HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R [ S

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009

HUBUNGAN MODUL TERBANGKIT MODUL-R DAN TERBANGKIT MODUL-R [[S ]]

Budi Surodjo Jurusan Matematika FMIPA UGM e-mail: [email protected]

Abstrak Modul terbangkit modul-R terkait erat dengan eksistensi submodul di dalam modul deret pangkat tergeneralisasinya (MDPT), sebagai prapeta homomorfisma dari kodomain atas R. Fenomena pembangkit sebagai bagian MDPT atas R S , diselidiki lebih dalam untuk mengungkap hubungan struktural antara pembangkit atas R dengan pembangkit modul atas ring deret pangkat tergeneralisasi.

[[ ]]

Kata-kata kunci: modul terbangkit, MDPT, ring deret pangkat tergeneralisasi

PENDAHULUAN Modul N atas gelanggang R dikatakan dibangun oleh modul M jika dapat ditemukan K  M [x ] ≅ M [N 0 ] dan epimorfisma φ : K → N , dengan N 0 = {0,1,} terhadap penjumlahan dan urutan bilangan. Berdasarkan pengamatan pada ruang modul dan basis Schauder dalam ruang Banach (Neerven, 1992), dapat didefinisikan modul terbangkit modul. Definisi terbangun modul diperumun dengan mengambil modul M atas gelanggang R yang komutatif dengan elemen identitas 1 dan (S , ≤ ) monoid terurut tegas. (Surodjo, 2008) Dengan menggunakan semua notasi yang dikemukakan Surodjo (2006;2007) dapat dibentuk modul deret pangkat tergeneralisasi M [[S ]] atas gelanggang deret pangkat tergeneralisasi R[[S ]] . Gelanggang R (atau modul M) merupakan subgelanggang R[[S ]] (atau submodul M [[S ]] ), sehingga diperoleh definisi berikut ini.

Definisi 1.1. Diketahui S monoid terurut tegas '≤' ; sedangkan N dan M modul atas R. Modul N dikatakan terbangkit M (S ,≤ ) atas R, jika dapat ditemukan K, sehingga K  M [[S ]] atas R dan epimorfisma

φ : K → N, dengan kata lain K → N → 0 eksak. Pada Definisi 1.1, jika pembicaraan hanya melibatkan satu monoid

(S , ≤ ) , maka pernyataan

“N terbangkit M (S ,≤ ) ” cukup ditulis “N terbangkit M”. Sebaliknya, jika di dalam pembicaraan melibatkan monoid terurut tegas (S , ≤ ) dan (S1 ,  ) , maka untuk menghindari kerancuan, pernyataan “N terbangkit M atas S” perlu ditulis “N terbangkit M (S ,≤ ) ”. Berdasarkan Definisi 1.1 oleh Surodjo (2008) dapat diturunkan beberapa sifat elementer yang identik dengan beberapa sifat-sifat pada teori modul, yang menunjukkan relevansi konsep terbangkit modul dengan konsep terbangun modul. Teorema 1.2. Diketahui L dan N modul atas R, dengan N terbangkit M. Jika L → M → 0 eksak atau 0 → M → L eksak, maka N terbangkit L. M-247

Budi Surodjo/Hubungan Modul Terbangkit

Teorema 1.2 menunjukkan, bahwa jika L submodul M dan N terbangkit L, maka N terbangkit L. Fakta ini merupakan sifat yang juga berlaku pada pengertian membangun biasa. Berikut ini diberikan beberapa sifat elementer yang lainnya. Teorema 1.3. Diketahui N modul atas R dan L  N . Jika N terbangkit M, maka L terbangkit M. Jika L1 , L2 ,  , Ln  N dan masing-masing terbangkit M, maka L1 ∩ ∩ Ln terbangkit M. Hubungan antar urutan pada monoid S dan hubungan antara monoid tersebut dengan submonoidnya sangat berperan dalam pengertian terbangkit modul. Akibatnya jika S1 submonoid

terurut tegas S, maka M [[S1 ]] submodul M [[S ]] atas R[[S1 ]] . Berikut ini diberikan dampak adanya dua relasi urutan pada S pada konsep terbangkit modul. Teorema 1.4. Diketahui S monoid terurut tegas atas ' ≤ ' dan N modul terbangkit M (S ,≤ ) atas R. 1. Jika ' ≤ ' finer dibanding '  ', maka N modul terbangkit M (S ,≤ ) . 2. Jika S submonoid S1 , maka N modul terbangkit M (S1 ) . Selanjutnya, dibentuk himpunan

{

}

σ [[M , S ≤ ]] = N N modul terbangkit M (S ,≤ ) . Dengan memperhatikan Teorema 1.4, diperoleh sifat jika ' ≤ ' finer dibanding '  ', maka

σ [[M , S  ]] merupakan subhimpunan σ [[M , S ≤]] . Selain itu, jika S submonoid terurut tegas T atas urutan '≤' , maka σ [[M , S ≤ ]] merupakan subhimpunan σ [[M , T≤ ]] . HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Pada bagian ini diasumsikan M modul atas gelanggang komutatif R yang memiliki identitas dan S monoid komutatif yang terurut tegas. Semigrup terurut tegas S atas '≤' dikatakan terurut subtotal jika untuk setiap r , s ∈ S terdapat bilangan asli k, sehingga kr ≤ ks atau kr ≥ ks . Pada kasus S monoid dan S ≠ {0}, dapat ditemukan s ∈ S yang memenuhi ks > 0 atau ks < 0 untuk suatu bilangan asli k.

Teorema 2.1. Diketahui S monoid terurut tegas. Jika terdapat s ∈ S , yang memenuhi s > 0 atau s < 0 , maka terdapat S1 submonoid terurut tegas S, sehingga

(

)

1. S1 ≅ ϕ N 0 , (∀k , l ∈ N 0 ) k  l ⇔ ϕ −1 (k ) < ϕ −1 (s ) atau

(

)

2. S1 ≅ ϕ {0,−1,−2, }, (∀k , l ∈ N 0 ) − k  −l ⇔ ϕ −1 (k ) < ϕ −1 (s ) sebagai monoid terhadap penjumlahan dan urutan ' ' bilangan. Bukti: Kasus 1: Terdapat s ∈ S yang memenuhi s > 0 . Dibentuk himpunan

Z1 = {ks k ∈ N 0 }

Jelas (Z1 ,+ ) monoid bagian (S ,+ ) , (Z1 , ≤ ) terurut tegas, dan (k + 1)s > ks > 0 , untuk setiap k ∈ N . Akibatnya ls < ks untuk setiap bilangan asli l  k . Diambil pemetaan ϕ : Z1 → N 0 , dengan ϕ (ks ) = k dan ϕ (0 ) = 0 . Pemetaan ϕ merupakan homomorfisma monoid yang bijektif dan memenuhi, M-248

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009

ls < ks ⇔ l  k ⇔ ϕ (ls ) < ϕ (ks ). Akibatnya (n 0 ,+,  ) ≅ (Z1 ,+, ≤ ) submonoid terurut tegas .

s ∈ S yang memenuhi s < 0 . Seperti kasus 1, dibentuk himpunan Z1 . Himpunan (Z1 ,+ ) submonoid (S ,+ ) dan terurut tegas atas '≤' . Untuk setiap k ∈ N , (k + 1)s < ks < 0 , sehingga ls < ks untuk setiap bilangan asli l dan k, dengan − l  −k .

Kasus 2: Terdapat

Diambil pemetaan ϕ : Z1 → N 0 , dengan ϕ (ks ) = − k dan ϕ (0 ) = 0 . Pemetaan ϕ merupakan homomorfisma monoid yang bijektif dan memenuhi, −

ls < ks ⇔ −l  −k ⇔ ϕ (ls )  ϕ (ks )

(

)

Akibatnya N 0 ,+,  ≅ (Z1 ,+, ≤ ) . −

Selanjutnya jika diketahui f pemetaan dari S ke M, maka S dapat dipartisi menjadi kelaskelas yang saling asing berdasarkan peta dari masing-masing elemen terhadap f. Lemma 2.2. Diketahui f pemetaan dari monoid S ke dalam modul M. Relasi ' ∝ f ' pada S dengan definisi untuk setiap a, b ∈ S

a ∝ f b ⇔ f (a ) = f (b )

merupakan relasi ekuivalensi, sehingga S terpartisi menjadi kelas-kelas yang saling asing s dengan s ∈ S . Lemma 2.2 menjadi salah satu dasar pembuktian eksistensi epimorfisma pada N [[S ]] atas

R[[S ]] , jika N terbangkit M. Salah satu sifat yang muncul pada modul terbangkit M atas R berhubungan erat dengan konsep terbangkit M [[S ]] atas R[[S ]] . Teorema 2.3. Diketahui N modul atas R dan S1 submonoid terurut tegas S. Jika N terbangkit M

atas R, maka N [[S1 ]] terbangkit M [[S ]] atas R[[S1 ]] . Bukti: Modul N terbangkit M atas R, berarti dapat ditemukan epimorfisma-R, φ : K → N . Selain itu S1

K  M [[S ]] atas R dan submonoid S, berakibat R[[S1 ]] subring R[[S ]] ,

sehingga M [[S ]] modul atas R[[S1 ]] . Lebih lanjut dapat dibentuk modul deret pangkat

tergeneralisasi K [[S1 ]]  (M [[S ]])[[S1 ]] dan N [[S1 ]] atas R[[S1 ]] . Didefinisikan pengaitan φ ∗ : K [[S1 ]] → N [[S1 ]] dengan

(∀f ∈ K [[S1 ]])φ ∗ ( f ) = φ  f komposisi fungsi. Untuk sebarang x ∈ supp(φ  f ) , 0 ≠ φ ( f ( x )) , sehingga f ( x ) ≠ 0. Dengan

kata lain x ∈ supp( f ) , jadi supp(φ  f ) ⊆ supp( f ) . Karena supp( f ) Artin dan narrow, maka

supp(φ  f ) Artin dan narrow. Untuk masing-masing f ∈ K [[S1 ]] , nilai φ ∗ ( f ) tunggal,

M-249

Budi Surodjo/Hubungan Modul Terbangkit

akibatnya φ ∗

pemetaan. Selain itu dengan menggunakan sifat homomorfisma

φ , dapat

∗

ditunjukkan φ homomorfisma.

Selanjutnya, diambil sebarang f ∈ N [[S1 ]] . Untuk setiap s ∈ S1 , berlaku f ( s ) ∈ N .

Karena φ pemetaan pada, maka terdapat k s ∈ K , sehingga φ (k s ) = f (s ) . Berdasarkan Lemma

2.2 dan Axioms of choice, didefinisikan pengaitan f ∗ : S1 → K , dengan definisi f ∗ (s ) = 0 , jika

s ∈ 0 ; dan f ∗ (a ) = k s = f ∗ (b ), jika a, b ∈ s dan s ∉ 0 . Pemetaan f ∗ memenuhi

(φ  f ∗ )(s ) = φ ( f ∗ (s )) = φ (k s ) = f (s ) untuk setiap s ∈ S , sehingga φ  f ∗ = f . Selain itu untuk sebarang s ∈ supp( f ∗ ), berlaku

f ∗ (s ) ≠ 0 , dengan kata lain s ∉ 0 . Jadi f (s ) ≠ 0, sehingga s ∈ supp( f ) . Akibatnya supp( f ∗ ) ⊆ supp ( f ) , dan terbukti f ∗ ∈ K [[S1 ]] . 

Akibat 2.4. Diketahui N modul atas R dan S monoid terurut tegas subtotal tidak nol. Jika N terbangkit M atas R terhadap S, maka 1. N [[x ]] terbangkit M [[S ]] atas R[[x ]] atau

2. N [x ] terbangkit M [[S ]] atas R[x ] . Bukti: Karena S monoid terurut subtotal, maka terdapat s ∈ S dan k ∈ N sehingga ks > 0 atau ks < 0 . Berdasarkan Teorema 2.1 terdapat S1 submonoid terurut tegas S yang memenuhi

S1 ≅ N 0 atau S1 ≅ {0,−1,−2, } . Jika S1 ≅ N 0 , maka N [[S1 ]] ≅ N [[N 0 ]] ≅ N [[x ]] dan R[[S1 ]] ≅ R[[N 0 ]] ≅ R[[x ]] subring R[[S ]] . Sedangkan N terbangkit M atas R terhadap S, sehingga sesuai Teorema 2.3 dapat disimpulkan N [[S1 ]] terbangkit M [[S ]] atas R[[S1 ]] . Jadi N [[x ]] terbangkit M [[S ]] atas R[[x ]] . Jika dengan kondisi urutan Teorema 2.1.2, maka S1 ≅ {0,−1,−2, } N [[S1 ]] ≅ N [N 0 ] ≅ N [x ] dan R[[S1 ]] ≅ R[N 0 ] ≅ R[x ] subring R[[S ]] . Sedangkan N terbangkit M atas R terhadap S, sehingga sesuai Teorema 2.3 dapat disimpulkan N [[S1 ]] terbangkit M [[S ]] atas R[[S1 ]] . Jadi N [x ] terbangkit M [[S ]] atas R[x ] . 

Selanjutnya dari bukti pada Akibat 2.4, jika bagian 2 yang terjadi, maka terdapat

sehingga S1 ≅ {0,−1,−2, } , sehingga K [[S1 ]] ≅ K [x ]  (M [[S ]])[x ] ≅ (M [[S ]])[[S1 ]] K [x ] → N [x ] → 0 eksak atas atas R[x ] ≅ R[[S1 ]] . Jika bagian 1 yang terjadi, maka dapat ditemukan S1 ≅ N 0 , sehingga K K [x ]K [[x ]] ≅ K [[S1 ]] dan gelanggang RR[x ]R[[S1 ]] . Kondisi ini menunjukkan hubungan antara konsep terbangkit M atas R dengan eksistensi modul K sebagai pembangun N atas gelanggang polinomial R[x ] . Teorema 2.5. Diketahui S monoid terurut tegas subtotal tidal nol. Jika N modul terbangun M atas R, maka N terbangkit M S atas R . Bukti: Karena N terbangun M atas R, berarti M [N 0 ] ≅ M [x ] → N → 0 eksak. Karena S monoid terurut tegas subtotal, maka terdapat S1 submonoid terurut tegas S yang memenuhi S1 ≅ N 0 atau S1 ≅ {0,−1,−2, } .

M-250

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 16 Mei 2009

Jika S1 ≅ N 0 , maka M [S1 ] ≅ M [x ] → N → 0 eksak dan M [S1 ]M [[S1 ]] submodul

M [[S ]] atas R. Jadi N terbangkit M atas R dan S. Lebih lanjut, jika S1 ≅ {0,−1,−2, } dengan kondisi urutan Teorema 2.1.2, maka M [[S1 ]] ≅ M [x ] → N → 0 eksak dan M [[S1 ]] submodul M [[S ]] atas R. 

Berikut ini diberikan beberapa sifat yang merupakan akibat dari Teorema 1.2, 1.3, 2.1, dan Akibat 2.4. Akibat 2.6. Diketahui L dan N modul atas R, dengan N terbangkit M atas monoid terurut tegas S dan terdapat s ∈ S , yang memenuhi s > 0 atau s < 0 . Jika L → M → 0 eksak atau 0 → M → L eksak, 1. N [[x ]] terbangkit L[[S ]] atas R[[x ]] atau

2. N [x ] terbangkit L[[S ]] atas R[x ] . Bukti: Berdasarkan Teorema 1.2, dapat disimpulkan N terbangkit L atas R. Di sisi lain karena terdapat s ∈ S , yang memenuhi s > 0 atau s < 0 , maka sesuai Teorema 2.1 dan bukti pada Akibat 2.4 berlaku N [[x ]] terbangkit L[[S ]] atas R[[x ]] atau N [x ] terbangkit L[[S ]] atas R[x ] .  Akibat 2.7. Diketahui N modul terbangkit M atas R dan S, dengan S monoid terurut yang memenuhi s > 0 atau s < 0 , untuk suatu s ∈ S . Jika L1 , L2 ,  , Ln  N dan masing-masing Li terbangun M atas R, maka L1 ∩ ∩ Ln terbangkit M S atas R. Bukti: Berdasarkan bukti pada Teorema 2.5, untuk masing-masing

i = 1,  , n , M [N 0 ] ≅ M [x ] → Li → 0 eksak. Karena S monoid terurut tegas yang memenuhi s > 0 atau

s < 0 , untuk suatu s ∈ S , maka terdapat S1 submonoid terurut tegas S yang memenuhi S1 ≅ N 0 atau S1 ≅ {0,−1,−2, } . Akibatnya L i terbangkit M S atas R, untuk setiap

i = 1,  , n . Sesuai Teorema 1.3, L1 ∩ ∩ Ln terbangkit M S atas R.  Akibat 2.6 dan 2.7 akan tetap berlaku jika monoid terurut tegas S yang memenuhi terdapat

s ∈ S , dengan s > 0 atau s < 0 diganti monoid terurut tegas subtotal atau terurut total.

Hasil-hasil yang telah disajikan baru mengungkapkan hubungan parsial antara modul terbangkit M atas R dan modul terbangkit M [[S ]] atas R[x ] untuk kasus S monoid terurut tegas subtotal. Masalah terbuka yang perlu diselidiki adalah syarat cukup agar modul yang terbangkit M (S ,≤ ) atas R pasti terbangun oleh suatu K submodul M atas R[[S1 ]] dengan (S1 ,  )

submonoid terurut tegas (S , ≤ ) . Pengkajian yang lebih mendalam masih terbuka lebar dengan memfokuskan pada jenis-jenis lain monoid S, modul khusus M , atau ring khusus R, seperti daerah integral, daerah Euclid, mapun lapangan.

M-251

Budi Surodjo/Hubungan Modul Terbangkit

DAFTAR PUSTAKA Neerven, J., 1992, The Adjoint of a Semigroup of Linear Operators, Springer-Verlag, Berlin Heilderberg. Surodjo, B., 2006, Struktur Koaljabar Gelanggang Deret Pangkat Teritlak, Disertasi S3, Pascasarjana Universitas Gadjah Mada. Surodjo, B., 2007, Modules with Sigma Operations, Diseminarkan pada Second Joint Conference Indonesia Malaysia, ITS Surabaya, January 11-12, 2007. Surodjo, B., 2008, Modul Terbangkit Modul, Diseminarkan pada Konperensi Nasional Matematika Tahun 2008, Unsri Palembang, Juli 2008.

M-252