Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika Endang Sri Kresnawati Jurusan Matematika FMIPA Universitas Sriwijaya
[email protected] Abstrak.Model pertumbuhan benefit asuransi jiwa berjangka adalah suatu fungsi variabel acak benefit pada asuransi jiwa berjangka. Terdapat dua bentuk pertumbuhan, yaitu menaik dan menurun. Pola kenaikan penurunan benefit mengikuti prinsip bunga sederhana dan bunga majemuk. Prinsip bunga sederhana sesuai dengan pola barisan aritmatik, sedangkan prinsip bunga majemuk sesuai dengan pola barisan geometri. Model benefit diperoleh dari penentuan pola kenaikan dan penurunan benefit yang sesuai dengan deret aritmatik dan deret geometri, menentukan suku pertama, menentukan beda antar suku dan rasio antar suku, merumuskan suku ke-n deret aritmatik dan geometri. Selain itu, penurunan rumus juga dapat diselesaikan menggunakan induksi matematika. Model benefit menaik dan . Model benefit menurun dan
.
Kata Kunci.Benefit, deret aritmatik, deret geometri
PENDAHULUAN Asuransi merupakan perjanjian perpindahan sebagian risiko dari pihak penanggung (perusahaan asuransi) ke pihak tertanggung (nasabah). Menurut UU No. 2 tahun 1992, asuransi adalah suatu perjanjian antara pihak penanggung kepada tertanggung, dengan menerima premi asuransi, untuk memberikan penggantian kepada tertanggung karena kerugian, kerusakan atau kehilangan keuntungan yang diharapkan atau tanggung jawab hukum pihak ke tiga yang mungkin akan diderita tertanggung, yang timbul dari suatu peristiwa yang tidak pasti, atau memberikan suatu pembayaran yang didasarkan atas meninggal atau hidupnya seseorang yang dipertanggungkan. Jika risiko yang dipertanggungkan kematian, maka asuransinya disebut Asuransi Jiwa. Banyak jenis asuransi jiwa, yaitu Asuransi Jiwa Seumur Hidup, Asuransi Jiwa Berjangka, Asuransi Jiwa Dwiguna Murni, dan Asuransi Jiwa Dwiguna. Dari beberapa produk tersebut, Asuransi Jiwa Berjangka adalah jenis yang paling
popular. Bentuk pengembangan produk Asuransi Jiwa Berjangka banyak dan dipasarkan dengan berbagai kemasan.Menurut [2], model Asuransi Jiwa dibangun dari dua variable, yaitu fungsi benefit dan fungsi diskonto sehingga Pada model umum ini, benefit diasumsikan sebesar satu unit untuk kejadian kematian di periode manapun. Artinya, jika tertanggung meninggal di tahun pertama, atau di tahun kedua, atau di tahun manapun dalam kontrak, akan mendapatkan besar benefit kematian (Uang Pertanggungan/UP) sebesar satu. Pada perkembangannya, benefit kematian bisa berubah-ubah, menaik dan menurun. Inilah yang disebut pertumbuhan benefit. Besar kenaikan dan penurunan benefit beragam. Secara umum, [4] menyatakan pertumbuhan benefit mengikuti pola pertumbuhan bunga sederhana dan bunga majemuk. Benefit akan bertumbuh mengikuti prinsip bunga sederhana jika besar pertumbuhan di tiap periode sama. Sedangkan, benefit bertumbuh mengikuti prinsip bunga sederhana jika rasio pertumbuhan di tiap periode sama. Hal 173
Endang Sri Kresnawati: Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika
Secara matematis, kedua pola tersebut analog dengan pola deret matematika, yaitu deret aritmatik dan deret geometri. Dalam pemodelan matematika, deret matematika adalah salah satu alat penting yang digunakan untuk memodelkan pertumbuhan di bidang ekonomi, seperti pertumbuhan investasi, pertumbuhan penduduk dan pendapatannya, pertumbuhan annuitas, dan juga pertumbuhan benefit. [1] menyebutkan bahwa deret adalah sehimpunan bilangan yang dihubungkan satu sama lain oleh suatu aturan tertentu. Ketika suatu deret memiliki perbedaan yang tetap antara suku-suku yang berurutan, deret itu disebut deret aritmatik. Jika suku pertama deret aritmatik, , bedanya, , maka rumus suku adalah
besar benefit dan besar pertumbuhan umum.
Kemudian, [1] juga menyatakan deret geometri adalah suatu deret yang memiliki rasio konstan antara suku-sukunya yang berurutan. Jika suku pertama deret geometri adalah dan rasionya adalah , maka rumus suku adalah
HASIL DAN PEMBAHASAN
Besar kenaikan dan penurunan benefit sangat beragam dengan masa kontrak yang cukup panjang. Untuk itu diperlukan suatu model matematika untuk menggambarkan kenaikan dan penurunan benefit secara sederhana dan dapat berlaku umum. Penelitian [3] hanya menyusun model kenaikan benefit mengikuti prinsip bunga sederhana dengan besar benefit semula 1000 dan kenaikan 10% per tahun. Modelnya Besar benefit dan kenaikannya ditentukan. Hasil ini belum lengkap dan belum menyatakan pertumbuhan secara umum. Berdasarkan hal tersebut, penelitian ini bertujuan menyusun model matematika untuk kenaikan dan penurunan benefit menggunakan deret aritmatika dan deret geometri, dengan
Hal 174
METODE PENELITIAN Alat bantu yang digunakan dalam penyusunan model adalah deret aritmatika dan deret geometri. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah menentukan besaran dari kenaikan dan penurunan benefit. Kemudian menentukan pola kenaikan yaitu, pola bunga sederhana dan bunga majemuk. Hal yang sama juga ditentukan untuk benefit menurun. Selanjutnya tentukan sukku awal, beda suku, dan rasio suku, tentukan bentuk umum suku ke-n hingga diperoleh bentuk umum benefit menaik dan benefit menurun.
Benefit kematian atau yang dikenal dengan istilah uang pertanggungan (UP), adalah sejumlah dana atau uang yang dibayarkan sebagai bentuk pertanggungan bagi nasabah saat terjadi risiko kematian. Pada umumnya, UP berjumlah sama untuk pengajuan klaim di periode manapun. Pada perkembangannya, UP dapat dibuat terus menaik atau menurun. Besar benefit akan terus bertambah jika pertumbuhannya positif. Sebaliknya, besar benefit semakin menurun, jika pertumbuhannya negatif. Pertumbuhan benefit memiliki dua pola. Pertama,pertumbuhannya mengikuti prinsip bunga sederhana. Artinya, besar pertambahan benefit di periode manapun, selalu dihitung berdasarkan benefit di tahun pertama. Pola seperti ini adalah bentuk dari deret aritmatik, sehingga bentuk umum benefitnya menggunakan bentuk umum suku dari deret aritmatik. Kedua, pertumbuhannya mengikuti prinsip bunga majemuk. Artinya, besar
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
pertambahan benefit di periode berikutnya, dihitung berdasarkan benefit di periode sebelumnya. Pola seperti ini adalah bentuk dari deret geometri, sehingga bentuk umum benefitnnya menggunakan bentuk umum suku dari deret geometri. Model Benefit Menaik Asuransi jiwa menaik adalah asuransi jiwa yang benefit kematiannya terus bertambah. Pola Kenaikan Sederhana Benefit yang dibayaran pada nasabah akan meningkat setiap tahunnya sebesar Q dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun , seperti ditunjukkan Gambar 1.
Gambar 1. Pola Kenaikan Sederhana Untuk aritmatikanya
dan
, deret
Secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 1. Tabel 1. Induksi Matematik k 0 1 2 3 ... n-1 n
BenefitAwal 0 1 1 1
Kenaikan 0 0
Benefit Akhir 0 1
1 1
Benefit di akhir tahun adalah . Jika dan . Maka . Jika meninggal di tahun pertama, nasabah akan mendapat benefit sebesar , di akhir tahun kedua sebesar , ..., di akhir tahun mendapat benefit sebesar . Pola Kenaikan Majemuk
Benefit yang dibayarkan pada nasabah akan meningkat setiap tahunnya sebesar dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun , seperti ditunjukkan Gambar 2.
Gambar 2. Pola Kenaikan Majemuk Untuk dan , deret geometrinya
Secara lengkap ditunjukkan pada Table 2. Tabel 2. Induksi Matematika 0 1 2 3 ... n1 n
Benefit Awal 0
Kenaikan 0 0
Benefit Akhir 0
Benefit di akhir tahun adalah Jika dan Maka Jika meninggal di tahun pertama, nasabah akan mendapat benefit sebesar , di akhir tahun kedua sebesar , ..., di akhir ke-n mendapat benefit sebesar . Model Benefit Menurun Asuransi jiwa menurun adalah asuransi jiwa yang benefit kematiannya terus berkurang. Pola Penurunan Sederhana Benefit yang dibayarkan pada nasabah akan menurun setiap tahunnya sebesar dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun , seperti ditunjukan Gambar 3. Hal 175
Endang Sri Kresnawati: Model Pertumbuhan BenefitAsuransi Jiwa Berjangka Menggunakan Deret Matematika
Gambar 3. Pola Penurunan Sederhana Untuk dan , deret aritmatikanya
Secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 3. Tabel 3. Induksi Matematik k 0 1 2 3 ... n1 n
BenefitAwal 0
Kenaikan 0 0
Benefit Akhir 0
Benefit di akhir tahun adalah . Jika dan . Maka Jika meninggal di tahun pertama, nasabah akan mendapat benefit sebesar , di akhir tahun kedua sebesar , ..., di akhir ke-n mendapat benefit sebesar . Pola Penurunan Majemuk Benefit yang dibayarkan pada nasabah akan menurun setiap tahunnya sebesar dari benefit semula. Jika benefit di tahun pertama satu unit, maka tahun kedua , tahun ketiga , dan seterusnya hingga tahun , seperti ditunjukkan Gambar 4.
Secara lengkap ditunjukkan pada Tabel 4. Tabel 4. Induksi Matematika 0 1 2 3 ... n1 n
Benefit Awal 0
Kenaikan 0 0
Benefit Akhir 0
Benefit di akhir tahun adalah . Jika dan . Maka Jika tertanggung meninggal di tahun pertama, nasabah akan mendapat benefit sebesar , di akhir tahun kedua sebesar , , di akhir mendapat benefit sebesar . KESIMPULAN Pertumbuhan benefit, menaik atau menurun, dapat dimodelkan menggunakan deret aritmatik jika selisih benefit di setiap tahun kontrak sama besar. Kenaikan dan penurunan benefit juga dapat dimodelkan menggunakan deret geometri jika rasio benefit antar taahun kontrak sama besar. Pemodelan menggunakan deret aritmatik dan deret geometri ini hanya berlaku untuk pertumbuhan benefit dengan tahun kontrak berhingga. Untuk penelitian selanjutnya, sebaiknya menerapkan pola pertumbuhan yang lain, agar diperoleh kesimpulan yang lebih umum. DAFTAR PUSTAKA
Gambar 4. Pola Penurunan Majemuk Untuk dan , deret geometrinya
Bird, John. (2002). Matematika Dasar. Teori dan Aplikasi Praktis. Edisi Ketiga. (diterjemahkan oleh Refina Indriasari), Penerbit Erlangga, Indonesia, 2002. Bowers and N. L. Jr. (1986). Actuarial Mathematics, The Society of Actuaries, Illinois, 1986.
Hal 176
Prosiding Semirata FMIPA Universitas Lampung, 2013
Devistyarini. (2010). Premi Asuransi Jiwa Endowment dengan Benefit Menaik, Skripsi tidak dipublikasikan, Universitas Sriwijaya, 2010.
Susanta, B. Matematika, Jakarta, 1993.
(1993). Penerbit
Model Karunika,
Hal 177
