MODEL STATE SPACE UNTUK DATA DERET WAKTU PEUBAH TUNGGAL MUTIA RAMADHANTI HAFLIL

MODEL STATE SPACE UNTUK DATA DERET WAKTU PEUBAH TUNGGAL

MUTIA RAMADHANTI HAFLIL

DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

ABSTRAK MUTIA RAMADHANTI HAFLIL. Model State Space untuk Data Deret Waktu Peubah Tunggal. Dibimbing oleh KUSMAN SADIK dan FARIT MOCHAMAD AFENDI. Deret waktu adalah rangkaian data yang diukur berdasarkan waktu dengan interval yang sama. Dasar pemikiran deret waktu adalah pengamatan sekarang tergantung pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya. Dengan kata lain, model deret waktu dibuat karena ada korelasi antarderet pengamatan. Analisis data deret waktu pada dasarnya digunakan untuk melakukan analisis data yang mempertimbangkan pengaruh waktu. Analisis data deret waktu dibagi menjadi dua, yaitu analisis data deret waktu peubah tunggal dan analisis data deret waktu peubah ganda. Metode yang dapat digunakan untuk analisis data deret waktu peubah tunggal maupun peubah ganda adalah model State Space. Tahapan yang dilakukan adalah menduga model-model autoregressive dan menghitung nilai AIC tiap model. Model AR yang terpilih (dengan nilai AIC terkecil) digunakan dalam analisis korelasi kanonik. Unsur pada state vector disusun dari variabel dengan korelasi kanonik yang nyata. Jika state vector telah ditentukan, maka model State Space dapat diterapkan pada data tersebut. Parameter-parameter dalam model State Space diduga dengan pendekatan maximum likelihood dengan proses iterasi. Model State Space mempunyai penyajian dalam bentuk ARMA dan juga sebaliknya setiap model ARMA mempunyai penyajian dalam bentuk State Space. Pada model AR (2), model MA (1), dan model ARMA (2,1) proses iterasi dilakukan sebanyak tujuh, delapan, dan lima kali. Model State Space yang diperoleh dari hasil iterasi tersebut dapat digunakan untuk peramalan. Peramalan pada model State Space menggunakan teknik Kalman filter.

MODEL STATE SPACE UNTUK DATA DERET WAKTU PEUBAH TUNGGAL

MUTIA RAMADHANTI HAFLIL

Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Statistika

DEPARTEMEN STATISTIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2008

Judul : Model State Space untuk Data Deret Waktu Peubah Tunggal Nama : Mutia Ramadhanti Haflil NRP : G14103044

Menyetujui :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Kusman Sadik, M.Si NIP. 13218751

Farit Mochamad Afendi, M.Si NIP. 132314007

Mengetahui : Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor

Dr. Drh. Hasim, DEA NIP. 131578806

Tanggal Lulus :

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Shalawat serta salam semoga selalu tercurahkan kepada Rasulullah SAW, keluarga, sahabat dan pengikutnya hingga akhir zaman. Judul yang dipilih dalam penelitian ini adalah Model State Space untuk Data Deret Waktu Peubah Tunggal. Terima kasih penulis ucapkan kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian karya ilmiah ini, diantaranya : 1. Bapak Kusman Sadik, M.Si dan Bapak Farit Mochamad Afendi, M.Si selaku dosen pembimbing atas bimbingan, saran dan kritik yang telah diberikan. 2. Kedua orang tua serta abangku Dhani Aulia Haflil atas doa, kasih sayang, serta dukungan yang telah diberikan kepada penulis. 3. Segenap staf pengajar di Departemen Statistika FMIPA IPB atas ilmu yang bermanfaat sehingga membantu penulis dalam menyelesaikan karya ilmiah ini, serta kepada seluruh staf Departemen Statistika (Bu Markonah, Bu Sulis, Bu Dedeh, Bu Aat, Pak Yaya, Mang Sudin, Mang Herman, Mang Dur) atas segala bantuannya. 4. Bapak Ir. Budi Waryanto, M.Si, Ibu Ir. Sabarella, M.Si, dan seluruh staf Pusat Data dan Informasi Pertanian (Pusdatin) Departemen Pertanian atas bimbingan dan kerjasama selama praktik lapang, serta teman-teman baru di tempat PL (Dede, Santi, Rini, Rina, Yosy, Dennis, Ade, Jefry) atas kebersamaan selama dua bulan penuh, semoga kita dapat bertemu kembali. 5. Teman satu bimbingan, Ipunk, atas diskusi dan masukannya selama proses pengerjaan karya ilmiah ini. 6. Lintang, Ash, Memei, Esi, Indri, Suci atas persahabatan yang indah selama ini. 7. Ema, Ari L, Anggoro, Adit, Rosit, Dian, Lala, Arta, Rani, Rina, Edo, Arief, Yudi, Rio, Dwi dan rekan-rekan Statistika 40 lainnya (sahabat-sahabat terbaikku adalah kalian semua). 8. Kakak-kakak kelas dan adik-adik kelas Statistika. 9. Teman-teman A2 254 (Hera, Tia, Yuyun), Puri 9, Pondok Mentari (Kak Nely, Kak Pur, Indri, Lusy, Renta) dan Fahmeda (Kiki, Aslih, Ade, Anum, Uul) atas kebersamaan dan keceriaan selama penulis menghuni rumah kedua di Darmaga. 10. Semua pihak yang telah membantu dan memberikan dukungan kepada penulis yang tidak bisa disebutkan satu persatu sehingga karya ilmiah ini dapat diselesaikan. Penulis berharap semoga karya ilmiah ini dapat bermanfaat bagi semua pihak.

Bogor, Januari 2008kk

Mutia Ramadhanti Haflil

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 29 Mei 1985 dari pasangan Yudhawarman dan Johainil Fitri. Penulis merupakan anak bungsu dari dua bersaudara. Tahun 1997 penulis menyelesaikan pendidikan dasar di SDN Cipinang Melayu 03 Pagi Jakarta Timur, kemudian melanjutkan studi ke sekolah menengah pertama di SLTPN 109 Jakarta Timur hingga tahun 2000. Tahun 2003 penulis menyelesaikan pendidikan menengah atas di SMUN 61 Jakarta Timur dan pada tahun yang sama diterima di Departemen Statistika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor melalui jalur Seleksi Penerimaan Mahasiswa Baru (SPMB). Semasa menjadi mahasiswa, penulis aktif diorganisasi kemahasiswaan tingkat departemen. Tahun 2004-2005 penulis menjadi Kepala Departemen Kesekretariatan himpunan profesi Gamma Sigma Beta (GSB). Praktik lapang dilakukan penulis di Pusat Data dan Informasi Pertanian (Pusdatin) Departemen Pertanian, Jakarta pada bulan Februari-April 2007.

vi

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR GAMBAR .................................................................................................................vii DAFTAR LAMPIRAN ..............................................................................................................viii PENDAHULUAN Latar Belakang ....................................................................................................................1 Tujuan .................................................................................................................................1 TINJAUAN PUSTAKA Data Deret Waktu ................................................................................................................1 Model Regresi Diri (Autoregressive) ...................................................................................1 Model Rataan Bergerak (Moving Average)..........................................................................1 Model ARMA (p,q)..............................................................................................................2 Model State Space................................................................................................................2 Hubungan antara ARMA dan State Space ...........................................................................2 Vector Autoregressive (VAR) ..............................................................................................2 Akaike Information Criterion...............................................................................................3 Analisis Korelasi Kanonik ...................................................................................................3 Pemilihan Komponen State vector.......................................................................................3 Pendugaan Parameter...........................................................................................................3 Kalman Filter.......................................................................................................................4 BAHAN DAN METODE Bahan ..................................................................................................................................4 Metode ................................................................................................................................4 HASIL DAN PEMBAHASAN Model AR (2) .......................................................................................................................5 Model MA (1) ......................................................................................................................6 Model ARMA (2,1)..............................................................................................................7 KESIMPULAN DAN SARAN Kesimpulan ..........................................................................................................................7 Saran ....................................................................................................................................8 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................................................8 LAMPIRAN................................................................................................................................9

vii

DAFTAR GAMBAR

Halaman Gambar 1

Diagram alur analisis State Space ......................................................................... 4

Gambar 2

Plot ACF pada data awal (AR 2) ........................................................................... 5

Gambar 3

Plot PACF pada data awal (AR 2)......................................................................... 5

Gambar 4

Plot Peramalan (AR 2)........................................................................................... 6

Gambar 5 Plot Aktual, model AR2, dan model State Space .................................................. 6 Gambar 6

Plot Peramalan (MA1)........................................................................................... 7

Gambar 7 Plot Aktual, model MA1, dan model State Space ................................................. 7 Gambar 8

Plot Peramalan (ARMA 2,1) ................................................................................. 7

Gambar 9 Plot Aktual, model ARMA2,1, dan model State Space......................................... 7

viii

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman 1. Hubungan antara ARMA dan State Space......................................................................... 10

Model AR (2) : Xt= -0.3Xt-1 + 0.4Xt-2+et 2. Penyeleksian Orde VAR Berdasarkan IC Terkecil............................................................ 12 3. Analisis Korelasi Kanonik................................................................................................. 12 4. Dugaan Awal Model State Space ...................................................................................... 12 5. Proses Iterasi Pendugaan Maksimum Likelihood.............................................................. 13 6. Model State-space yang disesuaikan (fitted) ..................................................................... 13

Model MA (1) : Xt= et - 0.8et-1 7. Penyeleksian Orde VAR Berdasarkan IC Terkecil............................................................ 14 8. Analisis Korelasi Kanonik................................................................................................. 14 9. Dugaan Awal Model State Space ...................................................................................... 14 10. Proses Iterasi Pendugaan Maksimum Likelihood.............................................................. 15 11. Model State Space yang disesuaikan (fitted) ..................................................................... 15

Model ARMA (2,1) : Xt= -0.3Xt-1 - 0.6Xt-2+et - 0.8et-1 12. Penyeleksian Orde VAR Berdasarkan IC Terkecil............................................................ 16 13. Analisis Korelasi Kanonik................................................................................................. 16 14. Dugaan Awal Model State Space ...................................................................................... 16 15. Proses Iterasi Pendugaan Maksimum Likelihood.............................................................. 17 16. Model State Space yang disesuaikan (fitted)..................................................................... 17

17. Nilai pendugaan parameter dan nilai AIC pada model AR 2 ............................................ 18 18. Nilai pendugaan parameter dan nilai AIC pada model MA 1............................................ 18 19. Nilai pendugaan parameter dan nilai AIC pada model ARMA 2,1 ................................... 18 20. Program SAS Model State Space ...................................................................................... 19

1

PENDAHULUAN

Model Regresi Diri (Autoregressive)

Latar Belakang

Menurut Montgomery, et. al., 1990, model regresi diri berordo p, yang disingkat AR (p) merupakan model yang menggambarkan bahwa peubah tak bebas dipengaruhi oleh peubah tak bebas itu sendiri pada waktuwaktu yang sebelumnya. Dengan kata lain menyatakan ketergantungan nilai pengamatan Xt terhadap Xt-1, Xt-2, ..., Xt-p. Secara umum bentuk model AR adalah:

Deret waktu adalah rangkaian data yang diukur berdasarkan waktu dengan interval yang sama. Dasar pemikiran deret waktu adalah pengamatan sekarang tergantung pada satu atau beberapa pengamatan sebelumnya. Dengan kata lain, model deret waktu dibuat karena ada korelasi antarderet pengamatan. Analisis data deret waktu pada dasarnya digunakan untuk melakukan analisis data yang mempertimbangkan pengaruh waktu. Analisis data deret waktu dibagi menjadi dua, yaitu analisis data deret waktu peubah tunggal dan analisis data deret waktu peubah ganda. Metode untuk analisis data deret waktu peubah tunggal antara lain Metode Dekomposisi, Pemulusan Eksponensial Tunggal, Pemulusan Eksponensial Ganda, Winter, dan ARIMA. Metode untuk analisis data deret waktu peubah ganda antara lain model Fungsi Transfer, Analisis Intervensi, Analisis Fourier, Analisis Spectral, dan Vector Autoregressive (VAR). Sedangkan metode yang dapat digunakan untuk analisis data deret waktu peubah tunggal maupun peubah ganda adalah model State Space (Wei 1989). Oleh karena model State Space merupakan metode baru pada analisis data deret waktu, maka pada penelitian ini akan dibahas lebih lanjut mengenai model State Space untuk data deret waktu peubah tunggal. Tujuan Penelitian ini bertujuan untuk memodelkan data deret waktu, melihat hubungan antara ARMA dan State Space, dan melakukan peramalan dengan menggunakan model State Space.

TINJAUAN PUSTAKA

φP (B) Xt = μ + et dimana:

φ p ( B) = (1 − φ1B1 − φ 2 B 2 − ... − φ p B p ) X t : nilai pengamatan pada waktu ke-t µ : konstanta φ p : parameter model AR et : sisaan pada waktu ke-t

Syarat kestasioneran pada model AR (p) dapat menggunakan polinomial karakteristik AR yaitu equivalen dengan persamaan karakteristik AR: 1 − φ1x − φ2 x 2 − ... − φ p x p = 0 AR (p) akan stasioner jika dan hanya jika akar-akar persamaan dari persamaan di atas secara absolut lebih besar dari satu. Model Rataan Bergerak (Moving Average) Menurut Montgomery, et. al., 1990, perbedaan model Moving Average (MA) dengan model Autoregressive terletak pada jenis peubah bebasnya. Pada model MA peubah bebasnya adalah nilai sisaan pada periode sebelumnya, atau dengan kata lain proses MA menyatakan ketergantungan nilai Xt terhadap et,et-1,…, et-q. Dari proses linier umum dapat diambil Ψq = −θ q , sehingga secara umum bentuk model MA adalah:

Data Deret Waktu Data deret waktu merupakan data yang dikumpulkan dari beberapa tahapan waktu secara kronologis. Umumnya data ini merupakan kumpulan dari fenomena tertentu yang didapat dalam interval tertentu, misalnya dalam waktu mingguan, bulanan, atau tahunan (Montgomery, et. al., 1990).

dimana:

Xt = µ + θq(B) et

θq(B) = (1-θ1B1- θ2B2-...- θqBq) µ : konstanta θq : parameter model MA et : galat acak ke-t Model rataan bergerak derajat q ini dilambangkan dengan MA (q).

2

Model ARMA (p,q) Menurut Montgomery, et. al., 1990, model ARMA (p,q) merupakan campuran model Autoregressive (AR) dan model Moving Average (MA). Untuk data yang stasioner kombinasi model AR dan MA menghasilkan model ARMA (p,q). Model ARMA (p,q) ini dapat ditulis dalam bentuk umum: φ p ( B) X t = μ + θ q ( B)et dimana: µ : konstanta φ p : parameter model AR

θ q : parameter model MA et : galat acak ke-t. Model State Space Model State Space adalah metode yang digunakan untuk analisis data deret waktu peubah tunggal maupun peubah ganda. Model State Space merupakan suatu pendekatan untuk memodelkan dan memprediksi secara bersama beberapa data deret waktu yang saling berhubungan, serta peubah-peubah tersebut mempunyai interaksi yang dinamis. Model State Space menggambarkan data deret waktu melalui peubah tambahan (state vector). State vector berisi ringkasan semua informasi dari nilai sebelumnya dan nilai sekarang dari suatu deret waktu yang sesuai dengan prediksi dari nilai yang akan datang (SAS User’ Guide 2002). Model State Space merepresentasikan proses stokastik dari zt yang stasioner. Model ini didefinisikan sebagai persamaan transisi: zt+1 = Fzt + Get+1 dan persamaan pengukuran: xt = H zt dimana: xt : vektor observasi berdimensi r × 1 H : matriks koefisien berukuran r× s yang disebut matriks observasi. zt : state vector dimensi s × 1 , s ≥ r , dimana r elemen pertama adalah xt dan s− r elemen terakhir adalah syarat untuk peramalan xt ke depan F : matriks koefisien berukuran s× s yang disebut matriks transisi, yang menentukan sifat dinamis dari model G : matriks koefisien berukuran s× r yang disebut matriks input, yang menentukan struktur ragam dari persamaan transisi. Untuk identifikasi model, r baris dan kolom pertama dari G disusun menjadi matriks identitas (Ir) berukuran r × r

et : vektor inovasi atau shock vector, vektor sisaan bersifat acak yang menyebar normal berdimensi r dengan nilai tengah 0 dan matriks kovarian ∑. Pada persamaan transisi, model State Space pada umumnya meliputi satu persamaan pengukuran dimana xt sebagai fungsi state vector, zt. Persamaan pengukuran yang digunakan oleh prosedur SAS adalah xt = [Ir,0] zt dimana Ir adalah matriks identitas r x r. SAS melakukan ekstraksi xt dari zt tanpa penyajian ke dalam persamaan pengukuran. Hubungan antara ARMA dan State Space Setiap model State Space mempunyai penyajian dalam bentuk ARMA, dan sebaliknya setiap model ARMA mempunyai penyajian dalam bentuk State Space. Model ARMA: Φ ( B ) xt = Θ( B )et atau xt − Φ1xt−1 −...− Φpxt−p = et + Θ1et−1 +...+ Θqet−q dimana et adalah galat acak yang menyebar normal dengan nilai tengah nol dan matriks ragam ∑ee, B adalah backshift operator ( BX t = X t −1 ) , Φ (B ) dan Θ(B ) adalah matriks polinomial dalam B, dan Xt adalah observasi. Untuk melihat contoh dari hubungan ARMA dengan State Space dapat dilihat pada Lampiran 1. Vector Autoregressive (VAR) Vector Autoregressive atau yang lebih dikenal dengan VAR adalah suatu sistem persamaan yang memperlihatkan setiap peubah sebagai fungsi linear dari konstanta dan nilai lag (masa lampau) dari peubah itu sendiri serta nilai lag dari peubah lain yang ada dalam sistem. Jadi, peubah penjelas dalam VAR meliputi nilai lag seluruh peubah tak bebas dalam sistem. Secara umum VAR dengan ordo p dapat dimodelkan sebagai berikut:

Xt = A0 + A1Xt −1 + A2 Xt −2 + ...+ Ap Xt − p + et dengan: Xt : vektor peubah endogen berukuran n x 1 A0 : vektor intersep berukuran n x 1 Ai : matrik parameter berukuran n x n untuk setiap i = 1, 2, …, p et : vekor sisaan berukuran n x 1

3

Akaike Information Criterion (AIC) AIC digunakan sebagai acuan dalam pemilihan model terbaik. Pada State Space nilai AIC terkecil digunakan untuk memilih model VAR terbaik (SAS User’ Guide 2002). AIC untuk model orde-p dihitung dengan persamaan: ˆ + 2 pr 2 AIC p = n ln ∑ p dengan : n = jumlah observasi r = dimensi dari vektor proses xt | Σˆ p | = determinan dari matriks kovarian sisaan yang bersifat white noise pada pemodelan AR (p) Analisis Korelasi Kanonik Penentuan unsur dari state vector melalui serangkaian analisis korelasi kanonik dari matriks autokovarian contoh. Variabel dengan korelasi kanonik yang nyata dimasukkan dalam state vector, sedangkan variabel yang tidak nyata dikeluarkan dari state vector. (SAS User’ Guide, 2002). Dalam Wei (1989), state vector ditentukan secara unik melalui analisis korelasi kanonik. pt adalah vektor dari nilai sekarang dan lampau yang relevan untuk memprediksi xt+1. pt = (x’t, x’t-1, ... , x’t-p)’ ft adalah vektor dari nilai sekarang dan yang akan datang ft = (x’t, x’t+1, ... , x’t+p)’ Pada analisis korelasi kanonik, submatriks ditentukan dari matriks kovarian contoh pt dan ft. Γ adalah matriks kovarian yang didasarkan pada Block Hankel: Γ(2) L Γ( p) ⎤ ⎡Γ(0) Γ(1) ⎢ Γ(1) Γ(2) Γ(3) L Γ( p +1)⎥⎥ Γ=⎢ ⎢ M M M M ⎥ ⎢ ⎥ ⎣Γ( p) Γ( p +1) Γ( p + 2) L Γ(2p) ⎦

Pemilihan nilai p didasarkan pada model VAR dengan nilai AIC terkecil. Analisis korelasi kanonik didasarkan pada Block Hankel dari matriks kovarian contoh, yaitu: ⎡Γˆ (0) Γˆ (1) Γˆ (2) L Γˆ ( p) ⎤ ⎢ˆ ⎥ ˆ Γ(1) Γ(2) Γˆ (3) L Γˆ ( p +1)⎥ Γˆ = ⎢ ⎢ M M M M ⎥ ⎢ ⎥ ˆ ˆ ˆ ˆ ⎣⎢Γ( p) Γ( p +1) Γ( p + 2) L Γ(2p) ⎦⎥ dimana Γˆ ( j ), j = 0,1,..., 2 p adalah matriks

kovarian contoh. 1 n− j Γˆ ( j ) = ∑ ( X t − X )( X t + j − X )' , j = 1,2,.. n t

Dimana X = ( X 1, X 2 ,..., X t )' adalah vektor nilai tengah contoh. Pemilihan Komponen State vector Analisis korelasi kanonik membentuk satu urutan dari state vector. Korelasi kanonik terkecil digunakan di dalam pemilihan komponen-komponen state vector. Pada setiap langkah dari serangkaian analisis korelasi kanonik, korelasi kanonik terkecil yang signifikan ( ρ min ) dihitung berdasarkan kriteria informasi dari Akaike (1976): AIC = − n ln( 1 − ρ 2 min ) − 2[ r ( p + 1) − q + 1]

dimana: q = banyaknya komponen state vector r = banyaknya variabel pada state vector p = orde AR optimal Jika AIC≤0, ρ min = 0 , jika nilai AIC>0 maka nilai ρ min > 0 . Untuk menguji kesignifikanan korelasi kanonik ρ , salah satu pendekatan yang dapat digunakan adalah uji chi-square ( χ 2 ) dengan hipotesis: H0 : ρ = 0 H1 : ρ > 0 Bentuk statistik ujinya: 2 ) χ 2 hit = −(n − 0.5(r ( p + 1) − q + 1)) ln(1 − ρ min

Mendekati sebaran chi-square dengan derajat bebas (db), db = [ r ( p + 1) − q + 1] . Jika χ 2 hit > χ 2α (db ) maka keputusan H0 ditolak, artinya korelasi kanonik significant. Pendugaan Parameter Setelah model State Space diidentifikasi, pendugaan parameter model State Space dapat dilakukan salah satunya dengan menggunakan pendekatan. Prosedur ini dilakukan secara iteratif. Dugaan ini didapatkan dari analisis korelasi kanonik dan digunakan untuk memperoleh penduga Г yang efisien bagi nilai-nilai parameternya, yaitu F, G, dan ∑. Pada proses pendugaan ini, salah satu elemen pada F dan G, pasti ada yang bernilai konstan seperti 0 dan 1 (Wei, 1989). Untuk serangkaian n observasi x1,x2,...,xt karena xt = (I - FB)-1Get B sebagai backshift operator , maka diperoleh xt = H(I - FB)-1Get dan et = [H(I - FB)-1G] -1xt

4

sehingga diperoleh fungsi log likelihood sebagai berikut : ln L (F, G, ∑ | x 1 , x 2 ,..., x t )∞

n 1 − ln | ∑ | − trace ∑−1 S(F,G) 2 2

dimana

n S(F, G) = ∑ et e′t t =1

Kalman Filter Kalman filter adalah prosedur rekursif yang digunakan untuk melakukan peramalan dari state vector. Kalman filter terdiri dari pembentukan dugaan awal dari state kemudian merevisi dugaan dengan menambahkan koreksi pada dugaan awal. Besarnya koreksi ditentukan oleh sebaik apa dugaan awal memprediksi observasi baru. (Wei 1989). Ketepatan peramalan Xˆ t (l ) bergantung pada pendugaan Zˆ t dari state vector Z t . Ketika sebuah informasi yang baru tersedia, harus dilakukan pembaharuan state vector, begitu pula dengan peramalannya. Melalui pendekatan teorema Bayes diperoleh : p(Zt+1| Xt+1) ∞ p(Xt+1| Zt+1,Xt)p(Zt+1| Xt) Sebaran posterior p(Zt+1| Xt) menjadi sebaran prior untuk mengetahui sebaran posterior yang baru, yaitu p(Zt+1| Xt+1), dimana observasi Xt+1 tersedia. Sebaran posterior dari state vector Zt pada waktu ke t yaitu p(Zt| Xt) mengikuti sebaran normal dengan rataan Zt dan matriks kovarian Гt (Zt| Xt) ~ N( Zˆ t , Гt) Pada waktu t+1, ketika observasi Xt+1 tersedia, state vector dapat diperbaharui dan diperoleh sebaran posterior baru p(Zt+1| Xt+1). Xt+1 ekivalen dengan peramalan error et+1, maka untuk memperoleh p(Zt+1|Xt+1) hanya perlu menemukan sebaran posterior dari (Zt+1|et+1,Xt), yaitu (Zt+1|Xt) ~ N(F Zˆt , Rt+1)

dimana Rt+1 = FГtF’+G∑G’

−1 Zˆ t + 1 = F Xˆ t + R t + 1 H ′ (Ω + HR t + 1 H ′ ) e t + 1 = F Xˆ t + K t + 1 X t + 1 − Xˆ t (1 )

(

Γ t + 1 = R t + 1 − R t + 1 H ′ (Ω + HR

)

t +1

−1 H ′ ) HR

= R t +1 − K t +1 HR t +1 = (I = K t +1 H )(F Γ t F ′ + G ∑ G ′ )

t +1

dengan:

−1 K t + 1 = R t + 1 H ′ (Ω + HR t + 1 H ′ ) R t +1 = F Γt F ′ + G ∑ G ′

Persamaan di atas merupakan formula rekursif dasar yang digunakan untuk memperbaharui rataan dan matriks kovarian serta sebaran dari state vector Zt+1 setelah observasi baru, yaitu Xt+1 tersedia. Dugaan dari state yang telah diperbaharui yaitu Zˆ t +1 adalah penjumlahan dari F Zˆ t , yaitu dugaan dari observasi sampai waktu t, dengan peramalan error 1 langkah ke depan yaitu et +1 = X t +1 − Xˆ t (1) . Matriks Kt+1 dinamakan Kalman gain, yang menentukan bobot untuk peramalan error.

BAHAN DAN METODE Bahan Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data simulasi dengan membangkitkan data yang berasal dari model AR, MA, dan ARMA. Metode 1) Simulasi data a) Membangkitkan 200 data (et), dimana et ~ N(0,1). b) Melakukan transformasi ke dalam model AR(2), MA(1), dan ARMA(2,1). 2) Pemodelan State Space Tahapan yang dilakukan adalah menduga model-model autoregressive dan menghitung nilai AIC tiap model. Model AR yang terpilih (dengan nilai AIC terkecil) digunakan dalam analisis korelasi kanonik. Unsur pada state vector disusun dari variabel dengan korelasi kanonik yang nyata. Jika state vector telah ditentukan, maka model State Space dapat diterapkan pada data tersebut. Parameter-parameter dalam model State Space (F, G, dan ∑) diduga dengan pendekatan maximum likelihood. 3) Peramalan Setelah parameter-parameter diduga, Peramalan lima periode ke depan dilakukan secara subjektif berdasarkan model State Space yang fitted dengan teknik Kalman filter.

5

Data (stasioner)

A u to c o r r e l a ti o n F u n c ti o n ( w ith 5 % s ig n ific a n c e lim its fo r th e a u to c o r r e la tio n s ) 1 .0 0 .8

Penyeleksian Orde Autoregressive

Autocorrelation

0 .6 0 .4 0 .2 0 .0 - 0 .2 - 0 .4 - 0 .6 - 0 .8 - 1 .0 1

Pilih AIC terkecil

5

10

15

20

25 La g

30

35

40

45

50

Gambar 2 Plot ACF pada data awal P a r ti a l A u t o c o r r e l a ti o n F u n c ti o n

AIC positif terkecil

( w ith 5 % s ig n ific a n c e lim its fo r th e p a r tia l a u to c o r r e la tio n s ) 1 .0 0 .8 Partial Autocorrelation

Penentuan state vector (Analisis Korelasi Kanonik)

0 .6 0 .4 0 .2 0 .0 - 0 .2 - 0 .4 - 0 .6 - 0 .8 - 1 .0 1

Pendugaan Parameter (Maximum Likelihood)

Proses iterasi

Model State Space

Peramalan (Kalman filter)

HASIL DAN PEMBAHASAN 1. AR 2 : Xt= - 0.3Xt-1 + 0.4Xt-2 + et Data yang dibangkitkan sesuai dengan model AR 2, dengan nilai φ1 =-0.3, dan φ2 =0.4. Plot ACF dan PACF-nya dapat dilihat pada Gambar 2 dan Gambar 3.

10

15

20

25 La g

30

35

40

45

50

Gambar 3 Plot PACF pada data awal Penyeleksian Orde Autoregressive Sebelum menentukan model State Space, dilakukan pemilihan orde optimal pada AR. Nilai AIC terkecil -9.31294 terdapat pada lag ke-2 (Lampiran 2), lag ini menunjukkan orde AR optimal yang dipilih adalah 2 (p=2). Banyaknya lag pada AR ada 10. Nilai ini diperoleh dari hasil simulasi yang telah dicoba. Jumlah lag = n-2, untuk n<10 10, untuk n>10 dimana n = banyaknya observasi

Gambar 1 Diagram alur analisis State Space Penelitian ini menggunakan bantuan perangkat lunak Microsoft Excel, MINITAB 14 dan SAS 9.1.

5

Penentuan State Vector Penentuan unsur dari state vector melalui serangkaian analisis korelasi kanonik dari matriks autokovarian contoh dengan orde p=2 (Lampiran 3). Nilai IC yang negatif (tidak nyata) dikeluarkan dari state vector, sedangkan nilai IC yang positif (nyata) dan terkecil dimasukkan dalam state vector. Pada Lampiran 3 dapat dilihat bahwa nilai IC dari korelasi kanonik x(T+1;T) bernilai positif yaitu sebesar 27.2766 oleh karena itu dimasukkan dalam state vector. Kemudian komponen ditambah, dan dihitung nilai AIC nya. Karena nilai AIC yang diperoleh bernilai negatif yaitu sebesar -1.87419, maka x(T+2;T) tidak dimasukkan dalam state vector. Dapat juga dilihat dari uji kesignifikanan korelasi kanonik dengan menggunakan uji chi-square 2 ( χ 2 ) . Nilai χ 2hit = 0.125495 < χ 0.05(1) = 3.841, yang

artinya

korelasi

kanonik

tidak

6

significant, komponen tersebut tidak dimasukkan ke dalam state vector. Dari pengujian kesignifikanan analisis korelasi kanonik, diperoleh komponen yang nyata adalah xt, xt+1|t. Komponen ini menjadi final komponen state vector, yang dapat dituliskan sebagai berikut: ⎡ xt ⎤ Zt = ⎢ ⎥ ⎢⎣ xt +1|t ⎥⎦

dengan menggunakan teknik Kalman filter. Hasil ramalan untuk lima periode ke depan dapat dilihat pada plot berikut: Time S e r ie s P lot of P e r a ma la n 4 3 2 1 0 -1 -2 -3

Informasi dari tahap sebelumnya, yaitu tahap penyeleksian orde VAR dan penentuan state vector melalui serangkaian analisis korelasi kanonik, digunakan untuk membentuk dugaan awal parameter model State Space. Nilai dugaan awal ini (Lampiran 4) digunakan sebagai nilai awal proses pendugaan parameter. Pendugaan parameter dilakukan dengan menggunakan pendekatan maximum likelihood dengan proses iteratif. Setelah mengalami tujuh kali iterasi (Lampiran 5), diperoleh penduga efisien bagi F, G, dan ∑ sebagai berikut (Lampiran 6):

-4 1

20

40

60

80

100 In d e x

120

140

160

180

200

Gambar 4 Plot ramalan untuk lima periode ke depan dengan menggunakan model State Space Nilai AIC pada model AR 2 diperoleh sebesar 559.0803 dan pada model State Space sebesar -12.6769 (Lampiran 17). T i m e S e r i e s P l o t o f A k t u a l , A R 2 , S t a te S p a c e V a r ia b le A k tu a l A R2 S ta te S p a c e

3

2

Data

Pendugaan Parameter Model State Space

1

0

-1

1 ⎡ 0 ⎤ Fˆ = ⎢ ⎥ 0.52984 0.09101 ⎣ ⎦

-2 2

4

6

8

10

12 14 In d e x

16

18

20

22

24

Gambar 5 Plot aktual, model AR 2, dan model State Space

1 ⎡ ⎤ Gˆ = ⎢ ⎥ 0.41908 ⎣ ⎦ Σˆ = [0.924896 ]

2. MA 1 : Xt= et - 0.8et-1

Model State sebagai berikut:

Space

direpresentasikan

zt+1 = F zt + G et+1 ⎡ xt ⎤ ⎡ x t + 1 |t + 1 ⎤ ⎥ + G [ e1 , t + 1 ] ⎥ = F ⎢x ⎢x 2 | 1 t + t + ⎢⎣ t + 1 | t ⎦⎥ ⎦⎥ ⎣⎢

⎡ xt + 1 | t + 1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ xt ⎤ ⎢x ⎥=⎢ ⎥+ ⎥⎢ ⎣⎢ t + 2 | t + 1 ⎦⎥ ⎣0.52984 - 0.09101⎦ ⎣⎢ xt + 1 | t ⎦⎥

1 ⎡ ⎤ ⎢- 0.41908 ⎥ e1, t +1 ⎣ ⎦ dan var[e1, t +1 ] = [0.924896]

Persamaan dalam bentuk matriks di atas dapat dijabarkan sebagai berikut: xt+1|t+1 = xt+1|t + e1,t+1 xt+2|t+1 = 0.52984xt - 0.09101xt+1|t - 0.41908 e1,t+1 Peramalan Setelah diperoleh model State Space yang fitted, tahap berikutnya adalah peramalan

Tahapan yang digunakan untuk memodelkan model State Space sama dengan tahapan yang dilakukan di atas. Output pada SAS dapat dilihat pada Lampiran 7 sampai Lampiran 11. sehingga diperoleh penduga parameternya sebagai berikut: 0 1 ⎤ ⎡ Fˆ = ⎢ ⎥ ⎣- 0.19952 0.0487⎦ 1 ⎡ ⎤ Gˆ = ⎢ ⎥ 0.72407 ⎣ ⎦

Σˆ = [0.965547]

Maka model yang diperoleh adalah: ⎡ xt + 1 | t + 1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ xt ⎤ ⎢x ⎥=⎢ ⎥+ ⎥⎢ ⎢⎣ t + 2 | t + 1 ⎥⎦ ⎣- 0.19952 0.0487⎦ ⎢⎣ xt + 1 | t ⎥⎦

1 ⎡ ⎤ ⎢- 0.72407 ⎥ e1, t +1 ⎣ ⎦

dan var[e1, t +1 ] = [0.965547]

7

Persamaan dalam bentuk matriks di atas dapat dijabarkan sebagai berikut : xt+1|t+1 = xt+1|t + e1,t+1 xt+2|t+1 = -0.19952 xt + 0.0487 xt+1|t - 0.72407 e1,t+1 Peramalan Setelah diperoleh model State Space yang fitted, tahap berikutnya adalah peramalan dengan menggunakan teknik Kalman filter. Hasil ramalan untuk lima periode ke depan dapat dilihat pada plot berikut:

Maka model yang diperoleh adalah: ⎡ xt + 1 | t + 1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤ ⎡ xt ⎤ ⎥+ ⎢x ⎥=⎢ ⎥⎢x 0.45937 0.2188 ⎦ ⎣⎢ t + 1 | t ⎦⎥ ⎣⎢ t + 2 | t + 1 ⎦⎥ ⎣

1 ⎡ ⎤ ⎢ - 0.95772 ⎥ e1, t +1 ⎣ ⎦

dan var[e1,t +1 ] = [8.270716]

Persamaan dalam bentuk matriks di atas dapat dijabarkan sebagai berikut: xt+1|t+1 = xt+1|t + e1,t+1 xt+2|t+1 = -0.45937xt - 0.2188xt+1|t - 0.95772 e1,t+1

Tim e S e r ie s P lot of P e r a m a la n

Peramalan

3 2 1 0 -1 -2 -3 -4 1

20

40

60

80

100 In d e x

120

140

160

180

200

Gambar 6 Plot ramalan untuk lima periode ke depan dengan menggunakan model State Space Nilai AIC pada model MA 1 diperoleh sebesar 574.0239 dan pada model State Space sebesar -4.93261 (Lampiran 18).

Setelah diperoleh model State Space yang fitted, tahap berikutnya adalah peramalan dengan menggunakan teknik Kalman filter. Hasil ramalan untuk lima periode ke depan dapat dilihat pada plot berikut : Time S e r ies P lot of P e r a malan

10 5 0 -5 -10 -15 1

T i m e S e r i e s P l o t o f a k tu a l , M A 1 , S ta te S p a c e 3

V a r ia b le a k tu a l MA 1 S ta te S p a c e

2

Data

1 0 -1 -2 -3 -4 2

4

6

8

10

12 14 In d e x

16

18

20

22

24

20

40

60

80

100 In d e x

120

140

160

180

200

Gambar 8 Plot ramalan untuk lima periode ke depan dengan menggunakan model State Space Nilai AIC pada model ARMA 2,1 diperoleh sebesar 989.519 dan pada model State Space sebesar 421.203 (Lampiran 19).

Gambar 7 Plot aktual, model MA1, dan model State Space

T i m e S e r i e s P l o t o f a k tu a l , A R M A 2 , 1 , S ta te S p a c e V a r ia b le a k tu a l A R M A 2,1 S ta te S p a c e

5 .0 2 .5

Tahapan yang digunakan untuk memodelkan model State Space sama dengan tahapan yang dilakukan di atas. Output pada SAS dapat dilihat pada Lampiran 12 sampai Lampiran 16. sehingga diperoleh penduga parameternya sebagai berikut: 0 1 ⎤ ⎡ Fˆ = ⎢ ⎥ 0.45937 0.2188 ⎣ ⎦ 1 ⎡ ⎤ Gˆ = ⎢ ⎥ ⎣- 0.95772⎦

Σˆ = [8.270716]

0 .0 Data

3. ARMA2,1: Xt= -0.3Xt-1 -0.6Xt-2+et -0.8et-1

- 2 .5 - 5 .0 - 7 .5 - 1 0 .0 2

4

6

8

10

12 14 In d e x

16

18

20

22

24

Gambar 9 Plot aktual, model ARMA 2,1 dan model State Space

KESIMPULAN Pendugaan parameter model State Space dilakukan dengan menggunakan pendekatan maximum likelihood dengan proses iterasi. Pada model AR (2), proses iterasi dilakukan sebanyak tujuh kali.

8

Model State Space yang diperoleh adalah: xt+2|t+1 = 0.52984xt - 0.09101xt+1|t - 0.41908 e1,t+1 Untuk model MA (1), proses iterasi dilakukan sebanyak delapan kali, model State Space yang diperoleh adalah: xt+2|t+1 = -0.19952 xt + 0.0487 xt+1|t - 0.72407 e1,t+1 Sedangkan pada model ARMA (2,1), proses iterasi yang dilakukan sebanyak lima kali, model State Space yang diperoleh adalah: xt+2|t+1 = -0.45937xt - 0.2188xt+1|t - 0.95772 e1,t+1 Model State Space yang diperoleh dari hasil iterasi tersebut dapat digunakan untuk peramalan.

SARAN Pada penelitian selanjutnya dapat mengkaji lebih lanjut analisis data deret waktu peubah tunggal melalui pendekatan model State Space dengan menggunakan data real dan tidak menutup kemungkinan untuk melakukan analisis data deret waktu peubah ganda melalui pendekatan model State Space.

DAFTAR PUSTAKA Montgomery, D. C., L. A. Johnson, & J. S. Gardiner. 1990. Forecasting and time Series Analysis. Mc Graw Hill, Singapore. SAS Institute Inc. 2002. SAS User’s Guide. Version 9.1 SAS Institute Inc., Cary, NC, USA. Wei, W.W.S. 1989. Time Series Analysis: Univariate and Multivariate. Addison Wesley Publishing Company. Canada. Zivot, Eric. 2006. State Space Models and the Kalman Filter. http://faculty.washington.edu/ezivot/econ5 84/notes/statespacemodels.pdf [April 9, 2006].

LAMPIRAN

10

Lampiran 1 Hubungan antara ARMA dan State Space Model AR 2 X t = μ + φ1 X t −1 + φ 2 X t − 2 + et et ~ iid N(0, σ 2 ) Definisikan zt = ( X t , X t −1 )' , maka persamaan transisi untuk zt adalah ⎡ X t ⎤ ⎡φ1 φ 2 ⎤ ⎡ X t −1 ⎤ ⎡ μ ⎤ ⎡1⎤ ⎢X ⎥=⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ et ⎥⎢ ⎣ t −1 ⎦ ⎣ 1 0 ⎦ ⎣ X t − 2 ⎦ ⎣ 0 ⎦ ⎣0⎦

Persamaan pengukurannya adalah xt = (1,0) zt

Yang menyiratkan Ht = (1, 0) Model MA (1) : Z t = at + θat −1 dapat disajikan dalam bentuk State Space dengan beberapa cara. Ditetapkan α t = ( yt − μ ,θat ) , kemudian dapat ditulis yt = (1 0)α t + μ

⎛0 1⎞

⎛1⎞

⎟⎟α t −1 + ⎜⎜ ⎟⎟at α t = ⎜⎜ ⎝0 0⎠ ⎝θ ⎠ Elemen pertama dari α t adalah θat −1 + at yang nilainya sama dengan yt − μ . Model ARMA (p,q) X t = φ1 X t −1 + ... + φ p X t − p + et + θ1et −1 + ... + θ q et − q

Jika m = max(p,q+1), maka bentuk ARMA (p,q) dapat ditulis X t = φ1 X t −1 + ... + φ p X t − m + et + θ1et −1 + ... + θ m −1et − m +1 Dimana beberapa koefisien AR atau MA dapat menjadi nol kalau p=q+1. Xt ⎡ ⎤ ⎢φ X ⎥ 2 t −1 + ... + φ p X t − m +1 + et + θ1et + ... + θ m −1et − m + 2 ⎥ zt = ⎢ ⎢ ⎥ M ⎢ ⎥ φ m X t −1 + θ m et ⎣ ⎦ set X t =(1 0’m-1) zt 1 ⎡ φ1 ⎢ φ 0 ⎢ 2 zt = ⎢ M M ⎢ ⎢φ m −1 0 ⎢ φm 0 ⎣

0 L 0⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ θ ⎥ 1 L 0⎥⎥ ⎢ 1 ⎥ M O M ⎥ zt −1 + ⎢ M ⎥ et ⎥ ⎢ ⎥ 0 L 1⎥ ⎢θ m − 2 ⎥ ⎢θ m −1 ⎥ 0 L 0⎥⎦ ⎦ ⎣

11

Model ARMA (2,1) : Z t = Φ1Z t −1 + Φ 2 Z t − 2 + at − θ1at −1 (1) Jika ditulis ke dalam bentuk moving average Z t = (1 − Φ1B − Φ 2 B 2 ) −1 (1 − θ1B ) at ∞ = ∑ Ψ j at − j j =0 Dimana Ψ0 = 1, Ψ1 = Φ1 − θ1

Maka, penyajian State Space dari bentuk (1) adalah : ⎡ Z t +1|t +1 ⎤ ⎡ 0 1 ⎤⎡ Zt ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ + ⎢ ⎥ at +1 ⎥⎢ ⎢⎣ Z t + 2|t +1 ⎥⎦ ⎣Φ 2 Φ1 ⎦ ⎢⎣ Z t +1|t ⎥⎦ ⎣Ψ1 ⎦ Bentuk persamaan linier-nya: Z t +1|t +1 = Z t +1|t + at +1 Z t + 2|t +1= Φ Z Φ Z + Ψ1at +1 1 t +1 + 2 t

(2) (3)

Dari persamaan (2), dapat diperoleh : (4) Z t + 2|t + 2 = Z t + 2|t +1 + at + 2 Dengan mensubstitusi ketiga persamaan di atas, maka dapat diperoleh : Z t + 2|t + 2 = Z t + 2|t +1 + at + 2 Z t + 2|t + 2 − at + 2 = Z t + 2|t +1 Z t + 2|t + 2 − at + 2 = φ1Z t +1|t + φ 2 Z t + Ψ1at +1 Z t + 2|t + 2 − at + 2 = φ1 ( Z t +1|t +1 − at +1 ) + φ 2 Z t + Ψ1at +1 Z t + 2|t + 2 − at + 2 = φ1Z t +1|t +1 − φ1at +1 + φ 2 Z t + Ψ1at +1 Z t + 2|t + 2 = φ1Z t +1|t +1 + φ 2 Z t + (Ψ1 − φ1 )at +1 + at + 2

Z t = φ1Z t −1 + φ 2 Z t − 2 + at − θ1at −1

12

Output SAS untuk model AR (2) : Xt= -0.3Xt-1 + 0.4Xt-2+et

Lampiran 2 Penyeleksian Orde VAR Berdasarkan IC Terkecil The STATESPACE Procedure Information Criterion for Autoregressive Models Lag=0

Lag=1

Lag=2

Lag=3

Lag=4

Lag=5

Lag=6

Lag=7

Lag=8

Lag=9

Lag=10

100.0829 18.35745 -9.31294 -8.91916-7.38727 -7.26778 -5.26931 -3.61021-2.11773-0.79299 0.86489 Yule-Walker Estimates for Minimum AIC

x

--Lag=1x

--Lag=2x

-0.36769

0.371312

Lampiran 3 Analisis Korelasi Kanonik The STATESPACE Procedure Canonical Correlations Analysis

x(T;T)

x(T+1;T)

Information Criterion

Chi Square

DF

1

0.380484

27.2766

31.12022

2

x(T;T)

x(T+1;T)

x(T+2;T)

Information Criterion

Chi Square

DF

1

0.391229

0.025077

-1.87419

0.125495

1

Keterangan: DF = r (p+1) – q + 1 = 1 (2+1) – 2 + 1 =2

DF = r (p+1) – q + 1 = 1 (2+1) – 3 + 1 =1

Lampiran 4 Dugaan Awal Model State Space The STATESPACE Procedure Selected Statespace Form and Preliminary Estimates

x(T;T)

State Vector x(T+1;T)

Estimate of Transition Matrix 0 1 0.501557 -0.14499 Input Matrix for Innovation 1 -0.36769 Variance Matrix for Innovation 0.935602

13

Lampiran 5 Proses Iterasi Pendugaan Maksimum Likelihood Iterative Fitting: Maximum Likelihood Estimation Iter

Half

Determinant

0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0 0 0 0

0.927321 0.92526 0.924935 0.924899 0.924896 0.924896 0.924896 0.924896

Lambda

F(2,1)

0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 1E-6 1E-7 1E-8

0.50155694 0.50648616 0.52239116 0.52797052 0.52935548 0.52971877 0.52981452 0.52983977

F(2,2) -0.1449908 -0.1310761 -0.1052014 -0.0947861 -0.091995 -0.0912562 -0.0910611 -0.0910097

G(2,1)

Sigma(1,1)

-0.367689 -0.4049297 -0.4155773 -0.4180693 -0.4188133 -0.4190133 -0.4190663 -0.4190803

0.92732064 0.92526034 0.92493456 0.92489882 0.92489616 0.92489598 0.92489596 0.92489596

Maximum likelihood estimation has converged.

Lampiran 6 Model State Space yang disesuaikan (fitted) The STATESPACE Procedure Selected Statespace Form and Fitted Model State Vector x(T;T)

x(T+1;T)

Estimate of Transition Matrix 0 0.52984

1 -0.09101

Input Matrix for Innovation 1 -0.41908

Variance Matrix for Innovation 0.924896

14

Output SAS untuk model MA (1) : Xt= et - 0.8et-1

Lampiran 7 Penyeleksian Orde VAR Berdasarkan IC Terkecil The STATESPACE Procedure Information Criterion for Autoregressive Models Lag=0

Lag=1

Lag=2

Lag=3

Lag=4

Lag=5

Lag=6

Lag=7

Lag=8

Lag=9

87.54265 61.14247 33.18255 16.16742 8.836911 2.390563 4.283737 5.77197 7.087625 9.0752 Lag=10 8.142032 Yule-Walker Estimates for Minimum AIC

x

--Lag=1x

--Lag=2x

--Lag=3x

--Lag=4x

--Lag=5x

-0.71959

-0.72299

-0.56096

-0.351

-0.20335

Lampiran 8 Analisis Korelasi Kanonik The STATESPACE Procedure Canonical Correlations Analysis

x(T;T)

x(T+1;T)

Information Criterion

Chi Square

DF

1

0.533063

56.85873

66.023

5

x(T;T)

x(T+1;T)

x(T+2;T)

Information Criterion

Chi Square

DF

1

0.630165

0.123341

-4.93402

3.03532

4

Keterangan: DF = r (p+1) – q + 1 =5 = 1 (5+1) – 2 + 1

DF = r (p+1) – q + 1 = 1 (5+1) – 3 + 1 =4

Lampiran 9 Dugaan Awal Model State-space The STATESPACE Procedure Selected Statespace Form and Preliminary Estimates State Vector x(T;T) x(T+1;T) Estimate of Transition Matrix 0 1 -0.15421 0.101746 Input Matrix for Innovation 1 -0.71959 Variance Matrix for Innovation 0.962668

15

Lampiran 10 Proses Iterasi Pendugaan Maksimum Likelihood Iterative Fitting: Maximum Likelihood Estimation Iter

Half

Determinant

Lambda

F(2,1)

F(2,2)

G(2,1)

Sigma(1,1)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0 0 1 2 0 2 2 2

0.968991 0.965769 0.965549 0.965549 0.965549 0.965548 0.965548 0.965548 0.965547

0.1 0.01 0.001 0.01 0.1 0.01 0.1 1 10

-0.1542128 -0.1856491 -0.1994832 -0.1995282 -0.1995165 -0.1995405 -0.1995289 -0.1995212 -0.19952

0.10174557 0.07159899 0.04961986 0.04885771 0.04903814 0.04850388 0.0486031 0.04868135 0.04870011

-0.7195872 -0.7142361 -0.722961 -0.723766 -0.7235736 -0.7242335 -0.7241541 -0.7240897 -0.7240722

0.96899077 0.96576919 0.96554893 0.96554854 0.96554852 0.96554809 0.96554776 0.96554753 0.96554749

Maximum likelihood estimation has converged.

Lampiran 11 Model State Space yang disesuaikan (fitted) The STATESPACE Procedure Selected Statespace Form and Fitted Model State Vector x(T;T)

x(T+1;T)

Estimate of Transition Matrix 0 -0.19952

1 0.0487

Input Matrix for Innovation 1 -0.72407

Variance Matrix for Innovation 0.965547

16

Output SAS untuk model ARMA (2,1) : Xt= -0.3Xt-1 - 0.6Xt-2+et - 0.8et-1

Lampiran 12 Penyeleksian Orde VAR Berdasarkan IC Terkecil The STATESPACE Procedure Information Criterion for Autoregressive Models Lag=0

Lag=1

Lag=2

Lag=3

Lag=4

Lag=5

Lag=6

Lag=7

Lag=8

Lag=9

586.2296 558.3838 467.8288 450.1532 444.7467 435.8104 437.6083 437.0992 437.671 437.6859 Lag=10 433.7754 Yule-Walker Estimates for Minimum AIC --Lag=1- --Lag=2- --Lag=3- --Lag=4- --Lag=5- --Lag=6- --Lag=7- --Lag=8- --Lag=9- --Lag=10x x x x x x x x x x -0.93324 -1.14883 -0.84618 -0.63299 -0.57748 -0.39971 -0.43256 -0.36554 -0.25574 -0.17065

Lampiran 13 Analisis Korelasi Kanonik The STATESPACE Procedure Canonical Correlations Analysis

x(T;T)

x(T+1;T)

Information Criterion

Chi Square

DF

1

0.714966

123.1508

139.5721

10

x(T;T)

x(T+1;T)

x(T+2;T)

Information Criterion

Chi Square

DF

1

0.77353

0.239203

-6.21594

11.51892

9

Keterangan: DF = r (p +1) – q + 1 = 1 (10+1) – 2 + 1 = 10

DF = r (p +1) – q + 1 = 1 (10+1) – 3 + 1 =9

Lampiran 14 Dugaan Awal Model State Space The STATESPACE Procedure Selected Statespace Form and Preliminary Estimates State Vector x(T;T) x(T+1;T) Estimate of Transition Matrix 0 -0.47921

1 -0.25126

Input Matrix for Innovation 1 -0.93324 Variance Matrix for Innovation 7.915929

17

Lampiran 15 Proses Iterasi Pendugaan Maksimum Likelihood Iterative Fitting: Maximum Likelihood Estimation Iter

Half

Determinant

Lambda

F(2,1)

F(2,2)

G(2,1)

Sigma(1,1)

0 1 2 3 4 5

0 0 2 2 3 5

8.308588 8.274034 8.271093 8.270876 8.270717 8.270716

0.1 0.01 0.1 1 10 100

-0.4792057 -0.4521501 -0.4561565 -0.4598123 -0.4593692 -0.4593657

-0.2512609 -0.2099237 -0.2151117 -0.2202446 -0.2188592 -0.2187984

-0.9332425 -0.9644939 -0.9605667 -0.9563226 -0.9576641 -0.9577242

8.30858776 8.2740344 8.27109332 8.27087622 8.27071677 8.27071628

Maximum likelihood estimation has converged.

Lampiran 16 Model State-space yang disesuaikan (fitted) The STATESPACE Procedure Selected Statespace Form and Fitted Model State Vector x(T;T)

x(T+1;T)

Estimate of Transition Matrix 0 -0.45937

1 -0.2188

Input Matrix for Innovation 1 -0.95772

Variance Matrix for Innovation 8.270716

18

Lampiran 17 Nilai pendugaan parameter dan nilai AIC pada model AR 2 Conditional Least Squares Estimation

Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

Approx Pr > |t|

Lag

AR1,1 AR1,2

-0.35342 0.38601

0.06562 0.06567

-5.39 5.88

<.0001 <.0001

1 2

Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals

0.948925 0.974128 559.0803 565.6769 200

Lampiran 18 Nilai pendugaan parameter dan nilai AIC pada model MA 1 Conditional Least Squares Estimation

Parameter MA1,1

Estimate

Standard Error

t Value

Approx Pr > |t|

Lag

0.77730

0.04465

17.41

<.0001

1

Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals

1.02763 1.013721 574.0239 577.3222 200

Lampiran 19 Nilai pendugaan parameter dan nilai AIC pada model ARMA 2,1 Conditional Least Squares Estimation

Parameter

Estimate

Standard Error

t Value

Approx Pr > |t|

Lag

MA1,1 AR1,1 AR1,2

0.83261 -0.17012 -0.42862

0.04510 0.07066 0.06986

18.46 -2.41 -6.14

<.0001 0.0170 <.0001

1 1 2

Variance Estimate Std Error Estimate AIC SBC Number of Residuals

8.124073 2.850276 989.519 999.414 200

19

Lampiran 20 Program SAS Model State Space data coba; input x ; cards; 0.83950 -0.98375 2.53223 . . . ; proc statespace data=coba cancorr out=out itprint lead=5; var x ; proc print data=out; run;