A mandala - tetőről Úgy tűnik, a mandala tető – angol nevén: reciprocal roof – egy kicsit mostoha gyermeke a magyar építészeti szakirodalomnak. Ezt abból gondoljuk, hogy alig találkoztunk magyar nyelvű anyaggal e témában; ilyen az [ 1 ] tankönyv. Az interneten sok képre – [ 2 ] – , néhány írásra – [ 3 ], [ 4 ], [ 5 ] – , ezekben is több szakirodalmi hivatkozásra bukkantunk – [ 6 ], [ 7 ], [ 8 ] . Most ezek alapján is meg próbáljuk a kérdést egy kicsit – az eddiginél jobban – megközelíteni. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is! Sector angle between the beams. θ = 360/n Overall plan length of beam. x = x1 + x2 Plan length to first intersection. x2 = 2risin(θ/2) Plan length between intersections. x1 = {ro2 -[ricos(θ/2)]2}½ - x2/2 Rise to first intersection. h1 = H( x1/x) Rise between intersections. h2 = H - h1 Slope length of beam. L = (x2 + H2)½ or L = (ro2 - ri2 +H2)½
1. ábra – [ 6 ]. Itt egy 3 - szarufás tető jellemző rajzait szemlélhetjük, a rajzok alapján nyerhető fontosabb számítási képletekkel együtt. Először ezeket beszéljük meg. Először is állítsuk elő az 1. ábra felső / körös ábra - részét! Vélhetően ez nem fog sikerülni első kísérletre, ezért most vegyük sorra a szerkesztés lépéseit! Ehhez tekintsük a 2. ábrát is – v. ö.:[ 7 ] !
2
2. ábra Ennek kinagyított bal oldali részén dolgozunk – 3. ábra.
3. ábra
3
Először: felvesszük az ri belső és ro külső sugarak értékét, majd egy O középponttal köröket rajzolunk velük. Másodszor: a külső körbe szabályos háromszöget szerkesztünk. Harmadszor: az A1A2 egyeneshez az A1 ponton át β szöggel hajló egyenest húzunk, ami a belső kört a B1 és a B3 pontokban metszi. Negyedszer: meghúzzuk az A2B1 egyenest, ami a belső körből kimetszi a B2 pontot. Ötödször: összekötjük egy egyenessel az A3, B3 és B2 pontokat. Megjegyezzük, hogy a szerkesztés nagyon érzékeny az elkövetett hibákra. Ezzel előállott a 3 szarufa tengelyvonal - rajzának felülnézeti képe. A maradék képletek levezetéséhez pl. a 2. ábra jobb oldali része alapján felírjuk, hogy
tgφ =
H h1 H = → h1 = ⋅ x1 , x x1 x
h2 = H − h1 . Továbbá Pitagorász tételével is:
L = x2 + H 2 =
x . cosϕ
Itt φ a szarufák tengelyvonalainak a vízszintes síkkal bezárt ( be nem rajzolt ) szöge. A fentiek szerint a feladat kiírása az alábbi lehet. Adott: 3 ≤ n < ∞ ( egész szám ), ro , ri , H . Keresett: θ , x1 , x2 , x , φ , h1 , h2 , L . Már csak az 1. ábra utolsó ( piros ) képletsora van hátra; ez nekünk nem jött ki. Ugyanis: 2 2 θ x2 θ x 2 2 x = x1 + x2 = ro − ri ⋅ cos − + x2 = ro − ri ⋅ cos + 2 = 2 2 2 2
θ θ = r − ri ⋅ cos + ri ⋅ sin , 2 2 ezzel: θ θ θ θ x 2 = ro2 − ri 2 ⋅ cos 2 + ri 2 ⋅ sin 2 + 2 ⋅ ri ⋅ sin ⋅ ro2 − ri 2 ⋅ cos 2 = 2 2 2 2 2
2 o
θ θ θ θ = ro2 − ri 2 ⋅ cos 2 − sin 2 + 2 ⋅ ri ⋅ sin ⋅ ro2 − ri 2 ⋅ cos 2 , 2 2 2 2
4
majd az ismert trigonometriai összefüggés szerint:
cos 2
θ θ θ − sin 2 = cos 2 ⋅ = cos θ , 2 2 2
amivel az előző egyenlet így alakul:
θ θ x 2 = ro2 − ri 2 ⋅ cos θ + 2 ⋅ ri ⋅ sin ⋅ ro2 − ri 2 ⋅ cos 2 ≠ ro2 − ri 2 , 2 2 általában, ugyanis egyenlőség csak θ = 0 esetén állhatna fenn, ami viszont
360 , n n≠∞
θ=
miatt nem lehetséges. Eszerint a mondott képlet hibás; legalábbis abban, hogy nem írták oda, hogy az egy határérték, n ∞ esetére. Erre utalnak a [ 8 ] - ban találtak is. Megjegyezzük, hogy a német Schiftzirkel logója éppen a fenti ábrák szerinti szerkezet axonometrikus képe – 4. ábra. ( Lehet, hogy ezt az ábrát még nem fejezték be? )
4. ábra – [ 9 ] Ez egy civil egyesület, melynek tagjai a kötőács - szakma bizonyos nehezebb kérdéseivel foglalkoznak: azok szakmai ismereteit kutatják, fejlesztik, terjesztik. Megemlítendő, hogy a [ 9 ] műben egy szabályos 8 - szög alaprajzú mandala - tető szerkesztési kérdéseivel is foglalkoznak, [ 1 ] - hez hasonlóan. Az ebből készült makett képei láthatóak a következő fényképeken: 5. ábra. Úgy tűnik, a mandala - tetők mostanában reneszánszukat élik.
5
5. ábra – [ 10 ] Sejthető, hogy még foglalkoznunk kell velük, főleg a kicsit bonyolultabb esetekkel. Amilyen például az alábbi fényképen is látható – 6. ábra. Ez valóban szép és más.
6
6. ábra – [ 11 ] A 7. ábrán egy kombinációs lehetőséget rajzoltak meg. Ez tényleg eléggé összetett.
7. ábra – [ 12 ] Ennek a szerkezetnek az alaprajzát a 8. ábrán mutatják meg.
7
8. ábra – [ 13 ]
9. ábra – [ 14 ] A 9. ábrán egy mandala - tető összeállításának pillanatfelvételét láthatjuk. A szerkezeti egyszerűség csak látszólagos: ez minden, csak nem egyszerű. Azonban a befektetett munka busásan megtérül: egy tágas, természetesnek, ám mégis korszerű nek ható látszó szerkezettel leszünk gazdagabbak általa. Itt azt is megfigyelhetjük, hogyan jelenik meg napjainkban a számítógéppel segített naturális építészet.
8
Irodalom: [ 1 ] – Szerényi István: Ács - állványozó szakrajz Szega Books Kft., Pécs, 2006., 201. ~ 202. o. [2]– https://www.google.hu/search?q=reciprocal+roof&tbm=isch&tbo=u&source=univ&sa =X&ei=N9HsUpKnJIry7AarnoCADQ&ved=0CCoQsAQ&biw=1129&bih=579 [ 3 ] – http://en.wikipedia.org/wiki/Reciprocal_frame [ 4 ] – http://www.goodnewsfirst.org/?page_id=394 [ 5 ] – http://sbebuilders.blogspot.hu/2013_09_01_archive.html [ 6 ] – http://www.mts.net/~sabanski/pavilion/pavilion_design.htm [ 7 ] – https://casaeco.files.wordpress.com/2012/03/reciprocal-frame-architecture.pdf [ 8 ] – http://etheses.nottingham.ac.uk/1494/1/320023.pdf [ 9 ] – Roland Schumacher ~ Albert Müller ~ Andreas Grosshardt ~ Michael Riggenbach ~ Hans Wittmann ~ Peter Kübler: Basiswissen Schiften 2. Auflage, Bruderverlag, Karlsruhe, 2003. [ 10 ] – http://www.bbs-waltergropius.de/Berufsfeld/Bautechnik/bfs%20bau/bfs%20bau%20mandaladach%2003_20 11%20.html [ 11 ] – http://cobinbaja.blogspot.ru/2007/01/reciprocal-roof.html [ 12 ] – http://www.naturalbuildingblog.com/steves-new-straw-bale-house-in-scotland/ [ 13 ] – http://envisioneer.net/events/wp-content/uploads/2012/07/fibbonaci.jpeg [ 14 ] – http://www.tfguild.org/apprenticeship
Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár Sződliget, 2014. február 3.
