Lekce 1
Náhodné jevy a pravděpodobnost Výklad pravděpodobnosti musí začít nevyhnutelně od základních pojmů. Pravděpodobnost, velmi zjednodušeně řečeno, pojednává o náhodných jevech (slovně vyjádřených výsledcích náhodných pokusů) a o náhodných veličinách (výsledcích náhodných pokusů vyjádřených číselně). Tato první lekce zůstává na úrovni náhodných jevů. Vedle náhodných jevů operujeme rovněž s jevy jistými a nemožnými a také s jevy, které se svými vlastnostmi těmto jevům maximálně blíží (jev prakticky jistý, jev prakticky nemožný). Náhodné jevy se nevyskytují jednotlivě, ale minimálně ve dvojicích nebo i větších skupinách. Objevuje se tedy problém vztahů mezi jevy, který přináší množství pojmů, jako např. sjednocení jevů, průnik jevů, neslučitelnost, opačné jevy a jiné. Klíčovým pojmem první lekce bude pojem pravděpodobnosti, jako matematické veličiny, která kvantifikuje náhodu. Seznámíme se s několika speciálními případy pravděpodobnosti a jejími vlastnostmi. Univerzálně ovšem pojem pravděpodobnost zavádět nebudeme. Poznáme, že vedle „obyčejné“ pravděpodobnosti, která se vztahuje k jednomu náhodnému jevu, existují i komplikovanější případy podmíněné a úplné pravděpodobnosti, stejně jako pravděpodobnosti apriorní a aposteriorní. Poznáme jeden z klíčových vztahů ve dvojici nebo větší skupině náhodných jevů — nezávislost jevů. Vzhledem k tomu, že náhodné pokusy nejsou unikátní, neopakovatelné (sériová výroba, hromadná obsluha), budeme hovořit také o sériích za stejných podmínek vykonávaných pokusů — opakovaných pokusech. V této souvislosti se zmíníme také o výběru s opakováním a výběru bez opakování, které mají řadu praktických aplikací.
aposteriorní pravděpodobnost; apriorní pravděpodobnost; Bayesova pravděpodobnost; Bernoulliův vzorec; čtyřpolní tabulka; důsledek; elementární jev; jistý jev; klasická pravděpodobnost; náhodný jev; náhodný pokus; nemožný jev; neslučitelnost; nezávislé pokusy; nezávislost; opačné jevy; opakované pokusy; podmíněná pravděpodobnost; prakticky jistý jev; prakticky nemožný jev; průnik; sjednocení; statistická pravděpodobnost; úplná pravděpodobnost; úplná skupina; Vennův diagram; závislé pokusy
1.1 Náhodné jevy Každý děj, jehož výsledek nelze bezezbytku předpovědět (vyroben může být dobrý nebo vadný výrobek, technické měření může ale nemusí být zatíženo hrubou chybou, v určitém časovém intervalu může ale nemusí dojít k poruše zařízení atd.), nazýváme náhodný pokus. Slovně vyjádřené výsledky náhodných pokusů nazýváme náhodné jevy a pro jejich značení využíváme velká písmena ze začátku abecedy, tj, A, B, C,… Vedle náhodných jevů je vhodné zavést pojmy jistý jev (značíme I) a nemožný jev (značíme V). Význam těchto jevů je zřejmý z jejich názvů.
Najděte příklady náhodných pokusů, náhodných, jistých a nemožných jevů z vašeho dosavadního studia či praxe.
Je-li výsledkem náhodného pokusu nastoupení jevu A, jde o případ příznivý jevu A.
Každému náhodném pokusu přísluší množina možných případů — elementárních jevů. Možné případy mají tyto vlastnosti
6
jsou neslučitelné (disjunktní) — nastane-li jeden, nemůže současně nastat jiný, tvoří úplnou skupinu — nemůže nastat žádný jiný případ, jsou nerozložitelné — každý z nich může nastat právě jedním způsobem. Každý náhodný jev je buď elementárním jevem nebo jevem složeným z elementárních jevů.
Ukažte elementární jevy na případu hodu hrací kostkou! Pojmenujte jevy „padnutí sudého čísla“, „padnutí nejméně trojky“ apod. Příklad házení kostkou volíme proto, že jde o názorný a všeobecné známý případ náhodného pokusu.
Pro dvojici jevů A, B můžeme formulovat tyto vztahy
Platí-li, že nastane-li jev A, nastane vždy současně i jev B, říkáme, že jev A je částí jevu B (nebo že jev B je důsledkem jevu A) a píšeme A ⊂ B . Pokud současně platí A ⊂ B, B ⊂ A , jsou jevy A, B totožné. Existuje jev, spočívající v tom, že nastane alespoň jeden z jevů A, B. Tento jev je sjednocením jevů A, B. Píšeme A ∪ B . Platí A ∪ B = B ∪ A , A ∪ A = A , A ∪ I = I , A ∪ V = A . Existuje-li jev, spočívající ve společném nastoupení jevů A, B, je tento jev průnikem jevů A, B. Píšeme A ∩ B . Jsou-li jevy A, B neslučitelné, je jejich průnik jevem nemožným, a tedy A ∩ B = V . Platí A ∩ B = B ∩ A , A ∩ A = A , A ∩ I = A , A ∩ V = V . Jev, spočívající v nenastoupení jevu A, se nazývá jevem opačným k jevu A. Opačný jev k jevu A označíme A . Platí A ∪ A = I , A ∩ A = V .
Ukažte výše uvedené vztahy mezi jevy na případu házení hrací kostkou! n
Operace sjednocení a průniku lze zobecnit pro n-tici jevů A1 , A2 ,..., An :
n
U Ai , I Ai . i =1
i =1
Příklad 1.1 Pomocí výše uvedených vztahů zapíšeme, že jevy A1 , A2 ,..., An tvoří úplnou skupinu neslučitelných jevů. n
To, že jevy tvoří úplnou skupinu
i ≠ j.
UA
i
= I , to, že jevy jsou po dvou neslučitelné Ai ∩ A j = V pro
i =1
Příklad 1.2 Vyjádříme nastoupení jevu A při nenastoupení jevu B (jde o rozdíl jevů A – B): A − B = A ∩ B .
Jak vyjádříme, že nastal právě jeden (libovolný) z jevů A,
B? (1–1)
Pro grafickou prezentaci vztahů mezi jevy se využívají všeobecně známé množinové Vennovy diagramy. Pomáhejte si jimi vždy, když si eventuálně s úlohou „nevíte rady“, např. pro úkol (1–1) hledáme vybarvenou část diagramu
7
1.2 Klasická pravděpodobnost Předpokládáme náhodný pokus s konečným počtem stejně možných případů n. Počet případů příznivých jevu A označíme m. Klasická pravděpodobnost jevu A je dána jako P ( A) =
m = p . Vzhlen
dem k vlastnostem m, n je 0 ≤ p ≤ 1 . Počet možných a příznivých případů je často značný. Proto k jejich vyčíslení využíváme kombinatorických výpočtů. Příklad 1.3 V krabici je 20 žárovek, z nichž tři jsou vadné. Z krabice je odebráno pět žárovek. Jaká je pravděpodobnost, že dvě z nich jsou vadné?
20 20! = = 15504 . 5 ( 20 − 5)!5!
Počet způsobů, kterými lze vybrat pět žárovek z 20:
Počet způsobů, kterými lze ze 17 dobrých žárovek odebrat tři a současně ze zbývajících tří vadných
17 3 17! 3! = = 680 ⋅ 3 = 2040 . 3 2 (17 − 3)!3! (3 − 2)!2!
vybrat dvě:
Pravděpodobnost jevu je tedy P ( A) =
2040 = 0,1316 . 15504
Jakou pravděpodobnost mají v příkladu 1.3 jevy, že (a) výběr bude obsahovat všechny tři vadné žárovky, (b) žádná žárovka ve výběru nebude vadná. (1–2)
Klasická pravděpodobnost je založena na logickém rozboru možných výsledků pokusu (který není třeba vykonávat) a vyžaduje konečný počet stejně možných případů.
1.3 Statistická pravděpodobnost Za stejných podmínek vykonáváme určitý náhodný pokus a zaznamenáváme jeho výsledky. Vždy po vykonání určitého počtu pokusů vyčíslíme relativní četnost příznivých případů (např. hodíme-li 20krát mincí, přičemž padlo 12 líců a 8 rubů a příznivým případem je padnutí líce, je relativní četnost padnutí líce
12 = 0,6 ). Pozorujeme-li, že relativní četnost se po vykonání určitého počtu pokusů sta20
bilizovala a další vykonané pokusy její hodnotu prakticky nemění, vyhlásíme tuto stabilizovanou relativní četnost za statistickou pravděpodobnost. Z vlastností relativní četnosti opět plyne 0 ≤ p ≤ 1 . Příklad 1.4 Při kontrole jakosti byla po vyšetření 10 výrobků zjištěna nulová relativní četnost vadných výrobků. Po vyšetření 50 výrobků byla zjištěna relativní četnost vadných výrobků 0,04. Po vyšetření 100 výrobků byla zjištěna relativní četnost vadných výrobků 0,03. Po vyšetření 200 a 300 výrobků byla shodně určena relativní četnost vadných výrobků 0,02. Pokus ukončíme s tím, že relativní četnost považujeme za stabilizovanou na hodnotě pravděpodobnosti P ( A) = 0,02 .
Znázorněte průběh pokusu graficky. Na vodorovnou osu vyneste počet pokusů a na svislou osu relativní četnost.
Statistická pravděpodobnost je založena na vykonání natolik početné série náhodných pokusů, která umožní stabilizovanou relativní četnost příznivých případů prohlásit za pravděpodobnost jevu.
8
Vlastnosti pravděpodobnosti formulujeme zobecněním vlastností klasické a statistické pravděpodobnosti Pravděpodobnost je nezáporná a nabývá maximální hodnoty jedna, 0 ≤ P ( A) ≤ 1 . Pravděpodobnost jistého jevu je rovna jedné, P ( I ) = 1 . Pravděpodobnost nemožného jevu je rovna nule, P (V ) = 0 . Pravděpodobnost nastoupení alespoň jednoho z n–tice neslučitelných jevů je rovna součtu jen
n
i =1
i =1
jich pravděpodobností (aditivita): P ( U Ai ) = ∑ P ( Ai ) .
Jestliže jev B je důsledkem jevu A, platí P ( A) ≤ P ( B ) . Pravděpodobnost opačného jevu je doplňkem pravděpodobnosti původního jevu do jedné, P( A) = 1 − P( A) . Vedle uvedené klasické a statistické pravděpodobnosti existují další koncepty pravděpodobnosti — pravděpodobnost geometrická — pravděpodobnost je prezentována jako míra (délka, plocha, objem) geometrického útvaru (hodí se např. při grafické prezentaci jevů pomocí Vennových diagramů) nebo pravděpodobnost subjektivní (odborně nebo laicky odhadovaná, např. pravděpodobnost vzniku poruchy v závislosti na opotřebení zařízení). Nejdůležitějším případem pravděpodobnosti bude pro nás rozdělení pravděpodobnosti náhodné veličiny v dalších lekcích. Všechny tyto koncepty jsou zvláštními případy tzv. axiomatické definice pravděpodobnosti, která je společně zastřešuje.
1.4 Počítání s pravděpodobnostmi Jsou dány obecné (slučitelné) jevy A, B se známými pravděpodobnostmi P ( A), P ( B ) . Pak pravděpodobnost jejich sjednocení je rovna P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) , přičemž pravděpodobnost jejich průniku nelze z pouhé znalosti pravděpodobností P ( A), P ( B ) dovodit. Pravděpodobnost průniku P ( A ∩ B ) vyplyne z rekapitulace pravděpodobností všech možných kombinací nastoupení jevů A, A, B, B ve čtyřpolní tabulce Jev Součet B B
A
P( A ∩ B )
P( A ∩ B )
P ( A)
A
P( A ∩ B ) P( B )
P( A ∩ B )
P ( A) P( I )
Součet
P( B )
Všimněme si v této chvíli, že např. platí P ( A) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) a podobně i pro
P ( A) , P ( B ), P ( B ) . Tyto vztahy za chvíli využijeme. Příklad 1.5 Při přejímací kontrole bylo nalezeno 5 % výrobků s funkční vadou (jev A) a 8 % výrobků se vzhledovou vadou (jev B). Obě vady současně mělo 2 % výrobků. Považujme tyto podíly za stabilizované a sestavme čtyřpolní tabulku pravděpodobností Jev
B
Součet 0,02 0,03 0,05 A 0,06 0,89 0,95 A Součet 0,08 0,92 1,00
B
9
Vyjádřete slovně jev, který má v tabulce pravděpodobnost 0,89. Najděte pravděpodobnost nalezení výrobku, který má jen vzhledovou vadu.
Příklad 1.6 Najdeme nyní pravděpodobnosti nalezení výrobku se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají/nemají funkční vadu (víme, že tato pravděpodobnost mezi všemi výrobky je rovna 0,08). Hledané pravděpodobnosti označíme P ( B | A), P ( B | A) a stanovíme jako
P ( B | A) =
P ( A ∩ B ) 0,02 = = 0,40 (hodnoty bereme z prvního řádku tabulky), P ( A) 0,05
P ( A ∩ B ) 0,06 = = 0,0632 (hodnoty bereme z druhého řádku tabulky). 0,95 P ( A) Z výsledků vyplývá, že je mnohem pravděpodobnější (0,40) najít výrobek se vzhledovou vadou mezi výrobky, které mají funkční vadu, než mezi výrobky, které funkční vadu nemají (0,0632). P ( B | A) =
Jaký vztah je mezi všemi třemi pravděpodobnostmi?
P ( B ) = P ( A ∩ B ) + P ( A ∩ B ) = P ( B | A) P ( A) + P ( B | A) P ( A) = = 0,02 + 0,06 = 0,40 ⋅ 0,05 + 0,0632 ⋅ 0,95 = 0,08
Podmíněná, úplná a aposteriorní pravděpodobnost, nezávislost Jsou dány jevy A, H ( H ≠ V ). Pravděpodobnost P ( A | H ) =
P( A ∩ H ) se nazývá podP( H )
míněná pravděpodobnost jevu A za podmínky H. Pravděpodobnost P ( A) = P ( A | H ) P ( H ) + P ( A | H ) P ( H ) se nazývá úplná pravděpodobnost jevu A. Pravděpodobnost průniku jevů A, H stanovíme jako P ( A ∩ H ) = P ( A | H ) P ( H ) . Podmíněná pravděpodobnost P ( A | H ) se rovná úplné pravděpodobnosti P ( A) , pokud P ( A ∩ H ) = P ( A) P ( H ) . Vztah mezi jevy A, H v tomto posledním případě se nazývá nezávislost. Pravděpodobnost P ( H | A) =
P( A ∩ H ) se nazývá aposteriorní (Bayesovskou) pravděpoP ( A)
dobností jevu H. Všechny uvedené pravděpodobnosti využijeme v následujícím příkladu. Příklad 1.7 Odběratel odebírá součástky od dvou výrobců. První výrobce dodává 2 % vadných součástek a druhý 8 %. Od prvního dodavatele pochází 60 % dodaných součástek. Označíme jev H , P ( H ) = 0,6 , že součástka pochází od prvního a H , P ( H ) = 0,4 , že součástka pochází od druhého výrobce. Podmíněná pravděpodobnost nalezení vadné součástky mezi součástkami od prvního výrobce je P ( A | H ) = 0,02 , mezi součástkami druhého výrobce P ( A | H ) = 0,08 . Vidíme, že zadány jsou podmíněné pravděpodobnosti. Vypočteme úplnou pravděpodobnost nalezení vadné součástky bez ohledu na to, od kterého výrobce pochází P ( A) = 0,02 ⋅ 0,6 + 0,08 ⋅ 0,4 = 0,044 .
10
Vypočteme pravděpodobnost, že nalezená vadná součástka (mezi všemi) pochází od prvního výrobce P ( A ∩ H ) = 0,02 ⋅ 0,6 = 0,012 . Vypočteme, jaká by byla tato pravděpodobnost, pokud by pravděpodobnost nalezení vadné součástky nezávisela na výrobci P ( A ∩ H ) = 0,044 ⋅ 0,6 = 0,0264 . Konečně vypočteme pravděpodobnost, že součástka pochází od prvního výrobce, pokud je vadná.
0,012 = 0,273 . Vidíme, že po zjištění, že součástka je vadná, se původní pravděpodob0,044 nost, že pochází od prvního výrobce (0,60) snížila na 0,273.
P ( H | A) =
Jaká by v příkladu 1.5 byla pravděpodobnost, že výrobek nemá žádnou vadu/má současně obě vady, pokud by výskyt vzhledové a funkční vady byly nezávislé jevy? (1–3)
Z výše uvedených vztahů upozorníme na to, že jsme našli metodu stanovení pravděpodobnosti průniku dvojice jevů ve zcela obecném případě a kromě toho jsme zavedli pojem nezávislé jevy. K nezávislosti dvojice jevů stačí, aby pravděpodobnost jejich průniku byla rovna součinu jejich pravděpodobností. Aposteriorní pravděpodobnost předpokládá, že původní (apriorní) pravděpodobnost jevu lze korigovat na základě známého výsledku náhodného pokusu. Nezávislost můžeme zobecnit na n–tici jevů A1 A2 ,..., An . Pokud jsou tyto jevy vzájemně nezán
n
i =1
i =1
I Ai ) = ∏ P( Ai ) . Při tom
vislé, musí (ovšem kromě jiného!) splňovat i P (
∏
je symbol součinu.
1.5 Opakované pokusy Nezávislé opakované pokusy Jsou-li výsledky opakovaných pokusů nezávislé jevy, využijeme poznatky o nezávislosti z předešlého odstavce. Jev, jehož pravděpodobnost v jediném pokusu je p, má pravděpodobnost, že nastane ve dvou nezávislých pokusech p ⋅ p = p 2 , ve třech p 3 atd. Principem je stanovit pravděpodobnost, že bude dosaženo určitého počtu (x) úspěchů (tj. nastoupení jevu A) v sérii n ( n ≥ x ) pokusů, je-li známa pravděpodobnost nastoupení jevu A v jediném pokusu P ( A) = p . Pravděpodobnost, že jev nastane právě x–krát, je rovna p x , pravděpodobnost, že ve zbývajících n – x pokusech nenastane, je rovna (1 − p ) n − x . Mají-li oba jevy nastoupit společně, musí být p x (1 − p ) n − x . Nejde však o úspěch v určitých x pokusech, nýbrž v libovolných pokusech, bez ohledu na pořadí. Je tedy třeba ještě zjistit, kolika možnými způsoby se úspěchy a
n
neúspěchy mohou v daném případě „prostřídat“. Tento počet je dán kombinačním číslem . x
Pravděpodobnost, že mezi n nezávislými opakovanými pokusy se vyskytne právě x úspěchů, je
n P (n; p; x) = p x (1 − p ) n− x . Tento vzorec je známý pod označením Bernoulliův vzorec. x Příklad 1.8 Kontrola vrací k opravě nebo doplnění 15 technických výkresů ze sta. Určíme pravděpodobnost, že z pěti výkresů (a) nebude vrácen žádný, (b) budou vráceny dva, (c) budou vráceny všechny. Vrácení výkresu je jev A s pravděpodobností P ( A) =
11
15 = 0,15; n = 5; x = 0;2;5 . 100
5 0 5 c) P (5;0,15;5) = 0,15 5 0,85 0 = 8 ⋅ 10 −5 . 5
5 2
a) P (5;0,15;0) = 0,15 0 0,85 5 = 0,444 , b) P (5;0,15;2) = 0,152 0,853 = 0,138 ,
Vypočtěte pravděpodobnosti pro všechny zbývající v úvahu přicházející hodnoty počtu vrácených z pěti výkresů. Tyto pravděpodobnosti budete později potřebovat.
Zvláštní pozornost věnujme nyní výsledku c). Jevy, které sice nejsou (absolutně) nemožné/jisté, ale jejich pravděpodobnost je extrémně blízká nule/jedné, označujeme jako jevy prakticky nemožné/prakticky jisté. Kalkulujeme s tím, že v jednom pokuse jev prakticky jistý nastane, zatímco jev prakticky nemožný nenastane. Pravděpodobnost, že očekávaný výsledek nenastane, je nízká a nazývá se riziko. Význam právě takových jevů s „očekávatelným“ chováním už v jediném pokusu, je v mnoha úvahách zcela zásadní.
Závislé opakované pokusy Formulujme tuto situaci: Z konečného souboru N jednotek, z nichž M (M < N) má nějakou vlastnost, je současně (jedním tahem) odebráno n (n < N) jednotek, z nichž u předem neznámého počtu x ( max{0; M − N + n} ≤ x ≤ min{n; M }) se rovněž objeví daná vlastnost. Úkolem je určit pravděpodobnost x pro zadaná N, M, n, kterou označíme jako P(N;M;n;x). Při tom
M N − M x n − x P ( N ; M ; n; x) = . N n Pokud jde o příklad, odkazujeme zcela na příklad 1.3 v odstavci 1.2. Vzhledem k tomu, že v technických aplikacích opakované pokusy často souvisí s vybíráním, je třeba uvést, že zatímco výsledky výběru s opakováním (vracením) představují nezávislé opakované pokusy, jde u výběru bez opakování (vracení) o závislé opakované pokusy. Rozdíl mezi oběma výběry se stírá tím více, čím menší je podíl vybíraných jednotek z jejich celkového počtu.
Při výběru s opakováním se každá prošetřená jednotka před dalším tahem vrací mezi ostatní. Odpovězte na otázky kolikrát se určitá jednotka může objevit ve výběru, jak se změní množina ze které vybíráme po provedení např. k tahů, jaký je maximální počet tahů, který lze provést a jak rozsáhlý výběr (alespoň teoreticky) lze tudíž pořídit. (1–4)
Na stejné otázky odpovězte, pokud vybranou jednotku nevracíme.
12
Σ
1. Mnoho dějů různého charakteru, které můžeme kolem sebe pozorovat, má charakter náhodných pokusů. Jejich slovně vyjádřené výsledky se nazývají náhodné jevy. 2. Každý náhodný pokus má svoji množinu možných případů — elementárních jevů. 3. Pro dvojici (někdy i pro větší skupinu) jevů můžeme formulovat vztahy jako důsledek, sjednocení, průnik, rozdíl. 4. Dva jevy, které tvoří úplnou skupinu neslučitelných jevů, se nazývají jevy opačné. 5. Konečný počet stejně možných případů vede ke klasické pravděpodobnosti. 6. Stabilizace relativních četností s rostoucím počtem pokusů vede ke statistické pravděpodobnosti. 7. Pravděpodobnost jako matematická veličina má řadu vlastností. 8. Snaha o stanovení pravděpodobnosti sjednocení a průniku jevů nás dovede k podmíněné a úplné pravděpodobnosti. 9. Speciální vlastností pro dvojici nebo větší skupinu jevů je jejich (vzájemná) nezávislost. 10. Aposteriorní pravděpodobnost předpokládá, že apriorní pravděpodobnost jevu lze korigovat na základě známého výsledku vykonaného pokusu. 11. Bernoulliův vzorec popisuje pravděpodobnost, že v řadě nezávislých pokusů zaznamenáme právě určitý počet úspěchů. 12. Tuto pravděpodobnost lze rovněž stanovit pro řadu závislých pokusů. 13. Modelovým případem nezávislých pokusů je výběr s opakováním. Modelovým případem závislých pokusů je výběr bez opakování. 14. Ve výkladu jsme narazili na pojmy prakticky jistý a prakticky nemožný jev. Tyto jevy společně s pojmem riziko mají v řadě aplikací klíčový význam.
( A − B ) ∪ ( B − A) = A ∩ B ∪ A ∩ B .
(1–1)
Jde o sjednocení
(1–2)
Pro
(1–3)
P ( A ∩ B ) = P ( A) P ( B ) = 0,874; P ( A ∩ B ) = 0,004 .
(1–4)
Libovolněkrát, množina je identická, není omezený, nekonečně rozsáhlý.
x = 0 to bude 6 ⋅ 10 −5 , pro x = 5 to bude 0,3991 .
1. Nakreslete Vennovy diagramy pro A ⊂ B; A ∪ B; A ∩ B; A − B; A, A . 2. Odběratel provádí při přejímce suroviny kontrolu, která označí produkt jako „kvalitní“, pokud skutečně takový je, s pravděpodobností 0,995. Naopak za „nekvalitní“ označí produkt (pokud skutečně nekvalitní je) s pravděpodobností 0,98 (žádná kontrolní metoda není 100% spolehlivá!). Dodavatel je schopen dodávat produkt, který splňuje pod-
13
mínky kvality, s pravděpodobností 0,97 (žádný produkt není 100% kvalitní!). Uvozovkami rozlišujeme skutečný stav produktu (kvalitní, nekvalitní) a výsledek kontroly („kvalitní“, „nekvalitní“), což jsou dvě různé kategorie. Označíme-li jako jev H to, že produkt je kvalitní, je P ( H ) = 0,97 ( P ( H ) = 0,03) , označíme-li jev A, že produkt prošel kontrolou jako „kvalitní“, za podmínky, že takový skutečně byl, je P ( A | H ) = 0,995 a že nekvalitní produkt byl označen jako „nekva-
P( A | H ) = 0,98 . Naproti tomu pravděpodobnost, že výrobek projde kontrolou jako „kvalitní“ (ať už kvalitní je nebo není) je úplná pravděpodobnost P ( A) a naopak, litní“
že výrobek bez ohledu na kvalitu neprojde kontrolou, je P ( A) . Je zřejmé, že výsledek kontroly není stoprocentně v souladu se skutečností a existují dva druhy chybných výsledků kontroly: • Nekvalitní produkt je označen jako „kvalitní“. Tímto výsledkem je poškozen odběratel. Pravděpodobnost, že tato situace nastane, se nazývá riziko odběratele. • Kvalitní výrobek je označen jako „nekvalitní“ a je odběratelem odmítnut. Tímto výsledkem je poškozen dodavatel. Pravděpodobnost této situace se nazývá riziko dodavatele. Stanovíme obě rizika a současně pravděpodobnosti správných rozhodnutí a sestavíme je do čtyřpolní tabulky
Skutečnost kvalitní nekvalitní Součet (jev H) (jev H ) „kvalitní“ (jev A) Výsledek kontroly „nekvalitní“ (jev A ) Součet 0,97000
0,03000 1,00000
3. Ve stejné tabulce jako v předchozím příkladě vyplňte pravděpodobnosti za předpokladu, že výsledek kontroly by byl nezávislý na skutečné kvalitě produktu. 4. Pro příklad 1.7 vypočtete pravděpodobnost, že součástka pochází od prvního výrobce, pokud není vadná. 5. Kolik nezávislých pokusů je třeba vykonat, aby jev, jehož pravděpodobnost v jednom pokusu je rovna p, nastal s pravděpodobností π → 1 alespoň jednou.
P ( X > 0) = 1 − P ( X = 0) = 1 − (1 − p ) n = π . 6. Vypočtěte úlohu 5 pro π = 0,99; p = 0,5 . 7. Pro závislé opakované pokusy je N = 20, n = 12, M = 14 ( M = 7) . Určete interval možných hodnot x pro obě varianty čísla M. Nápověda: Hledáme
14
