Jurnal Matematika dan Sains Vol. 10 No. 4, Desember 2005, hal 113-120
Model Inklusi Silinder dalam Jaringan Homogen untuk Elastografi Biomedik Idam Arif1) dan Astalini2) Departemen Fisika FMIPA ITB 2) UPT MIPA Universitas Jambi
1)
Diterima Juni 2005, disetujui untuk dipublikasi September 2005 Abstrak Suatu model inklusi berbentuk silinder di dalam matriks jaringan yang besar diperkenalkan untuk biomedical elastography. Solusi persamaan elastisitas diterapkan untuk menyelidiki efek keberadaan inklusi terhadap distribusi tekanan uniform yang dikenakan pada matriks. Inklusi dan matrik tersebut diasumsikan isotropik, homogen, dan linear. Solusi analitik yang diperoleh diilustrasikan dalam bentuk grafik untuk jaringan tumor dan kista payudara. Dapat ditunjukkan bahwa efek yang terjadi terlokalisasi terutama di daerah yang berjarak lebih kecil dari 3R dengan R jari-jari inklusi. Jika inklusi lebih kaku dari pada matriks (µb<µt), maka perpindahan dalam arah z negatif sedangkan dalam arah y positif. Ini berarti bahwa komponen regangan dan tegangan dalam arah sumbu z ( e zz , σ zz ) berharga negatif, sedangkan dalam arah y ( e yy , σ yy ) positif. Jika inklusi lebih lunak dari pada matriks (µb>µt) maka perpindahan dalam arah z dan y negatif. Karena itu, komponen regangan dan tegangan yang searah sumbu z dan y juga negatif. Kata kunci: elastrografi, inklusi, regangan, tegangan Abstract A cylindrical inclusion model in a tissue matrix is proposed for biomedical elastography. Solutions of elasticity equation are applied to observe the effects of the inclusion on the distribution of a uniform stress given to the matrix. The inclusion and the matrix are assumed to be isotropic, homogen, and linear. The obtained analytical solutions are illustrated in the form of graphics for breast tumors and cysts. It is shown that the effects are located in the region less than 3R, with R being the inclusion radius. If the inclusion is stiffer than the matrix (µb<µt), then the displacement in z direction is negative and is positive in y direction. It means that the strain and stress components in z direction ( e zz , σ zz ) are negative and ( e yy , σ yy ) are positive in y direction. If the inclusion is softer than the matrix (µb>µt) then the displacement in z and y directions is negative. Therefore the strain and stress components in z direction and in y direction both are also negative. Keywords: Elastography, inclusion, strain, stress untuk menghadirkan sifat-sifat intrinsik jaringan secara lebih akurat. Algoritma inversi dan pendekatan dengan berbagai asumsi untuk inklusi dua dan tiga dimensi sudah diusulkan oleh beberapa ahli1,2). Dengan mengadopsi langkah-langkah yang dilakukan oleh Bilgen dan Insana2), dikembangkan algoritma tiga dimensi dengan bentuk inklusi silinder kaku atau lunak di dalam sebuah matriks uniform. Ini diharapkan dapat menambah pemahaman distribusi tekanan dan regangan dalam jaringan hidup yang mengandung inklusi untuk pengoptimalan konfigurasi eksperimental dan peningkatan nilai-nilai diagnostik dari citra elastisitas.
1. Pendahuluan Pada biomedik, khususnya biomekanik, jaringan lunak inklusi, yang biasanya disebut lesion, tumor atau kista, sering dideteksi dengan teknik palpasi (perabaan) dan teknik pencitraan yang dilakukan untuk informasi tambahan. Pada pencitraan tersebut sering ditemui kesulitan untuk membedakan antara inklusi dan jaringan sekitarnya sehingga inklusi yang dirasakan melalui palpasi kurang terdeteksi. Untuk mengatasi hal ini, sekarang dikembangkan teknik elastografi, yaitu teknik pencitraan inklusi yang didasarkan pada sifat-sifat elastiknya. Pada teknik ini, jaringan diberi kompresi luar yang terukur untuk mempelajari perubahan bentuk (perpindahan) inklusi menggunakan pencitraan ultrasonik. Prosedurnya adalah melakukan korelasi silang antara citra yang diperoleh sebelum dan sesudah kompresi. Nilai maksimumnya digunakan untuk menentukan letak pergeseran ratarata pada kawasan itu sehingga komponen-komponen tensor regangan dapat dihitung dan citra regangan dibentuk. Setelah itu citra modulus elastik dibangun
2.
Elastostatika Medium Homogen
Deteksi lesion dan estimasi parameternya seperti lokasi, ukuran, batas-batas dan sifat-sifat elastik merupakan bagian penting dalam mendiagnosa tumor/kista. Efek dari inklusi kecil berbentuk silinder terhadap distribusi tekanan uniform yang dikenakan, dapat diselidiki dengan menggunakan solusi persamaan gerak elastik. Dapat diasumsikan bahwa matriks jaringan tempat inklusi 113
114
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
berada, mempunyai sifat-sifat elastik ideal, tidak terbatas, isotrop dan homogen.
ur = r
∂ω n 2 ∂ω n + α n rω n ; uθ = r . ∂θ ∂r
(6)
sb z
ωn
T
adalah fungsi homogen harmonik berderajat n,
yang memenuhi sifat-sifat
(
)
2 m m−2 2 ∇ ω n = 0 ; ∇ r ω n = m(m + 2n )r ωn ,
a
Z 2a
sb y
dan relasi Euler: r .∇ω n = nω n .
W
Dari sifat-sifat itu harga
α
α n = −2 n
Gambar 1. Geometri inklusi silinder di dalam matriks terkompresi
∇. σ + ρ b = ρ a
(1)
σ = λ (∇. u) I + 2µ E E= 1/2 {∇u + (∇u)T}
(2) (3)
dengan
Pada persamaan tersebut, σ=tensor tekanan, E=tensor regangan, I=tensor identitas, u=vektor perpindahan atau pergeseran, b=kerapatan gaya badan permassa, a=percepatan dan λ=konstanta Lamb=2µν/(1-2ν). Untuk kasus statis (a=0) dan tidak ada gaya badan yang bekerja (b=0) maka persamaan geraknya menjadi, ( λ + ν ) ∇( ∇. u)+ ν∇2u = 0
(4)
Persamaan ini merupakan persamaan terkopel, karena itu ada dua tipe solusi untuk perpindahan radial dan angular3). Untuk koordinat polar dengan perpindahan radial ur dan perpindahan anguler uθ, tipe pertama yang diturunkan dari gradien fungsi harmonik φ 2 memenuhi persamaan Laplace ∇ φ = 0
ur =
∂φ ∂r
Untuk tipe kedua adalah:
; uθ =
1 ∂φ r ∂θ
(5)
(8)
yang memenuhi adalah,
T
Pada Gambar 1 dilukiskan inklusi berbentuk silinder tegak dengan jari-jari a dan tinggi 2a. Bentuk matriks digambarkan oleh sebuah volume berbentuk silinder tegak dengan jari-jari W dan tinggi Z. Sebuah gaya kompresi statik T dikenakan melalui kompresor di puncak dan dasar matriks silinder. Harga W dan Z jauh lebih besar dari a sehingga dapat dianggap kompresi itu bekerja pada jarak tak hingga. Sifat-sifat elastik matriks dan inklusi masing-masing digambarkan oleh modulus geser elastik µb dan µt, dan konstanta Poisson νb dan νt. Perubahan bentuk (deformasi) yang terjadi diasumsikan kecil sehingga masih bersifat linear. Secara umum persamaan gerak akibat adanya stress atau kompresi adalah,
(7)
3 − 4ν n + 4 − 4ν
.
(9)
Juga mengingat di jarak yang sangat besar dari pusat gangguan perpindahannya adalah nol dan sebaliknya di titik pusat (r=0) harus berharga tertentu maka fungsi-fungsi harmonik yang terpilih untuk daerah di luar inklusi adalah:
φ = ln r ; φ = ar
−2
cos 2θ ; ω 2 = ar
−2
cos 2θ , (10)
dan untuk di dalam inklusi adalah: 2
2
φ = r cos 2θ ; ω 0 = ln r ; ω 2 = r cos 2θ .
(11)
Dengan mensubtitusikan fungsi-fungsi ini ke persamaan (5) dan (6), kemudian dilakukan penjumlahan maka diperoleh solusi komponen perpindahan untuk daerah di luar batas inklusi:
(
)
2C ⎤ b A ⎡ B ur = + ⎢− 1 −νb cos2θ ; r ⎣ r3 r ⎥⎦
(
)
C⎤ ⎡B b uθ = − ⎢ + 1 − 2ν b ⎥ sin 2θ . 3 r⎦ ⎣r
(13)
Komponen tekanan didapatkan dengan menggunakan rumusan (2) dimana ∇ .u = 0 untuk solusi φ , dan
∇.u = b
∂u r u r 1 ∂uθ untuk solusi ω n , maka + + r r ∂θ ∂r
⎡
⎛ 3B ⎝r
A
2C ⎞
⎤
r ⎠
⎦
σ rr = 2 µb ⎢ − + − cos 2θ ⎥ ; 2 ⎜ 4 2⎟
⎣ r
b
⎡A ⎣r
3B
⎡ 3B ⎣r
⎤ r ⎦
⎤ ⎦
σθθ = 2 µb ⎢ − cos 2θ ⎥ 2 4 b
r
C
σ rθ = 2 µb ⎢ − sin 2θ 4 2⎥
(14)
di mana A,B,dan C adalah konstanta pengali. Dengan cara yang sama komponenkomponen pergeseran dan tekanan di dalam inklusi adalah:
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
(
)
115
⎤ ⎥; H = 0 ⎣⎢ µb + (3 − 4ν b )µt ⎦⎥ ⎡
t 3 ur = Fr + Gr + 2νt r cos2θ ;
[
]
t 3 uθ = − Gr + (3 − 2ν t )Hr sin 2θ ;
⎡ t σ rr = 2 µt ⎢
F
) ⎤⎦ t 2 σ rθ = −2 µt [G + 3Hr ]sin 2θ . ⎡ F ⎣ t
(
2
σθθ = 2µt ⎢ − G+6Hr cos2θ⎥ ; 1−2ν (15)
dengan H,F, dan G adalah kontanta pengali. Keberadaan kompresi uniform T (dalam arah θ = 0 ) mengakibatkan pada matriks homogen terjadi perpindahan dan tekanan sebesar,
)[
(
]
Tr T ur = 1 + ν b 1 − 2ν b + cos 2θ ; 2E
(
)
Tr T uθ = − 1 + ν b sin 2θ 2E T
σ rr =
T 2
T
σ rθ = −
(1 + T
2 2 e yy = err sin θ + eθθ cos θ + erθ sin 2θ ,
(
(
)
)
2 2 e yz = 0.5 err − eθθ sin 2θ + erθ cos θ − sin θ .
(19)
Transformasi yang sama juga berlaku untuk tekanan, yaitu dengan mengganti parameter regangan e dengan σ dan tetap mempertahankan indeksnya. Dari hasil perhitungan pada koordinat kartesian, komponen-komponen regangan dan tekanan untuk matriks di luar inklusi berbentuk silinder bergantung pada koordinat y dan z sebagai berikut:
(
);
cos 2 θ
(18)
Harga A, B, dan C di atas sesuai dengan yang dilaporkan terdahulu3). Persamaan-persamaan regangan dan tekanan dalam koordinat kartesian diperoleh dengan cara melakukan transformasi: 2 2 e zz = err cos θ + eθθ sin θ − erθ sin 2θ ,
⎤ + G cos 2θ ⎥ ⎣1 − 2ν t ⎦
t
1 − νb
G = T⎢
)
3B ⎡ 2 1 − ν b C + A ⎤ T (1 − ν b ) ; b e zz = − ⎥+ 4 ⎢ 2 2 µb z z ⎦ ⎣
sin 2θ
(16)
2
di mana E menyatakan modulus Young yang berkaitan dengan modulus geser melalui persamaan E = 2(1 + ν )µ . Konstanta-kostanta yang tidak diketahui A, B, C, F, G dan H dapat diperoleh dengan menggunakan syarat kontinutas di r = a yakni, perpindahan dan tekanan yang terjadi di dalam inklusi adalah sama dengan perpindahan dan tekanan yang dialami oleh matriks pada keadaan setimbang tanpa gaya badan maupun pada keadaan diberi tekanan uniform T.
(
)
3B ⎡ 2 1 − ν b C − A ⎤ ν bT b + e yy = ⎥− 4 ⎢ 2 y y ⎦ 2 µb ⎣
b
⎡ 3B ⎛ A + 2C ⎞⎤ +T ; 2 ⎟⎥ ⎠⎦ ⎣z ⎝ z
σ zz = 2 µb ⎢ − 4 ⎜ b
⎡ 3 B ⎛ A − 2C ⎞ ⎤ 2 ⎟⎥ ⎣ z ⎝ z ⎠⎦
σ yy = 2 µb ⎢ − 4 ⎜
(20)
Di dalam inklusi solusinya konstan secara spatsial. t t e yy = F − G ; e zz = F + G ; σ t = 2 µ ⎛⎜ F − G ⎞⎟ ; yy t⎜ ⎟ ⎝ 1 − 2ν t
⎛
⎞ ⎟ ⎠
⎠
t b T t t b T b T ur = ur + ur ; uθ = uθ + uθ ; σ rr = σ rr + σ rr ; t b T (17) σ rθ = σ rθ + σ rθ
Disebabkan
Dari hasil perhitungan, harga kontanta-konstanta yang dimaksud adalah:
σ xx = σ yy untuk di dalam inklusi dan matriks. Oleh
A=
(
)
2 a T ⎡ (1 − 2ν t )µb − 1 − 2ν b µt ⎤ ;
⎢ 4 µb ⎢⎣
(1 − 2ν t )µb + µt
B=
⎡ ⎤ µb − µt ⎢ ⎥ 4 µb ⎣⎢ µb + (3 − 4ν b )µt ⎦⎥
C=
⎡ µb − µt ⎢ 2 µb ⎢⎣ µb + (3 − 4ν t )µ
⎥ ⎥⎦
4 a T
2 a T
⎤ ⎥; ⎥⎦
⎡ (1 − 2ν t )ν ⎧⎪ ⎫⎪⎤ µb + (1 − 4ν b )µt − 2 b F = T⎢ ⎬⎥ ⎨ 2 ⎪⎩ ((1 − 2ν t )µb + µt )(µb + (3 − 4ν b )µt )⎪⎭⎦⎥ ⎣⎢
σ zz = 2 µt ⎜⎜ t
F
⎝ 1 − 2ν t
+ G⎟
(21) maka e xx = e yy
simetrinya,
dan
sebab itu komponen regangan dan tegangan dalam arah sumbu x tidak dibahas. Komponen-komponen regangan yang jauh dari inklusi secara asimtotik mendekati limit:
(
)
ν T T 1 −νb b e yy y = ∞ = − b ; e bzz z =∞ = ; 2 µb 2µ b
b b σ yy y = ∞ = 0 ; σ zz z =∞ = T
(22)
yang merupakan fungsi dari konstanta-konstanta elastik dari matriks µb ,ν b dan kompresi (T ) yang
(
digunakan.
)
116
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
Gambar 2 memperlihatkan kebergantungan regangan lateral eyy pada modulus geser inklusi µ . t Di dalam inklusi komponen regangan dalam arah ini adalah konstan dan berkurang terhadap kekakuan inklusi. Regangan lateral eyy terbesar terjadi pada inklusi paling lunak ( µ = 0.4 kPa). Regangan dalam t inklusi arah y berharga negatif. Ini menyatakan bahwa di dalam inklusi, terjadi pengerutan. Pada jarak y>a (pada matrik), regangan berharga negatif (terjadi pengerutan) untuk inklusi lunak dan positif (terjadi mengembangan) untuk inklusi keras, dengan kelakuan eyy makin besar dengan bertambahnya kekakuan. Terhadap posisi, eyy mengalami pengurangan secara eksponensial menuju harga ν T −3 − b ≈ +2, 25 × 10 . 2 µb
3. Hasil dan Pembahasan
Grafik yang dihasilkan oleh persamaan (20) dan (21) yang memperlihatkan secara kualitatif distribusi dan kebergantungan komponen-komponen regangan dan tekanan terhadap modulus geser inklusi (µ t ) terdapat pada Gambar 2 hingga 6. Grafik tersebut diperoleh dengan parameter T=-0,4 kPa, W=20 cm, Z=10 cm, a=1 cm dan νb=νt=0,45. 1 .5 E - 0 2 1 .0 E - 0 2 5 .0 E - 0 3 eyy
0 .0 E + 0 0 - 5 .0 E - 0 3 - 1 .0 E - 0 2 - 1 .5 E - 0 2 - 2 .0 E - 0 2 - 2 .5 E - 0 2 0
1
2
3
4
y
Gambar 2. Distribusi regangan di sekitar inklusi silinder sepanjang sumbu y (eyy, y dalam satuan cm) untuk harga µt yang berbeda. ♦: 0.4kPa, :10kPa, ∆: 160kPa, dan x : 4000kPa. µb =40 kPa. 5.0E-03 0.0E+00 -5.0E-03
ezz
ezz
-1.0E-02 -1.5E-02 -2.0E-02 -2.5E-02 -3.0E-02 -3.5E-02 0
1
2
3
z
4
0 .0 E+ 0 0 - 5 .0 E- 0 4 - 1 .0 E- 0 3 - 1 .5 E- 0 3 - 2 .0 E- 0 3 - 2 .5 E- 0 3 - 3 .0 E- 0 3 - 3 .5 E- 0 3 - 4 .0 E- 0 3 - 4 .5 E- 0 3 - 5 .0 E- 0 3 0
1
2
3
4
z
(a) (b) Gambar 3. Distribusi regangan di sekitar inklusi silinder sepanjang sumbu z (ezz, z dalam satuan cm) untuk harga µt yang berbeda. ♦: 0.4kPa, : 10kPa, ∆: 160kPa , x: 4000kPa. µb =40 kPa. Gambar (a) adalah grafik ezz keseluruhan (z>0), sedang Gambar (b) adalah khusus distribusi ezz di luar batas inklusi (z>a) agar variasinya jelas terlihat. Sesuai dengan yang diperkirakan, di dalam inklusi, regangan aksial ezz berharga negatif (terjadi pengerutan) dan berkurang terhadap kekakuan inklusi (Gambar 3). Di luar batas inklusi, regangan aksial tidak begitu besar. Untuk inklusi lunak, ezz turun secara tajam dan mencapai minimum pada z~1,4a. Ini berarti bahwa pada z~1,4a terjadi pengerutan minimum. Gejala yang berlawanan diperlihatkan oleh inklusi keras sehingga pada z~1,4a terjadi pengerutan
maksimum. Lokasi maksimum pada inklusi kaku ataupun minimum pada inklusi lunak tidak dipengaruhi oleh modulus geser. Pada jarak yang cukup jauh dari batas inklusi, harga regangan aksial T (1 − ν b ) ~ezz secara asimtotik mendekati 2µb −3 2,75 × 10 .
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
117
oyy
1500 1000 500 0 -500 -1000 -1500 -2000 -2500 0
1
2
3
4
y
Gambar 4. Distribusi tekanan di sekitar inklusi silinder dalam arah sumbu y (σyy dalam satuan Pa, y dalam satuan cm) untuk harga µt yang berbeda. ♦: 0.4kPa, : 10kPa, ∆: 160kPa , dan x: 4000kPa. µb =40 kPa.
batas inklusi, tekanan berharga negatif (masuk) untuk inklusi lunak dan positif (keluar) untuk inklusi kaku. Seperti perilaku regangan, tekanan lateral tersebut mengalami penurunan di luar batas inklusi. Harga tekanan itu menuju nol pada y yang besar sebab tidak ada gaya pemulih yang bekerja pada arah ini. 5 .0 0 E+ 0 2
5.00 E+01 0.00 E+00 - 5 .00 E+01 - 1 .00 E+02 - 1 .50 E+02 - 2 .00 E+02 - 2 .50 E+02 - 3 .00 E+02 - 3 .50 E+02 - 4 .00 E+02 - 4 .50 E+02
0 .0 0 E+ 0 0 - 5 .0 0 E+ 0 2
ozz
ozz
Pada Gambar 4 diperlihatkan bahwa di dalam inklusi, tekanan yang dialami inklusi sepanjang sumbu y adalah konstan dengan harga negatif, yang berarti arah tekanan adalah masuk Harga tekanan terbesar adalah untuk inklusi paling kaku (modulus geser terbesar) dan harga tekanan terkecil adalah untuk inklusi paling lunak. Di luar
(a)
- 1 .0 0 E+ 0 3 - 1 .5 0 E+ 0 3 - 2 .0 0 E+ 0 3
(b)
- 2 .5 0 E+ 0 3 - 3 .0 0 E+ 0 3
0
1
2
3
4
z
0
1
2
3
4
z
Gambar 5. Distribusi tekanan di sekitar inklusi silinder sepanjang sumbu z (σzz dalam satuan Pa, z dalam satuan cm) untuk harga µt yang berbeda. ♦: 0.4kPa, : 10kPa, ∆: 160kPa , x: 4000kPa. µb =40 kPa. Gambar (a) adalah grafik σzz keseluruhan (z>0), sedang Gambar (b) adalah khusus distribusi σzz di luar batas inklusi (z>a)agar variasinya lebih jelas.
Gambar 5 menunjukkan distribusi tekanan dalam arah aksial. Tekanan yang dialami inklusi di bagian dalam inklusi adalah konstan dan negatif (arah masuk). Dalam arah ini tekanan membesar dengan membesarnya modulus geser. Harga maksimum dialami oleh inklusi paling kaku. Di luar batas inklusi kaku, terjadi penurunan tekanan sampai mencapai harga minimum disekitar –200 Pa dan kemudian naik lagi secara perlahan menuju harga tekanan terpakai T= -400 Pa. Untuk inklusi lunak, tekanan langsung menaik menuju harga tekanan terpakai. Dari gambaran solusi analitik persoalan inklusi berbentuk silinder di atas, dapat diambil kesimpulan berikut. Jika inklusi lebih kaku dari pada
matriks (µb < µt ), perpindahan dalam arah z negatif (mengerut) sedangkan arah y positif (mengembang) sehingga komponen regangan dan tegangan arah sumbu z ( e zz , σ zz ) berharga negatif, sedangkan dalam arah y ( e yy , σ yy ) positif (Gambar 6a). Jika
inklusinya lebih lunak dari pada matriks (µb > µt ), perpindahan baik dalam arah z maupun y negatif (mengerut) sehingga komponen regangan dan tegangan dalam arah z dan y juga negatif (Gambar 6b).
118
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
(a) (b) Gambar 6. Perubahan bentuk yang dialami inklusi berbentuk silinder di dalam matriks besar yang terkompres sesuai arah panahi: (a) inklusi keras (tinggi inklusi akan mengecil sedangkan jari-jari inklusi membesar) dan (b) inklusi lunak (baik tinggi maupun jari-jari inklusi mengecil). tersebut diperoleh dengan parameter T=-0,4 kPa, W=20 cm, Z=10 cm, a=1 cm dan νb=νt=0,45.
1 .0 0 E- 0 3
3.00E-03 2.50E-03 2.00E-03 1.50E-03 1.00E-03 5.00E-04 0.00E+00 -5.00E-04
0 .0 0 E+ 0 0 - 1 .0 0 E- 0 3 - 2 .0 0 E- 0 3
ezz
eyy
Studi untuk inklusi berbentuk bola yang berjari-jari a dalam matriks homogen telah dilakukan oleh Bilgen dan Insana2). Rekontruksi penentuan regangan dan tegangan untuk inklusi berbentuk bola pada studi ini berdasar algoritma yang dipakai untuk inklusi silinder menunjukkan hasil yang sama dengan hasil yang mereka dapat (Gambar 7, 8). Grafik
- 3 .0 0 E- 0 3 - 4 .0 0 E- 0 3 - 5 .0 0 E- 0 3 - 6 .0 0 E- 0 3
0
1
2
3
- 7 .0 0 E- 0 3
4
0
1
2
y
3
4
z
(a)
(b)
Gambar 7. Distribusi regangan untuk inklusi bola sepanjang sumbu y (eyy, Gambar a) dan sumbu z (ezz, Gambar b) (y dalam satuan cm) untuk harga µ t yang berbeda. ♦: 0.4kPa, :10kPa, ∆: 160kPa, Χ: 4000kPa. µb =40 kPa. 250
200
200
0 -200
100
ozz
oyy
150
50
-400 -600
0
-800
-50
-1000
-100 0
1
2
3
4
0
0.5
1
1.5
(a)
2
2.5
3
3.5
4
z
y
(b)
Gambar 8. Distribusi tekanan (dalam satuan Pa) untuk inklusi bola sepanjang sumbu y (σyy, Gambar a) dan sumbu z (σzz, Gambar b) (y dalam satuan cm) µ t yang berbeda. ♦: 0.4kPa, :10kPa, ∆: 160kPa , Χ: 4000kPa. µb =40 kPa.
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
Di dalam inklusi, didapat bahwa regangan dan tekanan pada inklusi bola juga konstan seperti pada inklusi silinder. Akan tetapi untuk inklusi lunak, regangan arah lateral (y) pada bentuk bola adalah positif (meregang), sedang pada bentuk silinder negatif (mengkerut). Regangan arah lateral untuk inklusi kaku pada kedua bentuk sama-sama positif (meregang). Untuk inklusi kaku, tegangan arah lateral (y) pada bentuk bola adalah positif (keluar), sedang pada bentuk silinder negatif (masuk). Tegangan arah lateral (z) untuk inklusi lunak pada kedua bentuk sama-sama negatif (masuk). Untuk arah aksial (z), pada kedua bentuk, regangan mengecil (lebih mengkerut) dengan membesarnya kekakuan, sedang tegangan dengan arah masuk membesar dengan membesarnya kekakuan. Pada bola tekanan maksimal dialami oleh inklusi paling kaku yaitu dua kali besar tekanan terpakai (-800Pa), sedangkan pada silinder jauh lebih besar yaitu hampir 6,5x T (≈ -2600 Pa). Untuk daerah matriks (di luar inklusi), kelakuan regangan arah lateral (y) untuk inklusi kaku pada bentuk bola sama dengan pada bentuk silinder, yaitu positif (meregang). Untuk inklusi lunak, regangan arah lateral pada bentuk bola positif (meregang) dan pada bentuk silinder negatif (mengkerut). Untuk inklusi bola, terjadi penurunan yang sangat tajam untuk inklusi lunak dan kenaikan pada inklusi keras sampai mencapai nilai optimumnya pada jarak sekitar 1,2 a. Berbeda untuk inklusi silinder, pada batas yaitu y=a, penurunan dan kenaikan itu langsung mencapai nilai optimumnya. Kemudian regangan akan berkurang secara eksponensial menuju harga regangan lateral matriks homogen. Tegangan arah lateral (y) di daerah matriks pada bentuk bola juga sama dengan pada bentuk silinder, yaitu positif (keluar) untuk inklusi kaku, negatif (masuk) untuk inklusi lunak, dan keduanya mengecil menuju nol untuk y yang cukup besar. Regangan arah aksial ezz di daerah matriks pada inklusi bola memperlihatkan kelakuan yang sama dengan inklusi silinder. Regangan tersebut berkurang dengan kekakuan. Untuk inklusi kaku, tegangan arah aksial (z) pada bentuk bola adalah negatif (masuk) dan mengecil menuju nilai tegangan yang diberikan pada z yang cukup besar. Ini tidak seperti pada bentuk silinder yang kecenderunganya membesar, meskipun sama-sama negatif (masuk) dan menuju ke nilai tegangan, yaitu T = -400pa, pada z yang besar. Ini tidak seperti tegangan dari z diatas. Untuk inklusi lunak, kelakuan tegangan arah aksial pada bentuk bola dan bentuk silinder sama. Untuk inklusi berbentuk silinder, nampak bahwa di luar inklusi, regangan dan tegangan menuju harga asimtot, yaitu harga yang dicapai untuk matriks homogen, pada jarak sekitar 3a, sedangkan pada bentuk bola sedikit lebih jauh yaitu sekitar 4a. Jadi peturbasi terlokalisasi di daerah z<3a untuk inklusi berbentuk silinder dan z<4a untuk bentuk bola.
119
Dari perbandingan grafik distribusi regangan dan tekanan untuk inklusi berbentuk silinder dan bola tampak masing-masingnya memperlihatkan ciri-ciri yang spesifik. Hal ini juga terlihat dari perhitungan t ⎛ µt ⎞ e zz ⎟ . Rasio sebagai fungsi dari ⎜ rasio b ⎜µ ⎟ e zz z = ∞ ⎝ b⎠ pertama menyatakan kontras regangan dalam obyek dan yang kedua adalah kontras modulus geser. Perhitungan rasio ini berguna untuk menginterpretasikan kesalahan-kesalahan pengukuran regangan dalam kasus penseleksian sebuah model jaringan mekanik yang tidak sesuai2) dan dalam konteks efisiensi transfer kontras elastografi4). Untuk inklusi berbentuk silinder, jika inklusi ekstrim lembut µt<< µ b maka t e zz b e zz z = ∞
=
3(1 − 2ν t ) µb
(1 − 2ν b )µ
(23)
t
−1
⎛µ ⎞ = 3⎜ t ⎟ . Bila ν b = ν t = 0, 45 maka b e zz z = ∞ ⎜⎝ µb ⎟⎠ t e zz
Hal yang sama untuk inklusi ekstrim keras, µt >>µ b,
(
t e zz b e zz z = ∞
) (
(
)
⎧ 2ν t 5ν b − 1 + ν b 4ν b − 11 + 4 ⎫⎪⎛ µb ⎞ =⎪ ⎨ ⎬⎜⎜ ⎟⎟ 24) 1 − 2ν b ⎪⎩ ⎪⎭⎝ µt ⎠
)
Untuk ν b = ν t = 0, 45 diperoleh,
−1
t ezz b e zz z = ∞
= 9,85 ⎛⎜ µt ⎞⎟ . ⎜µ ⎟ ⎝ b⎠
Untuk inklusi berbentuk bola, dengan t e zz ν b = ν t = 0,45 , diperoleh ≈ 1,95 b e zz z = ∞ untuk inklusi ekstrim lembut (µt<<µb) dan −1 t ⎛ µt ⎞ e zz ⎟ = 2,32⎜ untuk inklusi ekstrim b ⎜ ⎟ µ e zz z = ∞ ⎝ b⎠ keras (µt >>µb). Jadi dari hasil perbandingan antara silinder dengan bola di atas diperoleh bahwa inklusi silinder mempunyai rasio kontras regangan yang lebih besar. 4. Kesimpulan dan Saran
Respon elastostatik dari inklusi isotropik dan homogen terhadap kompresi eksternal yang menyebar ke seluruh matriks tergantung pada distribusi modulus geser dan syarat-syarat batas yang di terapkan. Pada keadaan tanpa inklusi µt = µb ,
(
)
keberadaan kompresi uniform T membangkitkan T . Kehadiran regangan aksial e zz = 2 µb 1 + ν b inklusi µt ≠ µb menimbulkan gangguan terhadap
(
)
(
)
120
distribusi regangan dan distribusi tekanan. Jika inklusi lebih kaku dari pada matriks (µb<µt) maka komponen regangan dan tegangan dalam arah sumbu z ( e zz , σ zz ) berharga negatif, sedangkan dalam arah
JMS Vol. 10 No. 4, Desember 2005
Daftar Pustaka
1.
y ( e yy , σ yy ) positif. Jika inklusi lebih lunak dari pada
matriks (µb>µt) maka komponen regangan dan tegangan yang searah sumbu z dan y juga negatif. Dibandingkan dengan inklusi berbentuk bola, gangguan utama pada inklusi berbentuk silinder terlokalisasi di daerah yang berjarak lebih kecil yaitu z<3a dengan ratio kontras regangan yang lebih besar. Model inklusi-matriks yang diperkenalkan pada penelitian ini sangat sederhana. Kenyataannya struktur jaringan elastik dalam organ hidup jauh lebih kompleks. Simulasi praktisnya dalam kasus jaringan payudara melibatkan model-model empat lapisan, lemak-glandular-lemak-jaringan otot. Jadi diperlukan penelitian lanjutan untuk model-model yang lebih kompleks untuk pengembangan elastografi sebagai alat diagnostik yang lebih efektif.
2.
3.
4.
Skovoroda, AR., Emilianov, SY., Lubinski, MA., Sarvazyan, AP., & O’Donnell, M. “Theoretical Analysis and Verification of Ultrasound Displacement and Strain Imaging”. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelect. Freq. Control 41, 302-313 (1994). Bilgen, M., & Insana, MF. ”Elastostatics of a Spherical Inclusion in Homogeneous Biological Media”. Physics in Medicine & Biology 43, 1-20 (1998). Goodier, JN. “Concentration of Stress Around Spherical and Cylindrical Inclusion and Flaws”. Trans. ASME. 55, 39-44 (1933). Kallel, F., Bertrand, M., & Ophir, J. “Fundamental Limitations on the ContrastTransfer Efficiency in Elastography: An Analitic study”. Ultrasonic Med. Biol. 22 463-470 (1996).
