Examen Wiskunde I
1e bachelor biochemie en biotechnologie,
Eerste zittijd 2004-2005
biologie, geografie en geomatica, geologie
professor C. Thas
N. Haelvoet, V. Lippens, D. Luyckx, C. Tonesi
Gelieve vraag 1 op een afzonderlijk blad te maken, en op elk los blad duidelijk je naam en studierichting te vermelden.
Oefening 1. Geef aan of volgende antwoorden juist of fout zijn. Verklaar je antwoord. Geef voor foute antwoorden ook het correcte antwoord. a. Als {v1 , v2 , v3 } een basis is voor de vectorruimte R3 , dan is ook {−v1 + v2 + v3 , v1 − v2 + v3 , v1 + v2 − v3 } een basis van R3 . b. limx→0
1−cos(x) ln(cos(x))
= 1.
c. De eerste drie termen (verschillend van nul) van de Taylorreeks rond x = 0 van f (x) = 1 + (sin(x))2 zijn: x4 + ... 1 + x2 − 3 3 d. De deelruimte V van de vectorruimte door de twee vergelijkingen R wordt bepaald + ( * 0 1 x1 + 2x3 = 0 ⊥ . Dan is V = 1 , 0 . x2 = 0 0 2
e. Voor de volgende matrix A is r(A) = 3 en dim(Ker(A)) = 1: 3 2 0 −3 1 0 0 −1 −1 1 0 1
1
Oplossing. a. Juist. Beschouw een lineaire combinatie van de gedaante a(−v1 + v2 + v3 ) + b(v1 − v2 + v3 ) + c(v1 + v2 − v3 ) = 0 ⇒ (−a + b + c)v1 + (a − b + c)v2 + (a + b − c)v3 = 0. Omdat {v1 , v2 , v3 } een basis is, zijn v1 , v2 , v3 lineair onafhankelijk. Hieruit volgt −a + b + c = 0 a=0 a−b+c=0 ⇔ b=0 a+b−c=0 c=0 Hieruit volgt dat de vectoren −v1 + v2 + v3 , v1 − v2 + v3 , v1 + v2 − v3 lineair onafhankelijk zijn, en dus een basis vormen voor R3 . b. Fout. 1 − cos(0) = 0 en ln(cos(0)) = 0. De regel van de l’Hˆopital geeft 1 − cos(x) sin(x) = lim −sin(x) = − lim (cos(x)) = −1 x→0 ln(cos(x)) x→0 x→0 lim
cos(x)
2
3
4
c. Juist. f (x) = f (0) + f 0 (0) + f 00 (0) x2 + f 000 (0) x3! + f iv (0) x4! + · · · f (x) = 1 + sin2 (x) f 0 (x) = 2 sin(x) cos(x) f 00 (x) = 2 cos2 (x) − 2 sin2 (x) f 000 (x) = 4 cos(x(− sin(x))) − 4 sin(x) cos(x) = −8 sin(x) cos(x) f iv (x) = −8 cos2 (x) + 8 sin2 (x) We vinden dat 1 + sin2 (x) = 1 +
2x2 2
−
8x4 4!
= 1 + x2 −
f (0) = 1 f 0 (0) = 0 f 00 (0) = 2 f 000 (0) = 0 f iv (0) = −8
x4 3
3 opgespannen door de vector d. Juist. V is een ´e´endimensionale vectorruimte in R , 2 0 1 ⊥ 0 . Dan is V het orthogonale vectorvlak en 1 , 0 staan beide −1 0 2 loodrecht op V en zijn lineair onafhankelijk.
e. Fout.
−3 3 2 0 R(A) =< 1 , 0 , 0 , −1 > 1 −1 1 0
Aangezien de eerste vector en de laatste vector elkaars tegengestelde zijn en de eerste twee vectoren lineair onafhankelijk zijn, vinden we dat de rang van A gelijk is aan 2. Omdat R(A) + dim(ker(A)) = 4, is dim(ker(A)) = 2.
2
Oefening 2. (Vergeet niet een ander blad te nemen.) Een winkelketen is de eigenaar van drie computerwinkels C1 , C2 en C3 in Gent. In elke winkel worden verschillende producten verkocht waaronder de producten P1 , P2 , P3 en P4 . In volgende tabel vind je de gegevens in verband met de verkochte producten in de afgelopen maand: P1 P2 P3 P4 C1 20 100 150 35 C2 10 60 90 0 C3 25 70 120 30 In januari wordt er door de solden meer verkocht dan in december. De eigenaar neemt als vuistregel dat er in de maand januari in iedere computerwinkel anderhalve keer zoveel producten P2 en P3 verkocht worden en twee keer zoveel producten P1 en P4 . a. Geef de 3 × 4 matrix A met daarin de te verwachten verkoopcijfers per winkel in de maand januari. Om de verwachte winst bij de verschillende soldenprijzen te berekenen, wil de eigenaar voor elk van de winkels de winst berekenen indien de winst bij verkoop van de vier producten respectievelijk 3, 0, 50, 1, 2 is, maar ook indien de winstmarge respectievelijk 1, 1, 50, 2 , 3 zou bedragen. b. Stel de winstmarges schematisch voor in een 4 × 2-matrix B. c. Bepaal de matrix C = A · B. Wat betekent het element c22 ? Kan de eigenaar aan de hand van deze berekening een gunstige keuze voor zijn winst maken? Een bedrijf maakt de vier producten P1 , P2 , P3 en P4 . Het bedrijf heeft daarvoor drie machines M1 , M2 en M3 nodig. Om ´e´en eenheid van product P1 te maken heeft men machine M1 gedurende 3 uur nodig, machine M2 ook gedurende 3 uur en machine M3 gedurende 2 uur. Om ´e´en eenheid van product P2 te maken, heeft men de machines respectievelijk 2 uur, 1 uur en 1 uur nodig. Om ´e´en eenheid van het product P3 te maken heeft men de machines respectievelijk 8 uur, 7 uur en 5 uur nodig. Om ´e´en eenheid van het product P4 te maken heeft men de machines respectievelijk 6 uur, 3 uur en 3 uur nodig. Machine M1 is 480 uur per maand beschikbaar, machine M2 is 420 uur per maand beschikbaar en machine M3 kan 300 uur per maand gebruikt worden. d. Hoeveel eenheden van elk product moet het bedrijf maandelijks maken om optimaal gebruik te maken van alle machines? Geef alle tussenstappen bij het oplossen van het stelsel. e. Hoe kan de productie worden geoptimaliseerd als men 60 eenheden van product P1 moet maken en 15 eenheden van product P2 ?
3
Oplossing. a.
40 150 225 70 A = 20 90 135 0 50 105 180 60
b.
B=
c.
3 1 0, 5 1, 5 1 2 2 3
560 925 C = 240 425 502, 5 747, 5
d. 3x1 2x2 8x3 6x4 = 480 3x1 x2 7x3 3x4 = 420 2x x2 5x3 3x4 = 300 1 e.
x1 = 120 − 2a x = 60 − a − 3b 2 x3 = a x4 = b
x1 = 60 x = 15 2 x 3 = 30 x4 = 5
4
Oefening 3. In 1959 werden de eerste konijnen door Europese kolonisten ingevoerd in Australi¨e. Het eerste schip bracht er 13 mee. Doordat konijnen in Australi¨e geen natuurlijke vijanden hebben, konden ze zich zeer snel voortplanten. In deze omstandigheden bedraagt het aantal geboorten jaarlijks 15 keer de populatie, terwijl elk jaar 51 van de populatie sterft. Rond in deze oefening de aantallen af op 4 beduidende cijfers en tijdseenheden op gehelen. a. Toon aan dat dit leidt tot een iteratief proces Kn+1 = konijnen na n jaar voorstelt.
79 5 Kn ,
waarbij Kn het aantal
b. Hoeveel konijnen zouden er na 10 jaar zijn? Na hoeveel jaar telt men voor het eerst meer dan 10 000 konijnen? c. Omdat konijnen na ongeveer 2 maand vruchtbaar zijn, is het logischer te werken met een tijdseenheid van 2 maanden. Noem Dn het aantal konijnen na 2n maanden. Toon aan dat Dn+1 = 1, 584Dn . d. Wanneer de populatie is aangegroeid tot 10 000 dieren, besluit de bevolking na elke 2 maand 5000 dieren te doden. Stel D0 gelijk aan 10 000 en geef de algemene formule van Dn in functie van D0 . Hoeveel konijnen zijn er 7 jaar na deze beslising? Na hoeveel maanden verdrievoudigt het aantal konijnen? e. Het vangen van 5000 konijnen zorgt ervoor dat de populatie nog steeds te sterk groeit. Hoeveel konijnen zou de bevolking na elke 2 maand moeten vangen (vanaf het moment dat er 10 000 dieren zijn) om de populatie in evenwicht te houden? Oplossing. b. Na 10 jaar zouden er 1, 260 · 1013 konijnen zijn. Na 3 jaar zijn er meer dan 10 000 konijnen. n
d. Dn = (1, 584)n D0 − 5000 1−1,584 1−1,584 . Na 12 maand is het konijnenaantal verdrievoudigd. Na 7 jaar: 3, 528 · 1011 konijnen.
e. 5840.
5
Oefening 4. E´en van de natuurlijke vijanden van groene planten zijn bladluizen. Chrysanten worden veel geplaagd door een bladluis met de naam Macrosiphoniella. In een experiment wordt nagegaan hoe goed het insecticide Rotenone deze bladluizen doodt. Zij r de concentratie (in µg per g insecticide) actieve bestanddelen in het insecticide. Men vindt de volgende meetgegevens voor t = log(r) enerzijds en de fractie g van de gedode bladluizen in een testmonster anderzijds. t = log(r) 0, 96 1, 33 1, 63 2, 04 2, 32 g 0, 12 0, 33 0, 52 0, 86 0, 88 Uit eerdere experimenten weet men dat het verband tussen g en t sigmo¨ıdaal is: g(t) =
a 1 + ce−akt
(1)
a. Deze sigmo¨ıde heeft een horizontale asymptoot die gegeven wordt door g(t) = a. Wat is hier de waarde van a? b. Kan je aan de hand van de gegevens bepalen wat het teken is van k? Leg uit. c. Bepaal het verband (1) tussen g en t door lineaire regressie Y = α + βX toe te passen. Hoe moet je X en Y kiezen? Vermeld zeker de volgende zaken in je antwoord: de gebruikte vectoren en inproducten, de normaalvergelijkingen, de waarden van α en β, de waarden van c en k en het expliciete verband (1). Rond je resultaten af op 4 cijfers na de komma. d. Geef nu het verband tussen g en r. Vereenvoudig dit zover mogelijk. e. Een insecticide is commercieel interessant zodra het minstens 75% van de bladluizen doodt. Vanaf welke concentratie is de rotenone commercieel interessant? Oplossing. a. a = 1. b. k > 0 c. X = t, Y = log( 1−g(t) g(t) ) g(t) =
1 1 + 129, 7777e−3,0818t
g(r) =
1 1 + 129, 7777r−1.3384
d.
e. r = 86, 1760
6
