Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky
Semestrální práce z předmětu
Matematické modelování KMA/MM
Téma: Alkohol za volantem & Nehoda
Ondřej Konrády Plzeň, 19. listopadu 2008
FI - Finanční informatika A08N0196P
[email protected]
Obsah: 1 Úvod ........................................................................................................................................ 3 2 Specifikace zadání................................................................................................................... 4 3 Teorie k řešení úlohy............................................................................................................... 5 3.1 Vstřebávání a odbourávání alkoholu z krve ..................................................................... 5 3.1.1 Množství alkoholu v nápoji....................................................................................... 5 3.1.2 Koncentrace etanolu v krvi v závislosti na čase........................................................ 6 3.2 Chladnutí motoru.............................................................................................................. 6 4 Řešení ...................................................................................................................................... 7 4.1 Nejzazší čas příjezdu policie ............................................................................................ 7 4.2 Policejní vyšetřování ...................................................................................................... 10 5 Závěr...................................................................................................................................... 14
2
1 Úvod Tato práce si dává za úkol ukázat modelovou situaci, kdy dojde k dopravní nehodě, za které nebyl řidič zcela střízlivý, a následnému policejnímu vyšetřování. To má rozhodnout mj. o tom, jestli řidiči vznikne nárok na pojistné plnění.
3
2 Specifikace zadání Panu Míkovi se během cesty automobilem z hospody stala nehoda - střetl se s lesní zvěří tak, že jeho vůz není schopný další jízdy. Musí tedy zavolat policii a nechat událost zdokumentovat - kvůli pojišťovně (chtěl by proplatit alespoň část škody). Jenže neřídil zcela střízlivý a pokud by tuto skutečnost policie zjistila a uvedla do zprávy, nedostane od pojišťovny žádné peníze.
Úkolem je zjistit kdy nejdříve může přijet policie, aby pan Míka neměl již žádný alkohol v krvi (informace pro něj) jestli pan Míka zavolal policii ihned po nehodě (informace pro policii) jestli pan Míka neřídil pod vlivem alkoholu (informace pro pojišťovnu a policii) Pozn.: Některé skutečnosti byly pro účely modelu zkresleny a zjednodušeny.
4
3 Teorie k řešení úlohy Úloha je nejdříve řešena obecně ve 2 krocích: řešení vstřebávání a odbourávání alkoholu v krvi (kap. 4.1) a chladnutí motoru automobilu (kap. 4.2). 3.1 Vstřebávání a odbourávání alkoholu z krve Celý proces konzumace alkoholu (z našeho hlediska) se skládá ze 2 fází: 1) resorpční (vstřebávací) 2) eliminační (vylučovací) V resorpční fázi dochází k pronikání etanolu do krve. V tabulce 3.1 je znázorněný časový úsek1, za který je skončeno vstřebávání etanolu do krevního oběhu z trávicí soustavy. Do krevního oběhu se ale nevstřebá veškerý vypitý etanol - rozdíl mezi vypitým a vstřebaným etanolem se nazývá tzv. vstřebávaný deficit etanolu. Vztah použitý níže (3.2) tento jev zohledňuje. Náplň žaludku
Koncentráty a víno
Na lačno
Pivo
30
Lehká náplň
Do
Střední náplň Nadměrná náplň
60 90
60 minut
120
Do
90 120
minut
150
Tab. 3.1 – Trvání vstřebávací fáze požívání etanolu
3.1.1 Množství alkoholu v nápoji Množství vypitého etanolu, tj. kolik gramů etanolu je obsaženo ve vypitém alkoholickém nápoji, je závislé na objemu nápoje, hustotě etanolu a koncentraci alkoholu v nápoji. Tedy
a=
V * H *c 100
(3.1)
kde
a - počet gramů etanolu, které obsahuje požitý nápoj V - objem vypitého nápoje (ml) H - hustota etanolu (0,789 g/cm3) c - koncentrace alkoholu v nápoji (%).
1
Maximální hodnota zjištěná výzkumem
5
3.1.2 Koncentrace etanolu v krvi v závislosti na čase Nyní víme, kolik gramů etanolu obsahuje trávicí trakt člověka. Hodnota etanolu v krvi se měří v promile a u každého člověka i po vypití stejného množství etanolu může být rozdílná. Tato hodnota je závislá především na hmotnosti (příp. tělesném tuku) člověka a pohlaví. Původní Widmarkův2 výzkum ukázal, že průměrné mužské tělo dokáže zadržovat etanol 68 procenty jinými slovy, 68 % hmotnosti těla se podílí na odbourávání etanolu (tj. Widmarkův “r“ faktor = 0,68). Upravený Widmarkův vztah: Ct =
a − w* β * ∆t w* r
(3.2)
kde Ct - koncentrace alkoholu v krvi v čase t od počátku pití (‰)
a - absolutní množství požitého alkoholu w - tělesná hmotnost člověka (kg) r - redukční (Widmarkův) faktor3, muži ≈ 0,68, ženy ≈ 0,55 β - eliminační faktor (0,12 – 0,20 g.kg-1h-1) ∆t - doba od počátku požívání alkoholických nápojů do okamžiku měření (h).
3.2 Chladnutí motoru Chladnutí motoru lze popsat Newtonům zákonen (zákonitostí) pro ochlazování - speciální případ energetické bilance (tepelné bilance). Slovní formulace: Okamžitá časová změna teploty je úměrná rozdílu teploty vně a uvnitř
tělesa. Matematické vyjádření: dT (t ) = − k (T (t ) − R ), t ≥ 0 dt
(3.3)
kde T (t ) - teplota tělesa v čase t k - teplotní koeficient charakterizující tepelné vlastnosti tělesa a okolí (k > 0) R - teplota okolního prostředí Metodou integračního faktoru dojdeme k řešení vztahu (3.3):
T(0) = k .e− λt + R
2 3
(3.4)
Widmark's original research Widmarkův “r“ faktor zjištěný výzkumem postaveném na průměrných hodnotách lidského těla
6
4 Řešení 4.1 Nejzazší čas příjezdu policie Pan Míka přijel do hospody v 15,00. Vypil 3 desetistupňová piva a v 16,00 již odjížděl domů. Jeho tělesná váha je 80 kg. Podle vztahu (3.1) zjistíme, kolik gramů alkoholu vypil:
a=
V * H * c 1500 * 0, 789 * 4, 1 = = 48, 5235 100 100
(4.1)
Toto množství by ale mohlo odpovídat situaci, kdy by pan Míka vypil tři piva zcela najednou. Pan Míka ve skutečnosti vypil první pivo v 15,00, druhé v 15,30 a třetí těsně před odjezdem). V tabulce 3.1 je uvedeno, že vstřebávací fáze pro pivo na lačný žaludek činí maximálně 60 minut. Vezmeme tuto dobu jako čas, za který se veškerý vypitý etanol dostane do krve a začne odbourávat. Odbourávání etanolu v těle je dáno eliminačním faktorem β (0,12 – 0,20 g.kg-1h-1), viz. kap. 3.1.2. Pro náš model vezměme průměrnou hodnotu 0,16 g na 80 kg váhy pana Míky za 1 hodinu. Rekurentně:
1 ai +1 = ai − q + pi +1 , i = 0, , 1 2
(4.2)
kde
ai - obsah etanolu (g) v těle v čase i ( a0 - viz. (3.1)) q - odbourané množství etanolu (g) za jednu hodinu; (v našem modelu q = 0,16*80 = 12,8)
pi+1 - množství etanolu (g) vypitého v čase i+1 Tabulka 4.1 ukazuje, jak by mohl vypadat vývoj vstřebávání a odbourávání etanolu u pana Míky vypadat.
čas etanol v těle (g)
(h) 0
1/2
První pivo Druhé pivo
a0 =
etanol v krvi (‰)
V * H * c 500 * 0,789 * 4, 1 = ≐ 16 , 2 100 100
a1 / 2 = a0 −
q 12, 8 = 16 , 2 − + 16 , 2 = 26 2 2
7
1
Třetí
a1 = a1 / 2 −
pivo
q 12, 8 = 26 − + 16 , 2 = 35, 8 2 2
1½ 2
C1 =
a 16 ,2 = ≐ 0,298 w* r 80* 0,68
C3 / 2 =
a 26 = ≐ 0,478 w* r 80* 0,68
C2 =
a 35,8 ≐ 0,658 = w* r 80* 0,68
Tab. 4.1 – Průběh vstřebávání a odbourávání etanolu
Absorbční fáze je tedy popsána hodnotami: i
f(xi)
t
1
0,298
1
2
0,478
1½
3
0,658
2
Použijeme metodu interpolace pro zjištěné hodnoty a křivka vývoje promile alkoholu v krvi by mohla vypadat viz. obr 4.1: Vývoj promile v krvi 0,45 0,4 0,35
Promile
0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 0
0,5
1
1,5
2
2,5
Čas (h)
Obr. 4.1 – Vývoj vstřebávání alkoholu v krvi
Jak je vidět z grafu – pan Míka opouštěl restauraci v čase t = 1, tj. v době, kdy se mu teprve etanol vstřebával do krve. Pan Míka si po nehodě spočítal, že v čase t = 2 musel mít pravděpodobně 0,658 ‰ alkoholu v krvi. Kdy tedy může přijet policie, aby událost zdokumentovala, a pan Míka bude mít již 0 ‰ v krvi? Viz. výše uvedeno – odbourávací koeficient je u pana Míky 12,8 g etanolu za hodinu, čili přibližně
12,8 ≐ 0,235 promile za hodinu. 80* 0,68
8
Okamžik, kdy je odbourán veškerý alkohol z jeho krve, je zřejmě popsán funkcí f ( x ) = 0,658 − 0,235x .
(4.3)
Pro f(x) = 0 je x = 2,8. Pan Míka si tedy spočítal, že za 3 hodiny a 48 min., tj. od doby kdy dopil poslední pivo, by již jeho krev měla obsahovat nula promile (viz Obr. 4.2). Pan Míka může tedy zavolat policii tak, aby dorazila nejdříve 1 h a 48 minut po jeho nehodě.
Vývoj promile v krvi 0,7 0,6
Promile
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
1
2
3
4
5
6
Čas (h)
Obr. 4.2 – Vývoj alkoholu v krvi (obě fáze) zdroj [1]
9
4.2 Policejní vyšetřování Dopravní nehoda (střet s lesní zvěří) se stala v 18:00 a auto pana Míky je dále nepojízdné. Policie je podle informací pana Míky schopna na místo nehody dorazit za 30 minut. Pan Míka tedy spočítal, že pokud zavolá policii v 19 hodin 18 minut, přijede akorát v okamžik, kdy už bude mít nulový alkohol v krvi. Vzhledem k neúplné znalosti prostředí je jeho informace o příjezdu nepřesná – v místě, kde havaroval může policie přijet buď ze služebny v Horním Benešově nebo z Dolního Benešova (viz. Obr. 4.3).
Obr. 4.3 – Schéma okolí nehody
a) Příjezd policie za 30 minut Celá událost se vyvíjí podle plánu pana Míky. Po příjezdu na místo policie byly zjištěny následující skutečnosti:
Čas nehody (skutečný)
18:00 h
Čas nehody (udaný panem Míkou)
19:10 h
Volání na policii
19:18 h
Příjezd policie
19:48 h
Venkovní teplota
2 °C
Teplota vnějšího krytu motoru v okamžiku příjezdu policie
38 °C
Teplota vnějšího krytu motoru 1 hodinu po příjezdu policie
28 °C
Tab. 4.2 – Zjištěné skutečnosti
Dále se ví, že u auta pana Míky dosahuje ustálená teplota vnějšího krytu motoru 64 °C. 10
Podle vztahu (3.4) je policie schopna zjistit, před jakou dobou se stala dopravní nehoda: T(0) = 38 °C; R = 2 °C; T(0) = k * e− λt + R 38 = k * e − λ 0 + 2 k = 36 tj. T(t ) = 36* e− λt + 2
Zbývá zjistit, kolik je koeficient >( ג0). Z výše uvedené tabulky je vidět4 (policie zjistila), že za 1 hodinu klesla teplota na 28 °C: 28 = 36* e− λ1 + 2 (28 − 2) 36 λ = 0,325
λ = − ln
Čili chladnutí motoru by mohlo být popsáno funkcí
T(t ) = 2 + 36* e −0,325t
(4.4)
Chladnutí motoru 40 35
Teplota ( °C )
30 25 20 15 10 5 0 0
1
2
3
4
5
6
7
8
Čas (h)
Obr. 4.4 – Průběh chladnutí motoru
Před jakou dobou byla tedy teplota vnějšího krytu motoru na své ustálené hodnotě 64 °C? 4
Pro tento model jsem provedl skutečné měření teploty krytu motoru
11
64= 2 + 36* e −0,325t 64 − 2 = e −0,325t 36 62 0,325t = − ln 36 t = −1, 67 zdroj [2]
Policie tedy zjistila, že motor auta se přestal ohřívat (vypnul) před 1 h a 40 min. po jejich příjezdu. Policie se tedy táže - proč nezavolal pan Míka policii dřív a na co čekal?
b) Příjezd policie za 5 minut Takhle brzký příjezd policie pan Míka neočekával (policie přijíždí o 25 minut dříve než očekával, tj. v 19:23). Podle vztahu (4.4) pro odbourávání alkoholu z krve připočítáme k nulové hodnotě zbývající alkohol k odbourání za dobu 25 minut. Od času potřebného k odbourání veškerého alkoholu tedy odečteme zmíněný počet minut. Čili policie naměří hodnotu promile alkoholu v krvi zřejmě f ( xd ) = 0,658 − 0,235x f ( xd ) = 0,658 − 0,235* ( 2,8 −
30 − 5 ) 60
f ( xd ) = 0,098.
Vývoj alkoholu v krvi při předčasném příjezdu policie 0,7 0,6
Promile
0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0
1
2
3
4
Čas (h)
Obr. 4.5 – Vývoj v krvi při příjezdu policie o 25 minut dříve
12
5
Výpočtem obdobným jako výše v odstavci a) by policie došla k závěru, že nehoda se stala přibližně před 1 hodinou a 15 minutami. Čili v době nehody měl podle jednoduchého výpočtu pan Míka v těle podle kap. 4.1 přibližně 0,098+0,235*1,25 = 0,39 ‰.
Tato informace již stačí pojišťovně k tomu, aby podle smlouvy škodu na automobilu panu Míkovi neproplatila.
13
5 Závěr Na modelové situaci bylo znázorněno, jak se vyvíjí vstřebávání a odbourávání alkoholu v lidském těle. Dále bylo ukázáno, že řidič netelefonoval na policii bezprostředně po nehodě, ale vyčkával, než z jeho krve vyprchá zbytek alkoholu, což bylo rozpoznáno z výpočtu provedeného na základě znalosti funkce chladnutí motoru. Pro pana Míku je výhodné zařídit situaci tak, aby policie přijela nejdříve 1 hodinu a 48 minut, poté již podle výpočtu nebude jeho tělo obsahovat žádný alkohol. V případě, že policie přijede na místo nehody o něco dříve, než pan Míka očekával, bude zjištěno kolik má a kolik měl alkoholu v krvi a pojišťovna mu žádnou škodu neproplatí.
14
Literatura [1] František Vorel, jun.: Soudní lékařství; Grada, Praha, 1999; ISBN 80-7169-728-1 [2] Přednášky z předmětu KMA/MM 2008, ZČU Plzeň
15
