Model Transportasi
1
Model ini berawal dari tahun 1941 ketika F.L. Hitchkok mengetengahkan studi yang berjudul “The Distribution of a Product from Several Sources to Numerous Localities” Tahun 1947, T.C.Koopmans menyajikan studi berjudul “Optimum Utilization of The Transportation System”
Model Transportasi: Suatu model yang berhubungan dengan distribusi suatu barang tertentu dari sejumlah sumber (sources) ke berbagai tujuan (destinations). Setiap sumber mempunyai sejumlah barang untuk ditawarkan (penawaran) dan setiap destinasi mempunyai permintaan terhadap barang tersebut. Terdapat biaya transportasi per unit barang dari setiap rute (dari sumber ke destinasi). Asumsi : Biaya transportasi pd suatu rute tertentu proporsional dengan banyak barang yang dikirim Model tidak melampaui kapasitas sumber-sumber Memenuhi permintaan tujuan-tujuan
LP Formulation: Let: Xad – Amount to be shipped from D to A Xcf – Amount to be shipped from F to C (9 Variables)
Objective Function:
Min: Z = 5Xad + 4Xbd + 3Xcd + 8Xae + 4Xbe + 3Xce + 9Xaf + 7Xbf + 5Xcf
Sub. To: Xad + Xbd + Xcd ≤ 100 Xae + Xbe + Xce ≤ 300 Xaf + Xbf + Xcf ≤ 300
Xad + Xae + Xaf ≥ 300 Xbd + Xbe + Xbf ≥ 200 Xcd + Xce + Xcf ≥ 200 (All Xij ≥ 0)
(Supply Constraints)
(Demand Constraints)
1. Balancing Table: Make ∑di = ∑Si › add a "Dummy" source when ∑ di > ∑ Si , or › add a "Dummy" destination when ∑ Si > ∑di. 2. Finding an initial solution: (several methods) › Upper-Left Corner (Northwest) Method › Least-Cost (Large-Profit) Method › VAM Method 3. Testing Optimality: (Can current solution be improved?) › Stepping-stone Procedure › Modified-Distribution Method 4. Improving current solution toward a better solution (Stepping-Stone method).
Contoh persoalan Model Transportasi: Suatu perusahaan tekstil mempunyai tiga gudang di tiga tempat yang berbeda, yaitu P1, P2 dan P3 dengan kepasitas masingmasing 60, 80 dan 70 ton per bulan. Produk kain yang dihasilkan dikirim ketiga lokasi penjualan, yaitu G1, G2 dan G3 dengan permintaan penjualan masing-masing 50, 100 dan 60. Ongkos angkut (Rp. 000 per ton kain) dari masing-masing pabrik ke lokasi penjualan adalah sbb: G1
G2
G3
P1
5
10
10
P2
15
20
15
P3
5
10
20
Bagaimana cara perusahaan mengalokasikan pengiriman kain dari ketiga pabrik ke tiga lokasi penjualan agar biaya pengiriman minimum?
Representasi Dalam Bentuk Jaringan
Gudang
Toko
Kapasitas
Permintaan 5
60
P1
10
G1
50
G2
100
G3
60
10 15
80
20
P2 15 5
70
P3
10 20
Representasi Dalam Bentuk Model LP Fungsi Tujuan: minimum Z = 5 X11+ 10 X12 + 10 X13 + 15 X21 + … + 10 X32 + 20 X33 Dengan kendala: 1. Kapasitas gudang: X11 + X12 + X13 60 X21 + X22 + X23 80 X31 + X32 + X33 70 2. Permintaan:
3. Non-negativity
X11 + X21 + X31 = 50 X12 + X22 + X32 = 100 X13 + X23 + X33 = 60 Xij 0, untuk i = 1, 2, 3 dan j = 1, 2, 3.
Dimana Xij adalah jumlah kain yang dikirim dari pabrik i ke lokasi penjualan j
Representasi Dalam Bentuk Tabel Transportasi
G1
G2 5
G3 10
Supply 10
P1
60 15
20
15
P2
80 5
10
20
P3 Demand
70 50
100
60
210
INITIAL SOLUTION 1. Northwest Corner G1
G2 5
P1
50
10
Supply 10
60
10 15
P2
20
15
80
80 5
P3
Demand
G3
50
10
20
10
60
70
100
60
210
Solusi: 50x5 + 10x10 + 80x20 + 10x10 + 60x20 = 3250
INITIAL SOLUTION 2. Least Cost: Minimum row / column / matrix Prinsip:
mendistribusikan barang sebanyak-banyaknya, sesuai dengan penawaran dan permintaan, pada rute dengan biaya terendah pada baris / kolom / matriks.
G1
G2
G3
Supply
P1
5
10
10
60
P2
15
20
15
80
P3
5
10
20
70
Demand
50
100
60
210
Solusi menggunakan metoda Least Cost:
Minimum matriks G1
G2 5
P1 50
10
10
60
20
15
80
20
70
20 5
P3
Supply
10 15
P2
G3
60 10
70 Demand
50
100
60
210
Solusi : 50x5 + 10x10 + 20x20 + 70x10 + 60x15 = 2350
INITIAL SOLUTION 3. Vogel Aproximation Method (VAM)
Prinsip: Meminimumkan penalty (opportunity cost) karena tidak menggunakan jaringan termurah. Opportunity cost dihitung dari selisih 2 biaya terkecil pada setiap baris dan kolom. Pilih baris/kolom yang memiliki opportunity cost terbesar, alokasikan sebanyak mungkin ke sel dengan biaya termurah, sesuai dengan supply dan demand.
Contoh: Lihat tabel awal transportasi sebagai berikut. I
II
III
Supply
Penalty
A
8
5
6
120
1
B
15
10
12
80
3
C
3
9
10
80
6
Demand Penalty
150
70 5
60 4
280 4
Vogel Aproximation Method (VAM) Langkah 2: Demand I dipenuhi sebagian dari C sebanyak 80 unit, kapasitas C habis, dan baris C dihilangkan. Penalty dihitung kembali berdasarkan matriks 2 x 3 (AI - AII - AIII - BI - BII - BIII) I
II
III
Supply Penalty
8
A
5
15
B
10
3
C
6
Penalty
150
1
80
3
12
9
10
80 Demand
120
80 70 7
70
60 5
280 6 19
Vogel Aproximation Method (VAM) Langkah 3: Demand I dipenuhi lagi dari A sebanyak 70 unit, terpenuhi semua, dan kolom I dihilangkan. Penalty dihitung kembali dari matriks 2 x 2 (AII - AIII - BII - BIII). I
II
III
Supply Penalty
8
A
5
6
70
120 50 15
B
10
12
80 3
C
9
10
80 Demand
Penalty
150
80 70
60 5
1
280 6
2
Vogel Aproximation Method (VAM) Langkah 4: Demand III dipenuhi dari sisa A sebanyak 50 unit. Dengan demikian otomatis kekurangan demand III 10 unit dipenuhi dari B dan demand II dipenuhi 70 unit dari B. Semua demand terpenuhi sehingga diperoleh solusi awal. I
II
III
Supply Penalty
8
A
5
70
50 15
B
10
70 3
C
6
120 50 12
10 9
80 10
80 Demand Penalty
150
80 70
70
60 5
1
280 6
2
Vogel Aproximation Method (VAM) Pada Langkah semua demand terpenuhi sehingga diperoleh solusi awal sebagai berikut: AI = 70 AIII = 50 BII = 70 BIII = 10 CI = 80 Nilai fungsi tujuan : 70x8 + 50x6 + 70x10 + 80x3 = 1.800 Solusi yang diperoleh diatas, masih merupakan solusi awal. Akan tetapi dibandingkan dengan metode yang lain, metode ini lebih baik dan mendekati kondisi optimal
