MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY

Úloha č. 10

MĚŘENÍ INDUKČNOSTI A KAPACITY ÚKOL MĚŘENÍ: 1. Změřte indukčnost cívky bez jádra z její impedance a stanovte nejistotu měření. 2. Změřte na Maxwellově můstku indukčnost cívky a určete nejistotu měření. Porovnejte výsledky měření podle bodů 1 a 2. 3. Stanovte kapacitu kondenzátoru z jeho impedance. Vypočtěte nejistotu měření 4. Určete fázový posun ϕ napětí a proudu měřené cívky. Vypočtěte ztrátový činitel měřeného kondenzátoru. 5. Změřte závislost I = f (C) sériového rezonančního obvodu. 6. Změřte napětí na cívce a kondenzátoru při rezonanci a určete velikost kapacity kondenzátoru při rezonanci.

1. TEORETICKÝ ÚVOD 1.1 Indukčnost Indukčnost L je staticky definována součtem všech magnetických toků φ uzavřených jednotlivými závity, vyvolaných jednotkovým proudem I: φ = L I. (1) Vlastní indukčnost závisí na geometrickém uspořádání obvodu, jeho rozměrech a na magnetických vlastnostech prostředí. Kromě statické definice je možno indukčnost též definovat ze vztahu di εi = −L . (2) dt

Jednotkou indukčnosti L je henry (H); je to indukčnost uzavřeného obvodu, ve kterém vznikne elektromotorické napětí 1 V, když se elektrický proud, který tímto obvodem teče, rovnoměrně změní o 1 A za 1 s. V elektrickém obvodu se indukčnost chová jako zásobník energie magnetického pole. Ve skutečnosti každá cívka má nejen vlastní indukčnost L, ale i ohmický odpor RL , který je tvořen odporem vodiče. Jsou-li závity cívky navinuty na feromagnetickém jádře, pak je její indukčnost vzhledem k cívce bez jádra vždy větší a je závislá na velikosti protékajícího proudu. Připojíme-li ke zdroji střídavého napětí u sinusového průběhu o amplitudě U0 u = U 0 sin ω t

(3)

ohmický odpor R (obr. 1a), pak z Ohmova zákona plyne pro okamžitou hodnotu proudu i: u U (4) i = = 0 sin ω t = I 0 sin ω t , R R

118

kde I0 je amplituda proudu i, ω = 2π f a f je frekvence střídavého napětí. Ze vztahů (3) a (4) je zřejmé, že průběh napětí u i proudu i je sinusový (obr. 1b). Vektor napětí Uˆ na odporu R R

a vektor proudu IˆR jím tekoucí jsou ve fázi (obr. 1c) a tudíž fázový posun ϕ je nulový:

ϕ = 0.

(5)

u i

IR

b

UR

R

Obr. 1 b) Časový průběh napětí a proudu na odporu

a) Odpor připojený ke zdroji

c) IˆR , Uˆ R na odporu

Připojíme-li ke zdroji střídavého napětí u, popsaného rovnicí (3), ideální bezeztrátovou indukčnost L (obr. 2a), pak pro proud i indukčností tekoucí lze odvodit: U π  (6) i = 0 cos ω t = I 0 sin  ω t −  . 2 ωL  Amplituda proudu je úměrná amplitudě napětí: U0 = ω L I0 = X L I0 ,

(7)

kde XL = ω L je impedance indukčnosti nebo též induktance. Induktance představuje odpor, který klade indukčnost střídavému proudu. Je závislá na frekvenci f. Proud i je zpožděn za napětím (obr. 2b) o úhel ϕ :

ϕ=

π 2

.

(8)

Vektory napětí Uˆ L na ideální indukčnosti a proudu IˆL jí tekoucí jsou posunuty o úhel 90° (obr. 2c). u, i

U0

u I 0

i t

IL

Obr. 2 a) Indukčnost připojená ke zdroji b) Časový průběh napětí a proudu na indukčnosti c) IˆL , Uˆ L na indukčnosti

Náhradní schéma skutečné cívky je tvořeno indukčností L a odporem R cívky zapojenými v sérii (obr. 3a). Vektorový diagram skutečné cívky (obr. 3c) se sestrojí podle předchozích poznatků. Obvodem teče proud Iˆ , napětí Uˆ zdroje se dělí na napětí Uˆ R na odporu R a 119

napětí Uˆ L na ideální indukčnosti L. Proud Iˆ je ve fázi s napětím Uˆ R na odporu R a zpožděn o 90° za napětím Uˆ L . Pro napětí Uˆ zdroje platí Uˆ = Uˆ R + Uˆ L . Mezi napětím Uˆ a proudem Iˆ vznikne fázový posun ϕ, pro který platí: 0<ϕ <

π 2

.

(9) UL

u, i u u

U0 i

I0

i

t

L

R

a) Cívka připojená ke zdroji

U

Obr. 3 b) Časový průběh napětí a proudu na cívce

UR

c) Vektorový diagram napětí a proudu na cívce

Průběh napětí u a proudu i vzájemně posunutých na skutečné cívce o úhel ϕ, je na obr. 3b. Z vektorového diagramu na obr. 3c pro velikost napětí U platí:

U = U R2 + U L2 =

(R I )2 + (ω L I )2

=I

R 2 + ω 2 L2 ,

(10)

U = Z ⋅I ,

(11)

Z = R 2 + ω 2 L2 .

(12)

kde

Z je impedance skutečné cívky a uvádí se v ohmech. Je to odpor, který klade skutečná cívka průchodu střídavého proudu. Z vektorového diagramu na obr. 3c též plyne pro fázový posun ϕ proudu Iˆ a napětí Uˆ tgϕ =

UL ωLI ωL = = . UR RI R

(13)

1.2 Kapacita Kapacita C je definována jako poměr mezi nábojem Q a napětím U mezi deskami kondenzátoru: Q C= . (14) U Jednotkou kapacity je farad (F). Velmi často se užívají menší jednotky: 1 pF = 10-12 F, 1 nF = 10-9 F, 1 µF = 10-6 F. Připojíme-li ke zdroji střídavého napětí u o amplitudě U0, u = U0 sin ω t bezeztrátový kondenzátor o kapacitě C (obr. 4a), pak pro proud i, tekoucí kondenzátorem, lze odvodit:

120

π  i = ω CU 0 cos ω t = I 0 sin  ω t +  . 2 

(15)

Proud i předbíhá napětí u o úhel ϕ = 90° (obr. 4b). Vektorový diagram napětí Uˆ C a proudu Iˆ kondenzátoru je na obr. 4c. C

u

u, i u

IC

U0 i

i I0

C

UC t

Obr. 4 b) Časový průběh napětí a proudu na kapacitě

a) Kapacita připojená ke zdroji

c) IˆC , Uˆ C na kapacitě

Ze vztahu (15) plyne I0 = ω CU0 ⇒ U0 =

XC =

I0 = X C I0 , ωC

1 1 = , ωC 2π f C

(16)

kde XC je impedance nebo též kapacitance bezeztrátového kondenzátoru. Uvádí se v ohmech. Představuje odpor, který klade ideální bezeztrátový kondenzátor průchodu střídavého proudu. Kapacitance je tudíž závislá na frekvenci f proudu napájecího zdroje. Ze vztahu (16) je zřejmé, že pro stejnosměrný proud je f = 0 a XC = ∞. Kondenzátor stejnosměrný proud nepropustí. Kondenzátor se v elektrickém obvodu chová jako zásobník energie elektrického pole. Je tvořen dvěma elektrodami, mezi nimiž je dielektrikum (vzduch, slída apod.). Při průchodu střídavého proudu každý kondenzátor vykazuje ztráty, které jsou způsobeny nedokonalou izolací dielektrika, ohmickým odporem elektrod i ztrátami v dielektriku při střídavé polarizaci. Ztráty se projeví ohříváním dielektrika. Proto si lze skutečný kondenzátor představit jako bezeztrátový kondenzátor C (obr. 5a), k němuž je paralelně připojen svodový odpor R, jehož velikost je úměrná ztrátám. Proud IˆC (obr. 5b), tekoucí kondenzátorem, předbíhá napětí Uˆ na kondenzátoru o úhel 90° a proud Iˆ , R

a) Kondenzátor připojený ke zdroji

Obr. 5 b) Vektorový diagram proudu a napětí na kondenzátoru

121

protékající svodovým odporem R, je s napětím Uˆ ve fázi. Z vektorového diagramu je zřejmé, že Iˆ = IˆR + IˆC . Mezi napětím Uˆ a proudem Iˆ vznikne fázový posun ϕ, pro který platí: 0 < ϕ <  2 U   U I = I R2 + I C2 =   +  R  1 ωC 

π 2

. Velikost celkového proudu I v obvodu je:

2

   =U   

1 +ω2 C2 . 2 R

(17)

Impedance skutečného kondenzátoru je: Z=

U = I

1 1 +ω2 C2 R2

.

(18)

Představuje odpor, který klade skutečný kondenzátor průchodu střídavého proudu. Většinou 1 je svodový odpor R kondenzátoru velký, proto ve vztahu (18) lze často člen 2 zanedbat, R takže impedance kondenzátoru se pak rovná jeho kapacitanci:

Z=

U 1 = . I ωC

(19)

Z vektorového diagramu (obr. 5b) je fázový posun ϕ : tgϕ =

IC U ω C = =ωCR. U IR R

V praxi se však pro posouzení kvality kondenzátoru uvažuje tzv. ztrátový úhel δ, pro nějž platí δ =

π

2

− ϕ , z něhož se určuje ztrátový činitel tg δ :

tgδ =

IR 1 = . IC ω C R

(20)

Velikost ztrátového činitele závisí na použitém dielektriku kondenzátoru (bývá v rozmezí 10-5 až 10-1) a na frekvenci, pro níž je udán.

1.3 Sériová rezonance Sériový rezonanční obvod tvoří cívka o indukčnosti L a odporu R a kondenzátor o kapacitě C, zapojené v sérii (obr. 6). Obvodem teče proud I a je připojen na napětí U. Napětí Uˆ na odporu R je ve fázi s proudem Iˆ (obr. 7). Napětí Uˆ na indukčnosti L R

L

předbíhá proud o úhel 90° a napětí na kapacitě C je za proudem Iˆ o 90° zpožděno. Napětí Uˆ L a napětí Uˆ C jsou tedy opačného směru. Pro výsledné napětí Uˆ napájecího zdroje platí 2 Uˆ = Uˆ + Uˆ + Uˆ , proto U 2 = U 2 + (U − U ) . R

L

C

R

L

C

122

UL

U R

L

C

UR

UL

UC

UL - UC

U

UR UC

Obr. 6 Obvod R,L,C připojený ke zdroji

Obr. 7 Vektorový diagram napětí a proudu R,L,C obvodu

Po dosazení: 2

U =I

 1   =Z⋅I. R +  ω L − ω C   2

(21)

Z rovnice (21) plyne, že impedance Z je obecně větší než ohmický odpor cívky R. Avšak induktance XL a kapacitance XC se ve vzorci odečítají a v určitém případě může dojít k jejich vzájemné kompenzaci. Jestliže platí: a) ω L =

1 , ωC

nebo b) U L = U C ,

případně c) ϕ = 0,

(22)

pak je sériový rezonanční obvod v rezonanci. Všechny tři rovnice jsou ekvivalentní, platí-li jedna, platí i zbýva- I (mA) jící dvě. Při sériové rezonanci se obvod chová tak, jako by v něm byl zapojen pouze ohmický odpor R. Výsledná impedance Z obvodu je nejmenší a platí Z = R. Obvodem teče rezonanční proud Ir, který při konstantním napětí U zdroje nabývá maximální hodnoty. Jelikož při rezonanci fr ωL f (Hz) U. platí U = R I r , pak také platí U C = U L = ω L I r = R Obr. 8 Rezonanční křivka Z toho je zřejmé, že napětí na cívce i kondenzátoru při rezonanci může být i několikrát vyšší než napětí napájecího zdroje. Ze vztahu (22a) můžeme zjistit rezonanční frekvenci obvodu (Thompsonův vztah): 1 fr = . (23) 2π L C Obdobně můžeme zjistit i rezonanční indukčnost nebo rezonanční kapacitu. Grafické znázornění průběhu proudu v závislosti na frekvenci I = f (f ) (obr. 8), případně proudu na kapacitě I = f (C), při konstantním napětí se nazývá rezonanční křivka. Čím bude ohmický odpor menší, tím bude křivka strmější.

123

2. PRINCIP METODY 2.1 Měření indukčnosti z impedance Měření indukčnosti cívky z impedance je založeno na vztazích (11) a (12). Pro indukčnost L plyne L=

1

ω

U2 − R2 , 2 I

(24)

kde ω = 2 π f.

A

V použitém zapojení ampérmetr měří proud I daný součtem proudu tekoucího cívkou a voltmetrem (obr. 9). Určení impedance Z cívky lze provést ze vztahu (11) jen tehdy, jestliže vnitřní odpor RV voltmetru je veliký ve srovnání s měřenou impedancí. Pak lze proud tekoucí voltmetrem zanedbat. Tato podmínka bývá splněna.

RP

(L, R)

Z

V

Obr. 9 Zapojení pro měření indukčnosti z impedance

2.2 Měření indukčnosti cívky na Maxwellově můstku Obecný můstek, připojený na zdroj střídavého proudu (obr. 10), je tvořen čtyřmi větvemi, v nichž mohou být odpory, indukčnosti a kondenzátory. Můstek je vyrovnán, pokud nulovým indikátorem - elektronkovým voltmetrem - zapojeným mezi body B - D můstku, neprochází proud. To nastane pouze tehdy, když střídavé napětí mezi body B - D je nulové; Uˆ = 0 . BD

V tom případě impedancemi Z1 a Z3 teče týž proud I1 a impedancemi Z2 a Z4 teče proud I2. Zároveň musí také platit Uˆ AB = Uˆ AD ,

Uˆ BC = Uˆ DC .

(25)

Rovnici (25) lze přepsat do tvaru Zˆ 3 Iˆ1 = Zˆ 4 Iˆ2 . Zˆ1 Iˆ1 = Zˆ 2 Iˆ2 , Vyloučením proudů obdržíme podmínku rovnováhy můstku v komplexním tvaru: Zˆ Zˆ = Zˆ Zˆ . 1

4

2

3

(26)

která reprezentuje dvě rovnice mezi parametry vyrovnaného můstku. Pro výpočet podmínek rovnováhy na Maxwellově můstku (obr. 11) se vyjde ze vztahu (26), kde komplexní impedance ve větvích jsou R1 Zˆ1 = RL + j ω L , Zˆ 4 = Zˆ 3 = R3 , . Zˆ 2 = R2 , 1 + j ω C R1 Při rovnováze musí platit: R1 (R L + j ω L ) = R2 R3 . 1 + j ω C R1

124

B Z1

Z3

I1 A

C

I2 Z2

Z4

C

D

220 V

Obr. 10 Obecný můstek

Obr. 11 Maxwellův můstek

Po vynásobení a úpravě obdržíme R1 RL + R1 jω L = R2 R3 + jω C R1 R2 R3 . Z rovnosti reálných a imaginárních částí komplexního čísla vypočteme podmínky rovnováhy, kde pro odpor RL vinutí cívky a indukčnost L platí: R R RL = 2 3 a L = C R2 R3 . (27) R1

2.3 Měření kapacity kondenzátoru z impedance Měření kapacity kondenzátoru je založeno na vztahu (19). Ampérmetrem a voltmetrem změříme proud a napětí v obvodu dle obr. 12. Jelikož vnitřní odpor voltmetru je často větší než impedance měřeného kondenzátoru, je toto zapojení vhodné, protože proud voltmetrem je zanedbatelný vzhledem k proudu kondenzátorem. Měření provedeme několikrát a nejistotu měření stanovíme statisticky.

A

Rp

C

V

Obr. 12 Zapojení pro měření kapacity z impedance

2.4 Měření rezonanční křivky Úkolem je změřit závislost I = f (C ) sériového rezonančního obvodu tvořeného cívkou se železným jádrem a kondenzátorem, jehož velikost lze po stupních měnit. Průběh křivky je L, R

C

V2

V3

A

U1

V1

Obr. 13 Zapojení pro měření rezonanční křivky

125

obdobný průběhu z obr. 8. Pro měření použijeme schéma podle obr. 13. Zároveň změřením napětí UC na voltmetru V3 a napětí UL na voltmetru V2 při rezonanci, tj. v případě, kdy obvodem protéká největší proud, ověříme vztah (22b).

3. POSTUP MĚŘENÍ A VYHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ 3.1 Měření indukčnosti z impedance a) Zapojte obvod dle obr. 9. Při opakovaném nastavování téže hodnoty napětí na voltmetru zjistíme, že výchylka ampérmetru bude vždy téměř stejná a tudíž není možné spolehlivě odečíst měřitelnou odchylku. Proto se toto měření neprovádí. b) Změnou polohy jezdce potenciometru nastavte 5 hodnot napětí a proudu tak, aby se napětí jednotlivých měření příliš nelišila. U analogových měřicích přístrojů nastavte takové rozsahy, abyste výchylky mohli odečítat ve druhé polovině stupnice. c) Změřte frekventoměrem kmitočet napětí zdroje. d) Vypočtěte indukčnost cívky ze vztahu (24). Odpor vinutí cívky je uveden na cívce. Z naměřených hodnot vypočtěte průměrnou hodnotu indukčnosti L . e) Ze vztahu (13) vypočtěte fázový posun ϕ mezi proudu a napětí. f) Naměřené a vypočtené hodnoty zpracujte do tabulky č. 1. Tabulka č. 1 Cívka číslo:

číslo měření

L

U (V)

= ........ (H)

uL = ........ (H)

Z (Ω)

I (A)

u r ,L =

L (H)

∆L (H)

∆L2 (H2)

f = RL = ϕ =

Hz Ω

uL = ..................% L

L = (L ± u L ) H

3.2 Měření indukčnosti na Maxwellově můstku a) Zapojte obvod dle obr. 11. Nastavte všechny odporové dekády na stejnou hodnotu odporu (např. 5 000 Ω). b) Nastavení rovnováhy na můstku provádějte odporovými dekádami R1 a R3. Nejprve změnou odporu na dekádě R3 najděte napěťové minimum na elektronkovém voltmetru. Pak použijte dekádu R1 a změnou tohoto odporu najděte opět minimální napětí na voltmetru. Další snížení napětí provedete opět dekádou R3. Touto střídavou regulací dekádami dospějete ke konečnému minimálnímu napětí v úhlopříčce můstku a tím k jeho vyrovnání. Odpor na dekádě R2 neměňte. Postupné vyhledávání napěťových minim je zapotřebí provést vždy velmi pečlivě, protože jakékoliv nepřesnosti během měření způsobí, že výsledné napěťové minimum bude poměrně dost vysoké a můstek tudíž nebude dobře vyrovnán. c) Kapacitu ve větvi můstku volte C = 1 µF, C = 0,5 µF.

126

d) Odpor RL vinutí cívky a indukčnost L vypočtěte ze vztahu (27). Odpor RL porovnejte s odporem uvedeným na cívce.

3.3 Měření kapacity kondenzátoru z impedance a) b) c) d) e)

Zapojte obvod dle obr. 12. Nastavte v obvodu postupně 5 hodnot napětí a odečtěte příslušné proudy (viz 3.1b). Sestavte tabulku naměřených a vypočtených hodnot obdobnou tabulce 1. Kapacitu kondenzátoru vypočtěte ze vztahu (19). Určete ztrátový činitel kondenzátoru ze vztahu (20).

3.4 Měření rezonanční křivky a) Obvod zapojte dle obr. 13, na kapacitní dekádě nastavte nejmenší kapacitu. b) Jezdcem potenciometru nastavte na voltmetru V1 napájecí napětí U1 na zadanou hodnotu. Během měření udržujte toto napětí konstantní. c) Postupně do obvodu zařazujte kondenzátory o vyšších kapacitách a měřte proud. Při rezonanci proud dosáhne maxima. d) Měřením napětí při rezonanci ověřte vztah (22 b). e) Nakreslete graf I = f (C).

4. PŘESNOST MĚŘENÍ a) Stanovte nejistotu měření indukčnosti z impedance. K výpočtu nejistoty typu B je třeba zaznamenat třídu přesnosti a zvolený rozsah měřicích přístrojů. Při stanovení nejistoty frekvence předpokládejte bimodální rozdělení, jemuž odpovídá parametr θ = 1. Z rovnice (24) vyplývá pro nejistotu indukčnosti L vztah: 2

2

2

u  u  uf  u L = L  U  +  I  +   . U   I   f 

b) Z měření na Maxwellově můstku určete nejistotu odporu cívky RL ze vztahu: u RL = R L

 u R2  R  2

2

  u R3  +  R   3

2

  u R1  +  R   1

   

2

a nejistotu indukčnosti L ze vztahu:  uR u L = L  2  R2

2

2

2   u R3   u C    +   R  + C  .   3   

c) Porovnejte vypočtené nejistoty pro měření indukčnosti z impedance a na Maxwellově můstku. d) Určete nejistotu měření kapacity z impedance ze vztahu: 2 2  uU   u I   u f u C = C   +   +  U   I   f

2

  . 

127