MODIFIKASI PERSAMAAN GERAK ROKET KLASIK TSIOLKOVSKY UNTUK ROKET YANG BERGERAK MENDEKATI KECEPATAN CAHAYA Oleh Ridho Muhammad A (10212067) dan Muhammad Baharuddin R(10212096) Jurusan Fisika Institut Teknologi Bandung Desember 2013
Abstrak
Sebuah roket bergerak degan memanfaatkan gaya aksi-reaksi yang berasal dari perubahan momentum roket karena propulsi bahan bakar berkecepatan tinggi ke arah yang berlawanan dengan arah gerak roket. Selama geraknya, roket akan terus kehilangan massanya akibat propulsi ini. Menurut persamaan gerak roket klasik yang dikemukakan oleh Konstantin Tsiolkovsky pad 1903, apabila tidak ada sumber energi/gaya selain dari propulsi bahan bakar, maka rasio persamaan gerak roket merupakan fungsi logaritmik sederhana dalam variabel rasio massa awal roket dengan massa akhir riket dan suatu konstanta
(effective exhaust rate) atau kecepatan propulsi bahan bakar. Akan
tetapi, timbul pertanyaan apabila kecepatan gerak roket telah mencapai kecepatan relativistik dimana perhitungan fisika secara klasik harus digantikan dengan perhitungan fisika secara relativistik. Degan memasukkan perhitungan relativistik ke dalam persamaan gerak roket, maka didapat rasio persamaan gerak roket merupakan fungsi tangen hyperbolic yang juga memuat fungsi logaritmik dengan variabel rasio massa roket awal dengan massa roket akhir serta konstanta
dan
c Didapat bahwa untuk kecepatan diatas sekitar 0,3c, maka perhitungan relativistik harus dimasukkan sementara untuk kecepatan dibawahnya, perhitungan non relativistik masih dapat diberlakukan. Kata kunci: Gerak roket, persamaan Tsiolovski, roket relativistik
yang lebih jauh seperti bobot pesawat yang sangat
1. PENDAHULUAN
berat dikarenakan harus membawa bahan bakar Prinsip propulsi bahan bakar roket seperti disebutkan
sebelumnya
selama
sangat kurang sehingga perjalanan luar angkasa
berpuluh-puluh tahun oleh roket sederhana dan
akan memakan waktu yang sangat panjang. Oleh
berhasil
mendaratkan
telah
dipakai
yang sangat banyak dan kecepatan pesawat yang
manusia
di
bulan,
karena itu, para ilmuwan dan insinyur mulai
Planet
Mars,
serta
mengembangkan berbagai jenis roket yang mampu
mengrobitkan ribuan satelit buatan di dalam tata
bergerak dengan kecepatan yang sangat tinggi dan
surya ini. Akan tetapi, banyak sekali masalah yang
tetap ringan seperti roket yang memanfaatkan
muncul untuk melakukan penjelajahan luar angkasa
propulsi ion atau roket yang memanfaatkan gaya
mendaratkan
1|
robot
di
electromagnet dari angin matahari (solar sail with
roket bergerak pada ruang hampa, maka gaya-gaya
solar wind) sampai roket yang memanfaatkan
aerodinamis roket dapat diabaikan. Asumsi ini
energi dari proses anihilasi antara elektron dan
dirasa tepat karena akan sangat sulit bagi sebuah
positron dan akan mempropulsikan foton (pion
roket, yang memiliki massa besar, untuk bergerak
rocket). Akan tetapi, roket semacam ini, yang
mencapai kecepatan mendekati kecepatan cahaya di
mampu bergerak dengan kecepatan sangat tinggi,
dalam pengaruh gaya-gaya aerodinamis seperti
tidak
gaya hambat udara (drag force).
dapat
menggunakan persamaan
dianalasisis hukum
rocket
geraknya
fisika
klasik
klasik
dengan sehingga
Tsiolkovsky
perlu
dimodifikasi menggunakan teori relativitas. Dalam
paper
ini,
penulis
Dari asumsi kedua, gaya-gaya yang bekerja pada roket hanya tinggal thrust oleh mesin roket serta gaya gravitasi. Dalam asumsi ketiga, gaya
mencoba
gravitasi dianggap tidak ada atau roket diasumsikan
menurunkan persamaan relativistik untuk roket
berada dalam medan gravitasi yang sangat lemah.
yang bergerak sangat cepat dengan memanfaatkan
Pada kenyataannya, gaya gravitasi suatu planet atau
propulsi bahan bakar propellant seperti roket-roket
benda langit lain dapat berpengaruh besar terhadap
klasik yang ada saat ini. Dasar yang sama
gerak roket. Beberapa pesawat ruang angkasa
digunakan untuk menganalisis gerak roket jenis lain
seperti
seperti pion rocket.
gravitasi benda-benda langit untuk bergerak.
Explorer
bahkan
memanfaatkan
gaya
Asumsi-asumsi yang digunakan pada paper 2. ASUMSI-ASUMSI YANG DIGUNAKAN
ini menjadikan gerak roket yang ditinjau adalah gerak roket tanpa pengaruh gaya-gaya lain selain
Untuk
menyederhanakan
perhitungan,
thrust dari propulsi bahan bakar roket. Untuk
beberapa asumsi digunakan dalam paper ini.
mendapatkan permodelan yang lebih akurat tentuya
Asumsi
roket
akan lebih baik apabila asumsi-asumsi tersebut
dipropulsikan dalam satu arah saja sehingga thrust
tetap dimasukkan dalam perhitungan yang tentunya
yang diberikan kepada roket juga hanya pada satu
akan membuat perhitungan menjadi semakin rumit.
pertama
adalah
bahan
bakar
arah yaitu arah kecepatan roket. Dengan kata lain, gerak roket ditinjau hanya dalam satu dimensi ruang saja.
3. PERSAMAAN GERAK ROKET KLASIK TSIOLKOVSKY
Asumsi kedua adalah bahwa roket bergerak pada ruang hampa udara. Pada kenyataannya, ketika roket meluncur dari bumi, ada gaya-gaya lain yang bekerja pada roket yaitu gaya gravitasi bumi/gaya berat roket, drag force oleh udara, gaya angkat udara (lift force), dan gaya magnus jika roket melakukan manuver rotasi. Manuver rotasi ini cukup umum dilakukan untuk mengurangi drag force atau gaya gesek udara. Dengan asumsi bahwa 2|
Gambar 1. Gambaran propulsi bahan bakar roket menimbulkan thrust/gaya dorong pada roket
Pada gambar di atas, terlihat proses propulsi bahan bakar
roket yang
menyebabkan
pertambahan
kecepatan roket sebesar
. Dari selang waktu
perubahan
momentum
roket
perubahan
momentum
bahan
sama bakar
4. PERSAMAAN
GERAK
ROKET
RELATIVISTIK
,
dengan
Perbedaan peninjauan dalam perhitungan
yang
dengan menggunakan fisika klasik dan fisika relativistik adalah bahwa pengamat di bumi akan
ditembakkan oleh roket. (1)
mengamati bahwa massa roket dan massa bahan bakar yang dibuang ketika roket bergerak tidaklah
(2) dimana;
dan
masing-masing
sama dengan ketika roket diam; (5)
adah
(6)
massa roket setelah menembakkan bahan bakar, perubahan kecepatan roket, kecepatan roket mula-
(7)
mula, dan kecepatan propulsi bahan bakar roket menurut pengamat yang ada di bumi. Selanjutnya, dimana
persamaan (2) juga dapat ditulis menjadi; (3) dimana
adalah laju propulsi bahan bakar roket
relatif terhadap roket. Dalam peluncuran roket, kecepatan propulsi bahan bakar roket relatif terhadap (
roket
biasanya
dibuat
dan
masing-masing
adalah massa roket menurut kerangka bumi, massa bahan bakar yang dipropulsikan menurut kerangka bumi, massa diam roket, dan massa diam bahan bakar yang dipropulsikan. Selain itu, kelajuan propulsi bahan bakar
konstan
roket relatif terhadap kerangka acuan bumi menjadi;
konstan).
(8)
Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (2), kita dapatkan; dengan
adalah kelajuan propulsi bahan bakar
roket relatif terhadap roket dan bernilai konstan. Seperti halnya pada kasus non-relativistik, perubahan (4) Persamaan (4) adalah persamaan gerak roket klasik Tsiolkovsky dimana
dan
momentum
roket
sama
dengan
momentum bahan bakar yang dipropulsikan oleh roket;
masing-
masing adalah perubahan kecepatan roket, massa
(9)
mula-mula roket, dan massa akhir roket setelah
Menurut kerangka di bumi, perubahan energi
proses propulsi bahan bakar berakhir (akhir dari
roket sebelum dan setelah melepaskan bahan bakar
suatu stage roket).
sama dengan energi bahan bakar yang dilepaskan; (10)
3|
Dengan mensubstitusikan persamaan (8) dan (10) ke dalam persamaan (9), kita dapatkan;
akhir. Untuk one stage rocket, massa awal roket adalah massa roket dengan muatannya ditambah dengan massa bahan bakar sedangkan massa akhir
(11)
roket adalah massa roket dengan muatannya saja sehingga dapat ditulis;
Jika kita kerjakan turunan dari
maka kita
dapatkan; (12) (17) Dengan mengekspansi persamaan (11) dan mensubstitusikan
persamaan
(12)
ke
dalam
dengan
adalah rasio massa bahan bakar terhadap
massa roket.
persamaan (11) lalu membagi kedua ruas dengan
Dari persamaan (19), persamaan (4) dapat
maka didapat;
ditulis menjadi; (20) (13) Kelompokkan suku-suku yang mengandung dan
−
1−
Sementara itu, persamaan (17) dapat ditulis menjad;
didapat;
2
(14) (21)
Persamaan (14) dapat disederhanakan lagi
Persamaan (20) adalah persamaan gerak roket tanpa menyertakan perhitungan relativistik
menjadi;
sedangkan persamaan (21) adalah persamaan gerak (15)
roket yang memperhitungkan efek relativistik. Pada kedua persamaan ini,
Dengan mengintegralkan kedua ruas pada persamaan (15) didapat;
adalah rasio massa bahan
bakar terhadap massa roket yang diperlukan untuk mendapatkan kecepatan akhir sebesar
(16)
setelah sejak propulsi dimulai sampai propulsi berakhir.
5. PERSAMAAN YANG LEBIH REALISTIS
Pengurangan massa roket hanya terjadi karena pembuangan bahan bakar, atau pelepasan bagian struktur roket untuk multistage rocket. Mari kita definisikan kembali massa awal, dan massa 4|
6. KELAJUAN TRANSISI
Persamaan (20) dan (21) memperlihatkan bahwa perumusan gerak roket tanpa dan dengan memperhitungkan efek relativitas memberikan hasil
yang sangat berbeda dimana yang satu hanya
Kecepatan sebesar 0.3c tentunya merupakan
merupakan fungsi logaritmik biasa sementara yang
kecepatan
yang
sangat
besar.
Setidaknya
lain merupakan fungsi hiperbolik yang memuat
dibutuhkan mesin roket yang mampu menghasilkan
fungsi logaritmik.
kecepatan propulsi bahan bakar sebesar 0.4c itu pun
Gambar 2. Grafik Perbandingan Perhitungan Relativistik dengan Perhitungan Non-Relativistik
Grafik berikut ini menunjukkan perbandingan antara persamaan gerak roket klasik dengan persamaan gerak roket relativistik. Eror mulai muncul ketika kecepatan mencapai 0.3c. Kecepatan sebesar 0.3c ini disebut dengan kelajuan transisi atau
kelajuan
batas
berlakunya
perhitungan
mekanika klasik pada gerak roket. Meskipun eror di titik sekitar 0.3 c kecil, akan tetapi jika dikalikan dengan kecepatan cahaya sebesar
tentunya
itu merupakan perbedaan yang besar. Selebihnya, pada kecepatan kurang dari 0.3c, kedua grafik berimpit yang artinya perhitungan secara klasik masih dapat digunakan.
Gambar 3. Grafik kelajuan roket terhadap kecepatan propulsi bahan bakar yang dibutuhkan dengan jumlah bahan bakar sebesar 5 kali massa roket beserta muatannya.
Pada grafik juga terlihat bahwa dengan perhitungan mekanika klasik, roket “diizinkan” memiliki kelajuan lebih dari c ( sementara pada prhitungan mekanika relativistik, roket tidak dapat mencapai kecepatan cahaya. 5|
masih menggunakan bahan bakar dalam jumlah besar yaitu sekitar 5 kali massa roket.
7. KESIMPULAN
9. TINJAUAN PUSTAKA 1. Forward, L. Robert. 1995. A Transparent
Dari perhitungan matematis di atas, didapat
Derivation of Relativistic Rocket Equation.
bahwa persamaan gerak roket dengan memasukkan
Malibu,
efek relativitas merupakan fungsi tangen hiperbolik
Aeronautics and Astronautics.
yang
memuat
fungsi
logaritmik
sedangkan
CA:
2. Westmoreland,
America
Shawn.
of
Note
on
A
persamaan gerak roket secara mekanika klasik
Relativistic
adalah fungsi logaritmik sederhana. Persamaan
Department of Mathematics Kansas State
gerak
University
roket
relativistik
tereduksi
menjadi
Rocketry.
Institute
Kansas,
USA:
persamaan gerak roket klasik saat kelajuan roket
3. Variable Mass System: Rocket Equation.
berada dibawah 0,3c sementara di atas nilai itu,
MIT Open Course (diakses pada 23
persamaan roket klasik tidak lagi dapat digunakan.
November 2013)
Dibutuhkan kecepatan propulsi bahan bakar
4. Walker, Halliday, dan Resnick. 2012.
setdaknya sebesar 0.1c untuk dapat mencapai
Principle of Physics 9th Edition (chapter
kelajuan transisi.
37: Relativity). John Wiley & Sons, Inc. 5. http://en.wikipedia.org/wiki/Tsiolkovsky_r ocket_equation
8. PENUTUP
(diakses
pada
24,
28
November 2013). Untuk mencapai
kelajuan
sebesar
0.3c
tentunya diperlukan gaya yang sangat besar. Teknologi roket yang paling canggih saat ini, roket berbahan bakar nuklir, hanya mampu memberikan kecepatan propulsi bahan bakar sebesat 5 km/detik, masih
jauh
dari
kecepatan
propulsi
yang
dibutuhkan. Oleh karena itu, kini para ilmuwan dan insinyur sedang mengembangka roket berbahan bakar lain salah satunya adalah roket berbahan bakar ion yang mampu memberikan kecepatan propulsi sampai 100km/s atau sekitar 0.1c. Selain itu, juga dikembangkan roket yang memanfaatkan energi anihilasi antara elektron dan positron (materi dan anti-materi) sehingga mempropulsi foton dengan kecepatan c. Jenis-jenis roket tersebut tidak dijelaskan pada paper ini namun dasar perhitungan untuk menentukan persamaan gerak roket-roket tersebut sama seperti yang dibahas pada paper ini.
6|
6. http://en.wikipedia.org/wiki/Relativistic_ro cket (diakses pada 24 November 2013).
