Model ocenění rezervní kapacity projektu Jan Vlachý* Stanovení optimální výrobní kapacity projektu je jednou z klíčových, a v praxi asi nejproblematičnějších, součástí investičního rozhodování. Na rozdíl od parametrů věcně vyplývajících z technických vlastností posuzovaného řešení je zde totiž nutné provést poměrně přesný odhad poptávky, a to zpravidla na řadu let dopředu. Rozhodnutí o investici přitom bývá do značné míry nevratné, protože případné dodatečné změny v projektu doprovázejí prohibitivní dodatečné náklady (jde o známý princip zapuštěných nákladů). Odhad budoucí poptávky je ve své podstatě vždy nejistý a jakékoliv investiční rozhodnutí tak v sobě zahrnuje významné riziko. To na jedné straně spočívá v nutnosti nést fixní náklady i při nižší poptávce než byla plánována (efekt provozní páky), na druhé straně ovšem i v neschopnosti uspokojit případnou vyšší poptávku vlivem kapacitního omezení původního projektu (náklad ušlé příležitosti). Nelze ovšem zapomenout, že dobrý management na tržní vývoj reaguje, například s využitím marketingových nástrojů, což reálný odhad budoucí realizované produkce dále komplikuje. Dnes již dobře etablovaná metodologie reálných opcí (Reuter a Tong, 2007) se snaží především o kvantifikaci hodnoty flexibility projektů, které lze docílit pomocí různých technických a organizačních řešení. V klasifikaci, již navrhl Trigeorgis (1996), je tak možné uvažovat například o opci rozšíření (reagující na exogenní zvýšení poptávky) nebo opci útlumu (reagující na exogenní pokles poptávky), přičemž existenci takových reálných opcí je třeba zohlednit při posuzování konkrétní varianty projektu. Podobným způsobem je možné hodnotit kupříkladu i zavedení systémů pružné výroby (tzn. např. investice do NC strojů), jak naznačila Kulatilaka (1988). Reálné opce lze v některých případech chápat jako metodickou analogii finančních opcí a k tomuto přístupu tíhnou i nejvýznamější propagátoři v současné české odborné literatuře Starý (2003) a Scholleová (2007). Inspiroval se jím ostatně i duchovní otec principu reálných opcí Myers (1977). Praktické aplikace ovšem zpravidla narážejí na značnou strukturální složitost opcí v reálných systémech, což většinou vylučuje přímočaré použití známých analytických řešení, mezi něž patří například různé varianty Blackova-Scholesova (1973) modelu. Snahy vyjadřovat reálné opce řešením soustav stochastických diferenciálních rovnic, tzn. spojitou funkcí v čase, se tedy pohybují spíše v akademické rovině, i když taková zobecnění mají nesporný význam pro pochopení zákonitostí důležitých rozhodovacích procesů, jakými jsou například odklad investičního rozhodování v čase či jeho fázování (McDonald a Siegel, 1986). V praxi se jako efektivnější (a pro nematematika rozhodně srozumitelnější) jeví metody diskrétní numerické analýzy, které lze zařadit do dvou základních skupin. Jednou je rekurzivní řešení v rámci binárního stromu, jež pro finanční opce původně navrhli Cox, Ross a Rubinstein (1979), a které je patrně v absolutním srovnání v současnosti nejpoužívanější metodou. Lze ji totiž využít pro oceňování složitějších opčních struktur a exotických opcí, v dnešním finančním světě naprosto běžných (Wilmott, 2001).
*
Ing. Jan Vlachý, Ph.D. – konzultant; přednáší na City University of Seattle.
[email protected]
Druhou alternativou z oblasti numerické matematiky jsou statistické simulace, které sice pro oceňování opcí navrhl již Boyle (1977), patrně tím však poněkud předběhl svou dobu. Z pohledu finančních opcí a přesnosti, která se při jejich oceňování vyžaduje, se totiž metoda Monte Carlo zpravidla jeví jako výpočetně neúměrně náročná, proti čemuž ve valné většině případů nestojí žádné zřejmé výhody oproti jiným metodám, analytické (pokud takové řešení existuje) nebo rekurzivní1. V některých typech aplikací z oblasti reálných opcí se ovšem jedná o metodu perspektivní. Umožňuje totiž výstižně charakterizovat konkrétní reálné procesy složitých dynamických systémů včetně zpětných vazeb (Dlouhý a kol., 2007). Je přitom dostatečně názorná a dobře se prezentuje, což je v manažerské praxi neocenitelné. Při hodnocení investičních projektů také zpravidla nejde o dokonalou přesnost výsledků (s tím jsou ostatně rozumní investoři srozuměni i u tradičně používaných metod rozhodování), ale o porovnávání různých variant řešení a posuzování jejich citlivosti na různá rizika (Kislingerová a kol., 2007). Tento příspěvek demonstruje využití statistické simulace pro řešení optimalizační úlohy, představující problém projektování rezervní kapacity výrobního zařízení. Jde o případovou studii, která ukazuje přednosti a charakteristiky této metody (srov. též Hnilica, 2007) a může posloužit jako východisko pro heuristické řešení analogických problémů v podnikové praxi, případně k didaktickým účelům.
Formulace problému pro standardní analýzu Posuzujeme projekt výrobní linky s počátečními investičními náklady I a životností T. Obchodní plán předpokládá roční prodej N kusů výrobku za jednotkovou cenu P, při přímých jednotkových nákladech U a ročních fixních nákladech F. Na konci doby životnosti zařízení se předpokládá jeho čistá zůstatková hodnota Z. Je stanoven požadovaný výnos (diskontní sazba) r. Standardní postup při investičním rozhodování (Kislingerová a kol., 2007) by vycházel z výpočtu čisté současné hodnoty projektu podle notoricky známého obecného vztahu (1). T
(1)
NPV =
CFt
∑ (1 + r ) t =0
t
Řešení takové úlohy je velmi snadné2, trpí však zásadní slabinou. Nijak nezohledňuje nejistotu v tržní poptávce na straně jedné (nemluvě o jiných rizikových faktorech, jako například tržní ceně výrobku), ale ani schopnost podniku této nejistotě operativně čelit na straně druhé. Nějaké dodatečné informace by sice poskytla citlivostní analýza, tedy výpočet a interpretace ukazatele ∂NPV / ∂N, ani to však není hodnotová veličina, kterou lze bez dalšího použít jako vstup pro optimalizaci.
1
Míru problému názorně demonstruje jednoduchý propočet: Kalkulace všech možných variant řešení by při pouhé stovce úrovní uzlů binomického stromu, což je u finančních opcí spíše pod hranicí požadované citlivosti, vyžadoval více než 1030 simulačních běhů. To je stále hodně i při současném výkonu výpočetní techniky a přesto, že existují metody, které efektivnost simulací zvyšují (Clewlow a Strickland, 1998). 2 Při daném, nesmírně jednoduše formulovaném zadání, kde se odhadnuté parametry v čase nemění, je výpočet možné převést na analytickou formu NPV = - I + [N × (P – U)] × [(1 + r)T – 1] / [r × (1 + r)T] + Z / (1 + r)T, přičemž člen [(1 + r)T – 1] / [r × (1 + r)T] představuje, pro dané r a T, konstantní anuitní faktor.
Problém rezervní výrobní kapacity se tedy při běžné investiční analýze fakticky redukuje na otázku, jestli s ní jsou spojeny nějaké dodatečné výdaje. Pokud tomu tak je3, vede tato metoda investičního rozhodování k jednoznačnému závěru projektovat zařízení přesně s kapacitou, odpovídající plánované poptávce (dotyčná varianta má největší NPV, přičemž jde o vzájemně se vylučující projekty). Investor tedy nebude tvořit žádnou rezervní kapacitu, případně bude rozhodnutí o její výstavbě dáno taktickými namísto strategickými ohledy, nebo bude čistě intuitivní.
Formulace problému pro statistickou simulaci Při využití statistické simulace je daný problém možné formulovat s mnohem realističtějšími předpoklady, a přitom dospět ke kvantitativně vyjádřeným výsledkům, umožňujícím definovat problém jako optimalizační. V této části popíšeme strukturu modelu tak, aby byla v souladu s následující případovou studií; níže pak některé předpoklady diskutujeme detailněji, případně zmíníme různé alternativy postupu. Především je nutné zvolit základní rizikový parametr, ovlivňující hodnotu projektu. Budeme předpokládat, že primárním rizikovým faktorem je roční poptávka D(t), determinující maximální množství, které je možné prodat, a ostatní proměnné veličiny projektu, případně manažerská rozhodnutí, se od ní nějakým způsobem odvíjejí. Poptávku definujeme jako stochastický jev, odpovídající statistickému rozdělení s určitými parametry4 a necháme ji generovat počítač v rámci jednotlivých experimentů. Protože zkoumáme vliv maximální projektované výrobní kapacity na hodnotu projektu, definujeme tuto veličinu jako konstantní parametr Nmax, vyplývající z technologických vlastností posuzované investiční varianty. Skutečně vyrobené a prodané množství (abstrahujeme zde od možnosti tvorby či čerpání zásob hotových výrobků) pak bude v daném období charakterizováno kritériem (2). (2)
Ni = min{Di; Nmax}
U metody Monte Carlo ovšem můžeme také algoritmizovat dopady (ať už exogenní nebo endogenní) změny poptávky. Především bude růst či pokles poptávky patrně nějak spojen se změnou realizované prodejní ceny (při nízké poptávce se konkurenti budou snažit o stimulaci poptávky slevami či jinými ekonomickými nástroji, při vysoké poptávce si budou moci dovolit účtovat vyšší ceny, omezovat rabaty distributorům apod.) Pro tento účel odhadneme závislost5 Pi = ƒ(Di). Ta může být v zásadě spojitá i nespojitá. Jako celkem realistický, a přitom jednoduchý, se jeví předpoklad ad-hoc cenové úpravy při určité minimální relativní změně poptávky oproti předchozímu období. Tomu odpovídá funkce (3).
3
Dá se předpokládat, že větší výrobní kapacita v praxi alespoň v nějaké minimální míře ovlivní investiční výdaje I (je třeba nakoupit více strojů či zajistit větší prostory) nebo režijní náklady U (nákladnější údržba, pojištění apod.), případně obojí. 4 Jeho medián lze, pro zachování konzistence srovnání, chápat jako očekávaný prodej podle obchodního plánu u standardní úlohy, tzn. µ = N. 5 Nejedná se pochopitelně o poptávkovou funkci, definující ekonomickou rovnováhu (srov. Varian, 1995), nýbrž především o důsledek krátkodobého taktického rozhodování soutěžitelů s pomocí nástrojů podpory prodeje.
(3)
Pi | (Di – Di-1 < Di-1 δneg) = Pi-1 (1 – ∆neg) Pi | (Di – Di-1 > Di-1 δpos) = Pi-1 (1 + ∆pos) Pi | (Di-1 δneg ≤ Di – Di-1 ≤ Di-1 δpos) = Pi-1
Další reakcí na silný pokles poptávky může být její podpora pomocí marketingové kampaně v následujícím období. Použijeme jednoduchou diskrétní funkci, specifikující dodatečný fixní výdaj Mi za předpokladu, že poptávka poklesne pod určitou pevnou hranici, vyjádřenou vztahem (4). (4)
Mi | (Di-1 < Dmark) = M Mi | (Di-1 ≥ Dmark) = 0
Nejistotě podléhá i odhad čisté zůstatkové hodnoty projektu ZT. Ten je při investiční analýze vždy dost nesnadný (jde samozřejmě o tržní, nikoliv účetní hodnotu), ale jeho vliv na výsledek nebývá obzvlášť velký. Vyjdeme proto ze značně zjednodušujícího předpokladu, že původní odhad Z souvisí s odhadem N a skutečná hodnota ZT do značné míry závisí na využitelnosti zařízení pro další výrobu, s vazbou na aktuální tržní podmínky v posledním roce projektu; ty lze zhruba aproximovat počtem vyrobených kusů v posledním období NT. Nejistotu pak vyjádříme jednoduchou funkcí (5). (5)
ZT / Z = NT / N
Takto definovaný model je na jedné straně poměrně realistický, na straně druhé ale také dobře ilustruje různé typy algoritmů, se kterými je při statistických simulacích možné pracovat.
Diskuse předpokladů a technická realizace experimentu U metody Monte Carlo je klíčová volba základního stochastického parametru (může jich ovšem být i více). V daném případě je zřejmě jasná volba tržní poptávky, hodnota projektu by však mohla záviset například i na některé nákladové složce, kterou je rovněž možné modelovat. Je také nutné určit, zda jsou v rámci každého experimentu jednotlivé generované parametry nezávislé nebo zda mezi nimi existují závislosti (například korelace nebo předpokládaný vývoj v čase). Volba konkrétního rozdělení a jeho parametrů může vycházet (Fiala, 2006) z expertního odhadu, stejně jako z ekonomického modelu či statistické analýzy. Jednou z předností statistické simulace je ostatně i možnost testování různých stochastických předpokladů z hlediska „rozumného“ fungování celého systému (na potenciální problém může upozornit například extrémní divergence výsledků).
Pečlivě zvážit je třeba periodicitu simulačních kroků. Může jít o periodu roční, ale i kratší (patrně zejména čtvrtletní nebo měsíční). V zásadě by tato volba měla být konzistentní s východisky dané projektové analýzy, pro krátké periody nemusejí být k dispozici potřebné vstupy (pokud by byly odhadnuty pouhou extrapolací, nemuselo by takové zpřesnění být nijak přínosné, pouze by zbytečně zvyšovalo výpočetní náročnost experimentu). Podrobnější členění je ovšem rozhodně nutné například tam, kde hraje významnou roli sezónnost. Formulace kapacitního omezení může být dána výčtem nebo spojitou funkcí, i když porovnání konečného počtu projektových variant je v daném kontextu patrně realističtější. Pomocí zobecněného zadání je však někdy možné dojít třeba i k úplně novému (a potenciálně výhodnějšímu) řešení6. V praxi bude model přirozeně rozšířen o řadu dalších parametrů, ovlivňujících hodnotu projektu, jako jsou daňová sazba, odpisové schema, či o podrobnější charakteristiku variabilních nákladů, což je celkem triviální. Mohou ale do něj být zahrnuty například i důsledky možného skladování výrobků, a tedy přesahy výroby a prodeje, mezi jednotlivými obdobími (úloha pak ovšem získává další opční parametr, daný maximální kapacitou skladu). Vedle toho stojí volba a algoritmizace směrodatných rozhodovacích procesů. V tomto směru si lze představit řadu způsobů zdokonalení modelu, je však třeba posoudit, které z nich jsou skutečně relevantní. Z pohledu dané optimalizační úlohy by patrně bylo žádoucí především analyzovat různé reálné možnosti rozšíření kapacity výrobního provozu, z nichž některé mohou být neinvestičního charakteru (zavedení směnného provozu, subkontrahování dílčích činností). Tyto reakce na zvýšenou poptávku je v rámci simulačního modelu ovšem také možné algoritmizovat, obnášejí-li dodatečné náklady. Uvedená případová studie byla řešena pomocí programového vybavení Crystal Ball, což je komerčně dostupná simulační nástavba nad tabulkovým kalkulátorem MS Excel (Charnes, 2007). Tímto nástrojem (nebo jiným specializovaným simulačním software) se dosáhne dobré efektivity výpočtů, k dispozici je kvalitní generátor pseudonáhodných čísel, stejně jako řada vestavěných stochastických funkcí. Crystal Ball navíc obsahuje užitečná funkční rozšíření, umožňující například testování vhodnosti statistických rozdělení na empirických datech nebo optimalizační proceduru. Experimenty byly prováděny ve 100 000 simulačních cyklech, což poskytuje více než uspokojivou přesnost odhadu očekávané hodnoty projektu cca 100 tis. Kč na 99% úrovni spolehlivosti. Experiment lze ovšem realizovat (Vlachý, 2009) i přímo v tabulkovém kalkulátoru MS Excel, což dokonale demonstruje přístupnost a nenáročnost této metody pro jednoduché podnikové aplikace nebo simulace v rámci výuky (srov. např. Barreto a Howland, 2006), aniž by se při prezentacích bylo nutné obávat problémů s kompatibilitou programového vybavení. S dnes nijak nadprůměrným technickým vybavením7 nepřesahuje délka takto realizovaného experimentu při 20 tis. simulacích 3 sekundy, což je pro praktické účely naprosto přijatelné (pro srovnání, zhruba to odpovídá rychlosti simulace s použitím nástroje Crystal Ball při pětinásobném počtu cyklů). Přesnost odhadu středního NPV při tomto počtu simulací je stále ještě použitelných cca 300 tis. Kč na 99% úrovni spolehlivosti.
Případová studie
6
V případové studii zjistíme, že je za daných předpokladů výhodnější projektovat kapacitu 120 tis. ks/rok než kapacitu 100 tis. Kč/rok. Podrobnější analýza ale ukáže, že by mohlo být ještě výhodnější uvažovat kapacitu cca 115 tis. Kč/rok a naopak, nemělo by žádný smysl budovat kapacitu větší než 120 tis. ks/rok. 7 MS Excel 2000, Windows XP Professional SP3, AMD Athlon 64 X2 Dual 5600+, 4 GB RAM.
Volíme následující zadání numerického příkladu: T = 5 let, U = 600 Kč, P0 = 1 000 Kč, Z = 15% × I. Projekt výrobní linky byl původně navržen ve dvou variantách, a to s mezní kapacitou 1Nmax = 100 000 ks/rok, což vyžaduje počáteční investici 1I = 90 mil. Kč a fixní náklady 1F = 5,0 mil. Kč/rok, nebo s kapacitou 2Nmax = 120 000 ks/rok při 2I = 93 mil. Kč, 2 F = 5,5 mil. Kč/rok. Požadovaný výnos r = 12%. V první fázi řešení obě navržené varianty porovnáme. Pro účel úplné optimalizace pak problém zobecníme lineární extrapolací funkčních závislostí I = ƒ(Nmax), F = ƒ(Nmax) ve funkčním intervalu Nmax = <50 000; 150 000> ks/rok. Definujme poptávku Di = ƒ(µ; σ) jeko stochastický proces, podléhající normálnímu rozdělení8 s parametry µ = 100 000 ks, σ = 15 000 ks. Zjednodušeně řečeno tedy očekáváme poptávku ve výši 100 tis. kusů, přičemž s pravděpodobností 68% bude poptávka ležet v intervalu <85 tis. ks; 115 tis. ks>. Vycházíme z cenové funkce ve tvaru (3) a odhadujeme δpos = - δneg = 6%, ∆pos = 2%, ∆neg = 5%, což implicitně definuje proces úpravy tržních cen na základě aktuální poptávky9. Dále odhadujeme dále cenu marketingové kampaně M = 500 tis. Kč a předpokládáme její spuštění v důsledku poklesu poptávky pod Dmark = 90 000 ks. Řešení optimalizačního problému Simulací první varianty (bez kapacitní rezervy) vytvoří model distribuční funkci četností NPV, kterou ukazuje Obrázek 1 (nejedná se o normální rozdělení, jak by se mohlo na první pohled zdát; je ale dosaženo vysoké míry shody s beta rozdělením; výsledky regresní analýzy lze najít v Poznámce 13). Prostou kalkulací základních výběrových charakteristik z výsledků simulací získáme očekávanou hodnotu (medián) projektu 1E(NPV) = 24,9 mil. Kč. Podobně můžeme kvantifikovat i rizika této varianty. Například nejhorší možnou hodnotu projektu se spolehlivostí 95% (5. distribuční percentil) 1NPV95% = 3,7 mil. Kč. Projekt tedy bude pro investora přijatelný. Obr. 1: Experimentální distribuční funkce NPV (Nmax = 100 000 ks/rok)
8
K tomu je třeba poznamenat, že zvolený proces předpokládá nezávislost aktuální poptávky na poptávce v předchozím roce, protože k oživení nebo útlumu vzniku trendu poptávky přispívá proces úpravy cen (případě též podpory prodeje dalšími marketingovými nástroji). Pokud by se očekával nějaký trend v poptávce, je ho možné zohlednit přímo zadáním různých plánovaných hodnot {N1, ...NT}. Předpoklad normálního rozdělení rovněž nevylučuje generování nerealistické záporné poptávky (při daných parametrech je to ovšem výjimečné a tyto případy lze ze simulace vyřadit). 9 Zvolené parametry naznačují, že nástroje na podporu prodeje reagují při poklesu poptávky intenzivněji než při růstu poptávky.
Zdroj: autor
Abychom zvolili optimální řešení z hlediska výrobní kapacity projektu, modelujeme i jeho druhou variantu (s 20% kapacitní rezervou). V tomto případě vychází očekávaná hodnota 2 E(NPV) = 27,9 mil. Kč, s rizikovým parametrem 2NPV95% = 2,4 mil. Kč. Druhá alternativa je tedy výrazně hodnotnější, i když je v důsledku větší provozní páky mírně rizikovější. Parametry porovnávaných variant jsou shrnuty v následující Tabulce 1 a zcela jednoznačně by měla být zvolena varianta projektu s větší kapacitou (na 95% úrovni spolehlivosti je vždy výhodnější minimálně o 1,7 mil. Kč). Tab. 1:Parametry posuzovaných variant projektu (normální rozdělení D) ukazatel I Nmax F E(NPV) NPV95% NPV99%
popis investiční výdaj maximální kapacita fixní náklady medián NPV 5. percentil distribuce NPV 1. percentil distribuce NPV
Varianta 1 (bez rezervy) Varianta 2 (s rezervou) 90 mil. Kč 93 mil. Kč 100 000 ks/rok 120 000 ks/rok 5,0 mil. Kč/rok 5,5 mil. Kč/rok 24,9 mil. Kč 27,9 mil. Kč 3,7 mil. Kč 2,4 mil. Kč - 4,4 mil. Kč - 6,8 mil. Kč Zdroj: autor
Pro úplnou optimalizaci extrapolujeme funkční závislostí I = 75 000 000 + 150 × Nmax, F = 2 500 000 + 25 × Nmax. Analýza pak proběhne tak, že řadou diskrétních experimentů (těch nemusí být nijak mnoho a v zásadě je tedy možno postupovat „ručně“, případně si k tomuto účelu vytvořit pomocný skript)10 prozkoumáme určitý, samozřejmě racionálně zvolený, funkční interval Nmax. Výsledek takové analýzy názorně ukazuje graf na Obrázku 2.
10
Hustota posuzovaných variant nemusí být nijak vysoká, měla by v zásadě odpovídat spolehlivosti odhadu NPV při daném navržení experimentu (počtu simulačních kroků). To je možné posoudit jednoduchou citlivostní
Obr. 2: Optimalizace maximální projektované kapacity 29 28
E(NPV ) [mil. Kč]
27 26 25 24 23 22 21 90
100
110
120
130
140
150
N max [tis. ks]
Zdroj: autor
Je na první pohled vidět, že oblasti Nmax < 100 tis. ks, resp. Nmax > 140 tis. ks jsou pro další úvahy nezajímavé (v prvním případě by nebyla uspokojena ani plánovaná poptávka, ze které vyplývá odhad režie, ve druhém případě by rezerva byla tvořena na poptávku, kterou již považujeme za velmi nepravděpodobnou). Maximum je nutné hledat někde v intervalu Nmax = 〈113; 117〉 tis. ks, přesnější odhad není při zvolené spolehlivosti (kterou ilustrují intervalové úsečky) možný. Pro praktické účely by to ovšem pravděpodobně byl uspokojující výsledek. Crystal Ball ale také (ve verzi Professional), mimo jiné, zahrnuje vyspělý metaheuristický optimalizační nástroj OptQuest, jehož algoritmus je vhodný pro hledání globálních optim funkcí s významnou mírou nejistoty. S jeho využitím11 záhy nalézá optimum na úrovni Nmax = 114 700 ks, což je v zásadě konzistentní výsledek s výše uvedeným (opět bychom ho v praxi patrně zaokrouhlili na 115 tis. ks, což fakticky ukazuje, že pro daný účel není využití tohoto programu nijak nezbytné). Alternativní statistická rozdělení V simulačním modelu je samozřejmě možné vycházet z nepřeberného množství statistických rozdělení základního rizikového parametru, případně lze různá rozdělení velmi jednoduše testovat. Ukážeme zde proto ještě řešení daného problému, vycházející z předpokladu trojúhelníkového rozdělení poptávky. Jedná se o teoretické statistické rozdělení
analýzou. Protože chyba odhadu E(NPV) činí zhruba 100 tis. Kč, nemá smysl, aby byly posuzovány menší odchylky Nmax než odpovídá ∆NPV = 100 tis. Kč při dané citlivosti ∆NPV / ∆Nmax. Na Obrázku 2 je názorně vidět, že menší intervaly ∆Nmax než 1 tis. ks již v tomto případě kvalitu analýzy nijak nezvyšují (byla například změřena větší E(NPV) při Nmax = 123 000 ks než při Nmax = 122 000 ks, ovšem v rámci chyby daného experimentu). 11 Nastaveny diskrétní kroky proměnné Nmax po 100 kusech v intervalu 〈50; 200〉 tis. ks a s požadavkem zastavení simulace po 51 krocích bez zlepšení optimalizované veličiny E(NPV).
s minimální informací, a proto se v praxi s oblibou používá při aplikaci kvalifikovaných expertních odhadů (Fiala, 2006)12. Použijeme trojúhelníkové rozdělení Di(a, b, c) s minimální hodnotou a = 63 000 ks, maximální hodnotou b = 137 000 ks a modální hodnotou c = 100 000 ks, které je v základních rysech podobné původnímu normálnímu rozdělení (obě rozdělení mají stejný medián, směrodatnou odchylku a jsou symetrická, takže by je bylo možné vztahovat k obdobně formulovanému odhadu). Výsledky provedených simulací pro obě základní posuzované varianty projektu shrnujeme v Tabulce 2. Tab. 2: Parametry posuzovaných variant projektu (trojúhelníkové rozdělení D) ukazatel I Nmax F E(NPV) NPV95% NPV99%
popis investiční výdaj maximální kapacita fixní náklady medián NPV 5. percentil distribuce NPV 1. percentil distribuce NPV
Varianta 1 (bez rezervy) Varianta 2 (s rezervou) 90 mil. Kč 93 mil. Kč 100 000 ks/rok 120 000 ks/rok 5,0 mil. Kč/rok 5,5 mil. Kč/rok 24,7 mil. Kč 27,9 mil. Kč 3,4 mil. Kč 2,1 mil. Kč - 4,5 mil. Kč - 7,1 mil. Kč Zdroj: autor
Porovnáním uvedených hodnot s Tabulkou 1 jasně vidíme, že numerické výsledky experimentů se změnily jen nepatrně. Na závěry této konkrétní analýzy samozřejmě nebude mít daná úprava předpokladů dopad vůbec žádný13.
Závěr Tento příspěvek ukazuje přednosti metody statistické simulace při řešení úloh kapacitní optimalizace v rámci investičního rozhodování. Jsou jimi především názornost, značná přizpůsobivost zadání a jeho předběžné analýze, schopnost realistického popisu dynamických procesů se zpětnými vazbami, ale i technická dostupnost. K heuristicky použitelným výsledkům lze dospět s velmi jednoduchým vybavením, v krajním případě i na úrovni domácího osobního počítače bez jakéhokoliv specializovaného software. Případová studie rovněž demonstruje věcný význam reálné opce rozšíření výroby, která může podstatně zvyšovat hodnotu projektu i při dodatečných nákladech. Pomocí naznačeného postupu je možné projekt ocenit, a dospět tak ke kvantitativnímu porovnání nabízených alternativ ekonomicko-technologického řešení, případně navrhnout nové varianty s optimálními charakteristikami.
12
Další možností by bylo použít tzv. betaPERT rozdělení, kde se vychází ze stejných parametrů jako u trojúhelníkového rozdělení, ale funkce je hladká, což působí, jde-li o popis skutečné veličiny, poněkud realističtěji. 13 Pro případné zobecnění závěrů je důležité, že výrazné rozdíly nenajdeme ani při statistická analýze celého rozsahu empirického rozdělení NPV. Zatímco při použití normálního rozdělení D je podle AndersonovaDarlingova testu = 5,4269 pozorována nejlepší shoda (rozdělení na Obrázku 1) s beta rozdělením s parametry min = -23 662 222 Kč, max = 58 918 747 Kč, α = 5,73088, β = 4,17, trojúhelníkové rozdělení D dává výsledek testu A-D = 6,2138 s beta rozdělením min = -22 751 098 Kč, max = 58 959 032 Kč, α = 5,57639, β = 4,12.
Za zmínku také stojí některé zásadní odlišnosti zadání a postupu řešení ve srovnání s často uváděnými a popularizovanými metodami oceňování reálných opcí, v zásadě vycházejícími ze zákonitostí finančních opcí. Případ není především snadné popsat běžnou opční terminologií (i když se v něm opce vyskytují) a pro jeho pochopení a modelování to dokonce ani není potřeba. Parametrizovaným podkladovým aktivem také není současná hodnota projektu či podniku ani její proxy, jako například volný peněžní tok, a není tedy nutné vycházet z předpokladu jejich normálního nebo log-normálního rozdělení (v uvedeném příkladu jsme ostatně zjistili, že NPV ve skutečnosti ani tuto charakteristiku nevykazuje). Tímto konkrétním statistickým předpokladem ale není nutné podmiňovat ani chování konkrétních zvolených rizikových veličin, což nejlépe ukazuje porovnání s řešením stejného problému při alternativním rozdělení poptávky.
Literatura [1] Barreto, H. – Howland, F.M. (2006) Introductory Econometrics: Using Monte Carlo Simulation with Microsoft Excel. Cambridge (UK): Cambridge University Press, 2006. [2] Black, F. – Scholes, M. (1973) The Pricing of Options and Corporate Liabilities. Journal of Political Economy, 1973, roč. 81, č. 3, s. 637-654. [3] Boyle, P (1977) Options: A Monte Carlo Approach. Journal of Financial Economics, 1977, roč. 4, č. 3, s. 323-338. [4] Charnes, J. (2007) Financial Modelling with Crystal Ball and Excel. London (UK): John Wiley, 2007. [5] Cox, J.C. – Ross, S.A. – Rubinstein, M. (1979) Option Pricing: A Simplified Approach. Journal of Financial Economics, 1979, roč.7, č. 3, s. 229-263. [6] Dlouhý, M. a kol. (2007) Simulace podnikových procesů. Brno: Computing Press, 2007. [7] Fiala, P. (2006) Modely a metody rozhodování. Praha: VŠE, 2006. [8] Hnilica, J. (2007) Simulace Monte Carlo při oceňování podniku. Controller News, 2007, roč. 13, č. 3, s. 14-17. [9] Kislingerová, E. a kol. (2007) Manažerské finance. 2. vyd. Praha: C.H.Beck, 2007. [10] McDonald, R. – Siegel, D. (1986) The Value of Waiting to Invest. Quarterly Journal of Economics, 1986, roč. 101, č. 4, s. 707-728. [11] Myers, S.C. (1977) Determinants of Corporate Borrowing. Journal of Financial Economics, 1977, roč. 5, č.2, s. 147-175. [12] Reuter, J.J. – Tong, T.W. (eds.) (2007) Real Options in Strategic Management. Advances in Strategic Management, 2007, roč. 27, 506 s. [13] Scholleová, H. (2007) Hodnota flexibility: Reálné opce. Praha: C.H.Beck, 2007. [14] Starý, O. (2003) Reálné opce. Praha: A plus, 2003. [15] Trigeorgis, L. (1996) Real Options in Capital Budgeting, Managerial Flexibility and Strategy in Resource Allocation. Cambridge (MA): MIT Press, 1996. [16] Varian, H.R (1995) Mikroekonomie: Moderní přístup. Praha: Victoria Publishing, 1995. [17] Vlachý, J. (2009) Optimalizace investičního projektu s využitím statistické simulace. In Sborník příspěvků 4. mezinárodní vědecké konference [CD ROM]. Znojmo: SVŠE, 2009.
[18] Wilmott, P. (2001) Paul Wilmott Introduces Quantitative Finance. Chichester (UK): John Wiley, 2001.
Model ocenění rezervní kapacity projektu Jan Vlachý ABSTRAKT Článek se zabývá řešením problému optimalizace produkční kapacity investičního projektu. Analýza a případová studie ukazují, že se jedná o zvláštní případ situace s reálnými opcemi, který lze velmi dobře řešit pomocí statistické simulace. Metodu lze doporučit jako heuristický nástroj pro investiční rozhodování v podnicích, ale i pro výuku na vysokých školách. Klíčová slova: Investiční rozhodování, reálné opce, rezervní kapacita, statistická simulace, Monte Carlo.
A Valuation Model for Project Standby Capacity ABSTRACT This paper addresses the issue of project standby capacity optimization for capital budgeting. A detailed analysis and case study show that this is a particular real-option based situation, which solicits the use of statistical simulation. The method can be recommended as a useful heuristic for corporate capital budgeting, as well as for college-level class instruction. Key words: Capital Budgeting, Real Options, Standby Capacity, Statistical Simulation, Monte Carlo. JEL classification: C63, G31, M21
