MODUL V EIGENVALUE DAN EIGENVEKTOR 5.1.
Pendahuluan
Biasanya jika suatu matriks A berukuran mxm dan x suatu vektor pada Rm, tidak ada hubungan antara vektor x dan vektor Ax. Tetapi seringkali kita menemukan suatu vektor tak nol x tertentu sedemikian hingga x dan Ax merupakan pergandaan satu sama lain dan berlaku Ax=x dengan A matrik berukuran m x m dan suatu skalar. Kejadian inilah yang dinamakan nilai eigen dan vektor eigen (eigenvalue dan eigenvektor) dan merupakan kejadian yang sering dijumpai dalam matriks. Eigenvalue dan eigenvektor secara implisit dinyatakan sebagai fungsi elemen-elemen dari sebuah matriks bujur sangkar (square matrix). Modul ini, erat kaitannya dengan materi-materi determinan dan
ruang vektor .
Dalam modul ini akan dipelajari bagaimana mendapatkan eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks bujur sangkar dan sifat-sifatnya serta penerapannya dalam diagonalisasi. Pada banyak aplikasi yang mengikutsertakan analisa matriks bujur sangkar, informasi kunci dari analisa didapatkan dari eigenvalue dan eigenvektor ini. Sebagai contoh dalam penentuan penguraian nilai singular dan penguraian spektral, dimana aplikasi ini banyak dipakai dalam pemodelan.
5.2.
Eigenvalue, Eigenvektor, dan Eigenspace (Ruang Eigen)
Definisi 5.1 (Eigenvalue dan Eigen vekor ) Jika A adalah matriks m x m, maka setiap skalar λ memenuhi persamaan
Ax x
(5.1)
untuk m 1 vektor x 0, disebut eigenvalue dari A. Vektor x disebut eigenvektor dari A yang berhubungan dengan eigenvalue , dan persamaan (5.1) diatas disebut persamaan eigenvalue-eigenvektor A. Kadang-kadang eigenvalue dan eigenvektor juga dinyatakan sebagai (latents root and vectors) atau karekteristik roots dan vektor. Persamaan (5.1) dapat juga dituliskan sebagai
A x 0
(5.2)
Setiap nilai eigenvalue harus memenuhi persamaan determinan,
A 0
(5.3)
yang dikenal sebagai persamaan karakteristik A. Dengan menggunakan definisi suatu determinan, kita bisa mengamati bahwa persamaan karakteristik adalah sebuah polinomial derajat ke-m dalam . Karena itu, skalar 0, …, m
- 1
seperti halnya persamaan karakteristik diatas dapat juga
dinyatakan sebagai
m m1 m1 1 0 0 Karena polinomial derajat m memiliki m (roots), berarti suatu matriks m m memiliki m eigenvalue, karena itu terdapat m skalar 1, …, m yang memenuhi persamaan karakteristik. Apabila semua eigenvalue A adalah real, kadang-kadang kita jumpai eigenvalue terbesar ke-i matriks A sebagai i(A). Dengan
kata
lain
eigenvalue A dapat juga dituliskan sebagai 1(A) m(A). Persamaan karakteristik dapat digunakan untuk mencari eigenvalue matriks A. Kemudian dapat juga digunakan dalam persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk mencari eigenvektor. Dari eigenvektor yang telah diperoleh, dalam bebarapa penerapan, seperti penguraian nilai singular dan spektral, yang digunakan adalah eigenvektor ternormalisasi. Eigenvektor ternormalisasi adalah eigenvektor dimana tiap-tiap elemen dibagi dengan panjang vektor tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut :
Contoh 5.1 Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berukuran 33 sebagai berikut.
5 3 3 A 4 2 3 4 4 5 Jawab : Dengan menggunkan definisi 5.3, persamaan karakteristik A adalah,
108
5
3
3
4
2
3
4
4
5
A =
(5 ) 2 (2 ) 3(4) 2 4(3) 2 = 3(4)(2 ) 3(4)(5 ) 3(4)(5 ) = 3 82 17 10 = 5 2 1 0 Jadi, dari hasil di atas diperoleh tiga eigenvalue A, yaitu : 1=5 , 2 = 2 dan 3=1 Untuk mendapatkan eigenvektor A yang bersesuaian dengan 1 = 5, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=5x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut,
5 3 3 x1 x1 4 2 3 x 5 x 2 2 4 4 5 x3 x3 yang ekuivalen dengan persamaan-persamaan : 5 x1 3x 2 3x3 5 x1 4 x1 2 x 2 3x3 5 x 2 4 x1 4 x 2 5 x3 5 x3
atau
x2 x3 4 x1 3x3 7 x2 x1 x2
(a) (b) (c )
Dari persamaan (a), misal jika kita ambil x2 = 1 maka x3 = 1, sehingga dengan persamaan (c) diperoleh dan x1 = 1 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 5 adalah
x = (1, 1, 1)T.
Dari persamaan x2 = x3 dan x1 = x2 , anda dapat mengambil sembarang x2 yang lain, pasti akan memenuhi persamaan tersebut. Dari hal ini dapat dikatakan bahwa eigenvektor tidak tunggal. Dengan cara yang sama, sekarang untuk 2 = 2, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=2x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, 109
5 x1 3x2 3x3 2 x1 4 x1 2 x2 3x3 2 x2 4 x1 4 x2 5 x3 2 x3
Dari persamaan diatas kita peroleh : 3x2 3x3 7 x1 4 x1 3 x3 4 x2 4 x1 4 x2 7 x3
Akan terpenuhi jika x1 = 1 , x2 = 1 maka x3 = 0 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 2 = 2 adalah x = (1, 1, 0)T. Dan untuk 3 = 1, kita harus menyelesaikan persamaan Ax=x, sedemikian hingga diperoleh sistem persamaan sebagai berikut, 5 x1 3x2 3x3 x1 4 x1 2 x2 3x3 x2 4 x1 4 x2 5 x3 x3
Dari persamaan diatas kita peroleh : 3x2 3x3 4 x1 4 x1 3x3 3x2 4 x1 4 x2 4 x3
Akan terpenuhi jika x1 = 0 , x2 = 1 maka x3 = 1 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 3 = 1 adalah x = (0, 1, 1)T. Dari ketiga eigenvektor tersebut kita dapatkan eigenvektor yang ternormalisasi : Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan 1 = 5 adalah :
12 12 12 3 Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan 2 = 2 adalah :
12 12 0 2 Panjang eigenvektor yang bersesuaian dengan 3 = 1 adalah :
0 12 12 2 Sehinga eigenvektor yang ternormalisasi yang berhubungan dengan eigenvalue 5,2,1. :
1/
, 1/ T
3, 1/ 3, 1/ 3
T
2, 1/ 2, 0 , 0, 1/ 2, 1/ 2
T
110
Eigenvektor ternormalisasi akan tunggal, kecuali untuk tandanya saja, sehingga nilai eigenvektor tersebut kita kalikan dengan -1 juga merupakan eigenvektor yang lain. Eigenvalue dan eigenvektor mempunyai interpretasi geometri yang sederhana, misalnya jika merupakan eigenvalue dari matriks A yang bersesuaian dengan eigenvektor x. Vektor Ax merupakan perkalian skalar dari x dengan eigenvalue nya, sehingga panjang dari vektor
Ax x . Tanda plus minus
tergantung kepada tanda dari .
Contoh 5.2. Dari matriks segitiga atas, tentukan eigenvalue dan eigenvektornya
a11 a12 0 a 22 0 0 0 0
a13 a23 a33 0
a14 a24 a34 a44
Jawab : Dengan mengingat bahwa determinan dari matriks segitiga adalah perkalian diagonal utama maka kita dapatkan :
A I
a11 0
a12 a22
a13 a23
a14 a24
0 0
0 0
a33 0
a34 a44
(a11 )(a22 )(a33 )(a44 )
Sehingga persamaan karakteristiknya adalah : (a11 )(a22 )(a33 )(a44 ) 0
dan diperoleh eigenvalue nya adalah :
a11; a22 ; a33 dan a44 yang merupakan elemen-elemen diagonal utama dari A.
Teorema 5.1 :
111
Jika A adalah suatu matriks segitiga (segitiga atas atau segitiga bawah atau matriks diagonal) berukuran m x m, maka eigenvalue dari A adalah elemen-elemen diagonal utama dari A.
Contoh 5.3. Tentukan eigenvalue dan eigenvektornya dari matriks berikut :
0 12 0 A 1 2 3 0 5 8 4 8 Jawab : Berdasarkan teorema 6.1, diatas dengan mudah dapat kita tentukan eigenvalue dari matriks A yaitu 1 2 ; 2 3 dan 1 4 Pada prakteknya eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks tidak selalu bernilai real, kadang suatu matriks mempunyai eigenvalue dan eigenvektor bilangan komplek. Perhatikan contoh berikut :
Contoh 5.4. Perhatikan pada matriks 2 2 berikut,
1 1 A 2 1 Tentukan persamaan karekteristik, dan tentukan eigenvaluenya. Jawab : Dengan definisi 6.3, persamaan karakteristik matriks A dapat ditentukan :
A I
1 1 (1 )(1 ) 2 2 1 0 2 1
Sehingga eigenvalue dari A adalah 1 atau 1 i dan 1 i Untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i , kita tentukan x=(x1,x2)T = (y1 + iz1, y2 + iz2)T . Untuk mendpatkan nilai y1,z1, y2, z2 kita gunakan persamaan Ax=ix. 112
Demikian juga untuk menentukan eigenvektor yang berhubungan dengan i , kita tentukan x=(x1,x2)T = (y1 - iz1, y2 - iz2)T . Untuk mendapatkan nilai y1,z1, y2, z2 kita gunakan persamaan Ax=-ix. Untuk mendapatkan eigenvektor, lakukan sebagai latihan. Dalam prakteknya, untuk menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari suatu matriks yang berukuran besar (4x4 atau lebih), tentulah bukan hal yang mudah. Perhatikanlah contoh berikut :
Contoh 5.5 Tentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dari matriks A berikut :
10 9 0 0 4 2 0 0 A 0 0 2 7 1 2 0 0 Jawab : Dengan menggunakan bantuan paket program Matlab, untuk menyelsaikan matriks diatas, langkah pertama adalah memasukkan nilai dari matriks A sebagai berikut :
» A=[10 -9 0 0;4 -2 0 0;0 0 -2 -7;0 0 1 2] A= 10
-9
0
0
4
-2
0
0
0
0
-2
-7
0
0
1
2
inilah bentuk matriks A. Untuk mendapatkan persamaan karakteristik dari matriks A, lakukan perintah sebagai beikut : » poly(A) ans = 1.0000 -8.0000 19.0000 -24.0000 48.0000 113
Dari hasil diatas ekivalen dengan bentuk persamaan : 14 - 83 + 192 -24 + 48 Untuk mendapatkan eigenvalue, lakukan perintah sebagai berikut : » eig(A) ans = 4.0000 4.0000 0 + 1.7321i 0 - 1.7321i Jadi eigenvalue dari matriks A adalah 4, 4 ,1.7321i dan - 1.7321i Nampak bahwa matriks A mempunyai eigen velue bilangan kompleks Untuk mendapatkan nilai eigenvektor, yang bersesuaian dengan eigen veluen, lakukan perintah » [V,D]=eig(A) V= 0.8321
0.8321
0
0
0.5547
0.5547
0
0
0
0
0
0
-0.6124 - 0.7071i -0.6124 + 0.7071i 0 + 0.3536i
0 - 0.3536i
D= 4.0000
0
0
0
0
4.0000
0
0
0
0
0 + 1.7321i
0
0
0
0 0 - 1.7321i
dimana V berisikan eigenvektor ternormalisasi dari matriks A dan D adalah matriks Diagonal dengan elemen diagonal adalah eigenvalue yang bersesuaian dengan eigen vekotor.. -
Kolom pertama matriks V
merupakan eigenvektor ternormalisasi yang
bersesuaian dengan eigenvalue 4, -
Kolom kedua matriks V
merupakan eigenvektor ternormalisasi yang
bersesuaian dengan eigenvalue 4 114
-
Kolom ketiga matriks V
merupakan eigenvektor ternormalisasi yang
bersesuaian dengan eigenvalue 1.7321i -
Kolom keempat matriks V
merupakan eigenvektor ternormalisasi yang
bersesuaian dengan eigenvalue - 1.7321i Untuk matriks yang sederhanapun anda dapat menentukan persamaan karakteristik, eigenvalue dan eigenvektor dengan program Matlab. Coba anda kerjakan kembali contoh 6.1 sampai dengan contoh 6.44, dengan menggunakan bantuan program Matlab, bandingkan hasilnya dengan penghitungan manual. Dalam beberapa kondisi, kita menginginkan bekerja dengan himpunan semua eigenvektor yang dihubungkan dengan suatu eigenvalue. Kumpulan semua eigenvektor SA() yang berhubungan dengan eigenvalue tertentu, disebut ruang eigen dari A yang bersesuaian dengan . Dimana SA()={x:x Rm dan Ax = x}
Teorema 5.2 : Jika SA() adalah ruang eigen dari matriks A berukuran m x m yang bersesuaian dengan maka SA() adalah sub ruang vektor dari Rm. Bukti : Dengan menggunakan definisi : jika x SA(), maka Ax = x. Maka jika x SA() dan y SA(), maka untuk skalar dan berlaku : A(x + y) = Ax + Ay =( x)+ (y) = (x+ y) Akibatnya (x+ y) SA() dan SA() merupakan ruang vektor
Contoh 5.6. Diberikan matriks A sebagai berikut :
2 1 0 A 0 1 0 0 0 1 tentukan ruang eigennya. Jawab : Langkah pertama, menentukan persamaan karakteristik dari matriks A sebagai berikut : 115
2 1 0 1 0
0
0 0
(1 ) 2 (2 ) 0
1
maka diperoleh eigenvalue dari A adalah 1 dan 2. Untuk mendapatkan SA(1) , selesaikan persamaan Ax = x.
2 1 0 x1 x1 0 1 0 x x 2 2 0 0 1 x3 x3 ekiuvalen dengan persamaan :
2x1 x2 x1 x1 x2 x2 x2 x3 x3 Misal jika kita pilih x1 = 0 maka x2 = 0 dan kita pilih x3 = 1 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 1 adalah x = (0, 0, 1)T. Pilihan lain yang juga memenuhi adalah untuk x1 = 1 maka x2 = 1 dan kita pilih x3 = 0 . Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 1 adalah x = (1, 1, 0)T. Juga merupakan eigen vekor dari A. dimana dua vektor tersebut bebas secara linear, maka vektor-vektor ini membentuk suatu basis untuk ruang eigen yang bersesuaian dengan 1 = 1. Sehingga SA(1) adalah sub ruang yang merentang dengan basis (x1 ,x2). SA(1) merupakakan bidang dalam R3. Untuk mendapatkan SA(2) , selesaikan persamaan Ax = 2x
2 1 0 x1 x1 0 1 0 x 2 x 2 2 0 0 1 x3 x3 2 x1 x2 2 x1 x2 2 x2 x3 2 x3
Untuk persamaan diatas yang memenuhi adalah untuk x2 = 0 dan
x3 = 0 dan
sembarang nilai dari x1, misal kita beri nilai 1 atau kelipatannya. Sehingga eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan 1 = 2 adalah x = (1, 0, 0)T. Sehingga SA(2) adalah garis dalam R3 yang diberikan oleh {(a,0,0)T:-
Contoh 5.7. Perhatikan pada matriks 3 3 berikut,
1 2 3 A 0 1 0 0 2 1 Persamaan karakteristik dari A adalah |AI| = (1)³=0 , A memiliki eigenvalue 1 yang berulang tiga kali. Eigenvalue-eigenvektor persamaan Ax = x menghasilkan tiga persamaan skalar. x1 2 x 2 3x3 x1 x2 x2 2 x 2 x3 x3
yang mempunyai pemecahan vektor untuk bentuk x = (a,0,0)T. Jadi, meskipun perkalian eigenvalue 1 adalah 3, ruang eigen yang bersesuaian SA(1) = {(a,0,0)T:- a } adalah hanya berdimensi satu.
5.4.2. Sifat-sifat Eigenvalue dan Eigenvektor Pada bagian ini, kita buat beberapa hasil yang berguna yang bersesuaian dengan eigenvalue. Bukti dari hasil pada teorema pertama kita dapat dengan mudah diperoleh menggunakan persamaan karakteristik atau persamaan eigenvalueeigenvektor.
Teorema 5.3. Jika diberikan matriks Am m. Maka, a) Eigenvalue AT adalah sama dengan eigenvalue A. b) A matriks singular jika dan hanya jika sedikitnya satu eigenvalue A sama dengan 0. c) Elemen-elemen diagonal A adalah eigenvalue A, jika A merupakan matriks segitiga. d) Eigenvalue BAB-1 sama dengan eigenvalue A, jika B merupakan matriks nonsingular m m. 117
e) Setiap eigenvalue A adalah +1 atau -1, jika A merupakan matriks orthogonal.
Bukti : Buktikan teorema 5.3 sebgai latihan anda. Kita perhatikan pada contoh 6.6 bahwa memungkinkan untuk dimensi sebuah ruang eigen yang dikaitkan dengan eigenvalue lebih kecil daripada perkalian . Teorema berikut menjelaskan bagaimana jika dim{SA()} r.
Teorema 5.4. Anggap adalah eigenvalue dari matriks A m m, dengan perkalian r 1, maka 1 dim{SA()} r Bukti : Jika adalah eigenvalue A, dengan definisi terdapat x 0 yang memenuhi persamaan eigenvalue-eigenvektor Ax = x dan, jelas, dim{SA()} 1. Sekarang, diberikan k = dim{SA()}, dan x1,,xk. akan menjadi eigenvektor independen linear yang bersesuaian dengan . Bentuk nonsingular matriks X berukuran mm yang mana vektor k ini sebagai kolom k, yaitu, X mempunyai bentuk X X 1
X 2 , dimana
X 1 x1 ,, xk dan X2 adalah m (m k). Karena setiap kolom X1 adalah
eigenvektor A yang bersesuaian dengan eigenvalue , kemudian AX1 = X1, dan
I X 1 X 1 k (0) Mengikuti dari kenyataan bahwa X-1X=Im. Sebagai hasilnya kita dapatkan, X 1 AX X 1 AX 1
k (0)
AX 2 X 1 X 1
AX 2
B1 B2
dimana B1 dan B2 menyatakan pemisahan matriks X-1AX2. Jika adalah eigenvalue X-1AX2, maka 0 X 1 AX m
k 0
B1 B2 mk
B2 mk k
118
dimana persamaan terakhir diperoleh dengan mengulangi penggunaan rumus perluasan kofaktor untuk sebuah determinan. Jadi, haruslah merupakan eigenvalue X-1AX dengan perkalian sedikitnya k. Hasilnya sekarang mengikuti karena, berdasarkan teorema 5.3 (d), eigenvalue X-1AX adalah sama seperti halnya A. Jika eigenvalue dan eigenvektor suatu matriks A diperoleh, anda dapat dengan mudah mencari eigenvalue dan eigenvektor
dari sembarang pangkat
bilangan bulat positif dari A. Misalnya jika adaalah suatu eigenvalue dari A dan x adalah eigenvektor yang bersesuaian, maka : A2x =A(Ax)=A(x)=(Ax) = (x) =2x Yang menunjukkan bahwa
2 merupakan eigenvalue dari A2 dan x
merupakan eigenvektor yang bersesuaian. Secara umum, perhatikan teorema berikut :
Teorema 5.5. Diberikan merupakan eigenvalue matriks A m m dan x eigenvektor yang berhubungan. Maka, (a) Jika n adalah integer 1, n adalah eigenvalue dari An yang berhubungan dengan eigenvektor x. (b) Jika A adalah nonsingular, -1 adalah eigenvalue dari A-1 yang berhubungan dengan eigenvektor x. Bukti : Untuk bagian (a) dengan menggunakan hubungan Ax = λx yang berulang, sehingga kita mempunyai An x An1 Ax An1 x An1 x n x
Untuk membuktikan poin (b), perkalian awal persamaan eigenvalue-eigenvektor
Ax x dengan A-1, memberikan persamaan x A1 x
(5.4) 119
Karena A nonsingular, berdasarkan teorema 6.2(b) kita tahu bahwa λ ≠ 0, sehingga pembagian kedua sisi dengan λ menghasilkan A1 x λ 1 x
yang mana merupakan persamaan eigenvalue-eigenvektor untuk A-1, dengan eigenvalue λ-1 dan eigenvektor x.
Contoh 5.8 : Perhatikan kembali matriks A pada contoh 6.6. Tentukan eigenvalue dan eigenvektor dari A7 Jawab : Dari contoh soal 5.6, telah diperoleh bahwa eigenvalue dari matriks A adalah =1 dan = 2 . Dengan menggunakan teorema 5.5 maka =27 = 128 dan = 17= 1 merupakan eigenvalue dari A7. Eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = 1 adalah x = (0, 0, 1)T. Dan eigenvektor dari A yang bersesuaian dengan = 27 = 128 adalah x = (1, 0, 0)T Dalam mempelajari matriks dan statistik lebih lanjut, anda akan sering berhubungan dengan trace dan determinan suatu matriks. Jika eigenvalue dari suatu matriks sudah diperoleh, maka untuk mendapatkan trace ataupun determinan dari suatu matriks anda akan dapat menentukan dengan mudah. Perhatikan teorema berikut :
Teorema 5.6. Diberikan A berupa matriks m × m dengan eigenvalue λ1, , λm. Maka (a) tr(A) im1λi , (b) A im1λi Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan) Hal penting dalam statistika adalah mengetahui kebebasan linear dari beberapa vektor. Penerapan dari kebebasan linear telah anda kenal dalam penentuan rank, basis, dimensi ataupun dalam penyelesaian dari sistem persamaan linear yang
120
telah dibahas pada modul-modul sebelumnya. Dalam kaitannya dengan kebebasan linear, juga ada kaitannya dengan eigenvalue dari suatu matriks. Teorema berikut memberikan kondisi yang cukup untuk serangkaian eigenvektor yang independen secara linear.
Teorema 5.7. Anggap x1, ,xr adalah eigenvektor matriks A berdimensi m × m, dimana r m. Jika eigenvalue yang bersesuaian λ1, ,λr adalah λi ≠ λj untuk semua i ≠ j, maka vektor x1, ,xr independen secara linear. Bukti : Pembuktian kita dilakukan dengan cara berkebalikan, karenanya kita mulai dari asumsi bahwa vektor x1, ,xr adalah independen secara linear. Kemudian h adalah bilangan integer terbesar untuk x1, ,xh yang independen secara linear. Kumpulan yang seperti itu dapat ditemukan karena x1, yang menjadi eigenvektor, tidak boleh sama dengan 0 (nol), dan karenanya independen secara linear. Vektor-vektor x1, ,x h+1
haruslah bergantung secara linear (linearly dependent), jadi skalar yang ada 1,
,h+1 dengan sedikitnya dua skalar yang tidak boleh sama dengan nol karena menyebabkan eigenvektor menjadi vektor null, sehingga
1 x1
h1 xh1 0
Penyelesaian persamaan di atas untuk sisi sebelah kiri dengan mengalikannya dengan (Ah+1I), kita dapatkan
1 A λ h 1 x1
h 1 A λ h 1 xh 1
1 Ax1 λ h 1 x1 1 λ1 λ h 1 x1
h 1 Axh 1 λ h 1 xh 1 h λ h λ h 1 xh
juga harus sama dengan 0. Tetapi x1, ,xh linear independen sehingga berlaku
1 λ1 λ h1
h λ h λ h1 0
Kita mengetahui bahwa sedikitnya salah satu dari skalar 1, , h tidak sama dengan nol dan sebagai contoh, jika i adalah satu dari skalar-skalar yang tidak nol, maka kita harus memiliki λi = λh+1. Hal ini bertolak belakang dengan kondisi-kondisi 121
yang disebutkan dalam teorema, jadi vektor-vektor x1, , xr haruslah independen linear.
5.4.3. Diagonalisasi Jika eigenvalue λ1, , λm dari matriks A berukuran m×m semuanya adalah berbeda, maka sesuai dengan teorema 6.7 bahwa matriks X = (x1,, xm) adalah nonsingular, dimana xi adalah eigenvektor yang berhubungan dengan λi. Berlaku pula dengan persamaan eigenvalue-eigenvektor Axi = λixi, yaitu jika tentukan matriks diagonal = diag(λ1, , λm), maka AX=X. Perkalian persamaan ini dengan X-1 menghasilkan X-1AX = . Setiap matriks persegi yang dapat ditransformasikan ke matriks diagonal melalui perkalian diawal matriks (postmultiplication) dengan sebuah matriks nonsingular dan perkalian diakhir matriks (premultiplication) dengan inversnya disebut dapat didiagonalkan (diagonalizable). Jadi, suatu matriks persegi dengan eigenvalue berbeda adalah diagonalizable. Jelasnya, apabila sebuah matriks adalah diagonalizable, rank-nya sama dengan jumlah eigenvalue yang tidak nol, karena rank(A) = rank(X-1AX) = rank()
Contoh 5.9. Pertimbangkan matriks berukuran 2 x2 berikut :
1 1 0 1 A ;B 0 1 0 0 tentukan rank dari matriks A dan B. Jawab : Dapat anda tentukan dengan mudah bahwa rank dari matriks A dan B adalah 1. Dan diperoleh persamaan karakteristik dari A adalah (1 ) 0 , sehingga eigenvalue dari A adalah 0 dan 1, jadi dalam kasus ini rank dari A adalah sama dengan jumlah eigenvalue yang tidak nol. Perhatikan untuk matriks B, persamaan karakteristik dari B adalah
2 =0,
sehingga eigenvalue dari B adalah 0 yang diulang sebanyak dua kali. Disini rank dari B lebih besar dari jumlah eigenvalue yang tidak sama dengan nol. 122
Contoh 5.10 Diberikan matriks A sebagai berikut :
0 0 2 A 1 2 1 1 0 3 Tentukan suatu matriks X yang mendiagonalkan matriks A. Jawab : Dari matriks tersebut dapat kita tentukan persamaan karakteristiknya adalah (-1)(2)2 = 0 dan didapatkan basis-basis untuk ruang eigen : = 2 diperoleh e1 = (-1 0 1)T dan e2 =(0 1 0)2 =1 diperolah e3 = (-2 1 1)T sehingga ada tiga vektor basis dan matriks A dapat didiagonalkan,
1 0 2 X 0 1 1 mendiagonalkan A. 1 0 1 dimana :
1 0 1 0 0 2 1 0 2 2 0 0 X AX 1 1 1 1 2 1 0 1 1 0 2 0 1 0 1 1 0 3 1 0 1 0 0 1 1
yang merupakan matriks diagonal dengan elemen diagonalnya adalah eigenvalue. Teorema 5.8. Diberikan matriks A berukuran m×m dengan eigenvalue λ1, , λm, dan m
A λ (0) ; i
i 1
yaitu, jika λ m1 λ m
m 1
1 λ 0 0 adalah persamaan karakteristik
A, maka
A
m
m1 A
m1
1 A 0 0
Bukti : (Tunjukkan sebagai latihan)
123
5.4.3. Matriks Simetris Banyak sekali aplikasi-aplikasi
yang
yang melibatkan eigenvalue dan
eigenvektor, salah satunya adalah matriks simetri. Dimana matriks simetri mempunyai beberapa sifat khusus yang berkaitan dengan eigenvalue dan eigenvektor.
Teorema 5.9. Jika A adalah matriks simetri berukuran m xm, maka a) eigenvalue dari A semuanya bilangan real, dan b) Vektor-vektor eigen dari ruang eigen yang berbeda ortogonal Bukti : a) Misal i merupakan eigenvalue dari A dan x y iz merupakan eigenvektor yang bersesuaian, dimana i 1 . Akan kita tunjukkan bahwa =0 Substitusikan ekspresi λ dan x ke dalam persamaan eigenvalue eigenvector Ax = λx.
A y iz i y iz
(5.5)
Perkalian (6.5) dengan (y iz)T menghasilkan
y iz
T
A( y iz ) i y iz ( y iz ) T
yang disederhanakan menjadi y’TAy + z TAz = ( + i)(yTy + z Tz), karena y TAz = z TAy berlaku simetri A. Sekarang x ≠ 0 berimplikasi bahwa (yTy + z Tz) > 0, dan konsekuensinya kita harus mempunyai = 0 karena sisi kiri persamaan di atas adalah real. Substitusikan = 0 ke dalam persamaan (5.5) hasilnya adalah Ay + iAz = y + iz Jadi, x= y + iz akan menjadi eigenvektor A yang berhubungan dengan λ = sepanjang y dan z memenuhi Ay = y, Az = z dan sedikitnya tidak ada salah
124
satu yang bernilai 0 sehingga x ≠ 0. Sebuah eigenvector real kemudian dibentuk dengan memilih y ≠ 0 sedemikian hingga Ay = y dan z = 0. Jadi terbukti bahwa eigenvalue dari A semuanya bilangan real. b) Anggap x1 dan x2 adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan eigenvalue 1 dan 2 yang berbeda dari matriks A. Kita ingin menunjukkan bahwa x1 .x2 = 0. Menurut teori hasil kali titik pada modul Ruang Vektor, dan kesimetrisan A, diperoleh : Ax1 .x2 = x1 .A Tx2 = x1 .A Tx2
(5.6)
Tetapi x1 adalah eigenvektor yang bersesuaian dengan eigenvektor yang bersesuaian dengan
1 dan x2 adalah
2, sehingg persamaan (5.6)
menghasilkan hubungan : 1x1 .x2 = x1 . 2 x2 yang dapat ditulis kembali menjadi : (1 - 2 )( x1 .x2 ) = 0
(5.7)
Tetapi (1 - 2 ) 0, karena 1 dan 2 dianggap berbeda. Jadi dari persamaan 5.7 dapat kita simpulkan bahwa x1 .x2 = 0. Yang berarti x1 dan x2 ortogonal. Telah kita lihat bahwa himpunan eigenvektor dari sebuah matriks A ukuran m×m adalah linear independen jika eigenvalue yang terasosiasi semuanya adalah berbeda satu sama lainnya. Sekarang akan kita tunjukkan, jika A simetris, kita bisa bahas lebih lanjut. Anggaplah x dan y adalah eigenvector A yang berhubungan dengan eigenvalue λ dan , dimana λ ≠ . Maka, karena A simetris, berlaku bahwa λxT y (λx)T y ( Ax)T y xT AT y xT ( Ay) xT (γy) γxT y
Karena λ ≠ kita harus mempunyai xTy = 0, yaitu eigenvector yang berhubungan dengan eigenvalue yang berbeda haruslah orthogonal. Sehingga, jika m eigenvalue A adalah berbeda, maka serangkaian eigenvector yang berhubungan akan membentuk kelompok vektor yang saling orthogonal. Akan kita tunjukkan bahwa hal itu masih memungkinkan apabila A mempunyai eigenvalue yang beragam. Sebelumnya kita perlu hasil berikut :
125
Teorema 5.10. Sebuah matriks A simetris m × m dan x adalah vektor tidak nol m × 1. Maka untuk sembarang r ≥ 1, ruang vektor spanned by vektor x, Ax, …, Ar-1x, memuat sebuah eigen vektor A. Bukti (Gunakan sebagai latihan) Referensi Anton, H., 1987, Elementary Linear Algebra, John Wiley & Son, New York Basilevsky, A., 1983, Applied Matrix Algebra in the Statistical Sciences, Elsevier Sciences Publ. Co. Inc. Shchoot, J.R., Matrix Analysis for Statistics, John Wiley, New York. .
126
