MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH

MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK

MIFTAHUL JANNAH

SEKOLAH PASCASARJANA INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2009

PERYATAAN MENGENAI TESIS DAN SUMBER INFORMASI Dengan ini saya menyatakan bahwa tesis dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik adalah karya saya sendiri dengan arahan dari komisi pembimbing, dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir tesis ini.

Bogor, Agustus 2009

Miftahul Jannah NIM G551070681

ABSTRACT MIFTAHUL JANNAH. Mathematical Model for Temperature Changes and Dopant Concentration Changes on the Optical Fiber Drawing. Under supervision of JAHARUDDIN and SISWANDI Optical fibers are made of transparent material (glass) with different refractive indices in the inner core and the outer cladding regions. This refractive index difference is achieved normally by adding a dopant to the inner core region. The objective of this thesis is to analyze a mathematical model for the temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing process. Using a long-wave approximation, the governing equations can be reduced to a simple diffusion equation. As a result, we are able to identify key dimensionless parameters that contribute to the diffusion process. We also derive solutions for the temperature and dopant concentration. Temperature and dopant concentration depend on the viscosity and the diffusion coefficient. Some numerical simulations using Maple 12 software are carried out to explain the attitude of the solution with respect to temperature changes and dopant concentration changes during the fiber drawing. Keywords : dopant diffusion, optical fiber drawing, long-wave approximation

RINGKASAN MIFTAHUL JANNAH. Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Dibimbing oleh JAHARUDDIN dan SISWANDI Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan di luarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka terasselubungnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di dalam teras. Masalah dalam peneitian ini adalah bagaimana menentukan hubungan antara konsentrasi dopant, suhu, dan jari-jari turbulen pada tungku pembakaran. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji model matematika untuk suhu, jarijari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. Berdasarkan solusi yang diperoleh akan ditentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. Hasilnya disajikan dalam suatu simulasi numerik. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat massa fluida yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, maka diperoleh persamaan difusi yang sederhana. Kajian terhadap persamaan difusi yang telah diperoleh dilakukan dengan meninjau dua proses fisis, yaitu proses sebelum melalui pendinginan dan proses dalam keadaan pendinginan. Dari kedua proses tersebut di atas diperoleh suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant. Konsentrasi dopant diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Karakteristik solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik. Simulasi numerik dilakukan dengan bantuan software Maple 12. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk perubahan konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil.

Pengetahuan mengenai besaran-besaran yang mempengaruhi pembentukan serat optik sangat diperlukan agar hasil yang didapatkan optimal dan akurat. Hal ini perlu dilakukan karena serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Dengan demikian hasil dari tesis ini memiliki manfaat yang cukup besar. Kata kunci : difusi dopant, pembentukan serat optik, gelombang panjang.

PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah SWT atas segala karuniaNya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan Desember 2008 ini adalah serat optik, dengan judul Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik. Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr. Jaharuddin, M.S. dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si. selaku pembimbing, serta Drs. Ali Kusnanto, M.Si. selaku penguji luar komisi yang telah membimbing dan banyak memberikan saran. Ucapan terima kasih juga disampaikan kepada Departemen Agama Republik Indonesia yang telah memberikan beasiswa kepada penulis selama menempuh pendidikan di IPB. Ucapan terima kasih yang tiada hingga kepada abeh, mamah, suami, serta seluruh keluarga, atas segala do’a dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.

Bogor, Agustus 2009

Miftahul Jannah

RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Jakarta pada tanggal 10 Oktober 1981 dari ayah Sobur dan ibu Aminah. Penulis merupakan anak kedua dari tiga bersaudara. Tahun 2000 penulis lulus MAN 8 jurusan Ilmu Pengetahuan Alam dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta. Penulis memilih jurusan Pendidikan Matematika pada Fakultas Ilmu Tarbiyah dan Keguruan dan selesai pada tahun 2004. Tahun 2005 penulis menjadi staf pengajar di MAN 8 Jakarta. Pada tahun 2007 penulis lulus seleksi masuk Program Magister Program Studi Matematika Terapan di Institut Pertanian Bogor melalui jalur Beasiswa Utusan Daerah Departemen Agama Republik Indonesia.

@ Hak Cipta Milik IPB, tahun 2009 Hak Cipta dilindungi Undang-undang 1. Dilarang mengutip sebagian atau seluruh karya tulis ini tanpa mencantumkan atau menyebutkan sumber a. Pengutipan hanya boleh untuk kepentingan pendidikan penelitian, penulisan karya ilmiah, penyusunan laporan, penulisan kritik atau tinjauan suatu masalah, b. Pengutipan tidak merugikan kepentingan yang wajar IPB 2. Dilarang mengumumkan dan memperbanyak sebagian atau seluruh karya tulis dalam bentuk laporan apapun tanpa izin IPB

Judul Tesis

: Model Matematika untuk Perubahan Suhu dan Konsentrasi Dopant pada Pembentukan Serat Optik

Nama

: Miftahul Jannah

NIM

: G551070681

Disetujui Komisi Pembimbing

Dr. Jaharuddin, M.S. Ketua

Drs. Siswandi, M.Si. Anggota

Diketahui

Ketua Program Studi Matematika Terapan

Dekan Sekolah Pascasarjana

Dr. Ir. Endar H. Nugrahani, M.S.

Prof. Dr. Ir. Khairil A. Notodiputro, M.S.

Tanggal Ujian: 14 Agustus 2009

Tanggal Lulus:

Penguji Luar Komisi pada Ujian Tesis: Drs. Ali Kusnanto, M. Si.

DAFTAR ISI

Halaman DAFTAR GAMBAR........................................................................................

ix

DAFTAR LAMPIRAN.....................................................................................

x

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang.....................................................................................

1

1.2 Tujuan Penelitian.................................................................................

2

II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Dasar..................................................................................

3

2.2 Syarat Batas..........................................................................................

4

2.3 Penyederhanaan Model........................................................................

5

III PEMBAHASAN DAN HASIL 3.1 Suhu dan Jari-jari turbulen..................................................................

10

3.1.1 Proses Sebelum Melalui Pendinginan.......................................

10

3.1.2 Proses Dalam Keadaan Pendinginan.........................................

13

3.2 Difusi Dopant......................................................................................

18

IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan.........................................................................................

22

4.2 Saran...................................................................................................

22

DAFTAR PUSTAKA......................................................................................

23

LAMPIRAN....................................................................................................

24

DAFTAR GAMBAR

Halaman 1. Skema Pemanasan dan Pendinginan...................................................... 4 4 2. Grafik fungsi θ dan s untuk ℋf = 100, αμ = 30, dan Dr = 10 .......... 13 3. Grafik fungsi θ dan s dengan 𝒜 = 1,71 dan ℋc = 350........................

17

4. Grafik fungsi θ dan s dengan 𝒜 = 0,78 dan ℋc = 1..........................

18

5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan αD = 20, ⊖= 0,15, 𝒫 = 3. 10−3 , ℋf = 350, αμ = 40, dan Dr = 104 ......................................................

21

DAFTAR LAMPIRAN Halaman 1. Penurunan Persamaan (2.14) – (2.18)..........................................

24

2. Penurunan Persamaan (3.1) – (3.5)..............................................

33

3. Penurunan Persamaan (3.6) – (3.17)............................................

37

4. Penurunan Persamaan (3.18) dan (3.19)......................................

45


47


50


52

8. Penurunan Persamaan (3.35) – (3.39)..........................................

53


56

10. Penurunan Persamaan (3.44) – (3.46).............................. ...........

57

11. Penurunan Persamaan (3.49) – (3.52).........................................

58

12. Penurunan Persamaan (3.56).......................................................

62


63


63

15. Penurunan Persamaan (3.65) dan (3.66).....................................

64

16. Nilai Parameter Fisis...................................................................

65

1

I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Serat optik merupakan serat yang terbuat dari bahan bening (transparan) yang terdiri atas teras dan selubung. Teras adalah bagian sebelah dalam dan selubung adalah lapisan diluarnya yang memiliki indeks bias, yang dapat memandu perambatan cahaya dengan pemantulan internal pada antarmuka terasselubungnya. Serat optik mempunyai banyak kegunaan di berbagai bidang, seperti di bidang kedokteran. Pada bidang kedokteran, salah satu contoh alat yang terbuat dari serat optik adalah cystoscope. Alat cystoscope dipakai oleh ahli bedah untuk mengamati dan melakukan operasi dengan kendali jarak jauh. Alat lain yang sangat bermanfaat dalam kehidupan sehari-hari adalah kacamata, kaca pembesar, mikroskop, kamera dan lain sebagainya. Serat optik tersebut terbuat dari kaca yang dilelehkan kemudian direntangkan dengan menggunakan penarik mekanis. Kaca setengah jadi tersebut dibuat sebuah komponen peranti sehingga terjadi perbedaan antara indeks bias di bagian dalam inti dengan bagian lapis terluarnya. Indeks bias ini diperoleh dengan menambahkan sesuatu yang bersifat penghalus (dopant) di bagian dalam inti [3]. Umumnya material penghalus yang digunakan adalah germanium dioksida (GeO2), fosfor pentoksida (P2O5), dan boron (B) yang tersedia dalam bentuk silika (SiO2). Selama perentangan, pemotongan, dan penggabungan, indeks bias tersebut dapat berubah dikarenakan adanya material penghalus tersebut [6,9]. Perubahan konsentrasi material penghalus tersebut diakibatkan oleh pemotongan dan penggabungan dari serat optik. Proses perubahan konsentrasi akan menjadi lebih rumit karena adanya penyatuan material penghalus tersebut. Penyatuan material tersebut tidak hanya bergantung pada suhu, akan tetapi banyak faktor lainnya termasuk proses mekanisnya. Beberapa peneliti telah melakukan suatu simulasi yang mengkhususkan pada pembentukan serat optik [4]. Dalam penelitiannya tersebut, suatu perentangan yang relatif perlahan, diperlihatkan bahwa semakin besar kecepatan perentangan tersebut, dan semakin rendahnya suhu material penghalus, maka akan mengurangi penyatuan material penghalus tersebut. Pada literatur lain, Yan dan

2

Pitchumani [9] melakukan simulasi numerik pada proses pembentukan, termasuk difusi dopant. Mereka menyederhanakan perhitungan dengan menggunakan batas permukaan fiber yang bebas. Penelitian mereka merupakan perluasan dari kajian numerik pada proses pembentukan yang diamati oleh Lee dan Jaluria [5]. Dalam tesis ini, akan dikaji model matematika untuk perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. Berdasarkan asumsi gelombang panjang, akan diturunkan persamaan difusi yang bergantung pada kecepatan, jari-jari turbulen, suhu dan konsentrasi dopant. Bentuk sederhana untuk

koefisien

dari

persamaan

akan

diperhatikan

untuk

mengetahui

kebergantungan semua parameter yang terlibat dalam proses difusi.

1.2 Tujuan Penelitian Berdasarkan latar belakang di atas, maka tujuan penelitian ini adalah: 1. Mengkaji model matematika untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik. 2. Menentukan penyelesaian dari model matematika bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen, serta konsentrasi dopant yang telah diperoleh dengan menggunakan asumsi gelombang panjang. 3. Menentukan keterkaitan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik terhadap jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber. 4. Melakukan simulasi numerik untuk mengetahui perilaku penyelesaian dari perubahan suhu, jari-jari turbulen, dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik dengan menggunakan bantuan software Maple.

3

II LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Dasar Persamaan dasar fluida yang digunakan dalam penelitian ini, diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant seperti dalam [9,10]. Misalkan gerak partikel fluida dinyatakan dalam dua dimensi dengan kecepatan partikel dalam arah horizontal dan arah vertikal berturut-turut adalah u dan v. Fluida mempunyai rapat massa ρ(z,r) dengan z dan r, masing-masing menyatakan jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber dan jari-jari turbulen. Berdasarkan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant diperoleh persamaan dasar sebagai berikut: 𝜕 𝜌𝑢 1 𝜕 𝑟𝜌𝑣 + =0 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

(2.1)

𝜕(𝜌𝑢2 ) 1 𝜕(𝑟𝜌𝑢𝑣) 𝜕𝑝 𝜕 𝜕𝑢 1𝜕 𝜕𝑢 𝜕𝑣 + =− +2 µ + 𝑟µ + 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕(𝜌𝑢𝑣) 1 𝜕(𝑟𝜌𝑣 2 ) 𝜕𝑝 𝜕 𝜕𝑢 𝜕𝑣 2𝜕 𝜕𝑣 2µ𝑣 + =− + µ + + 𝑟µ − 2 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕(𝜌𝑐𝑝 𝑢𝑇) 1 𝜕(𝑟𝜌𝑐𝑝 𝑣𝑇) 𝜕 𝜕𝑇 1𝜕 𝜕𝑇 + = 𝑘 + 𝑟𝑘 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕 𝑢𝑐 1 𝜕 𝑟𝑣𝑐 𝜕 𝜕𝑐 1𝜕 𝜕𝑐 + = 𝐷 + 𝑟𝐷 , 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 dengan p tekanan, T

suhu, c konsentrasi dopant, µ

2.2 (2.3) (2.4) (2.5)

koefisien kekentalan,

𝑐𝑝 konstanta pemanasan, 𝑘 = 𝑘𝑇 + 𝑘𝑅 konduktivitas, dan D variabel difusi dari dopant [9].

4

2.2 Syarat Batas Tinjau domain fluida yang disajikan dalam Gambar 1.

u0

ud

Pemanasan z=0

Pendinginan z = Lf

z=L

Gambar 1. Skema Pemanasan dan Pendinginan Syarat batas diberikan pada furnace (di 𝑧 = 0 dan 𝑧 = 𝐿) dan permukaan fiber (di 𝑟 = 𝑅(𝑧)). Syarat batas pada furnace adalah r = R0 , u = u0 , v = 0, T = To , c = co(r)

pada z = 0

(2.6)

u = ud

pada z = L.

(2.7)

dan

Syarat batas pada permukaan fiber di r = R(z) mengikuti syarat batas dinamik dan kinematik dari fluida dengan bentuk umum sebagai berikut: 𝑛𝑇 𝜍 𝑛 = Г𝑘,

𝑡 𝑇 𝜍 𝑡 = 0,

𝑣 = 𝑅′ 𝑢 ,

di 𝑟 = 𝑅(𝑧)

(2.8)

dengan σ tegangan tensor, n vektor normal, t vektor ortogonal terhadap n, k lengkungan rata-rata, dan Г koefisien tegangan permukaan. Syarat batas untuk suhu di permukaan fiber ditentukan berdasarkan Hukum Pendinginan Newton [10] yang diberikan oleh: −𝑘

𝜕𝑇 ℎ𝑓 𝑇𝑓 − 𝑇 , 0 ≤ 𝑧 < 𝐿𝑓 , =𝑞≔ 𝜕𝑛 −ℎ𝑐 𝑇 − 𝑇𝑐 , 𝐿𝑓 ≤ 𝑧 ≤ 𝐿,

(2.9)

dengan 𝑇𝑓 suhu pada furnace, 𝑇𝑐 suhu sekitarnya, ℎ𝑓 koefisien penghantar panas, dan ℎ𝑐 koefisien penghantar dingin.

5

Syarat batas untuk konsentrasi dopant pada permukaan fiber [8,11] di 𝑟 = 𝑅(𝑧) adalah 𝜕𝑐

−𝐷 𝜕𝑛 = 0,

di 𝑟 = 𝑅(𝑧)

(2.10)

𝜕𝑐

di 𝑟 = 0

(2.11)

dan 𝜕𝑟

=0

Selanjutnya, koefisien kekentalan didasarkan pada rumus Arrhenius [1] yang dinyatakan oleh 𝜇 𝑇 = 𝜇0 exp⁡ (−𝐺𝜇 𝑇 − 𝑇0 ),

(2.12)

dengan µ0 kekentalan dari T0 dan Gµ konstan. Kemudian koefisien difusi untuk dopant

didasarkan pada rumus

Arrhenuis [7,11] yang dinyatakan oleh 𝐷 𝑇 = 𝐷∞ exp⁡ (−

𝐺𝐷 𝑇

),

(2.13)

dengan GD penjumlahan antara D∞ koefisien difusi pada suhu tinggi dan suatu konstanta.

2.3 Penyederhanaan Model Pada bagian ini akan diawali dengan menyederhanakan model untuk perubahan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik fiber. Persamaan dasar (2.1) - (2.5) dinondimensionalkan dengan menggunakan pengskalaan berikut: 𝑧=

𝑧 𝑟 𝑅 𝑢 𝐿𝑣 𝑅02 𝑝 , 𝑟= , 𝑅= , 𝑢= , 𝑣= , 𝑝= 𝐿 𝑅0 𝑅0 𝑢0 𝑅0 𝑢0 𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜇=

𝜇 𝑇 − 𝑇0 𝑐0 𝐷 , 𝜃= , 𝐶0 = , 𝐷= . 𝜇0 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝑐0 (0) 𝐷∞

Satuan dari variabel-variabel fisis yang muncul dalam pembahasan di atas diberikan dalam Lampiran 16. Jika pengskalaan di atas disubstitusikan ke dalam persamaan dasar (2.1) sampai (2.5), maka diperoleh 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢 + 𝑟𝜌𝑣 = 0, 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

(2.14)

6

𝜕 𝜌𝑢2 1 𝜕 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

𝑅𝑒

𝜌 𝜕𝑝 2𝜌 𝜕 𝜕𝑢 + 𝜇 2 3𝛿 𝜕𝑧 3 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜌 1 𝜕 𝜕𝑢 𝜌1 𝜕 𝜕𝑣 + 2 𝑟𝜇 + 𝑟𝜇 , (2.15) 3𝛿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 3 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕 1 𝜕 𝜆𝐿𝑓 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 Γ 𝜕𝑝 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑣 𝜕𝑣 = 3 −ℓ + 𝐿𝑓 𝜇 + ℓ 𝜇 + 2ℓ 𝑟𝜇 3𝛿 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜇𝑣 − 2𝐿𝑓 2 (2.16) 𝑟 = −

𝛼𝜇 𝛼𝐷 𝜕 1 1 𝑢 𝜃 +⊖ + 𝑟𝑣 𝜃 +⊖ ℋ𝑓 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 =

1

1 𝜕 𝜕 𝛿 𝜃 +⊖ 2 𝜋 𝐵𝑖 𝜕𝑧 𝜕𝑧

+

𝛼𝜇 𝛼𝐷 1 𝜕 𝜕 𝑟 𝜃 +⊖ 𝛿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

, (2.17)

𝒫

𝜕 1 𝜕 𝑢𝑐 + 𝑟𝑣𝑐 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

= 𝛿2

𝜕 𝜕𝑐 1 𝜕 𝜕𝑐 𝐷 + 𝑟𝐷 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

(2.18)

dengan syarat batas pada furnace adalah 𝑟 = 1 , 𝑢 = 1 , 𝑣 = 0 , 𝑇 = 𝑇0 , 𝑐 = 𝑐0 (𝑟)

pada 𝑧 = 0

(2.19)

𝑢 = 𝐷𝑟

pada 𝑧 = 1.

(2.20)

dan Penurunan persamaan (2.14) – (2.18) dapat dilihat pada Lampiran 1. Beberapa notasi yang muncul dalam persamaan (2.14) – (2.20) diberikan sebagai berikut: 𝐷𝑟 =

𝑢𝑑 , 𝑢0

𝛿=

𝑅0 , 𝐿

𝛼𝜇 = 𝐺𝜇 𝑇𝑓 − 𝑇0 , ℋ𝑓 =

2 𝜋ℎ𝑓 𝐿 , 𝜌𝐶𝑝 𝑢0 𝑅0

𝛼𝐷 =

𝑅𝑒 =

𝜌𝑢0 𝐿 , 3𝜇0

𝐺𝐷 , 𝑇𝑓 − 𝑇0

ℋ𝑐 =

2 𝜋ℎ𝑐 𝐿 , 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑅0

𝜆= ⊖=

Γ𝐿 , 3𝜇0 𝑢0 𝑅0

𝑇0 𝑢0 𝑅02 , 𝒫= 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝐿𝐷∞

ℓ=

𝐿𝑓 , 𝐿

𝐵𝑖 =

ℎ𝑓 𝑅0 . 𝑘

7

Selanjutnya dengan menggunakan pendekatan gelombang panjang 𝛿 ≪ 1 dan asumsi 𝜆 ≪ 1, 𝑅𝑒 ≪ 1 dan 𝐵𝑖 ≪ 1, pada persamaan (2.14) – (2.18) dengan menggunakan syarat batas (2.19) dan (2.20), kemudian membuang tanda topinya sebagai penyederhanaan penulisan, maka diperoleh 𝜕 𝑢𝑠 = 0, 𝜕𝑍 1 𝜕 𝜕𝑢 𝜇𝑠 = 0, 𝑠 𝜕𝑧 𝜕𝑧

(2.21) (2.22)

𝜕𝜃 ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝐻 ℓ − 𝑧 − ℋ𝑐 𝜃𝐻(𝑧 − ℓ) = , 𝜕𝑧 𝑠1/2 𝜕𝑐 𝑟 𝜕𝑢 𝜕𝑐 1𝜕 𝜕𝑐 𝒫 𝑢 − = 𝑟𝐷 , 𝜕𝑧 2 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑢

(2.23) (2.24)

dengan syarat batas 𝑠 = 1, 𝑢 = 1, 𝜃 = 0

di 𝑧 = 0,

(2.25)

𝑢 = 𝐷𝑟

di 𝑧 = 1,

(2.26)

𝑐 = 𝑐0

di 𝑧 = 0,

(2.27)

𝑐𝑟 = 0

di 𝑟 = 0 dan 𝑟 =

𝑠,

(2.28)

dimana 𝑠 = 𝑅 2 , 𝜇 = e−𝛼 𝜇 𝜃 , 𝐷 = 𝑒

−

𝛼𝐷 𝜃+⊖ .

(2.29)

Persamaan (2.21) - (2.23) dengan syarat batas (2.25) dan (2.26) merupakan model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen. Persamaan (2.24) dengan syarat batas (2.27) dan (2.28) merupakan model persamaan bagi perubahan konsentrasi dopant. Selanjutnya persamaan (2.21) - (2.24) dengan syarat batas (2.25) - (2.28) akan disederhanakan menjadi suatu sistem persamaan yang mudah ditentukan penyelesaiannya.

8

Penyelesaian persamaan (2.21) dan (2.22) dengan syarat batas (2.25) dan (2.26) adalah 𝑠𝑢 = 1 dengan 𝐹 =

2

𝜇𝑠𝑢𝑧 = 2𝐹

dan ln 𝐷𝑟 1 −1 𝜇 𝑑𝑧 0

(2.30)

merupakan gaya efektif yang ditentukan dengan

menggunakan syarat batas pada z = 1. Jika persamaan (2.30) digunakan untuk mengeliminasi 𝑢 dan 𝑢𝑧 yang muncul, maka dari persamaan (2.21) dan (2.22), dan syarat batas (2.25) dan (2.26) diperoleh masalah nilai batas untuk 𝑠 dan 𝜃 berikut: 𝑠𝑧 = −

2𝐹𝑠 , 𝜇

(2.31)

𝜃𝑧 = 𝑠1/2 ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝐻 ℓ − 𝑧 − ℋ𝑐 𝜃𝐻 𝑧 − ℓ ,

(2.32)

dengan syarat batas 𝑠 = 1, 𝜃 = 0

di 𝑧 = 0

𝑠 = 𝐷𝑟−1

di 𝑧 = 1.

dan

Selanjutnya

untuk

menyederhanakan

persamaan

(2.33) bagi

perubahan

konsentrasi dopant, didefinisikan variabel berikut: 𝜙(𝑧) ≡

𝑧 𝐷𝜃 0

𝑧 ′ 𝑑𝑧 ′

dan 𝜙 ≡ 𝜙(1),

(2.34)

dan transformasi koordinat berikut 𝜉=

𝑟 , 𝑅

𝜏=

𝜙(𝑧) . 𝜙

(2.35)

Besaran 𝐷=

𝜙 𝒫

(2.36)

merupakan koefisien difusi dan 𝒫 bilangan peclet untuk dopant. Dengan demikian masalah nilai batas untuk konsentrasi dopant diberikan sebagai berikut: 𝑐𝜏 =

𝒟 𝜕 𝜕𝑐 𝜉 , 𝜉 𝜕𝜉 𝜕𝜉

(2.37)

dengan syarat batas 𝑐 = 𝑐0 𝜉

di 𝜏 = 0

𝑐𝜉 = 0

di 𝜉 = 0 dan 𝜉 = 1.

dan (2.38)

9

Solusi untuk konsentrasi dopant [2] yang diberikan pada persamaan (2.37) dengan syarat batas (2.38) adalah sebagai berikut 1

𝑐 𝜏, 𝜉 = 2𝜋 0

𝐺 𝜏, 𝜉; 𝜂 𝑐0 𝜂 𝜂𝑑𝜂,

(2.39)

dengan 𝐺 fungsi Green yang diberikan sebagai berikut 𝐺 𝜏, 𝜉; 𝜂 =

1 𝜉 2 + 𝜂2 𝜉𝜂 𝑒𝑥𝑝 − 𝐼0 4𝜋𝒟𝜏 4𝒟𝜏 2𝒟𝜏

dimana 𝐼0 adalah fungsi Bessel jenis pertama [15].

(2.40)

10

III PEMBAHASAN DAN HASIL Dalam bagian ini akan dibahas perilaku penyelesaian dari model persamaan bagi perubahan suhu dan jari-jari turbulen selama pembentukan serat optik berdasarkan alur yang diberikan dalam pustaka [2]. Selain itu, juga akan dibahas perubahan konsentrasi dopant selama pembentukan serat optik.

3.1 Suhu dan Jari-jari turbulen Untuk menentukan solusi bagi suhu 𝜃 dan jari-jari turbulen 𝑠 pada pembentukan serat optik, maka ditinjau dua proses, yaitu proses sebelum melalui pendinginan (ℓ = 1) dan proses dalam keadaan pendinginan (ℓ < 1). 3.1.1 Proses Sebelum Melalui Pendinginan (𝓵 = 𝟏) Persamaan (2.31) dan (2.32) dapat ditulis menjadi 𝑠𝑧 = −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) ,

(3.1)

𝜃𝑧 = ℋ𝑓 𝑠 1 − 𝜃 ,

(3.2)

dengan ℱ =

2 𝐹𝑒 𝛼 𝜇 ln 𝐷𝑟

.

Berdasarkan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh 𝑑𝑠 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) =− , 𝑑𝜃 ℋ𝑓 1−𝜃

(3.3)

sedangkan syarat batas (2.33) memberikan 𝑠 0 = 1 dan 𝜃 0 = 0.

(3.4)

Jika persamaan (3.3) diintegralkan terhadap 𝜃 dan syarat batas (3.4) digunakan, maka diperoleh 𝑠 = 1−

ℱ ln 𝐷𝑟 2ℋ𝑓

𝐸1 𝛼𝜇 (1 − 𝜃) − 𝐸1 𝛼𝜇

dengan ∞

𝐸1 𝑧 =

𝑧

𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 . 𝑥

2

(3.5)

11

Fungsi 𝐸1 𝑧 memenuhi 𝐸1 𝑧 ~

𝑒 −𝑧

𝑧 → ∞,

𝑧

𝐸1 𝑧 ~ − ln 𝑧 − 𝛾

dan

𝑧 → 0.

Penurunan persamaan (3.1) – (3.5) dapat dilihat pada Lampiran 2. Selanjutnya, jika persamaan (3.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.2), maka diperoleh 𝜃𝑧 = ℋ𝑓 1 −


𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

− 𝐸1 𝛼𝜇

(1 − 𝜃).

Jika 𝛼𝜇 ≫ 1, maka 𝐸1 [𝛼𝜇 ] kecil, sehingga 𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

(3.6) juga kecil, jika

1

1 − 𝜃 ≪ 𝛼 . Jadi dari persamaan (3.6) diperoleh 𝜇

𝜃𝑧 = ℋ𝑓 1 − 𝜃 .

(3.7)

Jika persamaan (3.7) diintegralkan tarhadap z, maka diperoleh 𝜃 = 1 − 𝑒 −ℋ𝑓 𝑧 .

(3.8)

Apabila z meningkat ke 1 untuk ℋ𝑓 ≫ 1, maka 1 − 𝜃 → 0, sehingga untuk 1

𝑧 ≫ ℋ , diperoleh 𝑓

𝜃𝑧 = ℋ𝑓 1 +


ln 𝛼𝜇 1 − 𝜃

+𝛾

(1 − 𝜃).

(3.9)

Untuk menentukan penyelesaian 𝜃, maka diperkenalkan variabel 𝜃 sebagai berikut 𝛼𝜇 1 − 𝜃 = 𝑒

2ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷 𝑟

−

𝜃.

Dengan variabel baru ini, maka persamaan (3.9) menjadi 𝜃𝑧 = −

ℱ ln 𝐷𝑟 2

ln 𝜃 + 𝛾 𝜃.

(3.10)

Jika persamaan (3.10) diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln 𝜃 = −𝛾 + 𝐶1 𝑒 −

ℱ ln 𝐷𝑟 2

𝑧,

(3.11)

dengan 𝐶1 adalah konstanta pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Karena untuk 𝑧 = 0, diperoleh 𝜃 = 0 dari persamaan (3.8), maka dari

persamaan (3.11) diperoleh 2ℋ

𝐶1 = 𝛾 + ln 𝛼𝜇 + ℱ ln 𝐷𝑓 . 𝑟

(3.12)

12

Jika nilai 𝐶1 pada persamaan (3.12) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.11), maka diperoleh ℱ ln 𝐷 𝑟 𝑧 2

2ℋ

𝜃 = 𝑒𝑥𝑝 −𝛾 + 𝛾 + ln 𝛼𝜇 + ℱ ln 𝐷𝑓 𝑒 − 𝑟

.

(3.13)

Kembalikan ke variabel awal, diperoleh ℱ ln 𝐷 𝑟 𝑧 2

2ℋ

1 − 𝑒−

𝜃 = 1 − 𝑒𝑥𝑝 − 𝛾 + ln 𝛼𝜇 + ℱ ln 𝐷𝑓

𝑟

.

(3.14)

Selanjutnya fungsi s diperoleh dengan menggunakan persamaan (3.5), dengan 𝜃 memenuhi persamaan (3.14). Jika

𝑧 = 1 disubstitusikan ke dalam

persamaan (3.14) dan (3.5) dan menggunakan syarat 𝑠 1 = 𝐷𝑟−1 , maka diperoleh nilai ℱ berikut 2

ℱ = 1 + ln 𝐷 ln 1 +

ℱ(ln 𝛼 𝜇 +𝛾) ln 𝐷𝑟

𝑟

2ℋ𝑓

,

(3.15)

asalkan 𝛼𝜇 ≫ 1. Secara analitik nilai ℱ sulit ditentukan dari persamaan (3.15), karena ℱ dinyatakan dalam persamaan implisit. Tetapi karena (ln 𝛼 𝜇 +𝛾) ln 𝐷𝑟 2ℋ𝑓

~10−1 ≪ 1,

(3.16)

maka nilai ℱ dapat dihampiri oleh ℱ =1+

ln 𝛼 𝜇 +𝛾 ℋ𝑓

.

(3.17)

Penurunan persamaan (3.6) – (3.17) dapat dilihat pada Lampiran 3. Dengan demikian fungsi 𝑠 dapat ditentukan berdasarkan persamaan (3.5) dengan ℱ diberikan oleh persamaan (3.17). Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi 𝜃 dan 𝑠, masingmasing berdasarkan persamaan (3.14) dan (3.5). Untuk itu, dimisalkan ℋ𝑓 = 100, 𝛼𝜇 = 30, dan 𝐷𝑟 = 104 , sedangkan ℱ = 1,039783974 diperoleh berdasarkan persamaan (3.17)

13



s

Gambar 2. Grafik fungsi 𝜃 dan 𝑠 untuk ℋ𝑓 = 100, 𝛼𝜇 = 30, dan 𝐷𝑟 = 104

Berdasarkan Gambar 2 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai 𝜃 semakin besar dan nilai s semakin mengecil. 3.1.2 Proses Dalam Keadaan Pendinginan (𝓵 < 𝟏) Kasus ini terjadi pada 𝑧 > ℓ, persamaan (2.31) dan (2.32) dapat ditulis menjadi 𝑠𝑧 = −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃−1) 𝑠,

(3.18)

𝜃𝑧 = −ℋ𝑐 𝑠 𝜃,

(3.19)

dengan syarat batas 𝑠 ℓ = 𝑠ℓ

𝜃 ℓ = 𝜃ℓ .

dan

(3.20)

Penurunan persamaan (3.18) dan (3.19) dapat dilihat pada Lampiran 4. Untuk menentukan penyelesaian masalah nilai batas (3.18) – (3.20), maka diperkenalkan variabel berikut: 𝜗 = 𝛼𝜇 (𝜃ℓ − 𝜃), 𝑠

𝔰= 𝒴=

𝑠ℓ

(3.21)

,

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ −1) 2

(3.22) 𝑧−ℓ .

(3.23)

Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.18) – (3.20) diperoleh masalah nilai batas berikut: 𝔰𝒴 = − 𝔰 𝑒 −𝜗 ,

(3.24)

𝜗𝒴 = 𝒜 𝔰 1−∈ 𝜗

(3.25)

14

dan syarat batas 𝜗 0 = 0 dan 𝔰 0 = 1

(3.26)

dimana 𝒜=

2 𝑠ℓ ℋ𝑐 𝛼 𝜇 𝜃 ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ ) ℱ ln 𝐷𝑟

dan ∈ = 𝛼

1 𝜇 𝜃ℓ

≪ 1,

(3.27)

𝒜 adalah konstanta laju penurunan suhu. Penurunan persamaan (3.24) dan (3.25) dapat dilihat pada Lampiran 5. Dari persamaan (3.24) dan (3.25), diperoleh 𝑑𝜗 𝑑𝔰

= −𝒜 1−∈ 𝜗 𝑒 𝜗 .

(3.28)

Jika persamaan (3.28) diintegralkan terhadap 𝔰 dan syarat batas (3.26) digunakan, maka diperoleh 𝔰=1+ Karena

∈

1

𝑒 −𝜗

𝒜

1−∈𝜗

∈

−1 −𝒜

𝜗 𝑒 −𝓌 0 1−∈𝓌 2

𝑑𝓌 .

(3.29)

≪ 1, maka persamaan (3.29) dapat dihampiri oleh

1−∈𝜗

𝔰=1+

1

𝑒 −𝜗

𝒜

1−∈𝜗

−1 .

(3.30)

Penurunan persamaan (3.28) dan (3.29) dapat dilihat pada Lampiran 6. Nilai 𝒜 akan mempengaruhi solusi 𝔰. Dalam hal ini akan ditinjau nilai 𝒜 dalam 3 kasus yang berbeda, yaitu: 𝒜 = 1, 𝒜 < 1, dan 𝒜 > 1. Kasus 1. 𝓐 = 𝟏. Berdasarkan persamaan (3.30) dan (3.25), untuk ∈ ≪ 1 diperoleh hampiran untuk 𝔰 dan 𝜗𝒴 masing-masing sebagai berikut: 𝔰 = 𝑒 −𝜗

(3.31)

𝜗𝒴 = 𝑒 −𝜗 .

(3.32)

Jika persamaan (3.32) diintegralkan terhadap 𝒴 dengan syarat batas 𝜗 0 = 0 digunakan, maka diperoleh 𝜗 = ln 𝒴 + 1 .

(3.33)

Selanjutnya, jika persamaan (3.33) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.31), maka diperoleh 𝔰=

1 𝒴+1

.

Penurunan persamaan (3.33) dan (3.34) dapat dilihat pada Lampiran 7.

(3.34)

15

Kasus 2. 𝓐 < 𝟏. Karena 𝒜 < 1 dan suhu terbatas di bawah oleh 𝒜 = 1, maka dengan menggunakan kasus 1 di atas diperoleh bahwa ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ−1) 2

𝜗𝑚𝑎𝑘𝑠 = ln

1−ℓ + 1 .

(3.35)

Karena 𝜗𝑚𝑎𝑘𝑠 berorde satu bila ln ln 𝐷𝑟 ≪ ∈−1 , maka 𝜗 juga berorde satu

𝜗 = 𝑂 1 , sehingga dari persamaan (3.30) diperoleh hampiran sebagai

berikut 𝔰= 1+

1

𝑒 −𝜗 − 1 .

𝒜

(3.36)

Hal yang sama, diperoleh pula hampiran 𝜗𝒴 sebagai berikut 𝜗𝒴 = 𝒜 𝔰, sehingga menurut persamaan (3.36) diperoleh 𝜗𝒴 = 𝑒 −𝜗 + 𝒜 − 1.

(3.37)

Jika persamaan (3.37) diintegralkan terhadap 𝒴 dan syarat batas 𝜗 0 = 0 digunakan, maka diperoleh 𝜗 = ln

𝒜𝑒 𝒜−1 𝒴 − 1 𝒜−1

.

(3.38)

Jika persamaan (3.36) disubstitusikan ke dalam lim 𝒜→1 𝔰, maka diperoleh 𝔰=

𝒜−1 𝒜−𝑒 − 𝒜−1 𝒴

.

(3.39)

Penurunan persamaan (3.35) – (3.39) dapat dilihat pada Lampiran 8. Kasus 3. 𝓐 > 𝟏. Pada kasus ini, ditinjau dua kemungkinan, yaitu 𝜗 = 𝑂 1 dan 𝜗 besar. Jika 𝜗 = 𝑂 1 , maka hasil yang diperoleh sama dengan kasus 𝒜 < 1, sehingga diperoleh persamaan (3.38) dan (3.39). Selanjutnya 𝜗 besar, misalkan 1 ≪ 𝜗 ≪ ∈−1 , maka berdasarkan persamaan (3.30) dengan mengabaikan bentuk eksponensial, diperoleh hampiran 𝔰 berikut 𝔰= 1−

1 𝒜

.

(3.40)

Jika persamaan (3.40) disubstitusikan ke dalam persamaan (3.25), maka diperoleh 𝜗𝒴 = 𝒜 − 1

1−∈ 𝜗 .

(3.41)

16

Selanjutnya, jika persamaan (3.41) diintegralkan terhadap 𝒴, maka diperoleh 1− 𝐶2 𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒴

𝜗=

(3.42)

∈

dimana 𝐶2 adalah konstan pengintegralan yang ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.40) – (3.42) dapat dilihat pada Lampiran 9. Karena 𝜗 besar, maka syarat batas 𝜗 0 = 0 tidak bisa digunakan. Oleh karena itu, untuk menentukan 𝐶2 , dibutuhkan bentuk 𝜗 yang diberikan oleh persamaan (3.38) dan 𝜗 besar oleh (3.42). Untuk 𝜗 → 0 dari persamaan (3.42), diperoleh 1− 𝐶2 1−∈ 𝒜−1 𝒴

𝜗~

∈

.

(3.43)

Untuk 𝜗 besar, dipilih 𝒴 → 0, maka persamaan (3.38) memberikan 𝜗~ 𝒜 − 1 𝒴 + ln

𝒜 𝒜−1

.

(3.44)

Bandingkan persamaan (3.43) dan (3.44), diperoleh 𝒜

𝐶2 = 1− ∈ ln 𝒜−1 .

(3.45)

Dengan demikian persamaan (3.42) menjadi 1− 𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒴

𝜗=

∈

𝒜

+ ln 𝒜−1 𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒴 .

(3.46)

Jika 𝒜 ≫ 1 dan 𝐶2 ~1, maka 𝜗 dapat dihampiri oleh 𝜗=

1−𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒴 ∈

.

(3.47)

Penurunan persamaan (3.44) – (3.46) dapat dilihat pada Lampiran 10. Penyelesaian 𝜗 ditentukan dengan cara mengkombinasikan nilai 𝜗 kecil dan 𝜗 besar, yaitu 𝜗 = ln

𝒜𝑒 𝒜−1 𝒴 − 1 𝒜−1

+

1−𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒴 ∈

𝒜

+ ln 𝒜−1 𝑒 −∈ 𝒜−1

𝒜

− 𝒜 − 1 𝒴 − ln 𝒜−1 .

𝒴

(3.48)

Berikut ini akan ditentukan bentuk 𝑠 berdasarkan solusi untuk 𝔰 yang diberikan oleh persamaan (3.30). Dengan menggunakan variabel awal 𝜃 = 𝜃ℓ −

1 𝛼𝜇

𝜗, maka untuk 𝒜 ≤ 1 diperoleh

𝜃 = 𝜃ℓ −

1 𝛼𝜇

ln

𝒜𝑒 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ − 1

dan untuk 𝒜 > 1, diperoleh

𝒜−1

(3.49)

17

𝜃 = 𝜃ℓ − 1 𝛼𝜇

1 𝛼𝜇

ln

𝒜𝑒 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ − 1 𝒜−1

1

𝒜

− 𝜃ℓ − 𝛼 ln 𝒜−1 𝜇

1− 𝑒

−

𝒜−1 𝛽 𝛼𝜇 𝜃ℓ

𝑧−ℓ

𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ ,

dengan 𝛽 =


+ (3.50)

.

Dengan demikian solusi untuk 𝑠 diperoleh dari persamaan (3.30) adalah 𝑠 = 𝑠ℓ 1 −

1

+ 𝒜

𝜃 ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 −𝜃 ℓ

2

𝒜𝜃

.

(3.51)

Jika syarat batas 𝑠 1 = 𝐷𝑟 −1 dan 𝑧 = 1 digunakan, maka diperoleh 𝐷𝑟 −1 = 𝑠ℓ 1 −

1

+ 𝒜

𝜃 ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 1 −𝜃 ℓ

2

(3.52)

𝒜𝜃 1

Penurunan persamaan (3.49) – (3.52) dapat dilihat pada Lampiran 11. Berikut ini akan dijelaskan karakteristik dari fungsi 𝜃 dan 𝑠. Persamaan (3.50) adalah solusi 𝜃 untuk 𝒜 > 1, dan persamaan (3.51) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan ℋ𝑓 = 350, 𝐷𝑟 = 104 , 𝛼𝜇 = 40, ℓ = 0,2 , 𝒜 = 1,71 dan ℋ𝑐 = 350, sedangkan ℱ = 1,012188798 diperoleh berdasarkan persamaan (3.17) 𝜃

𝑠

Gambar 3. Grafik fungsi 𝜃 dan 𝑠 untuk 𝒜 = 1,71 dan ℋ𝑐 = 350 Berdasarkan Gambar 3 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai 𝜃 dan s semakin mengecil. Persamaan (3.49) adalah solusi 𝜃 untuk 𝒜 ≤ 1, dan persamaan (3.51) adalah solusi untuk s. Untuk itu dimisalkan ℋ𝑓 = 350, 𝐷𝑟 = 104 , 𝛼𝜇 = 40, ℓ = 0,2 , 𝒜 = 0,78 dan ℋ𝑐 = 1, sedangkan ℱ = 1,012188798 diperoleh berdasarkan persamaan (3.17).

18

𝜃

𝑠

Gambar 4. Grafik fungsi 𝜃 dan 𝑠 untuk 𝒜 = 0,78 dan ℋ𝑐 = 1 Berdasarkan Gambar 4 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai 𝜃 dan s semakin mengecil .

3.2 Difusi Dopant Berikut ini akan ditentukan nilai 𝒟. Untuk itu tuliskan persamaan (3.14) dalam bentuk 𝜃 = 1− 𝑒

−𝐶1 1− 𝑒

−

ℱ ln 𝐷 𝑟 𝑧 2

,

(3.53)

dengan 𝐶1 diberikan oleh (3.12). Selanjutnya, diperkenalkan variabel 𝜁 sebagai berikut 𝜁 = 1 − 𝑒−

ℱ ln 𝐷 𝑟 2

𝑧

(3.54)

dan dinotasikan 𝜑 𝜁 ≡𝜙 𝑧 .

(3.55)

Jika persamaan (3.54) dan (3.55) diturunkan terhadap z, maka diperoleh 𝑑𝜁 =

ℱ ln 𝐷𝑟 2

1 − 𝜁 𝑑𝑧

dan 𝜑𝜁 =

2 ℱ ln 𝐷𝑟

𝑒

−

𝛼𝐷 ⊖+1−𝑒 −𝐶 1 𝜁

1−𝜁

𝜑 0 = 0,

Penurunan persamaan (3.56) dapat dilihat pada Lampiran 12.

(3.56)

19

Karena 𝐶1 ≫ 1, maka persamaan (3.56) akan ditinjau dalam dua kasus, yaitu 𝜁~𝐶1 −1 dan 𝜁~1. Kasus 1. 𝜻~𝑪𝟏 −𝟏 ≪ 𝟏. Pada kasus ini, diperkenalkan variabel baru 𝜁 = 𝐶1 𝜁, sehingga persamaan (3.56) menjadi 𝜑𝜁𝑖 =

𝛼𝐷 − ⊖+1−𝑒 −𝜁

2𝑒

,

ℱ ln 𝐷𝑟 1−𝜁

𝜑

dengan solusi 𝜑 dinotasikan dengan 𝜑 𝜑

𝑖

𝜁 = −𝐶

2

1ℱ

𝐸1 𝑥 − 𝑒

ln 𝐷𝑟

𝑖

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝑖

0 =0

(3.57)

yang diberikan sebagai berikut: 𝛼

𝐷 𝐸1 𝑥 − ⊖+1

𝑥=

𝛼𝐷

⊖+1−𝑒 −𝜁

𝛼 𝑥= 𝐷

.

(3.58)

⊖

Kasus 2. 𝜻~𝟏. Pada kasus ini, persamaan (3.56) dapat menjadi solusi outer dinotasikan 0

dengan 𝜑 𝜑𝜁

0

yang memenuhi =

2

𝑒

ℱ ln 𝐷𝑟

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

1−𝜁

,

(3.59)

dengan solusi 𝜑 dinotasikan dengan 𝜑 0

𝜑

2𝑒

𝜁 =

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

ℱ ln 𝐷𝑟

0

yang diberikan sebagai berikut

ln 1 − 𝜁 + 𝐶3

(3.60)

dengan 𝐶3 adalah konstanta pengintegralan yang akan ditentukan berikut ini. Penurunan persamaan (3.60) dapat dilihat pada Lampiran 13. Solusi 𝜑

𝑖

dan 𝜑

lim𝜁 →∞ 𝜑

0 𝑖

harus memenuhi 𝜁 = lim𝜁 →0 𝜑

0

𝜁 .

(3.61)

Untuk 𝜁 → 0, diperoleh 𝜑

0

𝜁 ~ 𝐶3 +

2𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+𝜃

ℱ ln 𝐷𝑟

𝜁.

Selanjutnya, untuk z yang kecil diperoleh 𝐸1 𝑧 ~ − 𝛾 − ln 𝑧 .

(3.62)

20

Berdasarkan persamaan (3.58) diperoleh bahwa untuk 𝜁 → ∞, 𝜑

𝑖

2

𝜁 ≈ −𝐶

1ℱ

𝐸1

ln 𝐷𝑟

2 ln ⊖ +1

𝛼𝐷 ⊖+1

+𝑒

𝛼 − 𝐷

⊖+1

− 𝐸1 𝐸1

𝛼𝐷

−𝑒

⊖ 𝛼𝐷

⊖ ⊖+1

𝛼 − 𝐷

⊖+1

+

2𝑒

𝐸1 −𝛾 − ln 𝛼𝐷 + −

𝛼𝐷 ⊖+1

ℱ ln 𝐷𝑟

𝜁 𝐶1

.

(3.63)

Penurunan persamaan (3.63) dapat dilihat pada Lampiran 14. Dengan demikian berdasarkan persamaan (3.62) dan (3.63) diperoleh 2

𝐶3 = − 𝐶

1ℱ

+1

𝐸1

ln 𝐷𝑟

+𝑒

𝛼 − 𝐷

⊖+1

𝛼𝐷 ⊖+1

− 𝐸1 𝛼𝐷

𝐸1

⊖ ⊖+1

𝛼𝐷 ⊖

−𝑒

𝛼 − 𝐷

⊖+1

𝐸1 −𝛾 − ln 𝛼𝐷 + 2 ln ⊖

.

(3.64)

Dengan mengembalikan ke variabel awal, diperoleh 𝜙

0

𝑧 = 𝑒

𝛼 − 𝐷

⊖+1

𝑧 + 𝐶3 ,

(3.65)

Jadi dari persamaan (2.32) diperoleh 𝒟=

𝑒

−

𝛼𝐷 ⊖+1

𝒫

+ 𝐶3

.

(3.66)

Penurunan persamaan (3.65) dan (3.66) dapat dilihat pada Lampiran 15. Berikut ini akan dijelaskan tentang koefisien difusi efektif. Berdasarkan persamaan (2.36) dapat disimpulkan bahwa 𝒟 pada persamaan (3.66) adalah koefisien difusi efektif untuk 𝜃 = ⊝ untuk semua z. Untuk itu dimisalkan 𝛼𝐷 = 20, ⊖= 0,15, 𝒫 = 3. 10−3 , ℋ𝑓 = 350, 𝛼𝜇 = 40, dan 𝐷𝑟 = 104 , untuk menentukan nilai 𝒟. Kemudian persamaan (2.35) dan (3.66) disubstitusikan ke persamaan (2.39).

21

𝑐

Gambar 5. Grafik Konsentrasi Dopant dengan 𝛼𝐷 = 20, ⊖= 0,15, 𝒫 = 3. 10−3 , ℋ𝑓 = 350, 𝛼𝜇 = 40, dan 𝐷𝑟 = 104

Berdasarkan Gambar 5 diperoleh bahwa peningkatan nilai z menyebabkan nilai c semakin mengecil.

22

IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan Model persamaan untuk suhu dan konsentrasi dopant diturunkan berdasarkan persamaan dasar fluida. Persamaan dasar fluida diturunkan dengan menggunakan hukum kekekalan massa, kekekalan momentum, kekekalan energi dan konsentrasi dopant. Kemudian model tersebut disederhanakan dengan menggunakan asumsi gelombang panjang, rapat masa yang yang cukup kecil, dan konduktivitas panas yang hingga, sehingga diperoleh persamaan difusi yang sederhana dan lebih mudah ditentukan solusinya. Berdasarkan persamaan difusi yang diperoleh, maka ditinjau dua proses fisis yaitu proses sebelum melalui pendingnan dan proses dalam keadaan pendingnan. Dari kedua proses tersebut diperoleh solusi untuk suhu dan jari-jari turbulen. Selain kedua proses fisis tersebut, ditentukan pula konsentrasi dopant yang diperoleh berdasarkan koefisien difusi yang bentuknya berupa fungsi Green. Perilaku solusi dari persamaan difusi ditentukan berdasarkan suatu simulasi numerik dengan menggunakan bantuan software Maple 12. Hasil simulasi numerik untuk proses sebelum melalui pendinginan, diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhunya akan semakin besar

dan jari-jari turbulennya semakin mengecil. Dalam proses

pendinginan diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka suhu dan jari-jari turbulennya akan semakin mengecil. Untuk konsentrasi dopant diperoleh bahwa semakin besar jarak dari input nozzle sepanjang sumbu fiber, maka konsentrasi dopant akan semakin mengecil.

4.2 Saran Untuk menentukan persamaan suhu, jari-jari turbulen dan konsentrasi dopant dapat digunakan pendekatan asimtotik, sehingga dapat dengan mudah ditentukan solusinya. Pendekatan asimtotik dapat dikaji dalam sistem lain, misalkan bioteknologi.

23

DAFTAR PUSTAKA [1]

Huang H, Miura RM, Ireland WP, and Puil E. 2003. Heat-induced stretching of a glass tube under tension. SIAM J. Appl. Math. 63:1499-1519

[2]

Huang H, Miura RM, and Wylie JJ. 2002. Optical fiber drawing and dopant transport. http://www.math.yorku.ca.pdf. html [12 November 2008].

[3]

Izawa T. 2000. Early days of

VAD process. IEEE J. Selected Topics

Quantum Electronics, 6:1220-1227. [4]

Lyytikainen K, Hungtington ST, Carter ALG, McNamara P, Fleming S, Abramczyk J, Kaplin I, Schotz G. 2004. Dopant diffusion during optical fiber drawing. Optical Express, 12:972-977.

[5]

Lee and Jaluria Y. 1996. Effects of variable properties and viscosity dissipation during optical fiber drawing. Trans. ASME, 118:350-358.

[6]

Pone E, Daxhelet X, and Lacroix S. 2004. Refractive index profile of fusedfiber couplers cross-section. Optical Express, 12:1036-1044.

[7] Rodney B. 2008. Arrhenius hukum-Arrhenius equation-van’t Hoff Hukum. http://translate.google.co.id. html [5 Januari 2009]. [8]

Suchecka M, Borisovich A, and Serbinski W. Green’s functions methods for mathematical modeling of unidirectional diffusion process in isothermal metal bonding process. http://www.pg.gda.pl.pdf. html [20 Maret 2009].

[9] Yan Y and Pitchumani R. 2004. Numerical study on the dopant consentration and refractive index profile evolution in an optical fiber manufacturing process. Int. J. Heat Mass Transfer, 49:2097-2112. [10] Yunus A. 2003. Heat transfer a practical approach. Mc. Graw Hill companies. p. 1-335. [11] Diffusion. p. 1-29. http://personal.cityu.edu.hk.PDF. Html [26 Maret 2009]. [12]

Persamaan bessel dan fungsi-fungsi bessel jenis pertama. http://www. rbaryans.files.wordpress.com. html [7 April 2009].

LAMPIRAN

24

Lampiran 1 Misalkan diberikan pengskalaan berikut: 𝑧=

𝑧 𝑟 𝑅 𝑢 𝐿𝑣 𝑅02 𝑝 , 𝑟= , 𝑅= , 𝑢= , 𝑣= , 𝑝= 𝐿 𝑅0 𝑅0 𝑢0 𝑅0 𝑢0 𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜇=

𝜇 𝑇 − 𝑇0 𝑐0 𝐷 , 𝜃= , 𝐶0 = , 𝐷= . 𝜇0 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝑐0 (0) 𝐷∞

Penurunan Persamaan (2.14) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam persamaan (2.1) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝜕𝑧 1 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑟 𝜌𝑢0 𝑢 + 𝑅0 𝑟𝜌 𝑣 =0 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑟 atau 𝑢0

𝜕 1 1 𝑅0 2 𝑢0 𝜕 1 𝜌𝑢 + 𝑟𝜌𝑣 =0 𝜕𝑧 𝐿 𝑅0 𝑟 𝐿 𝜕𝑟 𝑅0

atau 𝑢0 𝜕 𝑢0 1 𝜕 𝜌𝑢 + 𝑟𝜌𝑣 = 0 𝐿 𝜕𝑧 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 atau 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢 + 𝑟𝜌𝑣 = 0 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 atau 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢 + 𝑟𝜌𝑣 = 0 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 Penurunan Persamaan (2.15) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (2.2) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝜕𝑧 1 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑟 𝜌𝑢0 2 𝑢2 + 𝑅0 𝑟𝜌𝑢0 𝑢 𝑣 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑟 atau 𝑢0

2

𝜕 1 1 𝑅0 2 𝑢0 2 𝜕 1 2 𝜌𝑢 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑧 𝐿 𝑅0 𝑟 𝐿 𝜕𝑟 𝑅0

atau 𝑢0 2 𝜕 𝑢0 2 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝐿 𝜕𝑧 𝐿 𝑟 𝜕𝑟

25

atau 𝑢0 2 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (2.2) diperoleh bentuk berikut: −

𝜕 𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜕𝑧 𝜕 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑝 + 2 𝜇 𝜇 𝑢 𝑢 0 0 𝜕𝑧 𝑅0 2 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 +

1 𝜕 𝜕 𝜕𝑟 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟𝜇0 𝜇 𝑢0 𝑢 + 𝑣 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝐿 𝜕𝑧

atau −

𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜕𝑝 1 𝜕 𝜕𝑢 1 1 + 2 𝜇 𝑢 𝜇 0 0 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝐿 𝐿 𝑅0 2 𝜕𝑧 𝐿 +

1 𝜕 𝜕𝑢 1 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑣 1 𝑅0 𝜇0 𝑟𝜇 𝑢0 + 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝐿 𝜕𝑧 𝐿

1 𝑅0

atau −

𝜇0 𝑢0 𝜕𝑝 2𝜇0 𝑢0 𝜕 𝜕𝑢 𝜇0 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 2 𝜕𝑧 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝜇 𝜕𝑧 + 𝑅 𝑟 𝜕𝑟 𝑢0 𝑟 𝜇 𝑅 𝜕𝑟 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 0 0

atau −

𝜇0 𝑢0 𝜕𝑝 2𝜇0 𝑢0 𝜕 𝜕𝑢 𝜇0 𝑢0 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 𝑟𝜇 + 2 𝜕𝑧 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝜇 𝜕𝑧 + 𝑅 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 0 𝑟 𝜕𝑟

atau 𝜇0 𝑢0 −

1 𝜕𝑝 2 𝜕 𝜕𝑢 1 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 + 𝜇 + 𝑟 𝜇 + 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 2 𝜕𝑧 𝐿2 𝜕𝑧 𝜕𝑧

𝜕𝑟 𝜕𝑟

26

Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (2.2), maka diperoleh persamaan berikut: 𝑢0 2 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 = 𝜇0 𝑢0 − +

1 𝜕𝑝 2 𝜕 𝜕𝑢 2 𝜕𝑧 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝜇 𝜕𝑧 𝑅0

1 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 𝑟𝜇 + 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧

atau 𝑢0 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 = 𝜇0 −

1 𝜕𝑝 2 𝜕 𝜕𝑢 1 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 2 𝜕𝑧 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝜇 𝜕𝑧 + 𝑅 𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜇 𝑅 𝜕𝑟 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 0 0

atau 𝜌𝑢0 𝐿 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 3𝜇0 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜌𝐿2 1 𝜕𝑝 2 𝜕 𝜕𝑢 1 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 = − 2 + 2 𝜇 + 𝑟𝜇 + 3 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 𝜕𝑧 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 atau 𝑅𝑒

𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 =−

𝜌𝐿2 𝜕𝑝 2𝜌 𝜕 𝜕𝑢 𝜌𝐿2 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 + 𝜇 + 𝑟𝜇 + 2 𝜕𝑧 3 𝜕𝑧 𝜕𝑧 3𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 3𝑅0

atau 𝑅𝑒

𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 =− +

atau

𝜌 𝜕𝑝 2𝜌 𝜕 𝜕𝑢 𝜌𝐿2 1 𝜕 𝜕𝑢 + 𝜇 + 𝑟 𝜇 2 3𝛿 2 𝜕𝑧 3 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 3𝑅0 𝑟 𝜕𝑟

𝜌𝜌 1 𝜕 𝜕𝑣 𝑟𝜇 3 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧

27

𝑅𝑒

𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢2 + 𝑟𝜌𝑢𝑣 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜌 𝜕𝑝 2𝜌 𝜕 𝜕𝑢 𝜌 1 𝜕 𝜕𝑢 + 𝜇 + 𝑟 𝜇 3𝛿 2 𝜕𝑧 3 𝜕𝑧 𝜕𝑧 3𝛿 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜌1 𝜕 𝜕𝑣 + 𝑟𝜇 3 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 =−

Penurunan Persamaan (2.16) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (2.3) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑧 1 𝜕 𝑅02 𝑢02 𝜕𝑟 𝜌𝑢0 𝑢 𝑣 + 𝑅0 𝑟𝜌 2 𝑣 2 𝜕𝑧 𝐿 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑟 atau 𝑢02 𝑅0 𝜕 1 1 𝜕 𝑅03 𝑢02 1 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 2 𝐿 𝜕𝑧 𝐿 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝑅0 atau 𝑢02 𝑅0 𝜕 𝑢02 𝑅0 1 𝜕 𝜌𝑢 𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 𝐿2 𝜕𝑧 𝐿2 𝑟 𝜕𝑟 atau 𝑢02 𝑅0 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 2 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (2.3) diperoleh bentuk berikut: −

𝜕 𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜕𝑟 𝜕 𝜕 𝜕𝑟 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑧 𝑝 + 𝜇 𝜇 𝑢 𝑢 + 𝑣 0 0 𝜕𝑟 𝑅02 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝐿 𝜕𝑧

𝜕𝑧 𝜕𝑧

𝑅0 𝑢0 2 𝜕 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑟 𝜕𝑟 2𝜇0 𝜇 𝐿 𝑣 + 𝑅 𝑟𝜇 𝜇 𝑣 − 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 0 0 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑅02 𝑟 2 atau −

𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜕𝑝 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 2 𝜕𝑟 𝑅 + 𝜕𝑧 𝜇0 𝑢0 𝜇 𝑅 𝜕𝑟 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 0 0

1 𝐿

2 𝜕 𝑅02 𝑢0 𝜇0 𝜕𝑣 1 1 2𝜇0 𝑢0 𝑅0 𝜇 𝑣 + 𝑟𝜇 − 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑟 𝑅0 𝑅0 𝑅02 𝑟 2

28

atau −

𝜇0 𝑢0 𝐿 𝜕𝑝 𝜇0 𝑢0 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 + 𝜇 + 𝐿 𝜕𝑧 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅03 𝜕𝑟

+

2𝜇0 𝑢0 1 𝜕 𝜕𝑣 2𝜇0 𝑢0 𝜇 𝑣 𝑟𝜇 − 𝑅0 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝑟 2

atau 𝜇0 𝑢0 −

𝐿 𝜕𝑝 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 + 𝜇 + 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅03 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑧

+

2 1 𝜕 𝜕𝑣 2 𝜇𝑣 𝑟𝜇 − 𝑅0 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝑟 2

Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (2.3), maka diperoleh persamaan berikut: 𝑢02 𝑅0 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢 𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 2 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 = 𝜇0 𝑢0 − −

𝐿 𝜕𝑝 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 3 𝜕𝑟 + 𝐿 𝜕𝑧 𝜇 𝑅 𝜕𝑟 + 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅0 0

+

2 1 𝜕 𝜕𝑣 𝑟𝜇 𝑅0 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

2 𝜇𝑣 𝑅0 𝑟 2

atau Γ𝐿 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 𝜇0 𝑢0 𝑅0 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 Γ𝐿3 𝐿 𝜕𝑝 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 = 2 − 3 𝜕𝑟 + 𝐿 𝜕𝑧 𝜇 𝑅 𝜕𝑟 + 𝐿2 𝜕𝑧 3𝑅0 𝑅0 0 −

+

2 1 𝜕 𝜕𝑣 𝑟𝜇 𝑅0 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

+

2 1 𝜕 𝜕𝑣 𝑟𝜇 𝑅0 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

2 𝜇𝑣 𝑅0 𝑟 2

atau 𝜆

𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

atau

=

ΓL 𝐿 𝜕𝑝 1 𝜕 1 𝜕𝑢 𝑅0 𝜕𝑣 − + 𝜇 + 3𝛿 2 𝑅0 𝜕𝑟 𝐿2 𝜕𝑧 𝑅03 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑧

−

2 𝜇𝑣 𝑅0 𝑟 2

29

𝜆

𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 1 Γ 𝜕𝑝 Γ 𝜕 𝜕𝑢 Γ 𝜕 𝜕𝑣 2Γ 1 𝜕 𝜕𝑣 − + 𝜇 + 𝜇 + 𝑟 𝜇 𝛿3 3𝐿 𝜕𝑟 3 𝜕𝑧 𝜕𝑟 3𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 3𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 2Γ 𝜇 𝑣 − 3 𝑟2 =

atau 𝜆𝐿𝑓

𝜕 1 𝜕 𝜌𝑢𝑣 + 𝑟𝜌𝑣 2 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 Γ 𝜕𝑝 𝜕 𝜕𝑢 𝜕 𝜕𝑣 1 𝜕 𝜕𝑣 −ℓ + 𝐿𝑓 𝜇 +ℓ 𝜇 + 2ℓ 𝑟𝜇 3 3𝛿 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜇𝑣 − 2𝐿𝑓 2 𝑟 =

Penurunan persamaan (2.17) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (2.4) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝜕𝑧 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝑇0 𝜕𝑧 𝜕𝑧 1 𝜕 𝑅0 𝑢0 + 𝑅0 𝑟𝜌𝑐𝑝 𝑣 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝑇0 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿

𝜕𝑟 𝜕𝑟

atau 𝜕 1 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢𝑇0 𝜕𝑧 𝐿 1 𝜕 𝑅0 2 𝑢0 𝑅0 2 𝑢0 1 + 𝑟𝜌𝑐𝑝 𝑣 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝑟𝜌𝑐𝑝 𝑣𝑇0 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝐿 𝑅0 atau 1 𝜕 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢𝑇0 𝐿 𝜕𝑧 1 𝜕 + 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝜃 + 𝑇0 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝑇0 𝑟 𝜕𝑟

30

Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (2.4) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑧 1 𝜕 𝜕 𝑘 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝑇0 + 𝑅0 𝑟𝑘 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝑇0

𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

atau 1 𝜕 𝐿2 𝜕𝑧

𝑇𝑓 − 𝑇0 𝑘

𝜕 𝜕 1 1 𝜕 𝜃 + 𝑇0 𝑘 + 2 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟

𝑇𝑓 − 𝑇0 𝑘𝑟

𝜕 𝜕 𝜃 + 𝑇0 𝑘𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (2.4), maka diperoleh persamaan berikut: 1 𝜕 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜃 + 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢𝑇0 𝐿 𝜕𝑧 1 𝜕 + 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝜃 + 𝑇0 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝑇0 𝑟 𝜕𝑟 =

1 𝜕 𝐿2 𝜕𝑧

+

1 1 𝜕 𝑅0 2 𝑟 𝜕𝑟

𝑇𝑓 − 𝑇0 𝑘

𝜕 𝜕 𝜃 + 𝑇0 𝑘 𝜕𝑧 𝜕𝑧

𝑇𝑓 − 𝑇0 𝑘𝑟

𝜕 𝜕 𝜃 + 𝑇0 𝑘𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

atau 1 𝜕 𝑇0 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢𝜃 + 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢 𝐿 𝜕𝑧 𝑇𝑓 − 𝑇0

atau

+

1 𝜕 𝑇0 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝜃 + 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝑇0 𝑟 𝜕𝑟 𝑇𝑓 − 𝑇0

=

1 𝜕 𝜕 𝑇0 𝜕 𝑘 𝜃+ 𝑘 2 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑇𝑓 − 𝑇0 𝜕𝑧

+

1 1 𝜕 𝜕 𝑇0 𝜕 𝑘𝑟 2 𝑟 𝜕𝑟 𝑘𝑟 𝜕𝑟 𝜃 + 𝜕𝑟 𝑅0 𝑇𝑓 − 𝑇0

31

1 𝜕 1 𝜕 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢𝜃 +⊖ 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑢 + 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝜃 +⊖ 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑟𝑣𝑇0 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 1 𝜕 𝜕 𝜕 1 1 𝜕 𝜕 𝜕 = 2 𝑘 𝜃 +⊖ 𝑘 + 2 𝑘𝑟 𝜃 +⊖ 𝑘𝑟 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 atau 𝜌𝑐𝑝 𝑢0 𝑅0 𝜕 1 𝜕 𝑢𝜃 +⊖ 𝑢 + 𝑟𝑣𝜃 +⊖ 𝑟𝑣 𝑟 𝜕𝑟 2 𝜋ℎ𝑓 𝐿 𝜕𝑧 =

𝑅0 𝑘 1 𝜕 𝜕𝜃 𝜕 𝑅0 𝑘 1 1 𝜕 𝜕𝜃 𝜕 +⊖ + 𝑟 +⊖ 𝑟 2 2 𝜕𝑧 𝜕𝑟 2 𝜋ℎ𝑓 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 2 𝜋ℎ𝑓 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

atau 1 𝜕 1 𝜕 𝑢𝜃 +⊖ 𝑢 + 𝑟𝑣𝜃 +⊖ 𝑟𝑣 ℋ𝑓 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 =

𝑘

𝜕 𝜕𝜃 𝜕 1 11 𝜕 𝜕𝜃 𝜕 +⊖ + 𝑟 +⊖ 𝑟 𝜕𝑧 𝜕𝑟 2 𝜋ℎ𝑓 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 2 𝜋 𝐵𝑖 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝛿

atau 𝛼𝜇 𝛼𝐷 𝜕 1 1 𝑢 𝜃 +⊖ + 𝑟𝑣 𝜃 +⊖ ℋ𝑓 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 =

1 1 𝜕 𝜕 𝛿 𝜃 +⊖ 2 𝜋 𝐵𝑖 𝜕𝑧 𝜕𝑧

+

𝛼𝜇 𝛼𝐷 1 𝜕 𝜕 𝑟 𝜃 +⊖ 𝛿 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

Penurunan persamaan (2.18) Substitusikan pengskalaan di atas ke dalam ruas kiri persamaan (2.5) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝜕𝑧 1 𝜕 𝑅0 𝑢0 𝜕𝑟 𝑢0 𝑢𝑐0 0 𝑐 + 𝑅0 𝑟 𝑣𝑐0 0 𝑐 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝐿 𝜕𝑟 atau 𝑢0 𝑐0 0 𝜕 𝑢0 𝑐0 0 1 𝜕 𝑢𝑐 + 𝑟𝑣𝑐 𝐿 𝜕𝑧 𝐿 𝑟 𝜕𝑟

32

Selanjutnya substitusikan pengskalaan di atas ke ruas kanan persamaan (2.5) diperoleh bentuk berikut: 𝜕 𝜕 𝜕𝑧 𝜕𝑧 1 𝜕 𝜕 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝐷∞ 𝐷 𝑐0 0 𝑐 + 𝑅0 𝑟𝐷∞ 𝐷 𝑐0 0 𝑐 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 atau 𝐷∞ 𝑐0 0 𝜕 𝜕𝑐 𝐷∞ 𝑐0 0 1 𝜕 𝜕𝑐 𝐷 + 𝑟 𝐷 2 𝐿2 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑅0 Jika ruas kiri sama dengan ruas kanan persamaan (2.5), maka diperoleh persamaan berikut: 𝑢0 𝑐0 0 𝜕 𝑢0 𝑐0 0 1 𝜕 𝑢𝑐 + 𝑟𝑣𝑐 𝐿 𝜕𝑧 𝐿 𝑟 𝜕𝑟 𝐷∞ 𝑐0 0 𝜕 𝜕𝑐 𝐷∞ 𝑐0 0 1 𝜕 𝜕𝑐 = 𝐷 + 𝑟 𝐷 𝐿2 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑅0 2 𝑟 𝜕𝑟 atau 𝑢0 𝜕 1 𝜕 𝑢𝑐 + 𝑟𝑣𝑐 𝐿 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

=

𝐷∞ 𝜕 𝜕𝑐 𝐷∞ 1 𝜕 𝜕𝑐 𝐷 + 2 𝑟𝐷 2 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝜕𝑟 𝑅0 𝑟 𝜕𝑟

atau 𝑢0 𝑅0 2 𝜕 1 𝜕 𝑢𝑐 + 𝑟𝑣𝑐 𝐿𝐷∞ 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

𝑅0 2 𝜕 𝜕𝑐 1 𝜕 𝜕𝑐 = 2 𝐷 + 𝑟𝐷 𝐿 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

atau 𝒫

𝜕 1 𝜕 𝑢𝑐 + 𝑟𝑣𝑐 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟

= 𝛿2

𝜕 𝜕𝑐 1 𝜕 𝜕𝑐 𝐷 + 𝑟𝐷 𝜕𝑧 𝜕𝑧 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟

33

Lampiran 2 Penurunan persamaan (3.1) Tinjau persamaan (2.31) berikut: 𝑠𝑧 = −

2𝐹𝑠 𝜇

.

Karena 𝜇 = 𝑒 −𝛼 𝜇 𝜃 , maka persamaan (2.31) menjadi 𝑠𝑧 = −

2𝐹𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 𝜃

atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 1 atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 𝑒 −𝛼 𝜇 𝑒 𝛼 𝜇 atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) atau 2 𝐹 𝑒𝛼𝜇 𝑠𝑧 = − ln 𝐷𝑟 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) ln 𝐷𝑟 atau 𝑠𝑧 = −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) . Penurunan persamaan (3.2) Tinjau persamaan (2.32) berikut 1

𝜃𝑧 = 𝑠 2 [ ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝐻 𝑙 − 𝑧 − ℋ𝑐 𝜃𝐻 𝑧 − 𝑙 ], atau 𝜃𝑧 =

𝑠 [ ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝐻 𝑙 − 𝑧 − ℋ𝑐 𝜃𝐻 𝑧 − 𝑙 ]

Karena 𝑙 = 1, maka ℋ𝑐 = 0 sehingga diperoleh 𝜃𝑧 =

𝑠 [ ℋ𝑓 1 − 𝜃 . 1 − 0 . 𝜃. 1]

atau 𝜃𝑧 = ℋ𝑓 𝑠 1 − 𝜃 .

34

Penurunan persamaan (3.3) Karena 𝑑𝑠 𝑠𝑧 𝑑𝑠 𝑑𝑧 = = , 𝑑𝜃 𝜃𝑧 𝑑𝜃 𝑑𝑧 maka dengan menggunakan persamaan (3.1) dan (3.2) diperoleh 𝑑𝑠 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) = − 𝑑𝜃 ℋ𝑓 𝑠 1 − 𝜃 atau 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 1−𝜃 (1 − 𝜃)

𝑑𝑠 ℱ ln 𝐷𝑟 = − 𝑑𝜃 ℋ𝑓

Penurunan persamaan (3.5) Tinjau persamaan (3.3) berikut 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 1−𝜃 (1 − 𝜃)

𝑑𝑠 ℱ ln 𝐷𝑟 = − 𝑑𝜃 ℋ𝑓 atau 𝑑𝑠 𝑠

= −

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 −𝛼 𝜇 1−𝜃 𝑑𝜃 ℋ𝑓 1−𝜃

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap 𝜃, maka diperoleh 𝑑𝑠 1

= −

𝑠2

𝑒 −𝛼 𝜇 1−𝜃 𝑑𝜃 1−𝜃

ℱ ln 𝐷𝑟 ℋ𝑓

atau ℱ ln 𝐷𝑟 2 𝑠 = − ℋ𝑓

𝑒 −𝑥 1−𝜃

−

𝑑𝑥 𝛼𝜇

Selanjutnya misalkan 𝑥 = 𝛼𝜇 1 − 𝜃 , maka 𝑑𝑥 = −𝛼𝜇 𝑑𝜃 sehingga diperoleh 2 𝑠 =


𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 𝑥

atau 2 𝑠 = atau


𝑥 −1 − 1 𝑒 −𝑥 + 𝑐

35

ℱ ln 𝐷𝑟 4𝑠 = − ℋ𝑓

2

1−𝑥

−1

𝑒

−𝑥

+ 𝑐

atau ℱ ln 𝐷𝑟 4𝑠 = − ℋ𝑓

2

1 − (𝛼𝜇 1 − 𝜃 )

−1

𝑒

−𝛼 𝜇 1−𝜃

+ 𝑐

atau ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 𝜃 = − 2 ℋ𝑓

−1

1 − 𝛼𝜇 1 − 𝜃

2

𝑒

−𝛼 𝜇 1−𝜃

+ 𝑐

Jika syarat batas 𝑠 (0) = 1 digunakan, maka ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 0 = − 2 ℋ𝑓

1 − 𝛼𝜇

2

−1

𝑒

−𝛼 𝜇

+ 𝑐

=1

memberikan ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

𝑐 = 1+

1 − 𝛼𝜇

−1

𝑒 −𝛼 𝜇

sehingga 𝑠= −

ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

ℱ ln 𝐷𝑟 + 2 ℋ𝑓

−1

1 − 𝛼𝜇 1 − 𝜃

𝑒 −𝛼 𝜇

1−𝜃

+ 1

2

1 − 𝛼𝜇

−1

𝑒 −𝛼 𝜇

atau 𝑠 = 1−


ℱ ln 𝐷𝑟 − 2 ℋ𝑓

1 − 𝛼𝜇 1 − 𝜃 1 − 𝛼𝜇

−1

−1

𝑒 −𝛼 𝜇

1−𝜃

2

𝑒

−𝛼 𝜇

atau 𝑠 = 1− atau


𝑒 −𝛼 𝜇 1−𝜃 𝛼 𝜇 1−𝜃

𝑑 𝛼𝜇 1 − 𝜃

−

𝑒 −𝛼 𝜇 𝛼𝜇

2

𝑑 𝛼𝜇

36

𝑠 = 1−

∞


𝛼 𝜇 1−𝜃

∞

−𝑥

𝑒 𝑥

𝑑𝑥 − 𝛼𝜇

2

−𝑥

𝑒 𝑥

𝑑𝑥

atau ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 = 1− 2 ℋ𝑓 dengan 𝐸1 𝑧 =

∞ 𝑒 −𝑥 𝑧 𝑥

2

𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃 𝑑𝑥

− 𝐸1 𝛼𝜇

37

Lampiran 3 Penurunan persamaan (3.6) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.5) ke dalam persamaan (3.2) berikut 𝜃𝑧 = ℋ𝑓 𝑠 1 − 𝜃 diperoleh 𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1−


𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

− 𝐸1 𝛼𝜇

1−𝜃

Penurunan persamaan (3.8) Tinjau persamaan (3.7) berikut 𝜃𝑧 = ℋ𝑓 1 − 𝜃 atau 𝑑𝜃 = ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝑑𝑧 atau 𝑑𝜃 = ℋ𝑓 𝑑𝑧 1−𝜃 Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh − ln 1 − 𝜃 = ℋ𝑓 𝑧 atau ln 1 − 𝜃 = −ℋ𝑓 𝑧 atau 1 − 𝜃 = 𝑒 −ℋ𝑓 𝑧 atau 𝜃 = 1 − 𝑒 −ℋ𝑓 𝑧

Penurunan persamaan (3.9) Tinjau persamaan (3.6) berikut 𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1−


𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

− 𝐸1 𝛼𝜇

1−𝜃

Karena 𝐸1 𝑧 ~ − ln 𝑧 − 𝛾, maka persamaan (3.6) menjadi 𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1−


− ln 𝛼𝜇 1 − 𝜃

− 𝛾 − ( − ln 𝛼𝜇 − 𝛾)

1−𝜃

38

atau 𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1+



+ 𝛾 − ln 𝛼𝜇 − 𝛾

1−𝜃

atau 𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1+



+𝛾

1−𝜃

Penurunan persamaan (3.10) Karena 𝛼𝜇 1 − 𝜃 = 𝑒 𝛼𝜇 𝜃 = 𝛼𝜇 −

2 ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷 𝑟

−

2 ℋ𝑓 − ℱ 𝑒 ln 𝐷𝑟

𝜃, maka persamaan (3.9) menjadi

𝜃

atau 𝜃 = 1−


𝜃

𝛼𝜇

Jika persamaan di atas diturunkan terhadap z pada kedua ruas, maka diperoleh −


𝛼𝜇

𝜃𝑧 = 𝜃𝑧

Jika persamaan (3.9) digunakan, maka diperoleh −

𝑒

2 ℋ𝑓 − ℱ ln 𝐷𝑟

𝛼𝜇

𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1+


𝑙𝑛 𝛼𝜇 1 − 𝜃

+𝛾

1−𝜃

atau −


𝛼𝜇

𝜃𝑧 = ℋ𝑓

1+


𝑙𝑛

2 ℋ𝑓 − 𝑒 ℱ ln 𝐷𝑟


𝜃 +𝛾

𝛼𝜇

atau ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

𝜃𝑧 = −ℋ𝑓

1+


ℱ ln 𝐷𝑟 1+ 2 ℋ𝑓

𝑙𝑛 𝑒


𝜃 +𝛾

𝜃

atau

atau

𝑙𝑛


+ ln 𝜃 + 𝛾

𝜃

𝜃

39

2 ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷𝑟 − + ln 𝜃 + 𝛾 2 ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷𝑟


1+


1−1+




ln 𝜃 + 𝛾

𝜃

atau ln 𝜃 + 𝛾

𝜃

atau 𝜃

atau 𝜃𝑧 = −

ℱ ln 𝐷𝑟 ( ln 𝜃 + 𝛾)𝜃 2

Penurunan persamaan (3.11) Tinjau persamaan (3.10) berikut 𝑑𝜃 ℱ ln 𝐷𝑟 = − ( ln 𝜃 + 𝛾)𝜃 𝑑𝑧 2 atau 𝑑𝜃 ( ln 𝜃 + 𝛾)𝜃

= −

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑑𝑧 2

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap z, maka diperoleh ln ln 𝜃 + 𝛾 = −

ℱ ln 𝐷𝑟 (𝑧+𝐶) 2

atau ln 𝜃 + 𝛾 = 𝐶1 𝑒 −

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑧 2

atau ln 𝜃 = −𝛾 + 𝐶1 𝑒 −


40

Penurunan persamaan (3.12) Dengan mensubstitusikan 𝑧 = 0 ke dalam persamaan (3.8) berikut 𝜃 = 1 − 𝑒 −ℋ𝑓 𝑧 , maka diperoleh 𝜃 = 0 sehingga persamaan berikut 𝛼𝜇 1 − 𝜃 = 𝑒 memberikan 𝛼𝜇 1 − 0 = 𝑒


𝜃

atau 𝛼𝜇 =


𝜃

atau 𝜃 = 𝑒


𝛼𝜇 .

Berdasarkan bentuk ln 𝜃 = −𝛾 + 𝐶1 𝑒 −

ℱ ln 𝐷 𝑟 2

𝑧

,

maka untuk 𝑧 = 0, diperoleh ln 𝜃 = −𝛾 + 𝐶1 atau ln

2 ℋ𝑓 ℱ 𝑒 ln 𝐷𝑟

𝛼𝜇 = −𝛾 + 𝐶1 .

Jadi bentuk 𝐶1 diperoleh berikut: 𝐶1 = γ + ln

2 ℋ𝑓 ln 𝐷𝑟

𝑒ℱ

𝛼𝜇

atau 2 ℋ𝑓

𝐶1 = γ + ln 𝛼𝜇 + ln 𝑒 ℱ ln 𝐷𝑟 atau 𝐶1 = γ + ln 𝛼𝜇 +

2 ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷𝑟


−

𝜃

41

Penurunan persamaan (3.13) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.12) ke dalam persamaan (3.11) berikut ln 𝜃 = −𝛾 + 𝐶 ∗ 𝑒 −


diperoleh 𝜃 = 𝑒 −𝛾 + 𝐶

∗

𝑒

−


atau 𝜃= 𝑒

−𝛾 + γ+ln 𝛼 𝜇 +

ℱ ln 𝐷 𝑟 2 ℋ𝑓 − 𝑧 2 𝑒 ℱ ln 𝐷𝑟

Penurunan persamaan (3.14) Tinjau persamaan (3.13) berikut 𝛼𝜇 1 − 𝜃 =


𝜃

atau 1−𝜃 =

1 −ℱ2lnℋ𝐷𝑓 𝑟 𝜃 𝑒 𝛼𝜇

atau 1 − 2 ℋ𝑓 𝜃 = 1− 𝑒 ℱ ln 𝐷𝑟 𝜃 𝛼𝜇 Kembalikan ke variabel awal, diperoleh 1 −ℱ2lnℋ𝐷𝑓 𝑟 𝜃 = 1− 𝑒 𝛼𝜇

𝑒

1 −ℱ2lnℋ𝐷𝑓 𝑟 𝑒 𝜃 = 1− 𝑒 𝛼𝜇 1 𝜃 = 1− 𝑒 𝛼𝜇

2 ℋ𝑓 −𝛾 + γ+ln 𝛼 𝜇 + ℱ ln 𝐷

𝑟

γ+ln 𝛼 𝜇 +

𝜃 = 1− 𝑒

−


ℱ ln 𝐷 𝑟 2 ℋ𝑓 − 𝑧 2 𝑒 ℱ ln 𝐷𝑟

𝑒 −𝛾

ℱ ln 𝐷 𝑟 2 ℋ𝑓 2 ℋ𝑓 − 𝑧 2 γ+ln 𝛼 𝜇 + 𝑒 − 𝛾+ ℱ ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒

1 ln 𝛼 𝑒 − ℱ ln2 𝐷 𝑟 𝑧 𝜃 = 1− 𝑒 𝜇 𝑒 𝛼𝜇

ℱ ln 𝐷 𝑟 2 ℋ𝑓 2 ℋ𝑓 − 𝑧 2 𝛾+ 𝑒 − 𝛾+ ℱ ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒

−


−


−1

𝑒 ln 𝛼 𝜇 𝑒

− ln 𝛼 𝜇

𝑒 ln 𝛼 𝜇 𝑒

𝜃 = 1 − 𝑒 ln 𝛼 𝜇

𝑒

𝑒 𝑒

2 ℋ𝑓 − 𝛾+ ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷 𝑟

− 𝛾+

1− 𝑒

1− 𝑒

−

−



42

𝜃 = 1− 𝑒

− ln 𝛼 𝜇 1− 𝑒

−


𝑒

2 ℋ𝑓 − 𝛾+ ℱ ln 𝐷𝑟

1− 𝑒

−


atau 𝜃 = 1− 𝑒

− γ+ln 𝛼 𝜇 +


1− 𝑒

−


Penurunan persamaan (3.15) Dengan mensubstitusikan 𝑧 = 1 ke dalam persamaan (3.14) diperoleh 𝜃 = 1− 𝑒



1− 𝑒

−

ℱ ln 𝐷 𝑟 2

Substitusikan persamaan (3.14) ke dalam persamaan berikut 𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

= − ln 𝛼𝜇 1 − 𝜃

−𝛾

diperoleh 𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

= − ln 𝛼𝜇 1 − 1 − 𝑒

= − ln 𝛼𝜇 𝑒


2 ℋ𝑓 − γ+ln 𝛼 𝜇 + ℱ ln 𝐷𝑟

1− 𝑒

2 ℋ𝑓 − γ+ln 𝛼 𝜇 + ℱ ln 𝐷𝑟

𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

= − ln 𝛼𝜇 + ln 𝑒

𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

= − ln 𝛼𝜇 − 𝛾 + γ + ln 𝛼𝜇 +

Karena 𝐸1 𝛼𝜇 =

𝑒 −𝛼 𝜇 𝛼𝜇


−

1− 𝑒


1− 𝑒

−

−


−𝛾



−𝛾

1 − 𝑒−

−𝛾 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑧 2

, untuk 𝛼𝜇 ≫ 1, maka 𝐸1 𝛼𝜇 ≪ 1,

sehingga persamaan (3.4) berikut ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 = 1− 2 ℋ𝑓

2

𝐸1 𝛼𝜇 1 − 𝜃

− 𝐸1 𝛼𝜇

menjadi ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 = 1− 2 ℋ𝑓

2 ℋ𝑓 − ln 𝛼𝜇 − 𝛾 + γ + ln 𝛼𝜇 + ℱ ln 𝐷𝑟

1− 𝑒

−

2


Dengan menggunakan syarat batas 𝑠 1 = 𝐷𝑟−1 diperoleh ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

− ln 𝛼𝜇 − 𝛾 + γ + ln 𝛼𝜇 +


1 − 𝑒−

ℱ ln 𝐷𝑟 2

1 −

= 1 − 𝐷𝑟 2

43

ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓 2 ℋ𝑓 − γ + ln 𝛼𝜇 + 𝑒− 2 ℱ ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟

ℱ ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓 1− 1+ 1+

=1−

1 − 𝐷𝑟 2

1 ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 − ℱ ln 𝐷𝑟 − 2 𝑒 = 1 − 𝐷𝑟 2 2 ℋ𝑓

1 ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 − ℱ ln 𝐷𝑟 − 2 𝑒 = 𝐷𝑟 2 2 ℋ𝑓

1 ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 − ℱ ln 𝐷𝑟 − 2 ln 1 + 𝑒 = ln 𝐷𝑟 2 2 ℋ𝑓

ln 1 +

1 ℱ ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 − + ln 𝑒 − 2 = ln 𝐷𝑟 2 2 ℋ𝑓

ln 1 +

ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟 ln 𝐷𝑟 − =− 2 ℋ𝑓 2 2

ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟 ln 𝐷𝑟 = + ln 1 + 2 2 2 ℋ𝑓 Jadi bentuk ℱ diperoleh berikut: ℱ =1+

ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 2 + ln 1 + ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

Penurunan persamaan (3.17) Diketahui bahwa ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 ~10−1 ≪ 1 2 ℋ𝑓 Misal 𝜀 =

ln 𝛼 𝜇 +𝛾 ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

𝑓 𝜀 = ln 1 + 𝜀 ℱ ,

dengan 𝜀 ≪ 1.

Dengan menggunakan deret Taylor dari fungsi f di sekitar 𝜀 = 0, diperoleh 𝑓 𝜀 ≈ 𝑓′ 0 𝜀 atau 𝑓(𝜀) ≈ ℱ𝜀. Jadi persamaan (3.15) berikut ℱ =1+

2 ℱ ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

dapat dinyatakan berikut

44

1−

ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 2 ℱ=1 ln 𝐷𝑟 2 ℋ𝑓

atau 1

ℱ= 1−

ln 𝛼𝜇 + 𝛾 ln 𝐷𝑟 2 2 ℋ𝑓 ln 𝐷𝑟

atau ℱ=

Karena 𝛽 =

1 ln 𝛼𝜇 + 𝛾 1− ℋ𝑓 ln 𝛼 𝜇 +𝛾 ℋ𝑓

cukup kecil, maka dengan deret Taylor dari ℱ terhadap 𝛽

diperoleh ℱ =1+𝛽 atau ℱ =1+

ln 𝛼𝜇 + 𝛾 . ℋ𝑓

45

Lampiran 4 Penurunan persamaan (3.18) Dengan menggunakan persamaan (2.31) berikut 𝑠𝑧 = −

2𝐹𝑠 𝜇

dan 𝜇 = 𝑒 −𝛼 𝜇 𝜃 , diperoleh 𝑠𝑧 = −

2𝐹𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 𝜃

atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 1 atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 𝑒 −𝛼 𝜇 𝑒 𝛼 𝜇 atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) atau 𝑠𝑧 = −2 𝐹 𝑠 𝑒 𝛼 𝜇 𝑒 −𝛼 𝜇

1−𝜃

ln 𝐷𝑟 ln 𝐷𝑟

atau 2 𝐹 𝑒𝛼𝜇 𝑠𝑧 = − ln 𝐷𝑟 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) ln 𝐷𝑟 atau 𝑠𝑧 = −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑠 𝑒 −𝛼 𝜇 (1−𝜃) atau 𝑠𝑧 = −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃−1) 𝑠

46

Penurunan persamaan (3.19) Tinjau persamaan (2.32) berikut 1

𝜃𝑧 = 𝑠 2 [ ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝐻 𝑙 − 𝑧 − ℋ𝑐 𝜃𝐻 𝑧 − 𝑙 ] atau 𝜃𝑧 =

𝑠 [ ℋ𝑓 1 − 𝜃 𝐻 𝑙 − 𝑧 − ℋ𝑐 𝜃𝐻 𝑧 − 𝑙 ]

Karena 𝑙 < 1 memberikan ℋ𝑓 = 0, maka diperoleh 𝜃𝑧 =

𝑠 [ 0. 1 − 𝜃 .1 − ℋ𝑐 𝜃 .1 ]

atau 𝜃𝑧 = −ℋ𝑐 𝑠 𝜃

47

Lampiran 5 Penurunan persamaan (3.24) Misalkan 𝜗 = 𝛼𝜇 (𝜃ℓ − 𝜃), 𝒴=

𝑠

𝔰=


𝑠ℓ

,

𝑧−ℓ ,

Karena 𝑠𝑧 =

𝑑𝑠 𝑑𝑧

maka diperoleh persamaan berikut −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃−1) 𝑠 =

𝑑𝑠 𝑑𝔰 𝑑𝒴 𝑑𝔰 𝑑𝒴 𝑑𝑧

atau −ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒

𝛼 𝜇 (𝜃−1)

𝑠 = 2 𝑠ℓ 𝔰 𝔰𝒴

atau −𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃−1) 𝑠 = 𝑠ℓ 𝔰 𝔰𝒴 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ−1) sehingga −𝑠 = 𝑠ℓ 𝔰 𝔰𝒴 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ −1) 𝑒 −𝛼 𝜇 (𝜃−1) atau −𝑠 = 𝑠ℓ 𝔰 𝔰𝒴 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ −𝜃) atau 𝔰𝒴 = −

𝑠 1 −𝛼 (𝜃 −𝜃) 𝑒 𝜇 ℓ 𝑠ℓ 𝔰

𝔰𝒴 = −

𝑠 1 −𝜗 𝑒 𝑠ℓ 𝔰

atau

atau 𝔰𝒴 = −

atau

𝑠 1 −𝜗 𝑒 𝑠ℓ 𝑠 𝑠ℓ

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ−1) 2

48

𝔰𝒴 = −

𝑠 𝑠ℓ

𝑠ℓ −𝜗 𝑒 𝑠

atau 𝑠 𝑠ℓ

𝔰𝒴 = −

2

𝑠ℓ −𝜗 𝑒 𝑠

atau 𝑠 −𝜗 𝑒 𝑠ℓ

𝔰𝒴 = − atau

𝔰𝒴 = − 𝔰 𝑒 −𝜗 .

Penurunan persamaan (3.25) Misakan 𝔰 = 𝜃 = 𝜃ℓ −

𝜗 𝛼𝜇

𝑠 𝑠ℓ

dan 𝜗 = 𝛼𝜇 𝜃ℓ − 𝜃 , maka 𝑠=

dan

𝑠ℓ 𝔰

Karena 𝜃𝑧 =

𝑑𝜃 , 𝑑𝑧

maka diperoleh persamaan berikut −ℋ𝑐 𝑠 𝜃 =

𝑑𝜃 𝑑𝜗 𝑑𝒴 𝑑𝜗 𝑑𝒴 𝑑𝑧

atau −ℋ𝑐 𝑠 𝜃 = −

1 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ−1) 𝜗𝒴 𝛼𝜇 2

sehingga 𝜗𝒴 =

2 𝑠 ℋ𝑐 𝛼𝜇 𝜃 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ−1)

atau 𝜗𝒴 = atau

2 𝑠 ℋ𝑐 𝛼𝜇 𝜃 𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ) ℱ ln 𝐷𝑟

49

𝜗𝒴 =

2 𝑠ℓ 𝔰 ℋ𝑐 𝛼𝜇 𝜃 𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ) ℱ ln 𝐷𝑟

atau 𝜗𝒴 =

2 𝑠ℓ 𝔰 ℋ𝑐 𝛼𝜇

𝜗 𝜃ℓ − 𝛼 𝜇 ℱ ln 𝐷𝑟

𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ)

atau 𝜗𝒴 =

2 𝑠ℓ 𝔰 ℋ𝑐 𝛼𝜇

𝜃 𝜃ℓ − 𝛼 ℓ𝜃 𝜗 𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ) 𝜇 ℓ ℱ ln 𝐷𝑟

atau 2 𝑠ℓ 𝔰 ℋ𝑐 𝛼𝜇 𝜗𝒴 =

1 𝜃ℓ 1 − 𝛼 𝜃 𝜗 𝜇 ℓ

𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ)

ℱ ln 𝐷𝑟

atau 2 𝑠ℓ ℋ𝑐 𝛼𝜇 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ) 1 𝜗𝒴 = 𝔰 1− 𝜗 ℱ ln 𝐷𝑟 𝛼𝜇 𝜃ℓ Karena 𝒜 =

2 𝑠ℓ ℋ𝑐 𝛼 𝜇 𝜃 ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 (1−𝜃 ℓ ) ℱ ln 𝐷𝑟

𝜗𝒴 = 𝒜 𝔰 1−∈ 𝜗

dan ∈= 𝛼

1 𝜇 𝜃ℓ

, maka diperoleh

50

Lampiran 6 Penurunan persamaan (3.28) Dari persamaan (3.24) dan (3.25) diperoleh 𝑑𝜗 𝒜 𝔰 1−∈ 𝜗 = 𝑑𝔰 − 𝔰 𝑒 −𝜗 atau 𝑑𝜗 𝒜 1−∈ 𝜗 = 𝑑𝔰 − 𝑒 −𝜗 atau 𝑑𝜗 = −𝒜 1−∈ 𝜗 𝑒 𝜗 𝑑𝔰 Penurunan persamaan (3.29) Tinjau persamaan (3.28) berikut 𝑑𝔰 = −

1 𝑒 −𝜗 𝑑𝜗 𝒜 1−∈ 𝜗

Jika kedua ruas persamaan (3.28) diintegralkan terhadap 𝔰, maka diperoleh 𝑑𝔰 = −

1 𝒜

Misalkan 𝑥 = 1−∈ 𝜗 dan 𝑑𝜗 =

1−∈𝜗 2 ∈

1 𝑒 −𝜗 𝑑𝜗 1−∈ 𝜗 −1

dan 𝑦 = −𝑒 −𝜗 + 𝐶, maka 𝑑𝑦 = 𝑒 −𝜗 𝑑𝜗

𝑑𝑥,

sehingga diperoleh 𝔰 𝜗 = −

1 1 − 𝑒 −𝜗 + ∈ 𝒜 1−∈ 𝜗

1 1−∈ 𝜗

2

𝑒 −𝜗 𝑑𝜗 + 𝐶

Jika syarat batas 𝔰 0 = 1 digunakan, maka 𝔰 0 =−

1 −1 + 0 + 𝐶 𝒜

memberikan 𝐶 = 1−

1 𝒜

sehingga 𝔰= − atau

1 1 − 𝑒 −𝜗 + ∈ 𝒜 1−∈ 𝜗

1 1−∈ 𝜗

2

𝑒 −𝜗 𝑑𝜗 + 1 −

1 𝒜

51

𝔰=1+

1 𝒜

𝑒 −𝜗 ∈ −1 − 1−∈ 𝜗 𝒜

𝔰=1+

1 𝒜

𝑒 −𝜗 ∈ −1 − 1−∈ 𝜗 𝒜

𝑒 −𝜗 1−∈ 𝜗

2

𝑑𝜗

atau 𝜗 0

𝑒 −𝓌 1−∈ 𝓌

2

𝑑𝓌

52

Lampiran 7 Penurunan persamaan (3.33) Tinjau persamaan (3.32) berikut 𝜗𝒴 = 𝑒 −𝜗 atau 𝑒 𝜗 𝑑𝜗 = 𝑑𝒴. Jika kedua ruas persamaan (3.32) diintegralkan terhadap 𝒴, maka diperoleh 𝜗 𝒴 = ln 𝒴 + 𝐶 . Jika syarat batas 𝜗 0 = 0 digunakan, maka diperoleh 𝜗 0 = ln 0 + 𝐶 memberikan 𝐶=1 sehingga 𝜗 = ln 𝒴 + 1

Penurunan persamaan (3.34) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.33) ke dalam persamaan (3.31), diperoleh 𝔰 = 𝑒 − ln

𝒴+1

atau 𝔰 = 𝑒 ln

𝒴+1 −1

atau 𝔰= 𝒴+1 atau 𝔰=

1 𝒴+1

−1

53

Lampiran 8 Penurunan persamaan (3.35) Karena 𝒜 < 1 dan suhu terbatas di bawah oleh 𝒜 = 1, maka diperoleh 𝜗𝑚𝑎𝑘𝑠 = ln 𝒴 + 1 Karena 𝒴 = 𝜗𝑚𝑎𝑘𝑠


𝑧 − ℓ dan 𝑧 = 1, diperoleh

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ−1) = ln 1−ℓ + 1 2

Penurunan persamaan (3.37) Tinjau persamaan (3.25) berikut 𝜗𝒴 = 𝒜 𝔰 1−∈ 𝜗 Karena 𝜗 berorde satu dan ∈≪ 1, maka persamaan (3.25) menjadi 𝜗𝒴 = 𝒜 𝔰 atau 𝜗𝒴 = 𝒜

1+

1 −𝜗 𝑒 − 1 𝒜

atau 𝜗𝒴 = 𝑒 −𝜗 + 𝒜 − 1

54

Penurunan persamaan (3.38) Tinjau persamaan (3.37) berikut 𝑑𝜗 𝑑𝒴

= 𝑒 −𝜗 + 𝒜 − 1

atau 𝑒 −𝜗

1 𝑑𝜗 = 𝑑𝒴 + 𝒜−1

Jika kedua ruas persamaan (3.37) diintegralkan terhadap 𝒴, dan dimisalkan 𝑝 = 1 + 𝒜 − 1 𝑒 𝜗 , maka persamaan (3.37) menjadi 1 1 𝑑𝑝 = 𝒜−1 𝑝

𝑑𝒴

atau 1 ln 𝑝 = 𝒴 + 𝐶 𝒜−1 atau 1 ln 1 + 𝒜 − 1 𝑒 𝜗 = 𝒴 + 𝐶 𝒜−1 atau ln 1 + 𝒜 − 1 𝑒 𝜗 = 𝒜 − 1 𝒴 + 𝒜 − 1 𝐶 atau 1 + 𝒜 − 1 𝑒𝜗 = 𝑒

𝒜−1 𝒴+ 𝐶 ∗

atau 𝑒𝜗 =

𝐶 ∗∗ 𝑒

𝒜−1 𝒴

− 1

𝒜−1

sehingga 𝜗 𝒴 = ln

𝐶 ∗∗ 𝑒

𝒜−1 𝒴

− 1

𝒜−1

Jika syarat batas 𝜗 0 = 0 digunakan, maka 𝜗 0 = ln

𝐶 ∗∗ − 1 𝒜−1

memberikan 𝐶 ∗∗ = 𝒜 sehingga diperoleh 𝜗 = ln

𝒜𝑒

𝒜−1 𝒴

− 1 𝒜−1

55

Penurunan persamaan (3.39) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.36) ke dalam lim𝒜 →1 𝔰, diperoleh lim 𝔰 = lim 1 +

𝒜 →1

𝒜 →1

1 −𝜗 𝑒 − 1 𝒜

atau lim 𝔰 = 1 + 𝑒 −𝜗 − 1

𝒜 →1

atau lim 𝔰 = 𝑒 −𝜗

𝒜 →1

sehingga diperoleh 𝔰 = 𝑒 −𝜗 atau 𝔰 = 𝑒 − ln

𝒜𝑒 𝒜−1 𝒴 − 1 𝒜−1

atau 𝔰=

𝒜𝑒

𝒜−1 𝒴

− 1 𝒜−1

atau 𝔰=

𝒜−1 𝒜𝑒

𝒜−1 𝒴

− 1

atau 𝔰=

𝒜−1 𝒜 − 𝑒 − 𝒜−1

𝒴

−1

56

Lampiran 9 Penurunan persamaan (3.41) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.40) ke dalam persamaan (3.25), diperoleh 1

𝜗𝒴 = 𝒜 1 − 𝒜

1−∈ 𝜗

atau

𝜗𝒴 = 𝒜 − 1

1−∈ 𝜗

Penurunan persamaan (3.42) Tinjau persamaan (3.41) berikut 𝑑𝜗 = 𝒜−1 𝑑𝒴

1−∈ 𝜗

Jika kedua ruas persamaan (3.41) diintegralkan terhadap 𝒴, maka diperoleh 1 𝑑𝜗 = 1−∈ 𝜗

𝒜 − 1 𝑑𝒴. 1

Misalkan 𝑝 = 1−∈ 𝜗 maka 𝑑𝜗 = − ∈ 𝑑𝑝, sehingga diperoleh −

1 ∈

1 𝑑𝑝 = 𝑝

𝒜 − 1 𝑑𝒴

atau 1 − ln 𝑝 = ∈

𝒜−1 𝒴+𝐶

atau 𝑝 = 𝐶2 𝑒 −∈ 𝒜−1

𝒴

atau 1−∈ 𝜗 = 𝐶2 𝑒 −∈ 𝒜−1 atau 𝜗=

𝐶2 𝑒 −∈ 𝒜−1 −∈

𝒴

𝜗=

1 − 𝐶2 𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒴 . ∈

− 1

atau

𝒴

57

Lampiran 10 Penurunan persamaan (3.44) Dengan menggunakan persamaan (3.38) berikut 𝜗 = ln

𝒜𝑒

𝒜−1 𝒴

− 1 𝒜−1

memberikan 𝜗~ ln 𝑒

𝒜−1 𝒴

+ ln

𝒜 𝒜−1

atau 𝜗~ 𝒜 − 1 𝒴 + ln

𝒜 . 𝒜−1

Penurunan persamaan (3.45) Dengan membandingkan persamaan (3.43) dan (3.44) diperoleh 1 − 𝐶2 1−∈ 𝒜 − 1 𝒴 𝒜 = 𝒜 − 1 𝒴 + ln ∈ 𝒜−1 atau 1 − 𝐶2 1−∈ 𝒜 − 1 𝒴 = ∈ 𝒜 − 1 𝒴 + ∈ ln atau 𝐶2 = 1− ∈ ln

𝒜 . 𝒜−1

Penurunan persamaan (3.46) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.45) berikut 𝐶2 = 1− ∈ ln

𝒜 𝒜−1

ke dalam persamaan (3.42), diperoleh 𝜗=

𝒜 1 − 1− ∈ ln 𝒜 − 1 𝑒 −∈ 𝒜−1

𝒴

∈

atau 𝜗=

1 − 𝑒 −∈ 𝒜−1 ∈

𝒴

+ ln

𝒜 𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒜−1

𝒴

𝒜 𝒜−1

58

Lampiran 11 Penurunan persamaan (3.49) Misalkan 𝒴 = dan 𝛽 =

ℱ ln 𝐷𝑟 𝑒 𝛼 𝜇 (𝜃 ℓ −1)

𝑧−ℓ ,

2


∈=

1 𝛼𝜇 𝜃ℓ

,

, maka diperoleh

𝒴 = 𝛽 𝑧−ℓ sehingga 𝜃 = 𝜃ℓ −

1 𝜗 𝛼𝜇

atau 1 𝜃 = 𝜃ℓ − 𝛼𝜇

𝒜𝑒

ln

𝜃 = 𝜃ℓ −

1 𝛼𝜇

ln

𝜃 = 𝜃ℓ −

1 𝒜𝑒 ln 𝛼𝜇

𝒜−1 𝒴

− 1

𝒜−1

atau 𝒜𝑒

𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ

− 1

𝒜−1

atau 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ

𝒜−1

− 1

.

Penurunan persamaan (3.50) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.48) ke dalam persamaan (3.49), maka diperoleh 𝜃1 = 𝜃ℓ −

𝜃2 = 𝜃ℓ −

1 𝛼𝜇

1 𝛼𝜇

1 𝜃2 = 𝜃ℓ − 𝛼𝜇

ln

𝒜𝑒 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ − 1 𝒜−1

1 − 𝑒 −∈ 𝒜−1 ∈ 1− 𝑒

𝜃2 = 𝜃ℓ − 𝜃ℓ 1 − 𝑒

−

,

𝒴

+ ln

𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ 𝛼𝜇 𝜃ℓ

1 𝛼𝜇 𝜃ℓ −


𝒜 𝑒 −∈ 𝒜−1 𝒜−1

𝒴

𝒜−1 𝛽 𝒜 − + ln 𝑒 𝛼𝜇 𝜃ℓ 𝒜−1

𝑧−ℓ

𝒜−1 𝛽 1 𝒜 − − ln 𝑒 𝛼𝜇 𝜃ℓ 𝛼𝜇 𝒜−1

𝑧−ℓ

59

𝜃2 = 𝜃ℓ 1 − 1 − 𝑒

𝜃2 = 𝜃ℓ 1 − 1 + 𝑒 𝜃2 = 𝜃ℓ 𝑒

−

−



−


𝒜−1 𝛽 1 𝒜 − − ln 𝑒 𝛼𝜇 𝜃ℓ 𝛼𝜇 𝒜−1 𝒜−1 𝛽 1 𝒜 − − ln 𝑒 𝛼𝜇 𝜃ℓ 𝛼𝜇 𝒜−1


𝑧−ℓ

𝑧−ℓ

𝑧−ℓ

dan −𝜃3 = −𝜃ℓ +

1 𝛼𝜇

𝒜 − 1 𝒴 + ln

𝒜 𝒜−1

−𝜃3 = −𝜃ℓ +

1 𝛼𝜇

𝒜 − 1 𝛽 𝑧 − ℓ + ln

−𝜃3 = −𝜃ℓ +

1 1 𝒜 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ + ln 𝛼𝜇 𝛼𝜇 𝒜−1

𝒜 𝒜−1

sehingga 𝜃 = 𝜃1 + 𝜃2 − 𝜃3 𝜃 = 𝜃ℓ −



− 1

𝒜−1

+ 𝜃ℓ 𝑒


+ 𝜃 = 𝜃ℓ −

−

𝑧−ℓ


− 𝜃ℓ +

1 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ 𝛼𝜇

1 𝒜 ln 𝛼𝜇 𝒜−1



− 1

𝒜−1

−

1 𝒜 𝜃ℓ − ln 𝛼𝜇 𝒜−1

+

1 𝒜−1 𝛽 𝑧−ℓ 𝛼𝜇

1− 𝑒

−


60

Penurunan persamaan (3.51) Dengan mensubstitusikan persamaan (3.21) – (3.23) ke dalam persamaan (3.30), diperoleh 1 𝔰=1+ 𝒜

𝑒 −𝜗 −1 1−∈ 𝜗

atau 𝔰=1−

1 1 1 −𝜗 + 𝑒 𝒜 1−∈ 𝜗 𝒜

𝔰=1−

1 + 𝒜

𝔰=1−

1 + 𝒜

atau 1 1 1 − 𝛼 𝜃 𝛼𝜇 𝜃ℓ − 𝜃 𝜇 ℓ

1 − 𝑒 𝒜

𝛼 𝜇 𝜃 ℓ −𝜃

atau 1 1 1 − 𝛼 𝜃 𝛼𝜇 𝜃ℓ − 𝛼𝜇 𝜃 𝜇 ℓ

atau 𝔰=1−

1 1 1 + 𝑒 𝜃 𝒜 𝒜 1−1+ 𝜃ℓ

𝛼 𝜇 𝜃−𝜃 ℓ

atau 𝔰=1−

1 𝜃ℓ 1 𝑒 𝒜 𝜃 𝒜


atau 𝑠 1 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃−𝜃 ℓ = 1− + 𝑠ℓ 𝒜 𝒜𝜃 atau 𝑠 1 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃−𝜃 ℓ = 1− + 𝑠ℓ 𝒜 𝒜𝜃

2

atau 𝑠 = 𝑠ℓ

1 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃−𝜃 ℓ 1− + 𝒜 𝒜𝜃

2

1 𝑒 𝒜


61

Penurunan persamaan (3.52) Gunakan syarat batas 𝑠 1 = 𝐷𝑟 −1 pada persamaan (3.51) berikut 𝑠 𝑧 = 𝑠ℓ

1 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 𝑧 1− + 𝒜 𝒜𝜃 𝑧

−𝜃 ℓ

2

1 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 1 1− + 𝒜 𝒜𝜃 1

−𝜃 ℓ

2

1 𝜃ℓ 𝑒 𝛼 𝜇 𝜃 1 1− + 𝒜 𝒜𝜃 1

−𝜃 ℓ

2

diperoleh 𝑠 1 = 𝑠ℓ atau 𝐷𝑟

−1

= 𝑠ℓ

62

Lampiran 12 Penurunan persamaan (3.56) Dari persamaan (3.14) berikut 𝜃 = 1− 𝑒

2 ℋ𝑓 − γ+ln 𝛼 𝜇 + ℱ ln 𝐷

1− 𝑒

𝑟

−


atau 𝜃 =1− 𝑒

−𝐶1 1− 𝑒

dengan 𝐶1 = γ + ln 𝛼𝜇 + Karena 𝜁 = 1 − 𝑒 −

ℱ ln 𝐷 𝑟 2

−


2 ℋ𝑓 ℱ ln 𝐷𝑟 𝑧

, maka diperoleh

ℱ ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟 ℱ ln 𝐷𝑟 − ℱ ln 𝐷𝑟 2 − + 𝑒 2 2 2

𝑑𝜁 = atau 𝑑𝜁 =

ℱ ln 𝐷𝑟 2

1 − 𝜁 𝑑𝑧

atau 𝑑𝑧 2 = 𝑑𝜁 ℱ ln 𝐷𝑟 1 − 𝜁 sehingga 𝜑𝜁 =

𝑑𝑧 𝒟 𝑑𝜁

atau 𝜑𝜁 =

2 ℱ ln 𝐷𝑟 1 − 𝜁

𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+𝜃

atau 𝛼𝐷

−

𝜑𝜁 =


𝑒

⊖+1− 𝑒

−𝐶 1 1− 𝑒

atau 𝜁=

2 ℱ ln 𝐷𝑟

𝑒

−

𝛼𝐷 ⊖+1−𝑒 −𝐶 1 𝜁

1−𝜁

𝜑 0 =0

−


𝑧

𝑑𝑧

63

Lampiran 13 Penurunan persamaan (3.60) 𝜑𝜁0 =


𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝑑𝜁.

Jika kedua ruas persamaan di atas diintegralkan terhadap 𝜁, maka diperoleh 𝑑𝜑 =

2

𝑒

ℱ ln 𝐷𝑟 1 − 𝜁

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝑑𝜁

atau 𝜑

−

𝛼𝐷

−

𝛼𝐷

0

2 𝑒 ⊖+1 𝜁 = ℱ ln 𝐷𝑟

1 𝑑𝜁 1−𝜁

0

2 𝑒 ⊖+1 𝜁 = ln 1 − 𝜁 + 𝐶3 ℱ ln 𝐷𝑟

atau 𝜑

Lampiran 14 Penurunan persamaan (3.63) Karena 𝐸1 𝑧 ~ 𝛾 − ln 𝑧 untuk 𝑧 kecil, maka persamaan (3.58) menjadi 𝜑

𝑖

2 𝜁 ~− 𝐸 𝑥 −𝑒 𝐶1 ℱ ln 𝐷𝑟 1

𝜑

𝑖

𝜁 ≈ −

𝜑

𝑖

𝜁 ≈ −

2 𝐸 𝐶1 ℱ ln 𝐷𝑟 1 −𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

+𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝐸1 𝐸1


𝛼 − 𝐷 ⊖+1

+𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝛼𝐷 ⊖ +1

− 𝐸1

⊖ +1 − 𝑒

𝛼𝐷 ⊖+1−𝑒 −𝜁 𝛼 𝑥= 𝐷 ⊖ 𝑥=

𝛼𝐷 ⊖

𝛼𝐷

−

−𝜁

𝛼𝐷 ⊖ +1

𝛼𝐷 𝛼𝐷 − ⊖ ⊖ +1 𝛼𝐷 ⊖ +1

−𝛾 − ln 𝐸1

𝐸1

𝛼𝐷 𝑥− ⊖ +1

− 𝐸1

𝛼𝐷 ⊖

𝛼𝐷 ⊖ +1 − 𝑒

𝛼𝐷 𝛼𝐷 − ⊖ ⊖ +1

−𝜁

−

𝛼𝐷 ⊖ +1

64

𝜑

𝑖

𝜁 ≈ −


𝛼 − 𝐷 ⊖+1

+𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝛼𝐷 ⊖ +1

− 𝐸1

𝛼𝐷 ⊖

−𝛾 − ln 𝛼𝐷 + 2 ln ⊖ +1 𝐸1

𝛼𝐷 ⊖ (⊖ +1)

−

𝛼𝐷

2 𝑒 ⊖+𝜃 𝜁 + ℱ ln 𝐷𝑟 𝐶1

𝜁→∞

Lampiran 15 Penurunan persamaan (3.65) Karena 𝜙

0

0

𝑧 =𝜑

𝜁

substitusi persamaan (3.60), memberikan −

𝛼𝐷

𝜙

0

2 𝑒 ⊖+1 𝑧 = − ln 1 − 𝜁 + 𝐶3 ℱ ln 𝐷𝑟

𝜙

0

𝑧 = 𝑒

atau

dengan 𝑧 = −

𝛼 − 𝐷

⊖+1

𝑧 + 𝐶3

2 ln 1−𝜁 ℱ ln 𝐷𝑟

Penurunan persamaan (3.66) Karena 𝜙 = 𝜙 1 , untuk 𝑧 = 1, maka persamaan (3.65) memberikan 𝜙= 𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝜙= 𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝒟𝒫 = 𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

.1 + 𝐶3

atau + 𝐶3

atau + 𝐶3

atau 𝒟=

𝑒

𝛼 − 𝐷 ⊖+1

𝒫

+ 𝐶3

65

Lampiran 16 Nilai Parameter Fisis Variabel

Nilai

Satuan



2,23 x 103

Kg / m3

cp

7,538 x 102

J / ( K kg )

kc

1,13

W/(mK)

kr

1,2 x 10



3 x 10

-1

hf

200

W / ( m2 K )

hc

20

W / ( m2 K )

u0

10-4

m/s

ud

1

m/s

L

0,5

m

Lf

0,1

m

Ro

6 x 10-3

m

T0

300

K

Tf

2300

K

0

108

kg / ( m s)

G

2 x 10-2

K-1

D

2,4 x 10-6

m2 / s

GD

3,73 x 104

K

W/(mK) kg / s

MODEL MATEMATIKA UNTUK PERUBAHAN SUHU DAN KONSENTRASI DOPANT PADA PEMBENTUKAN SERAT OPTIK MIFTAHUL JANNAH

Recommend Documents