Na obr zku 1 je zn zorn no e en pro dan troj heln k ABC a pro sla a =2,b =10,c = 4. loha m v tomto p pad dv e en, bod X a X. Zjistili jsme tak, e kru

MATEMATIKA Posvi me si s Cabri do mn znmch a neznmch zkout geometrie

st IV (Co jsme s Cabri objevili, dokeme uitm trilinernch souadnic) MILAN KOMAN { RUDOLF FRITSCH Pedagogick fakulta UK, Praha { Ludwig-Maximilians-Universitt, Mathematisches Institut, Mnchen, SRN

Co jsme objevili, a co budeme dokazovat

V druh sti naeho serilu Posvi me si s Cabri : : : (viz 1]) jsme se zabvali een m nsleduj c lohy. Jak vyplv z jej ho een , meme ji nazvat lohou o t ech Apolloniovch krunic ch

loha

Je dn trojhelnk ABC a ti kladn reln sla a, b, c. kolem bylo sestrojit v echny body X , pro n plat

jAX j : jBX j : jCX j = a : b : c:

(1)

Hledan body jsme sestrojovali jako spolen body t Appoloniovch krunic. Prvn krunice k1 byla mnoinou bod, kter maj od vrchol A, B pomr vzdlenost jAX j : jBX j = a : b. Dal dv krunice k2 a k3 byly mnoinami bod, pro kter platilo:

jBX j : jCX j = b : c a jCX j : jAX j = c : a: Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

449

Na obrzku 1 je znzornno een pro dan trojheln k ABC a pro sla a = 2, b = 10, c = 4. loha m v tomto p pad dv een , bod X a X . Zjistili jsme tak , e krunice k1 , k2 a k3 . pat jednomu svazku krunic, kter jsme oznaovali A(A B C a b c). Dali jsme mu i jm no, Apolloni v svazek krunic.

; Obr. 1

Vechny krunice Apolloniova svazku maj spolenou chordlu h. Zjistili jsme, e vechny chordly h, nezvisle na hodnotch sel a, b, c, prochzej jedinm bodem a pat tak svazku p mek. Trochu ns potrpilo uren polohy st edu svazku tchto chordl. Nakonec jsme zjistili, e st edem tohoto svazku je st ed S krunice opsan trojheln ku ABC . Pak jsme se zaali zabvat klasickou otzkou, kterou si zpravidla klademe p i een konstrukn ch loh: Kdy m nae loha een a kolik m een ? Jinmi slovy, kdy existuj dva, kdy jeden nebo kdy dn bod X vyhovuj c podm nce (1). Tuto otzku meme formulovat tak takto:

Otzka:

Kdy je Apolloni v svazek krunic A(A B C a b c) eliptick (tj. krunice k1 , k2 a k3 maj dva spolen body), kdy parabolick (tj. krunice k1 , k2 a k3 maj jedin spolen bod) a kdy hyperbolick (tj. krunice k1 , k2 a k3 nemaj dn spolen bod). Odpov na tuto otzku jsme hledali ve t et sti naeho serilu (viz 2]) pomoc Cabri geometrie. Z skali jsme t i p ekvapuj c odpovdi. Kl em

450

Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

k prvn mu objevu byl poznatek P a zobrazen L(1) . Obmnou zobrazen L(1) jsme pak doli jet ke dvma dal m objevm, ke kterm p ejdeme pozdji. P : Vdli jsme, e kdy maj krunice k1, k2 a k3 jedin spolen bod

X , le tento bod na krunici k opsan trojheln ku ABC . (Jinak eeno: body A, B , C a bod X jsou vrcholy ttivov ho ty heln ku.) Kdy maj krunice k1 , k2 a k3 dva spolen body X1 a X2 , jsou to body, kter si odpov daj v kruhov inverzi s d c krunic k. L(1): Pouili jsme zobrazen , kter bodm X krunice k opsan trojheln ku ABC p i azovalo t i nov pomocn body X . Ty jsme sestrojili takto: Zjistili jsme vzdlenosti bodu X od vrchol trojheln ku ABC

a = jAX j

b = jBX j c = jCX j (2) a pak jsme sestrojili body X tak, aby mly od p mek BC , CA, AB po ad stejn pomr vzdlenost jako bod X od vrchol A, B , C. jX BC j : jX CAj : jX AB j = a : b : c: (3) Vzdlenosti bodu X od p mek BC , CA, AB se tak rovnaly knsobkm sel (2). Na obr. 2 je znzornn jeden z bod X , ten kter le uvnit trojheln ku ABC . Dal na obrzku neznzornn

;

body le v oblastech, ve kterch le st edy krunic p ipsanch trojheln ku ABC .

Obr. 2

Jak prob halo experimentovn ? Nejd ve jsme sestrojili v zobrazen L(1) obrazy X bod X . Pak jsme zkoumali, po kterch drahch se pohybuj Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

451

tyto body, kdy bod X prob h po krunici k opsan trojheln ku ABC . Vsledkem byly hranice ty vyznaench oblast na obr. 3. Jednou oblast je trojheln k A0 B 0 C 0 tvo en st edn mi p kami dan ho trojheln ku ABC . Dal t i oblastn jsou vrcholov hly k vnit n m hlm trojheln ku A0 B 0 C 0 .

; ; Obr. 3

Na obr. 3 meme odpov na shora uvedenou otzku zjistit pomoc nsleduj c vty:

Vta 14

Apolloniv svazek A (A B C a b c) je eliptick (parabolick), prv kdy sla a b c jsou vzdlenosti nkter ho bodu X nleej c ho vnit ku (hranici) jedn ze ed vyznaench oblast na obr. 3 od p mek BC , CA a AB , tj. prv kdy

a = jX BC j b = jX CAj c = jX AB j:

(4)

To byl prvn p ekvapuj c vsledek, ke kter mu jsme doli ve t et sti naeho serilu, viz 2]. Tento vsledek (i ostatn dva p ekvapuj c vsledky) maj vak jeden mal nedostatek. Jsou odvozeny jen na zklad experimentovn s Cabri geometri . Nespornou p ednost takov ho experimentovn je jeho objevitelsk p nos. V tom je jeho didaktick p nos. Z matematick ho hlediska je vak douc doplnit jet dkaz tohoto tvrzen op raj c se o nkterou matematickou metodu. To bude p edmtem tohoto p spvku. 452


Ptolemaiova vta a trilinern souadnice { kl e k matematick mu e en Abychom dokzali vechny t i vsledky z skan v lnku 2], pot ebujeme takov apart, kter umon p eloit poznatek P a zobrazen L(1) do jazyka algebry. V p pad poznatku P je to nsleduj c vta

Vta 15 (zobecnn Ptolemaiova vta) )

Nech ABCD je libovoln tyhelnk. Potom pro jeho strany a = jAB j, b = jBC j, c = jCDj, d = jDAj a hlopky e = jAC j, f = jBDj plat

ac + bd ef:

(5)

Pitom rovnost nastane prv tehdy, je-li tyhelnk ABCD t tivov (obr. 4). S dkazem zobecnn Ptolemaiovy vty se mohou ten i seznmit nap . v prci 3], kter vyla v minul m sle naeho asopisu. V t to prci lze nal zt odkazy na dal publikace vnovan Ptolemaiov vte.

; Obr. 4

Pro vyuit zobrazen L(1) je vhodnm poetn m apartem soustava

trilinernch souadnic (STL)

) Klaudios Ptolemaios byl eck m matematikem ijcm asi od roku 100 do roku 160 po Kristu


453

STL: Soustava trilinernch souadnic v rovin je urena temi body A,

B , C nelecmi v pmce a pmkami BC , CA a AB . Trilinern souadnice libovolnho bodu P jsou takov uspodan trojice reln ch sel (kx, ky, kz ), kde k je libovoln nenulov reln slo a x, y, z jsou orientovan vzdlenosti bodu P po ad od pmek BC , CA, AB . Pitom orientovan vzdlenost nap. bodu P od pmky BC je kladn (zporn) slo, prv kdy tato pmka body A, P neodd luje (odd luje). Ukzka uren trilinern ch sou adnic bod P a Q je na obr. 5.

; ; Obr. 5

Na obr. 6 si mohou ten i ov it sou adnice vrchol trojheln ku ABC , st edu O krunice vepsan trojheln ku ABC , st edu O2 krunice p ipsan k trojheln ku ABC ke stran AC , prse k R, P os vnit n ho a vnj ho hlu p i vrcholu C se stranou (p mkou) AB a konen st edu S2 strany AC , kde va , vc jsou vky trojheln ku ABC .

Obr. 6

454


Stoj za povimnut , e na rozd l od kart zskch sou adnic nejsou trilinern sou adnice ureny jednoznan. Jednoznan je uren jen pomr sel kx : ky : kz = x : y : z . Tak st ed O vepsan krunice m nejen sou adnice (1 1 1), ale tak nap klad sou adnice (;1 ;1 ;1) nebo (% % %), kde % je polomr krunice vepsan trojheln ku ABC . Podobn st ed S2 strany AC m vedle sou adnic (va , 0, vc ) nap klad sou adnice (c 0 a), kde a, c jsou d lky stran trojheln ku ABC . Z rovnosti 1 a v = 1 c v toti plyne v : v = c : a. Tm, kte znaj projektivn a c a c 2 2 geometrii mohou trilinern sou adnice p ipom nat projektivn sou adnice. V triliern ch sou adnic ch maj pmky rovnice tvaru px+qy +rz = 0, kde alespo" jeden z koe#cient p, q, r je rzn od nuly. Podobn jako v kart zskch sou adnic ch i zde plat : Bod le na p mce, prv kdy jeho sou adnice vyhovuj rovnici p mky. To si mete ov it pro nkter p mky na obr. 7, nap klad pro st edn p ku S1 S2 Ta m rovnici ax + by ; cz = 0, kde a b c jsou d lky stran trojheln ku ABC . Le na n i nevlastn bod U1 = (b ;a 0), kter je spolen vem rovnobnm p mkm s p mkou AB . Podobn lze ov it sprvnost rovnice osy vnit n ho hlu p i vrcholu C nebo rovnici tnice z vrcholu A, kter jsou uvedeny na obr. 7.

; Obr. 7

Rovnice krunic jsou komplikovanj . Uvedeme t ukzky. Rovnice krunice k opsan a krunice v vepsan rovnostrann mu trojheln ku. A jako t et rovnici tzv. Spiekerovy krunice s, to je krunice vepsan trojheln ku ze st edn ch p ek. Rovnice tchto krunic jsou uvedeny na obr. 8. Doporuujeme ten i, aby si jejich sprvnost ov il dosazen m sou adnic bod, kter na tchto krunic ch le . Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

455

k xy + xz + yz = 0 v x2 + y2 + z 2 ; 2xy ; 2xz ; 2yz = 0 s x2 + y2 + z 2 ; 53 xy ; 35 xz ; 35 yz = 0

; Obr. 8

Dkazy vt z lnku 2]

Nejd ve dokeme vtu 14 z vodn sti tohoto p spvku. D kaz: Vta 14 k, e eliptickm svazkm Apolloniovch krunic A(A B C a b c) odpov daj body nleej c vnit km ed vyznaench oblast na obrzku 3. Hranice tchto oblast odpov daj parabolickm svazkm. N dkaz omez me na trojheln kovou oblast A0 B 0 C 0 (obr. 9). Vrcholy trojheln ku A0 B 0 C 0 maj trilinern sou adnice

A0 = (0 jAB j jCAj)

B 0 = (jAB j 0 jBC j)

C 0 = (jCAj jBC j 0):

Strany tohoto trojheln ku maj rovnice:

A0 B 0 jBC j x + jCAj y ; jAB j z = 0 A0 C 0 jBC j x ; jCAj y + jAB j z = 0 B 0 C 0 ;jBC j x + jCAj y + jAB j z = 0: 456


Pro sou adnice vnit n ch bod trojheln ku A0 B 0 C 0 plat )

x > 0 y > 0 z > 0

(6)

jBC j x + jCAj y > jAB j z jBC j x + jAB j z > jCAj y jCAj y + jAB j z > jBC j x

(7)

kde nerovnosti (7) popisuj poloroviny A0 B 0 C 0 , C 0 A0 B 0 a B 0 C 0 A0 , Vezmme nyn eliptick svazek A(A B C a b c) a odpov daj c Apolloniv bod P , kter le ve vnit n oblasti krunice k opsan trojheln ku ABC , (obr. 9). Potom je

;

a : b : c = jPAj : jPB j : jPC j:

Obr. 9

To znamen, e existuje takov kladn slo t, e plat

jPAj = at jPB j = bt jPC j = ct:

(8)

) Podobn jako v kartzsk ch souadnicch jsou vnitky opan ch polorovin uren ch nap. pmkou A0 B0 jBC j x + jCAj y + jABj z = 0 pops ny nerovnicemi jBC j x + jCAj y ; jABj z > 0 a jBC j x + jCAj y ; jABj z < 0. Pro polorovinu obsahujc bod C 0 (obr. 9) plat prvn nerovnice, pro opanou polorovinu druh nerovnice.


457

Uvaujme ty heln k ACBP . Protoe nen ttivov, dostaneme podle Ptolemaiovy vty ostrou nerovnost

jBC j jPAj + jCAj jPB j > jAB j jPC j: Dosad me-li do n za jPAj, jPB j, jPC j podle (8) a vydl me ji souasn

koe#cientem t, dostaneme

jBC j a + jCAj b > jAB j c:

(9a) Podobn ze ty heln k APCB a ACPD dostaneme pomoc Ptolemaiovy vty nerovnosti

;; ;; ; ;

jBC j a + jAB j c > jCAj b

jCAj b + jAB j c > jBC j a: (9b)

Obr. 10

Nerovnosti (9a) a (9b) ukazuj , e trilinern sou adnice bodu X (a b c) vyhovuj nerovnostem (7). Bod X (a b c) tedy nle trojheln ku A0 B 0 C 0 . Cel postup lze obrtit. T m je vta 1 dokzna pro vmit ek trojheln ku 458


A0 B 0 C 0 . Dkaz pro ostatn ed vyznaen oblasti na obr. 3 je obdobn,

jen mus me zohlednit znam nka sou adnic Tak pro parabolick svazek

A(A B C a b c) je dkaz obdobn, m sto s nerovnicemi (7) se pracuje

s odpov daj c mi rovnostmi. P ejdme k druh mu p ekvapiv mu vsledku z lnku 2]. Podstatou roli v nm hraj ed vyznaen oblasti na obrzku 10. Jejich hranice tvo elipsa E vepsan trojheln ku ABC a t i hyperboly Ha , Hb , Hc p ipsan trojheln ku ABC , tj. hyperboly dotkaj c se vdy jedn strany a prodlouen zbylch dvou stran trojheln ku ABC . Nejd ve pop eme konstrukci tchto kueloseek a pak uvedeme jejich vznam (viz dle uveden vta 16). Konstrukce elipsy E. V trojheln ku ABC sestroj me trojheln k A0 B 0 C 0 ze st edn ch p ek a st ed S krunice vepsan tomuto trojheln ku (obr. 11). Bod S je ji st edem hledan elipsy E. Dle sestroj me osy vnit n ch hl AA1 , BB1 a CC1 trojheln ku ABC . Najdeme po ad obrazy A2 , B2 a C2 bod A1 , B1 a C1 v soumrnostech podle st ed A0 , B 0 a C 0 . To jsou body dotyku hledan elipsy E se stranami trojheln ku ABC , Konen sestroj me body A3 , B3 a C3 a to jako obrazy bod A2 , B2 a C2 ve st edov soumrnosti se st edem S . Sami mete zjistit, e jAA3 j = jA1 Oj, jBB3 j = jB1 Oj a jCC3 j = jC1 Oj, kde O je st ed krunice vepsan trojheln ku ABC . Elipsu E meme nyn sestrojit z nkterch pti ze esti bod A2 , A3 , B2 , B3 , C2 , C3 pomoc Cabri geometrie (sta v tomto programu otev t roletu se zhlav m konstrukce krunice).

; Obr. 11


459

; Obr. 12

Konstrukce hyperboly Ha p ipsan ke stran BC trojheln ku ABC (obr. 12). Konstrukce je jednoduchou obmnou konstrukce elipsy E. Sestroj me opt trojheln k A0 B 0 C 0 ze st edn ch p ek trojheln ku ABC . St edem hyperboly Ha je st ed S krunice p ipsan trojheln ku A0 B 0 C 0 ke stran B 0 C 0 . V trojheln ku ABC sestroj me osu vnit n ho hlu p i vrcholu A a osy vnj ch hl p i vrcholech B , C . Jejich prse ky s protj mi stranami jsou body A1 , B1 a C1 . Najdeme jejich obrazy A2 , B2 a C2 po ad ve st edovch soumrnostech se st edy A0 , B 0 a C 0 . T m dostaneme body dotyku hyperboly Ha s p mkami BC , CA a AB . Zbv sestrojit body A3 , B3 a C3 podobn jako v p pad elipsy E. Vznam sestrojench kueloseek udv vta 16. Vta 16

Apolloni v svazek krunic A(A B C a b c) je eliptick (parabolick ), prv kdy sla a, b, c jsou druh odmocniny vzdlenost n kterho bodu X nleejcho vnitku (hranici) jedn ze ed vyznaen ch oblast na obrzku 10 od pmek BC , CA a AB , tj. prv kdy p

a = jX 0 BC j

p

b = jX 0 CAj

p

c = jX 0 CAj:

(10) Poznmka. Rovnosti (10) meme vyjd it pomoc trilinern ch sou adnic bodu X . Bod X m trilinern sou adnice (a2 , b2 , c2 ) nebo (;a2 , b2 , c2 ) 460


nebo (a2 , ;b2 , c2 ) nebo (a2 , b2 , ;c2 ) v zvislosti na tom, v kter oblasti vymezen p mkami BC , CA a AB le . D kaz: Uvaujme, podobn jako p i dkazu vty 1, eliptick svazek A(A B C a b c). Nech& P je Apolloniv bod tohoto svazku, kter le ve vnit n oblasti krunice k opsan trojheln ku ABC . (Jde o podobnou situaci jako na obrzku 9.) Potom pro sla a, b, c plat nerovnosti (9a) a (9b). Odtud vynsoben m tchto nerovnost dostaneme (jBC j a + jCAj b ; jAB j c)(jBC j a + jAB j c ;

; jCAj b)(jCAj b + jAB j c ; jBC j a) > 0: Po vynsoben kladnm vrazem (jBC j a + jCAj b + jAB j c) dostaneme

nerovnost

(jBC j a + jCAj b + jAB j c) (jBC j a + jCAj b ; jAB j c)

(jBC j a + jAB j c ; jCAj b) (jCAj b + jAB j c ; jBC j a) > 0 :

Odtud po roznsoben dostaneme

2(jAB j2 jBC j2 a2 c2 + jAB j2 jCAj2 b2 c2 + jBC j2 jCAj2 a2 b2 ) ;

; jBC j4 a4 ; jCAj4 b4 ; jAB j4 c4 > 0:

To vak znamen, e sou adnice bodu (a2 , b2, c2 ) vyhovuj nerovnici 2(jAB j2 jBC j2 x z + jAB j2 jCAj2 y z + jBC j2 jCAj2 x y) ;

; jBC j4 x2 ; jCAj4 y2 ; jAB j4 z 2 > 0:

(11)

A to je nerovnice vnit n oblasti elipsy, kterou jsme oznaili jako E. Rovnici elipsy E dostaneme tak, e v (11) zamn me znam nko nerovnosti > znam nkem rovnosti. Spolen body t to elipsy s p mkou AB dostaneme tak, e v rovnici dosad me z = 0. Dostaneme po prav rovnici

; (jBC j2 x ; jCAj2 y)2 = 0:

(12)

Odtud je vidt, e elipsa m s p mkou AB spolen dvojnsobn bod se sou adnicemi (jCAj2 jBC j2 0) (13) Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

461

kter dostaneme een m rovnice (12). Tento bod je proto bodem dotyku elipsy E s p mkou AB . Pomrn jednoduchm vpotem se lze p esvdit, e je to skuten bod C2 z obrzku 11. Dkaz, e st edem elipsy E je st ed S krunice vepsan trojheln ku A0 B 0 C 0 lze nal zt v prci 4]. Nakonec p ejdeme ke t et mu p ekvapiv mu vsledku z prce 2], kter up es"uje vta 17.

Vta 17

Apolloni v svazek krunic A(A B C a b c) je eliptick (parabolick ), prv kdy sla a, b, c jsou druh mocniny vzdlenost n kterho bodu X nleejcho vnitku (hranici) jedn z bl ch oblast na obrzku 13 od pmek BC , CA a AB , tj. prv kdy

;; ; ;

a = jX BC j2

b = jX CAj2

c = jX AB j2 :

(14)

Obr. 13

Poznmka. Rovnosti (14) meme vyjd it pomoc trilinern ch sou adnic bodu X . Bod X m trilinern sou adnice

pa pb pc nebo pa ;pb pc nebo

p ;pa b pc nebo pa pb ;pc

v zvislosti na tom, ve kter oblasti vymezen p mkami BC , CA a AB le . 462


Pop eme si nejd ve konstrukci hyperbol, kter ohraniuj b l oblasti na obr. 13. Sta popsat jednu z nich. Konstrukce hyperboly Ha (obr. 14). Sestroj me na p mkch AC a AB po ad body B1 , C1 se sou adnicemi

B1

p

p

BC 0 BA a C1

p

p

CA 0 BC :

;

Porovnejte sou adnice tchto bod se sou adnicemi bodu C2 z obrzku 11, tj. s rovnost (11).

Obr. 14

V bodech B1 a C1 se hyperbola Ha dotk p mek BB1 a CC1 . Pak sestroj me B1 a B2 tak, aby tve ice bod ACB1 B2 a AB1 C2 tvo ily harmonickou tve ici. Body B2 a C2 hyperbola Ha tak prochz . Nav c se v bod B2 dotk hyperboly Hc a v bod C2 hyperboly Hb (viz obr. 13). St edem hyperboly Ha je st ed Sa krunice p ipsan trojheln ku ABC pod l strany BC . Meme tak sestrojit nap klad dal dva body B3 a C3 hyperboly Ha . Ze sestrojench esti bod hyperbolu snadno sestroj me. D kaz vty 17 je obdobn s dkazem vty 16 a nebudeme ho provdt, lze se s n m seznmit v prci 4].

Na zvr

Nae dosavadn Cabri vlety do apolloniovsk problematiky se pomalu bl ke konci. V tomto p spvku jsme p idali ke Cabri geometrii nov ho vydatn ho pomocn ka, a to trilinern sou adnice. Zv dav ho ten e Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

463

me za t to situace napadnout, zda lze poloit podobn apolloniovsk lohy i v trojrozmrn m prostoru. Samoz ejm ano. Je jednoduch poloit si analogick otzky i v prostoru. A analogie rovinnch Cabri vsledk me pak naznait, jak vsledky lze oekvat v prostoru. Cabri geometrie me bt tedy uiten i na zatku zkoumn analogickch situac v prostoru. To bude p edmtem posledn sti na s rie p spvk. Literatura 1] Koman, M. { Fritsch, R.: Posvime si s Cabri do mn zn m ch a nezn m ch z kout geometrie. st II (O troj helnku a tech Apolloniov ch kru nicch). MFI, ro. 14, 2003/04, . 2. 2] Koman, M. { Fritsch, R.: Posvime si s Cabri do mn zn m ch a nezn m ch z kout geometrie. st III (Anal za lohy o tech Apolloniov ch kru nicch se temi pekvapenmi). MFI, ro. 15, 2005/06, . 2. 3] Leischner, P.: Ptolemaiova nerovnost. MFI, ro. 15, 2005/06, . 7. 4] Fritsch, R. { Koman, M.: Von Apollonios aus dynamisch Mathematik entdecken { Leuchten wir mit Cabri in wenig bekannte und unbekannte stille Winkel der Geometrie. In: Schriften der Sudetendeutschen Akademie der Wissenschaften und Knste, Band 25, Mnchen, 2004, SAWK, Forschungsbeitrge der Naturwissenschaften Klasse, s. 45-70. ISBN 3-936284-03-2. Viz t http://www.mathematik.uni-muenche n.de/~fritsch/Apollonios.pdf

Zajmav matematick lohy Uvd me een loh 123 a 124, jejich zadn byla zve ejnna ve t et m sle tohoto (15.) ron ku naeho asopisu.

loha 123

Najdte vechny pravohl trojheln ky s obvodem 180, jejich d lky stran jsou vyjd eny p irozenmi sly. Filip vrek e en: Ozname a, b d lky odvsen a c d lku p epony hledan ho trojheln ku. Bez jmy na obecnosti p edpokldejme a b < c. Podle zadn jsou a, b a c p irozen sla a z trojheln kov nerovnosti plat a + b > c. Jeliko podle 464


zadn plat a + b + c = 180, odtud plyne a + b > 90, tedy a b < c < 90. Dle Pythagorovy vty dle plat

a2 + b2 = c2 = (180 ; a ; b)2 = 1802 + a2 + b2 ; 360a ; 360b + 2ab: Po prav dostaneme (180 ; a)(180 ; b) = 180 90:

(1)

' sla 180 ; a a 180 ; b jsou p irozen a plat 180 ; a 180 ; b > 90. Existuj prv t i rozklady sla 180 90 na souin p irozench sel vt ch ne 90, a to 180 90 = 162 100 = 150 108 = 135 120: Vechny dvojice (a b) p irozench sel, kter e rovnici (1) jsou tedy (18 80), (30 72), (45 60). Tmto dvojic m odpov daj po ad sla c 82, 78, 75. Existuj t i pravohl trojheln ky vyhovuj c podm nkm lohy. Jsou to trojheln ky se stranami d lek 18, 80, 82, dle 30, 72, 78 a 45, 60, 75. Jin e en: Ozname a a b d lky odvsen a c d lku p epony hledan ho trojheln ku. Z teorie pythagorejskch sel plyne, e existuj p irozen sla d, u, v (u > v, u a v nesoudln, u + v je lich slo) tak, e bez jmy na obecnosti plat a = 2duv b = d(u2 ; v2 ) c = d(u2 + v2 ): Jeliko obvod trojheln ku se rovn 180, plyne odtud 180 = 2duv + d(u2 ; v2 ) + d(u2 + v2 ) = 2du(u + v) tedy

90 = du(u + v): (2) Podle p edpoklad je u + v lich slo vt ne 1. Me proto nabt pouze nkterou z hodnot 3, 5, 9, 15 a 45. Dle z p edpoklad pro sla u a v plat u < u + v < 2u. Rozli me dle nkolik p pad.

Pokud u + v = 3, potom rovnice (2) m tvar 30 = du. Vzhledem k pod-

m nce u < 3 < 2u plat nutn u = 2. Odtud plyne, e v = 1 a d = 15. Tedy a = 60, b = 45 a c = 75.


465

Pokud u + v = 5, potom rovnice (2) m tvar 18 = du. Vzhledem k pod-

m nce u < 5 < 2u plat nutn u = 3. Odtud plyne, e v = 2 a d = 6. Tedy a = 72, b = 30 a c = 78. Pokud u + v = 9, potom rovnice (2) m tvar 10 = du. Vzhledem k podm nce u < 9 < 2u plat nutn u = 5. Odtud plyne, e v = 4 a d = 2. Tedy a = 80, b = 18 a c = 82. Pokud u + v = 15, potom rovnice (2) m tvar 6 = du. Odtud plyne, e neexistuje p irozen slo u, kter by vyhovovalo nav c podm nce u < 15 < 2u. Pokud u + v = 45, potom rovnice (2) m tvar 2 = du. Odtud plyne, e neexistuje p irozen slo u, kter by vyhovovalo nav c podm nce u < 45 < 2u. Stejn jako v p edchzej c m een jsme dospli ke stejn mu zvru. Sprvn een zaslali: Miloslav Hbsch z Prahy 5, Franti ek Jchim z Volyn, Vladimr Pavel z Blovic, Ji Steckbauer z Kvtn , Luk Bednak z SG v Olomouci, Lucie Fabrikov, Zbyn k Konen a Jan Uhlk, vichni z G Brno, t . Kpt. Jaroe, Jaroslav Hanl a Josef abensk , oba z GMK v B lovci, Tom Hejda a Radek lebk, oba z G Praha 5, Zborovsk. Tom Jedlika z G T eb , Marek Pechal z G Zl n, Lesn tvr& a Marek Scholle z G Pardubice, Daick. Nepln een zaslali: Anton Hnt z Moravan, Aneka Falt nkov z GJ( v P erov a Vendula Uchytilov z GJKT Hradec Krlov .

loha 124

Nech& S zna st ed krunice vepsan dan mu ostrohl mu trojheln ku ABC . Ozname dle A0 , B 0 , C 0 obrazy bodu S v osovch soumrnostech po ad podle p mek BC , CA, AB . Dokate, e trojheln ky ABC a A0 B 0 C 0 jsou podobn , prv kdy ABC je rovnostrann trojheln k. Jaroslav vrek

e en: Ozname K , L, M po ad body dotyku krunice vepsan se stranami BC , CA a AB trojheln ku ABC . Nech& , a jsou po ad velikosti jeho vnit n ch hl p i vrcholech A, B a C (viz obr.). Jeliko K , L a M jsou st edy po ad seek SA0 , SB 0 a SC 0 , jsou trojheln ky KLM a A0 B 0 C 0 stejnolehl se st edem stejnolehlosti S a koe#cientem 2. Proto maj i stejn vnit n hly u odpov daj c ch vrchol. Jeliko hly SLA

466


;

a SMA jsou prav , je velikost hlu LSM rovna 180 ; . Podle vty o obvodov m hlu je tedy velikost hlu MKL rovna 90 ; 12 . Cyklickou zmnou dostaneme, e velikost hlu KLM je 90 ; 12 a velikost hlu LMK je 90 ; 12 . Je-li trojheln k ABC rovnostrann, plat = = = 60, tedy i KLM je rovnostrann trojheln k a trojheln ky ABC , KLM a A0 B 0 C 0 jsou podobn . Jestlie naopak jsou trojheln ky ABC a A0 B 0 C 0 podobn , plat

= 90 ; 12

= 90 ; 12

= 90 ; 21

odtud = = = 60 a trojheln k ABC je rovnostrann. Sprvn een zaslali: Anton Hnt z Moravan, Miloslav Hbsch z Prahy 5, Vladimr Pavel z Blovic, Lucie Fabrikov, Zbyn k Konen , Jakub Opr al, Alexandr Pcha a Jan Uhlk, vichni z G Brno, t . Kpt. Jaroe, Aneka Falt nkov z GJ( v P erov, Miroslav Klimo , Adam Kubetta, Michael Kuera a Josef abensk , vichni z GMK v B lovci, Tereza Klimo ov z G Lankroun, Marek Pechal z G Zl n, Lesn tvr& a Vendula Uchytilov z GJKT Hradec Krlov . Nepln een zaslali: Luk Bednak z SG v Olomouci, Eva ernohorsk z 1. esk ho G v Karlovch Varech, Jaroslav Hanl z GMK v B lovci, Martin Kivnek z G Brno, t . Kpt. Jaroe, Tom Hejda a Radek lebk, oba z G Praha 5, Zborovsk, Marek Scholle z G Pardubice, Daick a Pavel alom z G Ronov p. R. Matematika - fyzika - informatika 15 2005/2006

467

Na obr zku 1 je zn zorn no e en pro dan troj heln k ABC a pro sla a =2,b =10,c = 4. loha m v tomto p pad dv e en, bod X a X. Zjistili jsme tak, e kru

Recommend Documents