MISKOLCI EgyETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK
Pénzügyi menedzsment feladatgyűjtemény 2005
MISKOLCI EGYETEM GAZDASÁGTUDOMÁNYI KAR PÉNZÜGYI TANSZÉK
Összeállította:
Galbács Péter demonstrátor
2
1. feladat Egy portfolió kockázatos, és kockázatmentes részből tevődik össze. A kockázatos elem várható hozama 15%, ugyanezen rész kockázata 22%. A kockázatmentes rész hozama 7%. A befektetőre jellemző kockázatelutasítási paraméter (kockázatkerülési együttható) értéke 4. Hogyan fog alakulni a minimális szórású (kockázatú) portfolióban a kockázatos elem aránya, és mekkora lesz az így összeállított portfolió várható hozama és kockázata? Megoldás: A rendelkezésre álló információk segítségével felírhatók az alábbi adatok: E(rp)=15% σp=22% rf=7% A=4. Kérdés, hogy miként kell összeállítanunk az optimális (minimális szórású) portfoliót. A megoldás során feltételezzük, hogy a kockázatos rész aránya "y", a kockázatmentes rész aránya pedig "1–y". Mivel a portfolió egyik része kockázatmentes elemet jelent, a teljes portfolió kockázata megadható az alábbi módon: σc = y ×σ p ,
ahol σc a portfolió kockázatát jelöli. Mindezek alapján megadható a teljes portfolió várható hozama is az alábbi módon:
( )
E (rc ) = y × E r p + (1 − y )× r f ,
ahol E(rc) a portfolió teljes hozamát jelöli. Ha az egyenletet az alábbi módon átalakítjuk, előállítható az utolsó sorban található forma:
( )
E (rc ) = yE r p + r f − yr f
( ) + y[E (r p ) − r f ]
E (rc ) = r f + yE r p − yr f
E (rc ) = r f
Megoldásként E(rc)=7%+y(15%–7%) adódik. Ha feltesszük, hogy y=0,5, akkor E(rc)=7+0,5(15–7)=11% lesz. A portfolió kockázata ekkor σc=y×σp=0,5×22%=11%. A befektetési lehetőség körülményeit jól szemlélteti a CAL-modell (CAL=Capital Allocation Line) az alábbi módon:
3
15% E(rp)–rf 7% σp σ 22% A portfolió összeállításával kapcsolatos választási lehetőségek a vízszintes tengelyen helyezkednek el. Ezen lehetőségek 0 és 22% között találhatók (ha a portfolióban például kizárólag kockázatos elemet szerepeltetnénk, a portfolió kockázata 22%, várható hozama pedig 15% volna), ha a befektetőnek nincs hitelfelvételi lehetősége – illetve a 22%-os értéktől pozitív irányban található tartományon, ha hitelfelvételi lehetőség áll rendelkezésre. A cél egy olyan portfolió összeállítása, amely maximális hasznosságot nyújt az ezt választó befektető részére. A hasznosság függvény (U) az alábbi módon írható fel: U = E (r ) − 0,005 × A × σ 2 .
A függvény alapján észrevehető, hogy egy befektetés hasznossága nagy, ha nagy a befektetés várható hozama – ám a hasznosságra csökkentőleg hat az A-val jelölt kockázatelutasítási index (ennek értéke annál nagyobb, minél jellemzőbb az adott befektetőre a kockázat elutasítása, vagyis A és a kockázatelutasítás között pozitív irányú arányosság áll fenn), illetve a befektetés kockázata. A hasznossági függvény jobb oldalának első tényezőjét [E(r)] felcserélhetjük az imént felírt egyenlőség segítségével, amelyben a portfolió hozamát adtuk meg. Ekkor az alábbi egyenlet áll elő:
[( )
]
U = r f + y × E r p − r f − 0,005 × A × σ 2
Mivel korábbról tudjuk, hogy σc=y× σp, az egyenlet tovább alakítható, és előáll az alábbi forma:
[( )
]
U = r f + y × E r p − r f − 0,005 × A × y 2 × σ 2p .
4
Ha a függvényt y szerint deriváljuk, a feladat egy szélsőérték-számítási problémára vezethető vissza. A hasznossági maximum a függvény azon pontján áll elő, ahol az első derivált értéke 0. Vagyis:
( ) E (r p ) − r f
0 = E r p − r f − 0,01 × A × y × σ 2p y=
0,01 × A × σ 2p
A fenti, y-ra rendezett képlet nevezőjéből a megszokott 0,01 értékű szorzótényező elhagyható, mivel az alapadatok – az A paraméter kivételével – százalékban vannak megadva (de egyszerűsítésre csakis ebben az esetben van lehetőség). A képlet tehát az alábbi formában is felírható: y=
( )
E rp − r f A × σ 2p
A fenti kifejezés számlálójában található E(rp)–rf kifejezés a kockázati prémium; ennek értékével egyenes arányosságot mutat az y arány, vagyis minél nagyobb lesz a kockázatmentes hozamhoz képest a kockázatos elemmel (illetve portfolióval) elérhető nyereség, a kockázatos elem részaránya (y) is annál magasabb lesz. Ha A értékére a megoldás során A=4 szintet választunk (amely egyébként az általánosan jellemző tartomány felső határa is egyben), a behelyettesítés során előáll a keresett y arány: y=
0,15 − 0,07 = 41,32% 4 × 0,22 2
Eszerint egy A=4 kockázatkerüléssel jellemezhető befektető a feladat szövegében megadott paraméterekkel rendelkező befektetés esetében akkor maximalizálhatja hasznosságát, ha a kockázatos rész arányát 41,32%-ban meghatározza meg. Ezek után meghatározható a portfolió várható hozama is:
[( )
]
E (rc ) = r f + y × E rp − r f = 7% + 41,32% × (15% − 7% ) = 10,31%
A korábban már felírt egyenlet segítségével megadható az ekként előállított portfolió kockázata is: σ c = y × σ p = 41,32% × 22% = 9,09% .
A kérdéses befektető számára a maximális hasznosságot biztosító portfolió várható hozama 10,31%, kockázata pedig 9,09% lesz. A feladat Excel segítségével is könnyedén megoldható. Az alábbiakban egy lehetséges táblázatot láthatunk, amely a megadott alapadatokat, illetve a végeredményként kapott megoldásokat is tartalmazza:
5
A használt függvények az következők voltak (a kockázatos rész aránya, a portfolió hozama, illetve a portfolió kockázata): =KEREK((B1-B3)/(B4*B2^2);4) =KEREK(B3+B6*(B1-B3);4) =KEREK(B6*B2;4)
Az eredmények meghatározásához szükséges képletek a zárójeleken belül találhatók. Valamennyi képlet a KEREK függvénybe lett ágyazva, hogy a megoldások 4 tizedesre történő kerekítése megoldható legyen. 2. feladat Az előző feladat által felvetett probléma tovább vizsgálható. Kérdéses, hogy ha meg is határoztuk, hogy az optimális portfolióban 41% lesz a kockázatos elem aránya, a kockázatos elemen belül milyen arányban szerepeljenek kötvények és részvények. A kérdés tehát így szól: hogyan lehet ezt a 41%-ot a lehető legoptimálisabban összeállítani? A feladat valójában tehát úgy határozható meg, hogy egy portfoliót két kockázatos elem felhasználásával kell összeállítani. A megoldás során a CAL meredekségének szélsőértékét kell megkeresni. Vagyis arra keressük a választ, hogy hol lesz a legnagyobb az egységnyi kockázatnövekedésre adott hozamnövekedés. A kockázatos rész összeállításakor kötvényalap és részvényalap között választhatunk. A kötvényalap várható hozama 8%, a részvényalap várható hozama ezzel szemben 13%. A kötvények kockázata 6
12%, a részvényeké 20%. Ismert továbbá, hogy a részvények és a kötvények hozamai közötti korrelációs együttható értéke pedig 0,3. Megoldás: Az alapadatok segítségével felírható az alábbi összefoglaló táblázat: Kötvényalap 8% 12%
E(r) σ
Részvényalap 13% 20%
A kiegészítő információk alapján pedig ρDE=0,3. Igaz az, hogy COV(rD;rE)=σD×σE×ρDE. A befektetés kockázatos részének hozama az alábbi módon áll elő, ha WD a kötvények, WE pedig a részvények súlya, és igaz az, hogy WE=(1–WD):
( )
E rp = WD × E (rD ) + WE × E (rE ) ,
ahol E(rD) a kötvények, E(rE) pedig a részvények várható hozama. Ehhez hasonlóan felírható a portfolió kockázata is: σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE .
Az egyenletet átalakítva, majd WD szerint az alábbi módon differenciálva előáll a WD súlyarány meghatározására szolgáló egyenlőség, amelybe behelyettesítve a rendelkezésre álló adatokat, megkapjuk a kérdéses arányt (vagyis a kötvények súlyát): σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE
σ 2p = WD2 × σ D2 + (1 − WD )2 × σ E2 + 2 × WD × (1 − WD ) × σ D × σ E × ρ DE
(
)
σ 2p = WD2 × σ D2 + 1 − 2 × WD + WD2 × σ E2 + 2 × WD × σ D × σ E × ρ DE − 2 × WD2 × σ D × σ E × ρ DE σ 2p = WD2 × σ D2 + σ E2 − 2 × WD × σ E2 + WD2 × σ E2 + 2 × WD × σ D × σ E × ρ DE − 2 × WD2 × σ D × σ E × ρ DE ∂σ 2p ∂WD
= 2 × WD × σ D2 − 2 × σ E2 + 2 × WD × σ E2 + 2 × σ D × σ E × ρ DE − 4 × WD × σ D × σ E × ρ DE ∂σ 2p ∂WD
= WD × σ D2 − σ E2 + WD × σ E2 + σ D × σ E × ρ DE − 2 × WD × σ D × σ E × ρ DE .
A kockázat minimumánál a differenciált függvény értéke zérus. Ezt kihasználva a WD tényezőt nem tartalmazó tagokat a bal oldalra rendezzük: σ E2 − σ D × σ E × ρ DE = WD × σ D2 + WD × σ E2 − 2 × WD × σ D × σ E × ρ DE σ E2 − σ D × σ E × ρ DE = WD × σ D2 + σ E2 − 2 × σ D × σ E × ρ DE
(
)
Ezek után előáll a WD súlyarány meghatározásához szükséges egyenlőség: σ E2 − σ D × σ E × ρ DE WD = 2 . σ D + σ E2 − 2 × σ D × σ E × ρ DE 7
Végül behelyettesítve azt kapjuk, hogy: WD =
0,2 2 − 0,12 × 0,2 × 0,3 = 82% 0,12 2 + 0,2 2 − 2 × 0,12 × 0,2 × 0,3
Ezek szerint a minimális szórású portfolió 82%-ban kötvényt, 18%-ban pedig részvényeket tartalmaz. Mivel most már minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll, kiszámítható az így előállított portfolió kockázata is: 2 σ MIN = 0,82 2 × 0,12 2 + 0,18 2 × 0,2 2 + 2 × 0,82 × 0,18 × 0,12 × 0,2 × 0,3 = 0,0131 .
Egyszerű gyökvonással előáll a portfolió szórása, amely 11,4473≈11,45%. Végül megadható a portfolió hozama is:
( )
E r p = 0,82 × 0,08 + (1 − 0,82) × 0,13 = 8,9%
A feladat Excel segítségével is megoldható:
A használt képletek a következők voltak: 8
=(C3^2-B3*C3*B4)/(B3^2+C3^2-2*B3*C3*B4) =(B6^2*B3^2+(1-B6)^2*C3^2+2*B6*(1-B6)*B3*C3*B4)^0,5 =(B6*B2+(1-B6)*C2) =1-B6
3. feladat Egy portfolió kockázatos, illetve egy kevésbé kockázatos elemből áll. A kockázatos rész várható hozama 12%, kockázata pedig 20%. Ismert továbbá, hogy a kisebb kockázatú rész hozama 6%. A befektetőre jellemző kockázatelutasítási index A=3,5. Mekkora lesz az ezen információk alapján összeállított portfolióban a kockázatos rész aránya (y), a portfolió hozama (E(rc)), illetve kockázata (σc)? Megoldás: A kockázatos elem súlyának, a portfolió hozamának, illetve kockázatának meghatározása: y=
( )
( )
E rp − r f 0,01 × A × σ
2 p
=
12 − 6 = 0,4286 ; 0,01 × 3,5 × 20 2
E (rc ) = y × E r p + (1 − y ) × r f = 0,4286 × 0,12 + (1 − 0,4286) × 0,06 = 8,57%
σ c = y × σ p = 0,4286 × 0,2 = 8,57%
A kockázatos rész arányára tehát y=42,86%, a portfolió hozamára E(rc)=8,57%, kockázatára pedig σc=8,57% adódott. 4. feladat Egy portfolió kockázatos, illetve egy kevésbé kockázatos elemből áll. A kockázatos rész várható hozama 16%, kockázata pedig 27%. Ismert továbbá, hogy a kisebb kockázatú rész hozama 8%. A befektetőre jellemző kockázatelutasítási index A=4. Mekkora lesz az ezen információk alapján összeállított portfolióban a kockázatos rész aránya (y), a portfolió hozama (E(rc)), illetve kockázata (σc)? Megoldás: A kockázatos rész arányára y=27,43%, a portfolió hozamára E(rc)=10,19%, kockázatára pedig σc=7,41% adódott. 5. feladat Egy portfolió kockázatos, illetve egy kevésbé kockázatos elemből áll. A kockázatos rész várható hozama 32%, kockázata pedig 27%. Ismert továbbá, hogy a kisebb kockázatú rész hozama 8%. A befektetőre jellemző kockázatelutasítási index A=2. Mekkora lesz az ezen információk alapján összeállított portfolióban a kockázatos rész aránya (y), a portfolió hozama (E(rc)), illetve kockázata (σc)? Megoldás: A kockázatos rész arányára y=164,61% adódott. A kockázatos rész 100%-ot meghaladó súlya kizárólag hitelfelvétel mellett értelmezhető. A portfolió várható hozama 47,51%, kockázata pedig 44,44%. 6. feladat Egy portfolió összeállításánál kötvény-, illetve részvényalap között van módunk választani. A kötvényalapra vonatkozó várható hozam 7%, a részvényalapra vonatkozó várható hozamadat pedig 9
15%. A kötvények kockázata 11%, a részvényeké ezzel szemben 16%. Ezek mellett ismert az is, hogy a kétféle instrumentum hozamai közötti korrelációs együttható értéke 0,5. Milyen lesz a rendelkezésre álló információk alapján összeállított portfolióban a kötvények illetve a részvények súlya, mekkora lesz a portfolió kockázata, illetve hozama? Megoldás: A rendelkezésre álló adatok alapján felírható az alábbi táblázatos összefoglalás: Instrumentum Kötvény Részvény
Hozam 7% 15%
Kockázat 11% 16%
Korreláció 0,5
A kötvények súlyának meghatározása: WD =
σ E2 − σ D × σ E × ρ DE 16 2 − 11 × 16 × 0,5 = = 0,8358 ; σ D2 + σ E2 − 2 × σ D × σ E × ρ DE 112 + 16 2 − 2 × 11 × 16 × 0,5
A portfolió varianciájának és kockázatának meghatározása: σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE = = 0,8358 2 × 112 + (1 − 0,8358)2 × 16 2 + 2 × 0,8358 × (1 − 0,8358) × 11 × 16 × 0,5 = = 115,5821;
σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE = = 0,8358 2 × 0,112 + (1 − 0,8358)2 × 0,16 2 + 2 × 0,8358 × (1 − 0,8358) × 0,11 × 0,16 × 0,5 = = 0,0116
Ebből egyszerű gyökvonással képezhető a kockázat (szórás), amelyre: σp=10,75% A portfolió várható hozamának meghatározása:
( )
E r p = WD × E (rD ) + WE × E (rE ) = 0,8358 × 7 + (1 − 0,8358) × 15 = 8,3136 .
A kötvények súlyára tehát WD=83,58%, a részvények súlyára WE=16,42%, a portfolió kockázatára σp=10,7509%, várható hozamára pedig E(rp)=8,3136% adódik eredményként. 7. feladat Egy portfolió összeállításánál az alábbi táblázatban összefoglalt alapadatok ismertek. Kérdés: a minimális szórású portfolióban mekkora lesz az egyes instrumentumok súlyaránya, hogyan fog alakulni a portfolió kockázata, illetve várható hozama? Instrumentum Kötvény Részvény
Hozam 8,5% 19%
Kockázat 8% 45%
10
Korreláció 0,1
Megoldás: A kötvények súlyára WD=98,61%, a részvények súlyára WE=1,39%, a portfolió kockázatára σp=7,98%, várható hozamára pedig E(rp)=8,65% adódik eredményként. 8. feladat Az előző feladatokban a tőkeallokációs kérdés úgy merült fel, hogy vajon az összeállítandó portfoliónak hány százaléka legyen kockázatos, s hány százaléka kevésbé kockázatos instrumentumban befektetve. A probléma azonban bővíthető, ha már három választási lehetőség kínálkozik, vagyis a befektetendő tőkét részvény, kötvény, illetve kockázatmentes pénzpiaci értékpapír között tudjuk megosztani. Legyenek adottak az alábbi alapadatok: Instrumentum Kötvény Részvény Kincstárjegy
Hozam 8% 13% 5%
Kockázat 12% 20% 0%
Korreláció (ρDE) 0,3
Hogyan alakul annak a portfoliónak a hozama és kockázata, amelyet a fenti három instrumentum felhasználásával állítanak össze? Milyen lesz az egyes papírok súlya a portfolión belül? Megoldás: A korábbiak alapján tudjuk, hogy a fentiekben jellemzett kötvény és részvény felhasználásával előállított portfolió 82%-ban tartalmaz kötvényt, 18%-ban részvényt, s a portfolió várható hozama 8,9%, kockázata pedig 11,4473% (lásd 2. feladat). Ezek segítségével már könnyedén meghatározható az A portfolió esetén a CAL meredeksége (Sharpe-mutató): S pA =
( )
E r pA − r f
σp
=
8,9 − 5 = 0,3407 . 11,4473
A Sharpe-mutató közgazdasági értelmezése azt mutatja meg, hogy hogyan alakul az egységnyi kockázatra (szórásra) jutó kockázati prémium. Fontos azt tudni, hogy az így létrehozott portfolió hogyan helyezkedik el a kockázat és a várható hozam által determinált kétdimenziós mezőben. Mivel célunk a minimális kockázatú portfolió összeállítása volt, a lehetséges portfolióallokálási döntéseket összefoglaló görbén az általunk meghatározott pont az origóhoz legközelebb eső (vagyis a minimális szórást megtestesítő) kitüntetett helyen fog elhelyezkedni. Az alábbi ábrán ezt a CALA egyenes azon pontja mutatja, amely 8,9%-os hozamadatnál, illetve 11,4473%-os kockázatadatnál metszi a lehetséges portfoliók kockázatának és hozamának egymáshoz való viszonyát mutató görbét. Ha azonban nem törekednénk a minimális szórás elérésére, elérhetnénk magasabb hozamokat is. Egy olyan feltételezett portfolió esetében, amely 75%-ban kötvényt, 25%-ban pedig részvényt tartalmaz, a portfolióra jellemző hozamadat már 9,25%, a kockázat pedig 11,5326% lenne. Jól látható, hogy a portfolió mindkét releváns jellemzője pozitív irányban változott az allokációs döntés hatására, vagyis a görbén a kitüntetett (minimális kockázatot biztosító) pontból jobbra és felfelé mozdultunk el. Az eredeti pontot és az elmozdulást jól nyomon lehet követni az alábbi ábrán. A tőkeallokációs egyenest egészen addig forgathatjuk el a függőleges tengelymetszet által meghatározott pont körül, amíg az az allokációs döntési lehetőségeket jelző görbe érintője lesz (az ábrán ezt a helyzetet mutatja a CALB egyenes által meghatározott pont). 11
CALB
E(r)
CALA
8,9 5
σ 11,4473
Ezen művelet révén egy olyan (szintén kitüntetett jelentőségű) tőkeallokációs egyeneshez jutunk (CALB), amely adott keretfeltételek (vagyis döntési lehetőségek) mellett a lehető legnagyobb hozam-variancia arányt biztosítja – formálisan ezt az arányt fejezi ki a tőkeallokációs egyenes meredeksége. Az így kapott pont (allokáció) az az optimáliskockázatú portfolió, amit már a kincstárjeggyel kombinálunk. A számszerű megoldás során meg kell találni azon WD és WE súlyokat, amelyek mellett a CAL a legnagyobb meredekségű lesz (cél tehát a maximális értékű Sharpemutató meghatározása). A megoldás egyben azt is biztosítja, hogy az egységnyi kockázatra jutó kockázati prémium ezen allokáció mellett lesz a legnagyobb: MaxS p =
( )
E rp − r f
σp
A megoldás során teljesülni kell annak, hogy WD+WE=1. Mivel tudjuk, hogy
( )
E r p = WD × E (rD ) + WE × E (rE ) ,
illetve hogy σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × COV (rD ; rE ) σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE
Ezen egyenlőségek alapján a Sharpe-mutató átalakítása az alábbi módon történhet meg: Sp =
WD × E (rD ) + (1 − WD ) × E (rE ) − r f WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE
A kifejezést ezek után WD-re deriválva, 0-val egyenlővé téve, majd WD-re megoldva az alábbi egyenlőség áll elő: 12
WD =
[E (rD ) − r f ]× σ E2 − [E (rE ) − r f ]× σ D × σ E × ρ DE [E (rD ) − r f ]× σ E2 + [E (rE ) − r f ]× σ D2 − [E (rD ) − r f + E (rE ) − r f ]× σ D × σ E × ρ DE
Behelyettesítve azt kapjuk, hogy: WD =
(8 − 5) × 20 2 − (13 − 5) × 12 × 20 × 0,3 = 0,40 (8 − 5) × 20 2 + (13 − 5) × 12 2 − (8 − 5 + 13 − 5) × 12 × 20 × 0,30
A portfolió várható hozama:
( )
E r p = WD × E (rD ) + WE × E (rE ) = 0,4 × 8 + 0,6 × 13 = 11 .
Az optimális portfolió kockázata: σ 2p = WD2 × σ D2 + WE2 × σ E2 + 2 × WD × WE × σ D × σ E × ρ DE σ 2p = 0,4 2 × 12 2 + 0,6 2 × 20 2 + 2 × 0,4 × 0,6 × 12 × 20 × 0,3 = 201,6002 σ p = 14,1986
Az optimális portfolió várható hozama 11%, kockázata pedig 14,1986% lesz (ez a két adat kijelöli a portfolió helyét az iménti ábrán az érintési pontban). A kockázatos részen belül a kötvények optimális súlyaránya 40%. Az optimális portfolió összeállítása révén előállított CAL meredeksége: S pB =
( )
E r pB − r f
σ pB
=
11 − 5 = 0,4226 14,1986
Fontos észrevenni azt, hogy a megoldás eddigi menete során a befektetőre jellemző kockázatelutasítás (A) nem kapott szerepet. Ez azt jelenti, hogy a kockázatos eszközök közötti választást nem befolyásolja a befektetői preferenciarendszer (legalábbis ami a kockázatvállalás mértékét illeti). Az egyénre jellemző kockázatkerülés jelentősége abban van, hogy csak ennek ismeretében lehet meghatározni, hogy az optimális portfolió milyen arányban tartalmazzon kockázatos, illetve kockázatmentes részt (előbbi összetételére vonatkozóan az előzőek során végeztünk számításokat). Ha y a kockázatos rész aránya, illetve A=4, akkor y=
( )
E r pB − r f 0,01 × A × σ
2 pB
=
11 − 5 = 0,7440. 0,01 × 4 × 14,1986 2
Ezek szerint a befektető vagyonának 74,40%-át fogja kockázatos, míg 25,60%-át kockázatmentes eszközökbe fektetni. A kockázatos elemen belül 40% a kötvények, 60% pedig a részvények súlya, így yWD=0,4×74,40=29,76%, illetve yWE=0,6×74,40=44,64%. Az optimális portfolióban tehát 29,76% kötvény, 44,64% részvény, és 25,60% kincstárjegy szerepel. Az így kapott portfolió kockázata 14,1986%, várható hozama pedig 11% lesz. 13
Utóbbi két érték magasabb, mintha kincstárjegy felhasználása nélkül állítottuk volna össze a portfoliót (2. feladat). 9. feladat Egy portfolió összeállításához három instrumentumot kell felhasználni. Ezekre vonatkozóan az alábbi adatok ismertek: Instrumentum Kötvény Részvény Kincstárjegy
Hozam 6% 13% 4%
Kockázat 10% 18% 0%
Korreláció (ρDE) 0,25
Tudjuk továbbá, hogy a befektetőre jellemző kockázatelkerülésre A=4 jellemző. Az optimális módon összeállított portfolióban milyen súlyaránnyal lesznek képviselve az egyes instrumentumok, s hogyan fog alakulni a portfolió várható hozama és kockázata? Megoldás: Az optimális portfolióban a kötvények súlya 20,00%, a részvények súlya 66,67%, míg a kincstárjegyek aránya 13,33% lesz. A portfolió kockázata 14,5947%, várható hozama pedig 11,3844%. 10. feladat Egy befektető a portfolió összeállítása során kockázatos és kockázatmentes instrumentumok között választhatott. A kockázatos rész várható hozama 20%, kockázata pedig 22%, míg a kockázatmentes rész hozama 5%. Ismert, hogy a befektető ezen információk birtokában olyan tőkeallokációs döntést hozott, amely után a portfolióban 88,55% lett a kockázatos elem súlya, a portfolió várható hozama 18,2825%, míg kockázata 19,4810% lett. Milyen kockázatelutasítási index segítségével jellemezhető a feladatban szereplő befektető? Megoldás: A korábbiak alapján már ismert az a képlet, amelynek segítségével meghatározható a portfolión belül (kockázatos és kockázatmentes komponens esetén) a kockázatos rész aránya: y=
( )
E rp − r f 0,01 × A × σ 2p
.
Ennek átrendezésével megkaphatjuk azt a formát, amely alapján – az ismert adatok segítségével – kifejezhető a keresett A paraméter (a behelyettesítések után rendelkezésre áll a végeredmény is):
( )
y × 0,01 × A × σ 2p = E r p − r f A=
( )
E rp − r f y × 0,01 × σ
2 p
=
20 − 5 = 3,4999 ≈ 3,5 0,8855 × 0,01 × 22 2
Megoldásként tehát az adódott, hogy a feladatban szereplő befektető kockázatkerülése az A=3,5 paraméterrel jellemezhető számszerűen. 14
11. feladat Egy befektető portfoliója összeállításakor kockázatos és kockázatmentes instrumentum között választhatott. Ismert, hogy a kockázatos rész hozama 18%, a kockázatmentesé pedig 6%. Tudjuk továbbá azt is, hogy a befektetőre A=2 kockázatkerülés jellemző. Allokációs döntés következtében a portfolión belül a kockázatos rész aránya 66,67% lett. Ezek ismeretében vajon milyen szórás volt jellemző a kockázatos instrumentumra? Megoldás: Az előző feladathoz hasonlóan az y meghatározására szolgáló képletből kiemelhető a variancia, majd egyszerű átalakítással előáll a szükséges egyenlőség: σp =
( )
E rp − r f y × 0,01 × A
=
18 − 6 = 29,9999 ≈ 30 . 0,6667 × 0,01 × 2
Ezek alapján a kockázatos instrumentumra jellemző kockázat 30% volt. 12. feladat Egy portfolió összeállításánál kötvény-, illetve részvényalap között lehet választani. A kötvényalapra vonatkozó várható hozam 10%, a részvényalapra vonatkozó várható hozamadat pedig 26%. A kötvények kockázata 11%, a részvényeké ezzel szemben 35%. Ezek mellett ismert az is, hogy a kétféle instrumentum hozamai közötti korrelációs együttható értéke 0,15. Milyen lesz a rendelkezésre álló információk alapján összeállított portfolióban a kötvények illetve a részvények súlya, mekkora lesz a portfolió kockázata, illetve hozama? Megoldás: a kötvények súlyára WD=94,86%, a részvények súlyára WE=5,14%, a portfolió kockázatára σp=10,85%, várható hozamára pedig E(rp)=10,82% adódik eredményként. 13. feladat Egy portfolió összeállításánál kötvény-, illetve részvényalap között lehet választani. A kötvényalapra vonatkozó várható hozam 6%, a részvényalapra vonatkozó várható hozamadat pedig 25%. A kötvények kockázata 12%, a részvényeké ezzel szemben 21%. Ezek mellett ismert az is, hogy a kétféle instrumentum hozamai közötti korrelációs együttható értéke 0,2. Milyen lesz a rendelkezésre álló információk alapján összeállított portfolióban a kötvények illetve a részvények súlya, mekkora lesz a portfolió kockázata, illetve hozama? Megoldás: a kötvények súlyára WD=80,67%, a részvények súlyára WE=19,33%, a portfolió kockázatára σp=11,22%, várható hozamára pedig E(rp)=9,67% adódik eredményként. 14. feladat Egy portfolió várható hozama 20%, miközben a kockázatmentes kamatláb 5%, s a piaci hozam 15%. Mekkora a bétája a kérdéses portfoliónak? Megoldás: A rendelkezésre álló adatok alapján felírható, hogy E(rp)=20%, rf=5% és E(rm)=15%. A CAPM-modell ismert azonosságát felhasználva 15
[
( )
]
E r p = r f + E (rm ) − r f × β
meghatározható a portfolió bétája. Az azonosság átrendezésével előáll a béta kalkulálásához szükséges egyenlőség: β=
( )
E rp − r f
E (rm ) − r f
.
Behelyettesítve β=1,5 adódik eredményül. 15. feladat Egy értékpapír piaci árfolyama 1360 HUF, várható hozama pedig 15%. A kockázatmentes hozam 7%, s a piaci kockázati prémium 10%. Mekkora lesz az értékpapír piaci ára, ha a piaci portfolióval való kovarianciája megduplázódik, ám eközben minden más jellemző változatlan marad? Feltesszük, hogy a részvény konstans örökjáradékszerű osztalékot fizet. Megoldás: első lépésként meg kell határoznunk az értékpapírra jellemző korábbi bétát. Ehhez ismét a CAPM-modell alapazonosságát kell felhasználni, az alábbi átalakított formában:
[
]
E (ri ) − r f = E (rm ) − r f × β .
Az alapadatokból ismert, hogy – mivel ezen esetben egyetlen értékpapírról, és nem portfolióról van szó – E(ri)= 15%, illetve rf=7%, valamint [E(rm)–rf]=10%. Egyszerű átrendezés és behelyettesítés után β=0,8 adódik eredményül. A feladat szerint a kérdéses értékpapír piaci portfolióval való kovarianciája megduplázódik. Kérdéses azonban, hogy ennek milyen hatása lesz a papír bétájára. Mivel érvényes a normálegyenletek alapján levezethető alábbi azonosság: βi =
COV (rm ; ri )
σ i2
a számlálóban szereplő tényező megduplázódása a többi jellemző változatlan értéke mellett az értékpapír korábbi bétájának megduplázódását eredményezi. Ezek szerint β'=1,6. A CAPM-modell alapján kiszámítható az értékpapír új várható hozama:
[
]
E (rp ) = r f + E (rm ) − r f × β = 7 + 10 × 1,6 = 23% .
Változatlan összegű örökjáradék esetében az annuitásfaktor az 1/r alakban írható fel, amelynek segítségével egy részvény nettó árfolyama (jelenértéke) az alábbi módon határozható meg: 1 PN = C × , r
16
ahol C a járadéktagot jelöli. A példa esetében PN=1360, illetve r=15%. Ennek segítségével kiszámítható az egy alkalommal kifizetésére kerülő osztalék összege is, amelyre C=204 HUF adódik eredményül. Mivel az osztalék folyó összege nem, de az elvárt (várható) hozam megváltozik (23%-ra emelkedik), természetesen módosulni fog a részvény árfolyama (piaci ára) is. Meghatározásához PN iménti képletét kell alkalmazni, s ennek segítségével PN'=887 HUF adódik eredményül. 16. feladat Tegyük fel, hogy a piacon sok részvény van forgalomban, s ezek közül az A és B részvényre vonatkozó információk a következőkben foglalhatók össze: Részvény A B
Várható hozam 10% 15%
Szórás (kockázat) 5% 10%
Ismert továbbá, hogy a két részvény hozamai közötti korrelációs együttható értéke ρ=-1. Feltételezhető, hogy lehetséges hitel felvétele a kockázatmentes kamatláb mellett. Ha a piacok hatékonyak, mekkora lesz a kockázatmentes kamatláb? Megoldás: Ha a rendelkezésre álló (választható) részvényekből sikerül kockázatmentes portfoliót összeállítanunk (amelynek szórása így 0% lesz), az így létrehozott portfolió hozama meg fog egyezni a kockázatmentes kamatlábbal (kockázatmentes portfolió összeállítására akkor, és csak akkor nyílik mód, ha a feladathoz hasonlóan a korrelációs együttható értéke -1). Korábbi feladatokból már ismert, hogy: σ E2 − COV (rD ; rE ) WD = 2 , σ D + σ E2 − 2 × COV (rD ; rE )
amely könnyedén felírható az alábbi alakban is: σ E2 − ρ DE × σ D × σ E WD = 2 σ D + σ E2 − 2 × ρ DE × σ D × σ E
Mivel a feladat esetében a korrelációs együttható értéke -1, az azonosság tovább alakítható: σ E2 + σ D × σ E WD = 2 σ D + σ E2 + 2 × σ D × σ E σ × (σ E + σ D ) WD = E (σ D + σ E )2 σE WD = σD +σE
Behelyettesítés után WD=0,67 és WE=0,33 adódik megoldásként. Felhasználva a portfolió hozamára vonatkozó 17
( )
E r p = W D × E (rD ) + WE × E (rE )
képletet, a kockázatmentes kamatláb rf=11,67%. 17. feladat A következő adatok ismertek két részvényre vonatkozóan: Részvény A B
Várható hozam 14% 25%
Béta 0,6 1,3
Vállalatspecifikus szórás 32% 37%
Ismert továbbá, hogy a piac szórása 25%, a kincstárjegy hozama pedig 6%. Mekkora az A és B részvények kockázata? Ha a befektetés kezelője összeállít egy olyan portfoliót, amelyben az A részvény 33%-os, a B részvény 38%-os, a kincstárjegy pedig 29%-os súllyal szerepelne, hogyan alakulna a portfolió hozama, szórása, bétája, illetve szisztematikus szórása? Megoldás: Az egyes értékpapírokra vonatkozóan igaz az, hogy: σ i2 = β i2 × σ M2 + σ (2e ) , i
vagyis a részvényekre értelmezett kockázat meghatározható az adott értékpapírra jellemző béta, a piaci kockázat, illetve a vállalatspecifikus szórás segítségével. Behelyettesítve: σ A2 = 0,6 2 × 0,25 2 + 0,32 2 σ A2 = 0,1249 σ A = 0,3534
Ugyanez a B részvény esetében: σ B2 = 1,3 2 × 0,25 2 + 0,37 2 σ B2 = 0,2425 σ B = 0,4925
Az A részvény kockázata tehát 35,34%, a B részvény kockázata pedig 49,25%. A feladatban megadott súlyok szerint összeállított portfolió várható hozama meghatározható az instrumentumokra jellemző hozamadatok, illetve a portfolióban lévő súlyarányuk segítségével. Így a várható hozam az egyedi hozamok súlyozott számtani átlaga. Képletben:
( )
E r p = Wr × r f + W A × E (rA ) + WB × E (rB ) .
Behelyettesítve:
( )
E r p = 0,29 × 6% + 0,33 × 14% + 0,38 × 25% = 15,86%
18
Vagyis a feltételeknek megfelelő portfolió várható hozama 15,86%. A portfolió kockázatának meghatározásához szükséges képlet és a behelyettesítés: σ 2p = W A2 × σ A2 + W B2 × σ B2 + 2 × W A × WB × β A × β B × σ M2 σ 2p = 0,33 2 × 0,1249 + 0,38 2 × 0,2425 + 2 × 0,33 × 0,38 × 0,6 × 1,3 × 0,25 2 σ 2p = 0,0608 σ p = 0,2466
A portfolió kockázata tehát 24,66%. Észre kell venni, hogy a kockázat meghatározásához nem volt szükség a kincstárjegy adataira, hiszen a kockázatmentes instrumentum kockázata és bétája is zérus. A portfolió bétája az egyedi instrumentumok bétájának súlyozott számtani átlagaként határozható meg (jelen esetben a portfoliót három instrumentum felhasználásával kell összeállítani): 3
β p = ∑ Wi × β i . i =1
Bár az összegző képlet formálisan itt is számol a kincstárjegy bétájával, mivel annak értéke azonban zérus, a behelyettesítés során elhagyhatjuk: β p = 0,33 × 0,6 + 0,38 × 1,3 = 0,692 .
A portfolió bétájára tehát βp=0,692 adódott. A portfolió szisztematikus és nem szisztematikus (σB) szórásának elkülönítéséhez először meg kell határozni a portfolió szisztematikus szórásának (σK) négyzetét, amely a portfolió bétájának és a piacra jellemző variancia (vagyis a piaci kockázat négyzetének) segítségével végezhető el. Képletben: σ K2 = β p2 × σ M2
Behelyettesítve: σ K2 = 0,692 2 × 0,25 2 = 0,029929 ≈ 0,03
Ezek után a nem szisztematikus hiba meghatározható a portfolió varianciájának és a szisztematikus szórásnégyzetnek a segítségével: σ B2 = σ 2p − σ K2
Vagyis: σ B2 = 0,0608 − 0,03 = 0,0308 σ B = 0,1755 19
Vagyis a portfolióra jellemző nem szisztematikus kockázat 17,55%. 18. feladat Az alábbi táblázat egy összesen három részvényt tartalmazó pénzügyi piacon forgó részvények legfontosabb adatait tartalmazza (az egyfaktoros indexmodell érvényes): Részvény
Piaci érték
Béta
A B C
3000 1940 1360
1,0 0,2 1,7
Átlagos kockázati prémium 10% 2% 17%
Kockázat (szórás) 40% 30% 50%
Az egyetlen azonosított gazdasági faktor tökéletesen korrelál a piaci értékkel súlyozott tőzsdeindexszel. A piaci portfolió szórása 25%. Mekkora az indexportfolió átlagos kockázati prémiuma? Mekkora a részvények és az index közötti kovariancia? Hogyan alakul a B részvény esetében a szisztematikus és vállalatspecifikus variancia? Megoldás: Az indexportfolió átlagos kockázati prémiuma meghatározható az alábbi képlet segítségével:
[
]
E (rA ) − r f = rM − r f × β A
Az A részvény esetében az egyenlőség bal oldalán lévő részvényre jellemző átlagos kockázati prémium 10%. A képlet alkalmazásával a jobb oldalon elhelyezkedő zárójeles tag értékét keressük. Legyen [rM–rf]=x! Behelyettesítve: 10% = x × 1 x = 10%
A B részvény esetében ugyanezen egyenlőségre 2%=x×0,2%, a C részvénynél pedig 17%=x×1,7% adódik. Így x=10%, vagyis az indexportfolió átlagos kockázati prémiuma 10%. Két részvény hozamalakulása közötti kovariancia meghatározásának általános képlete:
(
)
COV ri ; r j = β i × β j × σ M2 .
Részvény és a piaci index közötti kovariancia az alábbi képlet segítségével határozható meg, mivel a piaci portfolió bétája minden esetben egységnyi: COV (ri ; rM ) = β i × σ M2
A behelyettesítések eredményei:
20
COV (rA ; rM ) = β A × σ M2 = 1× 0,252 = 0,0625
COV (rB ; rM ) = β B × σ M2 = 0,2 × 0,252 = 0,0125
COV (rc ; rM ) = β C × σ M2 = 1,7 × 0,252 = 0,10625
A következő feladatrész megoldásához szükséges az alábbi képlet: R2 =
β i2 × σ M2 . β i2 × σ M2 + σ (2e ) i
A jobboldali tényező nevezője nem más, mint a részvényre jellemző variancia. A részvényekre vonatkozó teljes variancia felírható tehát az alábbi módon, ahol a részvény bétájának és a piacira jellemző varianciának a szorzata adja a szisztematikus komponenst, a fennmaradó rész pedig a vállalatspecifikus szórásnégyzet: σ i2 = β i2 × σ M2 + σ (2e ) . i
A B részvény esetében a behelyettesítés eredménye: 0,32 = 0,2 2 × 0,252 + σ (2e B )
σ (2e ) = 0,0875 B
σ (e ) = 0,2958 B
A vállalatspecifikus szórás (kockázat) tehát a B részvény esetében 29,58%. A szisztematikus szórás is könnyedén meghatározható a fenti képlet segítségével, hiszen a formula egyszerű felbontása révén adódik, hogy: σ K2 = β i2 × σ M2 . i
A behelyettesítés révén az alábbiak állnak elő: σ K2 = 0,2 2 × 0,252 σ K = 0,05
A B részvény esetében a szisztematikus kockázat (szórás) 5%, a vállalatspecifikus szórás pedig 29,58%. 19. feladat Az A és B részvényekre vonatkozóan az elemzők karakterisztikus egyeneseket határoztak meg az indexmodell segítségével. A vizsgálat az alábbi eredményekkel zárult: Részvény A B
Alfa 2% 4%
Béta 0,65 1,1
21
R2 0,15 0,30
Ismert továbbá, hogy a piac varianciája 25%. A kérdések az alábbiak: a.) Mekkora az egyes részvények szórása? b.) Hogyan alakul az egyes részvények esetében a szisztematikus és a vállalatspecifikus variancia? c.) Mekkora a két részvény kovarianciája és korrelációs együtthatója? d.) Mekkora a kovariancia az egyes részvények és a piaci index között? Megoldás: a.) Ismert az alábbi képlet, amely a piaci index és a kérdéses részvény hozamalakulása közötti kovarianciát határozza meg: β i2 × σ M2 β i2 × σ M2 + σ (2e )
R2 =
i
Észre kell venni, hogy a jobb oldali tényező nevezőjében a korábban a részvény varianciájának meghatározására szolgáló formula található, tehát a teljes képlet felírható az alábbi módon is: R2 =
β i2 × σ M2 σ i2
A képletet átalakítva a részvény varianciájára az alábbi forma áll elő, majd behelyettesítés után megkapjuk a részvények szórásnégyzetét: σ i2
=
β i2 × σ M2
R2 0,652 × 0,25 σ A2 = 0,15
σ A2 = 0,7042 σ A = 0,8392
Ugyanez a B részvény esetében: σ B2
1,12 × 0,25 = 0,30
σ B2 = 1,0083 σ B = 1,0041
Az A részvény kockázata tehát 83,92%, a B részvényé pedig 100,41%. b.) Ismert már, hogy az egyes részvényekre jellemző variancia – a szisztematikus és vállalatspecifikus szórásnégyzet összegeként – felírható az alábbi módon: σ i2 = β i2 × σ M2 + σ (2e ) i
Ebből a vállalatspecifikus variancia az A részvényre: 22
σ (2e ) = σ A2 − β A2 × σ M2 i
σ (2e A )
= 0,7042 − 0,652 × 0,25
σ (2e ) = 0,5986 A
Ugyanez a B részvény esetében: σ (2e ) = 1,0083 − 1,12 × 0,25 B
σ (2e B )
= 0,7058
A vállalatspecifikus szórásnégyzet tehát az A részvényre 0,5986, a B részvényre pedig 0,7058. A korábbiakból már ismert a szisztematikus szórásnégyzet meghatározása (egyébként egyszerű kivonással is meghatározható lenne, hiszen a szisztematikus variancia a részvényre jellemző szórásnégyzet és a vállalatspecifikus szórásnégyzet különbsége, s immár minden szükséges adat a rendelkezésünkre áll): σ K2 = β i2 × σ M2 i
Behelyettesítéssel az A részvény szisztematikus szórásnégyzetére 0,105625, a B részvényére pedig 0,3025 adódik. A szisztematikus szórásnégyzet meghatározására egyébként a rendelkezésre álló adatok ismeretében egy másik megoldási lehetőség is adódik. A már ismert képlet átalakításával kifejezhetővé válik a keresett adat: β i2 × σ M2 R = 2 β i × σ M2 + σ (2e ) 2
i
β i2
× σ M2 σ i2
R2 =
R2 =
σ i2 − σ (2e ) i
σ i2 σ (2ei ) 2 R = 1− 2 σi 2 σ (e ) R 2 + 2i = 1 σi σ (2ei ) = 1 − R2 2 σi σ (2ei ) = 1 − R 2 × σ i2
(
)
A végül előállt formulával már szintén meghatározható a szisztematikus szórásnégyzet. A behelyettesítések eredménye az A részvény esetében:
23
σ (2e ) = (1 − 0,15) × 0,7042 A
σ (2e A )
= 0,5986
Ugyanez a B részvény esetében: σ (2e ) = (1 − 0,3) × 1,0083 B
σ (2e B )
= 0,7058
c.) A két részvény kovarianciája meghatározható az alábbi képlet segítségével:
(
)
COV ri ; r j = β i × β j × σ M2 .
A behelyettesítés eredménye: COV (rA ; rB ) = 0,65 × 1,1 × 0,25 = 0,1788
A kapott eredmény segítségével megadható a részvényekre jellemző korrelációs együttható értéke is: rAB =
COV (rA ; rB ) σ A ×σ B
0,1788 0,8392 × 1,0041 = 0,2122
rAB = rAB
A két értékpapír együttmozgását jellemző kovariancia értéke tehát 0,1788, a korrelációs együttható mértéke pedig 0,2122. d.) A szükséges képlet: βi =
COV (ri ; rM )
σ M2
.
Ebből a piaci index és az egyes részvény közötti kovariancia mértéke: COV (ri ; rM ) = β i × σ M2
Az A részvényre vonatkozóan: COV (rA ; rM ) = 0,65 × 0,25 COV (rA ; rM ) = 0,1625
A B részvényre vonatkozóan pedig:
24
COV (rB ; rM ) = 1,1× 0,25 COV (rB ; rM ) = 0,275
Az egyes részvények és a piaci index együttmozgását jellemző kovariancia az A részvényre vonatkozóan 0,1625, míg a B részvény esetében 0,275. 20. feladat Egy piac összesen két részvényből áll. Ismert, hogy az A részvény árfolyamértéke kétszeresen haladja meg a B részvény piaci árfolyamértékét. Ismert továbbá, hogy az A részvény kockázati prémiumának szórása 30%, míg ugyanez az adat a B részvény esetében 50%. A kockázati prémiumok közötti korrelációs együttható értéke 0,7. Kérdések: a.) Mekkora a piaci indexportfolió szórása? b.) Mekkora az egyes részvények bétája? c.) Mekkora az egyes részvények reziduális varianciája? d.) Ha a CAPM-modell fennáll, és az A részvény esetében a kockázatmentes hozamon felül várható prémium 11%, mekkora lesz a piaci portfolió kockázati prémiuma? Megoldás: a.) A szórás (kockázat) meghatározásához szükségesek a súlyok. Az alapadatok alapján felírható, hogy WA=2/3, és WB=1/3. A portfolió szórása felírható az alábbi módon: σ p = W A2 × σ A2 + W B2 × σ B2 + 2 × W A × WB × σ A × σ B × ρ AB .
A behelyettesítés révén: 2
2
⎛2⎞ ⎛1⎞ ⎛ 2⎞ ⎛1⎞ σ p = ⎜ ⎟ × 0,3 2 + ⎜ ⎟ × 0,5 2 + 2 × ⎜ ⎟ × ⎜ ⎟ × 0,3 × 0,5 × 0,7 ⎝3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 3⎠
σ p = 0,114444
.
σ p = 0,3383
A portfolió szórására tehát 33,83% adódott eredményként, varianciája pedig 0,114444. b.) A részvényekre jellemző béták meghatározhatók az alábbi képlet segítségével: βi =
COV (ri ; rM )
σ M2
A fenti képlet nevezőjében a piacra jellemző variancia található, azonban a feladat szövegezése szerint a szóban forgó értékpapírpiac a nevezett két részvényből épül fel, tehát a formula az alábbi módon is felírható: βi =
COV (ri ; rM )
σ 2p
25
.
A számlálóban lévő tényezők, vagyis a piaci portfolió és az egyes részvények kockázati prémiumának együttmozgását jellemző kovariancia-adatok nem ismertek, így először ezeket kell meghatározni. Felírhatók az alábbi képletek: COV (rA ; rM ) = W A × σ A2 + W B × σ A × σ B × ρ AB
COV (rB ; rM ) = W B × σ B2 + W A × σ A × σ B × ρ AB
A behelyettesítések révén előállnak a keresett kovariancia-adatok: COV (rA ; rM ) =
2 1 × 0,3 2 + × 0,3 × 0,5 × 0,7 = 0,095 3 3 1 2 COV (rA ; rM ) = × 0,5 2 + × 0,3 × 0,5 × 0,7 = 0,1533 3 3
Az imént meghatározott (és átalakított) képlet segítségével az egyes részvényekre jellemző béták: 0,095 = 0,8301 0,114444 0,1533 = 1,3395 βB = 0,114444
βA =
Az A részvény bétája tehát 0,8301, a B részvényé pedig 1,3395. Ezek szerint az A részvény csökkenti, B részvény pedig növeli a kockázatot. c.) A részvények varianciáját felbonthatjuk szisztematikus és vállalatspecifikus (vagyis nem magyarázott, azaz reziduális) részre az alábbi képlet segítségével: σ i2 = β i2 × σ M2 + σ (2e ) i
Természetesen, mivel a jellemzett piac a fenti két részvényből épül fel, itt is alkalmazható az az egyszerűsítés, amely a piacra jellemző variancia helyett a portfolió szórásnégyzetét szerepelteti: σ i2 = β i2 × σ 2p + σ (2e ) i
Mivel a keresett adaton kívül minden ismert, egyszerű átrendezéssel és behelyettesítéssel megkapjuk a keresett reziduális (vagyis vállalatspecifikus) szórást: σ (e ) = σ A2 − β A2 × σ 2p = 0,3 2 − 0,83012 × 0,3383 2 = 0,1055 A
σ (e ) = σ B2 − β B2 × σ 2p = 0,5 2 − 1,3395 2 × 0,3383 2 = 0,2113 B
Az A részvény esetében számított nem magyarázott szórás tehát 10,55%, míg ez a B részvény esetében 21,13%. 26
d.) Az alapfeltételekből adódik, hogy alfával nem kell számolni, így az alábbi egyenlőségből akár el is lehetne hagyni:
[
]
E (rA ) − r f = α + β A × E (rm ) − r f + ei
Az egyenlet bal oldala az A részvény esetében a feladat szövegében megadott 11%-os mértékű (kockázatmentes hozamon felüli) kockázati prémium. Az A részvény bétája ismert, így a jobb oldalon álló zárójeles tényező (vagyis a feladatban keresett, a portfolióra jellemző kockázati prémium könnyedén meghatározható. Behelyettesítve:
[
11% = 0,8301 × E (rm ) − r f
]
E (rm ) − r f =
11 0,8301 E (rm ) − r f = 13,2514
A portfolióra becsült (kockázatmentes hozamon felüli) kockázati prémium tehát 13,2514%. 21. feladat Értékpapír-piaci szakértők egy részvény bétájára vonatkozó becslést készítettek, s végül 1,24-os eredményt kaptak. a.) A fenti adat ismeretében hogyan fog alakulni a részvény korrigált bétája? b.) Ha a béták időbeli alakulását közelíteni hivatott regressziós egyenes az alábbi egyenlettel írható le: β t = 0,3 + 0,7 × β t −1 .
Ennek ismeretében hogyan alakulna a következő időszakra vonatkozó becsült béta értéke? Megoldás: a.) A korrigált béta meghatározásához szükséges képlet: 2 3
1 3
β korr = × β i + ,
vagyis a korrigált béta a becsült érték kétharmadának egyharmaddal történő növelése révén áll elő. A példa esetében: 2 3
β korr = × 1,24 +
1 = 1,16 3
b.) A regressziós egyenletbe való egyszerű behelyettesítés révén megkaphatjuk a következő időszakra vonatkozó béta becslését: β t = 0,3 + 0,7 × 1,16 = 1,112 .
27
22. feladat Az A és B részvényekre vonatkozó legfontosabb információkat az alábbi táblázat foglalja össze: Részvény A B Piac (S&P) Kockázatmentes hozam
Várható hozam 11% 14% 12% 6%
Kockázat 10% 11%
Béta 0,8 1,5
a.) Egy jól diverzifikált portfolió esetében lenne-e helye a befektetésben bármelyik részvénynek is? b.) Ha a befektetés kincstárjegyben, illetve ezen két részvény valamelyikében lenne denominálva, melyiket lenne érdemes választani? Megoldás: a.) Az alfa paraméter meghatározásához szükséges képlet a következő: α i = β i × [E (rM ) − r f ] − [E (ri ) − r f ] + ei
Az A részvény esetében a behelyettesítés az alábbi eredményt hozza: α A = 0,8 × (12 − 6) − (11 − 6) = −0,2
A B részvény esetében a behelyettesítés eredményeként αB=1. Ezek szerint a B részvény alulértékelt, tehát ezt érdemes beválogatni a portfolióba. b.) A kérdést a Sharpe-mutató maximálása segítségével lehet megválaszolni. A mutató már ismert képlete: S=
E (ri ) − r f
σi
.
A mutató értéke az A részvény esetében az alábbi módon alakul: S=
11 − 6 = 0,5 10
Hasonló módon képezve a B részvény esetében S=0,7273. Ezek szerint a B részvényt lenne érdemes egy kockázatmentes instrumentum mellett szerepeltetni a portfolióban. 23. feladat Egy gazdasági rendszerben két faktor került azonosításra: az ipari termelés növekedési üteme (IP), illetve az inflációs ráta (IR). A két változóra vonatkozó előrejelzések szerint várhatóan IP=4%, illetve IR=6%. Adott egy olyan A részvény, amelynek az IP-re vonatkozó bétája 1,0, s az IR-re vonatkozó bétája pedig 0,4. A jelenlegi várakozások a papír 14%-os hozamot biztosít. Ha az ipari termelés tényleges növekedési üteme 5%, az infláció 7%, hogyan módosítanák a folyamatok a részvény hozamára vonatkozó becslést? Megoldás: 28
A feladat megoldása az arbitrált árfolyamok elméletének (APT) témakörébe tartozik. Az elmélet szerint a részvények hozamára egy, vagy (a kevésbé leegyszerűsítő modellek szerint) több szisztematikus tényező (faktor) van hatással. A részvények árfolyamára számtalan tényező lehet hatással: konjunktúraciklusok, kamatláb-ingadozások, infláció, olajárak változása, stb. Az APT többfaktoros modelljére van szükség, ha ezen tényezők mindegyikét (vagy közülük legalábbis egynél többet) szeretnénk figyelembe venni. A feladat megoldásához szükséges kétfaktoros modell az alábbi módon alakul: ri = E (ri ) + β i1 × F1 + β i 2 × F2 + ei ,
ahol az egyik faktor az ipari termelés növekedési üteme (vagyis változása), a másik pedig a nem várt infláció rátája (amely a várt – és megadott – inflációs adat, illetve a tényadat eltéréseként azonosítható), ri pedig a részvény várható hozama a magyarázó faktorok módosulása után. Fontos feltételezés, hogy az ei nem szisztematikus (vállalatspecifikus) hozamok korrelálatlanok egymással is, illetve a közös faktorokkal is. A részvény hozamára a behelyettesítés után az alábbi eredmény adódik: rA = 14 + 1 × (5 − 4 ) + 0,4 × (7 − 6 ) = 15,4 .
A módosult makrogazdasági adatok mellett az A részvény várható hozama 15,4% lesz. 24. feladat Tegyük fel, hogy két független gazdasági faktor létezik, ezek F1 és F2. A kockázatmentes kamatláb 7%. Az összes részvénynek független vállalatspecifikus komponense van. A jól diverzifikált portfoliók az alábbi módon jellemezhetők: Portfolió A B
F1 bétája 1,8 2,0
F2 bétája 2,1 -0,5
Várható hozam 40% 10%
Hogyan alakul a várható hozam/béta összefüggés a megadott adatok alapján? Megoldás: A keresett egyenletek az alábbi módon írhatók fel: rA = 40 + 1,8 × F1 + 2,1 × F2 + e A rB = 10 + 2 × F1 − 0,5 × F2 + eB
25. feladat Egy egyfaktoros gazdaságra vonatkozóan – amelyben minden portfolió jól diverzifikált –az alábbi hozamtáblázat írható fel: Portfolió A F
E(r) 10% 4%
29
Béta 1 0
Ha az E portfolió is jól diverzifikált, s bétája 0,6667, várható hozama pedig 9%. Fennállhat-e arbitrázs lehetősége, s ha igen, milyen stratégiát kell követni? Megoldás: A megoldáshoz elsőként fel kell rajzolni a két portfolió (A és F) által meghatározott értékpapír-piaci egyenest, amely a várható hozam/béta kapcsolatokat mutatja be. A várható hozam/béta kapcsolatot a kockázatvállalást és annak díjazását leíró egyenletként értelmezhetjük:
10% 8% 4%
β 0
0,6667
1
Ha az A és F portfoliók felhasználásával szeretnénk olyan portfoliót összeállítani, amelynek bétája megegyezik az alternatív E portfolió bétájával, a hozamadatok megfelelő átsúlyozásával előállítható lesz az a portfolió, amely már összehasonlítható lesz az E portfolióval. A súlyozás az alábbi módon alakul: 0,6667 × 10 + 0,3333 × 4 = 8 .
Az így előállított portfolió várható hozama tehát 8%. Mivel az elérhető E portfolió esetében 0,6667-es bétához magasabb (9%-os) hozam tartozik, az E portfolió a tőkepiaci egyenes felett helyezkedik el, s így – mivel nem esik az egyenest meghatározó ponthalmazba – arbitrázsra nyílik lehetőség. Az alulértékelt E portfolióból veszünk, s rövidre kell eladni 0,3333 egységnyi F-et, illetve 0,6667 egységnyi A-t. Természetesen fordított esetben is lehetséges volna az arbitrázs-technikák alkalmazása: ekkor az alternatív portfolió pontja az egyenes alatt helyezkedne el. Ebben a helyzetben a felülértékelt E portfoliót adnánk el rövidre, s a két másik portfolióból vásárolnánk. 26. feladat Egy többtényezős APT-modell legfontosabb adatai az alábbi táblázatban vannak összefoglalva: Faktor
A faktor bétája
30
A faktor kockázati
Infláció Ipari termelés Olajárak
prémiuma 6% 8% 3%
1,2 0,5 0,3
Ismert továbbá, hogy a kincstárjegy 6%-os hozamot biztosít. Az alábbi táblázatban további adatok kerültek összefoglalásra. Az első oszlop a piac által becsült értékeket, míg a második oszlopa a ténylegesen bekövetkezett értékeket tartalmazza: Faktor Infláció Ipari termelés Olajárak
A változás várható üteme 5% 3% 2%
A változás tényleges üteme 4% 6% 0%
a.) Milyen lesz a részvény elvárt hozama, ha a piac a részvények árfolyamát méltányosnak tartja? b.) Hogyan fognak alakulni a részvény hozamára vonatkozó új várakozások a nyilvánosságra kerülő nem várt változások hatására? Megoldás: a.) A megoldáshoz az alábbi képlet alkalmazása szükséges:
[
]
E (r ) = r f + β i × E (ri ) − r f .
A formula általános alak, vagyis egynél több faktor esetére is alkalmazható. A jobb oldalon álló zárójeles tag az alapadatok között is szereplő (az egyes faktorokra értelmezett) kockázati prémiumot tartalmazza. Mindezek alapján a behelyettesítés: E (r ) = 6 + 1,2 × 6 + 0,5 × 8 + 0,3 × 3 = 18,1 .
Ezek alapján a részvényre vonatkozó várható hozam 18,1% lesz. b.) A korábbi várt adathoz képest bekövetkező változás meghatározására az alábbi képletet lehet felírni: ∆E (r ) = E (r ) + β i × Fi .
Mivel korábban az APT-modellben a faktorokat valamely tényező változásaként értelmeztük, az egyenlet jobb oldalán faktorok gyanánt ezen változási adatokat szerepeltetjük. Az egyenlet felépítéséből látható, hogy a változás és a régi várakozások együttesen fogják meghatározni a hozamra vonatkozó újabb várakozásokat. A behelyettesítés az alábbi módon végezhető el: ∆E (r ) = 18,1 + 1,2 × (5 − 4 ) + 0,5 × (3 − 6 ) + 0,3 × (2 − 0 ) = 18,4 .
A részvény új várható hozama 18,4% lesz.
31
27. feladat Egy képzeletbeli piacon a szisztematikus kockázatnak három forrása van, amelyek kockázati prémiumokkal való összefüggését az alábbi táblázat foglalja össze: Faktor
A változás várható üteme 6% 2% 2%
Ipari termelés (I) Kamatlábak (R) Fogyasztók bizalma (C)
Ismert továbbá, hogy egy részvény hozamát a következő egyenlet segítségével lehet felírni: r = 15% + 1,01 × I + 0,5 × R + 0,75 × C + e .
Hogyan lehet meghatározni a kérdéses részvény egyensúlyi hozamát az APT-modell segítségével, ha a kincstárjegy hozama 6%. A részvény egyébként alul- vagy felülárazott? Megoldás: A szükséges képlet az alábbi:
[
]
E (r ) = r f + β i × E (ri ) − r f .
A részvényre vonatkozó hozamképletből kinyerhetők az egyes faktorok bétái. A behelyettesítés révén adódik, hogy: E (r ) = 6 + 1,01 × 6 + 0,5 × 2 + 0,75 × 2 = 14,56 .
Az egyensúlyi várható hozam tehát 14,56%. A megadott hozamképlet alapján azonban E(r)=15%, a részvény tehát alulértékelt. 28. feladat Három részvényre vonatkozóan az alábbi adatok ismertek: Részvény
Alfa
A B C
5% -2% 3%
Béta 1,5 1,0 0,5
Véletlen szórás 40% 30% 20%
Ha úgy gondoljuk, hogy nem hatékonyak a piacok, milyen legyen az aktív portfolió aránya? Megoldás: A piaci portfolió hozama, a kockázatmentes hozam, illetve a piaci portfolió szórása segítségével kiszámolható a Sharpe-mutató értéke: S=
E (rP ) − r f
σP
=
0,25 − 0,12 = 0,6500 0,2
32
Ha sikerül egy megfelelően összeállított aktív portfoliót a kezelt portfolióba illeszteni, a Sharpe-mutató új értéke ennél mindenképpen magasabb lesz (ennek révén ellenőrizhetjük is a műveletek sikerét). Elsőként meg kell határozni az egyes részvények relatív varianciáját, amelyhez az alábbi képlet szükséges: αk
σ 2 (ek )
A számlálóban az egyes részvényekre jellemző alfa-értékek, a nevezőben pedig az egyes részvények nem szisztematikus varianciája (vagyis a vállalatspecifikus – véletlen – szórások négyzete) szerepel. Az A részvény esetében például: 0,05 = 0,3125 0,4 2
Hasonló módon behelyettesítve a B részvény relatív varianciájára -0,2222, a C részvényére pedig 0,7500 adódik eredményül. Ezen adatok alapján ezek után olyan arányokat kell képeznünk, amelyek megmutatják, hogy az egyes részvények relatív varianciája hogyan aránylik a három részvény összesített relatív varianciájához (illetve milyen súlyt képvisel azon belül). Első lépésként összegezni kell az egyes részvények relatív varianciáját, amelyre 0,3125 − 0,2222 + 0,7500 = 0,8403
adódik eredményül. Az arányok meghatározásához ezen összeggel kell elosztani az egyes részvényekre jellemző relatív varianciát. A művelet az alábbi képlet segítségével írható le: αk
σ 2 (ek ) Wk = n α ∑ σ 2 (ke ) k =1 k
Az A részvény esetében például a fenti képlet segítségével a kérdéses arányra WA =
0,3125 = 0,3719 0,8403
adódik eredményül. Ehhez hasonlóan a B részvény (relatív szórásösszegen belüli) aránya tehát -0,2644, a C részvény arányszáma pedig 0,8925 lesz. Természetesen az egyes arányszámokat összegezve eredményül 1,0 adódik. A negatív arányszám egyébként azt jelenti, hogy a kérdéses részvényt rövidre el kell adnunk. Következő lépésként ki kell számolni az egyes részvények abnormális (súlyozott) hozamát, amelyet az alfa paraméterek, illetve az előbbiek során meghatározott (relatív variancia-összegen belüli) arányok segítségével végezhetünk el. Erre azért van szükség, hogy meghatározható legyen az aktív portfolió alfája, amely természetesen az egyes 33
részvények alfájától, illetve azok aktív portfolión belüli arányától függ (utóbbi adat áll rendelkezésünkre a relatív variancia-összegen belüli arányszámok alakjában). Az A részvény (súlyozott) abnormális hozamára például 0,05 × 0,3719 = 0,0186 ,
vagyis 1,86% adódik eredményül. Hasonló módon számolva a B részvény abnormális hozamára 0,53%, a C részvényére pedig 2,68% adódik eredményül. Ha ezen adatokat összegezzük, előáll az aktív portfolió alfája: α A = 1,86 + 0,53 + 2,68 = 5,07
Az aktív portfolió alfája tehát 5,0700%. Hasonló módon, vagyis súlyozás révén az aktív portfolió bétája is kiszámolható. Ehhez az egyes részvényekre megadott bétákat kell a súlyokkal felszorozni, majd a kapott eredményeket összegezni. Az A részvény esetében például a súlyozott béta 1,5 × 0,3719 = 0,5579 .
Hasonló módon a B részvény esetében -0,2644, a C részvénynél pedig 0,4463 lesz az eredmény. Ezeket összegezve a portfolió bétájára β A = 0,5579 − 0,2644 + 0,4463 = 0,7398
Az aktív portfolió bétája tehát 0,7398. A következő lépés az aktív portfolió nem szisztematikus varianciájának meghatározása. Ebben az esetben is az egyes részvényekre számított adatokból indulunk ki, vagyis az egyes részvények esetében kell négyzetre emelni a súlyarány és a véletlen szórás szorzatát. Az A részvény esetében például a kérdéses adatra 0,3719 2 × 0,4 2 = (0,3719 × 0,4 ) = 0,0221 , 2
vagyis 2,21% adódik eredményül. Hasonló módon elvégezve a számításokat a B részvény kérdéses számadata 0,63%, a C részvényé pedig 3,19% lett. Egyszerű összegzéssel megkapható az aktív piaci portfolióra jellemző nem szisztematikus variancia (szórásnégyzet): σ 2 (e A ) = 2,21 + 0,63 + 3,19 = 6,03 .
Miután meghatároztuk, hogy a kérdéses három részvényből összeállított aktív portfoliónak milyen legyen az összetétele, s hogyan alakul az aktív portfolió alfája, bétája, illetve nem szisztematikus varianciája, szükséges annak tisztázása is, hogy a teljes kezelt portfolión belül milyen részt képviseljen ezen aktív portfolió. Ennek meghatározásához először is ki kell számolni a w0 paraméter értékét az alábbi módon:
34
αA
w0 =
σ 2 (e A )
[E (rM ) − r f ] . σ M2
Behelyettesítve: 5,07 6,03 0,2587 w0 = 25 − 12 20 2
Az eredmény felhasználása előtt szükséges korrekció elvégzése az alábbi módon lehetséges: w* =
w0 . 1 + (1 − β A ) × w0
Behelyettesítve: w* =
0,2587 = 0,2424 1 + (1 − 0,7398) × 0,2587
Ezek szerint az aktív portfolió súlya 24,24%, míg a piaci portfolió súlya ennek komplementere, vagyis 100%–24,24%=75,76%. Meghatározható az aktív portfolió hozama is, ehhez az alábbi képletre van szükség:
[
]
rk = r f + β k × E (rM ) − r f + ek + α k
Behelyettesítve: rk = 12 + 0,7398 × (25 − 12) + 5,07 = 26,69%
Az aktív portfolió hozama tehát 26,69%, amelynek segítségével immár a teljes portfolió hozama is meghatározható az egyes komponensek – vagyis a piaci és az aktív – súlyozott számtani átlagaként:
(
( )
)
E r p = w* × rk + 1 − w* × rM .
Behelyettesítve:
( )
E r p = 0,2424 × 26,69 + 0,7576 × 25 = 25,41 .
Az aktív portfolióval kiegészített teljes portfolió várható hozama tehát 25,41%, ami meghaladja a piaci portfolió várható hozamát. 35
Meghatározható az így összeállított portfolió kockázata (szórása) is, az alábbi képlet segítségével:
(
)
σ = w *2 × β A2 × σ M2 + σ (2e ) + (1 − w *)2 × σ M2 + 2 × w * ×(1 − w *) × β A × σ M2 ,
ahol σM a piaci kockázat. Behelyettesítve 19,66% adódik eredményként. Ellenőrzésként meg lehet vizsgálni, hogy a fentiekben összeállított portfolióra jellemző Sharpe-mutató milyen értéket vesz fel. A már ismert képletbe történő behelyettesítés révén: S=
25,41 − 12 = 0,682 19,66
Az aktív portfolióval kiegészített portfolió Sharpe-mutatója tehát magasabb, mint a kezdeti érték volt, vagyis adott kockázathoz az új portfolió révén immár magasabb kockázati prémium tartozik. A feladat Excel segítségével is megoldható. Az alábbiakban egy olyan lehetséges táblázat látható, amely tartalmazza az összes alapadatot, s a beírt képletek segítségével a keresett értékek is előállnak:
A kiinduláskori Sharpe-mutató meghatározásához használt képlet: =KEREK((B1-B3)/B2;4) 36
Az egyes részvények relatív varianciájának kiszámításához szükséges függvények sorrendben: =KEREK(B7/D7^2;4) =KEREK(B8/D8^2;4) =(KEREK(B9/D9^2;4))
Az arányok meghatározásához szükséges képletek a megfelelő sorrendben az alábbiak: =KEREK(E7/$E$10;4) =KEREK(E8/$E$10;4) =KEREK(E9/$E$10;4)
Az abnormális hozamok meghatározása: =KEREK(F7*B7;4) =KEREK(F8*B8;4) =KEREK(F9*B9;4)
Az aktív portfolió alfájának kiszámítása: =SZUM(G7:G9)
Az egyes részvényekre jellemző súlyozott adatokon keresztül az aktív portfolió bétájának kiszámításához szükséges képletek: =KEREK(F7*C7;4) =KEREK(F8*C8;4) =KEREK(F9*C9;4) =KEREK(SZUM(H7:H9);4)
Az előbbihez hasonló módon, vagyis az egyes részvényekre jellemző egyedi adatok összegzésével hívható elő az aktív portfolió nem szisztematikus varianciája: =KEREK(F7^2*D7^2;4) =KEREK(F8^2*D8^2;4) =KEREK(F9^2*D9^2;4) =SZUM(I7:I9)
Az aktív portfolió súlyarányához szükséges w0 és w* paraméterek meghatározása: =KEREK((G10/I10)/((B1-B3)/B2^2);4) =KEREK(B12/(1+(1-H10)*B12);4)
A teljes portfolión belül a piaci portfolió súlya egyszerűen kiszámítható: =1-G14
Az aktív portfolió hozama: =+G10+B3+(B1-B3)*H10
A teljes, tehát már aktív portfolióval kiegészített portfolió hozama: =G14*H14+G15*H15
A teljes portfolió kockázata pedig az alábbi képlettel határozható meg: =(G14^2*(H10^2*B2^2+I10)+G15^2*B2^2+2*G14*G15*H10*B2^2)^0,5
Végül a módosított portfolióra jellemző Sharpe-mutató: =KEREK((H16-B3)/G17;4) 37
Természetesen szükséges, hogy a cellák formázása megfelelő legyen, vagyis adott helyeken százalékos formájú számok alkalmazása, illetve 4 tizedesre való kerekítés. 29. feladat Két faktorportfolióra vonatkozóan az alábbi makro-előrejelzések ismertek: Eszköz
Elvárt hozam (%)
Szórás
Kincstárjegy M faktorportfolió H faktorportfolió
8% 16% 10%
0% 23% 18%
Két faktorportfolió közti korreláció 0,06
Négy részvényre vonatkozóan ismertek az alábbi táblázatban összefoglalt előrejelzések is: Értékpapír
Elvárt hozam (%)
A B C D
20% 18% 17% 12%
Alfa -1,2000% -3,4000% 2,0000% -4,4000%
Béta az M portfolióra
Béta a H portfolióra
Egyedi szórás (%)
1,2 1,4 0,5 1
1,8 1,1 1,5 0,2
58% 71% 60% 55%
Hogyan fog alakulni annak a portfoliónak az összetétele, amelyben az optimális passzív portfolió mellett aktív portfolió-elem is található? A képzeletbeli befektető kockázatelutasítási indexe A=2,8! Megoldás: A rendelkezésre álló adatok alapján felírható az M faktorportfolió súlyára vonatkozó képlet: wM =
[r
M
]
[r
M
]
[
]
− r f × σ H2 − rH − r f × σ M × σ H × ρ MH
[
]
[
]
− r f × σ H2 + rH − r f × σ M2 − rM + rH − 2 × r f × σ M × σ H × ρ MH
A behelyettesítés után wM =
(0,16 − 0,08) × 0,18 2 − (0,1 − 0,08) × 0,23 × 0,18 × 0,06 (0,16 − 0,08) × 0,18 2 + (0,1 − 0,08) × 0,232 − (0,16 + 0,1 − 2 × 0,08) × 0,23 × 0,18 × 0,06
wM = 0,7474
adódik eredményül, vagyis az M faktorportfolió súlyaránya 74,74%, míg a H faktorportfolió súlyaránya 1–0,7474=0,2526, vagyis 25,26% lesz. Az optimális faktorportfolió várható hozama is kiszámolható a két faktorportfolió hozamainak súlyozott számtani átlagaként:
( )
E r p = 0,7474 × 16 + 0,2526 × 10 = 14,4844 .
38
A már ismert képlettel meghatározható az optimális faktorportfolió szórása is: σ p = wM2 × σ M2 + wH2 × σ H2 + 2 × wM × wH × σ M × σ H × ρ MH
Behelyettesítés után: σ p = 0,74747 2 × 0,23 2 + 0,2526 2 × 0,18 2 + 2 × 0,7474 × 0,2526 × 0,23 × 0,18 × 0,06 σ p = 18,04%
Észre kell venni, hogy ha csak M faktorportfoliónk lenne, a kockázatos elem arányára a már ismert y=
rp − r f
0,01 × A × σ 2p
képlettel a behelyettesítés után y=
0,16 − 0,08 = 54,01 , 0,01 × 2,8 × 0,23 2
vagyis 54,01% adódik eredményül (vagyis ennyi lenne a portfolión belül a kockázatos komponens aránya). A hozam ezen egyfaktoros esetben az M faktorportfolió és a kockázatmentes elem részarányokkal súlyozott hozamaiból tevődik össze:
( )
E r p = 0,5401 × 16 + (1 − 0,5401) × 8 = 12,32 .
Az egyfaktoros (M) portfolió várható hozama tehát 12,32%. Lényegesen módosulnak az adatok, ha már az M és H faktorportfolióból kombinált portfoliót illesztjük a kockázatmentes elem mellé. A kockázatos elem részaránya magasabb lesz az előbbi (egyfaktoros) esetnél: y=
0,1448 − 0,08 = 71,14 . 0,01 × 2,8 × 0,1804 2
A kockázatos elem részaránya tehát csaknem 20 százalékpontnyi mértékben nőtt az egyfaktoros esethez képest. Hasonlóan magasabb lesz az így összeállított portfolió várható hozama is:
( )
E r p = 0,7114 × 14,48 + (1 − 0,7114 ) × 8 = 12,61 ,
vagyis az új portfolió várható hozama 12,61% lesz. Mindennek megfelelően a Sharpemutató értékei is módosulnak a két esetben. Csak M esetében: S=
16 − 8 = 0,3478 . 23 39
Kétfaktoros esetben kedvezőbb az eredmény: S=
14,48 − 8 = 0,3594 . 18,04
Ha az aktív portfolió összetételét szeretnénk meghatározni, a számítás menete teljes egészében megegyezik az egytényezős esetben ismertetett módszerrel (azzal az apró különbséggel, hogy mind az M, mind a H faktorportfolióra létezik ebben az esetben béta paraméter). Először tehát meg kell határozni a relatív szórásokat az αk
σ 2 (ek )
formulával. Az egyes részvényekre kapott értékeket összegezve, s az összeggel az egyes értékeket elosztva, vagyis a αk
Wk =
σ 2 (ek ) n α ∑ σ 2 (ke ) k =1 k
képletet alkalmazva előállnak az aktív portfolión belüli súlyok (a negatív előjel ebben az esetben is rövidre való eladást jelent). Az aktív portfolión belüli súlyokra tehát WA=0,1850, WB=0,3492, WC=-0,2881, és WD=0,7539 adódik eredményül. Ezek összege éppen 1,0. Az aktív portfolió alfája szintén változatlan módon, vagyis az egyes részvények alfájának súlyozott számtani átlagaként adható meg, s eredményül αA=-0,0531 áll elő. Az aktív portfolió véletlen varianciája is a már ismert módon számítható, vagyis az egyes részvényekre kell négyzetre emelni a súlyarány és a véletlen szórás szorzatát. A részletszámítások után az aktív portfolió nem szisztematikus varianciája: σ 2 (e A ) = 0,2748 .
Végezetül mind az M, mind a H faktorportfolióra kiszámolható az aktív portfolió bétája, ha az egyes részvények egyes faktorportfoliókra értelmezett bétáit felszorozzuk az aktív portfolión belüli arányokkal, s a kapott eredményeket – természetesen faktorportfoliónként – összegezzük. A már ismert számítási módszerrel az alábbi táblázat állítható össze: Részvény A B C D Aktív portfolió
Béta M-re Béta H-ra 0,2220 0,4889 -0,1441 0,7539 1,3207
40
0,3330 0,3841 -0,4322 0,1508 0,4358
Miután meghatároztuk az aktív portfolió alapvető jellemzőit, ki kell számolni az aktív portfolió kockázatos portfolióelemen belüli arányát is. Első lépésként az alábbi képlelet kell használni: αA
w0 =
σ 2 (e A )
[E (rM ) − r f ] σ M2
Behelyettesítve: − 0,0531 0,2748 w0 = = −0,0970 , 0,1448 − 0,08 0,1804 2
ahol a nevezőben az optimális passzív portfolió jellemző (számított) adatait kell szerepeltetni. Az előzőekhez hasonlóan a korrekcióra ebben az esetben is szükség van, ám a képlet némileg módosul: w* =
w0 1 + (1 − β M ) × (1 − β H ) × w0
Behelyettesítve: w* =
− 0,097 = −0,0953 1 + (1 − 1,3207 ) × (1 − 0,4358) × −0,097
Ezek szerint az aktív portfoliót rövidre eladni kell. Az aktív portfolió várható hozama kétfaktoros indexmodell segítségével határozható meg:
[
]
[
]
E (rA ) = α + r f + E (rH ) − r f × β H + E (rM ) − r f × β M + ei .
Behelyettesítve: E (rA ) = −5,31 + 8 + (10 − 8) × 0,4358 + (16 − 8) × 1,3207 = 14,1272
Az aktív portfolió hozama tehát hozzávetőlegesen 14,13%. Kiszámolható az aktív portfolió kockázata (szórása) is: σ A = σ 2 (ei ) + β M2 × σ M2 + β H2 × σ H2 .
Behelyettesítve: σ A = 0,2748 + 1,3207 2 × 0,23 2 + 0,4358 2 × 0,18 2 = 0,6109 . 41
Az aktív portfolió kockázata ezek szerint 61,09%. Mivel a kockázatos portfolióelemen belüli arányra az aktív portfolió esetében negatív szám adódott, így az aktív portfoliót rövidre el kell adni. Ezen nem is kell csodálkozni, hiszen mind a várható hozama, mind a kockázata lényegesen kedvezőtlenebb a passzív portfolió hasonló adatainál. Megadható a kockázatos (aktív és passzív komponensből álló) portfolióelem várható hozama is a szokott módon, vagyis a komponensek hozamainak súlyozott számtani átlagaként:
( )
E r p* = −0,095 × 14,13 + 1,095 × 14,48 = 14,52
A kockázatos portfolióelem várható hozama tehát 14,52%. Ki kell számolni még a kockázatos portfolióelem kockázatát is, ám ehhez először szükségünk van a két faktorportfolió hozamai közti kovarianciára is: COV (rM ; rH ) = wM × β M × σ M2 + wH × β H × σ H2 .
Behelyettesítve: COV (rM ; rH ) = 0,7474 × 1,3207 × 0,23 2 + 0,2526 × 0,4358 × 0,18 2 = 0,0558
A szórás meghatározásához szükséges formula: σ *p =
(− 0,095)2 × 0,6109 + 1,095 2 × 0,1804 2 + 2 × (− 0,095) × 1,095 × 0,0558
σ *p = 0,1755
A kockázatos portfolióelem kockázata tehát 17,55%. Most már meghatározható az új Sharpe-mutató is, amelynek értéke: S=
14,52 − 8 = 0,3714 17,55
Mindezek alapján elmondható tehát, hogy ebben az esetben alakult a legkedvezőbben a Sharpe-mutató értéke. Most már csak a teljes portfolión belül kell meghatározni a kockázatos elem súlyát. Az ismert képlettel: y=
rp − r f A×σ
2 p
=
0,1452 − 0,08 = 0,7558 2,8 × 0,1755 2
A teljes portfolión belül a kockázatos elem része 75,58%, a kockázatmentes rész aránya pedig 24,42% lesz. A teljes portfolió várható hozama: 0,7558 × 14,52 + 0,2442 × 8 = 12,93 .
A teljes portfolió várható hozama tehát 12,93% lesz, míg a kockázata: 42
0,7558 × 17,55 = 13,26 .
A teljes portfolió kockázata tehát 13,26% lesz, mivel a számításánál a kockázatmentes résszel nem kell kalkulálni. Mindezek után megadhatók az egyes elemek teljes portfolión belüli arányai is. A kockázatmentes rész aránya tehát 24,42%, az M faktorportfolió súlya WM=0,7558×109,5×0,7474=61,87%. Ehhez hasonlóan a H faktorportfolió súlya WH=0,7558×109,5×0,2526=20,91%. Az egyes részvények esetében a kockázatos elem súlyszámát kell a kockázatos elemen belül az aktív portfolió súlyát megadó számmal szorozni (mind a négy esetben), majd az így kapott szorzatot kell az egyes részvények aktív portfolión belüli súlyát (szorzásként) figyelembe venni. Az egyes részvényekre tehát WA=-1,33%, WB=-2,52%, WC=2,08%, WD=-5,43% (a negatív számok itt is rövid eladást jelentenek). Az arányszámok összege természetesen 100%-ot tesz ki. A feladat Excel segítségével is megoldható, például az alábbi módon:
Egyfaktoros esetben a kockázatos elem súlya, a várható hozam, illetve a Sharpe-mutató: =(B11-B10)/(D21*C11^2) =C23*B11+B10*(1-C23) =KEREK((B11-B10)/C11;4)
Kétfaktoros esetben a kockázatos elem súlya, a várható hozam, illetve a Sharpe-mutató: =(C17-B10)/(D21*D17^2) 43
=D23*C17+B10*(1-D23) =KEREK((C17-B10)/D17;4)
Az optimális passzív portfolió súlyarányai, hozama és kockázata: =((B11-B10)*C12^2-(B12-B10)*D10*C11*C12)/((B11-B10)*C12^2+(B12-B10)*C11^2(B11+B12-2*B10)*D10*C11*C12) =1-B17 =B11*B17+B12*B18 =(B17^2*C11^2+B18^2*C12^2+2*C11*C12*B18*B17*D10)^0,5
Az aktív portfolióban szereplő részvények relatív varianciáinak, majd ezek összegének képletei: =KEREK(C3/F3^2;4) =KEREK(C4/F4^2;4) =KEREK(C5/F5^2;4) =KEREK(C6/F6^2;4) =(SZUM(G3:G6))
Az aktív portfolión belüli arányok: =KEREK(G3/G$7;4) =KEREK(G4/G$7;4) =KEREK(G5/G$7;4) =KEREK(G6/G$7;4)
Az abnormális hozamok, majd az aktív portfolió alfája: =KEREK(H3*C3;4) =KEREK(H4*C4;4) =KEREK(H5*C5;4) =KEREK(H6*C6;4) =SZUM(I3:I6)
A nem szisztematikus variancia részeredményei, majd a véletlen szórásnégyzet: =KEREK(H3^2*F3^2;4) =KEREK(H4^2*F4^2;4) =KEREK(H5^2*F5^2;4) =KEREK(H6^2*F6^2;4) =SZUM(J3:J6)
Az aktív portfolió bétája M-re: =$H3*D3 =$H4*D4 =$H5*D5 =$H6*D6 =SZUM(K3:K6)
Az aktív portfolió bétája H-ra: =$H3*E3 =$H4*E4 =$H5*E5 =$H6*E6 =SZUM(L3:L6) 44
Az aktív portfolióra vonatkozó w0 és w* paraméterek meghatározása: =I7/J7/(C17-B10)*D17^2 =I10/(1+(1-K7)*(1-L7)*I10)
Az aktív portfolió várható hozama és kockázata: =KEREK(I7+B10+K7*(B11-B10)+L7*(B12-B10);4) =(K7^2*C11^2+L7^2*C12^2+J7)^0,5
Az optimális kockázatos elem hozama és kockázata: =I17*H17+I18*H18 =(H17^2*J17^2+H18^2*J18^2+2*H17*H18*J20)^0,5
A kovariancia és a Sharpe-mutató: =K7*B17*C11^2+B18*C12^2*L7 =(I19-B10)/J19
A teljes portfolió súlyai, hozama és szórása: =(I19-B10)/D21/J19^2 =1-G23 =H23*G23+H24*G24 =G23*J19
A teljes portfolión belüli (kockázatmentes, M faktorportfolió, H faktorportfolió, A, B, C, D részvény) súlyok meghatározása: =G24 =G23*H18*B17 =G23*H18*B18 =$G$23*$H$17*H3 =$G$23*$H$17*H4 =$G$23*$H$17*H5 =$G$23*$H$17*H6
30. feladat A P portfolióra vonatkozóan ismert, hogy annak átlagos hozama 35%, bétája 1,2, kockázata 42%, egyedi kockázata 18%. A kockázatmentes kamatláb 6%. Az M piaci portfolió átlagos hozama ezzel szemben 28%. Hogyan alakul a portfolióra jellemző Sharpe-, Treynor-, , Jensen-mutató, illetve az értékelési hányados? Megoldás: a.) Az általános körülmények között használható Sharpe-mutató már ismert képlete: S=
( )
E rp − r f
σp
,
amely a portfolió adott időszaki átlagos kockázati prémiumát vetíti az időszaki hozamok szórására. Lényegében a hozam és a teljes kockázat közötti átváltást méri. A mutató képlete az alábbi formában is megadható: 45
−
S=
−
rp − r f
σp
,
ahol az eltérő jelöléseket az magyarázza, hogy a gyakorlati számítások során a hozamok nem tekinthetők állandónak, vagyis mind a portfolió hozama, mind a kockázatmentes hozam az idővel változik. Ekkor az egyes változók számtani átlagával kell számolni. A behelyettesítés révén adódik, hogy: S=
0,35 − 0,06 = 0,6905 0,42
Ha a befektető preferenciái például a korábban már megismert
( )
U = E r p − 0,005 × A × σ 2p
alakú hasznosságfüggvénnyel (vagy más hozam-variancia hasznossági függvénnyel) jellemezhetők, akkor a kérdéses befektető a birtokolt portfolió révén a Sharpe-mutatót akarja majd maximalizálni. b.) A Treynor-mutató képlete: −
Tp =
−
rp−r f
βp
,
amely a Sharpe-mutatótól csak a nevezőjében tér el. A Treynor-mutató – a Sharpemutatóhoz hasonlóan – a kockázat egységére jutó kockázati prémiumot méri, ám az összes kockázat helyett csak a piaci kockázatot veszi figyelembe. A behelyettesítés révén adódik, hogy: Tp =
0,35 − 0,06 = 0,2417 . 1,2
Ha egy vizsgált befektetési instrumentum egy nagyobb befektetési portfolió része, s ha az eszköz a teljes alap teljesítményéhez való hozzájárulását akarjuk mérni, akkor a Treynormutatót érdemes használni. Ekkor a várható hozamtöbbletet (a számlálót) a szisztematikus kockázatra kell vetíteni – amely bétával kerül számszerűsítésre –, nem pedig az összes diverzifikálható kockázatra (amelynek a szórás a mérőszáma). Mivel a piaci indexportfolió bétája egységnyi, ennek Treynor-mutatója meg fog egyezni a piaci és a kockázatmentes hozam különbségével (vagyis a számláló értékével). c.) A Jensen-mutató képlete: α p = rp − [r f + β p × (rM − r f )] ,
amellyel az abnormális hozam mérhető. Másként: a portfolió bétájának és az átlagos piaci hozamnak az ismeretében azt méri, hogy a portfolió hozama mennyivel több, vagy kevesebb, mint amennyi a CAPM-modell alapján várható lenne. A Jensen-mutató a 46
portfolió alfája. Ha a portfolió megfelelően van árazva, a Jensen-mutató (vagyis a portfolió alfájának) értéke zérus. Behelyettesítve: α p = 0,35 − [0,06 + 1,2 × (0,28 − 0,06)] = 2,6%
d.) Az értékesítési hányados akkor használandó, ha optimális aktív portfoliót szeretnénk összeállítani több értékpapír felhasználásával. A hányados képlete: AR p =
αp , σ (e p )
vagyis a portfolióra jellemző abnormális hozamot kell elosztani a portfolió nem szisztematikus (egyedi) kockázatával. Az értékelési hányados annak a kockázatnak az egységére jutó rendkívüli hozamot méri, amelyet elvileg diverzifikációval meg lehetne szüntetni, ha a piaci indexportfolióval rendelkeznénk. Behelyettesítve: AR p =
0,026 = 0,1444 . 0,18
Ha a befektető portfoliója egy (P) aktív portfolió, amelyet passzív piaci indexportfolióval (M) kombinál, az értékelési hányados lesz a P portfolió teljesítményének hatékony mutatószáma. Az értékelési hányados nevezőjében az aktív portfolió passzív portfolióhoz képest számított rendkívüli hozama kerül, a nevező pedig – ahogy láttuk – a diverzifikációval megszüntethető kockázat. A mutató arra világít rá, hogy az egész összetett portfolió Sharpe-mutatója mennyivel növekszik a P portfolió hozzáadásának köszönhetően. A feladat Excel segítségével is megoldható. A mutatók számolásához összeállított lehetséges táblázat az alábbiak szerint alakul:
47
A használt függvények sorrendben a következők voltak: =(B2-B6)/B4 =(B2-B6)/B3 =B2-(B6+B3*(C2-B6)) =B10/B5
48
