Mintavételezés és visszaállítás 6. MINTAVÉTELEZÉS ÉS VISSZAÁLLÍTÁS
6.1 A matematikai mintavételezés Mielőtt belekezdtünk a diszkrét idejű rendszerek tárgyalásába illett volna azzal a kérdéssel foglalkozni, hogy a mintavételezéssel előállított diszkrét idejű jelből veszteség mentesen visszaállítható-e vajon a folytonos idejű jel? A választ sejtjük: igen. Az alábbiakban a veszteségmentes visszaállítás feltételeit kívánjuk tisztázni. Az alcímben szereplő „matematikai” jelző arra utal, hogy a valóságos rendszerek az alábbiakban tárgyalt rendszertől praktikus okokból eltérnek. Mint látni fogjuk, a valóságos rendszer áramkörei az idealizált áramköröket tetszőleges pontossággal meg tudják közelíteni annyira, amíg az eltérés elhanyagolhatóvá válik és így a visszaállítás majdnem tökéletes. Legyen a matematikai mintavételezés folytonos idejű mintavevő függvénye a Diracdelta függvényekből előállított periodikus s(t) függvény: s (t ) =
+∞
∑ δ (t − nT )
(6.1)
n = −∞
A Dirac-delta függvény pontot, amikor az argumentuma integrálja egységnyi. ⎧0 δ (t ) = ⎨ ⎩∞ +∞
∫
Folytonos f(t)-re:
az egész értelmezési tartományán zérus, kivéve egyetlen zérus. Itt a függvény értéke végtelen nagy, de úgy, hogy az ha t ≠ 0 ha t = 0
f (t )δ (t − t0 )dt =
−∞
+∞
∫ δ (t )dt = 1
és
(6.2)
−∞
+∞
∫ f (t )δ (t − t )dt = f (t ) 0
0
(6.3)
0
−∞
Az x(t) folytonos idejű jel matematikai mintavételezésén az alábbi eljárást értjük: +∞
x∗ (t ) = x(t )s ∗ (t ) = x(t ) ∑ δ (t − nT )
(6.4)
n = −∞
Ez a folytonos idejű jel annyiban „diszkrét idejű”, hogy az idő nagy részében zérus értékű, kivéve a mintavételi időköz egészszámú többszöröseinél, amikor:
x(t ) t = nT = x(nT ) = xn . +∞
x ∗ (t ) = x (t ) ∑ δ (t − nT ) =
Ezzel:
n = −∞
+∞
∑ x δ (t − nT )
n = −∞
(6.4)
n
Ez egy folytonos idejű jel, melynek a spektrumát a Fourier integrál adja: +∞
{ } ∫ x (t )e
X ∗ (ω ) = F x∗ (t ) =
∗
− jωt
+∞ +∞
dt = ∫
∑ x δ (t − nT )e
−ℵn = −∞
−ℵ
n
− jωt
dt
Az integrálás és az összegzés sorrendjét felcserélve: +∞
{ } ∫ x (t )e
X (ω ) = F x (t ) = ∗
∗
−ℵ
∗
− jωt
dt =
+∞
+∞
∑ xn ∫ δ (t − nT )e− jωt dt =
n = −∞
−ℵ
1-13
+∞
∑x e
n = −∞
n
− jωnT
(6.5)
Mintavételezés és visszaállítás A (6.5)-ben a diszkrét idejű sorozat DTFT-jét ismerjük fel, amit egy Fourier integrál kiszámításával kaptunk. A jelek reprezentációjának tárgyalásánál a sorozat spektrumán definíció szerűen a (6.5) szerinti kifejezést értettük. Most látjuk, hogy a spektrum elnevezés jogos volt, a diszkrét idejű Fourier transzformált ugyan azt a fizikai tartalmat jelenti, mint a folytonos idejű jelekre a Fourier integrál. A Dirac-delta mintavevő függvény végtelen amplitúdójára a jel véges energiájának biztosítása érdekében volt szükség. Ugyanis az integrálásban a görbe alatti területnek zérustól különbözőnek kell lennie, ha el akarjuk kerülni az azonosan zérus eredményt. Természetesen egy megvalósítható mintavételi eljárásban nem szerepelhet Dirac-delta jel (gondoljunk csupán az életbiztonsági előírásokra). A valóságos mintavételező olyan áramkör, amelyik a jelből közel pillanatérték szerinti mintát vesz, ami egy véges xn érték. Hogy ezt a feszültség értéket nem feszültség formában használjuk majd fel, hanem egy analóg-digitál átalakítóval egy mérőszámmá konvertáljuk, az egyenleteinkben nem fog tükröződni. Vizsgáljuk meg a mintavételezési eljárásnak a jel spektrumára gyakorolt hatását! A folytonos idejű jel spektruma: X (ω ) =
+∞
∫ x(t )e
− j ωt
(6.6)
dt
−∞
A mintavevő jel egy periodikus jel, mely előállítható Fourier sorával. A Fourier sor együtthatói: +T 2 +T 2 1 1 1 jkω s t ∗ ( ) Ck = s t e dt = δ (t )e jkω s t dt = = const (6.7) ∫ ∫ T −T 2 T −T 2 T (Itt felhasználtuk (6.3)-at.) Ezzel:
s ∗ (t ) =
+∞
∑ δ (t − nT ) =
n = −∞
+∞
∑ Ck e jkω s t =
k = −∞
1 +∞ jkω s t ∑e T k = −∞
ωs = 2πf s =
Ahol a mintavételi (kör)frekvencia:
(6.8)
2π T
(6.9)
A mintavett jel spektruma: X ∗ (ω ) =
+∞
+∞
−∞
−∞
∗ − jωt ∫ x(t )s (t )e dt =
∫ x(t )
+∞
1 +∞ jkω s t − jωt 1 +∞ e e dt = x(t )e − j (ω − kω s )t dt ∑ ∑ ∫ T k = −∞ T k = −∞ − ∞
Figyelembe véve (6.6)-ot: X ∗ (ω ) =
1 +∞ ∑ X (ω − kωs ) T k = −∞
(6.10)
A mintavett jel spektruma: a folytonos idejű jel spektrumának periodikus kiterjesztése. A két alak egy formulában (Poisson összegzési formula): X ∗ (ω ) =
+∞ 1 +∞ ( ) X ω − k ω = xn e − jωnT ∑ ∑ s T k = −∞ n = −∞
2-13
(6.11.)
Mintavételezés és visszaállítás X(ω)
ωs/2
ωh X (ω)
-ωh
ω
*
-2ωs
-ωs
ωs/2
ωs
2ωs ω
6.1. ábra A sávhatárolt spektrum periodikus kiterjesztése
6.2 A matematikailag mintavételezett jel visszaállítása A megválaszolandó kérdés: az x(nT) sorozat ismeretében visszaállítható-e az x(t) függvény? A válasz az, hogy bizonyos feltételek betartása mellett: igen. Korábban hivatkoztunk a reprezentációk egyenértékűségére. A választ legegyszerűbben a frekvencia tartományban adhatjuk meg. A 4.1. ábrát nézve a kérdés az, hogy az X*(ω) függvényből hogyan állíthatnánk elő X (ω)-át. Ha ez sikerül, akkor beláttuk a visszaállíthatóságot. Iktassunk az x*(t) rendszer útjába egy folytonos idejű lineáris rendszert, melynek átviteli függvénye: ⎧T ha ω < ωs 2 (6.12) H (ω ) = ⎨ ⎩ 0 ha ω ≥ ωs 2 Ezt a lineáris rendszert nevezzük ideális alul-áteresztő szűrőnek. A spektrum módszer szerint: X (ω ) = H (ω )X ∗ (ω ) = H (ω )
⎧ X (ω ) ha 1 +∞ X (ω − kωs ) = ⎨ ∑ ha T k = −∞ ⎩ 0
x (t)
x*(t)
X (ω)
X*(ω)
H(ω)
ω < ωs 2 ω ≥ ωs 2
(6.13)
x (t) X (ω)
s*(t) 6.2. ábra A matematikai mintavételezés és visszaállítás sémája Ha az ωh frekvenciára sávhatárolt spektrumot nem megfelelő sebességgel mintavételezzük ( ωs < 2ωh ), akkor a 6.3. ábra szerinti szituáció fog létrejönni. Az aluláteresztő szűrő kimenetén lévő jel spektrumában átlapolódások (aliasing) jönnek létre, amely spektrum összetevők az eredeti jelben nem voltak, és amelyektől a későbbiekben már nem tudunk megszabadulni. Ugyancsak átlapolódás jön létre, ha az eredeti jel nem véges tartójú, azaz nem sávhatárolt. Ezért a mintavételezés előtt, indokolt egy sávkorlátozó (anti-aliasing) aluláteresztő alkalmazása. A mintavételi frekvenciát úgy kell megválasztani, hogy a hasznos jelsáv felső szélének értékénél legalább kétszer nagyobb legyen.
ωs ≥ 2ωh
3-13
(6.14)
Mintavételezés és visszaállítás
X*(ω)
-2ωs
ωh
-ωs
ωs/2
ωs
2ωs ω
H(ω)
T -ωs/2
ωs/2 #
X (ω) -ωs/2
ω Átlapolódások
ωs/2
ω
6.3. ábra Átlapolódás létrejötte, amikor nem elég gyors a mintavétel
6.3 Shannon mintavételi tétele Legyen a folytonos idejű x(t) jel Fourier transzformáltja az X(ω)! Ahol: az X(ω)=0, amennyiben ω ≥ ωh , azaz a jel sávhatárolt.
x(t ) =
Ekkor:
+∞
∑ x(nT )
n = −∞
sin ωh (t − nT ) ωh (t − nT )
(6.15)
2π T A tétel azt állítja, hogy a diszkrét időpontokban felvett értékek meghatározzák az x(t) összes közbülső időpillanatbeli értékeit.
Ahol ωs = 2ωh és ω s =
sin (π t T ) πt T
1
0.8
0.6
0.4
t T
0.2
0
-0.2
-0.4 -6
-4
-2
0
2
4
6
6.4. ábra Az interpolációban használt sin(x)/x függvény képe Az interpoláló függvény fontos tulajdonsága: ⎧1 ha n = 0 sin (πt / T ) =⎨ πt / T t = nT ⎩0 ha n ≠ 0
4-13
(6.16)
Mintavételezés és visszaállítás
Bizonyítás:
A [-ωh ,+ωh ] tartományban állítsuk elő X(ω)-át Fourier sorával! +∞
X (ω ) =
∑c e
n = −∞
cn =
Ahol:
x(t ) t = nT
Mivel:
n
2ωh
−
ω 2ω h
+∞
=
∑c e
n = −∞
+ω h
1
1 = x(nT ) = 2π
− jn 2π
∫ω X (ω )e
jnωT
− jnωT
n
dω
h
+∞
∫ X (ω )e
jωt
dω
−∞
t = nT
1 = 2π
+ω h
−
∫ω X (ω )e
jωnT
dω
h
Itt kihasználtuk, hogy X(ω) sávhatárolt: ( X(ω)=0, ha ω ≥ ωh ) cn =
Ezzel:
2π x(nT ) 2ωh
Az időfüggvény: 1 x(t ) = 2π
+ω h
1 ∫−ω X (ω )e dω = 2π h j ωt
+ω h + ∞ −
∫ω ∑ c e h
n = −∞
− jnωT
n
j ωt
e dω =
+∞
1
+ω h
∑ x(nT ) 2ω ∫ e ω ( ω
n = −∞
j
h −
t − nT )
dω
h
Kiszámítva az integrál értékét, megkapjuk (6.15)-öt, amit bizonyítani akartunk: 1 2ωh
+ω h
−
∫ω e h
+ω h
1 ⎡ e jω (t − nT ) ⎤ e jω h (t − nT ) − e − jω h (t − nT ) sin ωh (t − nT ) = = dω = 2ωh ⎢⎣ j (t − nT ) ⎥⎦ −ω 2 jωh (t − nT ) ωh (t − nT )
jω (t − nT )
h
6.3 A megvalósítható mintavételezés és visszaállítás Manapság a megvalósított rendszerekben a mintavételezést a korszerű analóg-digitál átalakítók végzik. Ezek az áramkörök valójában két funkciót látnak el: a mintavétel-tartás és az analóg-digitál átalakítás funkcióját. A mintavétel-tartás feladatot egy kondenzátor és egy kapcsoló látja el. A kapcsoló nagyon rövid ideig rákapcsolja az átalakítandó jelet a kondenzátorra a mintavétel pillanatában. A kondenzátor feltöltődik erre a feszültségre, majd miután a kapcsoló nyit, tartja ezt az értéket a következő mintavételig. (A kapcsoló nagyon rövid idejű zárása a pillanatérték pontosságát határozza meg.) A tartásra azért van szükség, mert a jel digitálissá konvertálására időre van szüksége az átalakítónak. A kimenet egy kód, manapság ez tipikusan az u.n. kettes komplemens kód, ami egy kettes számrendszerbeli előjeles számot ad. (Később erről majd bővebben.) Ezen áramkörök jellemző adata: a maximális mintavételi sebesség és kimeneti kód szóhosszúsága. A feldolgozandó jelet az átalakítást megelőzően megfelelően kondicionálni kell: a jel forrása általában néhány milli- esetleg mikro-Voltos. Az analóg-digitál átalakítók megfelelő kivezérléséhez tipikusan Volt nagyságrend szükséges, tehát előerősítőre van szükség. Ha nem vezéreljük ki az A/D átalakítót a lehetőségeknek megfelelően, akkor jelentős jel-zaj viszony romlást tapasztalunk, amiről később bőven lesz szó. A felerősített jel kapcsolódik a spektrum átlapolódás megelőzését szolgáló aluláteresztő (anti-aliasing) szűrőre (lásd a 6.4.ábrát). A rendszer tervezésekor adott a feldolgozandó frekvencia sáv nagysága, pld a mai hangrendszerekben (CD) a 0-20 kHz tartomány. A mintavételi frekvencia 44.1 kHz ami nagyobb a 20 kHz kétszeresénél. Erre azért van szükség, hogy a szűrő az áteresztő és a záró tartománya közötti átmeneti tartományban (20kHz-22.05 kHz) el tudja érni a szükséges csillapítás értéket (kb 80 dB).
5-13
Mintavételezés és visszaállítás
Előerősítő
Sávhat. szűrő
Mintavevő
A/D átalakító
Digitális jelfeldolgozás
Analóg jel Digitális jel
D/A átalakító
Tartó á.k.
Simító szűrő
Végerősítő
6.4. ábra A digitális feldolgozást végző rendszer illeszkedése az analóg környezethez Az analóg jellé történő konverziót a D/A átalakító végzi. A matematikai mintavételezésnél a digitális tartományt kihagytuk, mintákat feszültség értékűnek tekintettük. A tárgyalásban a diszkrét idejű minta nagysága volt csak érdekes, annak reprezentációja (t.i. hogy az egy feszültség érték, vagy annak csak a mérőszáma) nem volt érdekes a kitűzött kérdések megválaszolásában. A végtelenül keskeny feszültség mintáknak úgy tudtunk véges energiát biztosítani, hogy végtelen nagy amplitúdót (a minta értékével súlyozott Dirac-delta impulzusokat) engedtünk meg. A rekonstruáló (simító) szűrő ezen véges energiájú bemenő jelből állította elő a véges energiájú rekonstruált jelet. A megvalósítható rendszerben is véges energiájú jellel kell táplálni a simító szűrőt, amit a meghajtó impulzusok véges szélességével biztosítunk. Ha ez a szélesség épp a mintavételi idő, akkor a kimenő jel egy „lépcsős” hullámalak. Ez az eljárás az u.n. „ nulladrendű tartás” . A mai D/A átalakítókban ez a két funkció (a konvertálás és a tartás) egy chipben valósul meg. A nullad-rendű taró kimenete
A D/A-ba belépő minták
t
T
A simító szűrő kimenete
t
t
6.5. ábra A jel rekonstrukció jelalakjai A megvalósítható eljárásban egy járulékos lépést, a nullad-rendű tartást iktattunk be, ami a matematikai rekonstrukcióban nem volt. Mint az alábbiakban látni fogjuk ez egy kismértékű lineáris torzítást okoz, ami a jel spektrumának kismértékű torzulását jelenti. A nulladrendű-tartót egy olyan diszkrét idejű rendszer-elemnek tekinthetjük az átviteli láncban, aminek a súlyfüggvénye: hT(t)
⎧1 ha 0 ≤ t ≤ T hT (t ) = ⎨ ⎩0 ha egyébként
0
6-13
T
t
Mintavételezés és visszaállítás A zérus-rendű tartó átviteli függvénye: +∞
HT (ω ) = F{hT (t )} = ∫ hT (t )e −∞
− jωt
T
dt = ∫1e
− jωt
0
− jωT / 2 e jωT − 1 − e − jωT / 2 − jωT / 2 e dt = = Te = 2 j (ωT / 2) − jω
sin(ωT / 2) − jωT / 2 sin π ω ωs =e T = e jϕT (ω ) AT (ω ) (ωT / 2) π ω ωs sin π ω ω s Ahol az amplitúdó karakterisztika: AT (ω ) = T π ω ωs ϕT (ω ) = −ωT / 2 és a fázis karakterisztika: = e− jωT / 2T
(6.17) (6.18)
A zérus-rendű tartó csoport futási ideje konstans, (T/2). A spektrum relatív amplitúdó torzulása a 6.6. ábrán látható. sin (π ω ω s )
π ω ωs 1
0.8
0.6
A jel frekvencia tartománya
0.4
0.2
ω ωs
0
-0.2
-0.4 -2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
6.6. ábra A relatív amplitúdó torzulás a frekvencia függvényében A jel legnagyobb frekvenciás összetevői közel 40%-os veszteséget szenvednek a tartás következtében. Ez az amplitúdó hiba a simító szűrő átviteli karakterisztikájának megfelelő kialakításával azonban kompenzálható. Megjegyezzük továbbá, hogy beszerezhetők olyan D/A konverterek is, melyek egy beépített digitális amplitúdó korrektorral még a digitális doménban elvégzik a kompenzálást. A megvalósítható jel rekonstrukció a matematikai eljárástól a simító szűrő tulajdonságaiban is különbözik. Az ideális alul-áteresztő szűrő futási ideje zérus. A súlyfüggvénye sin(t)/t tipusú függvény, ami nem kauzális jel, tehát megvalósíthatatlan. A valóságos alul-áteresztő szűrők súlyfüggvénye kauzális, futási idejük véges de nem feltétlenül konstans és záró tartománybeli átvitelük sem minden frekvencián zérus értékű. Az ideális értékek azonban tetszőlegesen megközelíthetőek, az áramkörök bonyolultságának és árának növelésével.
6.4 Mintaritkítás, decimálás Vizsgáljuk meg egy olyan rendszer tulajdonságait, amelyik csak minden M-ik bemeneti mintát engedi át a kimenetére! Ez azt jelenti, hogy ha a bemeneti sorozat mintavételi üteme T1, akkor a kimeneti sorozat mintavételi üteme T2=MT1. Mintavételi
7-13
Mintavételezés és visszaállítás frekvenciában az arány fordított: ωs1=M ωs2 . Az ilyen rendszer lineáris, de nem idő-invariáns. Az idő-tartományban a leíró egyenlet egyszerű: y (nT2 ) = x(nMT1 ) (6.19) A frekvencia-tartományban formálisan: Y ∗ (ω ) =
+∞
∑ y(nT2 )e− jωnT2 =
n = −∞
+∞
∑ x(nMT )e 1
n = −∞
− jωnMT1
(6.20)
De ez a kifejezés nem mutatja, hogy mi történt a jel spektrumával. Annak érdekében hogy ezt lássuk, vezessünk be egy „mintavevő” sorozatot, amelyiknek minden M-ik mintája egy, a többi pedig zérus! 2π 1 M −1 j M kn ⎧1 ha n = mM m: egész (6.21) =⎨ s (nT1 ) = e ∑ M k =0 ⎩0 ha egyébként
Ezzel: y ∗ (nT1 ) = s (nT1 )x(nT1 ) +∞
− jωnT1
∗
Y ∗ (ω ) =
+∞
2π
1 +∞ M −1 j M kn Y (ω ) = ∑ y (nT1 )e = ∑ s (nT1 )x(nT1 )e = e x(nT1 )e − jωnT1 ∑ ∑ M n = −∞ k = 0 n = −∞ n = −∞ 2π 2π 1 Az összegzés sorrendjét felcserélve és felhasználva az ωs 2 = = T2 M T1 ∗
1 M
− jωnT1
M −1 +∞
∑ ∑ x(nT )e 1
k = 0 n = −∞
− j (ω − kω s 2 )nT1
=
1 M
M −1
∑ X (ω − kω ) ∗
s2
k =0
(6.22)
A (6.22) az eredeti spektrum M-szeres kiterjesztését írja le!
X*(ω)
-ωs1
0
ωs1
*
2ωs1
ω
Y (ω)
-ωs2
0
ω
ωs2
6.7. ábra A (6.22) formula szemléltetése M=3 esetére A mintaritkításnál spektrum átlapolódás jöhet létre! A 6.7. ábrában vizsgált esetnél ez azért nem jött létre, mert X*(ω) eleve sávhatárolt volt az ωs2/2 frekvenciára. Ha nincs sávhatárolás, az átlapolódó spektrum összetevők helyrehozhatatlan torzítást okoznak. Egy sávhatárolást végző alul-áteresztő szűrő és egy mintaritkító alkotja a decimáló fokozatot.
ωs1
Low Pass Filter
ωs1
↓M
ωs2
6.8. ábra A decimálás: szűrés + mintaritkítás Az aluláteresztő szűrő záró tartománya kezdetének az ωs2/2 frekvenciánál kisebbnek kell lennie. Ekkor nem lép fel átlapolódás. 8-13
Mintavételezés és visszaállítás
6.4 Mintasűrítés, interpolálás A mintavételi frekvencia növelésének egy lehetséges eljárása a null-mintákkal való feltöltés.
x(mT1) x(mT1)
y(nT2)
↑N
T1,ωs1
2
T2,ωs2
0
1
m
3
n
y(nT2)
⎧ x(mT1 ) ha n = mN y (nT2 ) = ⎨ ha egyébként ⎩ 0
0 1 2
6.9. ábra A null-mintákkal való feltöltés N=3 esetre Ez a művelet nem változtatja meg a jel spektrumát, ugyanis: Y ∗ (ω ) =
+∞
∑
n = −∞
y (nT2 )e − jωnT2 =
+∞
∑ y(mNT2 )e− jωmNT2 =
m = −∞
+∞
∑ x(mT )e
m = −∞
1
− jωmT1
= X ∗ (ω )
(6.23)
Az ωs1 szerint periodikus X*(ω) spektrum természetesen periodikus ωs2 = Nωs1 szerint is. Ha a felsűrített sorozatot egy ωs1/2 határfrekvenciájú aluláteresztő szűrőre vezetjük, akkor a kimeneti sorozat megegyezik azzal a sorozattal, amit úgy kaptunk volna meg, mintha a folytonos idejű jelet egyből ωs2 frekvenciával mintavételeztünk volna.
ωs2
X*(ω) Y*(ω)
-ωs2
-ωs1
0
2ωs2
ω
ωs1 H*(ω)
1 -ωs2
0
ωs2
2ωs2
ω
ωs2
2ωs2
ω
W*(ω) -ωs2
0
x(mT1) T1,ωs1
↑N
y(nT2)
H*(ω)
T2,ωs2
w(nT2) T2,ωs2
6.10. ábra Az interpolálás megvalósítása
9-13
Mintavételezés és visszaállítás
x(mT1)
x( t ) 2
0
1
m
3
n
y(nT2)
0 1 2
w(nT2) 6 0
n
3
6.11. ábra Az interpolálás szemléltetése az időtartományban Az elektronikus eszközök kínálatában megjelentek azok a D_A konverterek, melyek N=4, N=8 szoros interpolációt képesek végrehajtani. Ezzel a zérusrendű tartás torzító hatását, illetve az analóg simító-szűrővel szemben támasztott követelményeket tudjuk jelentősen csökkenteni.
6.5. Mintavételi frekvencia N/M szerinti váltása A mintavételi frekvencia racionális törtszám szerinti megváltoztatása az interpoláció és a decimáló eljárások egymás utáni alkalmazásával lehetséges. Ha az új és a régi mintavételi frekvenciák aránya N/M (N,M egész), akkor az eljárás: először felnöveljük N szeresre a mintavételi frekvenciát null-minták hozzáadásával, a felnövelt frekvencián interpoláló szűrővel kiszámítjuk a közbülső (interpolált) mintákat, majd decimáljuk a M szerint a szűrő kimeneti sorozatát. Például egy 8 kHz-re sávhatárolt jelet fsx=32 kHz-es mintavételi frekvenciával mintavételeztünk. (Ez azt jelenti, hogy az alapsávban a 8kHz 16kHZ sáv üres.) Szeretnénk áttérni interpolációval fsy=24 kHz-es mintavételi frekvenciára. A két frekvencia legkisebb közös többszöröse: lkt{32,24} = 96 = N ∗ 32 = M ∗ 24 Tehát N=3 M=4.
X*(ω) 32kHz
U*(ω) ↑3
V*(ω) H*(ω)
96kHz
96kHz
Y*(ω) ↓4
24kHz LPF 6.12 ábra A mintavételi frekvencia váltásának megoldása
A megoldást a frekvencia tartományban követhetjük a legkönnyebben (lásd 6.13.ábra). Az X*(ω) spektrum fsx=32 kHz szerint periodikus. A null-mintákkal való feltöltés után a periódus hossza fsu=96 kHz (Ezt is tekinthetjük periódusnak.) Az aluláteresztő interpoláló szűrővel (Low Pass Filter) megtisztítjuk a spektrumot: V*(ω). Mintaritkítás után a spekrum M-szeresen kiterjesztődik: Y*(ω). Ezzel előállítottuk azt a jelet, amit az eredeti analóg jel fsy=24 kHz-es mintavételezésével kaptunk volna.
10-13
Mintavételezés és visszaállítás
* X ∗ (ω ) U (ω) Δf
ω -8
0
8
16
32
64
96
[kHz]
H ∗ (ω ) 1
2
3
ω -8
0
8
24
48
96
[kHz]
V ∗ (ω ) ω 0
8
48
96
[kHz]
Y ∗ (ω ) ω 0
8
24
48
72
96
[kHz]
6.13. ábra A mintavételi frekvencia 4/3 arányú megváltoztatása A példánkban az x(nT) jel alapsávi (féloldalas) sávszélessége: Δf = 8 kHz. Az interpoláló szűrő specifikációja: 1 2 3
A szűrő áteresztő tartománya: 0- Δf = (0 ) - (8) kHz A szűrő átmeneti tartománya: (Δf ) − ( f sx − Δf ) = (8) − (32 − 8) = (8) − (24) kHz A szűrő záró tartománya: ( f sx − Δf ) − ( f su / 2 ) = (32 − 8) − (48) = (24) − (48) kHz
Megjegyzés: Valójában nem kell az aluláteresztő szűrőt 96 kHz mintavételi sebességgel járatni. Elég a 32 kHz, ha a szűrő FIR szűrő. Ebben az esetben csak minden M-ik mintát kiszámítani, ugyanis a közbülsőket úgy is eldobnánk. További egyszerűsítést jelent, hogy a FIR struktúrában nem kell a null-mintákat tárolni. Egy időrésben elég csak egy harmad fokszámú szűrőt kiszámítani. Ilyen szűrőből három van melynek együtthatói az eredeti szűrő h0(k) együtthatóiból: h1 (k ) = h0 (3k ), h2 (k ) = h0 (3k + 1), h3 (k ) = h0 (3k + 2 ), k = 0,1,2,..... A késleltető láncot 32 kHz sebességgel kell léptetni, a szűrőket egymás után sorban, (periódikusan) kell alkalmazni..Az adatok beolvasását és megfelelő sebességű kiírását a realizáló program elágaztatásával lehet megoldani, amire most nem térünk ki.
11-13
Mintavételezés és visszaállítás
6.6 Kérdések és feladatok 1.) Az alábbi ábrán látható rendszerben a bemenetre egy f0 = 8 kHz frekvenciájú, koszinusz jelet vezetünk. A rendszer mintavételi frekvenciája fs =10 kHz. Az aluláteresztő szűrő (LPF) határfrekvenciája fh = 5 kHz Milyen jelet látunk a kimeneten?
x( t )
x(nT)
A/D
y( t )
LPF
D/A
Megoldás: A0 j 2πf 0 t A0 j 2π (− f 0 )t → vonalas spektrum: (+f0, -f0 )-ban e + e 2 2 1 +∞ A mintavételezés: a spektrum periodikus kiterjesztése: X ∗ ( f ) = ∑ X ( f − kf s ) T k = −∞ Rajzban: X(f) x(t ) = A0 cos(2πf 0t ) =
A0/2
A0/2 f
-8
0 H(f)
-fs
8
[kHz] fs
X*(f)
f -8
-5
-2
0
2 Y(f)
-5
8
[kHz]
f -2
0
[kHz]
2
Visszaalakítás után a szűrő kiszűri az [ f i [ ≥ 5 kHz-es komponenseket. Az eredmény: egy 2 kHz-es, koszinuszos jel: y (t ) = A0 cos[2π ( f s − f 0 )t − ϕ 0 ] Ahol φ0 a konverzióból és a szűrésből adódó fázis késleltetés. A jelentős visszaállítási hiba amiatt következett be, mert nem tartottuk be a mintavételi frekvenciára vonatkozó fs > 2f0 követelményt. 2.) Rajzolja le egy valóságos rendszerben az analóg-digitál és a digitál-analóg átalakításokhoz szükséges jelkezelési feladatok blokkvázlatát! Indokolja az egyes blokkok feladatát! 3.) Egy fh= 8 kHz-re sávhatárolt jelet fsx = 20 kHz mintavételi frekvenciával mintavételeztünk. Tervezze meg azt a rendszert, amellyel át tudunk térni az fsy = 30 kHz mintavételi frekvenciájú rendszerre! Adja meg a szűrő specifikációját! 4.) Az inverz Fourier transzformációval számítsa ki, hogy az A X ( f ) = 0 [δ ( f + f 0 ) + δ ( f − f 0 )] spektrumú jelnek mi az időtartománybeli x(t) képe! 2
Megoldás: x(t ) =
∞
A ∫ 2 [δ ( f + f ) + δ ( f − f )]e 0
0
0
j 2πft
df =
−∞
12-13
[
]
A0 j 2πf 0t e + e − j 2πf 0t = A0 cos( 2πf 0 t ) 2
Mintavételezés és visszaállítás
6.7 Függelék Egy másik gondolatmenettel a mintavételi tétel: Korábban már láttuk, hogy az idő tartománybeli konvolúció a frekvencia tartományban szorzást von maga után. Ezt megfordítva:
X (ω ) = H (ω )X ∗ (ω ) → x(t ) = h(t ) ∗ x∗ (t ) =
+∞
∫ x (τ )h(t − τ )dτ ∗
−∞
A (6.12)-ben definiált ideális aluláteresztő súlyfüggvénye: h(t ) =
1 2π
+∞
j ωt ∫ H (ω )e dω =
−∞
x(t ) = h(t ) ∗ x ∗ (t ) =
=
T 2π
+ω h
j ωt ∫ e dω =
−ω h
+∞
+∞ +∞
−∞
− ∞ n = −∞
∗ ∫ x (τ )h(t − τ )dτ =
1 ⎡ e jω h t − e − jω h t ⎤ sin ωht ⎢ ⎥= jt ωht 2ωh ⎣ ⎦
∫ ∑ x(nT )δ (τ − nT )h(t − τ )dτ =
+∞
+∞
+∞
+∞
n = −∞
−∞
n = −∞
n = −∞
∑ x(nT ) ∫ δ (τ − nT )h(t − τ )dτ = ∑ x(nT )h(t − nT ) = ∑ x(nT )
Ez a Shannon féle mintavételi tétel:
x(t ) =
+∞
∑ x(nT )
n = −∞
sin ωh (t − nT ) ωh (t − nT )
13-13
sin ωh (t − nT ) ωh (t − nT )
