MODEL ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN YANG MELEWATI PERMUKAAN SEBUAH BOLA

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

MODEL ALIRAN KONVEKSI CAMPURAN YANG MELEWATI PERMUKAAN SEBUAH BOLA Mohammad Ghania, Basuki Widodob, Chairul Imronc a Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, [email protected] b Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, [email protected] c Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111, [email protected]

ABSTRAK Aliran konveksi campuran merupakan perpaduan antara aliran konveksi bebas (free convection flow) dan aliran konveksi paksa (forced convection flow). Dalam hal ini, pengaruh aliran gaya yaitu gaya tekanan (pressure forces) dan gaya apung (buoyant forces) pada aliran konveksi bebas menjadi signifikan. Aliran konveksi campuran dapat digunakan pada teknologi reaksi reaktor dan pendingin elektronik. Di dalam tesis ini persamaan lapisan batas (boundary layer) aliran konveksi campuran fluida viskoelastik yang melewati permukaan sebuah bola awalnya ditransformasikan kedalam bentuk nondimensi, kemudian ditransformasikan kedalam bentuk persamaan lapisan batas nonsimilar yang diselesaikan secara numerik menggunakan metode skema CrankNicholson. Hasil numerik yang diperoleh yaitu gesekan kulit ( ), temperatur dinding ( ( )), profil laju ( ), dan profil temperatur ( ) dengan parameter viskoelastik ( ), konveksi campuran ( ), bilangan Prandtl ( ). Kata kunci: aliran konveksi campuran, fluida non-newtonian, viskoelastik, cranknicholson, bilangan Prandtl ABSTRACT Mixed convection flow is combination between free convection flow and forced convection flow. In this case, effect of force flow that is pressure forces and buoyant forces to be significant. Mixed convection flow can be used in reactor reaction technology and electronic cooling. In this thesis, the governing boundary layer equation mixed convection flow of viscoelastic fluid past the surface of a sphere is first transformed into non-dimension form, and then transformed into non-similar form that is then numerically solved by using Crank-Nicholson scheme. Numerical results obtained include skin friction ( ), wall temperature ( ( )), velocity profile ( ), and temperature profile ( ) with viscoelastic parameter ( ), mixed convection parameter ( ), Prandtl number parameter ( ). Keywords: mixed convection fluid, non-newtonian fluid, viscoelastic, crank-nicholson, Prandtl number Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

936

Prosiding

ISSN :9 772407 749004 melewati

Pendahuluan Perpindahan

panas

sebuah

bola.

atau

Permasalahan konveksi campuran atas

konveksi merupakan perpindahan panas

sebuah bola telah banyak dilakukan

dari suatu tempat ke tempat lain yang

beberapa

disebabkan oleh pergerakan

fluida.

penerapannya yang luas dalam bidang

Konveksi panas secara garis besar

teknik seperti mengurangi hambatan

dibagi menjadi dua, yaitu konveksi

benda dan bahkan menghasilkan daya

bebas (free convection) dan konveksi

angkat yang cukup untuk menumpu

paksa (forced convection). Konveksi

benda pada kondisi tertentu. Akhir –

bebas disebabkan oleh gaya apung

akhir ini, terdapat beberapa peneliti

(buoyancy forces) karena perbedaan

menyelidiki permasalahan aliran fluida

temperatur pada fluida. Saat fluida

yang melewati sebuah bola untuk

dipanaskan, perubahan densitas pada

berbagai jenis fluida. Molla, dkk (2005)

lapisan batas menyebabkan fluida yang

meneliti tentang aliran konveksi bebas

dipanaskan naik dan berubah menjadi

magnet dinamis pada bola dengan

fluida yang lebih dingin, sedangkan

pembangkitan

fluida paksa atau yang disebut sebagai

metode kotak Keller. Amin, dkk (2002)

adveksi panas disebabkan oleh gaya

meneliti

luar. Saat aliran gaya pada konveksi

dalam kondisi tunak (steady) dari fluida

bebas

viskos

menjadi

konvektif

permukaan

signifikan,

proses

penelitian

panas

aliran

karena

menggunakan

konveksi

tak

campuran

mampu-mampat

tersebut disebut sebagai aliran konveksi

(incompressible) yang melewati sebuah

campuran yang merupakan gabungan

bola pejal dengan temperatur konstan.

antara

Akhter

aliran

konveksi

bebas

dan

dan

Alim

(2008)

meneliti

konveksi paksa. Di dalam tesis ini, pada

pengaruh radiasi pada aliran konveksi

mulanya

batas

bebas yang melewati sebuah bola

ditransformasikan kedalam bentuk non-

dengan fluks panas permukaan yang

dimensi, kemudian ditransformasikan

seragam. Kasim (2014) meneliti tentang

lagi kedalam bentuk non-similar yang

aliran konveksi campuran dalam kondisi

diselesaikan secara numerik dengan

tunak (steady) dari fluida viskoelastik

menggunakan

hingga

tak mampu-mampat (incompressible)

implisit yaitu metode Crank-Nicolson

yang melewati permukaan sebuah bola

untuk permasalahan aliran konveksi

dengan penyelesaian numerik metode

campuran

kotak Keller. Namun, permasalahan

persamaan

metode

fluida

lapisan

beda

viskoelastik

yang

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

937

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

aliran konveksi campuran dalam kondisi

Tahapan Penelitian

tak-tunak

1.

(unsteady)

viskoelastik

fluida

mampu-mampat

(compressible) numerik

dari

dengan

metode

Pada tahap ini studi literatur yang

penyelesaian

implisit

Studi Literatur

terkait dengan penelitian digunakan

Crank-

untuk membantu dalam proses

Nicolson belum banyak yang meneliti.

penyelesaian permasalahan aliran

Dalam penelitian ini, dianalisa pengaruh

konveksi campuran yang melewati

parameter viskoelastik ( ), parameter

sebuah bola. Contoh studi literatur

konveksi

campuran

juga

yang terkait itu adalah navier-

bilangan

Prandtl

yang

stokes, viskositas, aliran konveksi

( ),

dan

( )

aliran

campuran,

fluida dari gesekan kulit (skin friction)

Nicholson.

mempengaruhi

karakteristik

( ), laju temperatur ( ), dan profil

2.

dan

metode

crank-

Pengkajian Model Matematika

temperatur ( ). Aliran fluida konveksi

Pada

campuran yang mengalir pada suatu

pengkajian model matematika pada

bola membentuk suatu lapisan batas

aliran konveksi campuran yang

lingkaran seperti yang ditunjukkan pada

melewati sebuah bola sehingga

merupakan jari –

mendapatkan model matematika

jari bola. Aliran lapisan batas konveksi

sesuai dengan yang diharapakn

campuran tak-tunak (unsteady state)

berdasarkan karakteristik dari tiap-

merupakan model fisik dan sistem

tiap model matematika.

Gambar 1.1, dengan

koordinat

yang

digunakan

untuk

3.

tahap

ini

melakukan

Pengkonstruksian

Model

mendapatkan solusi secara numerik dari

Matematika

suatu persamaan lapisan batas non-

Pada tahap ini pengkonstruksian

similar dengan menggunakan metode

model matematika suatu lapisan

implisit Crank-Nicolson.

batas dari aliran konveksi campuran

Metode Penelitian

yang melalui permukaan sebuah di

bola berupa persamaan konservasi

Laboratorium Pemodelan Matematika

massa (kontinuitas), momentum,

dan Simulasi, Jurusan Matematika,

dan energi.

Penelitian

Fakultas

ini

dilaksanakan

Matematika

dan

Ilmu

4.

Penyelesaian Model Matematika

Pengetahuan Alam, Institut Teknologi

Pada

tahap

ini

menggunakan

Sepuluh Nopember.

metode implisit Crank-Nicholson

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

938

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

untuk mendapatkan diskritisasi dari permasalahan model matematika aliran konveksi campuran yang melewati sebuah bola. 5.

Membuat Algoritma Program Pada tahap ini membuat suatu algoritma

berdasarkan

hasil

diskritisasi dengan metode implisit Crank-Nicholson matematika

6.

7.

pada

aliran

model

Gambar 1. Aliran Konveksi

konveksi

Campuran yang Melewati

campuran yang melewati sebuah

Permukaan Sebuah Bola

bola.

Gambar 1 adalah arah aliran konveksi

Simulasi Algoritma Program

campuran yang melewati permukaan

Pada tahap ini melakukan suatu

sebuah bola secara vertikal dan lateral

simulasi

menggunakan

dengan laju fluida viskoelastik sebesar

software MATLAB untuk melihat

dan temperatur fluida viskoelastik

dengan

perilaku suatu model matematika

sebesar

aliran konveksi campuran yang

stagnasi, dengan kondisi saat ̅

melewati

̅

sebuah

bola

(hasil

. Titik

sehingga

merupakan titik

laju

fluida

dan pada

diskritisasi dengan metode implisit

permukaan sebuah bola saat kondisi

Crank-Nicholson).

tersebut adalah ̅

Analisis Hasil dan Pembahasan.

aliran fluida viskoelastik di sepanjang

Hasil yang diperoleh dari beberapa

permukaan sebuah bola pada saat posisi

simulasi yang dilakukan dianalisis

dan waktu tertentu membentuk sudut

dan dibahas, untuk kemudian dicari

sebesar

( ̅

)

dan ̅

dan

̅,

. Laju

dengan

solusi numerik terbaik dari aliran

̅ merupakan jarak dari sumbu simetris

konveksi campuran yang melewati

terhadap permukaan sebuah bola. Pada

sebuah

penelitian ini, separasi pada posisi dan

bola.dan

kesimpulan.

membuat

waktu

tertentu

dari

aliran

fluida

viskoelastik yang melawan gaya gesek Model Matematika

dianalisa. Separasi dapat menyebabkan momentum aliran fluida viskoelastik berkurang. Sehingga ketika aliran fluida

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

939

Prosiding viskoelastik yang

ISSN :9 772407 749004 mempunyai

kecil,

hal

momentum

tersebut

dapat

Dalam notasi vektor, persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk:

menyebabkan aliran fluida viskoelastik (

berbalik arah. Gaya luar dalam aliran konveksi

campuran

)

menyebabkan

( )

momentum yang dihasilkan dari fluida viskoelastik semakin besar. Gaya gesek antara permukaan sebuah bola dengan aliran fluida viskoelastik menyebabkan terjadinya perubahan nilai energi yang semakin

berkurang.

Selanjutnya,

penurunan persamaan konservasi massa, konservasi momentum, dan konservasi

Sesuai fenomena aliran konveksi bebas fluida

viskoelastik

yang

melewati

permukaan sebuah bola dalam kodisi incompressible,

dapat

dikontruksi

persamaan kontinuitas dalam bentuk dimensi sebagai berikut: ̅

( ̅ ̅)

̅

( ̅ ̅)

energi dijelaskan secara detail pada

( )

pembahasan subbab selanjutnya. 2. PersamaanMomentum Hasil dan Pembahasan A. Model

Laju perubahan terhadap waktu dari

Matematika

dalam

Bentuk Dimensi

momentum sistem =Laju perubahan terhadap

waktu

dari

momentum

kandungan volume atur +Laju aliran 1. Persamaan Kontinuitas

netto

dari

momentum

melewati

Laju perubahan terhadap waktu dari

permukaan atur = Jumlah dari gaya-

massa sistem yang berimpit =Laju

gaya luar yang bekerja pada sistem.

perubahan terhadap waktu dari massa

Secara matematis dinyatakan dalam

dari kandungan volume atur +Laju

bentuk:

aliran

netto

dari

massa

melalui

permukaan atur = 0. Secara matematis

∫

dinyatakan dalam bentuk: ∫

∫

∫

̂ ( )

∑

̂ ( )

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

940

Prosiding

ISSN :9 772407 749004 ̂

Dalam notasi vektor, persamaan diatas dapat dinyatakan dalam bentuk: (

(

(

)

(

)

)(

(

) ( )

)) dan ( )

[

]

( )

Sesuai fenomena aliran konveksi bebas fluida

viskoelastik

yang

melewati

permukaan sebuah bola dalam kondisi , maka diperoleh persamaan momentum ke arah sumbu-

dan ke

dengan mensubstitusikan persamaan ( ) dan persamaan ( ) ke persamaan ( ) stres tensorsebagai berikut:

arah sumbu- sebagai berikut: (

) 6

(

:(

)

)

(

);=

dan ( ) selanjunya untuk

,

,

, dan

merupakan stress tensor Cauchy untuk fluida

Walter-B

yang

6

didefinisika

sebagai: (

) ( ̂ )

( )

7

(

)

dengan:

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

941

Prosiding

ISSN :9 772407 749004 [

] 6

4

4

5

6

5 4

5

(

)

dan 4

7

5

(

)

dan

6

6

(

(

))

(

) ]

(

)

Kemudian pada Persamaan (11) sampai (13) 7

(

)

dilakukan

penurunan

fungsi

terhadap variabel x atau y seperti berikut ini:

dan

Kemudian lakukan substitusi Persamaan (8) sampai (9) ke Persamaan (4), sehingga didapat persamaan momentum terhadap

sumbu

mendefinisikan

x

dengan ,

dengan

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

942

Prosiding (

ISSN :9 772407 749004 ) dan

(

)

sebagai berikut:

dengan

6

7

. /, maka Persamaan

dan (16) menjadi:

6 4

5 6 4

7

5 (

4

4

57

Selanjutnya

(

digunakan

)

persamaan

lapisan batas untuk mendapatkan bentuk

̅

diukur dalam bentuk

dan

5

4

57

̅ ̅ ̅

6

̅ 7 ̅

persamaan yang lebih sederhana, yaitu . Maka

diperoleh persamaan:

6 4

5

7

(

)

Pada aliran konveksi bebas, tekanan yang bekerja adalah kombinasi dari tekanan hidrostatis (

)

̅ ̅ ( ̅ 5 ̅ ̅

̅ ( )

̅

) ̅ ̅

̅ ̅ 4 57 ̅ ̅ 57

) dan tekanan

), sehingga dapat ditulis:

5

̅ ̅ 4 5 ̅ ̅ ̅ ̅

5

4

4 (

6̅ 4 6

dinamis (

. /

5 6 4

4

)

( )

Persamaan Energi: ̅

̅ ̅

̅ ̅

̅ ̅

̅ ̅

( )

Dengan kondisi batas:

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

943

Prosiding ̅

ISSN :9 772407 749004 ̅

̅

Selanjutnya

̅

̅

persamaan

lapisan batas untuk mendapatkan bentuk persamaan yang lebih sederhana, yaitu

̅ ̅

̅

digunakan

̅

diukur dalam bentuk

dan

. Maka

diperoleh persamaan: 1. Model Matematika dalam Bentuk

6

7

Non-Dimensi Selanjutnya, dengan menggunakan

6 4

5

variabel berikut ini: ̅

̅ ( )

4

( )

̅( ̅ ) ̅

̅

( (

5

4

57

(

)

Pada aliran konveksi bebas, tekanan yang bekerja adalah kombinasi dari

)

)

tekanan hidrostatis ( dinamis (

) dan tekanan

), sehingga dapat ditulis:

( )

̅̅̅( ̅ ) dengan Maka persamaan ( ), ( ), dan ( ) menjadi:

̅

(

)

̅

(

. /, maka Persamaan

dan

)

(16) menjadi: 6 4

5

6

4

4

4

5

5

57

(

6 4

(

)

7

4

)

5 57

. /

4 (

5

)

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

944

Prosiding ̅

ISSN :9 772407 749004

̅ ̅ ̅

̅ ̅

6

̅ 7 ̅

( (

̅ ( )

)

̅ 5 ̅ ̅

6̅ 4

( )

̅̅̅( ̅ )

̅ ̅

)

Maka persamaan ( ), ( ), dan ( )

̅

menjadi:

̅ ̅ ̅ 4 5 ̅ ̅ ̅ ̅ ̅ 4 57 ̅ ̅

̅

( )

(

)

̅

(

)

6

4

Persamaan Energi: ̅

̅

̅ ̅

̅ ̅

5

̅

̅

7

( )

̅

( )

Dengan kondisi batas: ̅

̅ ̅

̅

̅

dengan ̅

̅ ̅

̅

dan kondisi batas

menjadi:

2. Model Matematika dalam Bentuk ̅ ̅

Non-Dimensi Selanjutnya, dengan menggunakan

Persamaan ( ), ( ), dan ( ) disebut

variabel berikut ini: ̅

sebagai

̅

( )

( )

̅( ̅ ) ̅

(

̅

model

matematika

dalam

bentuk non -dimensi. 3. Prosedur penyederhanaan Model menggunakan fungsi arus

) Dengan menggunakan:

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

945

Prosiding

ISSN :9 772407 749004

( ) (

)

(

)

dengan kondisi batas:

Maka:

Kemudian disubstitusikan ke model dalam bentuk non-dimensi sebelumnya, Pada saat

didapat:

, maka model

matematika menjadi: (

) .

/

( )

[ Dengan kondisi batas: .

/(

4

( )

( )

( )

5 )]

( ) ( )

( )

Kesimpulan 6

Pada penelitian ini terdapat suatu korelasi antara bilangan Prandtl ( ) 7

profil temperatur yaitu semakin besar bilangan Prandtl maka menyebabkan

4

profil karena 5

temperatur difusivitas

semakin

kecil

termal

yang

semakin menurun. Ucapan Terima Kasih

.

/ Penulis berterima kasih kepada (

)

Prof. Dr. Basuki Widodo, M.Sc dan Dr. Chairul

Imron,

MI.Komp.

atas

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

946

Prosiding bimbingan

ISSN :9 772407 749004 dan

saran

yang

telah

diberikan selama penulisan artikel ini

Boundary Flow of Viscoelastic Fluid, Disertasi Ph.D., Universiti Teknologi Malaysia, Malaysia.

Pustaka Causon, D.M. dan Mingham, C.G. (2010).Introductory Finite

Kreith, Frank. (1994), Prinsip-Prinsip Perpindahan Panas,Edisi Ketiga, Erlangga, Jakarta. Potter, Merlec C. dan Wiggert, David C.

Difference Methods for PDEs,

(2008).

Departement Of Computing and

Erlangga,

Mathematics,UK.

Jakarta.

Hakim, Imansyah I. (2012), Fenomena

Mekanika

Fluida,

Salleh, M. Z. dan Nazar, R. (2010),

Thermophoresis Dan

Modeling of Free Convection

Pemanfaatannya Sebagai

Boundary Layer Flow on a Sphere

Thermal Precipitator Untuk

with Newtonian Heating, Acta

Meningkatkan Kebersihan Udara,

Appl. Math., 112: 263–274.

Disertasi Doktor, UniversitasIndonesia, Depok. Hoffmann, Klaus A. dan Chiang, Steve T. (2000), Computitational Fluid

Streeter, Victor L., Wyle, E. Benjamin, dan

Prijno,

Arko.

(1988),

Mekanika Fluida, Edisi Delapan, Erlangga, Jakarta.

Dynamics, Engeneering Education System, USA. Kasim, A.R.M. (2014), Convective

Widodo,Basuki.

(2012),

Pemodelan

Matematika, Itspress, Surabaya

Seminar Nasional Pendidikan Matematika Ahmad Dahlan (SENDIKMAD 2014) Yogyakarta, 27 Desember 2014

947