MOS tranzisztorok kétdimenziós numerikus analízise

mm

MONOSTORI LÁSZLÓ MTA Számítástechnikai és Automatizálási Kutatóintézet

MOS tranzisztorok kétdimenziós numerikus analízise ETO

A félvezetőeszközök tervezésénél elengedhetetlenül szükséges az eszközökön belül lejátszódó fizikai folyamatok pontos ismerete. A fél vezetőeszközök háromdimenziósak, de az a l a p v e t ő fizikai m ű k ö d é ­ sük sok esetben k é t dimenzióban leírható. N é h á n y eszköz — p l . egyes MOS eszközök, p-n á t m e n e t , bipoláris tranzisztor — viselkedése m é g egydimen­ ziós modellel is kielégíthetően vizsgálható. A kétdimenziós modellekben a fizikai folyamatokat á l t a l á b a n csatolt nemlineáris parciális differenciál­ egyenletek fejezik k i , melyeknek megoldása szinte kizárólagosan számítógéppel végezhető el. A B M E Elméleti Villamosságtan Tanszékén nappali szakmérnökhallgatóként, dr. Veszély Gyula adjunk­ tus irányításával elkészítettem egy programrend­ szert [22], mely lehetővé teszi a MOS tranzisztorok g y á r t á s előtti vizsgálatát, az eszközök jellemző paramétereinek valamely szempont szerinti opti­ malizálását. Célul t ű z t ü k k i azt is, hogy a program­ rendszer legyen alkalmas a MOS tranzisztorok m ű ­ ködésében szerepet játszó fizikai folyamatok t o v á b b i vizsgálatára, szolgáljon alapul a hálózatanalízis — programokban felhasznált tranzisztormodellek finomítására, és eredményeivel — így az elkészített számítógépes á b r á k k a l — segítse az egyetemi ok­ tatást. Ebben a cikkben összefoglaljuk azt az elméleti anyagot, amelyet a programrendszer elkészítésénél felhasználtunk, majd a programrendszer rövid ismer­ tetése u t á n n é h á n y eredménnyel mutatjuk be a rend­ szer a l k a l m a z h a t ó s á g á t . 1. Az előforduló jelölések értelmezése D Dop—N —N h / J D

D

A

diffúziós tényező adalékolás rácstávolság drain-áram áramsűrűség

Beérkezett: 1979. I I . 27.

az iteráció sorszáma elektronsűrűség akceptorsűrűség donorsűrűség lyuksűrűség az elektron töltésének abszolút é r t é k e rekombinációs tényező idő ' potenciál drain-feszültség gate-feszültség a csatornára merőleges tengely az oxidréteg vastagsága a csatorna i r á n y á r b a eső tengely a potenciál megváltozása permittivitás az oxid, illetve a félvezető permittivitása mozgékonyság töltéssűrűség

K n N X P q R t u

k

D

v

621.3.049.774.2:621.382.3.011.7:681.3.06

0

X x

0

y

b e

Q

Megjegyzés: A jelöléseknél levő n index mindig elek­ tronokra, a p index mindig lyukakra v o n a t k o z ó mennyiségre utal. A 2. fejezettől kezdve a * jelet normalizálatlan értékeknél t ü n t e t t ü k fel. A rácsponti é r t é k e k e t í, / indexszel l á t t u k el. 2. A megoldandó egyenletek, határfeltételek A félvezetőeszközökben lejátszódó transzportje­ lenségeket a következő egyenletek írják le: 7 u*=-q/e-(p*-n* 2

+ D0P*),

(1)

ahol DOP*=N£-Nt. Az (1) kifejezés a Poisson-egyenlet. Az e l e k t r o n á r a m egyrészt a drift-, másrészt a diffúziós komponensből áll, így az elektronok á r a m sűrűségére vonatkozó egyenlet: 3*=-q-f4-n*'7u*+q-D*-7n*.

(2a)

193

H Í R A D Á S T E C H N I K A X X X . É V F . 7. SZ.

Hasonlóképpen a l y u k á r a m sűrűsége : 3*=-q'fi*-p*'7u*-q-D*-7p*.

(2b)

A folytonossági egyenletek:

V.J»+ .-^-=-gJR*-

(3b)

?

Az egyenleteket — egyrészt a felesleges konstansok elhagyása, m á s r é s z t a szereplő változók nagyságrend­ jének számítástechnikai szempontból való előnyös m e g v á l t o z t a t á s a érdekében — normalizálni szokás (pl [3]). í r j u k fel az (1)—(3) egyenletek normalizált alak­ j á t , de t ü n t e s s ü k fel azt, hogy a változók az x, y távolságok függvényei (kétdimenziós vizsgálatra szo­ r í t k o z u n k ) . Vonjuk össze a (2) és (3) összefüggéseket, közben pedig — stacionárius megoldást keresve — hagyjuk el az időbeli d e r i v á l t a k a t t a r t a l m a z ó tagokat. 7 u ( z , y) = n ( i , y) - p ( x , y)-DOP(x,

y),

(4)

y)]}=R(x,

y), (5a)

2

V-{Mn(*, y)'[—n(x,y)-Vu(x, V-{[Í (X, P

y)-[p(x, y)-lu(x,

y)+7n(x, y)+7p(x,

y)]}=R(x,

y). (5b)

Az (5a), (5b) egyenletek k a p c s á n megjegyezzük, hogy a /u„, / i mozgékonyságok és az R rekombi­ nációs tényező csak k ö z v e t v e a h e l y k o o r d i n á t á k függvényei, valójában t ö b b tényezőtől — az előbbi például az adalékolástól, a térerőtől, az utóbbi pedig a lyuk-, illetve elektronsűrűségtől — függenek. p

feltételeztük, hogy az oxidrétegben nincs t ö l t é s . Amennyiben az oxidban ismert a Q(X ,y) ?± 0 töltéssűrűség-függvény, úgy azt a (6) egyenlet j o b b olda­ lán szerepeltethetjük. Az egyenletek megoldása során a k ö v e t k e z ő h a t á r ­ feltételeket kell teljesítenünk: a ) Az AGHB, EIJF, CD és KL fém kontaktuso­ kon a potenciál állandó. b) A BC és DE szakaszon a p o t e n c i á l m e n e t e t lineárisnak tekintjük. c) A Hl szakaszon (az oxid-félvezető h a t á r o n ) mind az elektron-, mind a l y u k á r a m normális k o m p o n e n s é t nullának vesszük. H a e l t e k i n t ü n k az oxid-félvezető á t m e n e t n é l be­ fogott töltésmennyiségtől, ezen a szakaszon az el­ tolási vektor, normális komponensének folytonosságát kell a potenciálfüggvénnyel t e l j e s í t e n ü n k :

Határfeltételek

MOS tranzisztor síkmetszete l á t h a t ó az 1. á b r á n . A^z 1. á b r a jelöléseit használva, a GKLJ t a r t o m á n y o n a (4) (5) egyenletek m i n d e g y i k é t meg kell oldanunk, a BHIE részen pedig a 7*u(x,y) = 0

(6)

Laplace-egyenletet kell teljesítenünk. (6) felírásakor

(7)

0

d) Feltételezzük, hogy a GK és JL szakaszon mind a feszültségnek, mind a lyuk-, illetve elektronsűrűség­ nek az y i r á n y ú változásától e l t e k i n t h e t ü n k , vagyis: 8»

du _ 8p _ q

(8)

Másik lehetséges közelítés, hogy a p-n á t m e n e t egydimenziós analízisének e r e d m é n y é t vesszük f i ­ gyelembe ezeken a szakaszokon [8]. e) A GH, I J és KL szakaszokon, ahol a félvezető fémmel érintkezik, az ohmos kontaktusokra jellemző feltételeket teljesítjük: (9a)

e(zȒ/)=o, n{x,y)-p(x,y)

2.1

x=x +0

x=xo—0

= \.

(9b)

A (9a) összefüggés a semlegességi, a (9b) pedig az egyensúlyi feltételt fejezi k i . f) A GH, I J és KL szakaszokon szerepeltetjük a fém kontaktusok és félvezető-tartományok közti (9)-ből adódó kontaktpotenciál-különbséget. A gate-kontaktus és a félvezető k ö z ö t t i kontakt­ potenciál-különbséget beleértjük a gate-feszültség értékébe. 3. Az egyenletek diszkretizálása

Source

VGate

D Jj_i

n»/p*/

n'/pV

p / n / Si

»Bulk ÍH654-ML1

1. ábra.. MOS tranzisztor keresztmetszete

194

A (4)—(5) egyenletek csatolt elliptikus differen­ ciálegyenletek. A megoldást nehezíti, hogy a mozgé­ k o n y s á g - és rekombináció-értékek az ismeretlenek bonyolult nemlineáris függvényei. Az egyenletrend­ szer megoldása iteráció ú t j á n végezhető el, amelynek minden lépésekor a nemlinearitást okozó tagokat az előző iteráció eredményei alapján számoljuk. í g y minden egyes lépésnél lineáris elliptikus differen­ ciálegyenleteket kell megoldanunk. A z iterációs el­ j á r á s t addig folytatjuk, míg a megoldás valamilyen pontossági követelménynek meg nem felel. A lineáris elliptikus differenciálegyenletek megol­ d á s á n a k leggyakrabban használt eszköze a rács­ módszer [16]. Előnyös tulajdonságai m i a t t a rács­ módszer, avagy a véges differenciák módszere egyed-

MONOSTORI L . : MOS T R A N Z I S Z T O R O K KÉTDIMENZIÓS N U M E R I K U S ANALÍZISE

uralkodó szerepet játszik a félvezetőeszközök mo­ dellezésénél felmerülő numerikus matematikai prob­ lémák (parabolikus-, illetve egyenáramú feladat esetén elliptikus parciális differenciálegyenlet-rend­ szerek) megoldása során [10].

n á l t diszkretizált alakjához j u t u n k [ 6 ] : J i + i / ^ ^ K + i - e - ^ - n r e ^ ] , ahol Au = u —iz, i+1

3.1 A Poisson-egyenlet

diszkretizációja

A Poisson-egyenletet a következőképpen diszkretizálhatjuk (írhatjuk á t differenciaegyenletté). Vegyük fel a töltéssűrűségek és a potenciál közötti kapcsolatot az n(x, y) = a(x, y) • e<*> v> p ( x , y ) = /?(z,y).e-»(*.y>

(10a) (10b)

alakban. Az összefüggések lényegében a Boltzmaneloszlás szerepeltetését jelentik, de az a és /5 t é n y e ­ zők x, y függésével lehetővé tesszük a töltéssűrűség­ nek az egyensúlyi eloszlástól való eltérését is. A (10a, b) összefüggések felvétele t u l a j d o n k é p p e n nem szükségszerű. A (4), (5a, b) egyenletekből álló csatolt rendszer (10) nélkül is megoldható. A (10a, b) összefüggések szerepeltetésének a célja: az egyen­ letek közti csatolás erősítése, vállalva azt a h á t r á n y t is, hogy ezáltal a Poisson-egyenletet u-ban nem­ lineárissá tesszük. A leírt módszert az irodalom szerint széles körben használják [10]. A (10a, b)-vel nemlineárissá t e t t Poisson-egyenlet megoldását iterációval végezzük. Írjuk fel a (K+l)-edik iteráció e r e d m é n y é t az (11) alakban, ahol dffi a potenciál (z, / ) rácspontbeli értékének a ( f f + l ) - e d i k iterációkor keletkezett korrekciója. ( l l ) - e t (4) nemlineáris formájába beírva, majd feltételezve, hogy m á r elég közel j á r u n k a megoldás­ hoz — a nemlineáris tagokat Taylor-soruk első k é t tagjával helyettesítve, a Poisson-egyenlet diszkre­ t i z á l t formáját kapjuk: (12) Minden egyes iterációs lépés u t á n az előző iteráció rácsponti potenciálértékeit módosítjuk (11) szerint a kapott őfj^ megváltozásokkal. 3.2. A

folytonossági

egyenletek

diszkretizációja

Míg a (12) egyenlet általánosan elfogadott, a folytonossági egyenletek többféle diszkretizált alak­ j á t t a l á l h a t j u k az irodalomban. Az egyszerűség k e d v é é r t tételezzünk fel egy egy­ dimenziós, azonos h osztású rácsot. Az e l e k t r o n á r a m sűrűség x szerinti differenciálhányadosának szokásos közelítése az z'-edik r á c s p o n t b a n (elhagyva az n indexet): d

J

dx x=i-h

=(Ji+ii2—Ji-ii2)/h.

(13)

Feltételezve, hogy k é t szomszédos r á c s p o n t k ö z ö t t a potenciál állandó, az á r a m s ű r ű s é g á l t a l á b a n hasz-

(14)

és ^ + 1 / 2 =

Abban az esetben, amikor az elektromos t é r e r ő t és az áramsűrűséget t e k i n t j ü k állandónak k é t szomszé­ dos rácspont k ö z ö t t , akkor Scharfetter és Gummel k é p l e t é t kapjuk [ 4 ] : Au 1-

+ 1—e~

Ju

(15)

B e l á t h a t ó [10], hogy a (14) kifejezés a l k a l m a z á s a ­ kor, az egyenletek megoldásakor | ^ í w | > 2 esetén a rács egyes pontjaiban negatív töltéssűrűséget kapunk. E z é r t (14) csak \Au\ aránylag kis értékeinél h a s z n á l ­ h a t ó . Ez a tulajdonság adott rácsméret esetén erősen behatárolja a szerkezetre kapcsolt feszültségek é r t é ­ keit. Azonos feszültségviszonyok esetén a Schar­ fetter— Gurnmel-képletet alkalmazva sokkal kisebb m é r e t ű rács elég a konvergenciához., A (15)-tel kapcsolatban még megjegyezzük, hogy \Au \ «l esetén megegyezik (14)-gyel, esetén pedig a driftáram kifejezését adja. Hasonló jellegű képleteket n y e r ü n k a l y u k á r a m vizsgálatakor is. A (13), (14), (15) képletek kétdimenziós esetre is kiterjeszthetők. Az 1. pontban leírt peremfeltételeket nagyobb nehézségek nélkül beépíthetjük a differenciálegyen­ letek ebben a fejezetben felírt differencia-analogonjaiba. 4. Az egyenletrendszer megoldása Az előzőekben l á t t u k , hogy t u l a j d o n k é p p e n h á r o m csatolt elliptikus differenciálegyenletet kell megol­ danunk. A nemlinearitás m i a t t a megoldás egzisz­ tenciája és unicitása nem g a r a n t á l t . A k ö v e t k e z ő k ­ ben leírt algoritmus helyességét a gyakorlat igazolta. Az egyenletek nemlinearitása m i a t t iterációs meg­ oldási algoritmust kell v á l a s z t a n u n k , melyet a 2. á b r a kapcsán ismertetünk. A teljes rendszert tekintve az u potenciál, vala­ m i n t az n és p töltéssűrűség-függvények az ismeret­ lenek. Segítségükkel a tranzisztor m á s jellemzői számíthatók. A 2. á b r a algoritmusának legfontosabb t u l a j ­ donsága, hogy a h á r o m egyenletet egymástól k ü l ö n ­ állóan, szekvenciálisan oldjuk meg. A mozgékonyság-, illetve a rekombináció-értékeket a változóktól való függésük m i a t t mindig az előző iterációs lépés alapján számoljuk. A folytonossági egyenletek megoldása során a potenciál, a Poisson-egyenletnél a töltéssűrűségek rácspontbeli é r t é k e i t t e k i n t j ü k az előző iterációs lépés alapján ismertnek. A (4), (5) differenciálegyénletekben szereplő dif­ ferenciál-operátorok közelítésében a szakirodalom szerint általánosan elfogadott az 5-pontos differen­ cia-formulák alkalmazása. Mivel ekkor az egy pont­ ra felírt differencia-hányadosban maximálisan 4 másik (a 4 szomszédos) rácspontbeli függvényérték

195

H Í R A D Á S T E C H N I K A X X X . É V F . 7. SZ.

K=0. Kezdeti p o t e n c i á l - f v . ' választása '

K= K + 1 Mozgékonysá g számítás =1 I

—

n '.

> • .•

• -1

Rolínmhmnr.n

] •—-—

1 1

R=-0

számítás

n-re vonatkozó f o l y t o n o s s á g i egyenlet m e g o l d á s a

p-re v o n a t k o z ó f o l y t o n o s s á g i egyenlet m e g o l d á s a

1 A Poisson egyenlet megoldása

2. ábra. A 3 csatolt elliptikus differenciálegyenlet megoldásának vázlatos diagramja

szerepel, az egyes differenciálegyenletek differenciaanalogonjai olyan lineáris egyenletrendszerek, ame­ lyek e g y ü t t h a t ó m á t r i x a speciális, 5 nem nulla s á v o t tartalmazó ritka mátrix. A z ilyen e g y ü t t h a t ó m á t r i x ú lineáris egyenlet­ rendszer megoldására fejlett eliminációs és ite­ rációs módszerek állnak rendelkezésünkre [18, 20]. 5. A MOS-moddl programrendszer Az i t t és [22]-ben leírt elméleti anyagra t á m a s z k o d ­ va a B M E Elméleti Villamosságtan t a n s z é k é n el­ k é s z í t e t t ü n k egy programrendszert, amely MOStranzisztorok stacionárius áramlási terének k é t ­ dimenziós numerikus analízisét végzi. A M O S - M O D E L L programrendszer jelenlegi f o r m á j á b a n az Egyetemi S z á m í t ó k ö z p o n t R A Z D A N — 3 számítógépén m ű k ö d i k , a grafikus meg­ jelenítést a számítógéphez off-line ü z e m m ó d b a n kapcsolt Digigráf rajzgép segítségével végezzük. A R A Z D A N — 3 g é p memóriája 32k 48 bites szóból áll. A jobb memóriakihasználás érdekében és azért, mert az egyes részfeladatok egymástól jól elkülönít­ h e t ő k , a feladatot 4 fő részre osztottuk. A z egyes részfeladatokat végző programok egymással egy

196

mágnesszalagos bázison keresztül tartanak kap­ csolatot. I l y m ó d o n az egyenletek megoldását végző prog­ ramot megelőzi egy előkészítő program, amely a megoldáshoz szükséges, de a t t ó l k ü l ö n v á l a s z t h a t ó feladatokat ( p l . rácsgenerálás, kezdeti potenciál­ függvény-felvétel stb.) hajtja végre. A z analízis eredményéül kapott kétváltozós függvények l á t h a ­ t ó v á tételét egy harmadik program végzi. A negyedik részprogram t ö b b analízis-eredményt felhasználva k a r a k t e r i s z t i k á t számol és ábrázol, összeveti az ana­ litikus ú t o n , illetve a kétdimenziós analízis segítsé­ gével kapott eredményeket, valamint az á r a m c s a t o r na közelítő alakját teszi szemléletessé. A M O S — M O D E L L programrendszer főbb jellem­ zői a k ö v e t k e z ő k : a) A. programok F O R T R A N nyelven, illetve gépi kódban íródtak. b) Változó beosztású rácshálózatot e n g e d ü n k meg, a tranzisztor „ p r o b l e m a t i k u s a b b " t a r t o m á n y a i b a n a r á c s p o n t o k a t a program is képes generálni. c) Az adalékolási viszonyok kényelmes m e g a d á ­ sára háromféle m ó d 411 rendelkezésünkre. d) A mozgékonyságot a Caughey—Thomas-modell [2] segítségével vehetjük figyelembe, a r e k o m b i n á c i ó s é r t é k e k e t a Shockley-Read-Hall-módell a l a p j á n szá­ mítjuk. Lehetőség van a program konstans mozgé­ konysággal és rekombinációs tényezővel t ö r t é n ő lefuttatására is. e) A folytonossági egyenletekre v o n a t k o z ó , a 2. pontban leírt kétféle diszkretizációs m ó d m i n d e g y i k é t választhatjuk. Ü g y tudjuk, ez az első olyan programrendszer, amely a Scharfetter—Gummel-diszkretizálási m ó d ­ szer kétdimenziós v á l t o z a t á t használja fel MOS tranzisztorok analízisére. f) ö s s z h a n g b a n a szakirodalom azon m e g á l l a p í t á ­ sával, hogy nem t ú l nagy rácsméretű kétdimenziós feladatoknál az eliminációs módszer előnyösebb, de legalábbis nem h á t r á n y o s a b b az i t e r a t í v eljárások­ nál [18], az eliminációt v á l a s z t o t t u k a lineáris egyen­ letrendszerek megoldására. Az elimináció gépidejét jelentősen c s ö k k e n t e t t ü k az 5-sávos e g y ü t t h a t ó m á t r i x ú lineáris egyenletrend­ szert megoldó szubrutin gépi kódos v á l t o z a t á n a k elkészítésével. g) Maximálisan 600 r á c s p o n t o t e n g e d ü n k meg, de a megoldó r u t i n mágnesszalagos v á l t o z a t á t h a s z n á l v a ez a k o r l á t messze kitolódik. h) A megoldás során jól b e v á l t túlcsordulás és divergencia elleni védelmet biztosítunk. i) Lehetőség van az analízisnek egy, m á r elvégzett feladat e r e d m é n y é n alapuló, némileg m á s potenciál­ értékek melletti lefuttatására is, sőt a kiindulási é r t é k e k e t az előző eredményekből extra- vagy interpoláltathatjuk. f) A z eredmények alapos vizsgálatát teszik lehe­ t ő v é és segítik elő a rendszer sokirányú grafikus szol­ g á l t a t á s a i (3—12. á b r a ) . Egy k o n k r é t feladat esetén az eredményül kapott kétváltozós függvényeket szint­ vonalas vagy paralel ortogonális i projekció [19] felhasználásával készített á b r á k segítségével vizs­ gálhatjuk, de lehetőség van az illető függvények r á c s ­ vonalmenti viselkedésének szemléltetésére is.

MONOSTORI L . : MOS T R A N Z I S Z T O R O K K É T D I M E N Z I Ó S N U M E R I K U S ANALÍZISE

Y-TENGF;

V

(CM)

*io-3

1.8819 ^m,,^,^^^,,^,,

is

2>23

„, | , „ ,„„-1^1,

;

fNSl IBIIÉI n i ..<_

ll^iSlliilliiiil^PiiK^liilil ÍH654-M13' 3. ábra. A potenciálfüggvény szintvonalai (V 5 V, V = —1,5 V, h.csat.) G

D

Y^- F:NGQ T

V

C CM J * I D - 3 ^ V XX

^ W W l

I|j§j|pi|l§^^ |H654-MU>j 4. ábra. A potenciálfüggvény szintvonalai ( V G = —5 V , V = —6,5 V , h.csat.) D

197

H Í R A D Á S T E C H N I K A X X X . É V F . 7. SZ.

s

4&

5. ábra. A félvezetőtartomány potenciálfüggvényének térbeli képe a drain felől nézve ( V = —5 V , V D = — 1,5 V, h.csat.)

6. ábra. A lyuksürűség logaritmusának térbeli képe közel az oxidhoz, a drain felől nézve ( V = —5 V , V 1,5 V , h.csat.)

A tranzisztor-karakterisztikák mellett rajzban kaphatjuk meg az á r a m c s a t o r n á k közelítő a l a k j á t is. k) A kétdimenziós numerikus analízis eredményeit célszerű az analitikus formulákból kapott értékekkel összehasonlítani, sőt az analitikus képletek bizo­ nyos módosítására is lehetőség nyílik. A program jelenlegi v á l t o z a t a képes p l . egy adott szerkezetre, a csatornarövidülés egyik jelentős analitikus for­ m u l á j á b a n , a Frohman—Bentchkowsky-modellben [5] szereplő k é t állandó m e g h a t á r o z á s á r a . A program h a s z n á l h a t ó s á g á t a k ö v e t k e z ő fejezet­ ben i s m e r t e t e n d ő n é h á n y eredménnyel mutatjuk be.

A z i r á n y ú m é r e t 100 fim. A p csatornájú szerkezet adalékolási viszonyai: az n típusú s z u b s z t r á t u m k o n ­ centrációja, 5-10 /cm , a p típusú source és drain koncentrációja 5-10 /cm .' A vizsgált rövidcsatornájú tranzisztor adatai az előzőekkel megegyeznek, kivéve, hogy a csatorna hossza az előbbi tizedrésze: 1 fim.

G

G

D

14

3

16

6.2. Potenciál-

3

és töltéseloszlások

vizsgálata

A 3 . - 8 . á b r á k o n V = —5 V mellett a hosszú­ csatornás MOS-tranzisztor potenciál- és töltéssűrűség-eloszlását l á t h a t j u k leszúródás előtt ( V = —1,5 V ) és u t á n ( V = — 6 , 5 V ) . A tranzisztor t e h á t n ö vekményes üzemmódban működik. A 3—4. szintvonalak segítségével mutatja a a potenciáleloszlást az x-y metszeten (source- és és szubsztrátum-potenciált a f u t t a t á s o k n á l zérus­ nak v e t t ü k ) . A k é t á b r á t összevetve ( m i n d k e t t ő n 15—15 db. egyenletesen felvett szintvonalat s z e r e p e l t e t t ü n k ) megfigyelhetjük a drain-nél levő p-n á t m e n e t k i ­ ü r í t e t t rétegének kiszélesedését, v a l a m i n t a szint­ vonalak jellemző alakját a leszúródási p o n t k ö r n y e ­ zetében. A z eredményül kapott kétváltozós függvények „ t é r b e l i " ábrázolásához a parelel ortogonális pro­ jekciót h a s z n á l t u k fel. Q

D

D

6. Futtatási eredmények 6.1. A vizsgált szerkezetek

leírása

A b e m u t a t a n d ó példák kétféle alapgeometriájú MOS tranzisztorra vonatkoznak. Az (analizált v é k o n y oxidrétegű, hosszúcsatornás tranzisztor jellemző méretei (az 1. á b r a jelöléseivel): x i r á n y ú m é r e t e k : AK = 10 fim, az oxidréteg vas-, t a g s á g a A G = 0 , 1 fim, a source és drain vastagsága G G = J J = 1,4 (Mm. A s t r u k t ú r a y i r á n y b a n szim­ metrikus, A F = 3 0 fim, a source és drain kontak­ tusok hossza AB=EF=3 / m i , a gate kontaktus CD=18 fim, a source és drain pedig e g y e n k é n t G i / = / J = 1 0 / i m hosszú. 1

1

198

1

1

MONOSTORI L . : MOS T R A N Z I S Z T O R O K K É T D I M E N Z I Ó S N U M E R I K U S A N A L Í Z I S E

. . . ÍH6SA±MJ

:

9. ábra. Az áramcsatorna alakja ( V G = — 5 " V , V

D

= — 2 , 5 V , h. csat.)

199

H Í R A D Á S T E C H N I K A X X X . É V F . 7. SZ.

' .

. '

.

.......

.

.

. lH654-ML1Q|'

10. ábra. Az áramcsatorna alakja ( V G = —5 V , V D = —10 V , h.csat.)

Az 5—6. á b r á n a potenciál, illetve a lyuksűrűség l o g a r i t m u s á n a k térbeli képe szerepel V = —1,5 V mellett, a 7—8. á b r a mutatja ugyanezeket a függ­ v é n y e k e t m á r a leszúródás bekövetkezése u t á n ( V = - 6 , 5 V). Az á b r á k o n jól kivehetők a source és drain tar­ t o m á n y o k , a p-n á t m e n e t e k , az oxidréteg alatti inverziós réteg, valamiirt a 8. á b r á n a leszúródás jelensége. A z á b r á k k a l kapcsolatban még egy jelenségre szeretnénk felhívni a figyelmet. A z t v á r n á n k , hogy a source és drain t a r t o m á n y o k oxid alatti részén — D

D

amelyek jelen esetben 100-szor erősebben a d a l é k o i t a k a s z u b s z t r á t u m n á l — a potenciál lényegében nem változik, és a töltéssűrűségek sem t é r n e k el lénye­ gesen a semlegességi (9a), és egyensúlyi (9b) fel­ tételek által m e g h a t á r o z o t t értékektől. Ezzel szemben az 5. és 7. á b r á n azt l á t j u k , hogy a potenciál az adott t a r t o m á n y b a n igenis változik, sőt a 6. és 8. ábra szerint a l y u k a k b ó l álló á r a m csatorna is mintha a source-ba és drain-be is bele­ érne, az oxidhoz közeli részeken a függvények értékei nem egyeznek meg v á r a k o z á s u n k k a l . A jelen­ ség oka: a vizsgált tranzisztor geometriája olyan,

|H654-ML11|-

11.-ábra. Az áramcsatorna alakja ( V = —5 V, V -—2,5 V, r. csat.) G

200

D

MONOSTORI f..: MOS T R A N Z I S Z T O R O K KÉTDIMENZIÓS N U M E R I K U S ANALÍZISE

jH654-MU2j '

12. ábra. Az áramcsatorna alakja ( V G = —5 V , V D =—7,5 V , r. csat.)

hogy a gate-kontaktus a drain és source fölé nyúlik (az 1. á b r a is egy ilyen geometriát mutat). Abban az esetben t e h á t , amikor a gate-kontaktus a source, illetve a drain fölé nyúlik, a tranzisztor csatornáját tulajdonképpen nem a source és a drain határolja, hanem a csatorna hosszát a gate-kontaktus h a t á r o z z a meg. K i s gate-feszültségnél ez a jelleg­ zetesség a source, illetve drain oldali a k k u m u l á ­ cióban, nagyobb feszültségnél pedig abban n y i l ­ v á n u l meg, hogy az oxid alatti k i ü r í t e t t réteg a drain gate alatti részén is folytatódik.

A 11—12. á b r á k o n hasonlóképpen a source és drain k ö z ö t t i t e r ü l e t e t l á t h a t j u k , de rövidcsatornás esetben ( V = - 5 V , V = - 2 , 5 V , illetve - 7,5 V ) . Szembeötlő különbség a hosszúcsatornás esettel összehasonlítva, hogy i t t az á r a m viszonylag vas­ tagabb c s a t o r n á b a n folyik, m á r V = —2,5 V esetén is az összáramnak csak mintegy 50%-a "folyik a felülethez közel. E z a h á n y a d a drain-feszültség növelésével egyre csökken, a 12. ábra szerint p l . V = —7,5 V mellett az árameloszlás m á r szinte egyenletesnek m o n d h a t ó .

6.3. Az áramcsatorna

6.4. További

alakja

A hosszú- és rövidcsatornás MOS tranzisztorok eltérő viselkedésének egyik oka a csatornák alakjá­ nak különbözősége. MOS tranzisztorok kétdimenziós numerikus modelljén alapuló csatornaábrázolásokat nem t a l á l h a t u n k az irodalomban, pedig a tranzisz­ torok — főleg a rövidcsatornás eszköz — működésé­ nek m e g é r t é s é i a megfelelő számítógépes rajzok jelentős m é r t é k b e n elősegíthetik. A 9 - 1 0 . á b r á k V - - 5 V és F = - 2 , 5 V , vala­ mint V = — 1 0 V esetén az ismertetett s t r u k t ú r á j ú hosszú csatornás tranzisztor áramlási t e r é t m u t a t j á k . A rajzokon a source és drain közötti t a r t o m á n y t n a g y í t o t t u k k i , és a vonalak mellé í r t számok azt jel­ zik, hogy az összáram h á n y százaléka folyik az oxid­ félvezető á t m e n e t és az illető görbe k ö z ö t t . Megfigyelhető, hogy a csatorna source, illetve drain felőli részének kivételével az á r a m nagy része a felülethez közeli kis s á v b a n folyik. A vé­ kony inverziós csatorna biztosítja a vezetéshez szükséges töltéseket. Az á b r a s o r o n figyelemmel kísérhető a drain kör­ nyezetében keletkező k i ü r í t e t t rétegnek a töltés­ hordozók á r a m l á s á r a gyakorolt h a t á s a . Q

D

D

Q

D

D

D

vizsgálatok

P r o g r a m r e n d s z e r ü n k e t a leírtakon kívül hosszú- és rövidcsatornájú tranzisztorok k a r a k t e r i s z t i k á j á n a k m e g h a t á r o z á s á r a , konstans, térerőtől nem függő mozgékonyság k a r a k t e r i s z t i k á k r a gyakorolt h a t á ­ s á n a k megvizsgálására is felhasználtuk, valamint adott szerkezetekre m e g h a t á r o z t u k a Frohman— Bentchkowsky-modellben [5] szereplő k é t állandót. Köszönetnyilvánítás E z ú t o n is szeretnék köszönetet mondani DR. VESZÉLY GYULA adjunktusnak a feladatok k i ­ tűzéséért és azért, mert fáradságot nem kímélve segített a felmerülő elméleti problémák megoldásá­ ban, valamint DR. KOLTAI MIHÁLY tanár­ segédnek a hasonló jellegű, t é r s z á m í t ó programrend­ szer kidolgozása során szerzett numerikus tapasz­ talatainak á t a d á s á é r t . IRODALOM [1] Gumrnel, H. K.\ A self-consistent íterative scheme for onedimensional steady state transistor calculatlons. I E E E Trans. Electron Devices, ED—11, pp. 455—465, October, 1964.

201

H f Ü A D A S T E C H N í K \ X X X. HV('\ 7. SZ.

[2] Caughey, D. M.—Thomus, R. F,.: Carrier mobilities in SI empirically relufeil to doping und field. Proc. I K R E , 55, pp. 2192—2193, 1967. l'i] De Mari, A.: An accurate numerical steady-state onedimensional solution of the p—n junction. SolidState Electronics, vol. t l , pp. 33—58, January, 1968. [4] Scharfetter, D. L.—Gummel, H. K.: Large-signal analysis ofasilicion rcad diode oscillator. I E E E Trans. Electron Devices, ED—16, pp. 64—77, January, 1969. [5] Frokman—Bentchkowsky, D.—Grove, A. S.: Conductance of MOS transistors in saturation. I E E E Trans. Electron Devices, ED—16, pp. 108—113, January, 1969. [6] Vandorpe, D.—Borel, J.—Merckel, G.—Sairtíot, P.: An accurate two-dimensional numerical analysis of the MOS transistor. Solid-State Electron., vol. 15, pp. 547— 557, 1972. [7] Slotboom, J. W.: Computer-aided two-dimensional ana­ lysis of űipolar transistors. I E E E Trans. Electron Devices, ED—20, pp. 669—679, August, 1973. [8] De La Moneda, F. H.: Threshold voltage from numerical solution of the two-dimensional MOS transistor. I E E E Trans. Circuit Theory, vol. 20, pp. 666—673, November, 1973. [9] Tarnay, IC: The program PN-junction, version 1 for computer analysis of semiconductor junctions, in one dimension. Institute of Technology Uppsala University, 1974. [10] Reiser, M.:. Computing methods iri semiconductor problems. Lecture Notes in Computer Science 10., Springer—"Verlag, Berlin, 1974. [11] Many, A.—Goldstein, Y.—Grover, IV. B . : Semiconductor surfaces. North Holland Publishing Co., Amsterdam, 1965.

112] Grove, A, S.: Physics and technology of semiconductor devices. Wiley— Interscience, N. Y . , 1967. [13] Cobbold, R. S. C: Theory and application of í'ield-et'fect transistors. Wiley—Interscience, N. Y . , 1970. [14] Stone, H. L . : Iteratifre solution of implicit approximations of multidimensional particai differential equations. SIAM J . Number, Anal., vol. 5, pp. 530—558, September, 1968. [15] Ralston, A.: Bevezetés a numerikus analízisbe. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1969. [16] Fedorenko, R. P.: Ityeracionnüje metodü reseuyija raznoctnüh elliptyicseszkih uravnyenyij. Uszpehi Matyematyicseszkih Nauk, T X X V I I I , pp. 121—182, MartApr. 1973. [17] Marcsuk, G. I.: A gépi matematika numerikus mód­ szerei — parciális differenciálegyenletek. Műszaki Könyv­ kiadó, Budapest, 1976. (18] Dufj, I. S.: A survey of sparse mátrix researcli. Proc. of the I E E E , vol. 65, Bo. 4, April, 1977. [19] Koliai M.: Kétváltozós függvény perspektivikus áb­ rázolása. Egyetemi Számítóközpont, Tájékoztató, Buda­ pest, Okt., 1976. [20] Koltai M.: Térszámító programrendszer elektro- és magnetosztatikus, valamint stacionárius áramlási terek analízisére. Egyetemi doktori disszertáció, Budapesti Műszaki Egyetem, 1977. [21] Monostori L . : MOS struktúrák egydimenziós számító­ gépes analízise. Diplomamunka, Budapesti Műszaki Egyetem, 1976. [22] Monostori L . : MOS tranzisztorok stacionárius áramlási terének kétdimenziós számítógépes analízise. Szak­ mérnöki diplomamunka és egyetemi doktori disszer­ táció, Budapesti Műszaki Egyetem, 1978.