Mohammad Fal Sadikin
`
`
Purcell, Varberg, Rigdon, “Kalkulus”, Erlangga, 2004. Dumairy, “Matematika Terapan Untuk Bisnis dan Ekonomi”, Penerbit BPFE Yogyakarta, 1996.
`
`
Himpunan : kumpulan objek yang didefinisikan dengan jelas Contoh: ◦ ◦ ◦ ◦ ◦
Himpunan Himpunan Himpunan Himpunan Himpunan
Mahasiswa Pencinta Alam Tumbuhan Tropis Asdos Bilangan Bulat Bilangan Prima
`
`
P ∈ A berarti bahwa obyek p adalah
merupakan anggota (atau unsur, atau elemen) dari himpunan A.
Jika setiap anggota dari himpunan A juga merupakan anggota dari himpuan lain B, dengan perkataan lain P ∈ A juga P ∈ B, maka A disebut himpunan bagian (subset) dari B. ◦ Notasi : A ⊂ B berarti bahwa A merupakan himpunan bagian dari B
`
`
`
`
`
A = B berarti bahwa himpunan A sama dengan himpunan B, yakni jika dan hanya A ⊂ B serta B ⊂ A Pernyataan ingkaran atau bantahan terhadap p ∈ A, A ⊂ B dan A = B masing-masing dituliskan dengan notasi P ∉ A, A ⊄ B dan A ≠ B, dengan demikian,notasi : P ∉ A artinya obyek P bukan merupakan anggota dari himpunan A A ⊄ B artinya A bukan merupakan himpunan bagian dari B A ≠ B artinya himpunan A tidak sama dengan himpunan B.
◦ Dengan mendaftar seluruh anggotanya di antara kurung kurawal buka dan tutup (tabular form) x A = {1,2,3,4,5}
◦ Dengan menyatakan sifat anggotanya
x A = himpunan bilangan asli yang lebih kecil daripada 6
◦ Dengan menggunakan notasi pembentuk himpunan x A = {x|x adalah bil. Asli yang lebih kecil dari 6} x A = {x; 0 < x < 6} x A = {x; 1 ≤ x ≤ 5}
Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi pembentuk himpunan 1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang atau sama dengan 15 2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan -5 tetapi kurang dari 10 3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20 Jawaban : 1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A} 2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B } 3. D = { x | x < 20 , x ∈ L }
Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya Jawaban:
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A} = { 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 } 2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x ∈ B } = { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } 3. D = { x | x < 20 , x ∈ P } = { 2, 3, 5, 7,11, 13, 17, 19 }
Diagram Venn Langkah-langkah menggambar diagram venn 1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan 2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama 3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah 4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi 5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutanya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu 7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, dimana segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah anggotanya apabila belum lengkap
Contoh: Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 } A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab:
S 7
0
6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C
A 9
3
12
6
C 13 11
8
1
5
2 4 10
3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C
14 B
2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B
`
Himpunan kosong
◦ Himpunan yang tidak memiliki anggota, dilambangkan dengan { } atau Φ
` `
Himpunan berhingga dan tak berhingga Kesamaan himpunan
◦ Himpunan A sama dengan himpunan B bila seluruh elemen himpunan A ada dalam himpunan B dan seluruh elemen himpunan B ada dalam himpunan A
2A atau P(A) 2A = {B | B ⊆ A} himpunan
“power set dari A” (mengandung semua bagian dari A)
Contoh: (1) A = {x, y, z} 2A = {∅, {x}, {y}, {z}, {x, y}, {x, z}, {y, z}, {x, y, z}} (2) A = ∅ 2A = {∅} Catatan : |A| = 0, |2A| = 1
Jika suatu himpunan memiliki n buah anggota yang berlainan, n∈N, kita menyebut S sebagai himpunan berhingga dengan kardinalitas n. Contoh: A = {Mercedes, BMW, Porsche}, |A| = 3 B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6}
|B| = 4
C=Φ
|C| = 0
D = { x ε N | x ≤ 7000 }
|D| = 7001
E = { x ε N | x ≥ 7000 }
E tak berhingga!
• Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal dari kedua himpunan tersebut sama. • Notasi : A ~ B ↔ ⏐A⏐ = ⏐B⏐
Contoh 10. Misalkan A = { 1, 3, 5, 7 } dan B = { a, b, c, d }, maka A ~ B sebab ⏐A⏐ = ⏐B⏐ = 4
`
`
Gabungan (union) dari himpunan A dan himpunan B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A atau obyek-obyek milik B A U B = {x, x ∈ A atau x ∈ B}
`
`
Irisan (intersection) dari himpunan A dan B, adalah himpunan yang beranggotakan baik obyek milik A maupun obyek milik B. A ∩ B = {x, x ∈ A dan x ∈ B}
`
Jika A ∩ B = ∅, maka A ∩ B disebut disjoint
`
`
Selisih dari himpunan A dan himpunan B, dituliskan dengan notasi A – B, adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek milik A dan bukan obyek milik B A – B = AB = {x, x ∈ A tetapi x ∉ B}
`
`
Pelengkap (complement) dari sebuah himpunan A, dituliskan dengan notasi A adalah himpunan yang beranggotakan obyek-obyek yang tidak dimiliki oleh A; dengan perkataan lain, A adalah sama dengan selisih antara himpunan universal U dan himpunan A
A = {x; x ∈ U tetapi x ∉ A} = U – A
5. Beda Setangkup (Symmetric Difference) • Notasi: A ⊕ B = (A ∪ B) – (A ∩ B) = (A – B) ∪ (B – A)
Contoh 19. Jika A = { 2, 4, 6 } dan B = { 2, 3, 5 }, maka A ⊕ B = { 3, 4, 5, 6 }
32
Contoh 20. Misalkan U = himpunan mahasiswa P = himpunan mahasiswa yang nilai ujian UTS di atas 80 Q = himpunan mahasiswa yang nilain ujian UAS di atas 80 Seorang mahasiswa mendapat nilai A jika nilai UTS dan nilai UAS keduanya di atas 80, mendapat nilai B jika salah satu ujian di atas 80, dan mendapat nilai C jika kedua ujian di bawah 80. (i) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai A” : P ∩ Q (ii) “Semua mahasiswa yang mendapat nilai B” : P ⊕ Q (iii) “Ssemua mahasiswa yang mendapat nilai C” : U – (P ∪ Q)
33
TEOREMA 2. Beda setangkup memenuhi sifat-sifat berikut: (a) A ⊕ B = B ⊕ A (hukum komutatif) (b) (A ⊕ B ) ⊕ C = A ⊕ (B ⊕ C ) (hukum asosiatif)
34
