Modern fizika és alkalmazásai 1.előadás
Fizika Tsz. 2 h előadás http://fizipedia.bme.hu/index.php/Modern_fizika_ és_alkalmazásai
Miért éppen fizika Fizikai kutatások
?
Alkalmazások
Számítógépes hálózat
Internet (www. )
Tranzisztor
Félvezető elektronika
Nemlin. Egyenletek (áramlástan)
Számítógép
GPS (atomóra, rel. elm.)
Helymeghatározás
40%
Miért éppen fizika
?
Fizikai kutatások
Alkalmazások
CT (NMR)
Gyógyászat, rákdiagnosztika
Holográfia
3D képalkotás, 3D TV bankkártya, stb.
Anyagtudomány
Új anyagok, DNS
Miért éppen fizika Káosz elmélet
Modell
?
Miért éppen fizika
?
Mert izgalmas a jövő Kvantumszámítógép
Nanofizika
Nagy számolási sebesség RSA kód feltörése, stb.
Láthatatlan repülőgép Öntisztuló ruha "Öngyógyuló" számítógép
Robot kutya Youtube: robot dog boston dynamics
https://youtu.be/M8YjvHYbZ9w
Mit kell tudni Matematikából???
Vektorgeometria
Emlékeztető I. Vektorok r b
r a
r v a+b
r b
r c
r r r r a+b = b+a
r b
r a
r a
r a
Vektorok összeadása: r b
r a r b
r b
r r r a+b+c
r c
r λb r -b
Vektor(ok) kivonása
r v a −b =?
r b
r a
r r r r a − b = a + (-b) v r a + ( − b)
r -b r a
r r a −b r b
r a
r r a −b r b
r a
r r b−a r b
Konponensek és egységvektorok y r r r r = rx i + ry j ry
r j
r i
Θ
r r rx
r r = r = rx2 + ry2
ry tanΘ = rx Descartes koordináták: rx & ry x r r i = j =1
Polár koordináták : r & Θ
rx = r ⋅ cos Θ ry = r ⋅ sin Θ
r r = (rx , ry )
r r = ( r , Θ)
Elemi vektoralgebra r r r a = ax i + ay j
r r a+b=?
r r r b = bx i + by j
r r r r r a + b = (a x + b x ) i + (a y + b y ) j = d
dx
dy r r r r r a − b = (a x − b x ) i + (a y − b y ) j = c
cx
cy
r r r r r a + b + c + ... = (a x + b x + c x + ...) i + (a y + b y + c y + ...) j
Skalárszorzat r a
ϕ
r b
Def.:
r r r r a ⋅ b = a ⋅ b cos ϕ
r r r r i ⋅ i = j⋅ j =1
r r r a = ax i + ay j
r r r b = bx i + by j
és
r r i⋅j=0 r r a ⋅b = ?
r r a ⋅ b = a x b x + a yb y + a zbz
r r a ⋅b cos ϕ = r r a⋅b
Példa: munka r r W = F⋅ s Szuperpozíció
Vektoriális szorzat
r r r r a × b = a ⋅ b sin γ
r r r r r r i × j = k és j × k = i r r r r r r r r r és k × i = j , de: i × i = j × j = k × k = 0 Példa: forgatónyomaték Jobbkéz-szabály:
r r r M = r ×F
Vektoriális szorzat kiszámítása
r i
r r a × b = ax bx
(
r j
r k az = ? bz
ay by
)
(
)
r r r r r a × b = a y b z − a z b y ⋅ i + (a z b x − a x b z ) ⋅ j + a x b y − a y b x ⋅ k
Szuperpozíció
II. Trigonometria
sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β sin( 2α) = 2 sin α cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β +
2
2
cos(2α) = cos α − sin α
H.F.:
tgα + tgβ tg (α + β) = 1 −+ tgαtgβ 2
tg (2α) = ? cos(3α) = ? α cos = ? 2
2
sin α + cos α = 1 Jó tudni: ……..
MATEMATIKA BEVEZETŐ 1. Differenciálszámítás
Miért hasznos a differenciálszámítás? Példa:
Sebesség = út/idő
Átlagsebesség
Pillanatnyi sebesség
s
Út-idő mérése diszkrét pontokban Mekkora az átlagsebesség a 3. és a 4. s között?
Mekkora az átlagsebesség a 3. és az 5. s között? s=16m s=7m
Geometriai jelentés:
α t=1s t=2s
A sebesség a vízszintessel bezárt szög tangensét, a meredekséget mutatja meg.
t
Az út és idő között ismert a függvénykapcsolat példa:
1 D mozgás 0
X(t)
x
x A sebesség még mindig átlagsebesség (a szelő meredeksége), a kifejezés a differenciahányados.
x(t2)
Ha t2 nagyon megközelíti t1-et (t2 = t1 + Δt, és Δt → 0 ) a differenciahányados határértéke a differenciálhányados, a derivált:
x(t1)
x(t + ∆t ) − x(t ) dx v(t ) = ∆lim = t →0 ∆t dt t1 t2
t
amely megmutatja a pillanatnyi sebességet (az érintő meredekségét) t1-ben.
A differenciálás (deriválás) alkalmazása Határozzuk meg az y=x2 függvény grafikonjának meredekségét x=3 pontban f(x)=x2 Képezzük a függvény deriváltfüggvényét vagy deriváltját f(x)=x2
f’(x)=2x
Helyettesítsük be az érintési pont x koordinátáját f’(x=3)=2•3=6 Az f(x)=x2 függvény grafikonjának meredeksége az x=3 helyen 6. tgα=6
Deriválási szabályok
(e ) = ex x ′
Összetett függvény f(g(x)) f=sin(x)
g=3x2
f(g(x))=sin(3x2) Összetett függvény deriválása (f(g(x)))’=f’(g(x))•g’(x) Példa : (sin(3x2))’=cos(3x2)•6x
Második derivált Példa:
f(x)=5x3 f’(x)=5·3x2=15x2 1 D mozgás
f’’(x)=15·2x=30x 0
Alkalmazás (pl):
X(t)
x
x(t)=5t3
F=m·a
F kiszámítható
Szélsőérték meghatározása Példa:
f(x)=2x3-21x2+60x+3 Hol van az f(x) fv. szélsőértéke?
f(x) függvény szélsőértéke ott található, ahol f’(x)=0 f’(x)=6x2-42x+60 6x2-42x+60=0
x1=5, x2=2
Minimum vagy maximum? f’(x)=6x2-42x+60 f”(5)=18
Minimum!
f’’(x)=12x-42 f”(2)=-18
Maximum!
f(x)=2x3-21x2+60x+3
Szokásos jelölés az idő szerinti deriváltra dx v= = x& dt 2
dv d x a= = v& = = &x& 2 dt dt 3D-ben:
r r d r r& v= =r dt r 2r r dv r& d r &r& a= =v= =r 2 dt dt
Taylor-sor f ′′(a ) f(x) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) + ( x − a ) 2 + ... 2!
x2 + ... cos( x ) = 1 − 2! x3 + ... sin( x ) = x − 3! 2
x + ... e = 1+ x + 2! x
2. Integrálszámítás
CÉL: Görbe alatti terület meghatározása
x1
x2
x1
x2
Példa: F
F
s W=Fs
t v
I=Ft
s=vt
t
Alsó-felső közelítő összeg
S(f)
s(f) s(f) < S(f)
Minél finomabb a beosztás, az alsó és a felső közelítő összeg értéke annál inkább megközelíti egymást
Integrál Ha a beosztás minden határon túl finomodik , akkor s(f)=S(f)
=s(f)=S(f)
a
b
Az integrál kiszámítása Newton-Leibniz tétel Ha létezik F(x), úgy, hogy F’(x)=f(x) F(x) az f(x)függvény primitív függvénye: F( x ) =
∫
f ( x )dx
(Határozatlan integrál)
A primitív függvény segítségével a határozott integrál kiszámítható
Példa:
f(x)=x2
f(x)=x2
F(x)=x3/3 Ellenőrzés: (F(x))’=f(x)
=(2)3/3-(1)3/3=7/3=2,33
Integrálási szabályok – Primitív függvény
Primitív függvény meghatározása
Példa:
∫sin5(x)cos(x)dx
∫sin(3x+5)dx
∫sin(x5)x4dx
H. F.
Parciális integrálás
Példa:
Példa2:
H. F.
+ Differenciálegyenletek
+ Komplex számok
Kinematika
A kinematika alapjai A tömegpont helyének megadása az idő függvényében r r (t )
Tömegpont helyzete : Elmozdulás: Megtett út:
r r r ∆r = r (t2 ) − r (t1 )
s=
∑
r Δ ri
i Kinematika → tömegpont helyzete → pl. tenisz: "challange" Apophis kisbolygó ?
Legegyszerűbb modell: 1 D - mozgás
0
x(t)
x
x,s,d: [m] t: [s]
Definíciók:
sössz . vátl . = tössz .
Átlagsebesség:
Pillanatnyi sebesség:
Elmozdulás:
Mértékegység: m/s
x(t + ∆t ) − x(t ) dx v(t ) = ∆lim = t →0 ∆t dt t2
x(t 2) − x(t1) =
∫
v(t)dt =
∑
t1
Pozíció:
x(t) = x 0 +
v = 72 km/h = 20 m/s
pontosabban: később
elmozdulás
i
vi Δt i
Legegyszerűbb mozgás: egyenesvonalú egyenletes mozgás
v = const.
x x(t)
x(t) - x o v= t xo t
x(t) = x o + v ⋅ t s v= t
v(t)
s = v⋅t
v
s = v⋅t t
t
GPS
Gyorsulás v ≠ const. ⇒ v = v(t) Def.
átlagos gyorsulás:
aátl. =
Δv v(t2 )-v(t1 ) = Δt t2 -t1
m s 2
v(t) Def.
pillanatnyi gyorsulás:
v(t + ∆t ) − v(t ) dv a(t ) = ∆t →0 = Δt dt lim
v( t ) =
∑
a i ∆t i + v 0
i
x(t) =
∑ i
v i ∆t i + x 0
aátl. = tgα v(t2)
α ∆t
v(t1)
t1
∆v
t2
t
Mozgás állandó gyorsulással a = const. v(t) v(t)-vo a= t
v(t) = vo + a ⋅ t
a>0
v(t) vo
t
a<0
t
Elmozdulás és pozíció v
vo
1 2 s = vo ⋅ t + at Elmozdulás: 2 ∆v=at 1 2 t t τ′ at 2 Láttuk: x (t ) = ∫ v (τ )dτ + x0 = ∫ ∫ a (τ ) dτ dτ ′ + v0t + x0 0 0 0 vo ⋅ t 1 2 t Pozíció: x(t ) = xo + vo ⋅ t + at t 2 Feladatmegoldáshoz hasznos formulák
v v2
v
a = const.
v
a = const. v0 = 0
v
v1
v0
t t s=
v1 + v2 v −v t= 2 1 2 2a 2
2
a = const. v1 = v0 v2 = 0
t
1 2 vt v 2 s = at = = 2 2 2a
t
t
1 2 v0t v02 s = at = = 2 2 2a
2D és 3D mozgás r ∆r r Átlagsebesség (vektor): vátl . = ∆t
Átlagsebesség:
vátl . =
sössz . tössz .
r dr r Pillanatnyi sebesség: v (t ) = dt Mivel:
elmozdulás r vátl . = idő
r r dr = drut
r ut : érintő irányú egységvektor
r dr r dut r v (t ) = ut + r dt dt r vt
?
r v
y
Polárkoordináták: r, ϕ (síkbeli)
r r
r eϕ
r deϕ
r er
ϕ
r r r = rer r r r r& = r&er + re&r r r r r v = r& = r&er + rϕ&eϕ
r vt r vr x
r vr
r vt
r r r r r r r a = v& = &r&er + r&e&r + r&ϕ&eϕ + rϕ&&eϕ + rϕ&e&ϕ r eϕ (t ) r er (t + dt ) dϕ r er (t )
r eϕ (t + dt )
r r e&r = ϕ&eϕ
r r e&ϕ = −ϕ&er
r der r r 2 r ( ) a = (&r& − rϕ& )er + 2r&ϕ& + rϕ&& eϕ
A tömegpont helyzete:
t r r r r (t ) = ∫ v (τ )dτ + r0 0 t
A tömegpont által megtett út:
s = ∫ v(τ )dτ 0
A tömegpont gyorsulása: (egyszerűen)
dut vdt dut v ⇒ = r = ut R dt R r r v2 r a = v&ut + n R at
acp
r r dv d r r r a= = (vut ) = v&ut + vu&t dt dt
r a
r at r a cp
r v(t)
r r r a = acp + at v csökken:
∆v ahol a t = lim ∆t →0 ∆t r acp
at 〈 0
v ≠ const
R
r v(t) r a v növekszik:
a = acp2 + at2
r at r a cp
at 〉 0
R
r at
Egy speciális eset:
r a = const.
1r 2 r r r r (t) = ro + vo ⋅ t + a ⋅ t 2
1 x(t) = xo + vo x ⋅ t + ax t 2 2
r r r v (t) = vo + a ⋅ t
Vízszintes mozgás
vx(t) = vox + ax ⋅ t
1 y(t) = yo + vo y ⋅ t + a y t 2 2 v y(t) = voy + a y ⋅ t
Függőleges mozgás
Hajítás
függőleges mozgás
vox = vo cos Θ
1 y(t) = yo + voy t + a y t 2 2 yo = y f = 0
voy = vo sin Θ voy t=2 g vo2 s = sin ( 2Θ) g
r vo r v oy
1 0 = voy t + a y t 2 2
Θ r v ox
s
2voy 2vo sin Θ t=− = ay g
vízszintes elmozdulás x(t) = voxt = vo cos Θt 2vo sin Θ s = voxt = vo cos Θt = vo cos Θ ⋅ g
Koordináta rendszerek Descartes-féle koordináta rendszer
r r r r r = xi + yj + zk = ( x, y, z ) r r r r& r r = v = x&i + y& j + z&k r r r r&& r& r r = v = a = &x&i + &y&j + &z&k z Henger koordináta rendszer
r r = (r ,ϕ , z ) r r r r = ρeρ + zk r r& r r r r = v = ρ&eρ + ρϕ&eϕ + z&k r &rr& = vr& = ar = (...)erρ + (...)erϕ + &z&k Síkbeli polár
r r
z
ϕ x
ρ
y
z
Gömbi koordinátarendszer
r eϕ
r r = ( r , ϕ ,θ ) r r r = rer
r r
θ
r r r r r r& = v = r&er + r sin θϕ&eϕ + rθ&eθ
ϕ &rr& = vr& = ar = H .F .
Segítség:
?
r eθ
r er
x
r r r r er = sin Θ cos ϕi + sin Θ sin ϕj + cos(Θ)k r r r eϕ = − sin ϕi + cos ϕj r r r r eΘ = cos Θ cos ϕi + cos Θ sin ϕj − sin Θk
y
Kinematika → dinamika Kepler törvények (Tycho de Brahe)
1. Nap
A2 2. A1
A1 = A2 Nap
T2 = const. 3 a
2a 3. Nap
Arisztotelész – Galilei Newton Galilei gondolatait matematikai formába öltöztette Axiomatikus alapokra helyezte a fizikát A gravitációs törvényével számíthatóvá tette az „égi” fizikát
Nem a mozgás fenntartásához, hanem a mozgásállapot megváltoztatásához van szükség külső hatásra
Sir Isaac Newton (1642. – 1727.)
Newton axiómák 1. axióma: A tehetetlenség törvénye Van olyan vonatkoztatási rendszer, az inerciarendszer, amelyben minden test megtartja nyugalmi állapotát, vagy egyenes vonalú egyenletes mozgását mindaddig, amíg más testek ennek megváltoztatására nem kényszerítik.
r r Fe = 0 ⇒ a = 0 Az inerciarendszerhez képest egyenes vonalú egyenletes mozgást végző vonatkoztatási rendszer szintén inerciarendszer Tehetetlenség: a testeknek az 1. axiómával kimondott tulajdonsága mértéke: tömeg (tehetetlen tömeg) m [kg]
Galilei relativitási elv Galilei transzformáció
Egymáshoz képest egyenes vonalú, egyenletes transzlációt (haladó mozgást) végző vonatkoztatási rendszerek között mechanikai kísérletekkel nem tudunk különbséget tenni, azaz ezek egyenértékűek
Newton axiómák 2. axióma: A pontszerű test inerciarendszerhez képest mért v sebessége változik ⇒ a test gyorsul. Newton 1. axiómája Más testek hatnak rá. Erő (erőhatás): testek kölcsönös egymásra hatása, amely
megnyilvánulhat mozgásállapot változásban, vagy alakváltozásban
r d (mv ) r =F dt
m = const .
r r F = ma
mértékegysége: kgm/s2=N (Newton) Erők típusai: gravitációs erő súrlódási erő rugalmas erő …
erőtörvények (mozgásegyenlet)
mozgásfüggvény (x(t)=….)
Newton axiómák 3. axióma: A kölcsönhatás törvénye kölcsönhatás B test
A test
Ha egy A testre a B test erővel hat, akkor az A test is hat a B testre ugyanakkora nagyságú, de ellentétes irányú erővel.
r r FBA = − FAB Az erők párosával lépnek fel, de különböző testekre hatnak.
Newton axiómák 4. axióma: A szuperpozíció elve Az erők egymás hatását nem zavarva, vektorokként adódnak össze.
r r ΣF = mΣa Ha egy anyagi pontra több erő hat, akkor ezek együttes hatása egyenlő vektori eredőjük hatásával. Anyagi pont egyensúlyának szükséges és elegendő feltétele, hogy a pontra ható összes erők eredője zérus legyen.
r ∑ Fi = 0 i
r F1
r F2
r F3
A dinamika alapegyenlete r r ma = ∑ Fi i
A mozgások kísérleti vizsgálata alapján erőtörvények felállítása
r r F = ma
A testre ható erők ismeretében a test mozgásának meghatározása
r d 2r a= 2 dt
r r r = r (t )
Fontosabb erőtörvények Gravitációs erő Bármely két pontszerű, m1 és m2 tömegű. egymástól r távolságban lévő test kölcsönösen vonzza egymást olyan erővel, amelynek nagysága a testek tömegének szorzatával egyenesen és a távolságuk négyzetével fordítottan arányos. Cavendish kísérlet:
m1.m2 F =γ 2 r
γ = 6,67*10-11 Nm2/kg2
• minden testre hat • leggyengébb kölcsönhatás • bolygók mozgása alapján született törvény
r r m1.m2 r F12 = γ r2 r
F
r
m2
m1 r
(súlyos és tehetetlen tömeg) Gömbszimmetrikus tömegeloszlás
Fontosabb erőtörvények Nehézségi erő A Föld által az m tömegű testre kifejtett gravitációs vonzóerő és a Föld forgása következtében fellépő centrifugális erő eredője
r r r mg = Fgr + Fcf
r r F = mg g=9,81 m/s2
A test súlya: az az erő, amelyet a test a felfüggesztésre, vagy az alátámasztásra kifejt.
Fontosabb erőtörvények Súrlódási erő tapadási súrlódási erő:
Ftap=μtapN csúszási súrlódási erő:
Fs=μsN
a test áll
a test mozog
Fontosabb erőtörvények Rugalmas erő Egyenes vonalú harmonikus rezgőmozgás
a x = −ω 2 x
Fx = − mω 2 x Lineáris erőtörvény:
Fx = − Dx
v r F = − Dr
általános alak
Az anyagi pont mozgásegyenlete Hogyan mozog egy m tömegű anyagi pont a rá ható ismert erő (vagy eredő erő) hatására? A kérdésre a
r r r r dp ∆p = F vagy F = dt ∆t
mozgásegyenlet megoldásával kaphatjuk meg a választ. r Keressük azt a folytonos és differenciálható r (t ) függvényt, amelyik kielégíti ezt a differenciálegyenletet. Az előforduló erők általában az időnek, helynek és sebességnek a függvényei
r r r r F = F (t , r , r& )
Ha a tömeg nem változik, a megoldandó mozgásegyenlet:
r& r r r& & m r = F (t , r , r ) Matematikai szempontból ez egy vektoriális, közönséges másodrendű differenciálegyenlet. Derékszögű koordinátarendszerben m &x& = Fx (t , x, y, z , x&, y& , z& )
m &y& = Fy (t , x, y, z , x& , y& , z& )
m &z& = Fz (t , x, y, z , x&, y& , z&)
A fenti három differenciálegyenlet általános megoldásai egyenként két, r összesen hat integrálási állandót, paramétert tartalmaznak. Az r (t ) általános megoldásban szereplő integrálási állandók értékét a kezdeti feltételekből határozzuk meg, ezek: r r r r r r0 = r (0) v = v (0) = r& (0) 0
Centrifugális erő:
r N
A külső megfigyelő szerint:
r r Fcp = Fe r r r Fcp = mg + N v2 N = mg − m R És a belső megfigyelő szerint?
r mg R
Munka
r F = const. r r ∆W = F∆s = F∆s cos α
r F
r ∆s
SI mértékegysége: Joule (Nm)
r Ha F ≠ const.
1D.
B
B
A
r r F (r )
r r W = ∫ Fdr
A
2
Munkatétel
r r W = ∫ Fds 1
2
2 dvr
v r r (v dt ) = m ∫ v dv =m 2 1 dt 1
r r W = ∫ mads = m ∫ 1 Mozgási energia:
2 v2
2r
v 1
1 2 1 2 = mv2 − mv1 2 2
1 2 mv 2 Munkatétel: W = ∆Ek
Átlagteljesítmény:
W P= t
Pillanatnyi teljesítmény:
SI mértékegysége: Watt (J/s)
r r dW Fds r r P= = = Fv dt dt
Konzervatív erők • Ha az F erő munkája W, akkor –W az F erő ellenében végzett munka. • Ha a tömegpontra több erő hat, az eredő erő munkája egyenlő az egyes erők munkáinak algebrai összegével. • A végzett munka általában függ a pályától. Konzervatív erők: Olyan erők, melyeknek az anyagi ponton végzett munkája független a kezdő és végpontot összekötő pályától, csak a kezdő és végpont helyétől függ. B (1)
(2) A
W1 = W2
vagy Olyan erők, melyeknek bármely zárt görbe mentén végzett munkájuk zérus. B
r r ∫ Fds = 0 A
A gravitációs erő munkája
Fgr = G
m1m2 r2
1 1 Wgr = ∫ Fds = ∫ G dr = Gm1m2 ∫ dr = Gm1m2 − 2 2 r r r2 r1 1 1 1 2 r r
2
m1m2
A Föld felszíne közelében:
W = mgh A nehézségi erő konzervatív erő.
2
1
Fr = F ( x) = − Dx
Rugóerő munkája A rugóerő munkája, ha a kitérés x1–ről x2-re változik: x2
x2
1 2 1 2 W = ∫ Fx dx = − ∫ Dxdx = − Dx2 − Dx1 2 2 x1 x1
A rugóerő konzervatív erő.
Súrlódási erő munkája rv2
s2
s2
r r1
s1
s1
r r W = ∫ Fs dr = − ∫ Fs ds = − Fs ∫ ds = −Fs s12
Kényszererők munkája • A kényszererő merőleges a felületre. • Ha a kényszert jelentő felület nyugalomban van az adott vonatkoztatási rendszerben: ekkor a kényszererő merőleges a sebességre, a kényszererő munkája zérus. (pl. rögzített lejtőn lecsúszó anyagi pont, fonálhoz erősített, körpályán mozgó test) • Ha a kényszert jelentő felület mozog az adott vonatkoztatási rendszerben: a test sebessége általában nem esik a felület érintőjének irányába, ezért a kényszererő általában nem merőleges a sebességre, és így munkája nem zérus.
Potenciális energia
Láttuk:
B
B
A
r r F (r )
r r W = ∫ Fdr
Konzervatív erő!!! A
A potenciális energia megváltozása:
∆U = −W
Br r
∆U = U B − U A = − ∫ Fdr A
(U = E
h
= E pot . )
A rugóban tárolt potenciális energia x2
x2
1 2 1 2 W = ∫ Fx dx = − ∫ Dxdx = − Dx2 − Dx1 2 2 x1 x1
Láttuk:
1 2 U = Dx 2 Tömegpont gravitációs potenciális energiája Láttuk:
1 1 Wgr = ∫ Fds = ∫ G dr = Gm1m2 ∫ dr = Gm1m2 − 2 2 r r r2 r1 1 1 1 2 r r
m1m2 U (r ) = −G r
2
2
m1m2
Ha Láttuk:
Fgr = mg
1
(A Földfelszín közelében)
Wgr = mgh
U = mgh
Az energia megmaradása: Láttuk: munkatétel:
W = ∆Ek
∆U = −W
és
− ∆U = ∆Ek Csak konzervatív erők hatnak!
Az energia megmaradása:
− U 2 + U1 = Ek2 − Ek1 Ek1 + U1 = Ek2 + U 2
E1 Ha disszipatív erők is fellépnek:
E2
W = −∆U + Wnemk .
Ek1 + U1 + Wnemk . = Ek 2 + U 2
Egy egyszerű példa: Legalább mekkora sebességgel kell az űrhajót a Földről elindítani ahhoz, hogy az kijusson a világűrbe (és ne essen vissza)? M: a Föld tömege R: a Föld sugara
Mm U 1 = U ( r = R ) = −G R Ek + U 1 = E k + U 2 1
2
m: rakéta tömege
U 2 = U (r >> R ) ≈ 0 1 2 Mm mv − G =0 2 R
M M v = 2G = 2G 2 R = 2 gR ≈ 11200 m/s R R Robbanás energiája: 60 TJ
?
?
Pontrendszer impulzusa: rk F2
m2
r F12
r F21
m1
Láttuk:
rk r r Fe = ∑ mi atkp = Matkp i
rk F1
rk rk r r r r I . + II . F1 + F2 + F12 + F21 = m1a1 + m2 a2 rk Fe
i
=0
r r r r rk dv1 dv2 dp1 dp2 d r r Fe = m1 + m2 = + = ( p1 + p2 ) dt dt dt dt dt Ha
rk Fe = 0 ⇒
rk r Fe = ∑ mi ai
r psyst. = const.
r r k dpsyst. Fe = dt
Ez az impulzus-megmaradás törvénye.
Anyagi pont impulzusmomentuma Anyagi pont origóra vonatkozó impulzusmomentuma az r(t) helyvektorának és p(t) impulzusának vektoriális szorzata: z
r r r L = r ×p
r N
r r
Az impulzusmomentum nagysága:
L = pr sin α Mértékegység: Js
x
r r p = mv
y
Forgatónyomaték Egy anyagi pontra ható erőnek az origóravonatkozó forgatónyomatéka az anyagi pont r(t) helyvektorának és az F(t) erőnek a vektoriális szorzata: r r r
M = r ×F
A forgatónyomaték nagysága:
M = rF sin α vagy:
M = Fd erőkar
illetve
M = rFt az erő tangenciális komponense
Mértékegység: Nm
Impulzusmomentum-tétel
r r r r r L = r × p = mr × v
r r r r r dL d ( r × p ) d r r r dp r r r r = = ×p+ r× = v×p + r ×F dt dt dt dt r r dL M= dt Ha az anyagi pontra ható erő forgatónyomatéka zérus, az anyagi pont impulzusmomentuma állandó.
r M =0
r dL =0 dt
r L = állandó
Az impulzusmomentum megmaradásának tétele
Impulzusmomentum-megmaradás: r r dL Me = dt
r r r dL ha M e = 0 ⇒ = 0 ⇒ L = const. dt
Rezgőmozgás F: rugóerő
Fr = −kx Fe = Fr Newton 2. törv.:
ma = −kx
Megoldása:
k a=− x m x(t ) = A sin(ωt + ϕ )
k &x& = − x m
Fe = ma
mozgásegyenlet
x(t ) = A sin(ωt + ϕ )
Harmonikus rezgőmozgás: A : amplitúdó ω : körfrekvencia
2π ω= T
k ω= m
m ⇒ T = 2π k
ϕ : kezdőfázis
A rezgőmozgást végző test sebessége: Maximális sebesség:
vmax = Aω
A rezgőmozgást végző test gyorsulása: Maximális gyorsulás:
v(t ) = Aω cos(ωt + ϕ )
a (t ) = − Aω 2 sin(ωt + ϕ )
amax = Aω 2
Kezdeti feltételek: x(t=0) = xo és v(t=0) = vo ⇒ A = … és φ = …
A rezgő test energiája: E = Ek + E pot
1 2 1 2 E = mv + kx 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 E = mv + kx = m( Aω ) cos (ωt + ϕ ) + kA sin (ωt + ϕ ) = 2 2 2 2 1 2 1 2 E = kA = mvmax 2 2
r r r L = r ×p
Láttuk: impulzusmomentum v. perdület r r r L = r ⋅ p ⋅ sin (ϕ) = mvr sin (ϕ) = mvd y x r r
d
r r p = mv
φ
φ
Merev test r ω
r vi mi ri
Li = mi vi ri = mi ri2ω L=
∑ i
mi vi ri =
∑ i
(vi = ωri )
mi ri2ω = Θω
L2 ⇒ Ek = 2Θ
Forrás mozog, a megfigyelő áll
fo
f ′ = fo
1 v 1− + vh
Doppler effektus 1.
v = Hr
H = Hubble állandó
Doppler effektus 2.
r v forrás áll
megfigyelő mozog
v f ′ = f o 1— + vh
… és ha a szél fúj?
vm 1± vh ′ f = fo vf 1m vh
m: megfigyelő f : forrás h : hang
Entrópia – mikroszkópikus szempontból egy molekulára:
Wk =
Vk V N
Vk N molekulára: Wk = V N Vv más térfogatra: Wk = V N Vv N Wv V Vv = = N Wk Vk Vk V W V Vv k ln v = nN A k ln v k ln W k ln W nR ln − = v k W V k k Vk
V S v − S k = nR ln v Vk
S = k ln W 93
Coulomb törvény I.
Két töltött, pontszerű részecske közötti elektrosztatikus erőhatás nagysága a közöttük lévő távolság négyzetével fordítva arányos. Az elektrosztatikus erők esetében is érvényes a kölcsönhatás törvénye (erő-ellenerő). A töltött részecskék közötti erőhatás a két pontszerű töltés nagyságának szorzatával arányos.
F=k ahol:
k=
q1q 2 r2 1
4πε o
Töltés egysége: C (Coulomb)
és εo a vákuum permittivitása : 2 9 Nm k = 9 *10 2 C
εo = 8.85*10-12 C2/Nm2
r Q r F = k n ∗q r2 Ponttöltés elektromos erőtere:
Elektromos erőtér r r F = Eq
r Q r E=k n r2
Szuperpozíció:
r E
r r r E = E1 + E 2
Dipólra ható forgatónyomaték:
M = dqEsinα = pEsinα
r r r M = p×E
Töltött részecske elektromos erőtérben
r r F = qE
v r qE a= m
r E
r F
+q
r E
r F
-q
Elektromos dipól inhomogén erőtérben
F = q[E(x + Δx) − E(x)] dE dE F=q Δx = p dx dx
Elektromos potenciál és energia I. B Az elektromos erőtér által végzett munka:
q
r E
A
A töltött részecske potenciális energiájának megváltozása:
Def.: az elektromos potenciálkülönbség:
Elektromos potenciál és energia II.
Potenciális energiaváltozás:
Homogén térben:
A tér által végzett munka:
Ponttöltés elektromos potenciálja B
ΔU AB
B r r Q r r = − ∫ E ds = − ∫ k 2 n ds r A A
Ha az A pont a ∞ – ben van ( rA = ∞ ) és rB = r :
Az elektromos mező energiája 2
1Q W= 2 C Síkkondenzátor:
Q E= εoA
Q = ε o AE C=
ε oA d
1 2 W = ε o E Ad 2 Téfrogat: Ad
1 ε E = εo E 2 2 energiasűrűség
Egy V térfogatú tartomány elektrosztatikus energiája:
W = ∫ ε E dV V
A mágneses indukciós tér A mágneses indukciós tér jelölése: B Mértékegysége a Tesla = Ns/Cm
a Föld mágneses terének indukciója az egyenlítő környékén kb 3*10-5 T Lorentz-erő:
r r r F = qv × B
Lorentz-erő nagysága:
F = qvB sin α
Elektromos töltések mozgása statikus elektromos és mágneses térben I. E=0 B : homogén
v2 qvB = m R R=
mv qB
Periódusidő:
T=
2 Rπ v
T=
2πm qB
Áramhurok mágneses térben, mágneses momentum a jelölt oldalakra ható erő nagysága: F = IbB
a M = 2 F cos ϕ = IabB cos ϕ 2
⇒ M = IAB cos ϕ
r r r M = IA × B
r r r M = µ×B r µ = IA r
Mágneses momentum potenciális energiája mágneses térben:
rr U = − µB
Elektrosztatika (analógia):
rr U = − pE
A Maxwell-egyenletek rendszere I. Vákuumban:
r r q I . ∫ EdA =
ε0
r r II . ∫ BdA = 0 r r dΦ E III . ∫ Bd l = µ0 I + ε 0 dt
r r dΦ B IV . ∫ Ed l = − dt James Clerk Maxwell (1831-79) tér → mező
Megold.: hullámegyenlet e.m. hullámok
A Maxwell-egyenletek rendszere II. anyag jelenlétében:
r r I . ∫ DdA = q
r r II . ∫ BdA = 0 r r dΦ D III . ∫ Hd l = I + dt IV . + anyagi egyenletek:
V. határfeltételek: E1t = E2t , D1n = D2n H1t = H2t , B1n = B2n
VI .
VII .
r r dΦ B ∫ Ed l = − dt r r J = σE r r r D = εoE + P r r r B = µo ( H + M )
r r r r VIII . F = q ( E + v × B )
Az elektromágneses síkhullám I. Időben változó elektromos tér → mágneses (indukciós) tér:
r r dΦ E l = µ + ε B d I ∫ 0 0 dt Vákuum: I = 0 (nincsenek töltött részecskék, áramok)
r r dΦ E ∫ Bd l = µ0ε 0 dt Időben változó mágneses (indukciós) tér → elektromos tér: Hipotézis: E(t)
B(t)
r r dΦ B ∫ Ed l = − dt
Az elektromágneses síkhullám II. x
r E (z )
r E ( z + ∆z )
D C
s A z
r B (z ) y
E
ℓ F
z+Δz B
z
r B ( z + ∆z )
r E = ( E x (t ),0,0) r B = (0, B y (t ),0)
r r E = E ( z , t )i r r B = B( z, t ) j
Az elektromágneses síkhullám III. Faraday-törvény:
Ampère-törvény:
r r dΦ E ∫ Bd l = µ0ε 0 dt
r r dΦ B ∫ Ed l = − dt
[E x (z + Δz) - E x (z)] s = −s∆z
ΔB y Δt
ΔB y E x (z + Δz) - E x (z) =− Δz Δt
∂B y ∂E x =− ∂t ∂z
[
]
∆E x - B y (z + ∆z) + B y (z) l = µ0ε 0l∆z ∆t B y (z + ∆z) - B y (z) ∆z
∂B y
= − µ0ε 0
∂E x = − µ0ε 0 ∂z ∂t
∆Ex ∆t
Az elektromágneses síkhullám IV. ∂B y
∂B y ∂E x =− ∂z ∂t
∂E x = − µ0ε 0 ∂z ∂t
∂ ∂z
∂ ∂t
∂ 2 Ex ∂z
2
= μ0 ε0
∂ 2 Ex ∂t
2
hullámegyenlet
~ E x(z,t) = E0ei (ωt ± kz ) E x(z,t) = E0 cos(ωt ± kz ) ω c= 1 2π 2π Def.: c = 299792458 m/s c= ω = = 2πf k = µ ε k 0 0 T λ Megoldása:
Az elektromágneses síkhullám V. ∂B y
∂B y ∂E x =− ∂z ∂t
∂E x = − µ0ε 0 ∂z ∂t
∂ ∂t
∂ ∂z
∂2By ∂z 2
Megoldása:
= μ0 ε0
∂ 2By ∂t 2
hullámegyenlet
B y(z,t) = B0 cos(ωt ± kz )
Az elektromágneses síkhullám VI. E x(z,t) = E0 cos(ωt − kz )
B y(z,t) = B0 cos(ωt − kz )
Behelyettesítünk:
∂B y ∂E x =− ∂t ∂z 1 E x (z, t) = B y (z, t) c
1 Eo = Bo c
Az elektromágneses síkhullám VII. E x(z,t) = E0 cos(ωt − kz + ϕ )
B y(z,t) = B0 cos(ωt − kz + ϕ ) x
z y
f =
c
λ
λ
Az elektromágneses spektrum Elnevezés
Hullámhossz (nm)
vörös
640 – 780
narancs
600 – 640
sárga
570 – 600
zöld
490 – 570
kék
430 – 490
ibolya
380 – 430
Néhány érdekesség: Az emberi szem legérzékenyebb a zöld fényre. A CD és a DVD → vörös lézerfénnyel dolgozik. A blue-ray disc → ibolya nyalábbal írható és olvasható. (a kisebb hullámhossz természetesen nagyobb írássűrűséget jelent) Ultraibolya (200 nm < λ < 380 nm) lámpák → orvosi rendelők, vagy műtők fertőtlenítése. UV → alkalmazzák élelmiszerek baktériummentesítésére is. A kemény UV (λ < 200 nm) fényforrás → litográfia → processzorgyártásban.
A Poynting-vektor
E x(z,t) = E0 cos(ωt − kz + ϕ )
B y(z,t) = B0 cos(ωt − kz + ϕ )
x
z y
r r r S = E×H
Hullám terjedési iránya → Poynting-vektor:
r B 1 S = EH = E = Eo Bo cos 2 (ωt − kz )
µo
r S =S=
µo
εo 2 2 Eo cos (ωt − kz ) µo
1 Eo = Bo c
S = átlagolás
1 εo 2 Eo 2 µo
Az EMH intenzitása 1 2
εE = εoE2 Beeső energia:
Felületre merőlegesen beeső síkhullám:
1 1 2 εB = B 2 µ0
∆W = u Ac∆t
∆W intenzitás = = uc A∆t
u = εE + εB = εoE = 2
emh
A
A cΔt
1
µo
B 2 = ε o Eo2 cos 2 (ωt − kz )
1 2 1 1 2 u = εE + εB = εoE = B 2 2 µo S =c u
Láttuk:
S =
intenzitás = 〈 S 〉
1 εo 2 Eo 2 µo
A napsugárzás intenzitása, napenergia A Föld légkörét elérő napsugárzás : ≈ 1350 W/m2 A légkörben elnyelődik
: ≈ 250 W/m2
A világűrbe reflektálódik
: ≈ 100 W/m
2
= 1000•(Föld energiaszükéglete)
Földfelszínre jutó átlagos sugárzás : ≈ 1000 W/m2 Magyarországon: Téli hónapokban
: ≈ 250 - 600 W/m2
Nyári hónapokban
: ≈ 600 - 1000 W/m2
Napsütéses órák száma (Bp)
: ≈ 2057 óra
M.o. teljes energiafelhasználása: ≈ 1017 J Összehasonlítás: ???
Az e.m. síkhullám impulzusa I. Kérdés: van-e a hullámnak impulzusa?
r r E = E ( z , t )i r r B = B( z , t ) j
FE = qE = bvd
vd =
qE b q2E q2E 2 FL = qvd B = B= b bc
Az e.m. síkhullám impulzusa II. FE = qE = bvd
qE vd = b
q2E q2E 2 FL = qvd B = B= b bc
dW qE q 2 E 2 = FE vd = qE = dt b b
∫ ...dt
dW = cFL dt dW dp =c dt dt
W = cp Az emh impulzussűrűsége: p =
u S = 2 c c
Az e.m. síkhullám impulzusa III. dW = cFL dt Fénynyomás:
???
FL = PA
dW =P cAdt
dW = cPA dt
1 1 P = I (int .) = S átl . = u c c
Fénynyomás → példák:
Napfény-vitorlás
R = 100 %
1 1 P = 2 I (int .) = 2 S átl . = 2u c c
