Modelování rizika úmrtnosti

5. mezinárodní konference Řízení a modelování finančních rizik VŠB-TU Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra Financí

Ostrava 8. - 9. září 2010

Modelování rizika úmrtnosti Ingrid Petrová 1

Abstrakt V příspěvku je řešena problematika modelování rizika úmrtnosti. Vzhledem ke zřejmým změnám v oblasti demografického složení obyvatelstva je pro pojišťovny potřebná znalost vývoje míry úmrtnosti vzhledem k povinnosti plnit závazky vyplývající z uzavřených smluv. Velmi užitečným, dlouhodobě oblíbeným a stále používaným přístupem pro modelování míry úmrtnosti je Lee-Carterův model. Pomocí tohoto modelu budou odhadnuty parametry na základě dat z úmrtnostních tabulek pro Českou republiku. Klíčová slova Riziko úmrtnosti, Lee-Carterův model, míra úmrtnosti.

1. Úvod Míra úmrtnosti má důležitý vliv na oceňování a tvorbu rezerv produktů uzavřených mezi pojistníky a životními pojišťovnami či penzijními fondy. Systematická odchylka od předpokládáné míry úmrtnosti může představovat jisté ohrožení finanční stability. Proto je významné věnovat pozornost modelům, které umožňují zachytit systematickou odchylku od daných trendů v míře úmrtnosti. V současné době jsou před deterministickými modely při předpovídání míry úmrtnosti preferovány stochastické modely. Již v 90. letech minulého století byly publikovány práce týkající se modelování úmrtnosti pomocí stochastických modelů. Mezi nejznámější a stále používaný model patří Lee-Carterův model, jenž byl poprvé publikován v roce 1992 (Lee a Carter, 1992). Lee-Carterův model byl původně aplikován na data USA pro roky 1933 – 1987. Dále byl tento model úspěšně aplikován pro dlouhodobé předpovídání míry úmrtnosti v mnoha zemích pro různá časová období, např. Kanada (Lee a Nault, 1993), Chile (Lee a Rofman, 1994) či Japonsko (Wilmoth, 1996). Co se týče určování solventnosti pojišťoven dle nové regulatorní směrnice, tak např. Hanewald a kol. (2010) prokázali, že nedílnou součástí interních modelů životních pojišťoven by mělo být zohlednění interakce mezi mírou úmrtnosti a makroekonomickými údaji. Cílem příspěvku je na základě dat z úmrtnostních tabulek za období 1920 – 2009 odhadnout parametry Lee-Carterova modelu v České republice. Struktura příspěvku je následující. V první kapitole budou uvedena specifika rizika životního pojištění. Dále bude objasněn Lee-Carterův přístup, který je stále využíván pro modelování míry úmrtnosti. V aplikační části budou nejprve popsána data a poté bude proveden odhad parametrů dle tohoto modelu. Následně bude zobrazeno pravděpodobnostní rozdělení náhodné složky modelu.

1

Ing. Ingrid Petrová, Vysoká škola báňská – Technická univerzita Ostrava, Ekonomická fakulta, katedra financí, Sokolská třída 33, Ostrava 1, [email protected]. Tento příspěvek vznikl v rámci projektu Grantové agentury České republiky (GAČR) 402/08/1237 a projektu SGS VŠB – TUO SP/20104.



2. Riziko životního pojištění Riziko lze obecně definovat jako uřčitou pravděpodobnost vzniku nahodilé události. Důkladný systém řízení rizik je nedílnou součastí jak finančních, tak nefinančních institucí. Důležitou činností risk managementu je identifikace rizik, kterým mohou být instituce v rámci předmětu činnosti vystaveny. Jisté riziko životního pojištění vyplývá z podepsání smlouvy, kterou se pojišťovna zavazuje vyplácet či vyplatit určitou částku v budoucnosti. Finanční výkonnost životních pojišťoven je závisla na výskytu možné odchylky od předpokládané míry úmrtnosti, v době, kdy byly uzavřeny pojistné smlouvy. Významným aspektem řízení rizik životních poštoven jsou právě náhodné odchylky od předpokládané míry úmrtnosti. Právě změna trendu v míře úmrtnosti směrem k prodlužování délky života představuje pro pojistitele riziko, označované jako riziko dlouhokověkosti. Životní pojištění představuje tedy typ pojištění, které je spojeno jak s úmrtím, tak dlouhověkostí pojištěných osob Mezi tradiční produkty životního pojištění se řadí pojištění pro případ dožití, na vymezenou dobu, doživotní důchod apod. Mezi moderní produkty životního pojištění patří investiční pojištění Dle nové regulatorní směrnice Solvency II by pojišťovny v rámci standardního přístupu při určování solventnostního kapitálového požadavku pro životní upisovací riziko měly brát v úvahu právě také kapitálový požadavek pro riziko dlouhověkosti. Dále je nutné dle nové směrnice zahrnout do solventnostního kapitálového požadavku rizika úmrtnosti, invalidity, pochybení a katastrofické riziko. Životní riziko lze definovat jako riziko snížení hodnoty vlivem neočekáváné úmrtnosti nebo vlivem změny v očekávané úmrtnosti. Životní riziko je obecně rozděleno do třech složek, a to riziko volatility, které vyplývá z neočekávaných výkyvů v míře úmrtnosti, dále riziko změny odhadnutého vývoje očekávané úmrtnosti a riziko katastrofy plynoucí například z epidemií, což má zda následek vysokou míru úmrtnosti. Výpočet ekonomického kapitálu pro životní riziko je založen na tržním ocenění produktů životního pojištění. Tržní hodnota je stanovena jako čistá současná hodnota budoucích peněžních toků, které jsou diskontovány bezrizikovou sazbou. Je nutné zjistit, kolik bude třeba kapitálu, aby bylo pokryto zvýšení tržního hodnoty pojistných závazků. Jsou tedy počítány reálné hodnoty pro dva předpoklady vývoje úmrtnosti, nejprve pro očekávánou míru úmrtnosti, což představuje tzv. nejlepší odhad tržní hodnoty, poté pro extrémní míry úmrtnosti, což udává nejhorší případ reálné hodnoty. Rozdíl mezi nejhorším a nejlepší odhadem představuje hodnotu ekonomického kapitálu. Jak již bylo uvedeno výše, životní pojištění v sobě zahrnuje pokrytí rizika úmrtnosti a dlouhověkosti. Riziko úmrtnosti lze obecně definovat jako odchylku od očekáváné míry úmrtnosti, pro jejíž zachycení lze využít tabulky úmrtnosti. Předpovídání míry úmrtnosti je objektem zájmu institucích pohybujících se v systému sociálního pojištění. Je tedy důležité vhodně předpovídát a kvantifikovat dopady demografických změn na tento systém Pro předvídání míry úmrtnosti existují jak deterministické přístupy, tak stochastické modely. Jedním ze stochastických modelů, který byl úspěšně aplikován v několika zemích je právě Lee-Carterův model.

3. Lee-Carterův model Lee-Carterův model (1992) je definován rovnicí pro určení logaritmu střední míry úmrtnosti ve věku x v daném roce t, a to ln (m xt ) = a x + b x k t + ε xt , t = 1,2,...T , x = 1,2,..n. (1)



kde parametr a x představuje průměrnou úmrtnost pro určitý věkový profil, k t je index úmrtnosti v čase, který udává obecnou úroveň úmrtnosti parametr bx vyjadřuje stav, jak se mění míra úmrtnosti v daném věku x, když se mění index úmrtnosti a ε xt je reziduum. Parametr a x je vyjádřen jako průměr logaritmů střední míry úmrtnosti za celkové období

1 T (2) ∑ ln(m xt ) . T t =1 Pro odhad parametrů modelu lze využít např. metodu nejmenších čtverců či metodu maximální věrohodnosti. Nicméně v Koissi a kol. (2005) bylo dokázáno na datech severských zemí, že nejlepší možností pro odhad indexu úmrtnosti je singulární rozklad. Pro odhad parametrů bx a k t bude tedy v rámci Lee-Carterova modelu použit singulární rozklad – Singular Value Decomposition (SVD) pro matici Z x ,t = ln (m x ,t ) − aˆ x = bx k t . (3) ax =

Aplikací singulárního rozkladu na matici Z x ,t získáme tři matice SVD (Z x ,t ) = ULV ´= L1U x1Vt1 + ... + L X U xX V xT , (4) kde matice U představuje věkový komponent, matice L je diagonální matice singulárních hodnot a matice V reprezentuje časový komponent. Parametr bˆx je odvozen od prvního vektoru matice vztahující se k věkovému komponentu, bˆx = U x1 a parametr kˆt je stanoven jako součin prvního vektoru matice týkající se časového komponentu a první singulární hodnoty, kˆt = L1Vt1 . Při analýze reziduí, tedy chyby modelu, vycházíme z (1), tedy ε = ln (m xt ) − aˆ x − bˆx kˆt . Suma čtverců reziduí označuje míru nesouladu mezi danými údaji a odhadem modelu. Čím menší je hodnota, tím lepší je odhadu modelu.

4. Aplikační část Tato část bude nejprve věnována popisu dat úmrtnosti a poté bude proveden odhad parametrů pomocí Lee-Carterova modelu.

4.1 Data Pro účely tohoto příspěvku budou využita data dostupná na webových stránkách Českého statistického úřadu2, a to podrobné úmrtností tabulky pro muže, tj s jednoletým věkovým intervalem pro obdboí 1920 – 2009. V letech 1938 – 1944 došlo k přerušení časové řady. Podrobné úmrtnostní tabulky obsahují ukazatele, jako jsou pravděpodobnost úmrtí, pravděpodobnost dožití, tabulkový počet dožívajících, tabulkový počet zemřelých, tabulkový počet žijících a střední délka dožití neboli naděje dožití. 4.2 Odhad parametrů dle Lee-Carterova modelu Lee-Carterův model bude aplikován pro odhad týkající se celého období tedy 1920 – 2009 pro věk 0 – 103. Aby mohl být proveden odhad parametrů, je v první řadě nutné z dostupných dat určit střední míru úmrtnosti m x ,t v daném věku x a v roce t pomocí vztahu pro výpočet pravděpodobnosti úmrtí q x ,t = 1 − e − mxt . (5) 2

Dostupné z http://www.czso.cz.



Po zjištění střední míry úmrtnosti m x ,t pro daný věk x a rok t, lze již dle vztahu (2) jednoduše určit parametr aˆ x . V Obr. č. 1 je zobrazen vývoj parametru aˆ x . Tento parametr vyjadřuje obecnou vlastnost úmrtnosti v daném věku. Z obrázku je patrný obecně rostoucí trend úmrtnosti můžů s tím, že pro nižší věkové kategorie je zřejmá nízká úmrtnost a s rostoucím věkem roste úmrtnost. Obr. č. 1: Odhad parametru ax 0  1  2

ax

 3  4  5  6  7

0

20

40

60

80

100

Věk

Nyní budou odhadnuty parametry bˆx a kˆt , přičemž je v první řadě nutné určit matici Z x ,t , která bude pomocí metody SVD rozložena na tři matice. V příloze 1 jsou uvedeny hodnoty odhadnutých parametrů aˆ x a bˆx pro jednotlivé věkové kategorie. Na základě těchto hodnot, lze určit pro rok 2009 hodnoty logaritmu střední míry úmrtnosti pro muže ve věku 25, 50, 75 a 100 let takto: ln (m x ,t ) = {− 7,2564; − 5,01109;−2,6303;−0,38208}. V Obr. č. 2 a 3 je zobrazen vývoj odhadnutých parametrů. Obr. č. 2: Odhad parametru

bˆx

Obr. č. 3: Odhad parametru kˆt 10

0.25

5

0.15

kt

bx

0.20

0

0.10 0.05

 5

0.00 0

20

40

60 Věk

80

100

1920

1940

1960

1980

2000

Rok

Parametr bˆx vyjadřuje tendenci úmrtnosti v daném věku, která by se měla měnit jako obecná míra úmrtnosti. To znamená, že pokud je parametr bˆx vyšší pro daný věk x, je změna míry úmrtnosti pro tentýž věk x více odlišná od obecné míry úmrtnosti a naopak. Index úmrtnosti kˆt zachycuje trend míry úmrtnosti v čase. Suma čtverců reziduí pro jednotlivé roky narození a pro vývoj v čase jsou zobrazena v Obr. č. 4 a 5.



Obr. č. 4 a 5: Součet čtverců reziduí

2.5

4

2.0





3

1.5

2

1.0

1

0

20

40

60

80

Věk

100

1920

1940

1960

1980

2000

Rok

Pomocí histogramů bude zobrazeno rozdělení náhodné složky modelu, viz Obr. č. 6 a 7. Z obrázků, kdy na ose x je hodnota reziduí a ose y jsou četnosti těchto hodnot, je patrný zešikmený tvar rozdělení reziduí, který signalizuje nenormalitu dat. Z analýzy reziduí pro věk je patrné, že největší odchylky jsou pro krajní věkové kategorie. Co se týká analýzy reziduí pro jednotlivé roky, v poválečném období se ukazuje, že rezidua mají větší volatilitu. Obr. č. 6: Histogram reziduí dle věku

Obr. č. 7: Histogram reziduí pro jednotlivé roky

Závěr Cílem příspěvku bylo na základě dat z úmrtnostních tabulek za období 1920 – 2009 odhadnout parametry Lee-Carterova modelu v České republice. Pomocí Lee-Carterova modelu jsme se pokusili identifikovat běžný trend míry úmrtnosti v České republice na základě historických dat. Parametry modelu byly odhadnuty pomocí metody Singular Value Decomposition, jenž je původním přístupem používaným při odhadu parametrů modelu. Na závěr byla provedena analýza reziduí jak pro věk, tak pro jednotlivé roky, včetně zobrazení rozložení náhodné složky modelu.

Literatura [1]

CAIRNS, A. J. G, BLAKE, D., DOWD, K.: Modelling and Management of Mortality Risk: A Review. Discussion paper Pension institute. 2008.

[2]

CRUZ, M.: The Solvency II Handbook. Risk Books, a Division of Incisive Financial Publishing Ltd. 2009.



[3]

DOFF, R.: Risk Management for Insurers: Risk Control, Economic Capital and Solvency II. Risk Books, a Division of Incisive Financial Publishing Ltd. 2007.

[4]

HANEWALD, K., POST, T., GRÜNDL, H.: Stochastic Mortality, Macroeconomic Risks, and Life Insurer Solvency. Netspar. Discussion Paper. 2010.

[5]

GIROSI, F., KING, G.: Understanding the Lee-Carter Mortality Forecasting Method.Working paper, Harvard University. 2007.

[6]

KOISSI, M. C., SHAPIRO, A., HÖGNÄS, G.: Fitting and Forecasting Mortality Rates for Nordic Countries Using the Lee-Carter method. Actuarial Research Clearing House, 1, 21 pp. 2005.

[7]

LEE, R. D, CARTER, L. R.: Modeling and Forecasting U. S. Mortality. Journal of the American Statistical Association. Vol. 87, No. 419. pp. 659-671. 1992.

[8]

LEE, R.: The Lee-Carter Method for Forecasting Mortality, with Various Extensions and Applications. North American Actuarial Journal. 2000.

[9]

WANG, J. Z.: Fitting and Forecasting Mortality for Sweden: Applying the Lee-Carter model. Mathematical Statistics, Stockholm University. 2007.

Summary Mortality risk modelling The arcticle deals with mortality risk modelling. Considering the evident changes in demographics, it is necessary to know development of mortality rate because of duties to meet the liabilities from contract between an insurance company and a policyholder. Lee-Carter model is very useful, for a long-time popular and still used approach for mortality risk modelling. The theoretical part is devoted to description of life insurance risk and Lee-Carter model. In the practical part we apply the Lee-Carter model for estimating parameters for the period 1920 – 2009 in the Czech republic. Příloha Věk

aˆ x

bˆx

Věk

aˆ x

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

-3.6311 -6.19394 -6.80196 -7.02475 -7.27625 -7.29706 -7.36992 -7.42008 -7.452 -7.52167 -7.57109 -7.60859 -7.59433 -7.5202 -7.3642

0.238815 0.26924 0.24589 0.224532 0.206073 0.208508 0.205938 0.196648 0.186338 0.182072 0.175247 0.172131 0.165123 0.159317 0.152349

34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48

-6.03714 -5.97754 -5.90831 -5.83632 -5.75384 -5.67522 -5.59243 -5.50502 -5.41573 -5.33086 -5.24089 -5.14902 -5.05765 -4.96297 -4.86456

bˆx 0.101806 0.0987714 0.0941974 0.0890299 0.0846221 0.0810964 0.0781855 0.0747352 0.0701953 0.0669883 0.06279 0.0584212 0.0550262 0.0508037 0.0470591

Věk

aˆ x

bˆx

69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83

-2.97102 -2.88486 -2.79659 -2.70818 -2.62158 -2.53467 -2.44691 -2.35907 -2.26897 -2.17867 -2.09043 -2.00069 -1.91027 -1.81963 -1.72991

0.0196751 0.0200247 0.0207772 0.0216274 0.0220787 0.0224406 0.0224345 0.0224645 0.0223452 0.0223109 0.0222004 0.0219635 0.0220326 0.0221153 0.0223064


15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34

-7.15161 -6.85255 -6.62004 -6.45861 -6.36178 -6.31749 -6.30426 -6.27658 -6.27112 -6.28406 -6.29999 -6.30869 -6.30772 -6.28395 -6.25588 -6.22425 -6.18542 -6.13835 -6.09247 -6.03714

0.148308 0.133351 0.124427 0.120138 0.11906 0.120047 0.122144 0.120164 0.119127 0.118359 0.116934 0.116643 0.115996 0.115404 0.114127 0.111696 0.108369 0.105574 0.103781 0.101806

49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68

-4.76732 -4.67421 -4.57754 -4.48601 -4.39211 -4.29929 -4.21072 -4.12237 -4.03011 -3.93517 -3.84009 -3.74923 -3.6619 -3.5762 -3.48881 -3.40134 -3.3154 -3.22988 -3.14365 -3.05677

Tab. č. 1: Hodnoty odhadnutých parametrů modelu

0.0443579 0.0411897 0.038728 0.0362203 0.0333725 0.0312836 0.0292611 0.0270487 0.0257939 0.0247975 0.0234791 0.0221419 0.0207548 0.0195908 0.0194779 0.0199361 0.020232 0.020211 0.0197291 0.0199124


84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 102

-1.64077 -1.55237 -1.46286 -1.37127 -1.28129 -1.19092 -1.10057 -1.01025 -0.91988 -0.82948 -0.73904 -0.64858 -0.55808 -0.46757 -0.37704 -0.28649 -0.19592 -0.10534 -0.01475 -0.01475

0.0223114 0.022544 0.0223365 0.022393 0.022518 0.0225339 0.0225473 0.0225718 0.0225949 0.0226166 0.0226371 0.0226568 0.0226757 0.022694 0.0227117 0.0227291 0.0227461 0.0227629 0.02278 0.02278

Modelování rizika úmrtnosti

Recommend Documents