Mintavételes rendszerek

Mintavételes rendszerek

2016. 02.. 03..

Intelligens rendszerek II. gyakorlat – PTE PMMK Mérnök informatikus BSc szak

1

Jelek osztályozása • értékkészlet szerint:

- folytonos - diszkrét (szakaszos)

• időbeli lefolyás szerint:

- folyamatos - diszkrét / mintázott

• meghatározottság szerint: - determinisztikus - sztochasztikus • megjelenési forma szerint: - analóg - digitális

Int. rendsz. II

Mintavételes_rendszerek/2

Jelek osztályozása időbeli lefolyás szerint folyamatos

mintázott

folytonos

f(t)

t f(t)

f(t)

t Int. rendsz. II

t f(t)

diszkrét

értékkészlet szerint

f(t)

t

t Mintavételes_rendszerek/3

Bevezetés • Mintavételes szabályozás • számítógépes folyamatirányítás • egyéb rendszerek • kritérium: a folyamat időállandói és a mintavételezési idő összemérhetősége • Mintavételező eljárások osztályozása • lineáris, rögzített lefolyású mintavételezés • nemlineáris, jeltől függő mintavételezés • véletlenszerű, statisztikai mintavételezés Int. rendsz. II


Bevezetés • időtartam alapján • véges idejű • pillanatszerű • pillanatszerű, lineáris mintavételezést tárgyaljuk, azzal a megkötéssel, hogy ha több mintavételező van egy körben, akkor azok szinkronban működnek (egyszerre történik a mintavételezés)

Int. rendsz. II


Mintavételezés értelmezése f(t) f(T0)

fizikai mintavételezés matematikai mintavételezés

0T0

1T0

2T0

3T0

…

nT0

t iT0

Int. rendsz. II


Mintavételezés értelmezése • Összefoglalva: • mintavételező eljárás  impulzus sorozat amplitúdó modulációja

Int. rendsz. II


Mintavételezés értelmezése • bemeneten a mérendő változó folytonos időfüggvénye f t 

f t   0, ha t  0

• a moduláló jel az egységimpulzus sorozat 

i* t     t  nT0  n 0

• a kimenő jel a modulált impulzussorozat f * t   f t   i* t  Int. rendsz. II


Diszkrét Laplace-transzformáció • a kimenő jel részletesen felírva 

f t   f t   t  nT0   *

n 0

 f t  t  0T0   f t  t  1T0     f t  t  nT0   

• miután  függvény a t=nT0 helyet kivéve mindenhol 0  f * t    f nT0  t  nT0  n 0

• Laplace-transzformálva 

F s    f nT0   e *

 nT0 s

n0

diszkrét Laplace-transzformált Int. rendsz. II


z-transzformáció • vezessük be a következő változót z  e

T0 s

• így megkapjuk a mintavételezett f *(t) függvény z-transzformáltját 

F  z    f nT0 z  n n0

• a transzformálhatóság feltétele f nT0   MenT0 Int. rendsz. II

ha n  n0

M , , n0  0 Mintavételes_rendszerek/10

z-transzformáció • ténylegesen 1  F s   F  ln z   T0  *

*

• egyszerű alak, de végtelen sor, az összegképlet felírása nem mindig könnyű • léteznek más transzformációs képletek is: • általános zárt képlet (reziduum-tétel) • zárt alakú képlet egyszeres pólusokra

Int. rendsz. II


z-transzformáció • transzformációs képlet egyszeres pólusokra Fz  pi  z F z    '  piT0 i 1 Fp  pi  z  e • ahol P

F s  F s   z F p s 

a Laplace transzformált racionális törtfüggvény alakban

pi

egy pólus

P

pólusok száma

Fz  pi   Fz s  s  p

F p' Int. rendsz. II

 pi  

i

dFp s  ds

s  pi

számláló polinomja az s=pi helyen nevező polinomjának deriváltja az s=pi helyen Mintavételes_rendszerek/12

z-transzformáció • Fontos! A z-transzformált csak a mintavételezési időpontokban áll kapcsolatban az eredeti folytonos függvénnyel! • következmények: • a mintavételezési időpontokban azonos értéket felvevő függvényeknek azonos a z-transzformáltjuk • az inverz z-transzformáció csak a mintavételezési időpontokbeli értékeket adja vissza Int. rendsz. II


z-transzformáció • Inverz z-transzformáció c  j



F s    f t e

 st

dt

0

Laplace-transzformáció 

F  z    f nT0 z  n n 0

z-transzformáció Int. rendsz. II

1 f t   F s e st ds 2j c  j



inverz Laplace-transzformáció

1 n 1 f nT0   F  z  z dz  2j  inverz z-transzformáció Mintavételes_rendszerek/14

z-transzformáció • invertálási lehetőségek • komplexfüggvénytani út • törtfüggvény-alakra hozás z A1 , z 

A2

z 2

z   



2

,

A3

zz   

z   2   2

majd táblázat alapján a visszatranszformálás • előny: zárt alakú képlet, tetszőleges mintavételi időponthoz tartozó érték közvetlenül meghatározható • hátrány: a felbontás elvégezhetősége Int. rendsz. II.


z-transzformáció • negatív kitevős hatványsorba fejtés: 

f t    f nT0  t  nT0   f 0T0  t  0T0   f 1T0  t  1T0     f nT0  t  nT0    *

n0



F  z    an z  n  a0 z 0  a1 z 1    an z  n   n 0

• előny: racionális törtfüggvény alakban rendelkezésre álló kifejezéseknél polinomosztással könnyen előállítható • hátrány a keresett időpontig valamennyi értéket meg kell határozni Int. rendsz. II


z-transzformáció • z-transzformáció tételei • összeadás, konstanssal való szorzás Z  f1 kT0   f 2 kT0   F1  z   F2  z 

Z   f kT0     F  z 

• időbeli eltolás Z  f kT0  nT0   z  n F z  m 1  m k  Z  f kT0  mT0   z  F  z    f kT0 z  k 0   z 1 f kT0   lim F z  • kezdeti érték lim k 0 z  z z 1 f kT0   lim F  z  pólus ellenőrzés! • végérték klim  z 1 z

• csillapítás, konvolúció Int. rendsz. II


Diszkretizálás • folytonos időtartományban a leíró modell I/O modell differenciálegyenlet alakban • diszkrét időtartományban a leíró modell I/O modell differenciaegyenlet alakban • differenciálhányados közelítése differenciahányadossal vagy a derivált értékének közelítése a mintavételezési időpontokban mért értékekkel:

dx x  dt T0 Int. rendsz. II


Diszkretizálás • definíció alapján dx x t  t   xt  xt   x t  t   lim  lim t 0 dt t 0 t t

Int. rendsz. II


Diszkretizálás • előrefelé vett differenciák vagy Euler módszer dx xt  T0   xt  xkT0  T0   xkT0  xk  1T0   xkT0     dt T0 T0 T0

• ez azt jelenti, hogy zX z   X  z  z  1  X z  T0 T0  dxt   L   sX s   dt  Int. rendsz. II

z 1 s T0

z  1 T0 s Mintavételes_rendszerek/20

Diszkretizálás • visszafelé vett differenciák dx xt   xt  T0  xkT0   xkT0  T0  xkT0   xk  1T0     dt T0 T0 T0

• ez azt jelenti, hogy X  z   z 1 X  z  1  z 1 z 1  X z   X z  T0 T0 zT0  dxt   L   sX s   dt  Int. rendsz. II

z 1 s zT0 1 z 1  T0 s Mintavételes_rendszerek/21

Diszkretizálás • bilineáris közelítés (Tustin módszer) • a numerikus integrálásnál használt trapéz módszer alapján 2 z 1 s  T0 z  1

Int. rendsz. II

1  sT0 / 2 z 1  sT0 / 2


Diszkrét I/O modell • differenciálegyenletek átírása differenciaegyenletté • folytonos modell a n y n  t   a n 1 y n 1 t     a1 y 1 t   a0 y t   bm u m  t     b0 u t 

• előrefelé vett differenciák alapján cn y k  n T0   cn 1 y k  n  1T0     c1 y k  1T0   c0 y kT0  

 d mu k  m T0     d 0u kT0 

• off line alkalmazhatóság, „visszafelé” következtetés Int. rendsz. II


Diszkrét I/O modell • visszafelé vett differenciák alapján e0 y kT0   e1 y k  1T0     en 1 y k  n  1T0   en y k  n T0  

 f 0u k  d T0     f m u k  d  m T0 

• d a bemenet késleltetése a kimenethez képest d = n – m, • on line alkalmazhatóság, előre következtetés

Int. rendsz. II


Diszkrét I/O modell • mindkét modell • LTI, azaz lineáris, időinvariáns: együtthatók konstansok • kezdeti feltételek: y(-1T0),…, y(-nT0) n db adat • oksági szabály itt is érvényes: n ≥ m • legyen k=0 az aktuális mintavételezési időpont:

a1 y 1T0   a0 y 0T0   b2u 2T0   b1u 1T0   b0u 0T0 

előrefelé vett differencia egy.

a0 y 0T0   a1 y  1T0   b1u 1T0   b0u 0T0   b1u  1T0 

visszafelé vett differencia egy.

nem megvalósítható esetek! Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • átviteli függvény (folytonos időtartomány) Y s  G s   U s  z .k . f .

• a rendszer operátor tartománybeli modellje • független a konkrét bemenettől • segítségével adott bemenetre kapott válasz meghatározható Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • diszkrét idő tartományban

• • • • • • Int. rendsz. II

u(t) a folytonos bemenő jel u*(t) a mintavételezett bemenő jel h(t) a tag súlyfüggvénye y(t) a folytonos kimenő jel y*(t) a mintavételezett kimenő jel T0 a mintavételezési idő, szinkron működés Mintavételes_rendszerek/27

Impulzusátviteli függvény • bemenet – kimenet viszony az nT0-dik időpontban

Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • súlyfüggvény: u(t) = (t)  y(t) = h(t) • ez a t = kT0 időpontban u(kT0)(t-kT0) bemenet lesz • ennek hatására a tag kimenetén u(kT0)h(t-kT0) folytonos jelösszetevő jelentkezik • ennek értéke egy t = nT0 (n > k) időpontban u(kT0)h(nT0-kT0) • valamennyi jelösszetevő összegezve 

y nT0    hnT0  kT0 u kT0  k 0

Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • folytonos időtartományból ismert tétel: 

y t    ht   u  d 0

• összehasonlítva a most kapott alakkal: 

y nT0    hnT0  kT0 u kT0  k 0

• a folytonos és a diszkrét időtartomány közötti hasonlóság és különbség Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • a mintavételezett kimenő jel definíció szerint: 

y * t    y nT0    t  nT0   n 0

• y(nT)-re behelyettesítve 



  hnT0  kT0   u kT0    t  nT0   n 0 k 0

• legyen nk= n-k azaz n= nk+k, így 





  hn T  ukT   t  n T k 0

0

k 0

 kT0 

nk   k k  0

Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • Ezt a kifejezést diszkrét Laplace-transzformálva 

Y  s  





 nk  k T0 s     h n T  u kT  e   k0 0

nk   k k  0

• miután h(nkT0)= 0, ha nk< 0, így a két összegzés szétbontható: 





nk  0

k 0

 nk T0 s  kT0 s h  n T   e  u  kT   e  k0  0

• a két tag az átviteli függvény és a bemenő jel definíció szerinti diszkrét Laplace-transzformáltja: Y  s   G  s  U  s  Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • az esT = z behelyettesítéssel 0

Y z  





nk  0

k 0

 nk k     h n T  z  u kT  z  G  z   U z   k0  0

• ebből az impulzusátviteli függvény Y z  G z   U z 

zérus kezdeti feltételek mellett!

• csak a mintavételezési időpontokban áll kapcsolatban az eredeti folytonos rendszerrel Int. rendsz. II


Impulzusátviteli függvény • racionális törtfüggvény alakban Y z  bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  b0 G z     n n 1 U z  a n z  a n 1 z    a1 z  a0



bm z

d

 d 1

 m  d 1

 bm 1 z    b1 z  b0 z 1  n 1 n an  an 1 z    a1 z  a0 z

 md

ahol d = n - m

Int. rendsz. II


Nyílt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • mintavételező U s   Lu t  U z   Z u * t 

• kimenő jel mintavételezése:

Y s   G s   U s  Int. rendsz. II

jel .

Y  z   Z G s   U s   GU z  Mintavételes_rendszerek/35

Nyílt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • bemenő jel mintavételezése Y s   G s   U * s 

• bemenő, kimenő jel mintavételezése

Y * s   G* s   U * s  Int. rendsz. II

Y  z   G z   U z  Mintavételes_rendszerek/36

Nyílt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • sorbakapcsolt tagok, köztük mintavételező van

X * s   G1* s   U * s 

Y * s   G*2 s   X * s 

X z   G1  z   U z 

Y  z   G2  z   X z 

Y * s   G1* s   G*2 s   U * s  Y z   G1 z   G2 z   U  z  Int. rendsz. II

Ge z   G1  z   G2 z  Mintavételes_rendszerek/37

Nyílt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • sorba kapcsolt tagok, köztük mintavételező nincs

Y s   G2 s   X s   G1 s   G2 s   U * s 

Y * s   L* G1 s   G2 s  U * s  jel .

Y z   Z G1 s   G2 s  U z   G1G2 z U z  Int. rendsz. II

Ge z   G1G2  z 


Zárt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • visszacsatolt kör két taggal és két mintavételezővel

E s   W s   Ym s   W s   Gm s   Y * s  Y s   Go s   E * s 

Y * s   Go* s   E * s 

Y * s   Go* s   W * s   Go* s   G*m s   Y * s 

E* s   W * s   G*m s   Y * s  Int. rendsz. II

Y * s  W * s 



Go* s  1  Go* s   G*m s 

 Ge* s 


Zárt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • z-transzformálva Go  z  Y z  Ge z    W  z  1  Go z   Gm  z 

• azaz, ha minden tag előtt és után van mintavételező, akkor az eredő átviteli függvény a folytonos esethez hasonlóan származtatható

Int. rendsz. II


Zárt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • visszacsatolt kör két taggal és egy mintavételezővel

Ym s   Gm s   Y s   Go s   Gm s   E  s  E s   W s   Ym s   W s   Gm s   Y s   W s   Go s   Gm s   E * s 

• diszkrét Laplace-transzformálva E s   W s   L Go s   Gm s  E s  *

Int. rendsz. II

*

*

*

E* s  

W * s  1  L* Go s   Gm s  Mintavételes_rendszerek/41

Zárt rendszerek eredő impulzusátviteli fv.-e • behelyettesítve Y s   *

Go*

s   E s  

Go* s   W * s 

*

1  L* Go s   Gm s 



Go* s  1  Go G*m s 

 W * s 

• z-transzformálva Go  z   W  z  Go  z  Y z     W z  1  Z Go s   Gm s  1  Go Gm z  Go  z  Y z  Ge  z    W  z  1  Go G m  z 

Int. rendsz. II


Erősítés meghatározása • Folytonos idejű rendszerek • I/O modell a n y n  t   a n 1 y n 1 t     a1 y 1 t   a0 y t   bm u m  t     b0 u t 

• stacionárius állapotban a deriváltak „eltűnnek”: a0 y t   b0u t  b0 K a0

• az erősítés

• az átviteli függvényből m

G s   Int. rendsz. II

bm s  bm 1s

m 1

   b1s  b0

a n s n  a n 1s n 1    a1s  a0

K Mintavételes_rendszerek/43

Erősítés meghatározása • végérték tétel alkalmazásával – egységugrás bemenet mellett stabil rendszerek esetén U s  

1 s

lim y t   lim sY s   lim sG s U s   lim G s  

t 

s 0

s 0

s 0

bm s m  bm 1s m 1    b1s  b0 b0  lim  K n n  1 s 0 a s  a    a1s  a0 a0 n n 1 s (pólusellenőrzés!)

Int. rendsz. II


Erősítés meghatározása • Diszkrét idejű rendszerek • I/O modell: a0 y kT0   a1 y k  1T0     an 1 y k  n  1T0   an y k  n T0    b0u k  d T0     bmu k  d  m T0 

• konstans (egységugrás) bemenet mellett stabil rendszerek a kimenetek is állandó értéket vesznek fel: y kT0   y k  1T0   y k  n  1T0   y k  n T0   y ss

• a bemenet: u k  d T0   u k  d  m T0   1kT0  Int. rendsz. II


Erősítés meghatározása • így állandósult állapotban az I/O modell a következő alakra egyszerűsödik: a0 y ss  a1 y ss    an 1 yss  an y ss  b01iT0     bm 1iT0  i  k  d , , k  d  m

• innen a kimenet, yss: b0  b1    bm 1  bm yss  1iT0  a0  a1    an 1  an • általánosítva az erősítés: y ss K  u Int. rendsz. II

m

 bi i 0 n

aj j 0


Erősítés meghatározása • végérték tétel alapján

U z  

z z 1

z 1 z 1 Y  z   lim G z U z   lim G z   z 1 z z 1 z z 1

lim y kT   lim

k 

bm z m  bm 1 z m 1    b1 z  b0 bm    b1  b0  lim  K n n  1 z 1 a z  a    a1 z  a0 an    a1  a0 n n 1 z (pólusellenőrzés!)

Int. rendsz. II


Tartószervek • eddigi vizsgálatoknál:

• azaz a szakasz bemenetére egy impulzussorozat került • pl. a szabályzó a szabályzott tag felé impulzusokat küld ki Irányítástechnika MI VI BSc


Tartószervek • egy lehetséges megoldás: a következő mintavételezési időpontig maradjon ugyanaz a jel

nulladrendű tartószerv Irányítástechnika MI VI BSc


Tartószervek • leírása 

f 0 t    f nT0   1t  nT0   1t  n  1T0  n 0

• Laplace-transzformálva 

F0 s    n 0

e  nT0 s  e  n 1T0 s 1  e T0 s f nT0    s s

1  e T0 s * F0 s   F s  s Irányítástechnika MI VI BSc





f nT0  e  nT0 s

n 0

=F*(s), azaz f*(t) diszkrét Laplacetranszformáltja Mintavételes_rendszerek/50

Tartószervek • ennek alapján a nulladrendű tartószerv átviteli függvénye

F0 s  1  e Gh0 s   *  F s  s

Irányítástechnika MI VI BSc

T0 s


Tartószervek • a teljes rendszert tekintve

• az eredő átviteli függvény Ge* s   L* Gh s G p s  0

• impulzus átviteli függvény  1  e T0 s  G p s   Ge z   Z Gh0 s G p s   Z   s   G p s  T0 s G p s    G p s   1   1  z  Z    Z  e s   s  s 







Diszkrét idejű rendszerek stabilitása • Def.: Diszkrét BIBO stabilitás Egy lineáris mintavételező rendszert BIBO stabilitásúnak nevezünk, ha korlátos bemenő impulzussorozat hatására keletkező kimenő impulzussorozat is korlátos. Labilis, ha korlátos bemenő jelsorozat esetén a kimenő jelsorozat nem korlátos.



Diszkrét idejű rendszerek stabilitása • BIBO stabilitás feltétele • a vizsgálandó rendszer

• az impulzus átviteli függvénynél leírtak szerint: 

y nT0    hkT0   u nT0  kT0  k 0

• mindkét oldal abszolút értékét véve y nT0  



 hkT  unT 0

0

 kT0 

k 0



Diszkrét idejű rendszerek stabilitása • ha u(t) korlátos:u nT0  kT0   M 1 • akkor y nT0  



 hkT  unT 0

k 0

0





k 0

k 0

 kT0    hkT0   u nT0  kT0   M 1  hkT0  

• azaz y(nT0) (vagy y*(t)) korlátos   hkT0   M 2   k 0

• A lineáris mintavételező rendszer BIBO stabilitásának elégséges feltétele, hogy a zárt rendszer súlyfüggvényének mintavételezési időpontokban vett abszolút értékeiből alkotott végtelen sor korlátos. Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét idejű rendszerek stabilitása • Ez nem csak elégséges, hanem szükséges feltétel is: • Legyen u(kT0) olyan, hogy u nT0  kT0   1 és u(nT0-kT0) és h(kT0) előjelei egyezzenek meg. • Így n

n

k 0

k 0

y nT0    hkT0   u nT0  kT0    hkT0 

azaz ha h(kT0) nem korlátos, midőn n , akkor y(nT0) sem lesz korlátos



Diszkrét idejű rendszerek stabilitása • Összehasonlítva a folytonos rendszerekkel 

 ht  dt   0

a BIBO stabilitás feltétele • A diszkrét BIBO stabilitás eldöntéséhez végtelen sorok konvergenciáját kell vizsgálni.



Diszkrét idejű rendszerek stabilitása • Def.: Aszimptotikus stabilitás Lineáris mintavételező rendszert aszimptotikusan stabilnak nevezünk, u(kT0) = 0 bemeneti sorozat és y(-1T0), y(-2T0),…, y(-(n-1)T0)  0 kezdeti feltételek esetén a kimeneti sorozat nullához tart: lim y nT0   0

n 



Diszkrét I/O modellek stabilitása • Tétel: Aszimptotikus stabilitás a) Egy mintavételezett rendszer akkor és csak akkor aszimptotikusan stabil, ha az eredő impulzus átviteli függvényének valamennyi pólusának abszolút értéke 1-nél kisebb: a rendszer stabil  pi : pi  1

azaz a komplex síkon ábrázolva a pólusokat valamennyi az origó középpontú, egység sugarú körön belül van. Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét I/O modellek stabilitása

stabilitás tartománya x

x x

x

x x



Diszkrét I/O modellek stabilitása b) ha van(nak) a rendszer eredő impulzus átviteli függvényének olyan pólusa(i), amely(ek)nek az abszolút értéke 1, de esetlegesen létező minden más pólus abszolút értéke 1-nél kisebb, akkor a rendszer a stabilitás határán van: a rendszer stabilitás határán van  p k : p k  1, pi i  k  : pi  1

azaz a komplex síkon ábrázolva a pólusokat, van(nak) olyan(ok) ami egység sugarú kör körívén van(nak), a esetlegesen létező többi pedig a körön belül van. Irányítástechnika MI VI BSc



stabilitás határa x x x

x

x x



Diszkrét I/O modellek stabilitása c) ha van a rendszer eredő impulzus átviteli függvényének legalább egy olyan pólusa, amelynek az abszolút értéke 1-nél nagyobb, akkor a rendszer instabil: a rendszer instabil  pi : pi  1

azaz a komplex síkon ábrázolva a pólusokat, van(nak) olyan(ok) ami egység sugarú körön kívül van(nak), a többi pólus elhelyezkedése lényegtelen. Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét I/O modellek stabilitása instabilitás tartománya x x

x

x

x

x x

x


x

x


Diszkrét I/O modellek stabilitása • Stabilitási tartományok összehasonlítása folytonos idejű rendszer

diszkrét idejű rendszer

s ilit á 1

-j Irányítástechnika MI VI BSc

Re

In st ab ilit ás

-1

j

St ab

In st ab ilit

In st ab ilit ás

St ab ilit ás

ás

Im


Diszkrét I/O modellek stabilitása • közelítő módszerek alkalmazásának hatása előrefelé vett differenciák z 1 z  1  sT0

s

T0

azaz ami instabil volt a diszkretizálás előtt, az az is marad, ami stabil volt diszkretizálás előtt az vagy stabil lesz, vagy instabil lesz




gy

Er

ed

in e ök sta tile ök b g i he l ly e

visszafelé vett differenciák


1 z 1  sT0

z 1 s zT0

azaz ami stabil volt a diszkretizálás előtt, az az is marad, ami instabil volt diszkretizálás előtt az vagy stabil lesz, vagy instabil lesz


Diszkrét I/O modellek stabilitása Tustin módszer

1  sT0 / 2 z 1  sT0 / 2

s

2 z 1  T0 z  1

ás 1

Re

-j Irányítástechnika MI VI BSc

In st ab ilit

ás

-1

azaz ami stabil volt a diszkretizálás előtt, az az is marad, (de a tranziens jellege változhat!)

j

St ab ilit

In st ab ilit á

s

Im

ami instabil volt diszkretizálás előtt az instabil is marad Mintavételes_rendszerek/68

Diszkrét I/O modellek stabilitása • Pólusok elhelyezkedésének hatása – valós pólusok



Diszkrét I/O modellek stabilitása • Pólusok elhelyezkedésének hatása – komplex pólusok



Diszkrét I/O modellek stabilitása • A folytonos és a diszkrét rendszerek stabilitása közötti kapcsolat • definíció:

ze

sT0

2 • mintavételezési idő: T0  s • komplex változó felbontása: s    j 2

• definíció átírása: z  e


s

  j 


Diszkrét I/O modellek stabilitása • 1. pont

s0 Im

Im j

s/2

1

1

- s/2

-j

2

ze Irányítástechnika MI VI BSc

1 Re

-1

Re

s

0

1 Mintavételes_rendszerek/72

Diszkrét I/O modellek stabilitása • 1 – 2 átmenet Im 2

s : 0  0  j s / 2 s/2

1-2 1 Re

- s/2


2

s 

j s

  1 4 s 4

 cos2 / 4  j sin2 / 4  j cos / 2  0

sin / 2Mintavételes_rendszerek 1 /73


s  0  j s / 2 Im 2

s/2

1-2 1 Re

- s/2


2

s 

j s

2

  1 2 s  cos2 / 2  j sin2 / 2   1 cos   1

sin   0Mintavételes_rendszerek/74


s    j s / 2

ze

2

  j s / 2 

s 

e

2 

s

j

e  0

s    e x  0 Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét I/O modellek stabilitása • 4. pont 3

s    j s / 2 Im 2

s/2

1 Re

- s/2 4

ze

2

  j s / 2 

s 

e

2 

s

e

j

0

s    e x  0 Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét I/O modellek stabilitása • 5. pont 3

s  0  j s / 2 Im 2

Im j

s/2

1 Re 5 - s/2


s 

 j s

3

5-1

4

1 1 Re

-j

4 2

2

2

 cos2 / 2   j sin2 / 2   1 cos   1

sin   0Mintavételes_rendszerek/77

Diszkrét I/O modellek stabilitása • A stabilitási tartományok közötti összefüggés 3

Im 2

Im j

s/2

1 Re 5 - s/2 4


2

3

5-1

4

1 1 Re

-j


Diszkrét I/O modellek stabilitása • Stabilitási tartományok összehasonlítása folytonos idejű rendszer Im

diszkrét idejű rendszer Im j

s/2

s/2

Re - s/2

-3 s/2


1 Re

-1

-j


Diszkrét I/O modellek stabilitása • Stabilitásvizsgálati módszerek • Jury teszt • w-transzformáció



Diszkrét I/O modellek stabilitása • Jury-teszt • legyen a például vizsgálandó rendszer eredő impulzus átviteli függvénye 1 Gz   a4 z 4  a3 z 3  a2 z 2  a1 z  a0

• a teszt a nevező ai együtthatóinak vizsgálatán alapul



Diszkrét I/O modellek stabilitása • a teszt menete a4

a3

a2

a1

a0

a0

a1

a2

a3

a4

a4 a1

a3 a2

a2 a3

a1 a4

0

a4 a3 a2 0 a2 a3 a4

a4 a3 0 a3 a4 a4 0

4 

a0 a4

a'1 3  a' 4

ai  ai   4 a4i

i  4,3,2,1

ai  ai   3a4i 1

i  4,3,2

a2 2  a4

ai ai   2 a4i  2

i  4,3

a3 1  a4

ai ai 1a4i 3

i4

a rendszer stabil, ha valamennyi bekeretezett érték pozitív Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét I/O modellek stabilitása • w-teszt • bilineáris transzformáció: w 1 z w 1

• a transzformált átviteli függvényen Hurwitzmódszer alkalmazása



Diszkrét PID algoritmus • folytonos PID algoritmus • Arányos, integráló és deriváló tagok párhuzamos kapcsolása

• ahol K – a közös erősítés TI – az integrálási időállandó TD – a deriválási időállandó Irányítástechnika MI VI BSc


Diszkrét PID algoritmus • I/O modell:  1  u t   K et    TI 

t

det    e d  Td dt  0 

• átviteli függvény   1 G s   K 1   TD s   TI s 



Diszkrét PID algoritmus • a folytonos algoritmus diszkretizálása • tagonként az időtartománybeli modell alapján • az átviteli függvényből táblázattal • arányos tag: e(t)  e(kT0), azaz a hibajel értéke az adott mintavételezési időpontban • integráló tag: t 1 TI

T0 e d  TI 0



k 1

 ei  i 0

azaz az integrálást a téglány szabály alapján szummázással közelítjük



Diszkrét PID algoritmus • deriváló tag ekT0   ek  1T0  det  TD  TD dt T0

azaz a deriválást két pontos különbségképzéssel közelítjük • léteznek más, pontosabb, de bonyolultabb megoldások az integráló illetve a deriváló tagok közelítésére

Irányítástechnika MI BSc


Diszkrét PID algoritmus • a diszkrét PID algoritmus I/O modellje:  T0  u kT0   K  ekT0   TI 

ekT0   ek  1T0    eiT0   TD  T0 i 0  k 1

• ez az ún. pozíció algoritmus, mely megadja, hogy hova álljon be a végrehajtószerv (pl. hány %-ra nyisson). • z-transzformálva   T0 z TD 1 U z   K  E z   E z   1  z E z  TI z  1 T0  







Diszkrét PID algoritmus • az impulzus átviteli függvény  T0 z TD z  1  U z   GDPID z    K 1    E z  T z  1 T z I 0  



Diszkrét PID algoritmus • Vannak olyan beavatkozó szervek, amelyek bemenetére a pillanatnyi helyzethez képesti megváltozást kell bemenő adatként megadni. Ezt szolgáltatja a sebesség algoritmus. • Levezetéshez írjuk fel a pozíció algoritmust a k-dik és k-1-dik mintavételezési időpontra:  T0  u k   K ek    TI 

ek   ek  1  ei   TD  T0 i 0 

k 1



 T0  u k  1  K ek  1   TI  Irányítástechnika MI BSc

ek  1  ek  2   ei   TD  T 0 i 0 

k 2




Diszkrét PID algoritmus • kivonva egymásból a két egyenletet   T0 TD  u k   u k  1  K  ek   ek  1  ek  1  ek   2ek  1  ek  2 TI T0  

• ezt az egyenletet a következő alakban szokás megadni: u k   u k  1  q0 ek   q1ek  1  q2 ek  2

• ahol  TD   T0 TD  q0  K 1   q1   K 1   2  T0   TI  T0  Irányítástechnika MI BSc

q2  K

TD T0 Mintavételes_rendszerek/91

Diszkrét PID algoritmus • impulzus átviteli függvény

1  z U z   q Ez   q z 1

0

1

1

E z   q2 z 2 E z 

1 2 q  q z  q z U  z  s GDPID z    0 1 1 2 E z  1 z



Diszkrét PID algoritmus • Diszkrét PID algoritmus beállítása Takahashi szerint • paraméterek • T0 mintavételezési idő • T a szabályzott szakasz időállandója • Th a szabályzott szakasz holtideje • K a szabályzó erősítése • TI integrálási időállandó • TD deriválási időállandó • legyen Irányítástechnika MI BSc

Th 1 T0 Mintavételes_rendszerek/93

Diszkrét PID algoritmus • beállítandó paraméterek • erősítés

• integrálási időállandó

• deriválási időállandó


1.2T 0,3T  T0 K  Th  T0 Th  T0 / 22 T0 0 ,6T  T0  TI K Th  T0 / 2 2

TD 0,5T  T0 KT0


Diszkrét PID algoritmus • a példa szimulációja



Deadbeat algoritmus • Véges beállású szabályozási algoritmus • Cél: a szabályozott jellemző véges, előre meghatározott számú mintavételezési periódus után érje el az állandósult állapotot adott, előírt változású alapjel vagy zavaró jel esetén az alsó szintű kör a felső szint utasításait minimális idő alatt teljesítse



Deadbeat algoritmus • A mintavételezett, zárt szabályozási kör:

• az eredő impulzus átviteli függvény:

Gc  z G p z  y z  Gz z    r  z  1  Gc z G p z  Irányítástechnika MI BSc


Deadbeat algoritmus • a szabályozó impulzus átviteli függvénye:

Gz z  Gc z    G p  z  1  Gz  z  1



Deadbeat algoritmus • legyen az alapjel:

r t   1t 

1, k  0 r k    0 k  0

• a kimenet:





y  z   y 0 z 0  y 1z 1  y 2 z 2  ...  1 z  m  z  m 1  ...



Deadbeat algoritmus • A megfelelő y(k) kimenő jel sorozatot csak olyan u(k) beavatkozó jel sorozat hozhatja létre, amely m mintavételezési ciklusidő alatt szintén stacionárius értékre áll be:





u  z   u 0 z 0  u 1z 1  u 2 z 2  ...  u m  z  m  z  m 1  ...



Deadbeat algoritmus • A zárt körre vonatkozó összefüggés: y z   1  z 1 y 0 z 0  y 1z 1  y 2z  2  ...  z  m  z m 1  ...  r z 







 y 1z 1   y 2   y 1z 2  ...  1  y m  1z  m  1  1z   m 1  ...  y(m)

y(m) y(m+1)

 P z   p1 z 1  p2 z 2  ...  pm z  m



Deadbeat algoritmus • Hasonló módon írjuk fel a következő összefüggést: u z   1  z 1 u 0 z 0  u 1z 1  u 2 z 2  ...  u m  z  m  z m 1  ...  r z 









 u 0   u 1  u 0 z 1  u 2   u 1z 2  ...  u m   u m  1z  m 

 Qz   q0  q1 z 1  q2 z 2  ...  qm z  m



Deadbeat algoritmus • Belátható, hogy m

p

i

 1  y 1  y 2   y 1  y 3  y 2   ...  y m   y m  1

i 1

m

q

i

 u m   u 0  u 1  u 0  u 2  y 1  ...  u m   u m  1 

i 1

1   K


a b

i

i

 y   K    u  


Deadbeat algoritmus • Belátható, hogy Gz  z   P  z 

y z  G p z    uz 

yz 

P z   uz  Qz  rz  rz 

• így a szabályozó impulzus átviteli függvénye: Gz  z  Qz  Pz  Qz  Gc  z     G p z  1  Gz z  P z  1  P z  1  P z  1



Deadbeat algoritmus • polinom alakban q0  q1 z 1  ...  qm z  m Qz  Gc  z    1  P z  1  p1 z 1  ...  pm z  m

ahol az együtthatók

azaz


1 q0   u 0   bi q1  a1q0 p1  b1q0 



q m  a m q0

pm  bm q0

   

q0 A z 1 Gc  z   1  q0 B z 1


Deadbeat algoritmus • Probléma:

1 u0   bi

azaz az első beavatkozó jel nem realizálható. • Megoldás: korlátozzuk ennek értékét, de ekkor a beállási idő egy periódussal nő. • Gyakorlati szabályok: u 0   u 1

u(0) ne legyen kisebb, mint u(1)

T0  0,18T95

ha nincs korlát u(0)-ra

T0  0 ,11T95 Irányítástechnika MI BSc

ha van korlát u(0)-ra

T95 95%-os beállási idő Mintavételes_rendszerek/106

Holt idős rendszerek • technológiából származó holt idő • fizikai folyamatok véges sebessége (anyagok szállítása, áramlása) • információ átadásból származó holt idő • műszerek, érzékelők védelme • el kell dönteni, hogy lényeges-e a figyelembe vétele



Holt idős rendszerek • Holt idős rendszerek leírása = ahol Th a szakasz holtideje • Frekvenciatartományban • amplitúdó: = cos

− sin

=1

• fázis ∠

sin = arctg − cos

=−

azaz a holtidős tagnak nincs hatása az amplitúdóra, de a frekvenciával arányos fáziskésést okoz. /10 Mintavételes_rendszerek


8

Holt idős rendszerek • holt idő hatása a Nyquist és Bode diagramon • holtidős tag Nyquist diagramja: egység sugarú kör, egyszeri körüljárás 2/Th frekvencia növekedésnek felel meg • holtidős tag Bode diagramja: egységnyi amplitúdó miatt az amplitúdó görbe a frekvencia tengelyen fut, míg a fázis görbe az egyenes arányosságnak és a logaritmikus léptékű ábrázolásnak megfelelően alakul • holtidős szakasz esetében a holtidő mentes görbét az egység vektorral kell szorozni és Th fáziskésést hozzáadni Irányítástechnika MI BSc


Holt idős rendszerek • Időtartományban az analitikus elemzés nem egyszerű, általában az alábbi sorbafejtéseket alkalmazhatjuk: =1−

+

2!

−

3!

+⋯

vagy =

1

1

= 1+

+ +⋯ 2! 3! így az operátor tartománybeli közelítő alak: 1 =1− vagy = 1+


+


Holt idős rendszerek • Holtidős tag gyökhelygörbe vizsgálata • az elméleti alak a végtelen sok pólus miatt nehezen értelmezhető • konkrét holtidős szakasz esetében: =

+1 +2 a szögfeltétel kielégítése: ∠ +1 +∠ +2 −∠ = = 1,3, … ∠ =∠ −∠ = = 0° + ∠ cos − sin =− Irányítástechnika MI BSc


Dahlin algoritmus • Cél: adott átviteli függvénnyel rendelkező, holt idős szakaszt tartalmazó, mintavételes zárt szabályozási körhöz szabályozó illesztése • A szabályozási rendszer alsó szintjén legyen a szabályzó kör eredő átviteli függvénye:  sTh

e Gz s   s  1 ahol  a zárt kör időállandója, Th a szakasz holtideje



Dahlin algoritmus • A folyamatos működésű szabályozó kör

Gc s G p s 

1  sTh Gz s    e  1  Gc s G p s  s  1

1  sTh e 1  s 1

ahol = 1/ – hangolási tényező Irányítástechnika MI BSc


Dahlin algoritmus • A mintavételezéses szabályozási kör

Gz z  

Gc z G p  z  1  Gc z G p z 

ahol T0 – mintavételezési időállandó Irányítástechnika MI BSc


Dahlin algoritmus • Feladat: határozzuk meg a szabályozó impulzus átviteli függvényét (Gc(z)) adott zárt kör impulzus átviteli függvényhez (Gz(z)) , ha ismerjük a szakasz impulzus átviteli függvényét (Gp(z)).

Gz z  Gc z    G p  z  1  Gz  z  1



Dahlin algoritmus • Az zárt kör átviteli függvényének közelítése:

1 Gz s   1 e  sTh  s 1

 1  e  z G z    T0

z

1 e

 T0

z

1

1

N


z N Th T0


Dahlin algoritmus • Legyen a szakasz átviteli illetve impulzus átviteli függvénye:

K G p s   e  sTh T1s  1 T

 T0  1  K 1  e 1  z 1 b1 z   N N G p z   z  z T 1  T0 1 1  a z 1 1 1 e z


Th N T0


Dahlin algoritmus • Behelyettesítve a Gz(z) és Gp(z) impulzus átviteli függvényeket a szabályozóra kapott összefüggésbe: T 1

 T0

1e

 T0

z

1  N

z

Gz  z  1 e z 1 e T0 z 1 Gc z      1e T0 z 1z N  T0 G p z  1  Gz z  K 1  e  T1  z 1 z  N 1    1 e T0 z 1   1

1

 1  a z 1  e    b 1  e z  1  e z 1

1 T0 1

 T0

T0

 N 1

1

ahol Irányítástechnika MI BSc

T  T0  T0  1 a1  e , b1  K 1  e  N    Th T 1

 T0


Szabályozás Smith-prediktorral • Holtidős szakaszok szabályozására alkalmazható módszer • Tekintsük az alábbi szabályozó kört:

• az eredő impulzusátviteli függvény = Irányítástechnika MI BSc

=

1+

=


Szabályozás Smith-prediktorral • a szabályozó megfelelő módosításával alakítsuk át a kört a következő módon:

• ekkor a módosított rendszer impulzusátviteli függvénye: ,


=

=

,

1+

, Mintavételes_rendszerek/120

Szabályozás Smith-prediktorral • Az eredeti illetve az átalakított rendszer kimenetének meg kell egyeznie, így =

1+

,

1+

,

ebből


=

,

1+ 1−

,


Szabályozás Smith-prediktorral • A módosított szabályozó kör felépítése:



Mintavételes rendszerek

Recommend Documents