MSc Marketing Szak Logisztikai folyamatok tervezése

Dr. Benkő János

MSc Marketing Szak Logisztikai folyamatok tervezése (VIZSGASEGÉDLET)

LOKA, Gödöllő, 2012.

1/b tétel: Szállítási feladat (4.1)

xij 0 (i = 1,...,n) (j = 1,...,m),

(4.2)

 j xij  f i ,

(4.3)

i xij  rj ,

(4.4)

i f i   j rj ,

(4.5)

i  j cij xij  z  min .

ha a i f i   j rj , akkor  j xij  f i , ha a i f i   j rj , akkor i xij  rj . Tiltótarifa fogalma Hozzárendelési probléma  i xij   j xij  1 , xij {0,1} minden i , j - re , z   i  j cij xij  min

Maximum feladat Nem lineáris költségfüggvény Felvásárlási modell és átrakási probléma

2/b tétel: Mintapélda

R1 6 2 1 40

F1

F2 F3 rj

R2 4 1 2 10

R3 1 3 1 60

R4 5 8 1 10

fi 50 40 30

A mintapélda szimplex-táblája x11

x12

x13

x14

x21

x22

x23

x24

x31

x32

x33

x34

u1 u2 u3

1 0 0

1 0 0

1 0 0

1 0 0

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0 1 0

0 0 1

0 0 1

0 0 1

0 0 1

50 40 30

v1 v2 v3 v4

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

40 10 60 10

6

4

1

5

2

1

3

8

1

2

1

1

0

(4.7)

ui  v j  cij

(i  1,..., n; j  1,..., m)

(4.8)

i f i ui   j rj v j  z  max .

(4.9)

cij(ui+vj)=0

(4.10)

dij=cij(ui+vj)0.

3/b tétel: Egy budapesti fuvarozónak a központi raktárából 4 vidéki vevőt kell ellátnia árukkal. A fuvarozó 5 darab tehergépkocsival rendelkezik. A rakodás és a szállítás költsége a tehergépkocsik különbözősége miatt függ a tehergépkocsi - vevő párosítástól. Ezt a függőséget a következő költségtáblázat mutatja: Vevő1

Vevő 2

Vevő 3

Vevő 4

Tgk. 1

300

500

600

400

Tgk. 2

500

600

400

500

Tgk. 3

400

700

500

600

Tgk. 4

300

600

500

400

Tgk. 5

400

500

600

300

A cél a tehergépkocsik és a vevők párosítása úgy, hogy az összes szállítási költség minimális legyen. Oldjuk meg a problémát a magyar módszerrel. Három cementgyár (Ci) négy házgyárat (Hj) lát el cementtel. A házgyárak havi igénye 100, 150, 130 és 140 tonna cement. A cementgyárak kapacitása egyaránt 200 tonna havonként, a cement szállítási költsége pedig Ft/t-ban: H1

H2

H3

H4

C1

650

630

480

150

C2

520

460

370

610

C3

120

180

300

400

Ha a C1 cementgyár kapacitását teljes mértékben ki kell használni, és egyik cementgyár sem termelhet raktárra, akkor mi lesz az a termelési és szállítási terv, amely minimalizálja az összköltséget? Melyik cementgyár kapacitását kell csökkenteni és mennyivel? Oldjuk meg a problémát a magyar módszerrel.

4/b tétel: Hozzárendelési feltétel: (5.1)

 i xij   j xij  1 , xij {0,1} minden i , j - re ,

Körutazási feltétel: I  i1 i2 , i2 i3 ,..., in1 in , in i1 ,

(5.2) Célfüggvény:

K  i  j cij xij  min

(5.3) Alsókorlát:





pi  min cij j  1, 2,..., n ,

q j  min cij  pi i  1,2,..., n, C0  [cij  pi  q j ]. i pi   j q j

Szétválasztási kritérium A C0 mátrix minden 0 elemére:

rij  mincik k  1,2,..., j  1, j  1,..., n 





min ckj k  1,2,..., i  1, i  1,..., n .

 

rij  max rij .

Mutassa be az algoritmus első két lépését az alábbi mintapéldán

C=

M 15 M 10 30

15 M 10 8 M

M 10 M 15 25

10 8 15 M 20

30 M 25 20 M

5/b tétel: A k, cij, a (j k ) ……… Az

a (j k )  M ha …. Ha k=1, akkor az a (j1)  min{cij },

különben a (j k 1)  min{ai( k )  cij }.

A körutazási feltétel biztosítása Az n-edik lépés:

ai( n )  a (jn 1)  c ji . Mutassa be az algoritmus első két lépését az alábbi mintapéldán:

S1 S2 S3 S4 S5

S1 M 90 50 60 70

S2 100 M 80 70 40

S3 50 80 M 60 80

S4 60 50 70 M 40

S5 90 60 50 80 M

6/b tétel: A szállítási pontokat (centrumot és a fogyasztókat) szimbolizálja a G=(P,E) irányítatlan gráf, amely a P szállítási pontok és az E élek halmazából áll. A P halmaz elemeit jelölje pi (i=0,1,2,...,n), az E halmaz elemeit pedig eij (i=j=0,1,2,...,n). Ha a pi össze van kötve pj-vel, akkor eij=1, különben eij=0. Az eij-hez rendelt távolsági mátrix cij elemei jelentsék a szállítási pontok közötti legrövidebb utakat. Ha eij=0, akkor cij=M, ahol M végtelen nagy szám. A P halmaz pi elemeihez rendeljük a megrendelés vektor qi elemeit. Megállapodás szerint p0 jelentse a centrumot. Legyen J a rendelkezésre álló járművek halmaza, amelynek minden jk (k=1,2,... ,l) eleméhez hozzárendeljük a járműveket jellemző tk teherbírás és az mk terhelés vektorokat. 1. Rendezzük a J halmazt a tk teherbírás szerint csökkenő sorrendbe. 2. A kapacitáskorlát miatt összevonásra alkalmatlan utakat a vizsgálatból kivonjuk. Ehhez képezzük a qi( u ) / t k hányadosokat minden i>0-ra és k-ra. Ha a qi( u ) / t k  1 és mk  0,

akkor a qi( u 1) :  qi( u )  t k és mk :  t k ,

és vesszük a következő járművet, vagyis a k index értékét növeljük eggyel. Ha qi( u ) / t k  1 ,

akkor vesszük a következő megrendelőt, azaz az i értékét növeljük eggyel. A 2. lépést addig ismételjük, amíg qi( u ) / t k >1. (A felső indexben az u a ciklusváltozó.) Végül azokat a szállítási pontokat, ahol qi=0 elhagyjuk, illetve az elhagyott pontoknak megfelelő sorokat és oszlopokat a cij mátrixból töröljük. 3. Az új cij távolsági mátrixból az sij  c0i  c0 j  cij , ha eij  1,

illetve az sij  0, ha eij  0,

képletekkel kiszámítjuk az sij megtakarítási mátrix elemeit. 4. Az sij mátrix fedetlen elemei között megkeressük a legnagyobbat: sxy  max{sij i  1, 2,...3; j  1, 2,..., n} .

Ha találtunk 0-nál nagyobb elemet, akkor az 5. lépéssel folytatjuk, különben az eljárás befejeződött. 5. A rendezett J halmazból vegyük a következő jk járművet, amelynél mk=0, és megvizsgáljuk az p0-px-p0 és a p0-py-p0 utak összevonásának lehetőségét: Ha a qx+qytk, akkor az utak összevonhatók. Lefedjük az x-edik sort és az y-adik oszlopot, majd végrehajtjuk a következő változtatásokat: mk : qx  q y ,

qx :  0, q y :  0, syx :  0 , és a 6. lépéssel folytatjuk. Ha a qx+qytk, akkor nincs lehetőség az utak összevonására. Lefedjük az y-adik oszlopot, majd végrehajtjuk a következő változtatásokat: mk : q y ,

q y : 0 , és visszatérünk a 4. lépéshez. 6. A px-py járatot megpróbáljuk px-be menő vagy py-ból induló úttal bővíteni. Ezért megkeressük az y-adik sor és az x-edik oszlop maximális elemeit, majd ezek közül először a nagyobbat választjuk: max{syj j  1, 2,..., n}  s yj * , max{six i  1,2,..., n}  s i*x .

Ha syj *  si * x , és t k  mk  q j* , akkor a járatot hátulról, y-ból induló j*-ba menő úttal bővítjük. Lefedjük az y-adik sort és a j*-edik oszlopot, majd mk :  mk  q j * , q j *:  0, s j * x :  0, y:  j *,

és megismételjük a 6. lépést. Ha syj *  si * x , és t k  mk  qi* , akkor a járatot elölről, i*-ból induló x-be menő úttal bővítjük. Lefedjük az i*-edik sort és a x-edik oszlopot, majd

mk :  mk  qi *, qi *:  0, syi *:  0, x:  i *,

és megismételjük a 6. lépést. Különben nincs lehetőség az út összevonásra, ezért lezárjuk a járatot: lefedjük az y-adik sort és az x-edik oszlopot és visszatérünk a 4. lépéshez. Mutassa be az algoritmus az alábbi példán

P1 P2 P3 P4 P5 P6

P1 0 450 157 38 450 450 Jármű tk [t] mk [t]

P2 450 0 157 38 696 626 J1 10 0

P3 157 157 0 62 157 157 J2 10 0

P4 38 38 62 0 38 38 J3 6 0

P5 450 696 157 38 0 835 J4 6 0

J5 6 0

P6 450 626 157 38 835 0

qi 4 3 4 2 3 2

J6 6 0

J7 6 0

7/b tétel: (6.1)

yij  0, xij  0, i  j  1, 2,..., n,

(6.2)

d k   j ykj  i yik , k  1, 2,..., n,

(6.3)

d k ha d k  0 , rk    0 ha d k  0

(6.4)

d tk   k 0

(6.5)

 j xkj  t k ,

(6.6)

i xik  rk ,

(6.7)

cij  M , ha i  j ,

(6.8)

i  j cij xij  min ,

ha d k  0 ha d k  0

,

Egy üzemben öt munkahely, P1, P2,...,P5 között a szállítást targoncával kívánjuk megoldani. Az üzemek között teljesítendő rakott menetek számát tartalmazó Y mátrix: H o n n a n

P1 P2 P3 P4 P5 iyik

P1 2 2

H P2 2 4 2 1 9

o P3 3 2 1 2 8

v P4 1 3 1 4 9

a P5 4 2 1 7

jykj 6 9 7 6 7 35

A fajlagos szállítási költségek mátrixa legyen a távolságmátrix, mivel a szállítási költség a távolság lineáris függvénye: H o n n a n

P1 P2 P3 P4 P5

H P1 0 8 10 5 15

o P2 8 0 4 3 10

v P3 10 4 0 9 8

a P4 5 3 9 0 6

P5 15 10 8 6 0

8/b tétel:

1. Határozzuk melyik útvonalon lehet a legkisebb költséggel eljutni az o belépési ponttól a t csomópontig.

n

Megoldatlan csomópontokhoz köz- Legközelebbi kapvetlen kapcsolódó csolódó megoldott csomómegoldatlan pontok csomópontok

Összes távolság

n-edik Minimális legközelebbi távolság csomópont

2. Jelölje ki a minimális költségű feszítőfát a fenti hálózaton

Utolsó kapcsolat

9/b tétel: Maradék hálózat és a javító út fogalma. Mutassa be a maximális folyam probléma algoritmusát az alábbi hálózaton.

7

B 9

D 6

2 3

A

F

4 9

7 C

6

E

10/b tétel:

(8.1)

z  i  j cij xij  min , i=j=1,2,...,n,

(8.2)

 j xij   j x ji  bi , minden i-re,

(8.3)

0  xij  kij , minden ij-re.

(8.4)

i bi  0 ,

Alakítsa át a fenti hálózatot és konstruáljon egy lehetséges bázismegoldást.

11/b tétel:

u1 u2 u3 u4 u5 y12 y35

u1 u2 u3 u4 u5 x12 y35

x12 1 1

x13 1

x14 1

1

x23

x35

x45

x54

1 1

1 1

1 1

1 1

3

2

x45

x54

1

1 1

1 1

1 1

3

2

1 1 2

4

9

3

1 1

y12 1 1

x13 1

x14 1

x23

x35

1 1

1

1 1 1 2

 xij , xij   k ij  yij ,

4

9

3

ha az xij a primálbázisban van, azaz 0<xij
xij =kij,

ha az yij a duálbázisban van, azaz yij=0,

xij =0,

ha az xij a duálbázisban van.

bi 50 40 0 -30 -60 10 80 0

bi 40 50 0 -30 -60 10 80 20

12/b tétel: CPM Valamely esemény bekövetkezésének legkorábbi időpontja:

0j  max{i0  ti j } k

k

j  1, 2,..., n,

ahol mindazon események indexe, amelyek a j-edik eseményt közvetlenül megelőzik,

ik

 0j a j-edik esemény bekövetkezésének legkorábbi időpontja,

i0 a j-edik eseményt közvetlenül megelőző események bekövetkezésének legkorábbi k

időpontjai, ti k j a Ti k j tevékenységek időtartamai.

Valamely esemény bekövetkezésének legkésőbbi időpontja:

1i  min{1j  tij } s

i  n  1, n  2,..., 0; s  1, 2,...

s

ahol js

mindazon események indexe, amelyek az i-edik eseményt közvetlenül követik,

1i

az i-edik esemény bekövetkezésének legkésőbbi időpontja,

1j tij s

s

az i-edik eseményt közvetlenül követő események bekövetkezésének legkésőbbi időpontjai, a Tij s tevékenységek időtartamai.

Kritikus út:

0j  1i  0,

i  j  0,1,..., n

skrit  0n  00 .

s j  max{ti k j } k  1, 2,... különben

s j  max{si k  ti k j }, k  1, 2,...

skrit  sn . A teljes tartalékidő:

pij  1j  i0  tij . A független tartalékidő:

pij  0j  i0  tij .

Egy anyagmozgatási folyamat hálóterve

Táblázat az események bekövetkezésének legkorábbi és legkésőbbi időpontjainak meghatározásához i\j 0 1 2 3 4 5 6 7  i0 0 1 2 3 4 5 6 7

1j

PERT legvalószínűbb becslés (m) optimista becslés (a) pesszimista becslés (b) tevékenység várhatóértéke (te) és szórása (), te 

a  4m  b . 6



ba . 6

13/b tétel: A gyártási – és a készlettartási költség fogalma.

Készlet

t Q-

Q

0

Q/

2  Kb , Q  h *

Q* 

2  Kb h

B*  Q*  S * 

2  Kb p

Idő

2Q/

ph p h ph

t  *

Q*

S* 

t* 

S* /  p  , * Q / ph

2 Kb . h





2  Kb h

Q*





p ,, ph

2 Kb h

ph p

Q* 

2  Kb , h1   /   t  *

Q* 

Q*





S *  Q*  



2 Kb .  h1   /  

2  Kb h  p . h (1   /  ) p

B* 

Q*

S *  Q*  B*   Q* /  .

h Q(1   /  ) h p

t* 

Q*



.

14/b tétel:

Q* 

2  Kb h

Megjegyzések a gazdaságos tételnagyságú modellekhez Az (s,S) politika fogalma.

Ha a hiány nem megengedett az újrarendelési ponthoz tartozó készletszint s=0, ha a hiány megengedett, akkor s  (Q*  S * )  

2  Kb p

h . ph

Az (s,S) politika értelmezése: Q=Ss A QS relációból és az S=Q+s összefüggés következményei.

15/b tétel: A beállítási költség, a gyártási vagy rendelési költség, a darabonkénti készlettartási költség fogalma. A készlet értelmezése.

Az i-edik időszakban felmerülő költség:  K  c zi  h ( xi  zi  ri ), ha zi  0, Bi ( xi , zi )   h ( xi  ri ), ha zi  0. 

ahol: xi zi ri.

a belépőkészlet, a gyártott mennyiség. a szükséglet az i-edik időszakban.

Az xi készlet az első periódus elején és az utolsó periódus végén nulla, azaz x1=xn+1=0. A korlátozó feltételek (a hiányt nem engedjük meg): zi0, és a xi+ziri, amelyből a zirixi. Ezért a Ci* ( xi )  min {Ci ( xi , zi )}  min {Bi ( xi , zi )  Ci*1 ( xi  zi  ri )}, minden i=1,2,...,n-re, zi  0 zi  ri  xi

zi  0 zi  ri  xi

ahol: Ci(xi,zi) az alpolitikák teljes költségét az i-edik periódus elejétől az n-edik periódus végéig, * A Cn1 definíció szerint nulla, és az

xi+1=xi+ziri.

A megoldás egyszerűsítése Az egyszerűsítés alapja:

Ci  min {C j 1  K  c (ri  ri 1 ... rj )  h (ri 1  2 ri  2  3ri  3 ... ( j  i )rj )} , j  i ,i 1,..., n

ahol a j index azt a periódust jelöli, amelynek a végén a készlet először éri el a nulla szintet az i-edik periódus elején kezdődő gyártás után. A j értelmezési tartománya: j  i és j  n . Kikötés szerint a Cn+1 nulla, az i-től j-ig terjedő periódusokban a gyártási költség c (ri  ri 1 ... rj ) ,

a készlettartási költség h (ri 1  2 ri  2  3ri  3 ... ( j  i )rj ) .

Megoldás dinamikus programozással általános feltételek mellett

Ci* ( xi ) 

min

{Ci ( xi , zi )} 

zi  min{Z , S  xi } zi  max{xi 1ri  s , ri  xi }

min

{Bi ( xi , zi )  Ci*1 ( xi  zi  ri )},

zi  min{Z , S  xi } zi  max{xi 1ri  s , ri  xi }

ahol a  K  ci zi  hi ( xi  zi  ri ), ha zi  0, Bi ( xi , zi )   hi ( xi  ri ), ha zi  0. 

16/b tétel: Kötött, részben kötött, szabad. Egykörzetes és többkörzetes. Lineáris, kvadratikus, egyéb nem lineáris. Egykörzetes centrumkeresés kötött telephellyel   minQi   min I ij cij , i=1,2,...,n, j = 1,2,...,m,  j 

ahol: n a centrum variánsok száma, m feladó és megrendelő helyek száma, Qi az i-edik centrum variáns esetén az összes szállítási teljesítmény, Iij a j-edik telephelyről a centrumba időegység alatt beszállított, vagy a centrumból a jedik telephelyre időegység alatt kiszállított termék mennyisége, cij a centrum és a j-edik telephely közötti távolság. Egykörzetes centrumkeresés részben kötött telephellyel

Q   I0 j ( x j  u0 ) 2  ( y j  v0 ) 2  min, j  1, 2,..., m, j

amelyhez a

v0  mu0  b mellékfeltétel járul. Iterációs módszer: A k+1-edik iterációban:

u 0( k 1) 

I

x j  m( y j  b) 0j

A

j

I j

0j

(1  m 2 ) d 0( kj )

,

ahol az

d 0( kj )  ( x j  u 0( k ) ) 2  ( y j  mu 0( k )  b) 2 . A v0 pedig: v0( k 1)  mu0( k 1)  b .

Egykörzetes centrumkeresés szabad telephely-választással A célfüggvény:

Q   I0 j ( x j  u0 ) 2  ( y j  v0 ) 2 . j

A koordináták-menti centrumnyomozás iterációs képletei:

u 0( k 1) 

I

0j

x j / d 0( kj )

j

I

0j

/ d 0( kj )

,

j

v0( k 1) 

I

0j

y j / d 0( kj )

j

I

0j

/ d 0( kj )

,

j

ahol az

d 0( kj )  ( x j  u0( k ) ) 2  ( y j  v0( k ) ) 2 . Algoritmus:

I r .  I 0j

r0

j

j

0j

j

u0( k 1)  u0( k )   v0( k 1)  v0( k )   .

17/b tétel: Többkörzetes centrumkeresés kötetlen centrumkapacitásokkal és szabad telephelyválasztással A feladat feltételrendszere és célfüggvénye a következők szerint írható le: (7.1)

Iij 0, i=1,2,...,n, j=1,2,...,m,

(7.2)

j Iij=ki,

(7.3)

i Iij=fj,

(7.4)

i ki=j fj,

(7.5)

Q  i  j Iij ( x j  ui )2  ( y j  vi )2  min ,

ahol: n a centrumok száma, m a fogyasztóhelyek száma, Iij az i-edik centrumból a j-edik fogyasztóhelyre szállított menynyiség, ki az i-edik centrum kapacitása, fj a j-edik fogyasztóhely igénye, ri(ui,vi) az i-edik centrum koordinátái, rj(xj,yj) a j-edik fogyasztóhely koordinátái. A Ci centrumok n száma adott, de ki kapacitásuk csak globálisan kötött: i ki=j fj, Kombinációs tábla: A kombinációs tábla elvi felépítése F1 Fj Fm ki C1 c11 c1j c1m C2 c21 c2j c2m Cn cn1 cnj cnm fj f1 fj fm ahol:

cij  ( x j  ui ) 2  ( y j  vi ) 2 . A koordináták-menti centrumnyomozás iterációs képletei:

u 0( k 1) 

I

0j

x j / d 0( kj )

j

I j

0j

/d

(k ) 0j

,

v0( k 1) 

I

0j

y j / d 0( kj )

j

I

0j

j

ahol az

d 0( kj )  ( x j  u0( k ) ) 2  ( y j  v0( k ) ) 2 .

/ d 0( kj )

,

Többkörzetes centrumkeresés korlátozott centrumkapacitásokkal és szabad telephelyválasztással A centrumok ki kapacitásait alulról vagy felűről korlátozzuk. A kombinációs tábla a kapacitás-korlátos feladathoz

C1

F1 c11

Fj c1j

Fm c1m

Ci

ci1

cij

cim

Cn

cn1

cnj

cnm

fj dj

f1 d1

fj dj

fm dm

ki k1min k1max kimin kimax knmin knmax

18/b tétel: Többkörzetes centrumkeresés kötött centrumkapacitásokkal és szabad telephelyválasztással A centrumok ki kapacitásai adottak (7.6)

Iij 0, i=1,2,...,n, j=1,2,...,m,

(7.7)

j Iij=ki,

(7.8)

i Iij=fj,

(7.9)

i ki=j fj,

(7.10)

Q   i  j I ij ( x j  ui ) 2  ( y j  vi ) 2  min ,

ahol: n a centrumok száma, m a fogyasztóhelyek száma, Iij az i-edik centrumból a j-edik fogyasztóhelyre szállított mennyiség, ki az i-edik centrum kapacitása, fj a j-edik fogyasztóhely igénye, ri(ui,vi) az i-edik centrum koordinátái, rj(xj,yj) a j-edik fogyasztóhely koordinátái.

cij( k )  ( x j  ui( k ) ) 2  ( y j  vi( k ) ) 2 Q ( k )  Q ( k 1)   ,

u 0( k 1) 

I

0j

x j / d 0( kj )

j

I

0j

/ d 0( kj )

,

j

v0( k 1) 

I

0j

y j / d 0( kj )

j

I

0j

/ d 0( kj )

,

j

ahol az

d 0( kj )  ( x j  u0( k ) ) 2  ( y j  v0( k ) ) 2 . ui( k 1)  ui( k )   , vi( k 1)  vi( k )  

k=k+1.

19/b tétel: Sorbanállási folyamat

Sor, kiszolgálás sorrendjének elve, kiszolgáló mechanizmus, kiszolgálási idő. Elemi kiszolgálási rendszer

A rendszer állapota

=

A sor hossza

=

N(t)

=

Pn(t)

=

s

=



=



=

a fogyasztók száma a kiszolgáló rendszerben a kiszolgálásra várakozó fogyasztók száma = a rendszer állapota  az éppen kiszolgált fogyasztók száma, a fogyasztók száma a kiszolgáló rendszerben t(t0) időpontban, annak valószínűsége, hogy a kiszolgáló rendszerben t időpontban pontosan n fogyasztó tartózkodik, a párhuzamos kiszolgáló csatornák száma a rendszerben, az érkezési ráta középértéke, ami az időegység alatt érkező új fogyasztók várható száma, ha n fogyasztó van a rendszerben, a kiszolgálási ráta középértéke, ami az időegység alatti kiszolgálások várható száma, ha n fogyasztó van a rendszerben.

Születési-halálozási folyamat A születési-halálozási folyamat állapot-átmeneti diagramja

A növekedés intenzitása a t pillanatban:

n-1Pn-1(t)+n+1Pn+1(t), míg a csökkenés intenzitása a t pillanatban (n+n)Pn(t). E kettő különbsége az abszolút valószínűség t-beli változásával (deriváltjával) egyenlő, azaz

dPn (t )   n 1 Pn 1 (t )   n 1 Pn 1 (t )  ( n   n ) Pn (t ) . dt Feltételezve, hogy a Pn(t) független az időtől a lim Pn (t )  Pn , t 

és ekkor a Pn(t) idő szerinti változása

lim

t 

dPn (t ) dPn   0. dt dt

Stacionárius állapotban ezért a differenciálegyenletek differencia egyenletekbe mennek át, azaz

n 1 Pn 1 (t )  n 1 Pn 1 (t )  (n  n ) Pn (t )  0, ha n>0 0 P0 (t )  1 P1  0 , ha n=0 Eredmények: Annak valószínűsége, hogy a rendszer üres:

P0 

1 

1   Cn

.

n 1

Az egyedek számának várható értéke a rendszerben: 

L   n Pn . n0

A sor hosszának várható értéke: 

Lq   (n  s) Pn , ns

ahol s a szerverek száma a rendszerben.

A várakozási idők: W

L



,

Wq 

Lq



,

ahol  az átlagos érkezési ráta. M/M/s modell

A P0 értékének változása a kihasználási tényező függvényében

Az L értékének változása a kihasználási tényező függvényében

Nemexponenciális eloszlású sorbanállási modellek M/G/1 modell A stacionárius állapotra vonatkozó, viszonylag könnyen levezethető eredmények: P0  1   ,

2 2   2 Lq  , 2(1   ) L    Lq ,

Wq 

Lq



,

W  Wq 

1



.

SZIE GTK MSc Marketing Szak Logisztikai folyamatok tervezése vizsgatételek 2012. 1. tétel A szállítási feladat modellje, minimum feladat, maximum feladat, tiltótarifa fogalma, nem lineáris költségfüggvény, hozzárendelési probléma, a szállítási feladat alkalmazásai.

2. tétel A szállítási feladat megoldása disztribúciós módszerrel (a bázis-megoldás előállítása és a program javítása).

3. tétel A hozzárendelési probléma és a szállítási feladat megoldása magyar módszerrel.

4. tétel A körutazási feladat modellje és alkalmazásai. A körutazási feladat megoldása a korlátozás és szétválasztás módszerével.

5. tétel Egycentrumos járatszerkesztés korlátozott járműkapacitással.

6. tétel Járatszerkesztés az üresmenetek minimalizálásával.

7. tétel Hálózatok terminológiája; legrövidebb út a hálózaton, minimális költségű feszítőfa (algoritmusok)

8. tétel Maximális folyam probléma fogalma és a megoldás algoritmusa.

9. tétel Minimális költségű folyam probléma modellje, alkalmazásai. Egy lehetséges bázismegoldás konstruálása.

10. tétel Minimális költségű folyam probléma megoldása hálózati szimplex módszerrel.

11. tétel A készletezés fogalma, okai, modellezése; a készletezési modellek költségelemei Folyamatos készletfigyelésű modellek: egyenletes igény, végtelen nagy feltöltési kapacitás, a hiány nem megengedett és megengedett; egyenletes igény, véges feltöltési kapacitás, a hiány nem megengedett.

12. tétel A telepítési elmélet fogalma, és a telepítési problémák csoportosítása. Egykörzetes centrumkeresés kötött telephellyel, részben kötött telephellyel és szabad telephelyválasztással.