MODEL MATEMATIKA DISEMINASI PENGETAHUAN PADA MANUSIA
SKRIPSI Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Mencapai Derajat Sarjana (S-1)
OLEH
PANTRY ELASTIC F1A1 12 126
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALUOLEO KENDARI 2016
i
ii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillah, segala puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala sehingga penyusunan Skripsi yang berjudul “Model Matematika Diseminasi Pengetahuan pada Manusia” ini dapat terselesaikan sebagaimana mestinya. Selama penyusunan skripsi ini dihadapi berbagai macam hambatan dan kendala, namun dengan bantuan berbagai pihak akhirnya penyusunan skripsi ini dapat terselesaikan juga. Seiring dengan selesainya skripsi ini,
penulis
mengucapkan terima kasih dan penghormatan kepada Bapak Prof. Dr. Edi Cahyono, M.Si sebagai Pembimbing I dan Bapak Dr. Mukhsar, M.Si sebagai Pembimbing II yang telah meluangkan waktunya, memberikan petunjuka, bimbimbingan serta pengarahan dalam penyusunan skripsi ini. Ungkapan rasa cinta dan terima kasih yang dalam penulis tujukan kepada Rasulullah Shalallaahu Alaihi Wasalam yang telah mencerahkan pola berfikir penulis melalui hadits-haditsnya, kepada orang tua saya Bapak Gamal dan ibu Nurwati yang telah menjadi motivasi dan inspirasi bagi saya serta selalu memberikan do’anya yang tulus kehadirat Allah Subhanahu wa Ta’ala, demi kesuksesan penulis. Terima kasih juga kepada adik saya Muhammad Edward atas segala dukungan selama penulis melaksanakan studi.
iii
Ucapan terima kasih juga penulis haturkan kepada berbagai pihak yang secara langsung maupun tidak langsung membantu penulis sejak awal penyusunan hingga selesainya penulisan tugas akhir ini. Untuk itu, perkenankan penulis berucap tulus, terima kasih kepada : 1. Rektor Universitas Halu Oleo, Bapak Prof. Ir. H. Usman Rianse, MS. 2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh Zamrun F,S.Si.,M.Si. 3. Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si, M.Si dan Sekretaris Jurusan FMIPA Universitas Halu Oleo, Bapak Rasas Raya,S.Si.,M.Si. 4. Kepala Laboratorium Komputasi Matematika FMIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.Si., M.Si. 5. Kepala perpustakaan Fakultas Matematika Dra. Hj. Indrawati,M.Si. 6. Seluruh Staf Pengajar pada Jurusan Matematika FMIPA Universitas Halu Oleo. 7. Tim penguji Bapak La Gubu, S.Si., M.Si, Bapak Drs. Jufra,MS, Bapak Rasas Raya,S.Si.,M.Si, yang telah memberikan saran dan kritik sehingga skripsi ini menjadi lebih baik. 8. Keluarga-keluarga tercinta dan Sahabat kecil Arnia Ariyani, Hirmadiawati, henny Pertiwi, Wulan Sari, Rahmadiyawati, Nasyrah Musabar, Ibu Rezky Devianty, Ibu Yeni, Ibu Fey, Ibu Endang, Ibu Yanty, Ibu Normayanti, Ibu Ida, Bapak Rudi, Bapak Burhanuddin yang telah memberikan bantuan dan sumbangsih baik materiil maupun non-materiil.
iv
9. Sahabat Terbaik DKK: Astri Apriliana Rezha, Bertin Rampo, Wd. Nurhasriana, Arysandi, Danni Rofianto, LD. Rahmat. L.M Fuad, Windi Saraisang, Gede Suhendra, dan Jendryadi Syarif yang selalu ada dalam keadaan apapun, tempat berkeluh kesah, serta memberikan dukungan dan semangat. 10. Sahabat Tercinta Qlat: Meryani Yunus, Titi Sholeha, Vista Aryanti Wisal, Intan Wekoila, Dian Andriyani, Claudya S., Irfandi Yusuf, Muhammad Hasrudin, Nizar Fauzan, LM. Resky, Aan Rahmat dan Sahabat Qlat lainnya yang selalu menghibur. 11. Sahabat Tercinta Efryanti Alwi, Ertika Sekar Ningrum, Agnia W, Dwi Rahmawati, Ricka Widy, Rezky Audina, St. Feni, Dinan Azmi yang telah memberikan semangat. 12. Rahmadin La Oga, Yacobus, dan Egi Safitri yang senantiasa membantu penulis ketika kehabisan ide. 13. Sahabat tercinta ATTENTION dan Shift Heads . 14. Teman-teman Matematika 012: Desi, Diana, Eka fitria, Eka Sulistia, Uli, Kadek Ayu, Wiwin, Yuli, Suriana, Risma, Yani, Nur Yasin, Treni, Ila, Trisna, Chika, Miming, Novi, Dian, Trisna, Rajab, Awal, Randi, Rosni, Nansi, Saru, dan Fia, Nella, Rina, Yeni, Vivi, Ummy, Mega, Asni, Ima, Yakob, Sem, Rian, Iksan, jakrin, wasno, Ilham, Diki, Aldy, dan semua teman - teman yang penulis tidak bisa sebutkan satu persatu. 15. Senior Matematika 09-11: Kak Agusman, Kak Gusti,Kakak Uty, Kak Parno, Kak Aty, Kak Ion, Kak Kalvin, Kak Edi Kun, Kak Wayan, Kak Rahmat, Kak
v
Citra, Kak Ully, Kak Rina, Kak Fina, Kak Usman, Kak Samsir, Kak Wahyu, Kak Ayu, Kak Anti, Kak Tendri, Kak Linda, Kak Agus, dan semua senior yang tak bisa penulis sebutkan satu persatu. 16. Junior Matematika 2013: Thesa, Ismail, Fatahul, Selfy, Noni dan adik-adik 013 lainnya. 17. KKN Raha III, Kecamatan Katobu kota Raha serta Anak – anak SDN 06 Katobu. Penulis menyadari bahwa penyusunan tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran yang sifatnya membangun penulis terima dengan tangan terbuka. Akhir kata, semoga Skripsi ini bermanfaat dan memberikan sumbangan yang berharga serta bernilai amal kebaikan. Aamiin. Kendari, Maret 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ……………………………………………………
i
HALAMAN PENGESAHAN …………………………………………..
ii
KATA PENGANTAR ………………………………………………….
iii
DAFTAR ISI…………………………………………………………....
vii
DAFTAR TABEL………………………………………………………
ix
DAFTAR GAMBAR ...............................................................................
x
DAFTAR LAMPIRAN .........................................................................
xi
ABSTRAK………………………………………………………………
xiii
ABSTRACT…………………………………………………………….
xiv
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ………………………………………………….. 1.2 Rumusan Masalah ………………………………………………. 1.3 Tujuan Penelitian………………………………………………... 1.4 Manfaat Penelitian……………………………………………….
1 3 3 3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diseminasi………………………………………………… ......... 2.2 Pengetahuan .................................................................................. 2.3 Dasar – Dasar Model Matematika................................................. 2.3.1 Model SEIZ ........................................................................ 2.3.2 Model SEFAR ..................................................................... 2.4 Sistem Persamaan Diferensial Linear .......................................... 2.5 Titik Kesetimbangan ..................................................................... 2.6 Linearisasi Di sekitar titik kesetimbangan .................................... 2.7 Sifat – Sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan ............................... 2.8 Fase potret pada Sistem Linear ( phase portraits) ........................ 2.9 Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear ......................................
4 4 7 7 9 12 13 13 15 16 22
vii
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat ....................................................................... 3.2 Prosedur Penelitian ……………………………………………...
25 25
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika ........................................................................ 4.1.1 Model dengan 4 Kelompok Individu ................................... 4.1.2 Model dengan 6 Kelompok Individu ................................... 4.2 Solusi Numerik ............................................................................ 4.3 Interpretasi Hasil ...........................................................................
26 27 33 40 48
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan................................................................................... 5.2 Saran ……………………………………………………………
53 54
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
viii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Tabel Definisi Parameter SEIZ ...............................................
8
Tabel 4.1 Tabel Perbedaan Pengetahuan dan Rumor .............................
26
Tabel 4.2 Klasifikasi Populasi Model 1 .................................................
28
Tabel 4.3 Klasifikasi Populasi Model 2 ..................................................
33
ix
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2.1 Siklus Hidup Pengetahuan ..................................................
6
Gambar 2.2 Model SEIZ .........................................................................
9
Gambar 2.3 Model SEFAR .....................................................................
11
Gambar 2.4 Stable Node .........................................................................
18
Gambar 2.5 Unstable Node .....................................................................
19
Gambar 2.6 Center ..................................................................................
20
Gambar 2.7 Saddle Point.........................................................................
21
Gambar 2.8 Prey-Predator.......................................................................
24
Gambar 4.1 Model IASD ........................................................................
29
Gambar 4.2 Skema Analisis Kestabilan ..................................................
30
Gambar 4.3 Model IAHSVD ..................................................................
35
Gambar 4.4 Simulasi Model 1 ................................................................
40
Gambar 4.4 (lanjutan) Simulasi Model 1 ................................................
41
Gambar 4.5 Diseminasi Pengetahuan Model IASD ...............................
42
Gambar 4.5 (lanjutan) Diseminasi Pengetahuan Model IASD ...............
43
Gambar 4.6 Laju Pertumbuhan Disseminant ..........................................
44
Gambar 4.6 (lanjutan) Laju Pertumbuhan Disseminant ..........................
45
Gambar 4.7 Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD ..........................
46
Gambar 4.7 (lanjutan) Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD .......
47
x
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1
Titik Kesetimbangan untuk Diseminasi Pengetahuan Model 1 .......................................................
Lampiran 2
Titik Kesetimbangan untuk Diseminasi Pengetahuan Model 2 .......................................................
Lampiran 3
61
Nilai Eigen untuk Model 2 Diseminasi Pengetahuan ...................................................
Lampiran 6
59
Nilai Eigen untuk Model 1 Diseminasi Pengetahuan dengan 𝛽2 = 0 ..........................
Lampiran 5
58
Nilai Eigen untuk Model 1 Diseminasi Pengetahuan ...................................................
Lampiran 4
57
63
Nilai Eigen untuk Model 2 Diseminasi Pengetahuan dengan 𝛽2 = 0 ..........................
69
Lampiran 7 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (a) ...............................
77
Lampiran 8 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (b) ...............................
78
Lampiran 9 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (c) ...............................
79
Lampiran 10 Simulasi Numerik Model 1Kasus (d) ................................
80
Lampiran 11 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IASD Kasus (a) ....................................................
81
Lampiran 12 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IASD Kasus (b)......................................................
82
Lampiran 13 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IASD Kasus (c) ......................................................
83
Lampiran 14 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IASD Kasus (d)......................................................
84
Lampiran 15 Laju Pertumbuhan Disseminant Kasus (a) .......................
85
Lampiran 16 Laju Pertumbuhan Disseminant Kasus (b) .......................
86
Lampiran 17 Laju Pertumbuhan Disseminant Kasus (c) .......................
87
Lampiran 18 Laju Pertumbuhan Disseminant Kasus (d) ......................
88
Lampiran 19 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (a) ................................................
89
xi
Lampiran 20 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (b) ...............................................
90
Lampiran 21 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (c) ...............................................
91
Lampiran 22 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (d) ................................................
92
xii
Model Matematika Diseminasi Pengetahuan Pada Manusia
Oleh
Pantry Elastic F1A1 12 126
ABSTRAK
Pengetahuan salah satu aspek yang sangat penting bagi kehidupan manusia. Diseminasi atau proses penyebaran pengetahuan lebih lambat daripada informasi yang lain dimasyarakat. Penelitian ini bertujuan untuk mengetahui bagaimana diseminasi pengetahuan dengan pendekatan matematika. Model matematika diseminasi pengetahuan disesuaikan dengan proses penyebarannya dimasyarakat, sehingga terdapat dua model yaitu model IASD dan model IASHVD. Untuk mengetahui kestabilan dari kedua model tersebut, terlebih dahulu menentukan titik kesetimbangan. Terdapat dua titik kesetimbangan pada masing – masing model. Model diseminasi pengetahuan merupakan sistem persamaan diferensial nonlinear, sehingga sistem persamaannya dilinearisasi untuk menentukan sifat kestabilan titik kesetimbangan. Model IASD dan Model IASHVD memiliki titik kesetimbangan yang sama, dimana titik kesetimbangan pertama hanya pada kondisi tertentu bersifat stabil dan titik kesetmbangan kedua bersifat stabil. Kata kunci: pengetahuan, diseminasi, IASD, IASHVD, analisis kestabilan.
xiii
Mathematical Model For The Dissemination of Knowledge In Humans
By
Pantry Elastic F1A1 12 126 Abstract
Knowledge one of the aspect that very important for human life. The dissemination of or process of the spread of knowledge slower than other information in comunity. This study aims to see how the dissemination of knowledge with approach mathematics. Mathematical model for the dissemination of knowledge adapted to the process of their distribution in society and there were two models that is Model IASD and Model IASHVD. To know stability of both the model, first figure out the equilibrium points, There are two equilibrium points in each model. Model the dissemination of knowledge is a system differential equations nonlinear, so that system do they have in common So that system do they have in common linearization to determine the nature stability of equilibrium point. Model IASD and model IASHVD having same equilibrium point, where the first equilibrium point only on certain conditions is stable and the second equilibrium point is stable. Keyword: knowledge, dissemination, IASD, IASHVD, analysis stability .
xiv
BAB I PENDAHULUAN 1.1
Latar Belakang Dalam kehidupan bermasyarakat banyak terjadi fenomena–fenomena atau
isu-isu yang tersebar dimasyarakat. Isu–isu atau rumor tersebut akan beredar luas dimasyarakat dengan sangat cepat dan meluas akibat dari hasil interaksi manusia. Saat ini manusia dapat berinteraksi dengan media sosial tanpa harus bertatap muka. Media sosial seperti twitter, facebook, linkedln, path dan media sosial lainnya. Dalam media sosial terjadinya interaksi biasanya dengan melakukan obrolan, posting segala informasi kepada teman yang lainnya. Melalui media sosial terjadi penyebaran isu–isu dan informasi yang akan menimbulkan masalah dan ancaman-ancaman yang dapat meresahkan masyarakat. Terjadinya ancaman akan merugikan pemerintah, misalnya isu-isu atau informasi yang tersebar adalah tentang paham terorisme atau paham–paham yang dapat merugikan masyarakat. Kurangnya pengetahuan juga merupakan salah satu penyebab cepat tersebarnya paham–paham radikal karena masyarakat dapat langsung terpengaruh. Masyarakat yang memiliki pengetahuan akan berpikir terlebih dahulu sebelum melakukan suatu hal atau mengikuti suatu paham. Drucker (1998), mendefinisikan pengetahuan sebagai informasi yang mengubah sesuatu atau seseorang. Hal ini terjadi karena informasi tersebut menjadi dasar seseorang untuk bertindak, dimana pengetahuan tersebut akan memampukan seseorang atau intuisi untuk mengambil tindakan yang berbeda atau tindakan yang lebih efektif dibandingkan
tindakan
seseorang
yang
tidak
memiliki
pengetahuan.
1
Perkembangan zaman yang semakin maju dan teknologi yang canggih semakin banyak informasi-informasi dari luar yang tidak diketahui kebenarannya. Dengan adanya pengetahuan maka dapat meminimalisasi penyebaran informasi yang belum diketahui kebenarannya. Permasalahan tersebut dapat diselesaikan dengan pendekatan pemodelan matematika. Pemodelan matematika merupakan proses dalam menurunkan model matematika dari suatu fenomena berdasarkan asumsi–asumsi yang digunakan (Cahyono, 2013). Dalam beberapa tulisan digunakan sebagai referensi mengatasi kesalahan informasi atau mengontrol isu- isu yang terjadi di sosial media. Jin dkk. (2006) membuat model matematika untuk mengontrol isu–isu kesalahan informasi yang terjadi dimasyarakat. Penulisan tersebut membahas model SEIZ dimana terdiri dari S (susceptible), E (exposed), I (infected) dan Z (skeptic) yang digunakan untuk menganalisis penyebaran berita
yang terjadi dimasyarakat.
Disisi lain, Aldila dkk. (2014) menggunakan model SEFAR untuk mengetahui cara penyebaran paham-paham ekstrim (paham terorisme) yang terjadi di masyarakat. SEFAR terdiri dari S (susceptible), E (exposed), F (fanatic), R (recovered) dan A (aware). Dalam rangka mengetahui penyebaran informasi yang beredar di masyarakat, sehingga membuat penulis tertarik untuk mengkaji proses penyebaran atau diseminasi pengetahuan yang beredar dimasyarakat. Diseminasi adalah proses penyebaran inovasi yang direncanakan, diarahkan, dan dikelola. Dalam interaksi manusia diharapkan terjadi diseminasi pengetahuan sehingga dapat mencegah terjadinya penyebaran isu-isu buruk dan paham–paham yang ekstrim,
2
bukan hanya mencegah tetapi juga dapat menghasilkan pola pikir yang lebih maju dan kreatif. Dengan pola berpikir seperti itu dapat menguntungkan negara karena sumber daya manusia yang dihasilkan sangatlah produktif. Oleh karena itu penulis tertarik untuk mengkaji “ MODEL MATEMATIKA DISEMINASI PENGETAHUAN PADA MANUSIA “. 1.2 Rumusan Masalah Masalah yang akan dibahas dalam penulisan ini yaitu memodelkan diseminasi pengetahuan pada manusia dan kestabilan pada titik kesetimbangan model diseminasi pengetahuan pada manusia. 1.3 Tujuan Penelitian Berdasarkan permasalah di atas, maka dapat dirumuskan tujuan penelitian sebagai berikut : a. Mengetahui model matematika diseminasi pengetahuan pada manusia. b. Menentukan kestabilan pada titik kesetimbangan model diseminasi pengetahuan pada manusia. 1.4 Manfaat Penelitian Manfaat dari penulisan ini : a. Mampu mengetahui model matematika diseminasi pengetahuan pada manusia. b. Mampu menentukan kestabilan pada titik kesetimbangan model diseminasi pengetahuan pada manusia .
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Diseminasi Diseminasi (Dissemination) adalah suatu kegiatan yang ditujukan kepada kelompok target atau individu agar mereka memperoleh informasi, timbul kesadaran, menerima dan akhirnya memanfaatkan informasi tersebut. Diseminasi adalah proses penyebaran inovasi yang direncanakan, diarahkan dan dikelola. Ini berbeda dengan difusi yang merupakan alur komunikasi spontan. Dalam pengertian ini dapat juga direncanakan terjadinya difusi. Misalnya dalam penyebaran inovasi pada suatu diskusi interaktif seperti dialog pada website atau komunitas resmi yang ada di media sosial. Diseminasi merupakan tindak inovasi yang disusun menurut perencanaan yang matang, melalui diskusi atau forum lainnnya yang sengaja diprogramkan, sehingga terdapat kesepakatan untuk melaksanakan inovasi. 2.2
Pengetahuan Pengetahuan adalah keakraban, pemahaman atau kesadaran dari seseorang
atau sesuatu, seperti fakta-fakta, informasi, deskripsi keterampilan yang diperoleh melalui pengalaman atau pendidikan dengan memahami, menemukan atau belajar. Pengetahuan adalah informasi yang telah dikombinasikan dengan pemahaman dan potensi untuk menindaki. Pada umumnya, pengetahuan memiliki kemampuan prediktif terhadap sesuatu sebagai hasil pengenalan atas suatu pola. Manakala informasi dan data sekedar berkemampuan untuk menginformasikan atau bahkan
4
menimbulkan
kebingungan,
maka
pengetahuan
berkemampuan
untuk
mengarahkan tindakan. Davenport (1998) menyatakan pengetahuan merupakan gabungan dari pengalaman, nilai, informasi kontekstual, pandangan pakar dan intuisi mendasar yang memberikan suatu lingkungan dan kerangka untuk mengevaluasi dan menyatukan pengalaman baru dengan informasi. Drucker (1997) mendefinisikan pengetahuan sebagai informasi yang mengubah sesuatu atau seseorang. Hal ini terjadi karena informasi tersebut menjadi dasar seseorang untuk bertindak, dimana pengetahuan tersebut akan memampukan seseorang atau institusi untuk mengambil tindakan yang berbeda atau tindakan yang lebih efektif dibandingkan tindakan seseorang yang tidak memiliki pengetahuan. Kakabadse dkk. (2001) mendefinisikan pengetahuan sebagai keyakinan akan suatu kebenaran, dimana orang–orang percaya dan memahami nilai–nilai dasar dan pengetahuan merupakan himpunan dari informasi, pengalaman, komunikasi atau kesimpulan. Karena itu, pengetahuan bersifat unik tergantung pada kuantitas dan kualitas yang dimiliki manusia atau sekelompok karyawan yang ada dalam sebuah organisasi. Proses siklus pengetahuan dapat ilustrasikan pada Gambar 2.1.
5
Gambar 2.1 Siklus hidup pengetahuan Dalam siklus hidup pengetahuan dimulai pada tahap penciptaan misalnya sebuah pandangan awal tentang sesuatu atau seseorang. Tahap selanjutnya, gambaran atau pemahaman sesuai dengan realita yang ada. Pandangan tersebut perlu untuk diperbaharui atau disempurnakan sehingga pandangan awal tersebut dapat digunakan dari masa ke masa. Pemahaman dikelola sehingga dapat disebarkan menjadi suatu pengetahuan. Pengetahuan terdiri dari sistem dan harus dievaluasi sejauh mana sistem ini logis dan sesuai dengan fakta–fakta yang terjadi di luar. Adapun karakteristik dari pengetahuan adalah : 1.
Pengetahuan itu bersifat kontekstual dan dapat digunakan berulang-ulang
2.
Manfaat dari pengetahuan itu dapat diperoleh jika diterapkan
3.
Nilai–nilai dari pengetahuan dapat berubah dari waktu ke waktu
4.
Pengetahuan harus diperbaharui dan dipertahankan
5.
Pengetahuan sangat susah untuk dipindahkan, ditangkap dan didistribusikan (disalurkan)
6
6.
Dikembangkan melalui proses belajar
7.
Tergantung pada memori, pengalaman masa lalu, keahlian, mekanisme transfer pengetahuan dan kesempatan
8.
Mendukung efektivitas dan “sense-making”
9.
Pengetahuan memungkinkan tingkat pembelajaran yang lebih tinggi
10.
Penciptaan pengetahuan dan pemanfaatan diperkuat dengan teknologi.
2.3
Dasar- Dasar Model Matematika
2.3.1 Model SEIZ Model SEIZ terdiri dari beberapa kelas yaitu kelas S (Susceptible), kelas E (exposed), kelas I (infected) dan kelas Z (skeptic). SEIZ memodelkan bagaimana penyebaran berita dan rumor melalui via twitter. Diasumsikan bahwa S (Susceptible) menunjukan pengguna twitter yang belum pernah mendengar berita tersebut, I (infected) pengguna yang men-tweet berita tersebut, Z (skeptic) adalah pengguna yang mendengar berita tersebut tetapi memilih untuk tidak mentweet tentang berita tersebut dan E (exposed) menunjukan pengguna yang menerima berita tersebut dari hasil tweet tetapi mengambil beberapa waktu atau menunda untuk memposting. SEIZ disusun berdasarkan Asumsi 1.1 Asumsi 1.1: 1. Skeptik merekrut dari kompartemen susceptable dengan laju b, tetapi tindakan juga dapat menghasilkan perpindahan individu-individu ke dalam kelompok skeptik yang lain (dengan peluang l) atau dapat memungkin konsekuensi dengan tidak sengaja mengirim ke kelas (exposed) dengan peluang (1 – l).
7
2. Individu di susceptable akan langsung percaya dengan berita atau rumor dengan peluang p, atau orang itu akan pindah ke kelas E (exposed) dengan peluang (1- p). 3. Perpindahan individu–individu dari kelompok exposed menjadi kelompok yang terifeksi (Infected) dapat disebabkan oleh salah satu dari dua mekanisme berikut: (i) Individu pada kelompok exposed telah melakukan kontak dengan individu dari kelompok infected (dengan laju kontak ρ), dan penambahan kontak membuat individu terinfeksi. (ii) Individu di kelas exposed mungkin akan terinfeksi dengan sendirinya (dengan laju ϵ) dan tidak dari penambahan kontak yang sudah terifeksi. Selengkapnya disajikan dalam Tabel 2.1 Tabel 2.1 Definisi Parameter SEIZ Parameter Β b p ϵ 1/ ϵ bl βρ b(1-l) β(1-p) l 1-l p 1-p
Definisi laju kontak S-I laju kontak S-Z laju kontak E-I laju Inkubasi waktu rata-rata untuk inkubasi tingkat efektifitas dari S - > Z tingkat efektifitas S-> I tingkat efektifitas S-> E melalui kontak dengan Z tingkat efektifitas -> E melalui kontak dengan I peluang yang diberikan akibat kontak dengan skeptik peluang yang diberikan akibat kontak dengan skeptik peluang yang diberikan akibat kontak dengan pengambilan peluang yang diberikan akibat kontak dengan pengambilan
8
Gambar 2.2 menguraikan bagaimana skema dari SEIZ
p
I
β
Ρ
(1-p)
s
E
(1-l) b l
ϵ
z
Gambar 2.2 Model SEIZ Model SEIZ memiliki persamaan diferensial sebagai berikut: 𝑑𝑆 𝐼 𝑍 = −𝛽𝑆 − 𝑏𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝐸 𝐼 𝑍 𝐼 = 1 − 𝑝 𝛽𝑆 + 1 − 𝑙 𝑏𝑆 − 𝜌𝐸 − 𝜖𝐸 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑁 𝑑𝐼 𝐼 𝐼 = 𝑝𝛽𝑆 + 𝜌𝐸 + 𝜖𝐸 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝑍 𝑍 = 𝑙𝑏𝑆 𝑑𝑡 𝑁
(2.1)
2.3.2 Model SEFAR Dalam model SEFAR terbagi menjadi beberapa kelas individu yaitu : kelas S (susceptible), kelas E (exposed), kelas F (fanatic), kelas R (recovered), dan kelas A (aware), model ini menyesuaikan penyebaran paham radikal yang terjadi dimasyarakat. Asumsi-asumsi dari SEFAR adalah S (susceptible)
mencakup semua
orang yang tidak pernah mendengar atau tidak tertarik tentang paham radikal dan bertindak sebagai sumber populasi. S (susceptible)
akan melakukan kontak
9
dengan F (fanatic) mencakup semua orang yang dapat membujuk S (susceptible) untuk mengikuti paham radikal, akibat kontak S (susceptible)
dan F (fanatic),
maka individu tersebut akan menjadi E (exposed) , orang yang sudah mengetahui ide paham radikal tetapi tidak dapat membujuk S (susceptible) untuk mengikuti paham radikal. Intervensi pemerintah dengan menyebarkan kampaye tentang bahayanya paham radikal di media elektronik. Sehingga S (susceptible) dan E (exposed) akan menjadi A (aware), orang yang sadar akan bahayanya paham radikal dan tidak terpengaruh tetapi tidak dapat membujuk orang untuk meninggalkan paham radikal. E (exposed) akan menjadi F (fanatic) tanpa adanya bujukan dan kemauannya sendiri. Intervensi pemerintah dengan upaya yang kedua dengan menangkap dan merehabilitasi orang orang yang F (fanatic), mereka akan menjadi R (recovery) mencakup semua orang yang mampu membujuk S (susceptible) untuk tidak mengikuti paham radikal. Asusmsi–asumsi untuk model SEFAR diberikan dalam Asumsi 1.2. Asumsi 1.2: 1. 𝜃 adalah laju rekuitmen yang berasal dari kelahiran baru. 2. 𝛽1 𝑑𝑎𝑛 𝛽2 adalah Laju perpindahan F (fanatic) dan R (recovery) . 3. 𝛾 adalah Laju transisi dari E (exposed). 4. 𝜇 adalah laju kematian alami. 5. 𝛿1 adalah Laju perpindahan S (susceptible) dan E (exposed) ke kompartemen baru yaitu A (aware) akibat adanya intervensi pemerintah dengan melakukan
10
kampanye massa tentang bahaya paham radikal di media elektronik sehingga orang–orang tau bahaya paham tersebut. 6. 𝛿2 adalah Laju perpindahan F (fanatic) karena adanya intervensi pemerintah dengan upaya
menangkap orang–orang yang fanatik dan merehabilitasi
mereka sehingga berpindah ke kelas R (recovery). Berdasarkan Asumsi 1.2 dapat disusun skema pemodelan SEFAR seperti Gambar 2.3
μA A 𝛿1 𝑆 θ
𝛿1 𝐸
S μS
E
𝛽2 𝑆𝑅 𝑁 R
𝛽1 𝑆𝐹 𝑁
𝛿2 𝐹
μE γE
F μF
μR(t) Gambar 2.3 Model SEFAR
11
Skema SEFAR (Gambar 2.3) disusun pemodelan matematika sebagai berikut: 𝑑𝑆 𝛽1 𝑆𝐹 𝛽2 𝑆𝑅 = 𝜃− − − 𝛿1 𝑆 − 𝜇𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝐸 𝛽1 𝑆𝐹 = − 𝛿1 𝐸 − 𝛾𝐸 − 𝜇𝐸 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐹 = 𝛾𝐸 − 𝛿2 𝐹 − 𝜇𝐹 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝛿1 𝑆 + 𝐸 − 𝜇𝐴 𝑑𝑡 𝑑𝑅 𝛽2 𝑆𝑅 = + 𝛿2 𝐹 − 𝜇𝑅 𝑑𝑡 𝑁
(2.2)
2.4 Sistem Persamaan Diferensial Linear Jika x : R2 → R2 adalah pemetaan linear , R2 = { 𝑥, 𝑦 | 𝑥, 𝑦 𝜖 𝑅 }, dengan sistem persamaan diferensial berikut : 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡
(2.3)
Persamaan (2.3) dapat dibawah kedalam bentuk vektor 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 𝑑𝑦 𝑐𝑥 + 𝑑𝑦 𝑑𝑡 atau 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑑𝑦 𝑐 𝑑𝑡
𝑏 𝑑
𝑥 𝑦
Persamaan diatas berbentuk sistem 𝒙 = Ax, dengan A adalah matriks koefisien.
12
Jika nilai eigen r1 dan r2 ada keduanya positif atau keduanya negatif, solusi umum dari 𝒙 = Ax adalah 𝑥 = 𝐶1 𝐾1 𝑒 𝑟1 𝑡 + 𝐶2 𝐾1 𝑒 𝑟2 𝑡
2.5 Titik kesetimbangan Analisis titik kesetimbangan pada sistem diferensial digunakan untuk menentukan suatu selesaian yang tidak berubah terhadap waktu t. Misalkan diberikan sistem dua dimensi: 𝑑𝑥 = 𝑓1 𝑥, 𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = 𝑓2 𝑥, 𝑦 𝑑𝑡
(2.4)
Diasumsikan 𝑓1 dan 𝑓2 kontinu dan mempunyai turunan parsial pada xy. Titik kesetimbangan diperoleh jika 𝑓1 𝑥, 𝑦 = 0 dan 𝑓2 𝑥, 𝑦 = 0. Nilai x dan y yang memenuhi persamaan 2.4 disebut titik kesetimbangan dari persamaan 2.4 . 2.6 Linearisasi Di Sekitar Titik Kesetimbangan Salah satu cara untuk menganalisa sistem nonlinear
𝒙=𝒇 𝒙
adalah
menentukan titik equilibrium atau titik kesetimbangan dan menentukan sifat solusi disekitaran titik tersebut. Sifat solusi dari sistem nonlinear 𝒙 = 𝒇 𝒙 dapat didekati dengan meninjau sifat solusi sistem linear 𝒙 = Ax, dengan matriks 𝐀 = 𝐃𝑓 𝑥0 , 𝑦0 x disebut bagian linear dari f disekitaran titik 𝑥0 , 𝑦0 . Titik
𝑥0 , 𝑦0
∈ 𝑅 2 disebut titik kesetimbangan dari 𝒙 = 𝒇 𝒙 , jika
𝑓 𝑥0 , 𝑦0 = 0. Titik kesetimbangan hiperbolik dari 𝒙 = 𝒇 𝒙
jika semua nilai
13
eigen dari matriks 𝐃𝑓 𝑥0 , 𝑦0 tidak nol bagian realnya. Deret Taylor 𝑓1 𝑥, 𝑦 dan 𝑓2 𝑥, 𝑦 disekitaran titik kesetimbangan 𝑥0 , 𝑦0 adalah 𝑓1 𝑥, 𝑦 = 𝑓1 𝑥0 , 𝑦0 +
𝜕𝑓1 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑥
𝑥 − 𝑥0 +
𝜕𝑓1 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑦
𝑦 − 𝑦0 + ⋯
𝑓2 𝑥, 𝑦 = 𝑓2 𝑥0 , 𝑦0 +
𝜕𝑓2 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑥
𝑥 − 𝑥0 +
𝜕𝑓2 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑦
𝑦 − 𝑦0 + ⋯
Karena titik kesetimbangan 𝑓1 𝑥, 𝑦 = 0 dan 𝑓2 𝑥, 𝑦 = 0 , dan disekitar titik kesetimbangan x dianggap cukup dekat dengan 𝑥0 , demikian pula dengan y dan 𝑦0 , maka
𝑥 − 𝑥0 dan
suku-suku yang memuat
𝑦 − 𝑦0 nilainya sangat kecil. Hal ini menyebabkan 𝑥 − 𝑥0 2 ,
𝑦 − 𝑦0 2 , 𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0 , ... dapat di
abaikan, sehingga diperoleh 𝜕𝑓1 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑥 ≈ 𝜕𝑓2 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑥
𝑓1 𝑥, 𝑦 𝑓2 𝑥, 𝑦
𝜕𝑓1 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑦 𝜕𝑓2 𝑥0 , 𝑦0 𝜕𝑦
𝑥 − 𝑥0 𝑦 − 𝑦0
2.5
Hal ini menunjukan bahwa fungsi linear 𝐃𝑓 𝑥0 , 𝑦0 𝒙 aproksimasi yang baik untuk fungsi nonlinear 𝒇 𝒙
merupakan
disekitar titik
𝑥0 , 𝑦0 .
Sehingga tafsiran solusi sistem nonlinear 𝒙 = 𝒇 𝒙 disekitaran titik 𝑥0 , 𝑦0 dengan linearisasi. Dengan demikian solusi 𝒙 = 𝒇 𝒙
akan didekati dengan
mencari solusi 𝒙 = 𝐃𝑓 𝑥0 , 𝑦0 𝒙 = 𝐀𝐱 𝑑𝑥
Untuk 𝑥 =
𝑑𝑡 𝑑𝑦
𝑥 , 𝑥 = 𝑦 , D𝑓 𝑥0 , 𝑦0 adalah matriks turunan parsial pertama dan
𝑑𝑡
matriks turunan parsial pertama yang disebut dengan matriks jacobi. Jika komponen dari f berupa:
14
𝑓1 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , 𝑓2 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 , … , 𝑓𝑛 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 maka 𝜕𝑓1 𝜕𝑥1 𝜕𝑓2 𝑨 = 𝜕𝑥1 ⋮ 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑥1
𝜕𝑓1 𝜕𝑥2 𝜕𝑓2 𝜕𝑥2 ⋮ 𝜕𝑓𝑛 𝜕𝑥2
𝜕𝑓1 𝜕𝑥𝑛 𝜕𝑓2 … 𝜕𝑥𝑛 ⋮ ⋮ 𝜕𝑓𝑛 … 𝜕𝑥𝑛
⋯
2.6
Nilai eigen matriks dari 2.6 memberikan informasi kestabilan lokal di titik kesetimbangan (x0,y0), (Nayfeh dan Balachandra dalam Amalan, 2015). Nilai eigen dapat ditentukan dengan 𝑑𝑒𝑡 𝜆𝐼 − 𝐴 = 0,
𝜆 nilai eigen
2.7 Sifat- Sifat Kestabilan Titik Kesetimbangan Sistem diferensial nonlinear 𝒙 = 𝒇 𝒙 yang telah dilinearisasi menjadi sistem linear berbentuk 𝒙 = 𝑨𝒙, dengan A adalah matriks jacobi yang mempunyai nilai eigen dan vektor eigen. Bentuk-bentuk umum dan tipe–tipe kesetimbangan metode linear adalah: a.
Nilai eigen kompleks 1. Bagian real nol, menghasilkan trayektori pusat netral atau stabil netral (neutral center atau neutral stable ). 2. Bagian real positif, menghasilkan spiral tak stabil. 3. Bagian real negatif, menghasilkan spiral stabil.
b.
Nilai eigen real: 1. Bernilai negatif atau mempunyai bagian real yang tak positif,
15
menghasilkan trayektori stabil (stabel). 2. Bernilai positif atau mempunyai paling sedikit satu nilai eigen dengan bernilai positif, menghasilkan trayektori tak stabil (unstabel). 3. Nilai eigen positif yang lainnya negatif, menghasilkan titik pelana (saddle point), ( Tarumingkeng dalam Amalan, 2015). 2.8 Fase potret pada Sistem Linear ( phase portraits) Sistem persamaan diferensial linear 𝒙 = Ax. Solusi dari sistem tersebut dapat direpresentasikan sebagai sebuah kurva dalam bidang xy . Kurva ini disebut sebagai kurva trajektori ( trajectory) dan dalam bidang xy disebut sebagai bidang fase (phase plane). Kumpulan dari semua trajektori tersebut akan membentuk fase potret ( phase portraits). phase portraits adalah grafik yang memberikan visualisasi bagaimana solusi dari persamaan diferensial dengan perilaku dari persamaan serta perilaku dari sekitaran solusi tersebut dalam jangka panjang. Phase portraits dapat digunakan untuk berbagai representasi grafik dari solusi dan sekitarannya pada persamaan linear yang tidak dapat diselesaikan dengan persamaan aljabar. Contoh 2.1. Diberikan sistem persamaan diferensial 𝑑𝑥 = −𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −𝑦 𝑑𝑡
16
Titik kesetimbangan dari sistem persamaan diatas dapat diperoleh berdasarkan persamaan 2.4 , sehingga diperoleh -x = 0 -y = 0 Penyelesaian diatas adalah x = 0 and y = 0,
sehingga sistem diatas hanya
memiliki satu titik kesetimbangan (0,0). Solusi untuk persamaan diatas adalah 𝑥(t) =Pe−t , 𝑦(t) = Qe−t , P, Q ∈ R Untuk menggetahui kestabilan dari titik kesetimbangan dapat dilihat nilai eigen atau nilai karateristik dari persamaan tersebut. Untuk mencari nilai eigen dapat digunakan dengan persamaan: 𝐝𝐞𝐭 𝝀𝑰 − 𝑨 = 𝟎 dimana 𝜆 adalah
nilai eigen dari A dan I adalah matriks identitas. Untuk
memperoleh nilai eigen, persamaan diferensial diatas dapat diubah ke dalam bentuk sistem linear 𝒙 = Ax 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = −1 0 𝑥 𝑑𝑦 0 −1 𝑦 𝑑𝑡 Jadi A =
(2.7)
−1 0 , dengan menggunakan 0 −1 𝜆
1 0
𝜆 0
𝝀𝑰 − 𝑨
0 −1 0 − 1 0 −1
−1 0 0 − 0 −1 𝜆 𝜆+1 0
= 0 maka diperoleh:
=0
=0
0 =0 𝜆+1
17
𝜆+1 𝜆+1 =0 Jadi nilai untuk 𝜆1 adalah -1 dan 𝜆2 adalah -1. Nilai eigen yang diperoleh semuanya bernilai negatif. Sehingga untuk phase potrait yang dihasilkan diuraikan dalam Gambar 2.4
Gambar 2.4 Stable Node Berdasarkan Gambar 2.4 bahwa 𝑥 → 0 dan 𝑦 → 0 ketika 𝑡 → ∞. Semua trajektorinya mendekati titik kesetimbangan yaitu (0,0) ketika 𝑡 → ∞,
maka
dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangannya stabil (Stable Node). Contoh 2.2
Diberikan sistem persamaan diferensial 𝑑𝑥 = 𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑦 =𝑦 𝑑𝑡
Seperti pada contoh 2.1, persamaan diferensial diatas memiliki titik ketimbangan di titik (0,0) dengan solusi sebagai berikut 𝑥(t) = C1 et , 𝑦(t) = C2 et Dimana C1 dan C2 adalah konstanta riil. Untuk mencari nilai eigennya dapat dilakukan hal yang sama pada kasus diatas dengan 𝐝𝐞𝐭 𝝀𝑰 − 𝑨 = 𝟎
18
sehingga diperoleh nilai eigen dari persamaan diatas adalah 𝜆1 adalah 1 dan 𝜆1 adalah 1. Nilai eigennya semuanya bernilai positif. Solusinya juga dapat disajikan dalam Gambar 2.5
Gambar 2.5 Unstable Node Gambar 2.5 menunjukan bahwa ketika 𝑡 → ∞
maka x
dan y akan
menjauhi titik kesetimbangan. Semua trajektori atau arah dari grafik tersebut menjauhi titik (0,0). Dapat disimpulkan bahwa titik kesetimbangan tersebut tidak stabil (Unstable Node). Contoh 2.3. Diberikan sistem persamaan linear 𝑑𝑥 =𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 = −𝑥 𝑑𝑡 dengan titik ketimbangan (0,0). Solusi untuk persamaan diatas adalah 𝑥 t = 𝐶1 𝑐𝑜𝑠 – 𝑡 + 𝐶2
𝑦 t = 𝐶1 sin
– 𝑡 + 𝐶2
sehingga 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝐶1 2 ,
𝐶1 ∈ 𝑅
19
Nilai eigen dari persamaan diferensial diatas diperoleh 𝜆1 adalah i dan 𝜆1 adalah –i. Nilai eigen dari persamaan diatas adalah nilai eigen kompleks, dimana bagian realnya bernilai 0. Solusi contoh 2.3 dapat
disajikan
dalam
Gambar 2.6
Gambar 2.6 Center Gambar 2.6 menunjukan bahwa x dan y tidak menuju titik (0,0) ketika 𝑡 → ∞ dan tidak divergen ke ∞ 𝑎𝑡𝑎𝑢 − ∞ tetapi tetap terbatas. Jika dimulai dari sekitar atau dekat dengan titik (0,0) tetap akan berada dekat dengan titik (0,0) dari waktu ke waktu t. Jadi akan terus berputar disekitar titik kesetimbangan. Trajektori dari solusi diatas di sebut dengan pusat netral (Center). Contoh 2.4 Diberikan sistem persamaan diferensial 𝑑𝑥 =𝑦 𝑑𝑡 𝑑𝑦 =𝑥 𝑑𝑡 Persamaan diatas dapat ditulis dengan 𝑑𝑦 𝑥 = 𝑑𝑥 𝑦
𝑦≠0
Solusi yang memenuhi adalah
20
𝑥 2 − 𝑦 2 = 𝐶, 𝐶 ∈ 𝑅 Nilai eigen dari persamaan diatas adalah 𝜆1 adalah 1 dan 𝜆2 adalah 1. Nilai eigennya benilai real positif dan yang lainnya bernilai negatif. Solusi di atas dapat di lihat pada Gambar 2.7
Gambar 2.7 Saddle point Gambar 2.7 menunjukan bahwa ketika 𝑡 → ∞ memiliki solusi ysng beragam. Titik kesetimbangan berada pada titik (0,0), perilaku solusi akan berbeda- beda. Dimana ada trajektori yang terletak jauh dari titik kesetimbangan kemudian bergerak ke arah titik kesetimbangan dan memusat ke arah titik kritis, trajektori yang lainnya dimulai dari titik kesetimbangan bergerak berlawanan arah dan kemudian menyebar menyimpang jauh dari titik kesetimbangan. Trajektori yang lain mulai dari titik yang jauh dari titik kesetimbangan, bergerak tapi tidak pernah menuju ke titik kesetimbangan, sebelum mengubah arah dan kemudian bergerak menjauh keluar.
21
2.9
Sistem Persamaan Diferensial Nonlinear Sistem persamaan diferensial nonlinear yang autonomous ( fungsi f yang
tidak tergantung terhadap waktu) biasa dituliskan dalam bentuk 𝒙 = 𝒇 𝒙 , dengan 𝒇 𝒙 merupakan fungsi yang nonlinear. Sistem persamaan nonlinear dapat di lihat pada persamaan prey-predator ( persamaan Lotka-Volterra) sebagai berikut: 𝑥 = 𝑎𝑥 − 𝛼𝑥𝑦 𝑦 = −𝑐𝑦 + 𝛾𝑥𝑦, 𝑎, 𝑐, 𝛼, 𝛾 > 0 Variabel x menunjukan
(2.8)
jumlah populasi mangsa dan y menunjukan
populasi pemangsa. Pada persamaan terlihat bahwa adanya interaksi antara mangsa-pemangsa
mengakibatkan
meningkatnya
pertumbuhan
populasi
pemangsa dan menghalangi pertumbuhan mangsa. Untuk menentukan sifat solusi dari sistem persamaan mangsa-pemangsa dapat didekati dengan linearisasi disekitar titik kesetimbangan. Menentukan titik kesetimbangan persamaan diatas dapat dilihat sebagai berikut: 𝑥 𝑎 − 𝛼𝑦 = 0, diperoleh 𝑥 = 0 atau 𝑦 = 𝑦 −𝑐 + 𝛾𝑥 = 0, diperoleh 𝑦 = 0 atau 𝑥 =
𝑎 𝛼 𝑐 𝛾
𝑐 𝑎
Jadi terdapat dua titik kesetimbangan yaitu 0, 0 dan 𝛾 , 𝛼 Titik kesetimbangan pertama menunjukan secara efektif
mewakili
kepunahan antara dua spesies. Titik kesetimbangan kedua mewakili titik tetap yang mana antara kedua populasi dapat mempertahankan populasinya, jumlah tidak nol, model sederhana dan tanpa batas. Tingkat populasi dimana titik kesetimbangan tergantung pada nilai-nilai dan parameter dari a, c, 𝛼, 𝛾.
22
Kestabilan dari titik kesetimbangan dapat ditentukan dengan linearisasi 𝒙 = Ax . Sifat solusi dari sistem nonlinear 𝒙 = 𝒇 𝒙
dapat didekati dengan meninjau sifat
solusi sistem linear 𝒙 = Ax, dengan matriks 𝐀 = D𝑓 𝑥0 , 𝑦0 x disebut bagian linear dari f disekitaran titik 𝑥0 , 𝑦0 . Sistem nonlinear 𝒙 = 𝒇 𝒙 titik 𝑥0 , 𝑦0 dengan linearisasi. Dengan demikian solusi 𝒙 = 𝒇 𝒙
disekitaran akan didekati
dengan mencari solusi 𝒙 = 𝐃𝑓 𝑥0 , 𝑦0 𝒙 = 𝐀𝐱 𝑑𝑥
Untuk 𝑥 =
𝑑𝑡 𝑑𝑦
𝑥 , 𝑥 = 𝑦 , dan matriks turunan parsial pertama yang disebut
𝑑𝑡
dengan matriks jacobi. Model prey-predator dalam bentuk matriks jacobi
𝐴=
𝑎 − 𝛼𝑦 −𝛼𝑥
𝛾𝑦 −𝑐 + 𝛾𝑥
Pada titik kesetimbangan 0,0 diperoleh 𝑑𝑥 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑑𝑦 0 𝑑𝑡
0 𝑥 −𝑐 𝑦
dengan solusi 𝑥 𝑡 = 𝑐1 𝑒 𝑎𝑡 , 𝑦 𝑡 = 𝑐2 𝑒 −𝑐𝑡 ,
𝑐1 , 𝑐2 ∈ 𝑅
(2.9)
sehingga, pada titik kesetimbangan 0,0 diperoleh nilai eigen 𝜆1 = 𝑎, 𝜆2 = −𝑐 pada titik kesetimbangan
𝑐 𝑎
,
𝛾 𝛼
diperoleh
𝑑𝑥 0 𝑑𝑡 = 𝑎 𝑑𝑦 𝛾 𝛼 𝑑𝑡
−𝛼 0
𝑐 𝛾
𝑐 𝛾 𝑎 𝑦− 𝛼 𝑥−
23
Sehingga diperoleh nilai eigen 𝜆1 = 𝑐𝑎 𝑖, 𝜆2 = − 𝑐𝑎𝑖. Nilai eigen pada titik kesetimbangan
𝑐 𝑎
,
𝛾 𝛼
bernilali kompleks. Solusi dari persamaan diatas dapat
berbentuk sebagai berikut: 𝑥 𝑡 = 𝐾1 𝑒 𝛽𝑡 + 𝐾2 𝑒 −𝛽𝑡 +
𝑐 𝛾
𝑦 𝑡 = 𝐿1 𝑒 𝛽𝑡 + 𝐿2 𝑒 −𝛽𝑡 +
𝑎 𝛼
Solusi dari persamaan dapat dilihat dalam Gambar 2.8
Gambar 2.8 Prey-Predator
24
BAB III METODE PENELITIAN 3.1 Waktu Dan Tempat Penelitian ini dilaksanakan dari bulan November 2015 sampai bulan April 2016 dan bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo Kendari. 3.2 Prosedur Penelitian Metode yang diterapkan dalam menyelesaikan penelitian ini adalah metode kepustakaan (Library reseacrh) dengan urutan kerja sebagai berikut: 1. Penelusuran pustaka yang relevan. 2. Mengkaji dan memahami model matematika SEIZ dan SEFAR. 3. Merekonstruksi model matematika diseminasi pengetahuan pada manusia dengan berdasarkan point (2) . 4. Mencari solusi model matematika yang diperoleh. 5. Menentukan keadaan setimbang model diseminasi pengetahuan manusia. 6. Menganalisis kesetimbangan model diseminasi pengetahuan pada manusia. 7. Interpretasi hasil.
25
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Model Matematika Sebelum mengkonstruksikan model matematika, terlebih dahulu memahami bagaimana proses penyebaran pengetahuan. Dimasyarakat banyak informasi yang tersebar seperti, pengetahuan dan rumor. Pengetahuan adalah suatu informasi yang harus memiliki bukti yang relevan sedangkan rumor adalah informasi yang tidak perlu adanya bukti dalam penyebarannya. Dalam penyebarannya pengetahuan lebih lambat menyebar daripada rumor, untuk lebih memahami dapat dilihat dari Tabel 4.1 Tabel 4.1 Perbedaan Pengetahuan dan Rumor PENGETAHUAN
RUMOR
Tidak memiliki makna ganda
Memiliki makna ganda
Harus adanya bukti
Tidak membutuhkan bukti
Lebih lambat menyebar
Lebih cepat menyebar Dikembangkan melalui kepercayaan
Di kembangkan melalui proses belajar
bahwa suatu informasi berdampak sangat baik atau sangat buruk bagi pendengarannya
Berdasarkan Tabel 4.1 dapat dipahami bahwa rumor lebih cepat menyebar dibandingkan pengetahuan karena rumor adalah pernyataan yang spesifik untuk di percayai dipindahkan melalaui “mulut ke mulut" tanpa menghadirkan bukti, (Bordia, 2004). Sedangkan pengetahuan dapat disebarkan oleh orang – orang
26
tertentu yaitu yang berkompeten di bidangnya, tetapi tidak semua orang dapat berkompeten dibidangnya. Rumor dapat disebarkan oleh siapa saja melalui komunikasi informal, oleh karena itu rumor lebih mudah tersebar. Hal tersebut menyebabkan banyaknya kesalahan informasi yang tersebar.
Pada dasarnya
setiap manusia memiliki pengetahuan tetapi memiliki kapasitas yang berbedabeda tergantung dari individu tersebut. Dalam hal ini, terdapat manusia yang belum memiliki pengetahuan dan tidak mau mencari pengetahuan dan manusia yang belum memiliki pengetahuan tetapi mau mencari pengetahuan (Brown, 1989). Setiap manusia memiliki karakter yang berbeda-beda, dimana ada yang menerapkan pengetahuan dan menyebarkan. Sebaliknya ada pula yang tidak menerapkan dan menyebarkan pengetahuan. Diasumsikan bahwa yang belum memiliki pengetahuan dianggap tidak memiliki pengetahuan. Sehingga akan diperoleh dua model yang terdiri dari 4 kelompok individu dan 6 kelompok individu. 4.1.1
Model dengan 4 Kelompok Individu Sebelum
memodelkan
diseminasi
pengetahuan,
terlebih
dahulu
menentukan kelompok–kelompok individu. Pembagian kelompok individu dapat ditentukan berdasarkan individu tersebut memiliki pengetahuan dan menyebarkan pengetahuan. Sehingga, Klasifikasi populasi diuraikan dalam Tabel 4.2
27
Tabel 4.2 Klasifikasi populasi Model 1 Kelompok
Pengetahuan Memiliki
Menyebarkan
D (Disseminant)
Ya
Ya
S (Solariant)
Ya
Tidak
A (Antusiant)
Tidak, mau mencari
Tidak
I ( Ignorant )
Tidak , tidak mau mencari
Tidak
Berdasarkan Tabel 4.2 diasumsikan ada 4 kelas individu terdiri dari: I (Ignorant), A (Antusiant), S (Solariant) dan D (Disseminant). Semua individu yang tidak mempunyai pengetahuan dan tidak mau mencari pengetahuan I (Ignorant), semua individu yang tidak memiliki pengetahuan dan mau mencari pengetahuan A (Antusiant), semua individu memiliki pengetahuan dan tidak mau menyebarkan pengetahuan S (Solariant) dan semua individu yang mempunyai pengetahuan dan menyebarkan pengetahuan D (Disseminant). Diasumsikan : 1. Individu di disseminant akan mempengaruhi kelompok – kelompok individu yang lain yaitu (i) disseminant mempengaruhi individu yang berada di ignorant sehingga menjadi antusiant dengan laju perubahan β1. (ii) individu di antusiant akan terpengaruh oleh disseminant dan menjadi individu solariant dengan laju perpindahan β2. 2. Solariant dengan sendirinya langsung menjadi individu disseminant tanpa adanya yang mempengaruhi dengan laju perubahan 𝛼. 3. Disseminant tidak akan mengalami perubahan jumlah populasi karena adanya perpindahan individu ke kelas individu lain.
28
Skema diseminasi pengetahuan pada manusia diperlihatkan pada Gambar 4.1
I
A 𝛽1 𝐼𝐷 𝑁
𝛽2 𝐴𝐷 𝑁
D
S 𝛼 Gambar 4.1 Model IASD
Gambar 4.1 diperoleh sistem persamaan diferensial: 𝑑𝐼 𝛽1 𝐼𝐷 = − 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐴 𝛽1 𝐼𝐷 𝛽2 𝐴𝐷 = − 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝑆 𝛽2 𝐴𝐷 = − 𝛼𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐷 = 𝛼𝑆 𝑑𝑡 dengan 𝑁 = 𝐼 + 𝐴 + 𝑆 + 𝐷, 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛼 > 0.
4.1
Dari sistem persamaan 4.1 akan dicari titik kesetimbangan dan sifat dari titik kesetimbangan. Untuk mencari titik kesetimbangan dan sifatnya maka dapat dilihat dalam Gambar 4.2
29
SPD
Titik
kesetimbangan Linearisasi
Matriks jacobi Nilai Eigen
Sifat Titik Kesetimbangan
Gambar 4.2 Skema analisis kestabilan Analisis titik kesetimbangan pada sistem diferensial digunakan untuk menentukan suatu selesaian yang tidak berubah terhadap waktu (t). Titik kesetimbangan pada sistem persamaan (4.1) dapat dinyatakan dengan 𝜑( I, A, S, D). Titik kesetimbangan dari sitem (4.1) dengan menentukan 𝑑𝐼 =0 𝑑𝑡 𝑑𝐴 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑆 =0 𝑑𝑡 𝑑𝐷 =0 𝑑𝑡
(4.2)
30
berakibat 𝛽1 𝐼𝐷 𝑁 𝛽1 𝐼𝐷 𝛽2 𝐴𝐷 − 𝑁 𝑁 𝛽2 𝐴𝐷 − 𝛼𝑆 𝑁 𝛼𝑆 −
=0 =0 =0 =0
Sehingga diperoleh dua titik kesetimbangan 𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0) dan 𝜑2 (0, 0, 0, 𝐷∗ ). Sistem (4.1) merupakan sistem differensial nonlinear. Untuk menentukan sifat titik kesetimbangan sistem nonlinear dapat di dekati dengan linearisasi. Sistem persamaan (4.1) dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai berikut: 𝑑𝐼 = 𝑓1 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝑓2 𝑑𝑡 𝑑𝑆 = 𝑓3 𝑑𝑡 𝑑𝐷 = 𝑓4 𝑑𝑡
𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐷
dengan melakukan linearisasi maka diperoleh matriks jacobi 𝜕𝑓1 𝜕𝐼 𝜕𝑓2 𝐴 = 𝜕𝐼 𝜕𝑓3 𝜕𝐼 𝜕𝑓4 𝜕𝐼
𝜕𝑓1 𝜕𝐴 𝜕𝑓2 𝜕𝐴 𝜕𝑓3 𝜕𝐴 𝜕𝑓4 𝜕𝐴
𝜕𝑓1 𝜕𝑆 𝜕𝑓2 𝜕𝑆 𝜕𝑓3 𝜕𝑆 𝜕𝑓4 𝜕𝑆
𝜕𝑓1 𝜕𝐷 𝜕𝑓2 𝜕𝐷 𝜕𝑓3 𝜕𝐷 𝜕𝑓4 𝜕𝐷
Dengan menggunakan software maple 13 diperolah
31
−𝛽1 𝐷 𝛽1 𝐷 𝐴= 0 0
0 −𝛽2 𝐷 𝛽2 𝐷 0
0 −𝛽1 𝐼 0 𝛽1 𝐼 −𝛽2 𝐴 −𝛼 𝛽2 𝐴 𝛼 0
Sifat titik kesetimbangan akan mudah ditentukan setelah memperoleh nilai eigen pada matriks jacobi. Nilai eigen pada persamaan diatas dapat di hitung dengan software maple 13. Pada titik kesetimbangan 𝜑1 𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0 diperoleh 𝜆1
=
0
𝜆2
=
0
𝜆3
=
1 1 − 𝛼+ 𝛼 2 + 𝛽2 4𝐴𝛼 2 2
𝜆4
=
1 1 − 𝛼− 𝛼 2 + 𝛽2 4𝐴𝛼 2 2
Untuk mengetahui kestabilan titik kesetimbangan dapat dilihat dari nilai eigen. Nilai eigen semua bernilai real dan ada nilai eigen yang selalu bernilai positif, sehingga perilaku dari titik kesetimbangan bersifat titik pelana (saddle point). Pada saat 𝛽2 = 0 dengan syarat 0 < 𝛼 < 1, maka dapat ditentukan nilai parameter 𝛼 = 0.5 dengan nilai 𝐴 = 20 dan 𝐼 = 80 diperoleh nilai eigen 𝜆1
=
0
𝜆2
=
0
𝜆3
=
0
𝜆4
=
−0.5
Nilai eigen 3 mengalami perubahan dari nilai eigen yang selalu bernilai positif menjadi nol, sehingga mengubah kestabilan dari titik kesetimbangan . Nilai eigen semua bernilai real dan bernilai negatif maka perilaku titik kesetimbangan
32
bersifat stabil (stable). Pada titik kesetimbangan 𝜑2 (0, 0, 0, 𝐷 ∗ ), menentukan nilai eigen dengan menggunakan Software Maple 13. Nilai–nilai eigen yang diperoleh 𝜆1
=
0
𝜆2
=
0
𝜆3
=
0
𝜆4
=
−𝛼
Nilai eigennya bernilai real negatif sehingga disimpulkan bahwa perilaku pada titik kesetimbangan ini bersifat stabil (stable). 4.1.2
Model dengan 6 Kelompok Individu Klasifikasi populasi untuk model 2 berdasarkan komponen: memiliki
pengetahuan, menerapkan dan menyebarkan pengetahuan. Klasifikasi populasi dapat diuraikan dalam Tabel 4.3 Tabel 4.3 Klasifikasi Populasi Model 2 Pengetahuan Kelompok Memiliki
Menerapkan
Menyebarkan
D ( disseminant )
Ya
Ya
Ya
S ( solariant )
Ya
Ya
Tidak
V (advisor)
Ya
Tidak
Ya
H (hermit)
Ya
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
Tidak
A (antusiant)
I (ignorant)
Tidak, mau mencari Tidak , tidak mau mencari
33
Dari tabel 4.3 menunjukan ada 6 kelas individu: I (Ignorant), A (Antusiant), S (Solariant), H (hermit), V (advisor) dan D (Disseminant). Semua individu yang tidak mempunyai pengetahuan dan tidak mau mencari pengetahuan I (Ignorant), semua individu yang tidak memiliki pengetahuan dan mau mencari pengetahuan A (Antusiant), semua individu yang memiliki pengetahuan tetapi tidak menerapkan dan menyebarkan pengetahuan H (hermit), semua individu yang memiliki pengetahuan dan menyebarkan pengetahuan tetapi tidak menerapkan pengetahuan, semua individu memiliki pengetahuan dan menerapkan pengetahuan tetapi tidak mau menyebarkan pengetahuan S (Solariant) dan semua individu yang mempunyai pengetahuan, menerapkan pengetahuan dan menyebarkan pegetahuan D (Disseminant). Diasumsikan: 1. Individu di disseminant akan mempengaruhi kelompok – kelompok individu yang lain yaitu (i) dessiminant mempengaruhi individu yang berada di ignorant sehingga menjadi antusiant dengan laju perubahan β1. (ii) individu di antusiant akan terpengaruh oleh dessiminant dan
akan menjadi individu solariant
dengan laju perubahan β2. 2. Individu di advisor akan mempengaruhi kelompok individu yang lain untuk menjadi hermit yaitu (i) advisor mempengaruhi ignorant dengan laju perubahan δ1. (ii) advisor mempengaruhi antusiant dengan laju perubahan δ2 3. Individu di solariant ada dua kemungkinan yaitu (i) dapat berpindah langsung menjadi orang yang disseminant dengan laju perubahan 𝛼. (ii) dapat berpindah menjadi orang yang advisor dengan laju perubahan 𝜀. 4. Individu di advisor akan menjadi disseminant dengan laju perubahan 𝛾.
34
Skema diseminasi pengetahuan pada manusia diperlihatkan pada gambar 4.3: H
𝛿1 𝐼𝑉 𝑁
𝛿2 𝐴𝑉 𝑁
I
A 𝛽1 𝐼𝐷 𝑁
𝛽2 𝐴𝐷 𝑁
D
S 𝛼𝑆 𝛾
𝜀𝑆 V
Gambar 4.3 Model IAHSVD Berdasarkan Gambar 4.3 diperoleh sistem persamaan diferensial: 𝑑𝐼 𝛽1 𝐼𝐷 𝛿1 𝐼𝑉 =− − 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝐴 𝛽1 𝐼𝐷 𝛿2 𝐴𝑉 𝛽2 𝐴𝐷 = − − 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑁 𝑑𝑆 𝛽2 𝐴𝐷 = − 𝛼𝑆 − 𝜀𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐻 𝛿1 𝐼𝑉 𝛿2 𝐴𝑉 = + 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝑉 = 𝜀𝑆 − 𝛾𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝐷 = 𝛼𝑆 + 𝛾𝑉 𝑑𝑡
(4.3)
𝑁 = 𝐼 + 𝐴 + 𝑆 + 𝐻 + 𝑉 + 𝐷, 𝛽1 , 𝛽2 , 𝛿1 , 𝛿2 , 𝛼, 𝜀, 𝛾 > 0 .
35
Sistem persamaan (4.3) dapat ditentukan titik kesetimbangan dengan persamaan 𝑑𝐼 =0 𝑑𝑡 𝑑𝐴 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑆 =0 𝑑𝑡 𝑑𝐻 =0 𝑑𝑡 𝑑𝑉 =0 𝑑𝑡 𝑑𝐷 =0 𝑑𝑡
(4.4)
Sehingga diperoleh 𝛽1 𝐼𝐷 𝛿1 𝐼𝑉 − 𝑁 𝑁 𝑡 𝛽1 𝐼𝐷 𝛿2 𝐴𝑉 𝛽2 𝐴𝐷 − − 𝑁 𝑁 𝑁 𝛽2 𝐴𝐷 − 𝛼𝑆 − 𝜀𝑆 𝑁 𝑡 𝛿1 𝐼𝑉 𝛿2 𝐴𝑉 + 𝑁 𝑁 𝑡 𝜀𝑆 − 𝛾𝑉 𝛼𝑆 + 𝛾𝑉
−
=0 =0 =0 =0 =0 =0
Persamaan (4.4) diperoleh dua titik kesetimbangan 𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0, 0, 0) dan 𝜑2 (0, 0, 0, 0, 0, 𝐷∗ ). Titik kesetimbangan diperoleh dengan menggunakan Maple 13. Sistem (4.3) merupakan sistem diferensial nonlinear. Untuk menentukan sifat titik kesetimbangan sistem nonlinear dapat di dekati dengan linearisasi. Sistem persamaan
(4.3) dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai
berikut:
36
𝑑𝐼 = 𝑓1 𝑑𝑡 𝑑𝐴 = 𝑓2 𝑑𝑡 𝑑𝑆 = 𝑓3 𝑑𝑡 𝑑𝐻 = 𝑓4 𝑑𝑡 𝑑𝑉 = 𝑓5 𝑑𝑡 𝑑𝐷 = 𝑓6 𝑑𝑡
𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐻, 𝑉, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐻, 𝑉, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐻, 𝑉, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐻, 𝑉, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐻, 𝑉, 𝐷 𝐼, 𝐴, 𝑆, 𝐻, 𝑉, 𝐷
dengan melakukan linearisasi maka diperoleh matriks jacobi 𝜕𝑓1 𝜕𝐼 𝜕𝑓2 𝜕𝐼 𝜕𝑓3 𝐴 = 𝜕𝐼 𝜕𝑓4 𝜕𝐼 𝜕𝑓5 𝜕𝐼 𝜕𝑓6 𝜕𝐼
𝜕𝑓1 𝜕𝐴 𝜕𝑓2 𝜕𝐴 𝜕𝑓3 𝜕𝐴 𝜕𝑓4 𝜕𝐴 𝜕𝑓5 𝜕𝐴 𝜕𝑓6 𝜕𝐴
𝜕𝑓1 𝜕𝑆 𝜕𝑓2 𝜕𝑆 𝜕𝑓3 𝜕𝑆 𝜕𝑓4 𝜕𝑆 𝜕𝑓5 𝜕𝑆 𝜕𝑓6 𝜕𝑆
𝜕𝑓1 𝜕𝐻 𝜕𝑓2 𝜕𝐻 𝜕𝑓3 𝜕𝐻 𝜕𝑓4 𝜕𝐻 𝜕𝑓5 𝜕𝐻 𝜕𝑓6 𝜕𝐻
𝜕𝑓1 𝜕𝑉 𝜕𝑓2 𝜕𝑉 𝜕𝑓3 𝜕𝑉 𝜕𝑓4 𝜕𝑉 𝜕𝑓5 𝜕𝑉 𝜕𝑓6 𝜕𝑉
𝜕𝑓1 𝜕𝐷 𝜕𝑓2 𝜕𝐷 𝜕𝑓3 𝜕𝐷 𝜕𝑓4 𝜕𝐷 𝜕𝑓5 𝜕𝐷 𝜕𝑓6 𝜕𝐷
Dengan menggunakan software maple 13 diperoleh −𝛽1 𝐷 − 𝛿1 𝛽1 𝐷 0 𝐴= 𝛿1 𝑉 0 0
0 −𝛿2 − 𝛽2 𝐷 𝛽2 𝐷 𝛿2 𝑉 0 0
0 0 0 0 −𝛼 − 𝜀 0 0 0 𝜀 0 𝛼 0
−𝛿1 𝐼 −𝛿2 𝐴 0 𝛿1 𝐼 + 𝛿2 𝐴 −𝛾 𝛾
−𝛽1 𝐼 𝛽1 𝐼 − 𝛽2 𝐴 𝛽2 𝐴 0 0 0
Nilai eigen pada titik kesetimbangan 𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0 ,0 ,0, 0). Dengan menggunakan software maple 13, diperoleh nilai eigen
37
𝜆1 𝜆2 𝜆3 𝜆4 𝜆5 𝜆6
= = = = = =
0 0 0 1 𝜔 + 12 𝜔2 6 1 − −
1 3
6𝜔3
−
1 𝜔2 3
𝜔1 + 12
1 𝜔 + 12 𝜔2 12 1
1 3
1 𝜔 + 12 𝜔2 12 1
1 3
−
−
1 𝛼+𝛾+𝜀 3
6𝜔3 1 𝜔2 3
−
𝜔1 + 12 1 − 𝜔 + 12 𝜔2 12 1
1 𝛼+𝛾+𝜀 3 1 3
dimana 𝜔1
=
12𝛼𝛾 𝛼 + 𝛾 + 24𝛼𝛾𝜀 − 36𝛽2 𝐴𝛼 2 + 72𝑝 − 36𝛽2 𝐴𝛼 + 12𝛾𝜀 𝛾 + 𝜀 + 108𝑞 − 8 𝛼 3 + 𝛾 3 + 𝜀 3
𝜔2
=
24𝑝2 − 6𝑝 𝛼 2 𝛾 + 24𝑝 𝛼𝛾 2 − 𝛼 2 𝛽 2 𝐴 − 12𝑝 𝛾 3 + 6𝑝 𝛼 2 𝜀 − 12𝑝 𝛽2 2 𝛼 2
+ 81𝑞 2 − 12𝑞 𝛾 2 + 𝜀 2 + 18𝑞 𝛾 2 + 𝛾𝜀
30𝛼𝑟 + 12𝜀𝑟 − 108𝑟 𝛽2 𝐴𝛾 − 54𝑟 𝛽2 𝐴𝜀
−
− 6𝛼𝛽2 𝐴 𝛼 3 𝛾 −
𝛽2 𝐴𝛼 2 𝜀 + 3𝛽2 2 𝛼 2 𝜀 2 + 78𝛽2 𝛼 2 𝛾𝜀 − 6𝛼 3 𝛾 3 𝜀 − 18𝛼 2 𝛾 3 𝜀 2 + 30𝛼 2 𝛾 2 𝜀 2 + 3𝛾𝜀 𝛾 3 𝜀 − 𝛾𝜀 2
𝜔3
=
1 1 2 − 𝛽2 𝐴𝛼 + 𝛼𝛾 − 𝛼 2 − 𝛾𝜀 − 𝛾 2 − 𝜀 2 − 𝛼. 3 9 9
Untuk 𝑝 = 𝛽2 𝐴𝛼𝛾, 𝑞 = 𝛽2 𝛼𝐴𝜀, 𝑟 = 𝛽2 𝛼𝐴𝛾𝜀. Titik kesetimbangan pertama memiliki nilai eigen semua bernilai real dan ada nilai eigen yang selalu bernilai positif, sehingga perilaku dari titik kesetimbangan bersifat titik pelana (saddle point). Pada saat 𝛽2 = 0 dengan syarat
38
0 < 𝛼 < 1, maka dapat ditentukan nilai parameter 𝛼 = 0.5 dengan nilai 𝐴 = 20 dan 𝐼 = 80 diperoleh nilai eigen 𝜆1
=
0
𝜆2
=
0
𝜆3
=
0
𝜆4
=
0
𝜆5
=
−0.001
𝜆6
=
−0.501
Dengan perubahan pada parameter maka mengubah nilai eigen ke empat menjadi nol. Sehingga mengubah kestabilan dari titik kesetimbangan, semua nilai eigen bernilai real dan bernilai negatif. Jadi, dapat disimpulkan perilaku di titik kesetimbangan bersifat stabil (stable). Nilai eigen pada titik kesetimbangan 𝜑2 (0, 0, 0, 0, 0, 𝐷∗ ). Nilai eigen pada titik kesetimbangan kedua di peroleh nilai eigen 𝜆1
=
0
𝜆2
=
0
𝜆3
=
0
𝜆4
=
0
𝜆5
=
−𝛾
𝜆6
=
−𝛼 − 𝜀
Nilai eigen bernilai real dan terdapat nilai eigen yang negatif sehingga dapat disimpulkan bahwa perilaku pada titik kesetimbangan ini bersifat stabil (stable).
39
4.2 Solusi Numerik Model 1 terdiri dari dua titik kesetimbangan, jika total populasi adalah 100 orang dengan populasi awal dari ignorant 80 orang dan jumlah populasi awal dari antusiant adalah 20 orang. Laju perubahan populasi dari solariant menjadi disseminant adalah 0.5. Sehingga, titik kesetimbangan 𝜑1 (80,20,0,0) dengan nilai parameter 𝛼 = 0.5. Untuk mengetahui pengaruh laju perubahan populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant dapat dibagi menjadi 4 kasus. Dengan kasus (a): 𝛽1 = 0, 𝛽2 ≠ 0 kasus (b): 𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 = 0 kasus (c): 𝛽1 = 0, 𝛽2 = 0 dan kasus (d): 𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 ≠ 0 . untuk melihat laju pertumbuhan populasi pada model 1 dengan titik kesetimbangan 𝜑1 (80, 20, 0, 0) dapat dilihat pada Gambar 4.4
Diseminasi Pengetahuan
Diseminasi Pengetahuan 100 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
50
0
jumlah populas i
jumlah populas i
100
0
1
2
3
4 5 waktu
6
7
8
Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
50
0
0
1
(a)
2
3
4 5 waktu
6
7
8
(b) Gambar 4.4 Simulasi Model 1
40
Diseminasi Pengetahuan
Diseminasi Pengetahuan 100 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
50
0
jumlah populas i
jumlah populas i
100
0
1
2
3
4 5 waktu
6
7
8
Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
50
0
0
1
2
3
4 5 waktu
6
7
8
(c) (d) Gambar 4.4 (Lanjutan) Simulasi Model 1 Gambar 4.4 bahwa pada titik kesetimbangan pertama, jumlah populasi dari ignorant, populasi antusiant dan populasi disseminant akan terus konstan. Laju pertumbuhan tidak mengalami perubahan meningkat maupun menurun. Jika jumlah populasi awal dari ignorant 40 orang, populasi antusiant 30 orang, populasi solariant 20 orang dan populasi dari 10 orang dengan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant adalah 0.5. Untuk mengetahui pengaruh laju perubahan populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant dapat dibagi menjadi 4 kasus. Dengan nilai parameter 𝛼 = 0.5 dan 𝛽1 , 𝛽2 = 0.75 kasus (a): 𝛽1 = 0, 𝛽2 ≠ 0 kasus (b): 𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 = 0 kasus (c): 𝛽1 = 0, 𝛽2 = 0 dan kasus (d): 𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 ≠ 0 . Dapat dilihat pada Gambar 4.5
41
Diseminasi Pengetahuan 600 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
jumlah populasi
500 400 300 200 100 0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(a) Diseminasi Pengetahuan 600 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
jumlah populasi
500 400 300 200 100 0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(b) Gambar 4.5 Disemeninasi Pengetahuan Model IASD
42
Diseminasi Pengetahuan jumlah populasi
600 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
400 200 0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(c)
Diseminasi Pengetahuan 600 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi D
jumlah populasi
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(d) Gambar 4.5 (lanjutan) Diseminasi Pengetahuan Model IASD Gambar 4.5 menunjukan bahwa pada kasus (a) dan (b) laju pertumbuhan populasi solariant meningkat, tetapi tidak seperti laju pertumbuhan populasi disseminant yang sangat meningkat. Sedangkan, laju pertumbuhan populasi ignorant konstan dari waktu ke waktu dan laju pertumbuhan populasi dari antusiant terus menurun. Kasus (c) menunjukan bahwa
laju pertumbuhan
43
populasi ignorant dan antusiant akan selalu konstan atau tidak mengalami perubahan. Sedangkan, laju pertumbuhan populasi solariant akan terus menurun dan laju pertumbuhan populasi disseminant selalu meningkat. Kasus (d) menunjukan bahwa laju pertumbuhan populasi ignorant, antusiant, solariant akan terus menurun sedangkan laju pertumbuhan populasi disseminant akan terus meningkat. Pada titik kesetimbangan yang kedua jika total populasi 10 orang dengan jumlah populasi dari disseminant adalah 10 orang. Titik kesetimbangan 𝜑2 (0,0,0,10) dengan nilai parameter 𝛽1 = 0.5 dan 𝛽2 = 0.1 dengan kasus (a): = 0.0005 , kasus (b): 𝛼 = 0.005, kasus (c): 𝛼 = 0.05 dan kasus (d): 𝛼 = 05. Diseminasi Pengetahuan
Diseminasi Pengetahuan
12
12 Populasi D pada saat alpha= 0.005 10
8
8 jumlah populasi
jumlah populasi
Populasi D pada saat alpha= 0.0005 10
6
6
4
4
2
2
0
0
2
4
6
8
10 waktu
(a)
12
14
16
18
20
0
0
2
4
6
8
10 waktu
12
14
16
18
20
(b)
Gambar 4.6 Laju Pertumbuhan Dessiminant
44
5
Diseminasi Pengetahuan 2.5
30
Diseminasi Pengetahuan
x 10
Populasi D pada saat alpha= 0.5
Populasi D pada saat alpha= 0.05 25
2
jumlah populasi
jumlah populasi
20
15
1.5
1
10 0.5
5
0
0
0
2
4
6
8
10 waktu
12
14
16
18
0
2
20
4
6
8
10 waktu
12
14
16
18
20
(d)
(c)
Gambar 4.6 (Lanjutan) Laju Pertumbuhan Dessiminant Untuk
model
2
memiliki
dua
titik
kesetimbangan,
pada
titik
kesetimbangan pertama laju pertumbuhan populasi ignorant, antusiant, dan disseminant akan selalu konstan tiap waktu. Jika total populasi adalah 300 orang dengan populasi awal dari ignorant 100 orang dan jumlah populasi awal dari antusiant adalah 80 orang, jumlah populasi solariant 60 orang, jumlah populasi dari hermit 30 orang, jumlah populasi dari advisor 20 orang dan jumlah populasi dari disseminant 10 orang. Laju. Titik kesetimbangan 𝜑1 (100, 80, 60, 30, 20, 10) dengan nilai parameter 𝛼 = 0.5, 𝜀 = 0.01, 𝛾 = 0.5, 𝛿1 = 0.01, 𝛿2 = 0.01. Untuk mengetahui pengaruh laju perubahan populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant dapat dibagi menjadi 4 kasus. Kasus (a): 𝛽1 = 0, 𝛽2 ≠ 0, kasus (b): 𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 = 0 kasus (c): 𝛽1 = 0, 𝛽2 = 0 dan kasus (d): 𝛽1 ≠ 0, 𝛽2 ≠ 0 . Laju pertumbuhan populasi dapat dilihat pada Gambar 4.7
45
Diseminasi Pengetahuan Populasi I Populasi A Populasi S Populasi H Populasi V Populasi D
100
50
0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(a) Diseminasi Pengetahuan 160 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi H Populasi V Populasi D
140 120 jumlah populasi
jumlah populasi
150
100 80 60 40 20 0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
(b)waktu Gambar 4.7 Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD
46
Diseminasi Pengetahuan 100 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi H Populasi V Populasi D
jumlah populasi
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(c) Diseminasi Pengetahuan 200 Populasi I Populasi A Populasi S Populasi H Populasi V Populasi D
jumlah populasi
150
100
50
0
0
1
2
3
4 waktu
5
6
7
8
(d) Gambar 4.7 (lanjutan) Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD
47
Gambar 4.7 menunjukan bahwa kasus (a) laju pertumbuhan populasi ignorant dan hermit akan selalu konstan. Sedangkan laju pertumbuhan populasi solariant, antusiant, dan advisor akan terus menurun. Laju pertumbuhan populasi disseminant akan terus meningkat. Kasus (b) laju pertumbuhan populasi antusiant dan populasi dessiminant meningkat. Sedangkan laju pertumbuhan populasi ignorant, solariant, dan advisor akan terus menurun. Laju pertumbuhan populasi hermit akan sedikit mengalami perubahan. Kasus (c) laju pertumbuhan populasi ignorant dan hermit sedikit mengalami perubahan. Laju pertumbuhan populasi antusiant tidak mengalami perubahan . Laju pertumbuhan populasi solariant dan advisor akan selalu menurun, sedangkan laju pertumbuhan populasi disseminant akan terus meningkat. Kasus (d) laju pertumbuhan populasi ignorant, antusiant, advisor akan terus menurun, sedangkan laju pertumbuhan solariant akan terus menurun tetapi setelah itu kemungkinan laju pertumbuhannya akan kosntan. Laju pertumbuhan populasi hermit akan selalu konstan dan laju pertumbuhan populasi dari dessiminant akan terus meningkat. 4.3 Interpretasi Hasil Diseminasi pengetahuan manusia memiliki dua model yaitu model dengan 4 kelompok individu dan model dengan 6 kelompok individu. Dinamika populasi diseminasi pengetahuan pada manusia dengan 4 kelompok individu dapat di jelaskan sebagai berikut: 1. Laju pertumbuhan populasi ignorant akan terus berkurang jika jumlah populasi disseminant yang terus meningkat karena disseminant akan mempengaruhi ignorant.
48
2. Laju pertumbuhan antusiant akan terus meningkat jika jumlah populasi ignorant yang
telah terpengaruh dengan disseminant bertambah. Laju
pertumbuhan antusiant akan semakin berkurang jika jumlah populasi disseminant terus meningkat. 3. Laju pertumbuhan solariant akan terus meningkat jika jumlah populasi antusiant yang telah terpengaruh dengan disseminant bertambah dan menurunnya laju pertumbuhan populasi solariant jika makin sedikitnya jumlah antusiant. 4. Laju pertumbuhan populasi disseminant akan terus meningkat jika jumlah populasi solariant terus bertambah. Sebaliknya, menurunnya laju pertumbuhan populasi disseminant jika jumlah populasi solariant berkurang. Dinamika populasi diseminasi pengetahuan pada manusia dengan 6 kelompok individu dapat di jelaskan sebagai berikut: 1. Laju pertumbuhan populasi ignorant terus berkurang jika jumlah populasi disseminant yang telah mempengaruhi ignorant dan jumlah populasi advisor yang telah mempengaruhi ignorant meningkat. 2. Laju pertumbuhan antusiant akan meningkat jika jumlah populasi ignorant yang telah terpengaruh oleh advisor bertambah. Laju pertumbuhan akan menurun jika jumlah populasi antusiant yang telah terpengaruh dengan disseminant dan terpengaruh dengan advisor bertambah. 3. Laju pertumbuhan populasi hermit meningkat jika jumlah populasi ignorant dan antusiant yang telah terpengaruh oleh advisor bertambah. Sebaliknya,
49
berkurangnya jumlah populasi ignorant dan antusiant yang telah terpengaruh oleh advisor akan menurunkan laju pertumbuhan populasi hermit. 4. Laju pertumbuhan populasi solariant akan meningkat jika jumlah populasi antusiant yang telah terpengaruh dengan disseminant bertambah
dan
menurunnya jumlah populasi dari solariant . 5. Laju pertumbuhan populasi advisor meningkat jika bertambahnya jumlah populasi solariant dan menurunnya laju pertumbuhan populasi advisor jika jumlah populasi solariant berkurang. 6. Laju pertumbuhan disseminant meningkat jika jumlah populasi advisor bertambah.
Sebaliknya,
berkurangnya
jumlah
populasi
advisor
akan
menurunkan laju pertumbuhan populasi disseminant. Model 1 dengan 4 kelompok individu yaitu I (Ignorant), A (Antusiant), S (Solariant) dan D (Disseminant) dan model 2 dengan 6 kelompok individu yaitu I (Ignorant), A (Antusiant), S (Solariant), H (Hermit), V (Advisor)
dan D
(Disseminant). Kedua model tersebut memiliki titik kesetimbangan yang sama. Model 1 memiliki dua titik kesetimbangan, dimana titik kesetimbangan pertama hanya terdapat dua populasi yaitu ignorant dan antusiant yaitu orang – orang yang tidak memiliki pengetahuan. Kestabilan titik kesetimbangan pertama bergantung pada jumlah populasi antusiant, laju perubahan antusiant menjadi solariant dan laju perubahan solariant menjadi disseminant. Perilaku titik kesetimbangan pertama bersifat titik pelana (saddle point). Tetapi , pada saat tidak adanya perubahan antusiant menjadi solariant maka perilaku kestabilan pada titik kesetimbangan pertama bersifat stabil (stable).
50
Titik kesetimbangan kedua hanya terdapat populasi disseminant yaitu orang – orang yang memiliki pengetahuan dan dapat menyebarkan pengetahuan. Titik kesetimbangan kedua ternyata bersifat stabil, dimana sangat baik jika terdapat hanya populasi yang dapat menyebarkan pengetahuan sehingga populasi- populasi yang lain dapat memiliki pengetahuan dan terpengaruh untuk menyebarkan pengetahuan. Model 2 juga memiliki dua titik kesetimbangan sama halnya dengan model 1, dimana pada titik kesetimbangan pertama hanya terdapat populasi orang yang tidak memiliki pengetahuan. Kestabilan titik kesetimbangan pertama tidak bergantung pada jumlah populasi ignorant menjadi antusiant. Perilaku titik kesetimbangan pertama bersifat titik pelana (saddle point). Tetapi, pada saat tidak adanya perubahan antusiant menjadi solariant maka perilaku kestabilan pada titik kesetimbangan pertama bersifat stabil (stable) Titik kesetimbangan kedua pada model 2 hanya terdapat populasi, dimana orang–orang yang memiliki pengetahuan dan dapat menyebarkan pengetahuan. Kestabilan titik kesetimbangan kedua bersifat stabil. Penyebaran pengetahuan sangat baik jika jumlah populasi disseminant sangat banyak. Simulasi numerik Gambar 4.5 kasus (c) tidak adanya laju perubahan populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant menyebabkan laju pertumbuhan populasi antusiant tidak mengalami perubahan sehingga menyebabkan jumlah populasi solariant akan terus berkurang. Laju pertumbuhan disseminant terus meningkat akibat populasi solariant yang menjadi populasi disseminant. Kasus (d) adanya laju perubahan
51
populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant menyebabkan laju pertumbuhan populasi ignorant, antusiant, dan solariant terus menurun, akibatnya jumlah populasi disseminant semakin meningkat. Gambar 4.6 menunjukan simulasi numerik dari titik kesetimbangan kedua, jika laju perpindahan solariant semakin besar maka jumlah populasi dari disseminant akan semakin meningkat. Simulasi numerik pada Gambar 4.7 kasus (c) tidak adanya laju perubahan populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant menyebabkan laju pertumbuhan disseminant yang meningkat menyebabkan jumlah populasi dari advisor dan solariant berkurang . Kasus (d) adanya laju perubahan populasi ignorant menjadi antusiant dan laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant menyebabkan laju pertumbuhan populasi disseminant terus meningkat mengakibatkan jumlah populasi dari ignorant, antusiant, solariant, dan advisor akan terus berkurang.
52
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan Dari hasil pembahasan diperoleh kesimpulan: 1. Model matematika diseminasi pengetahuan pada manusia terbagi menjadi model IASD dan model IASHVD. (1) Model matematika IASD dapat ditulis sebagai berikut: 𝑑𝐼 𝛽1 𝐼𝐷 = − 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐴 𝛽1 𝐼𝐷 𝛽2 𝐴𝐷 = − 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝑆 𝛽2 𝐴𝐷 = − 𝛼𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐷 = 𝛼𝑆 𝑑𝑡 (2) Model Matematika IASHVD dapat ditulis sebagai berikut: 𝑑𝐼 𝛽1 𝐼𝐷 𝛿1 𝐼𝑉 =− − 𝑑𝑡 𝑁 𝑡 𝑁 𝑑𝐴 𝛽1 𝐼𝐷 𝛿2 𝐴𝑉 𝛽2 𝐴𝐷 = − − 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑁 𝑑𝑆 𝛽2 𝐴𝐷 = − 𝛼𝑆 − 𝜀𝑆 𝑑𝑡 𝑁 𝑑𝐻 𝛿1 𝐼𝑉 𝛿2 𝐴𝑉 = + 𝑑𝑡 𝑁 𝑁 𝑑𝑉 = 𝜀𝑆 − 𝛾𝑉 𝑑𝑡 𝑑𝐷 = 𝛼𝑆 + 𝛾𝑉 𝑑𝑡 2. Model IASD dan IASHVD memiliki dua titik kesetimbangan. Model IASD diperoleh titik kesetimbangan
𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0) dan 𝜑2 (0, 0, 0, 𝐷 ∗ ). Model
IASHVD
kesetimbangan
diperoleh
titik
𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0, 0, 0)
dan
𝜑2 (0, 0, 0, 0, 0, 𝐷∗ ). Titik kesetimbangan pertama hanya terdapat populasi 53
yang tidak memiliki pengetahuan dan titik kesetimbangan kedua hanya terdapat populasi yang memiliki pengetahuan dan menyebarkan pengetahuan. 3. Dengan linearisasi dapat diperoleh kestabilan dari titik kesetimbangan. (1) Model IASD Titik kesetimbangan 𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0) akan stabil pada saat tidak adanya laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant. Titik kesetimbangan 𝜑2 (0, 0, 0, 𝐷∗ ) bersifat stabil. (2) Model IASHVD Titik kesetimbangan 𝜑1 (𝐼 ∗ , 𝐴∗ , 0, 0, 0, 0) akan stabil pada saat tidak adanya laju perubahan populasi antusiant menjadi solariant.Titik kesetimbangan 𝜑2 (0, 0, 0, 0, 0, 𝐷∗ ) bersifat stabil. 4. Dalam diseminasi pengetahuan, populasi disseminant dapat mempengaruhi kelompok – kelompok individu yang lain untuk memiliki pengetahuan. Sehingga semakin banyak jumlah populasi dessiminant akan sangat baik karena jumlah populasi kelompok individu lain akan semakin berkurang. 5.2
Saran Saran saya untuk mengembangkan ke model selanjutnya, sebaiknya lebih
menganalisis dengan teliti proses penyebaran pengetahuan dimasyarakat. Sehingga, model tersebut sesuai dengan realiti dan rasional.
54
DAFTAR PUSTAKA Aldila, D., Nuraini N., & Soewono, E. 2014. Mathematical model for the spread of extreme ideology, Symposium on Biomathematics(SYMOMATH 2014). AIP Conf. Proc. 1651, 33- 39 (2015); doi: 10.1063/1.4914429. Amalan. 2015. Persamaan Lotka-Volterra: Linearisasi dan Analisa Kestabilan. Skripsi. Universitas Halu Oleo Kendari. Arrowsmith, D. K & Place, C. M. 1992. Dynamical System: Differential Equations, Maps and Chaotic Behaviour. London: Chapman & Hall. Bordia, P & DiFonzo, N. 2004. Problem Solving in Social Interaction on The Internet: Rumor as Social Cognition. Social Psychology Quarterly. Brown, D. R. 1989. Knowledge Is Power. New York: Oxford University Press. Cahyono E. 2013. Pemodelan Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu. Davenport, T. 1998. Working Knowledge: HowOrganization Manage What They Know. Boston: Havard Business School Press. Drucker, P. 1998. Organisasi Masa Depan. Jakarta: Penerbit Elex Media Komputindo Kelompok Gramedia. Jin, F., Dougherty, E., Saraf, P., Cao, Y., dan Ramakrishnan, N. 2013. Epidemiological Modeling of News and Rumors on Twitter. The 7th SNAKDD Workshop 2013 (SNA-KDD2013), August 11, 2013, Chicago, United States. Kakabadse, Nada Korac dan Andrew K Kakabadse dan Alexander Kouzmin. 2001. Board Governance and Company Performenace: Any Correlations?. Corporate Governance: The International journal of business in society. Vol. 1 (24-30). Nafyeh, S. J. & Balachandra, B. 1995. Applied Nonlinear Dynamic: Analytical, Computational, & Experimental Method. John Wiley & Sons Inc. New York. Natarajan, Ganesh and Shekar, S. 2001. Knowledge Management: Enabling Business Growth. McGraw-Hill International Edition. Tarumingkeng, R.C. 1994. Dinamika Populasi: Kajian Ekologi Kuantitatif. Jakarta: Pustaka Sinar Harapan.
55
56
Lampiran 1 Titik kesetimbangan untuk Desiminasi Pengetahuan model 1 > > > >
>
>
> >
57
Lampiran 2 Titik kesetimbangan untuk Desiminasi Pengetahuan Model 2 > > > > > > > > >
58
Lampiran 3 Nilai Eigen untuk Model 1 Desiminasi Pengetahuan > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
59
> >
>
>
>
60
Lampiran 4 Nilai Eigen untuk Model 1 Desiminasi Pengetahuan dengan 𝜷𝟐 = 𝟎 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > >
61
> >
>
> > >
>
> >
>
62
Lampiran 5 Nilai eigen untuk Model 2 Diseminasi pengetahuan > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 63
> > > > > > > > > > > > > > > > >
> >
64
65
66
67
>
> >
68
Lampiran 6 Nilai Eigen untuk Model 2 Diseminasi Pengetahuan dengan nilai 𝜷𝟐 = 𝟎 > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > > 69
> > > > > > > > > > > > > > > > >
> >
>
70
71
72
73
74
> > > >
>
75
>
76
Lampiran 7 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (a) function Simulasi clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0.75; a=0.5; yo=[80 20 0 0]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
77
Lampiran 8 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (b) function Simulasi clear all; global b1 b2 a N; b1=0.75; b2=0; a=0.5; yo=[80 20 0 0]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
78
Lampiran 9 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (c) Function Simulasi clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0; a=0.5; yo=[80 20 0 0]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
79
Lampiran 10 Simulasi Numerik Model 1 Kasus (d) function Simulasi clear all; global b1 b2 a N; b1=0.75; b2=0.75; a=0.5; yo=[80 20 0 0]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
80
Lampiran 11 Simulasi Numerik Disemeninasi Pengetahuan Model IASD Kasus (a) function IASD clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0.75; a=0.5; yo=[40 30 20 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
81
Lampiran 12 Simulasi Numerik Disemeninasi Pengetahuan Model IASD Kasus (b) function IASD clear all; global b1 b2 a N; b1=0.75; b2=0; a=0.5; yo=[40 30 20 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
82
Lampiran 13 Simulasi Numerik Disemeninasi Pengetahuan Model IASD Kasus (c) function IASD clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0; a=0.5; yo=[40 30 20 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
83
Lampiran 14 Simulasi Numerik Disemeninasi Pengetahuan Model IASD Kasus (d) function IASD clear all; global b1 b2 a N; b1=0.75; b2=0.75; a=0.5; yo=[40 30 20 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'y') title('Diseminasi Pengetahuan ') xlabel('waktu ') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
84
Lampiran 15 Laju Pertumbuhan Dessiminant kasus (a) function dessiminant clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0; a=0.0005; yo=[0 0 0 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=2; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'r') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi D pada saat alpha= 0.0005') hold on function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
85
Lampiran 16 Laju Pertumbuhan Dessiminant kasus (b) function dessiminant clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0; a=0.005; yo=[0 0 0 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=2; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'r') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi D pada saat alpha= 0.005') hold on function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
86
Lampiran 17 Laju Pertumbuhan Dessiminant kasus (c) function dessiminant clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0; a=0.05; yo=[0 0 0 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=2; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'r') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi D pada saat alpha= 0.05') hold on function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
87
Lampiran 18 Laju Pertumbuhan Dessiminant kasus (d) function dessiminant clear all; global b1 b2 a N; b1=0; b2=0; a=0.5; yo=[0 0 0 10]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4) to=0; tf=2; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'r') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi D pada saat alpha= 0.5') hold on function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N; dy=[-(b1*y(1)*y(4))/N; ((b1*y(1)*y(4))/N)-(b2*y(2)*y(4))/N; (b2*y(1)*y(4))/N-a*y(3); a*y(4)];
88
Lampiran 19 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (a) function IAHSVD clear all; global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; b1=0; b2=0.75; epsilon=0.01; gamma=0.5; delta1=0.1; delta2=0.1; a=0.5; yo=[100 80 60 30 20 10 ]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4)+ yo(5)+ yo(6) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'magenta',t ,y(:,5),'black',t,y(:,6),'y') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi H','Populasi V','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; dy=[-(b1*y(1)*y(6))/N - (delta1*y(1)*y(5))/N; ((b1*y(1)*y(6))/N)-(delta2*y(2)*y(5))/N-(b2*y(2)*y(6))/N; (b2*y(2)*y(6))/N-a*y(3)epsilon*y(3);(delta1*y(1)*y(5))/N+(delta2*y(2)*y(5))/N; epsilon*y(3)-gamma*y(5);a*y(3)+gamma*y(5);];
89
Lampiran 20 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (b) function IAHSVD clear all; global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; b1=0.75; b2=0; epsilon=0.01; gamma=0.5; delta1=0.1; delta2=0.1; a=0.5; yo=[100 80 60 30 20 10 ]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4)+ yo(5)+ yo(6) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'magenta',t ,y(:,5),'black',t,y(:,6),'y') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi H','Populasi V','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; dy=[-(b1*y(1)*y(6))/N - (delta1*y(1)*y(5))/N; ((b1*y(1)*y(6))/N)-(delta2*y(2)*y(5))/N-(b2*y(2)*y(6))/N; (b2*y(2)*y(6))/N-a*y(3)epsilon*y(3);(delta1*y(1)*y(5))/N+(delta2*y(2)*y(5))/N; epsilon*y(3)-gamma*y(5);a*y(3)+gamma*y(5);];
90
Lampiran 21 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (c) function IAHSVD clear all; global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; b1=0; b2=0; epsilon=0.01; gamma=0.5; delta1=0.1; delta2=0.1; a=0.5; yo=[100 80 60 30 20 10 ]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4)+ yo(5)+ yo(6) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'magenta',t ,y(:,5),'black',t,y(:,6),'y') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi H','Populasi V','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; dy=[-(b1*y(1)*y(6))/N - (delta1*y(1)*y(5))/N; ((b1*y(1)*y(6))/N)-(delta2*y(2)*y(5))/N-(b2*y(2)*y(6))/N; (b2*y(2)*y(6))/N-a*y(3)epsilon*y(3);(delta1*y(1)*y(5))/N+(delta2*y(2)*y(5))/N; epsilon*y(3)-gamma*y(5);a*y(3)+gamma*y(5);];
91
Lampiran 22 Simulasi Numerik Diseminasi Pengetahuan Model IAHSVD Kasus (d) function IAHSVD clear all; global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; b1=0.75; b2=0.75; epsilon=0.01; gamma=0.5; delta1=0.1; delta2=0.1; a=0.5; yo=[100 80 60 30 20 10 ]; N=yo(1)+yo(2)+yo(3)+yo(4)+ yo(5)+ yo(6) to=0; tf=8; %tstep=0.1; %[t y]=ode45(@dxdt,[to:tstep:tf],yo); [t y]=ode45(@dxx,[to:0.1:tf],yo); plot(t,y(:,1),'g',t,y(:,2),'r',t,y(:,3),'b',t,y(:,4),'magenta',t ,y(:,5),'black',t,y(:,6),'y') title('Diseminasi Pengetahuan') xlabel('waktu') ylabel('jumlah populasi') grid on legend('Populasi I','Populasi A','Populasi S','Populasi H','Populasi V','Populasi D') function dy=dxx(t,y) global b1 b2 a N epsilon gamma delta1 delta2; dy=[-(b1*y(1)*y(6))/N - (delta1*y(1)*y(5))/N; ((b1*y(1)*y(6))/N)-(delta2*y(2)*y(5))/N-(b2*y(2)*y(6))/N; (b2*y(2)*y(6))/N-a*y(3)epsilon*y(3);(delta1*y(1)*y(5))/N+(delta2*y(2)*y(5))/N; epsilon*y(3)-gamma*y(5);a*y(3)+gamma*y(5);];
92
93
