejně jako pro případ dvou prostorových dimenzích použijeme jako testovací k ∂ k k k funkce ∂v ∂t a −P ∆v (tj. j-tou rovnici násobíme λj cj (t) resp. ∂t cj (t)). Dostáváme (viz 2D)

1 d

∇vk 2 + ν P ∆vk 2 = 2 2 2 dt

Z

Ω

Z

∂vk 2

1 d

k 2

ν ∇v 2 +

=− 2 dt ∂t 2

Ω

u · ∇v

k

k

· P ∆v dx − k

∂v dx + u · ∇vk · ∂t

Z

Z

P ∆vk · f dx

Ω

f·

∂vk dx. ∂t

Ω

Člen s f nečiní potíže, je třeba odhadnout konvektivní člen. Z

Ω

Tedy

3s

s−3 u · ∇vk · a dx ≤ kak2 kuks ∇vk 2 s ∇vk 1,2

2

2 2s 2 ≤ ε kak2 + ε P ∆vk 2 + C(ε) kukss−3 ∇vk 2 , 1 3 1 2s + + = 1 =⇒ q = . 2 2s q s−3

∂vk 2

2 2s d

2

∇vk 2 + ν P ∆vk 2 +

≤ C1 kukss−3 ∇vk 2 + C2 kfk2 .

2 2 dt ∂t 2


56

Nyní stejně jako v případě dvou dimenzí odvodíme z Gronwallovy nerovnosti k (násobíme seřezávací funkcí času), odhad pro ∇vk , P ∆vk a ∂v ∂t na (ε, T ). Limitní přechod v rovnicích je jednoduchý, neboť máme silnější odhady než pro Navier–Stokesovy rovnice a jen lineární rovnici. Jednoznačnost je důsledkem linearity. Důkaz (lemmatu 3.5.2). Vezměme ε > 0 pevné. Potom Zt Z

∂v · ϕ 1 dx dτ + ν ∂t

=

Z

ε Ω Zt

ε Ω

f · ϕ 1 dx dτ

Zt Z

ϕ1 dx dτ + ∇v : ∇ϕ

ε Ω

Zt Z

ε Ω

(u · ∇v) · ϕ 1 dx dτ

1,2 ϕ1 ∈ W0,div ∀ϕ (Ω).

(3.23)

Protože předpoklady na u zaručují, že u ∈ (L4 ((0, T ) × Ω))3 , u splňuje energetickou rovnost a tudíž 1 1 2 2 ku(t)k2 − ku(ε)k2 + ν 2 2

Zt ε

2 k∇uk2

dτ =

Zt Z

ε Ω

f · u dx dτ.

(3.24)

Dále Zt ε

+

d dt Zt

Z

ε Ω

Z

Ω

Zt Z Zt Z ϕ2 ∂ϕ ϕ dx dτ dx dτ + ν u · ϕ 2 dx dτ − ∇u : ∇ϕ u· ∂t

(u · ∇u) · ϕ 2 dx dτ = 2

ϕ2 ∈ L ∀ϕ

ε Ω

ε Ω

1,2 (ε, T ; W0,div (Ω)

Zt

Z

ε Ω

f · ϕ 2 dx dτ

∩ (W 2,2 (Ω))3 );

(3.25)

ϕ2 ∂ϕ ∈ L2 (ε, T ; (L2 (Ω))3 ). ∂t

Tedy volbou ϕ1 ϕ2

:= :=

v − u, −v,

a sečtením (3.23) + (3.24) + (3.25) máme pro w := u − v 1 2 kw(t)k2 + ν 2

Zt Z

ε Ω

|∇w|2 dx dτ =

1 2 kw(ε)k2 2

(neboť Zt Z

[(u · ∇v) · (v − u) − (u · ∇u) · v] dx dτ

Zt Z

Zt Z

ε Ω

=

ε Ω

[u · ∇v − u · ∇u] · (v − u) dx dτ =

ε Ω

(u · ∇w) · w dx dτ = 0

3.6. LOKÁLNÍ REGULARITA (N = 3)

57

a člen má smysl!). Nyní pošleme ε → 0+ . Protože u splňuje energetickou (ne)rovnost, je 2 2 lim ku(ε)k2 = ku0 k2 . ε→0+

Dále díky konstrukci máme (v splňuje energetickou rovnost v (0, T )) 2

2

lim kv(ε)k2 = ku0 k2 .

ε→0+

Proto, použitím slabé spojitosti, lim ku(ε) − u0 k2 = lim kv(ε) − u0 k2 = 0, ε→0+

ε→0+

což dává lim k(u − v)(t)k2 = 0,

t→0+

tj. w = 0 s.v. na (0, T ) × Ω.

3.6

Lokální regularita (N = 3)

1,2 Nechť f ∈ L2 (0, T ; (L2 (Ω))3 ), u0 ∈ W0,div (Ω). Ukažme, že ∃T ∗ > 0 tak, že řešení 1,2 ∞ ∗ Navier–Stokesových rovnic je z L (0, T ; W0,div (Ω)) ∩ L2 (0, T ∗ ; (W 2,2 (Ω))3 ) a ∂u 2 ∗ 2 3 ∂t ∈ L (0, T ; (L (Ω)) ) (a totéž pro ∇p). 1,2 Věta 3.6.1. Nechť Ω ⊂ R3 , Ω ∈ C 2 , u0 ∈ W0,div (Ω), f = 0 (pro jednoduchost). ∗ ∗ Potom ∃T = T (ν, ku0 k1,2 , Ω) tak, že na (0, T ∗ ) existuje právě jedno „re3

Cν gulárníÿ řešení Navier–Stokesových rovnic; speciálně T ∗ ≥ k∇u 4 , C = C(Ω). 0 k2 Navíc ∃G = G(ξ), ξ > 0 tak, že pro ku0 k2 ≤ G (k∇u0 k2 ), T ∗ může být libovolné Cν 2 kladné číslo. Pro Ω omezenou, G = k∇u , C = C(Ω). 0k 2

Poznámka. Větu lze interpretovat dvojím způsobem. Tvrzení platí, pokud buď je počáteční podmínka v L2 (Ω) dostatečně malá nebo viskozita ν je dostatečně velká. Důkaz. a) „krátký časÿ Postupujeme jako při konstrukci Galerkinovou metodou v předchozí větě. Máme tedy Z Z

1 d

∇uk 2 + ν P ∆uk 2 dx = uk · ∇uk P ∆uk dx. 2 2 dt Ω

Ω

Odhadněme konvektivní člen:

3

k 23

e

∇u P ∆uk 2 K.Č. ≤ uk ∇uk P ∆uk ≤ C(Ω) 2 2 2 3 6

2 C(Ω) −3 k 6 1 k ≤ ν P ∆u 2 + ν ∇u 2 . 2 2

2 Pokud položíme y = ∇uk 2 , máme dy y02 1 1 . ≤ C(Ω)ν −3 y 3 =⇒ 2 = −2Kt + 2 =⇒ y 2 = dt | {z } y y0 1 − 2Kty02 K


58

Tedy řešení existuje, pokud 1 − 2KT ∗ y02 > 0 =⇒ T ∗ <

ν3 1 = 4. 2 2Ky0 2C(Ω) k∇u0 k2

k

k Testováním ∂u ∂t a použitím odhadu na ∆u dostaneme požadované odhady pro časovou derivaci.

b) „dlouhý časÿ Nyní odhadujme konvektivní člen poněkud jinak

1

1

K.Č. ≤ uk ∇uk P ∆uk ≤ C uk 2 ∇uk 2 P ∆uk 2 , 2 2 2 2 6 3 1 1

1 d 2 2

∇uk + ν − C(Ω) uk 2 ∇uk 2 P ∆uk ≤ 0. 2 2 2 2 2 dt 1

1

Je-li ν − C(Ω) ku(t)k22 k∇u(t)k22 > 0, pak

k

∇u (t) ≤ k∇u0 k . 2 2

Ale protože

plyne z předpokladu

k

u (t) ≤ ku0 k , 2 2 1

1

ν − C(Ω) ku0 k22 k∇u0 k22 > 0 nerovnost

1

1

ν − C(Ω) uk (t) 22 ∇uk (t) 22 > 0

∀t > 0.

Tím dostaneme hledané odhady pro ∇uk v L∞ (0, T ; (L2 (Ω))3×3 ) a pro uk v L2 (0, T ; (W 2,2 (Ω))3 ). Odhad pro časovou derivaci se již dokáže lehce. Poznámka. Je-li Ω ∈ C ∞ , u0 ∈ (C ∞ (Ω))3 , pak u ∈ C ∞ (0, T ) × Ω (a stačí i 1,2 u0 ∈ W0,div (Ω) pro lokální regularitu v čase). Ale nemůžeme z principu očekávat, ∞ Ω × [0, T ] . Proč: že u ∈ C u|∂Ω×(0,T ) = 0, tedy nutně na ∂Ω : ∂u0 + u0 · ∇u0 −ν∆u0 + ∇p(0, x) = f(0, x). | {z } ∂t |{z} =0 =0

Současně má platit

∆p(0, x) ∂p(0, x) ∂n

=

div div (u0 ⊗ u0 ) − div f(0, x)

= −∆u0 · n + f(0, x) · n

v Ω,

na ∂Ω

a podmínka na ∂Ω: −ν∆u0 + ∇p(0, x) = f(0, x) je obecně nadbytečná, tedy je třeba, aby byly navíc splněny nějaké podmínky kompatibility.

3.6. LOKÁLNÍ REGULARITA (N = 3)

59

Poznámka. Nerovnost typu 1 2 ku(t)k2 + ν 2

Zt σ

2

k∇uk2 dτ ≤

1 2 ku(σ)k2 2

pro s.v. σ ≥ 0, ∀t ∈ [σ, T ] se nazývá silná energetická nerovnost (naše byla pro σ = 0). Například pro omezené oblasti existuje řešení, které ji splňuje a mohli bychom to dokázat přímo použitím naší konstrukce, jen bychom museli být opatrnější v limitním přechodu k energetické nerovnosti. V takovém případě platí Věta 3.6.2. Nechť Ω ∈ C ∞ , u je slabé řešení Navier–Stokesových rovnic odpovídající f = 0 a nechť u splňuje silnou energetickou nerovnost. Potom ∃T – sjednocení disjunktních časových intervalů tak, že 1 (a) |(0, ∞) \ T|1 = 0 H 2 ((0, ∞) \ T) = 0 , (b) (c)

(d)

u ∈ (C ∞ (T × Ω))3 , ∃T ∗ ∈ (0, ∞) : (T ∗ , ∞) ⊂ T,

1,2 Pokud u0 ∈ W0,div (Ω), pak ∃T1 > 0 : (0, T1 ) ⊂ T.

Kapitola 4

Appendix: Řešitelnost úlohy div u = f 4.1

Integrální operátory

Dříve než přistoupíme k důkazu lemmatu 2.3.2, připomeňme několik základních výsledků týkajících se integrálních operátorů. Definice 4.1.1. Nechť Ω je omezená oblast a nechť  x−y  Θ x, |x−y| , (x, y) ∈ Ω × Ω, x 6= y, λ K(x, x − y) =  |x − y| 0, jinak, kde Θ ∈ L∞ (Ω × ∂B1 ). Nechť 0 < λ < N . Potom Z T : f 7→ K(x, x − y)f (y) dy Ω

se nazývá slabě singulární operátor. Platí (viz [24] nebo [6]) Věta 4.1.1. Nechť 1 < q < ∞, Ω ⊂ RN je omezená oblast. Potom T : Lq (Ω) → Lq (Ω) a platí kT f kq ≤ C(N, λ, q)|Ω|

N −λ N

Definice 4.1.2. Nechť K(x, z) =

kΘkL∞ (Ω×∂B1 ) kf kq .

z Θ(x, |z| )

|z|N

kde Θ ∈ L∞ (RN × ∂B1 ). Nechť Z Θ(x, z) dSz = 0 |z|=1

Potom [T f ](x) = lim

ε→0+

Z

|x−y|≥ε

60

,

∀x ∈ RN .

K(x, x − y)f (y) dy

4.2. BOGOVSKÉHO OPERÁTOR V OMEZENÝCH OBLASTECH

61

se nazývá singulární integrální operátor Calderón–Zygmundova typu, K je singulární jádro Calderón–Zygmundova typu. Platí (viz [24]) Věta 4.1.2. Nechť 1 < q < ∞ a nechť T je singulární integrální operátor Calderón–Zygmundova typu. Potom T : Lq (RN ) → Lq (RN ) a k[T f ]kq ≤ C(q, N )kΘkL∞ (RN ×∂B1 ) kf kq .

4.2 4.2.1

Bogovského operátor v omezených oblastech Homogenní okrajová podmínka

Studujeme úlohu div v = f

v Ω,

v=0

na ∂Ω,

kde Ω je omezená oblast. Protože předpokládáme, že f ∈ Lq (Ω) pro jisté q > 1 a Ω je dosti hladká, platí Z Z v · n dS = 0, div v dx = ∂Ω

Ω

tedy

Z

f dx = 0

Ω

je nutnou podmínkou řešitelnosti naší úlohy. Označme Z n o p p L (Ω) = f ∈ L (Ω); f dx = 0 . Ω

Hlavním výsledkem je

Věta 4.2.1. Nechť Ω ⊂ RN je omezená oblast s lipschitzovskou oblastí. Potom existuje lineární operátor BΩ = (B1Ω , B2Ω , . . . , BN Ω ) takový, že: (i) BΩ : Lp (Ω) → (W01,p (Ω))N , (ii) Pro f ∈ Lp (Ω)

div(BΩ (f )) = f

1
s.v. na Ω

(iii) ∃C = C(p, N, Ω): ∀f ∈ Lp (Ω) máme k∇BΩ (f )kp ≤ Ckf kp ,

1
(iv) Je-li f = div g, g ∈ E0p (Ω), pak kBΩ (f )kp ≤ C(p, N, Ω)kgkp ,

1
KAPITOLA 4. APPENDIX

62 (v) Je-li f ∈ W0m,p (Ω) ∩ Lp (Ω), m ≥ 0, pak

k∇BΩ (f )km,p ≤ C(p, N, Ω)kf km,p , (vi) Je-li f ∈ C0∞ (Ω) (a samozřejmě

R

Ω

1
f dx = 0), pak BΩ (f ) ∈ (C0∞ (Ω))N .

Poznámka. Poznamenejme, že lemma 2.3.2 je přímým důsledkem předchozí věty. Současně také uveďme, že z důkazu vyplyne, že operátor BΩ nezávisí na p. Místo věty 4.2.1 dokážeme jiné tvrzení, kde předpoklad o lipschitzovskosti hranice nahradíme předpokladem, že Ω je hvězdicovitá vzhledem k jisté kouli BR . Přesněji Lemma 4.2.1. Nechť Ω ⊂ RN je hvězdicovitá vzhledem ke kouli BR (x0 ), kde BR (x0 ) ⊂ Ω. Potom existuje lineární operátor Z BΩ : C0∞ (Ω) = {f ∈ C0∞ (Ω); f dx = 0} → (C0∞ (Ω))N Ω

takový, že f ∈ C0∞ (Ω)

div BΩ (f ) = f, k∇BΩ (f )kq ≤ C(q, N, Ω)kf kq ,

1 < q < ∞.

Navíc, je-li f = div g, g ∈ (C0∞ (Ω))N , pak kBΩ (f )kq ≤ C(q, N, Ω)kgkq ,

1 < q < ∞.

Konstanta C má tvar diam Ω N diam Ω C = C0 (q, N ) 1+ , R R

kde diam Ω = supx,y∈Ω |x − y|.

Poznámka. Věta 4.2.1 plyne z lemmatu 4.2.1 následovně. Použitím lemmatu 2.3.1 rozložíme Ω ∈ C 0,1 na konečný počet podoblastí, které jsou hvězdicovité vzhledem ke koulím, ležícím uvnitř těchto podoblastí. Funkci f ∈ C0∞ (Ω) s nulovým průměrem rozložíme na součet funkcí fi ∈ C0∞ (Ωi ) s nulovým průměrem přes Ωi a na každé množině Ωi zkonstruujeme operátor BΩi . Potom BΩ (f ) =

r+m X

BΩi (fi )

i=1

a díky lemmatu 2.3.1 zůstanou odhady z lemmatu 4.2.1 zachovány i na lipschitzovské oblasti. Nakonec využijeme hustotu hladkých funkcí s kompaktním nosičem v Lq (Ω) respektive v E0p (Ω). Analogicky, použitím hustoty těchto funkcí i v W0m,q (Ω) a mírné úpravě postupu z důkazu lemmatu 4.2.1, se dokáže i odhad pro vyšší derivace, tedy Lemma 4.2.2. Nechť f ∈ W0m,q (Ω) ∩ Lq (Ω). Potom k∇BΩ km,q ≤ C(q, N, Ω)kf km,q ,

m ∈ N0 , 1 < q < ∞.


63

Důkaz. Důkaz proveďte sami tak, že modifikujete příslušná místa důkazu lemmatu 4.2.1 níže. Důkaz (lemmatu 4.2.1). Operátor div je invariantní na translace. Proto stačí uvažovat oblasti Ω, které jsou hvězdicovité vzhledem ke kouli BR (0) se středem v počátku. Kandidátem na řešení je Z Z x−y h ∞ x − y N −1 i v(x) = BΩ (f )(x) = f (y) y + s ω s ds dy, R |x − y|N |x−y| |x − y| Ω (4.1) kde 1 x ωR (x) = N ω , R R a ω je standardní regularizační jádro, tj. ω ∈ C0∞ (RN ), supp ω ⊂ B1 (0) a Z ω dx = 1. RN

Potom supp ωR ⊂ BR (0), kωR kC 0 (RN ) ≤

R

Ω

ωR dx = 1 a

1 kωkC 0 (RN ) , RN

k∇ωR kC 0 (RN ) ≤

1 RN +1

k∇ωkC 0 (RN ) .

Přepišme (4.1) do několika ekvivalentních tvarů. Použitím substituce r = máme

s |x−y|

v(x) =

Z

Ω

Z f (y)(x − y)

∞

1

a použitím substituce s = |x − y| + r v(x) =

Z

f (y)

Ω

(x − y) |x − y|N

Z

0

∞

ωR y + r(x − y) rN −1 dr dy

(4.2)

x−y (|x − y| + r)N −1 dr dy. (4.3) ωR x + r |x − y|

Protože f ∈ C0∞ (Ω), je možno místo místo integrace přes Ω psát integrál přes RN . Substitucí z = x − y v (4.2) máme v(x) =

Z

RN

f (x − z)z

Z

1

∞

ωR (x − z + zr)rN −1 dr dz.

(4.4)

Pro důkaz lemmatu můžeme použít kterékoliv z výše uvedených ekvivaletních vyjádření. Z tvaru (4.4) derivací integrálu podle parametru plyne, že BΩ (f ) ∈ (C ∞ (Ω))N . Ukažme, že supp BΩ (f ) ⊂ A, kde A = {z ∈ Ω; z = λz1 + (1 − λ)z2 , z1 ∈ supp f, z2 ∈ BR (0), λ ∈ [0, 1]}. (Uvědomme si, že Ω je hvězdicovitá vzhledem ke všem bodům z2 a tudíž celá spojnice bodů (z1 , z2 ) leží v Ω.) Nechť x ∈ Ω \ A. Potom y + r(x − y) ∈ / BR (0) pro r ≥ 1, y ∈ supp f , neboť pro w = y + r(x − y) je x = y(1 − 1r ) + w 1r . Proto je BΩ (f )(x) = 0 pro x ∈ Ω \ A. Protože A je kompaktní množina, dokázali jsme, že BΩ (f ) ∈ (C0∞ (Ω))N .


64

Počítejme nyní derivace. Z Z ∂vj (x) ∂f (x − z) ∞ ωR (x − z + zr)rN −1 dr dz = zj ∂xi ∂xi 1 RN Z Z ∞ ∂ω R + f (x − z)zj (x − z + rz)rN −1 dr dz ∂xi N 1 ZR n ∂f (x − z) Z ∞ ωR (x − z + zr)rN −1 dr zj = ∂xi 1 Bε (0) Z ∞ ∂ω o R +f (x − z)zj (x − z + rz)rN −1 dr dz ∂xi 1 Z n Z ∞ ωR (x − z + zr)rN −1 dr + f (x − z) δij B ε (0)

Z

1

o ∂ωR (x − z + rz)rN dr dz ∂xi 1 Z Z zi ∞ ωR (x − z + zr)rN −1 dr dSz + f (x − z)zj |z| 1 ∂Bε (0) +zj

∞

= (Iε1 )ij (x) + (Iε2 )ij (x) + (Iε3 )ij (x).

Zřejmě lim (Iε1 )ij = 0.

ε→0+

Ve druhém integrálu provedeme substituci y = x − z a poté analogické substituce jako při přechodu od tvaru (4.1) ke tvaru (4.3): (Iε2 )ij (x) = i x−y δij N −1 x + r f (y) (|x − y| + r) dr dy+ ω R |x − y|N |x − y| B ε (x) 0 Z Z i h x−y xj − yj ∞ ∂ N x + r (|x − y| + r) dr dy. ω f (y) R |x − y|N +1 0 ∂ξi |x − y| B ε (x) Z

Z

h

∞

Výraz (|x − y| + r)N resp. analogický člen v první integrálu přepíšeme pomocí binomické věty. Člen bez |x − y| ponecháme zvlášť. Protože 0 < r < (R + diam Ω) ≤ 2diam Ω,

|x − y| < diam Ω,

lze odhadnout Z ∞ ∂ x − y N −k ωR x + r r |x − y|k−1 dr ≤ C max |∇ωR |(diam Ω)N , x∈BR ∂ξi |x − y| 0 Z ∞ x − y N −1−k r |x − y|k−1 dr ≤ C max |ωR |(diam Ω)N −1 . ωR x + r x∈BR |x − y| 0 Celkem tedy

(Iε2 )ij = kde Kij (x, z) = Θij

Z

B ε (x)

Kij (x, x − y)f (y) dy +

z Θij (x, |z| ) |z|N

z x, = δij |z|

Z

0

∞

ωR

Z

Gij (x, y)f (y) dy,

B ε (x)

s

z N −1 zj x+r r dr + |z| |z|

Z

0

∞

∂ z N r dr ωR x + r ∂ξi |z|

4.2. BOGOVSKÉHO OPERÁTOR V OMEZENÝCH OBLASTECH a

C(N ) (diam Ω)N −1 diam Ω , 1 + |x − y|N −1 RN R

|Gij (x, y)| ≤

65

(4.5)

x, y ∈ Ω. Třetí integrál můžeme přepsat

=

(Iε3 )ij (x) Z zi ∞ ωR (x − z + rz)rN −1 dr dSz (f (x − z) − f (x))zj |z| 1 ∂Bε (0) Z Z ∞ zi f (x) zj ωR (x − z + rz)rN −1 dr dSz . |z| 1 ∂Bε (0)

Z

+

Nejprve se podívejme na druhý integrál. Substitucí z = εw Z Z ∞ N 3 ωR (x − εw + rεw)rN −1 dr dSw (I ) = f (x)ε w w 2 ε ij j i 1

∂B1 (0)

[ε(r − 1) = t] = f (x)ε Z = f (x)

N −1

Z

wj wi

∂B1 (0)

Z

∞

0

N −1 t +1 dt dSw ωR (x + tw) ε

wi wj ωR (x + w) dw + o(1) |w|2

RN

pro ε → 0+ .

Protože první integrál obsahuje dodatečný člen jdoucí k nule (|f (x − z) − f (x)| ≤ C|z| → 0 pro ε → 0+ ), máme lim (Iε3 )ij (x) = f (x)Hij (x),

ε→0+

kde Hij (x) =

Z

RN

Celkem tedy ∂vj (x) = lim ∂xi ε→0+

Z

wi wj ωR (x + w) dw. |w|2

Kij (x, x−y)f (y) dy +

B ε (x)

Z

Gij (x, y)f (y) dy +f (x)Hij (x),

RN

x ∈ Ω. Protože i x −y ∂ x−y x−y dh k k ωR x + r (|x − y| + r)N = × ωR x + r dr |x − y| |x − y| ∂ξk |x − y| x−y × (|x − y| + r)N + N ωR x + r (|x − y| + r)N −1 , |x − y| dostáváme

=

Z

B ε (x)

=

(Iε2 )ii (x) ∞ i x−y dh ωR x + r (|x − y| + r)N dr dy dr |x − y| 0 Z −→+ − ωR (x) f (y) dy = 0. f (y) dy ε→0

Z

f (y) |x − y|N Z −ωR (x)

B ε (x)

Ω


66 Dále

Z

Hii (x) =

ωR (x + w) dw = 1,

RN

a proto div v(x) = f (x),

x ∈ Ω.

Zbývají dokázat odhady. Díky (4.5) je Gij slabě singulární jádro a díky větě 1 4.1.1 (|Ω| N ≤ diam Ω)

Z

RN

Z

Gij (·, y)f (y) dy ≤ Gij (·, y)f (y) dy q

Ω

diam Ω N diam Ω 1+ kf kq . ≤ C(q, N ) R R

q

Potom

=

Z

|z|=1

δij

Z

Z

∞

Z

RN

Z

∂ ωR (x + rz)rN dr dSz ∂ξi 0 i h ∂ ωR (x + y) dy = 0. δij ωR (x + y) + yj ∂yi

ωR (x + zr)rN −1 dr + zj

0

=

Θij (x, z) dSz

|z|=1

∞

Dále, analogicky jako při odhadech slabě singulárního jádra, z diam Ω N diam Ω sup Θ x, 1+ , ≤ C(N )kωkC 1 (RN ) |z| R R x,z∈RN

a proto

Z

lim +

ε→0

B ε (·)

Kij (·, · − y)f (y) dy

q

diam Ω N diam Ω 1+ kf kq . ≤ C(q, N, ω) R R Poslední člen sup |Hij (x)| = sup

x∈Ω

x∈Ω

Z

RN

wi wj ωR (x + w) dw ≤ |w|2

Z

ωR (y) dy = 1,

RN

a tudíž je odhad diam Ω N diam Ω 1+ kf kq k∇BΩ (f )kq ≤ c0 (q, N ) R R dokázán. Zbývá dokázat odhad pro f = div g, g ∈ (C0∞ (Ω))N . Dosaďme za f do

4.2. BOGOVSKÉHO OPERÁTOR V OMEZENÝCH OBLASTECH vztahu (4.4). Máme Z vj (x) = + =

Z

Bε (0)

B ε (0)

divx g(x − z)zj

Bε (0)

divx g(x − z)zj

Z

+

Z

B ε (0)

=

Z

Z

Z

Z

1

∞

1 ∞

1

h Z g(x − z) δij

ωR (x − z + rz)rN −1 dr dz

∞

∞

ωR (x − z + rz)rN −1 dr dz

ωR (x − z + rz)rN −1 dr dz ωR (x − z + rz)rN −1 dr

1

i ∂ ωR (x − z + rz)(r − 1)rN −1 dr dz ∂ξi 1 Z Z zi ∞ ωR (x − z + rz)rN −1 dr dSz gi (x − z)zj |z| 1 ∂Bε (0) +zj

+

divx g(x − z)zj

67

∞

(Jε1 )ij (x) + (Jε2 )ij (x) + (Jε3 )ij (x),

Stejně jako výše se tedy dostáváme k Z Z vj (x) = lim Kij (x, x − y)gi (y) dy + ε→0+

B ε (x)

RN

ε > 0.

e ij (x, y)gi (y) dy + Hij (x)gi (x), G

e ij je slabě singulární jádro, splňující stejný x ∈ Ω, kde Kij je stejné jako výše, G odhad jako Gij . Proto dostáváme stejný odhad jako v předchozím případě.

Poznámka. V našem případě, tj. pro omezenou oblast, můžeme pro p < N dokázat i odhady kvk N p ≤ Ckf kp , 1 < p < N, N −p

tedy (pro p ≥ N použitím Friedrichsovy nerovnosti) 1 < p < ∞.

kvk1,p ≤ Ckf kp ,

Ovšem konstanta C závisí na Ω přes konstantu z Friedrichsovy nerovnosti resp. Np z vnoření L N −p (Ω) ֒→ Lp (Ω).

4.2.2

Nehomogenní okrajová podmínka

Řešíme úlohu

s podmínkou

div u = f v Ω, u = a na ∂Ω Z

f dx =

Ω

Z

∂Ω

(4.6)

a · n dS.

Věta 4.2.2. Nechť Ω ∈ C 0,1 je omezená oblast. Potom existuje lineární opee Ω = (B e1 , B e2 , . . . , B e N ) takový, že pro f ∈ Lp (Ω), a ∈ (W 1− p1 ,p (∂Ω))N , rátor B Ω Ω Ω splňující podmínku kompatibility Z Z f dx = a · n dS Ω

∂Ω


68 platí

e Ω (f, a) = f div B

e Ω (f, a)) = a, T (B

s.v. na Ω,

kde T je operátor stop. Navíc existuje konstanta C, závislá pouze na dimenzi N , exponentu p a oblasti Ω tak, že e Ω (f, a)k1,p ≤ C(N, p, Ω) kf kp + kak 1 1 < p < ∞. kB 1− p ,p,∂Ω ,

Důkaz. Označme A rozšíření a do (W 1,p (Ω))N , tj. T A = a, kAk1,p,Ω ≤ C(p, N, Ω)kak1− p1 ,p,∂Ω . Položme e Ω (f, a) = BΩ (f − div A) + A, v=B

tedy řešení hledáme ve tvaru v = w + A, kde div w = f − div A, w = 0 na ∂Ω. Zřejmě div v = f, Tv = TA = a a platí kvk1,p ≤ C(p, N, Ω) kAk1,p,Ω + kf − div Akp,Ω ≤ C(p, N, Ω) kf kp + kak1− p1 ,p,∂Ω .

Připomeňme, že pro nehomogenní okrajovou podmínku plyne nutnost alespoň lipschitzovské hranice z toho, aby stopa funkce byla dobře definována. Pro homogenní okrajovou podmínku je také jistá regularita nutná. Následující konstrukce pochází od Luca Tartara a ukazuje, že pro případ nehladké hranice obecně řešení nemusí existovat a to dokonce i v případě p = 2. Uvažujme Ω ⊂ R2 , jejíž hranice je tvořena parabolami y = x2 resp. y = −x2 , 0 < x < 1 a obloukem kružnice y 2 + (x − 1)2 = 1, 1 < x < 2. Nechť u = (u1 , u2 ) je řešením div u = f, kde f ∈ L2 (Ω). Ukažme, že obecně nemusí být |∇u| v L2 (Ω). Položme g(x) =

Z

x2

−x2

∂u2 dy = + ∂x ∂y

∂u

1

Z

x2

−x2

∂u1 (x, y) dy, ∂x

protože u2 ∈ W01,2 (Ω). Dále definujme pro s.v. x ∈ (0, 1) A(x) =

Z

x2

u1 (x, y) dy.

−x2

Potom, díky tomu, že u1 ∈ W01,2 (Ω), d A(x) = dx

Z

x2

−x2

∂ u1 (x, y) dy + 2x(u1 (x, x2 ) + u1 (x, −x2 )) ∂x Z x2 ∂ = u1 (x, y) dy. ∂x 2 −x

Proto g(x) = A′ (x). Ale A(0) = 0, tedy Z x g(s) ds. A(x) = 0

(4.7)


69

Dále, díky tomu, že u1 (x, −x2 ) = 0 pro s.v. x ∈ (0, 1), Z y ∂ u1 (x, y) = u1 (x, τ ) dτ. ∂τ 2 −x Proto použitím Fubiniho věty A(x) =

Z

x2

−x2

=

Z

2

x

−x2

Z

y

−x2

∂ u1 (x, τ ) dτ dy = ∂τ

(x2 − τ )

x2

−x2

∂ u1 (x, τ ) dτ, ∂τ

a tedy

23/2 3 x 31/2

|A(x)| ≤ Proto

neboť

Z

Z

∂u

x2

1

∂y

−x2

Z

x2

τ

∂ u1 (x, τ ) dy dτ ∂τ

2 12 (x, y) dy .

A(x) ∈ L2 (0, 1), x3 Z

0

1

A(x) 2 x3

8 dx ≤ 3

Z

0

1

Z

x2

−x2

∂u

1

∂y

2 (x, y) dy dx

a u1 ∈ W 1,2 (Ω). Vezměme nyní f (x) = xα , x ∈ (0, 1), prodlouženo na Ω takovým způsobem, R aby Ω f (x, y) dx dy = 0. Protože f ∈ L2 (Ω), speciálně musí platit Z

0

tj.

1

Z

x2

−x2

Z

0

x2α dy dx < ∞,

1

x2α+2 dx < ∞,

a tedy 2α + 2 > −1. Proto naše f patří do L2 (Ω) právě tehdy, když je α > − 23 . Na druhou stranu Z x2 Z x2 g(x) = − div u(x, y) dy = f (x, y) dy = 2xα+2 −x2

−x2

pro x ∈ (0, 1). Proto vzhledem k (4.7) Z x 2y α+2 dy = A(x) = 0

2 xα+3 , α+3

pokud α > −3, což je splněno díky požadavkům na f . Podmínka dává xα ∈ L2 (0, 1),

A(x) x3

∈ L2 (0, 1)

což je splněno pro α > − 21 a to je silnější požadavek než podmínka plynoucí z předpokladu f ∈ L2 (Ω) (tj. α > − 23 ). To znamená, že podmínka f ∈ L2 (Ω) není dostačující proto, aby existovalo u ∈ (W01,2 (Ω))2 řešící naší úlohu.


70

4.3

Neomezené oblasti

Označme pro 1 ≤ p < ∞ D01,p (Ω) = {u ∈ C0∞ (Ω)}

k∇· kp

.

Poznamenejme, že pro Ω omezenou dostáváme prostor W01,p (Ω), tedy netriviální případ dostáváme pouze pro Ω neomezenou. Poznamejme, že pro 1 ≤ p < N a ∂Ω ∈ C 0,1 (pokud je neprázdná) je Np

D01,p (Ω) = {u ∈ L1loc (Ω); ∇u ∈ (Lp (Ω))N ; u ∈ L N −p (Ω); T u|∂Ω = 0}. Je-li p ≥ N , potom D01,p (Ω) = {u ∈ Lploc (Ω); ∇u ∈ (Lp (Ω))N ; T u|∂Ω = 0}. Pro Ω = RN , p ≥ N je D01,p (RN ) = {u = {˜ u + C}C∈R ; u ˜ ∈ Lploc (RN ); ∇˜ u ∈ (Lp (RN ))N }.

4.3.1

Celý prostor

V tomto případě je řešení úlohy div u = f obzvláště jednoduché. Lze totiž hledat řešení ve tvaru u = ∇ψ, tj. ∆ψ = f

v RN

a tedy BRN (f ) = ∇E ∗ f,

kde E je fundamentální řešení Laplaceovy rovnice. Máme (důkaz je zřejmý a je ponechán jako užitečné cvičení) Věta 4.3.1. Operátor BRN : Lp (RN ) → (D01,p (RN ))N , 1 < p < ∞. Pro f ∈ Lp (RN ) platí s.v. na RN div BRN (f ) = f a k∇BRN (f )kp ≤ C(p, N )kf kp ,

1 < p < ∞.

Je-li f ∈ C0∞ (RN ), potom BRN (f ) ∈ (C ∞ (R))N a |BRN (f )|(x) ≤

C(p, N, R) |x|N −1

pro všechna x ∈ B R (0), R > 0.

4.3.2

Vnější oblasti

Věta 4.3.2. Nechť Ω je vnější oblast s lipschitzovskou hranicí. Potom existuje lineární operátor BΩ = (B1Ω , B2Ω , . . . , BN Ω ) takový, že (i) BΩ : Lp (Ω) → (D01,p (Ω))N , 1 < p < ∞ (ii) div BΩ (f ) = f s.v. v Ω, f ∈ Lp (Ω)

4.3. NEOMEZENÉ OBLASTI

71

(iii) k∇BΩ (f )kp ≤ C(p, Ω)kf kp , 1 < p < ∞ (iv) Je-li f ∈ C0∞ (Ω), pak BΩ (f ) ∈ (C ∞ (Ω))N a |BΩ (f )|(x) ≤ x ∈ B R (0), R > R0 takové, že Ωc ⊂ BR0 (0).

C(p,N,R) |x|N −1

pro

Důkaz. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že f ∈ C0∞ (Ω), tj. použijeme větu o hustotě. Prodlužme f nulou tak, že f ∈ C0∞ (RN ). Položme v = u + w, kde u=

 

1  ∇E ∗ f − |Ω | R0

 

∇E ∗ f, 1 < p < N

Z

ΩR0

1,p N ∇E ∗ f dx, N ≤ p < ∞  ∈ (D0 (R)) ,

tj. div u = f na RN . Proto div w = 0 na Ω a je třeba zvolit w tak, aby vyeliminovalo nenulovou podmínku u na ∂Ω. Tedy div w = 0 na ΩR0 = Ω ∩ BR0 (0), w = −u na ∂Ω, w=0 na ∂BR0 (0). Protože

Z

∂Ω

u · n dS +

Z

∂BR0

0 dS = −

Z

∂Ωc

u · n dS = 0,

je splněna podmínka kompatibility a tudíž w existuje dle věty 4.2.2. Dodefinujme w nulou vně BR0 (0). Máme tedy splněno (ii), (iv) a zbývá dokázat odhady. Zřejmě k∇ukp,RN ≤ Ckf kp . Dále, díky Poincarého nerovnosti,

k∇wkp,RN ≤ k∇wkp,ΩR0 ≤ C(p, N, ΩR0 )kTr uk1− p1 ,p,∂Ω ≤ Ckuk1,p,ΩR0 ≤ Ck∇ukp,ΩR0 ≤ Ckf kp .

4.3.3

Oblasti s nekompaktní hranicí

Uvažujme oblast Ω = {x ∈ RN ; xN > F (x1 , . . . , xN −1 ) = F (x′ )}, kde F je globálně lipschitzovská funkce. Bez újmy na obecnosti předpokládejme F (0) = 0. Jako příklad uveďme Ω = {x ∈ RN ; xN > (|x′ | + 1)α − 1},

α ≤ 1.

Tedy oblast Ω obsahuje uvnitř nějaký kužel. Označme pro jisté M > 0 Cϑ+ = {x ∈ RN ; xN > M |x′ |}. Díky předpokladům výše oblast Ω takový kužel pro jisté M uvnitř obsahuje. Platí


72

Věta 4.3.3 (Solonnikov). Nechť Ω je oblast typu výše. Potom existuje operátor BΩ = (B1Ω , B2Ω , . . . , BN Ω ) takový, že (i) BΩ : Lp (Ω) → (D01,p (Ω))N , 1 < p < ∞ (ii) div BΩ (f ) = f s.v. v Ω, f ∈ Lp (Ω) (iii) k∇BΩ (f )kp ≤ C(p, N )kf kp , 1 < p < ∞ (iv) Je-li f ∈ C0∞ (Ω), pak BΩ (f ) ∈ (C ∞ (Ω))N a |BΩ (f )|(x) ≤ x ∈ ΩR , R > 0.

C(p,N,Ω) |x|N −1

pro

− − + Důkaz. Položme Cx = Cx,ϑ = {y ∈ RN ; y − x ∈ C0,ϑ = −C0,ϑ }. Potom Cx ⊂ RN \ Ω. Nechť f ∈ C0∞ (Ω). Prodlužme f nulou vně Ω a položme Z x−y x−y f (y) dy ω v(x) = BΩ (f )(x) = N |x − y| Cx |x − y| Z z z = f (x − z) dz, ω + |z|N |z| C0,ϑ

R + kde ω ∈ C01 (∂B1 (0) ∩ C0,ϑ ), ∂B1 (0) ω dS = 1. Zbytek je analogický jako dříve a je ponechán pro zájemce jako zajímavé cvičení.

4.3.4

Aplikace

Pokud chceme dokázat hustotu hladkých funkcí s nulovou divergencí a s kom1,p paktním nosičem ve W0,div (Ω), je případ, kdy Ω je vnější oblast, podstatně komplikovanější než případ, kdy je Ω omezená oblast. Ukažme důkaz pro případ Ω = RN , kdy všechny těžkosti způsobené tím, že oblast je neomezená, se projeví, ušetříme si pouze problémy kolem hranice, které jsme ovšem řešili v případě omezené oblasti dřive. 1,p (RN ). Vezměme R ≫ 1 a položme uR = uηR , kde ηR Nechť tedy u ∈ W0,div je seřezávací funkce taková, že 1 x ∈ BR (0), ηR (x) = 0 x ∈ B 2R (0), 1,p (RN ))N . Funkce uR 0 ≤ ηR ≤ 1, ∇ηR ≤ C R . Zřejmě limR→∞ uR = u ve (W má již kompaktní nosič, nemá ale nulovou divergenci. Proto položíme

div vR = div uR na B2R (0) \ BR (0), vR |∂BR (0) = vR |∂B2R (0) = 0. Zřejmě řešení existuje a splňuje k∇vR kp,B2R (0)\BR (0) ≤ Ck div uR kp,B2R (0)\BR (0) , kde C nezávisí na R. Proto k∇vR kp,B2R (0)\BR (0) ≤ Cku · ∇ηR kp,B2R (0)\BR (0) ≤

C kukp,B2R (0)\BR (0) . R

4.3. NEOMEZENÉ OBLASTI

73

Díky Poincarého nerovnosti také kvR kp,B2R (0)\BR (0) ≤ CRk∇vR kp,B2R (0)\BR (0) ≤ Ckukp,B2R (0)\BR (0) . Položme wR = uR − vR . Potom wR má kompaktní nosič (B2R (0)), splňuje div wR = div uR − div vR = 0 v RN a platí kwR − uk1,p,RN ≤ ku(1 − ηR )k1,p,B2R (0)\BR (0) + kvR k1,p,B2R (0)\BR (0) ≤ Ckuk1,p,B2R (0)\BR (0) → 0 pro R → +∞. Nyní stačí vzít regularizaci wR,n = ω n1 ∗ wR . Pro vhodnou posloupnost Rn → +∞ máme wRn ,n ∈ (C0∞ (RN ))N , div wRn ,n = 0 (regularizace komutuje s divergencí) a lim wRn ,n = u

n→∞

ve (W 1,p (RN ))N .

Literatura [1] H. Brezis: Analyse Fonctionelle. Théorie et Applications, Masson et Cie , 1983. [2] L. Caffarelli, R. Kohn, L. Nirenberg: Partial regularity of suitable weak solutions of the Navier-Stokes equations, Commun. Pure Appl. Math. 35 (1982) 771–831. [3] A. Cheskidov, S. Friedlander, R. Shvydkoy: On the energy equality and weak solutions of the 3D Navier–Stokes equations, in: Advances in mathematical fluid mechanics, 171–175, Springer, Berlin, 2010. [4] L. Escauriaza, G.A. Seregin, V. Šverák: L3,∞ -solutions of Navier-Stokes equations and backward uniqueness (rusky), Uspekhi Mat. Nauk 58, No. 2 (2003) 3–44; anglický překlad: Russian Math. Surveys 58, No. 2 (2003) 211– 250. [5] L. Escauriaza, G.A. Seregin, V. Šverák: Backward uniqueness for the heat operator in half-space (rusky), Algebra i Analiz 15, No. 1 (2003) 201–214; anglický překlad: St. Petersburg Math. J. 15, No. 1 (2004) 139–148. [6] G.P. Galdi: An Introduction to the Mathematical Theory of the Navier-Stokes Equations I, Springer Tracts in Natural Philosophy, Vol. 38, Springer Verlag, New York, 1994. [7] G.P. Galdi: An introduction to the Navier-Stokes initial-boundary value problem, Galdi, Giovanni P. (ed.) et al., Fundamental directions in mathematical fluid mechanics, Basel: Birkhäuser, 1–70, 2000. [8] Y. Giga, H. Sohr: Abstract Lp Estimates for the Cauchy Problem with Applications to the Navier–Stokes Equations in Exterior Domains, J. Funct. Anal. 102, No. 1 (1991) 72–94. [9] E. Hopf: Über die Anfangswertaufgabe für die Hydrodynamischen Gleichungen, Math. Nachrichten 4 (1951) 213–231. [10] H. Koch, V.A. Solonnikov: Lp -estimates for a solution to the nonstationary Stokes equations. Function theory and phase transitions, J. Math. Sci. (New York) 106, No. 3 (2001) 3042–3072. [11] A. Kufner, O. John, S. Fučík: Function spaces, Academia, Prague, 1977. 74

LITERATURA

75

[12] O.A. Ladyženskaja: The mathematical theory of viscous incompressible flow, New York–London–Paris: Gordon and Breach Science Publishers, 1969. [13] J. Leray: Étude de diverses équations intégrales non linéaires et de quelques problemes de l’hydrodynamique, Journ. de Math. 12, No. 2 (1933) 1–82. [14] J. Leray: Sur le mouvement d’un liquide visqueux emplissant l’espace, Acta Math., 63 (1934) 193–248. [15] J.-L. Lions: Quelques méthodes de résolution des probl` emes aux limites non linéaires, Etudes mathematiques, Paris: Dunod; Paris: GauthierVillars, 1969. [16] P.-L. Lions: Mathematical Topics in Fluid Mechanics, Volume I: Incompressible Models, Clarendon Press, Oxford, 1996. [17] J. Málek, J. Nečas, M. Pokorný, M.E. Schonbek: On possible singular solutions to the Navier-Stokes equations, Math. Nachr. 199 (1999) 97–114. [18] J. Málek et al.: Moderní teorie PDR, učební elektronický text MFF UK, http://www.karlin.mff.cuni.cz/~rokyta/vyuka/skripta-pdr/index.html [19] A.S. Michailov, T.N. Shilkin: L3,∞ -solutions to the 3D-Navier-Stokes system in the domain with a curved boundary (rusky), Zap. Nauchn. Sem. S.Peterburg. Otdel. Mat. Inst. Steklov. (POMI) 336 (2006), Kraev. Zadachi Mat. Fiz. i Smezh. Vopr. Teor. Funkts. 37, 133–152, 276; anglický překlad: J. Math. Sci. (N. Y.) 143, No. 2 (2007) 2924–2935. [20] J. Nečas, M. R˚ užička, V. Šverák: On self–similar solutions of the Navier– Stokes equations, Acta Math. 176 (1997) 283–294. [21] A. Novotný, I. Straškraba: Mathematical Theory of Compressible Flows, Oxford Science Publications, 2004. [22] C.W. Oseen: Neuere Methoden in der Hydrodynamik. Leipzig, Akad. Verlagsgesellschaft M.B.H., 1927. [23] J. Simon: On the existence of the pressure for solutions of the variational Navier-Stokes equations, J. Math. Fluid Mech. 1, No. 3 (1999) 225–234. [24] E.M. Stein: Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions, Princeton University Press, 1970. [25] R. Temam: Navier-Stokes equations. Theory and numerical analysis, Providence, RI: American Mathematical Society (AMS), 2001. [26] R. Temam: Probl` emes mathématiques en plasticité, Méthodes Mathématiques de l’Informatique 12, Gauthier-Villars, Montrouge, 1983. [27] T.P. Tsai: On Leray’s self-similar solutions of the Navier–Stokes equations satisfying local energy estimates, Arch. Rational Mech. Anal. 143, No. 1 (1998) 29–51.

Navier Stokesovy rovnice. Doc. Mgr. Milan Pokorný Ph.D

Recommend Documents