Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs

..

Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs Een kleine analyse van het wiskunde onderwijs binnen twee generaties. door Liesbeth van der Plas-Eskes

1 Rekenvaardigheid in verband met wiskunde 1.1 Het belang van breukenvaardigheid voor wiskunde en natuurkunde 1.2 Wat is de oorzaak van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser? 1.3 Rekenen in de brugklas 1.4 Enige neveneffecten van de cito-toets.

3 3 4 5 6

2 Het algebra probleem 2.1 Moeder’s intensieve wekelijkse algebra training in de brugklas 2.2 Dochter’s twee of drie weekjes algebra in de brugklas 2.3 De noodzaak van algebra in de onderbouw

9 9 18 19

3 Het meetkunde probleem 3.1 Moeder’s brugklas meetkunde boek 3.2 Meetkunde in de brugklas-boeken van dochter 3.3 Het nut van meetkunde in de brugklas

21 21 26 28

4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde? De PISA-toets nader bekeken. 4.1 Inleiding 4.2 Feiten 4.3 De PISA wiskunde test nader geanalyseerd 4.4 Conclusie

29 29 29 30 38

5 Slotopmerkingen en conclusies 5.1 Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee. 5.2 Waarom zijn er te weinig wiskunde en natuurkunde studenten? 5.3 Waarom zijn de huidige schoolboeken niet goed voor VWO-leerlingen? 5.4 Met het oog op de toekomst

39 39 40 41 41

Bronvermelding

Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs

43

1

2

C 2008 Liesbeth van der Plas

1 Rekenvaardigheid in verband met wiskunde

1.1 Het belang van breukenvaardigheid voor wiskunde en natuurkunde

Zonder goede breukenvaardigheid kom je met algebra niet verder dan een beetje optellen, aftrekken en vermenigvuldigen. Neem als voorbeeld de volgende eenvoudige deelsom:

6ab = 2b 3a Een leerling is hier nog lang niet aan toe als hij het volgende gewone rekensommetje niet uit zijn hoofd kan uitrekenen:

6 × 7 × 10 = 2 × 7 = 14 3 × 10 Hij begrijpt dan nog niet dat de tienen tegen elkaar wegvallen en dat een breukstreep niets anders is dan een deelstreep. Nog een voorbeeld:

3 14b 15a 15a + 14b 2 + = + = 5a 7b 35ab 35ab 35ab 2 3 14 15 29 + = + = 5 7 35 35 35 Als een kind niet in staat is om het getalsommetje probleemloos uit te rekenen, is de algebra opgave ook nog veel te hoog gegrepen. In het basisonderwijs wordt te weinig gerekend en geoefend met breukensommetjes. De belangrijkste oorzaak hiervan is de invoering van het rekenmachientje in het onderwijs en de hierdoor algemeen ontstane misvatting dat het eindeloos oefenen van sommetjes ouderwets en onnodig zou zijn, ja zelfs zou getuigen van een zekere boosaardigheid ten aanzien van de leerling. Een rekenmachientje is immers goed voor automatismen, een kind moet goed worden in ’inzicht’. Het wrange is echter dat rekenkundig inzicht alleen kan worden verkregen indien er eerst een degelijke basisvaardigheid bestaat in de automatismen van het optellen en vermenigvuldigen. Deze automatismen zijn een absolute voorwaarde voor het verwerven van enig rekenkundig begrip. Zoals je geen violist kunt worden zonder dat je eerst uren hebt geoefend in het zuiver en goed aanstrijken van de vier snaren, zoals je geen voetballer kunt worden als je niet eerst eindeloos hebt lopen pingelen en schieten, zo kun je je geen rekenkundig inzicht verwerven als je je niet eerst de automatismen van het optellen en aftrekken hebt eigen gemaakt. Voor alle vakken geldt dat men zich eerst een groot aantal ’domme’ automatismen moet eigen maken voordat men met behulp van deze basisvaardigheden creatief en met inzicht kan gaan werken. Voor die tijd ontbreekt eenvoudigweg het gereedschap. Het idee dat een rekenmachientje het vele oefenen onnodig heeft gemaakt, berust op een groot en fataal misverstand. Voordat je echt aan algebra kunt beginnen moet je eerst op de basisschool goed hebben leren optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen, eerst gewoon, daarna met breuken. Zo niet, dan is algebra bij voorbaat al abracadabra.


3

1.2 Wat is de oorzaak van de geringe rekenvaardigheid van de brugklasser? De geringe rekenvaardigheid van de startende brugklasser heeft een aantal oorzaken. 1.

Het eindeloos opzeggen en herhalen van de tafels wordt gezien als ouderwets. Het eindeloos opzeggen en herhalen van de tafels wordt gezien als ouderwets en uit de tijd, ja zelfs als een soort ’plagen’ van de leerling. Deze mag immers later toch een rekenmachientje gebruiken. Door deze algemeen heersende opvatting beheerst de gemiddelde brugklasser de tafels onvoldoende.

2.

Het veelvuldig oefenen van gelijksoortige sommetjes wordt gezien als dom en onnodig. Het systematisch herhalen en oefenen van gelijksoortige sommetjes maakt dat kinderen op een gegeven moment iets zonder nadenken kunnen uitrekenen. Dit wordt gezien als dom en ondidactisch en volstrekt uit de tijd. Computers en rekenmachientjes zijn goed voor het platte rekenwerk. Een kind mag zich, als het om rekenen gaat, geen automatismen eigen maken. Deze algemeen heersende opvatting, vaak onuitgesproken maar toch zeer duidelijk aanwezig, maakt dat er te weinig wordt geoefend, vooral met breukensommetjes. De nadruk wordt vooral gelegd op inzicht. Men beseft daarbij onvoldoende dat inzicht pas ontstaat na heel veel oefenen. Door het herhaald oefenen van veel sommetjes van dezelfde soort ontstaat langzamerhand inzicht in het hoe en waarom van de berekening.

3.

De Cito-toets bevat geen echte breukensommen. Om alle breukenvragen van de Cito-toets foutloos te kunnen beantwoorden hoeft een kind feitelijk alleen te 1 taartpunt. Gewoon de berekening laten zien van weten wat 51 betekent en dat 15 taartpunt groter is dan 10 2 3 sommetjes zoals: 1 5 +2 7 wordt niet gevraagd. Doordat de Cito-toets alleen meerkeuzevragen bevat worden berekeningen bij voorbaat al nooit verlangd, maar zelfs meerkeuzevragen over dit soort sommen ontbreken geheel. Zoals dat gaat met proefwerken in het algemeen en al helemaal bij een toets met zoveel impact als de Cito-toets, stelt de gemiddelde school zijn onderwijs hierop af. Bedoeld of onbedoeld, want de meest gebruikte schoolboeken bevatten ook veel te weinig oefenmateriaal.

4.

De rekenmethoden van het basisonderwijs bevatten te weinig basis-oefenmateriaal. We bekijken de meest gebruikte oefenstof voor het tweede semester van groep 8, te weten:

• • • •

Alles telt, leerlinlingenboek 8b Maatschrift 8A bij ’Alles telt’ Werkschrift 8 bij ’Alles telt’ De wereld in getallen, groep 8, Rekenboek b

Als een leerling alle sommen zou maken van het bovenstaande lijstje, dan maakt hij in totaal slechts een zeer klein aantal sommetjes die echt van belang zijn voor algebra, te weten: ’noemers gelijk maken’ en ’teller x teller gedeeld door noemer x noemer’. Hieronder de aantallen:

•

’noemers gelijk maken’: 10 sommetjes totaal in alles van ’Alles telt’ 30 sommetjes in ’De wereld in getallen’

•

’teller x teller gedeeld door noemer x noemer’: 5 sommetjes in toaal in alles van ’Alles telt’ 0 sommetjes in ’De wereld in getallen’

In totaal zijn dit 45 kleine sommetjes (niet 45 rijtjes, maar 45 losse sommetjes) in een half jaar! Het laatste half jaar wel te verstaan. Met de opgedane kennis van deze 45 sommetjes stapt het kind onwetend naar de brugklas, volstrekt niet toegerust met de basisvaardigheden die nodig zijn om aan echte wiskunde (algebra en Euclidische meetkunde) te kunnen beginnen. 5.

4

De breukenvaardigheid van de gemiddelde leraar in het basisonderwijs is onvoldoende.


1.3 Rekenen in de brugklas

We bekijken het meest gebruikte boek ’Getal en Ruimte’ om te achterhalen wat er in de brugklas gedaan wordt aan het voor wiskunde ernstige hiaat in breukenvaardigheid. De twee brugklasboeken bevatten slechts één paragraaf, namelijk §2.2 Breuken, waarin wordt geoefend met elementaire basissommetjes, namelijk in de opgaven 14 t/m 27. Hieronder een paar voorbeelden (onderdelen van respectievelijk de opgaven 19, 22 en 26):

3 2 4 −1 4 3 3 × 80 4 1 3 × 2 5 Dat was alles over breuken, alleen §2.2. Dit betekent dat de leerlingen slechts ongeveer een weekje oefenen met breuken. Daarna wordt tot aan het einde van de brugklas niets meer aan dit onderwerp gedaan. Heel af en toe verschijnt er wel tussen andere sommetjes door een opgave waarin een of twee breukgetallen voorkomen, maar van structureel en herhaald oefenen in geen sprake. In de tweede klas hebben de leerlingen nog steeds onvoldoende basiskennis om echt met algebra te kunnen beginnen.


5

1.4 Enige neveneffecten van de cito-toets. We bekijken de cito-toets van 2007, ofwel de ’Eindtoets Basisonderwijs Groep 8’. De toets bestaat, als het om rekenen gaat, in totaal uit 60 vragen verdeeld over de drie toetsdagen. Van deze 60 vragen zijn er 10 die iets met breuken te maken hebben. Als een leerling weet hoe 14 taartpunt er uit ziet, en hoe 51 taartpunt er ongeveer uitziet, dan kan hij 6 van de 10 breuken-vragen goed beantwoorden. Als 31 , dan levert hem dit weer twee goede breuk-antwoorden op. Bij hij dan ook nog weet dat 0,031 gelijk is aan 1000 500 rekenen 2 vraag 18 moet hij weten dat 200 hetzelfde is als 500 : 200. Bij rekenen 3 vraag 3 en vraag 19 moet hij 4 weten dat 10 = 52 . Samenvattend moet de leerling bij het verlaten van de basisschool de onderstaande vier feitjes weten over breuken voor een foutloze toets.

. Wijs . Is

1 4

1 4

taartpunt aan en

kleiner of groter dan

. Is 0,031 gelijk aan .

500 200

1 10

31 1000

1 6

taartpunt. ?

of gelijk aan

betekent 500 : 200 en

=

4 10

31 100

?

2 5

Zelfs zonder deze geringe breukenkennis mist een leerling slechts 10 van de 60 rekenvragen en kan hij nog met gemak naar het VWO. We vergelijken dit voor de grap eens met iets heel anders. In het huis van mijn grootvader, ooit het hoofd van een lagere school in Noordwijk, vond ik op zolder het volgende boekje uit 1918: ’Mijn Examen, opgaven van de toelatings-examens voor hoogere burgerscholen en gymnasia’ Ik pik er maar drie sommetjes uit als voorbeeld (bladzijde 52 opgave 9,11 en 15):

. De som van twee getallen is 100,2792. Vermindert men het eene getal met 2,4592 en vermeerdert men het andere met 4,716, dan krijgt men twee getallen, waarvan het eerste 5/9 x zoo groot is als het tweede. Bereken die getallen.

. Bereken: 4 1/4 2

:(

1 11 − 2 2/4 ) 4 1/2 1 /7 13 2/3 4

−3×

3 + 0, 5 : 0, 875 13 2/3

. Bereken: 0, 1875 ha 2187, 5 dg 0, 00135 km 289250 cl − − + 2 3 1/8 hg 5, 4 dm 6, 5 hl 62500000 cm Je gelooft het niet. Dit komt uit een tijd waar we waarschijnlijk echt niet naar terug willen. . . In de huidige tijd van computers en rekenmachientjes lijkt het inderdaad iets zinvoller om iets meer te doen aan natuurkunde proefjes en aan denk-reken-puzzeltjes. Maar om even terug te keren naar de moderne eisen voor toelating tot hogere burgerscholen. Het doel van de cito-toets is om de leerling straks op de juiste plek te krijgen. Dit doel zal de toets, neem ik aan, bereiken dus kan gezegd worden dat zij aan haar doel beantwoordt. Maar door de enorme invloed die de cito-toets in de loop der jaren heeft gekregen komt er een zeer bedenkelijk neveneffect naar voren. De toets bepaalt voor een belangrijk deel het soort sommetjes dat op de scholen geoefend wordt. Op dit moment kan een kind dat totaal geen kennis of inzicht in breuken heeft toch goed scoren. Zoals de eisen uit 1918 laten zien, hebben wij de tijden drastisch veranderd. Het lijkt met toch echter duidelijk dat een jong kind een paar dingen wél degelijk en goed moet leren om in het moderne leven verder te kunnen en om zijn denkvermogen te ontwikkelen. Hierbij denk ik onder meer aan:

• Het zeer goed kennen van de tafels. • Het met gemak kunnen optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen van twee breuken.

6


In de cito-toets wordt nooit gevraagd om gewoon twee eenvoudige breuken met ongelijke noemer bij elkaar op te tellen. Geen enkele vraag ziet er bijvoorbeeld uit als:

. Bereken: 2 3 1 +2 5 7 . Bereken: 1 3 5 −1 4 7 . Bereken: 2 3 3 ×4 5 7 . Bereken: 3

2 3 :4 5 7

Het zou wellicht een goed idee zijn als het CITO in de toekomst vragen zoals bovenstaande veelvuldig gaat stellen zodat de cito-score duidelijk het verschil laat zien tussen leerlingen die wél en leerlingen die níét in staat zijn om twee breuken bij elkaar op te tellen of met elkaar te vermenigvuldigen. Op die manier kan het onbedoelde schadelijke neveneffect van de cito-toets worden omgezet in een zeer krachtig en positief middel om het onderwijs te verbeteren. Leraren en leerlingen in het basisonderwijs zullen dan namelijk automatisch weer leren omgaan met breuken.


7

8


2 Het algebra probleem

2.1 Moeder’s intensieve wekelijkse algebra training in de brugklas

Rond 1965 werd er een paar keer per week intensief geoefend met algebra. Door de nu volgende bladzijden uit het algebra brugklasboek goed te bekijken (inzoomen met het vergrootglas), zal duidelijk worden dat de moeders van nu aan het einde van de eerste klas al een zeer grote vaardigheid hadden opgebouwd in het rekenen met letters en een goed inzicht hadden verworven in het hoe en waarom van algebra.

P.Wijdenes, beknopte algebra I

week 1 Waarom rekenen met letters?


9

week 2

week 3

a = 2, b = 3, c = 5, d = 7

a=3

substitueren in 2

substitueren in 3

3 + (a − 2a)(a − 3 + 4)

4abc − 2d

week 4

week 5 gelijksoortige termen aanwijzen

a = 2, b = 1, c = 3, z = 0 substitueren in

10

a2 − b2 (a + b + z)2 − a2 b2 (b + c − z)2 C 2008 Liesbeth van der Plas

week 6

week 7 haakjes wegwerken

haakjes wegwerken

(6p − 2q − r) − (3p2 − q2 − r2 )

pq(p3 q3 + p2 q2 − 4)

week 8

week 9

2 3 5 3 p q× pq 3 16


25cd4 x3 40c2 d3

11

week 10

week 11

3y x + y x + + 3y x xy 2

2

week 13

week 12 haakjes weg 2

4a2 bc(5a + 7b + 4c2 )

12

schrijven als produkt

5a5 − 10a4 b2 − 15a3 b3

2abc 3m2 n3

!p


week 14

week 15

+4x2 − y + 6z = −()

uit het hoofd 2 2

−9p + 43p − p2

week 16

−[−{−(a + 2b) + (3c − d)} + 3d]


week 17

−3p(2p2 − pq)

13

week 18

week 19

p2 (p2 − 3p + 5) − 4p(−p2 + 8p − 9) + 7(3p2 + 11p − 8)

week 21

week 20 Ontbind uit het hoofd:

a(b + c) + (b + c)

14

(3p − 2q)2

(−a2 )2 (−b2 )2 (−c2 )4 −a3 b4 c5


week 22 4 3

week 23

(6a − 17a b + 17a b − 6ab + 6b ) : (3a − 4ab − 2b ) 2 2

3

4

week 24

2

2

−x −1 = 5 5

week 25

5x − 12 3x − 9 =4− x+ 5 3


(a + b)x + (a − b)x = a2

15

week 26

week 27

Verdeel het getal 60 in twee delen zo, dat

Twee even grote vaten zijn geheel met water gevuld.

het achtste deel van het grootste stuk gelijk

Wanneer men 34 liter uit het ene vat neemt en 80 liter uit

is aan het zevende deel van het kleinste.

het andere, blijft er in het eerste juist diremaal zoveel over als in het tweede. Hoe groot is de inhoud van elk vat?

week 28

week 29

(81p4 − 16q4 ) : (3p + 2q)

16

Deel

1 3 125 x

+

1 3 27 y

door

x 5

+

y 3


week 30

week 31 Ontbind in factoren: 2 2

(m + n)(m − n)(m2 + n2 )(−m4 + n4 )

9(x + y) − 4(x − y)

week 32

2

Ontbind in factoren: 2

16a − 25b − 30bc − 9c2


17

2.2 Dochter’s twee of drie weekjes algebra in de brugklas

Rond 2000 wordt er in de brugklas slechts 2 à 3 weken iets gedaan aan algebra. Het is niet meer dan een zeer summiere inleiding die niet kan beklijven door het gebrek aan herhaling. Door de nu volgende bladzijden uit de schoolboeken goed te bekijken (inzoomen met het vergrootglas), zal het duidelijk worden dat er aan het einde van de brugklas al een achterstand van meer dan een jaar is opgebouwd als het gaat om inzicht en vaardigheid in algebraïsche bewerkingen. Méér dan een jaar, omdat aan het eind van de brugklas de rekenvaardigheid nog steeds onvoldoende is om in de tweede klas een goede start met algebra te kunnen maken.

Getal en Ruimte

week 20

6a + 14a + 3b

week 20–21

week 32

3(a − 1) − 2a + 8

18

(−xy6 z5 )7


2.3 De noodzaak van algebra in de onderbouw

Er is in de afgelopen decennia een aantal omstandigheden en beweegredenen geweest om algebra voor niet wiskundig geïnteresseerde kinderen zoveel mogelijk te vermijden. Zie onder meer §5–1 ’Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee.’ Er bestaat echter een onweerlegbaar belang van goed algebra onderwijs in de onderbouw van het VWO voor alle leerlingen, en wel onder meer om de volgende twee redenen. 1. Door algebra leer je precies werken en goed en logisch nadenken. Dit is voor alle academici van belang, welk vak ze ook uitoefenen. 2. Om onze economie op hoog niveau te houden hebben wij veel goede wiskundigen, natuurkundigen en scheikundigen nodig. Er zijn momenteel te weinig bèta studenten die in Nederland hun VWO opleiding hebben gevolgd en die dus waarschijnlijk in Nederland zullen blijven werken. Hieronder een tweetal oorzaken.

• Veel kinderen met een exacte aanleg krijgen de kans niet om hun talenten te ontdekken. De twaalfjarige leeftijd is een ontvankelijke leeftijd. Kinderen die een exacte aanleg hebben, moeten de kans krijgen om op tijd, nog voordat zij de pubertijd bereiken, kennis te maken met de abstracte aard van wiskunde. Zij kunnen alleen dán hun talenten ontdekken en ontplooien. Het logisch redeneren in de overzichtelijke en bondige algebrataal is voor deze kinderen een openbaring. Zij ontdekken dat zij door het gebruik van wiskundige formules en symbolen veel moeilijker dingen kunnen uitrekenen en bewijzen dan met gewoon Nederlands mogelijk zou zijn. Zelfs in het tweede en derde leerjaar komt de leerling nog niet echt in aanraking met de korte en krachtige wiskundetaal die voor sommige kinderen juist zo aantrekkelijk is en waar zij de schoonheid van inzien.

• De enkeling die in zijn middelbare schooltijd wel de smaak van wiskunde te pakken krijgt begint aan zijn of haar studie zonder de daartoe benodigde wiskundebasisvaardigheden. De universiteiten en hogescholen weten dit maar al te goed en zien zich genoodzaakt om de middelbare schoolstof opnieuw zelf te doceren, voordat ze met hun eigenlijke kennisoverdracht kunnen starten. Wiskunde is namelijk een vak waarvoor je, als primaire eis, eerst de algebra-taal moet beheersen. Van deze algebra-taal moet een beginnend eerstejaars student de elementaire grammaticaregels kennen en er mee kunnen lezen en schrijven. Zonder die kennis valt er nog geen college ’Analyse’, ’Elementaire Algebra’ of ’Getallentheorie’ te volgen. Vergelijk dit met het in de Franse taal lezen en het in de Franse taal bespreken van een Franse roman als je alleen nog maar être en avoir plus een paar honderd woordjes Frans op school hebt geleerd. In de pers verschijnt zo nu en dan een bericht waaruit zou blijken dat Nederlandse scholieren het juist goed doen als het gaat om wiskunde. Dit zou dan met name blijken uit de resultaten van de internationale ’Pisatoets’. Feit is echter dat PISA absoluut niet het wiskundig niveau van onze scholieren onderzoekt. Lees ter verduidelijking van dit belangrijke punt hoofdstuk 4 ’Nederlandse kinderen goed in wiskunde?’. Ter vergelijking kun je je het volgende afvragen: Kun je een internationaal gerenommeerd pianist worden als je pas op je veertiende begint met piano spelen? Kun je een groot voetballer worden als je in je jeugd niet een paar keer per week hebt getraind of op straat gevoetbald? Kun je een groot wiskundige of natuurkundige worden als je pas op veertien of vijftienjarige leeftijd bent begonnen met abstracte algebra en logisch redeneren? Het antwoord op bovenstaande drie vragen luidt: ’Ja, het kan, maar alleen bij wijze van zéér grote uitzondering. Wij hebben meer goede beta-mensen nodig dan de enkeling die ondanks een late start toch nog wiskundige wordt. Aan onze twaalfjarigen wordt een stelselmatige oefening en opbouw van vaardigheden geheel onthouden. Zij oefenen slechts twee of drie weken een heel klein beetje algebra waardoor ze niet meer dan een zeer summiere inleiding krijgen die niet kan beklijven door het gebrek aan opbouw en herhaling. De achterstand is aan het eind van de brugklas al groter dan een jaar, omdat ook de rekenvaardigheid nog steeds onvoldoende is om in de tweede klas een goede start te kunnen maken met algebra.


19

20


3 Het meetkunde probleem

3.1 Moeder’s brugklas meetkunde boek

Schoolboek uit 1961, gebruikt door de auteur van dit stukje en haar twee oudere zusjes. Alle academici van 55 jaar en ouder gebruikten in hun eerste middelbare schooljaar dit of een soortgelijk meetkundeboek.

Het boek begint, net als Euclides in ongeveer 300 voor Christus, met drie zeer eenvoudige axioma’s. Deze drie axioma’s als uitgangspunt nemend, leer je via logisch en precies redeneren allerlei bijzondere eigenschappen van driehoeken en cirkels ontdekken en bewijzen. Het doel van deze lessen is niet zozeer om bijvoorbeeld te weten dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan, maar om zeer precies en logisch te leren denken.


21

Alle stellingen worden bewezen. Daardoor wordt de leerling niet gevraagd om iets zo maar klakkeloos te geloven! Integendeel, de leerling moet een bewijs zelf kunnen reproduceren.

Zelf een eigenschap proberen te bewijzen is voor sommige kinderen een fascinerende uitdaging. Er wordt zeer veel geoefend, week in, week uit. Het zelfstandig en kritisch denkvermogen wordt op deze manier ontwikkeld.

22


Zelf meetkundige figuren leren tekenen is zeer leerzaam en nuttig. Geen dure werkboeken met voorgedrukte figuren, maar papier, potlood, passer en geodriehoek.

Al halverwege de eerste klas wordt hier gevraagd zelf te bewijzen dat de drie hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan. Het zoeken naar een sluitend bewijs is een grote uitdaging, of een leerling er nu meteen in slaagt of niet. Het gevoel echt iets geleerd te hebben is voor een kind veel plezieriger dan louter het gevoel dat de les ’leuk’ was.


23

Week in, week uit oefenen. Met regelmaat en structuur wordt het bouwwerk van Euclides opgetrokken. Het gaat voor kinderen die later jurist of arts worden niet om de kennis van de stellingen van de vlakke meetkunde. Het gaat erom dat zij leren om kritisch en exact na te denken. Voor alle hoger opgeleiden, zowel voor bèta’s als voor alfa’s, is dit essentieel.

Door een paar keer per week te oefenen wordt vanzelf het abstracte denkvermogen ontwikkeld. Formules over het aantal diagonalen van een n-hoek kunnen 12-jarigen in het VWO allemaal begrijpen. Hier is geen ’wiskundeknobbel’ voor nodig, maar alleen regelmaat, structuur en begeleiding.

24


Het denkvermogen is aan het einde van het eerste leerjaar al zo goed ontwikkeld, dat complexe stellingen over twee snijdende cirkels voor niemand te moeilijk zijn.

Passer, geodriehoek en papier. Dat is het enige dat nodig is om meetkundige figuren te leren tekenen. Door gebruik te maken van een ’werkboek’ met voorgedrukte figuren leer je dat niet! Werkboeken maken juist dat het meetkundig inzicht minder goed wordt ontwikkeld.


25

3.2 Meetkunde in de brugklas-boeken van dochter

Rond 2000 wordt er in de brugklas niets gedaan aan de opbouw van het Euclidische meetkunde bouwwerk. Het meest creatieve en indrukwekkende onderdeel van de schoolwiskunde wordt geheel overgeslagen.

In de brugklas werkt men met één ’methode’, waarin allerlei onderwerpen door elkaar worden behandeld.

Pas in hoofdstuk 5, Lijnen en hoeken (het is inmiddels niet ver voor de kerstvakantie), wordt er gesproken over een punt en een lijn. Een wiskundige definitie wordt niet gegeven. Het woord ’axioma’ wordt niet genoemd. De begrippen ’punt’ en ’lijn’ uit het normale spraakgebruik waren de leerling natuurlijk al wel bekend. Hij leert hier dus niets nieuws en zeker geen wiskunde.

26


In de 37 bladzijden over lijnen en hoeken wordt niet veel nieuws geleerd. Vaak lijkt iets op een bladzijde vol oefeningen. Bij nader inzien hebben de ’oefeningen’ meestal niet veel met wiskunde te maken.

In hoofdstuk 9, Symmetrie en vlakke figuren, verschijnt de zo belangrijke stelling uit de vlakke meetkunde over de drie hoeken van een driehoek. Een bewijs is er niet bij. De leerling moet de stelling klakkeloos geloven, omdat het waar lijkt als je in een driehoek gaat knippen. Dit is een soort karikatuur van wiskunde. Het is juist precies wat wiskunde niet is. Het doel van meetkunde is niet om te weten dat de drie hoeken van een driehoek samen 180 graden zijn. Het doel is om een dergelijke stelling te leren bewijzen en zo het kritisch en logisch denkvermogen te ontwikkelen.


27

3.3 Het nut van meetkunde in de brugklas

De Euclidische meetkunde is vrijwel geruisloos en zonder discussie uit de onderbouw verdwenen. Dit ongemerkte verdwijnen is mogelijk gemaakt doordat leerlingen niet meer werken met een overzichtelijk algebra boek en een apart meetkunde boek, maar met een ’wiskundemethode’. In het hoofdboek van een dergelijke methode worden allerlei losse onderwerpen door elkaar behandeld, versierd met veel plaatjes en teksten. Deze manier van werken met losse onderwerpen (nu eens twee weken ’omgaan met informatie’, dan weer drie weken ’plaatsbepalen’ enz.), maakt dat er geen sprake meer is van een systematische opbouw van het indrukwekkende bouwwerk van Euclides. De meeste kinderen, ook het merendeel van onze toekomstige artsen, economen en juristen, komen nu totaal niet meer in aanraking met de strakke en onweerlegbare bewijsvoering van Euclides. Dit is des te meer te betreuren omdat de Euclidische meetkunde de meest effectieve manier is om goed en precies te leren denken en werken. De zeer kleine groep kinderen dat na de vierde klas het meest exacte pakket (natuur en techniek) kiest, begint veel te laat, in het vijfde leerjaar, met het meest aantrekkelijke en meest creatieve onderdeel van de school–wiskunde. De luxe wiskunde boeken hebben mede hun huidige positie kunnen veroveren omdat veel ouders het uiterlijk van die boeken veel leuker en aantrekkelijker vinden dan hun eigen saaie boeken vol formules waar ze vaak nog met enig afgrijzen naar omzien. Al die kennis en formules hebben ze in hun huidige werk toch nooit meer nodig. Wat zij echter niet beseffen is dat zij vooral door de voor de Euclidische meetkunde zo karakteristieke strakke bewijsvoering (’Gegeven, Te bewijzen, Bewijs’) precies hebben leren denken en werken. Hun in hun jeugd getrainde redenatievermogen gebruiken ze nu wel degelijk nog elke dag. Hieronder volgen twee belangrijke overwegingen om herinvoering van de vlakke meetkunde in de onderbouw te overwegen. 1.

Voor kinderen is het niet ’leuk’ als zij niet precies leren denken en werken. Voor de samenleving is het niet ’leuk’ is als er te veel fouten en denkfouten worden gemaakt door de deelnemers aan het arbeidsproces. Denk daarbij bijvoorbeeld aan (jonge) notarissen die niet in staat zijn een ondubbelzinnige en logische akte te maken. Of denk aan (jonge) artsen die te weinig getraind zijn in het exact en logisch redeneren en daardoor onvoldoende in staat zijn de juiste diagnose te stellen. Of denk aan slordige apothekers en niet-systematisch denkende informatici.

2.

Een aantal van de nu iets oudere bètamensen hebben juist door die vlakke meetkunde (waarmee ze systematisch oefenden vanaf hun twaalfde jaar) ontdekt dat hun talent en liefde lag bij de exacte vakken. Velen van hen zouden de bètaweg niet zijn ingeslagen als ze in hun jeugd de huidige ’talige’ wiskundeboekjes hadden moeten doorwerken. Voor kinderen met een exacte aanleg is het niet goed dat hun nu de kans op het juiste vak wordt onthouden. Voor de samenleving is het niet goed dat er te weinig kinderen zijn die na hun schoolopleiding kiezen voor een exacte studie.

Het is dan ook bepaald geen overbodige luxe om herinvoering van de vlakke meetkunde in de onderbouw in elk geval sterk te overwegen. Zoals al eerder gezegd, het doel van de vlakke meetkunde is voor de meeste toekomstige hoger opgeleiden niet de meetkunde zelf. Daar hoeven zij later niets meer over te weten. Echter, het leren om kritisch en exact na te denken, is zowel voor alfa’s als voor bèta’s onmisbaar.

28


4 Nederlandse kinderen goed in wiskunde? De PISA-toets nader bekeken.

4.1 Inleiding

Eenmaal per drie jaar verschijnt er een wiskunde rapport van de OESO (Organisatie voor Economische Samenwerking en Ontwikkeling) inzake vergelijkend onderzoek naar de onderwijsresultaten van ruim 40 landen. Deze officiële ’PISA’ rapporten (’PISA’ staat voor ’Programme for International Student Assessment’) publiceren op het gebied van wiskunde de pisa-testresultaten van 15-jarige leerlingen uit alle OESO lidstaten en geassocieerde landen. De rapporten zijn behoorlijk invloedrijk. Politici en beleidsbepalers halen de rapportcijfers (vooral als deze goed zijn!) graag aan en maken daar goede sier mee. Zo ook het Ministerie van Onderwijs, Cultuur en Wetenschap (OCW) dat zich al een reeks van jaren baseert op de uitkomsten van PISA rapporten, wanneer het stelt dat het Nederlandse onderwijs in de top 10 van de wereld scoort. ’Bij wiskunde zelfs als vierde, achter Hongkong, Finland en Zuid-Korea’, zo stelt het OCW, daarmee welhaast expliciet de indruk wekkend dat ons wiskundeonderwijs en de prestaties van onze leerlingen tot de mondiale top zouden behoren. Volstrekt ten onrechte, naar ik in het onderstaande zal illustreren.

4.2 Feiten

De in 2000, 2003 en 2006 uitgebrachte PISA rapporten, die uit duizenden pagina’s bestaan, hebben zeer veel kritiek geoogst, onder meer van de onderwijspsycholoog Willem Smit, die al jaren bezig is met meet- en regelkunde van onderwijsonderzoek. De belangrijkste punten van kritiek zijn:

• Onzorgvuldig geconstrueerde of slecht vertaalde opgaven. • De validiteit van de testopgaven voor de nationale leerplannen. De leerplannen verschillen tussen de landen en zelfs binnen één land (bijvoorbeeld in Duitsland) aanzienlijk van elkaar. Testopgaven van internationale inspecties en onderzoeksinstituten zullen dus altijd beter aansluiten bij het leerplan van land A dan dat van land B.

• De PISA test staat los van de nationale leerplannen op het gebied van de wiskunde en is geen directe meting van de resultaten van die nationale leerplannen. De PISA test kan de kwaliteit van de onderwijsstelsels op het terrein van de wiskunde in de onderzochte landen in dit opzicht dus niet met elkaar vergelijken. Om die reden hebben de posities van de landen op de PISA-ranglijsten dus weinig betekenis.

• In de onderzochte landen is van allerlei verschillende omstandigheden sprake en zijn culturele verschillen van invloed op de uitkomsten van het onderzoek, zoals: - het aantal aan het vak wiskunde bestede lesuren verschilt van land tot land; - invloeden van geëmigreerde leerlingen met een taalachterstand; - invloeden van de klassengrootte in verschillende landen; - beschikbaarheid van middelen, werkomstandigheden van leraren, opleiding van leraren, opleidingsniveau en hulp van de ouders, ervaring met meerkeuzevragen.

• Wat meet PISA nu eigenlijk? Het antwoord op deze vraag wordt door de OESO op haar website gegeven, waaraan ik het volgende ontleen: The OESO/PISA mathematical literacy domain is concerned with the capacities of students to analyse, reason, and communicate ideas effectively as they pose, formulate, solve and interpret mathematical problems in a variety of situations. The OESO/PISA assessment focuses on real-world problems, moving beyond the kinds of situations and problems typically encountered in school classrooms. In real-world settings, citizens regularly face situations when shopping, travelling, cooking, dealing with their personal finances, judging political issues, etc, in which the use of quantitative or spatial reasoning or other mathematical competencies would help clarify, formulate or solve a problem.


29

Voor een doorwrochte analyse van de vraag of ons onderwijs in het algemeen internationaal bij de wereldtop behoort, raadplege men de studie van Willem Smit, ’Mythes en waarheden deel 5: maar internationaal doen we het toch goed?’

4.3 De PISA wiskunde test nader geanalyseerd Het hierboven geciteerde antwoord op de vraag wat PISA nu eigenlijk meet verdient een nadere bestudering. Gaat het inderdaad slechts om wiskundevaardigheden en -competenties? Betreft het inderdaad slechts wiskunde in relatie tot het dagelijkse leven in de echte wereld, wanneer men winkelt, reist, kookt, zijn geldzaken regelt of politieke thema’s beoordeelt? Voor de beantwoording van deze vragen raadplege men: OESO pisa vragen Op dit webadres is een selectie van de PISA wiskunde testvragen van 2003 gepubliceerd. Aan de test deden, zoals gezegd, 41 voornamelijk westerse landen mee en Nederland eindigde als vierde (zie boven). De volledige tekst is bij mijn weten niet door de OESO gepubliceerd. Men mag er evenwel van uitgaan dat de door de OESO zelf gepubliceerde selectie van de 38 vragen representatief voor de test is. Alle van de selectie deel uitmakende vragen heb ik stuk voor stuk onder de loep genomen en op hun wiskundige inhoud en/of wiskundig gehalte beoordeeld. De vragen waren vrijwel alle ingebed in ’verhaaltjes’ en bijbehorende plaatjes en vergden gemiddeld 1 à 1,5 A-4 tje! De vragen heb ik vervolgens tot hun louter wiskundige inhoud en/of wiskundig gehalte beperkt. De aldus geheel van hun franje ontdane vragen volgen onderstaand. Bij elke vraag wordt de naam van het PDF-bestand genoemd, opdat de geïnteresseerde lezer desgewenst de oorspronkelijke vraag met de bijbehorende verhaaltjes en plaatjes kan bekijken. Mijn analyse en beoordeling van het wiskundeniveau en/of het wiskundegehalte heb ik steeds achter de vraag vermeld. Het wiskundig of niet-wiskundig niveau van de 38 vragen is voor de duidelijkheid rood gekleurd. 1.

M124Walkg–eng3, vraag 1: WALKING

= 140 en n = 70. Bereken P. n P

Dit is wiskunde voor de brugklas.

2.

M124Walkg–eng3, vraag 3: WALKING n P

= 140 en P = 0.80.

Bereken n (meter per minuut). Reken n om in kilometer per uur. Dezelfde zeer eenvoudige lineaire vergelijking.Dit is wiskunde voor de brugklas. Het omrekenen in kilometer per uur is basisschool stof. Dit is rekenen voor de basisschool.

3.

M145Cubes–Eng4, vraag 1: CUBES Op de twee tegenovergestelde vlakken van een dobbelsteen staan altijd cijfers die opgeteld 7 zijn. De vraag komt er op neer dat je invult dat er tegenover een 5 een 2 zit. Dit is rekenen voor de basisschool.

4.

M150GrwUp–Eng4, vraag 1: GROWING UP Bij de vragen 4, 5 en 6 hoort een grafiek met twee curven, één voor de gemiddelde lengte van meisjes en de ander voor de gemiddelde lengte van jongens als functie van hun leeftijd. Sinds 1980 is de gemiddelde lengte van 20 jarige Nederlandse meisjes met 2.3 cm toegenomen tot de waarde van 170.6 cm. Wat was de gemiddelde lengte van een meisje in 1980? De vraag is niets anders dan: ’bereken 170.6-2.3’. Als een leerling deze vraag fout beantwoord, komt dat omdat hij de som niet goed kan lezen (hij beheerst zijn taal niet goed). Dit is geen wiskunde maar een basisschoolniveau rekensommetje of een taalvraag. De getekende grafiek is niet nodig voor het beantwoorden van de vraag.

30


5.

M150GrwUp–Eng4, vraag 3: GROWING UP Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Dezelfde grafiek plus de onderstaande bewering. Uit de grafiek blijkt dat de gemiddelde groeisnelheid bij meisjes gemiddeld na hun 12e jaar. Leg uit hoe dit uit de grafiek blijkt. Een kind hoeft alleen op te merken dat een grafiek na een bepaald punt minder steil omhoog loopt dan vóór dat punt. Het antwoord ligt al in de vraag. Het antwoord hoeft ook niet wiskundig onder woorden te worden gebracht. Het is geen echte wiskunde, in die zin, dat je er totaal geen wiskundige kennis of vaardigheid voor hoeft te hebben. Een brugklasser, ja zelfs een basisschoolleerling, zal deze vraag zeker kunnen beantwoorden mits hij zich niet laat intimideren (de grafiek bevat ook een curve voor de jongens en lijkt daardoor vrij ingewikkeld).

6.

M150GrwUp–Eng4, vraag 2: GROWING UP Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Dezelfde grafiek. De grafiek bevat twee curven, een voor de gemiddelde lengte van meisjes en de ander voor de gemiddelde lengte van jongens als functie van hun leeftijd. Gedurende welke periode zijn meisjes gemiddeld groter dan jongens? Ook deze vraag is niet echt wiskundig. Dit wordt in de Nederlandse schoolboeken in de brugklas behandeld.

7.

M179Robbr–Eng3.PDF, vraag 1: ROBBERIES Weer een vrij eenvoudige vraag over een grafiekje. Uit de grafiek lees je direct af dat er in 1998 ongeveer 508 inbraken waren en 516 in 1999. De vraag: Als een verslaggever zegt dat deze grafiek een enorme toename laat zien in het aantal inbraken, is dit dan juist? Ook hier geeft de manier van vragen al een indicatie over het antwoord.Hier hoef je geen wiskunde voor geleerd te hebben. Een beetje logisch nadenken geeft het antwoord. In de brugklas leer je dit soort vragen beantwoorden.

8.

M266Crntr–Eng3.PDF, vraag 1: CARPENTER Er zijn vier figuren. Is de omtrek van een figuur groter dan 32 meter? Daar komt de vraag op neer. Voor drie figuren kun je de omtrek probleemloos uitrekenen, want de figuur bestaat uit horizontale en verticale stukjes. Dit leer je op de basisschool. De omtrek van de laatste figuur, een parallellogram, kún je niet uitrekenen (er zijn te weinig gegevens). Als een leerling geen wiskundige formules kent voor het berekenen van de lengte van een lijnstuk, is hij in het voordeel, want hij probeert niet eens om de omtrek precies te berekenen. Hij begint meteen goed te kijken of de omtrek groter kan zijn dan 32. Doordat de gegeven maten dit precies toelaten, kan hij het antwoord zeer snel zien. Dit is geen wiskunde. Het niveau is basisschool, al wordt dit tegenwoordig ook in de brugklas behandeld. Het is een leuk puzzeltje voor een 10 of 11 jarige.

9.

M402IRC–Eng3.PDF, vraag 1: INTERNET RELAY CHAT Je ziet drie klokken (Greenich, Sydney en Berlijn).De vraag: Als het 7 uur is in Sydney, hoe laat is het dan in Berlijn? Dit is geen wiskunde. Denkvraag niveau basisschool.

10.

M402IRC–Eng3.PDF, vraag 2: INTERNET RELAY CHAT Deze vraag hoort bij de vorige. Het gaat weer over het berekenen van het tijdsverschil. Dit is geen wiskunde.


31

11.

M412Excha–Eng3.PDF, vraag 1: EXCHANGE RATE Voor 1 dollar uit Singapore krijg je 4.2 Zuid-Afrikaanse rands (1SGD = 4.2 ZAR). De vraag: Hoeveel ZuidAfrikaanse rands krijg je voor 3000 Singapore dollars? Je zou nog kunnen zeggen dat het hier gaat om een lineaire vergelijking, maar elke basisschoolleerling zal deze vraag kunnen beantwoorden. Hier heb je geen wiskunde voor nodig. Een leerling die wel de ’formule’ gebruikt is zelfs in het nadeel, want hij zal bij een foutieve berekening minder snel inzien dat zijn antwoord niet klopt.

12.

M412Excha–Eng3.PDF, vraag 2: EXCHANGE RATE Deze vraag hoort bij de vorige vraag; voor 1 dollar uit Singapore krijg je 4.2 Zuid-Afrikaanse rand. De vraag: Hoeveel Singapore dollars krijg je voor 3900 Zuid-Afrikaanse rands? Nu moet je delen in plaats van vermenigvuldigen. Feitelijk ook basisschool rekenwerk. Je hebt er geen wiskunde voor nodig en je bent zelfs in het nadeel als je de vraag wél wiskundig bekijkt.

13.

M412Excha–Eng3.PDF, vraag 3: EXCHANGE RATE Deze vraag hoort bij de vorige vraag; voor 1 dollar uit Singapore krijg je nu niet 4.2, maar 4.0 Zuid-Afrikaanse rand. De vraag: Is deze verandering voordelig voor een meisje uit Singapore dat terugkomt uit Zuid-Afrika? Weer geen wiskunde. Een leerling kan deze vraag zelfs beter met zijn gezonde verstand beantwoorden dan met de omrekenformule. Hij ziet dan veel sneller of zijn antwoord klopt.

14.

M438Expor–Eng3.PDF, vraag 1: EXPORTS Je ziet een staafdiagram met 5 staafjes voor 5 jaren. De vraag: Lees de waarde af van het staafje dat hoort bij het jaar 1998. Dit is wel heel erg simpel. Zelfs een antwoord zonder eenheid wordt goed gerekend. Zonder enige wiskunde kennis kun je deze vraag beantwoorden. Het is dus geen wiskunde.

15.

M438Expor–Eng3.PDF, vraag 2: EXPORTS Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Naast het staafdiagram is ook een cirkeldiagram getekend voor het jaar 2000, waaruit je kunt aflezen dat 9% van de export in het jaar 2000 uit fruitsap bestond. De vraag (multiple choice): Voor hoeveel geld werd er aan fruitsap geëxporteerd in 2000? Het berekenen van 9% van 42.6 behoort tot de basisschool rekenstof en ook het aflezen van de grafieken vereist geen wiskunde kennis.

16.

M467Candy–Eng3.PDF, vraag 1: COLOURED CANDIES Je ziet een staafdiagrammetje waaruit je kunt aflezen dat er in een snoepzak 6 rode, 5 oranje, 3 gele, 3 groene, 2 blauwe, 4 roze, 2 paarse en 5 bruine snoepjes zitten. De (multiple choice) vraag: Hoe groot is de kans dat je (blind) een rood snoepje uit de zak pakt? Een beetje logisch nadenken geeft het antwoord. Ik denk niet dat een 15 jarig kind hier enige wiskunde kennis voor hoeft te hebben. Het is meer een IQ-vraag.

17.

M468STest–Eng3.PDF vraag 1: SCIENCE TESTS Een meisje maakt 5 proefwerken. Voor de eerste vier heeft ze gemiddeld 60 punten van de 100.Voor het 5e proefwerk haalt ze 80 punten. De vraag: Wat is haar gemiddelde score? Het begrip gemiddelde wordt, denk ik, op de basisschool behandeld en zo niet, dan weet toch elk kind wel hoe hij zijn rapportcijfer moet uitrekenen. Het is daarom geen vraag waarvoor je in de wiskundeles iets

32


geleerd moet hebben. Dat neemt niet weg dat de vraag ietsje lastiger is dan gemiddeld. De enige echte denkfout die je zou kunnen maken is (60+80)/2 = 70, maar elk kind snapt ook wel dat je met vier zesjes en één 8 niet gemiddeld een 7 hebt. Het is meer een intelligentie vraag.

18.

18. M471SFair–ENG2, vraag 1: SPRING FAIR Dit is een echte gokvraag. Je ziet een plaatje van een wijzer die je rond kunt draaien. Als de wijzer stopt bij een even getal mag je blind een knikker uit een zak pakken. Als de knikker zwart is, win je een prijs. Er zijn minder zwarte knikkers dan witte. De vraag: Hoe groot is de kans dat je een prijs wint? (multiple choice; kiezen uit: onmogelijk, niet erg waarschijnlijk, 50%, erg waarschijnlijk of zeker). Het lijkt een te moeilijke wiskunde vraag, ware het niet dat je alleen maar hoeft hoeft te kiezen uit een collectie van 5 antwoorden. Met wiskunde kom je er niet snel; het is te moeilijk voor een 15 jarige. Met een beetje nadenken zie je het antwoord meteen, want áls je al mag trekken (als de pijl stopt bij een even getal), dan nog is op dat moment de kans om te winnen duidelijk kleiner (er zijn minder zwarte knikkers dan witte). Kortom, een beetje logisch nadenken geeft je het goede antwoord. De vraag vergt geen enkele wiskundige kennis of vaardigheid. Een leerling is zelfs in het voordeel als hij geen enkele formule van de kansrekening kent, want dan begint hij meteen logisch na te denken.

19.

M484Books–Eng3.PDF, vraag 1: BOOKSHELVES Een timmerman heeft in voorraad: 26 lange planken, 33 korte planken, 200 kleine clips, 20 grote clips en 510 schroeven. Voor één boekenkast gebruikt hij: 4 lange planken, 6 korte planken, 12 kleine clips, 2 grote clips en 14 schroeven. De vraag: Hoeveel boekenkasten kan hij maken? Weer geen wiskunde. Basisschool rekenen.

20.

M505Littr–Eng3.PDF, vraag 1: LITTER In een tabel zie je 6 typen afval en de 6 bijbehorende tijden die het vergt om het afval door de natuur af te laten breken. De vraag: Geef één reden waarom een staafdiagram niet geschikt is voor de weergave van deze gegevens. Ik zie hier ook geen echte wiskunde in. Op zich een moeilijke vraag, want een leerling met gezond verstand komt zelfs niet op het idee om hier een staafdiagram van te maken.

21.

M509Quake–Eng3.PDF, vraag 1: EARTHQUAKE De kans op een aardbeving binnen 20 jaar in een bepaalde stad is 2 op 3. De vraag (multiple choice): Je ziet vier zinnen, waarvan je er één moet kiezen die het meest overeenkomt met de bovenstaande uitspraak. Dit lijkt me toch ook niet echt een wiskunde vraag. Het is meer een taalvraag.

22.

M510Choic–Eng3.PDF, vraag 1: CHOICES Een pizza heeft als basis kaas en tomaat. Je kunt op zo’n basispizza ook nog iets extra’s leggen: olijven, ham, paddestoelen en salami. De vraag: Hoeveel keuze mogelijkheden heb je als je een pizza wilt met twee verschillende extra’s? Een basisschoolleerling kan dit beredeneren door gewoon een rijtje te maken: 1 en 2, 1 en 3, 1 en 4, 2 en 3, 2 en 4, 3 en 4 (1 staat voor olijven enz.) Je hebt hier geen wiskunde voor nodig. Het is zelfs gemakkelijker zonder wiskunde door het te kleine aantal mogelijkheden. Zonder wiskunde maak je minder snel een fout! Daar komt nog bij dat de vraagstelling hangt op het woordje ’en’. Een basispizza heeft kaas en tomaat. Een leerling kan denken dat hij kan kiezen tussen kaas en tomaat en dat er dus twee soorten basispizza’s mogelijk zijn, namelijk óf kaas óf tomaat. In dat geval maakt hij een subtiele taalfout en krijgt daardoor een slecht ’wiskunde’ cijfer.


33

23.

M513Score–Eng3.PDF, vraag 1: TEST SCORES Weer een grafiek, nu met gele en zwarte staafjes. De zwarte staafjes bevatten de toets scores van groep A en de gele staafjes de scores van groep B. Kinderen met een score tussen bijvoorbeeld 49 en 60 staan in één staafje. Verder is gegeven dat de gemiddelde score van groep A gelijk is aan 62.0 en van groep B aan 64.5. Geef een argument waarom het heel goed mogelijk is dat groep A beter scoorde dan groep B. Er is gegeven dat ’de gemiddelde score van groep A gelijk is aan 62.0’. Het eerste wat een leerling die goed nadenkt zich zou kunnen afvragen is, of dit gemiddelde van 62.0 het échte gemiddelde is óf het grove afgeronde gemiddelde die je uit de grafiek kunt halen. Na enig rekenen ontdekt hij dan, dat het gaat om de ’gemiddelde score’ die je uit deze grove grafiek kunt destilleren. Het getal 62.0 is dus geen echt gemiddelde, maar een soort gemiddelde van het gemiddelde. Waarschijnlijk gaat de vraagsteller er vanuit dat de leerling dit ook meteen zo gelezen had. Een leerling die hier inderdaad klakkeloos en zonder nadenken van uit gaat, denkt minder logisch na en leest ook slechter dan een leerling die de dubbelzinnigheid van de gegeven ’gemiddelden’ inziet. Daar komt nog bij dat dit geen ’real mathematics’ is, want geen enkele leraar berekent een gemiddelde score op deze zo vreemde en inexacte wijze. Bij een toets bereken je gewoon het gemiddelde en niet één soort (afhankelijk van de keuze van de staafbreedte) gemiddelde van het gemiddelde. De vraag is dus zéér onlogisch en verwarrend en erg nadelig voor kritisch en wiskundig denkende kinderen. Vervolgens zou een leerling kunnen bedenken dat het theoretisch mogelijk is dat alle leerlingen van groep A aan de bovenkant zitten binnen een staafje en dat alle leerlingen van groep B juist aan de onderkant zitten. Als je daar even mee gaat rekenen, dan zie je dat het theoretisch mogelijk is dat het echte exacte gemiddelde van groep A gelijk is aan 66.5 (de rechter randwaarde van de staaf van 62.0) en van groep B gelijk is aan 60.0 (de linker randwaarde van de staaf van 64.5). In dat geval of in een iets minder extreem geval, is het dus inderdaad heel goed mogelijk dat groep A in werkelijkheid een hogere gemiddelde score had dan groep B. Het lijkt me dat dit het enige echt goede antwoord is. De vraag was immers om een argument te geven dat het heel goed mogelijk is dat groep A beter scoorde dan groep B. Een leerling die dit antwoord gaf kreeg geen enkele punt! Een leerling die minder goed exact en wiskundig nadacht, had een veel grotere kans op een ’goed’ antwoord.

24.

M515ShKid–Eng2, vraag 1: SHOES FOR KIDS In een tabel zie je welke maat schoenen een kind moet hebben als zijn voeglengte tussen twee bepaalde waarden ligt. De vraag: Marina’s voeten zijn 163 mm lang. Welke maat heeft zij nodig? Dit is geen wiskunde (en ook geen intelligentie-test-vraag aan 15-jarigen).

25.

M520Skate–Eng3.PDF, vraag 1: SKATEBOARD Eric wil een skateboard kopen. Een kant en klaar board kost 82 of 84 (’zed’). Samenstellen van een board uit 4 losse onderdelen kan ook. In een tabel zie je de prijzen voor een paar types van de verschillende onderdelen. De vraag: Wat is de laagst mogelijke prijs voor een uit 4 onderdelen in elkaar gezet board, en wat is de hoogste prijs? Het is een rekensommetje voor de basisschool en zeker geen wiskunde.

26.

M520Skate–Eng3.PDF, vraag 2: SKATEBOARD Een vervolg op de vorige vraag. Eric kan bij het samenstellen van een skateboard uit 4 losse onderdelen kiezen uit respectievelijk 3, 2, 2 en 1 keuzemogelijkheden. De vraag (multiple choice): Hoeveel verschillende soorten skates zou hij kunnen maken? Deze vraag kan zonder enige wiskunde kennis of scholing worden beantwoord. Je zet gewoon de verschillende mogelijkheden op een blaadje. Een basisschool leerling die een beetje slim is kan deze vraag beantwoorden. Het multiple choice karakter maakt het geheel nog eenvoudiger. Een leerling die de wiskundige kansrekening formules kent, zal ze bij deze opgave toch niet snel gebruiken. Het op een rijtje zetten van de mogelijkheden gaat sneller en is minder gevoelig voor vergissingen. Kortom, dit is weer geen wiskunde vraag.

34


27.

M520Skate–Eng3.PDF, vraag 3: SKATEBOARD Een vervolg op de vorige vraag. Eric wil zelf een skateboard in elkaar knutselen uit 4 losse onderdelen. Hij wil zoveel mogelijk van zijn 120 zeds hieraan opmaken. De vraag: Welke onderdelen gaat hij dan kopen? Het is nog steeds geen wiskunde.

28.

M521Table–ENG2, vraag 1: TABLE TENNIS TOURNAMENT Vier kinderen hebben twee tafeltennis tafels (ze kunnen dus allevier tegelijk spelen). Ze willen drie rondes spelen. De vraag: Vul een tabel aan, waarbij je ervoor zorgt dat elk kind elk van de drie andere kinderen een keer als tegenstander heeft. Dit is een denkvraagje, maar zeker geen wiskunde.

29.

M525Deacr–ENG2, vraag 1: DECREASING CO2 LEVELS Uit een tabel lees je af: oude waarde is 6049, nieuwe waarde is 6727. Er is een toename van 11%. Reken dit na. Dit is basisschool rekenwerk, geen wiskunde.

30.

M525Deacr–ENG2, vraag 2: DECREASING CO2 LEVELS Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Een meisje beweert dat er een fout zit in de tabel, omdat de afname van Duitsland (16%) niet groter kan zijn dan de afname in de hele EU (4%) omdat Duitsland bij de EU hoort. Heeft zij gelijk? (inclusief argumentatie) Dit is geen wiskunde.

31.

M525Deacr–Eng2, vraag 3: DECREASING CO2 LEVELS Deze vraag hoort bij de vorige vraag. Twee kinderen verschillen van mening over de vraag welk land de grootste toename heeft in CO2 uitstoot. Welk twee antwoorden zijn allebei goed en waarom. In de tabel zie je pijlen getekend met een percentage toename erbij, en de hoogte van de twee staafjes (voor 1990 en 1998) van een land geven de absolute toename visueel weer. Het heeft allemaal weinig met wiskunde te maken. Je leest het antwoord gewoon af van de grafiek. Het niveau is meer voor 12 jarigen dan voor 15 jarigen.

32.

M525Deacr–Eng2, vraag 3: SPACE FLIGHT Gegeven wordt: de hoogte waarop de MIR boven de aarde vliegt, de diameter van de aarde, de omtrek van de aarde en dat de MIR 86500 keer een rondje heeft gedraaid. Vraag: schat de afstand die de MIR heeft afgelegd en rond af op 10 miljoen. De formule voor de omtrek van een cirkel (pi x d) wordt gegeven! Wat dan nog overblijft, is een natuurkunde opgave.

33.

M547Stair–Eng3.PDF, vraag 1: STAIRCASE Je ziet een tekening van een trap. Daarbij wordt nog vermeld dat de trap 14 treden telt en in totaal 252 cm hoog is. Hoe hoog is één trede? Basisschool rekenwerk.

34.

M555NCube–Eng2, vraag 1: NUMBER CUBES Gegeven is, dat bij een dobbelsteen altijd geldt dat de waarden van twee tegenovergestelde zijden altijd samen zeven zijn. Je ziet vervolgens een plaatje van drie dobbelstenen op elkaar, waarbij je op het bovenvlak van de bovenste dobbelsteen 4 stippen ziet. Hoeveel stippen zijn er in totaal op alle horizontale vlakken van


35

de dobbelstenen die je niet ziet (onderzijde van de bovenste, boven en onderzijde van de middelste en boven en onderzijde van de onderste dobbelsteen). Een leuk puzzeltje, meer niet; 3x7 - 4. Geen wiskunde.

35.

M555NCube–Eng3.PDF, vraag 2: NUMBER CUBES Weer is gegeven dat bij een dobbelsteen de tegenover elkaar gelegen vlakken samen 7 punten tellen. Je ziet vier uitslagen van een dobbelsteen (een stuk karton waarvan je een dobbelsteen zou kunnen vouwen als je gaat knippen en plakken), inclusief de stippen. De vraag: Kruis aan of een uitslag een dobbelsteen kan worden die voldoet aan de ’7-regel’. Nederlandse scholieren besteden in de brugklas veel tijd aan het knippen en plakken met dergelijke kartonnetjes. Zij zijn dus in het voordeel. Het is een bezigheid die in feite thuis hoort in het basisonderwijs en niet in de brugklas. Het is misschien een aardig puzzeltje, maar het test niet de wiskundige scholing van een 15-jarige.

36.

M702Presi–Eng3.PDF, vraag 1: SUPPORT FOR THE PRESIDENT Peilingen in 4 kranten voor de steun aan de president (verkiezingen op 25 januari): krant 1: 36%, 500 willekeuige kiesgerechtigden, 6 januari krant 2: 41.0%, 500 willekeuige kiesgerechtigden, 20 januari krant 3: 39.0%, 1000 willekeuige kiesgerechtigden, 20 januari krant 4: 44.5%, 1000 bellende lezers, 20 januari De vraag: Welke steekproef is het beste? Geef twee redenen. De vraag kan zonder enige wiskundige scholing worden beantwoord.

37.

M704BestC–Eng3.PDF, vraag 1: THE BEST CAR Je ziet een tabel met 5 automerken en een puntscore voor 4 eigenschappen zoals veiligheid (deze eigenschappen worden afgekort met S, F, E en T). De totale score van een auto is: (3 x S) + F + E + T. Gevraagd wordt om van een bepaalde auto de totale score uit te rekenen. Dit is een begin brugklas vraag (dat wil zeggen, vroeger leerde je dit in de eerste twee weken van het eerste leerjaar).

38.

M806StepP–Eng3.PDF, vraag 1: STEP PATTERN Je ziet drie plaatjes. De vraag: Hoeveel blokjes heb je nodig voor een vierde plaatje? Gewoon tekenen en je ziet het antwoord. Het zoeken van een wiskunde formule bij dit vraagje is foutgevoeliger en duurt langer. Zonder wiskunde kennis ben je in het voordeel. Het is dus het tegengestelde van een wiskunde toets vraag.

Indien U de moeite heeft genomen (was het overigens eigenlijk wel zo’n moeite?) om de vragen, de moeilijkheidsgraad en dus het niveau te beoordelen, dan is het evident dat de bewering dat 15-jarige Nederlandse kinderen (zeer) goed zouden zijn in wiskunde niet uit het onderzoek volgt. Laat staan dat het gerechtvaardigd zou zijn ons zelf op de borst te kloppen met de bewering dat onze 15-jarigen op de vierde plaats van de internationale ranking zouden staan. De PISA wiskunde test onderzocht immers niet het wiskundekennisniveau van ons onderwijs bij 15-jarigen. Bij de beantwoording van een aantal vragen is het niet beheersen van wiskundeformules zelfs een voordeel! De door mij geanalyseerde 38 toetsvragen kunnen worden verdeeld in de volgende categorieën van moeilijkheidsgraad:

• 3 wiskunde brugklas vragen (1, 2, 37) • 12 vragen die door een brugklasser kunnen worden beantwoord en waarbij wiskundige geschooldheid niet helpt en dus niet nodig is (5, 6, 7, 16, 20, 21, 28, 30, 31, 34, 35, 36)

36


• 1 vraag waarbij het beste antwoord fout wordt gerekend en waarbij exact getrainde kinderen zeer in het nadeel zijn (23)

• 1 natuurkunde vraag; de wiskunde is niet van niveau (32) • 9 rekenvragen, niveau basisschool (3, 4, 15, 17, 19, 25, 27, 29, 33) • 4 gezond verstand vragen niveau basisschool (9, 10, 14, 24) • 8 vragen waarbij wiskundige geschooldheid nadelig kan werken (8, 11, 12, 13, 18, 22, 26, 38) Van de 38 vragen (gesteld aan 15 jarige leerlingen) zijn er slechts 3 die enige wiskundige scholing op het niveau van de brugklas (12 jarige leerlingen) eisen! Bij 8 vragen kan wiskundige scholing zelfs in het nadeel werken. Het feit dat Nederland goed scoort wordt voor een belangrijk deel verklaard doordat de vragen worden gesteld door middel van bladvullende teksten. De opgaven lijken op die van de CITO toetsen en zijn sterk gebaseerd op het wiskundeonderwijs zoals dat sinds enige decennia in ons land (middels de ’contextuele methode’) wordt gegeven. De opgaven komen voorts grotendeels overeen met de manier van vraagstelling in de Nederlandse wiskunde schoolboeken. Voor de beantwoording van de Nederlandse contextuele vragen zijn in de onderbouw veelal geen abstracte wiskundige berekeningen met formules nodig. De opvallende gelijkenis met onze Nederlandse onderwijs methodiek wekt overigens geen verbazing indien men weet dat de voorzitter van de PISA Expert Group for Mathematics een Nederlander is (J. de Lange, ex-directeur van het Freudenthal Instituut) en dat het CITO en met name het Freudenthal Instituut een belangrijk aandeel in de totstandkoming van de PISA wiskundeopgaven hadden.


37

4.4 Conclusie

Het Ministerie van OCW kent de keiharde feiten inzake ons wiskundeonderwijs niet, althans onvoldoende. Het PISA-onderzoek zegt absoluut niets over het wiskundig inzicht van onze 15 jarigen. Het CITO heeft in 2004 een nationale rapportage over het internationaal vergelijkende PISA onderzoek van de OESO uitgebracht. In haar brief aan de Voorzitter van de Tweede Kamer van 15 december 2004 refereert de toenmalige Minister van OCW, Maria van der Hoeven, aan die rapportage en stelde zij: Ik ben trots op de prestaties die onze leerlingen en daarmee ook onze docenten hebben behaald. Bij alle drie de gemeten vaardigheidsgebieden scoort Nederland in de toptien van de wereld, bij wiskunde als vierde achter Hongkong, Finland en Zuid Korea.

Even verderop stelt de minister: De uitkomsten geven vertrouwen in het gevoerde onderwijsbeleid. Het Nederlandse onderwijsbestel presteert goed. Uiteraard is altijd nog verbetering mogelijk.

Om vervolgens te eindigen met: Aan het Freudenthal instituut en het CITO is nog subsidie verstrekt voor een verder gaande analyse van de wiskundetoetsen, ook in vergelijking met Vlaamse en Duitse resultaten. Dit moet leiden tot een rapport dat meer direct bruikbaar is voor wiskunde leraren.

Was dit nog een citaat uit een brief van enige jaren geleden, ook onze kersverse staatssecretaris van OCW, mevrouw Van Bijsterveldt, op 10 maart 2007 geïnterviewd in een uitzending van Eén Vandaag, beweerde met stelligheid dat internationale onderzoeken uitwijzen dat ons wiskundeonderwijs tot de top van de wereld behoort. Wederom een bewering, die niet alleen ongefundeerd is doch volstrekt wordt gelogenstraft door de feiten. Het is te hopen dat de aan het Freudenthal Instituut en het CITO verstrekte subsidies mogen leiden tot een reële analyse van het wiskunde niveau van de Nederlandse leerlingen en van de aard en het niveau van ons hedendaagse wiskundeonderwijs. Het zou daarbij voorts aanbeveling verdienen verder zichtbaar te maken dat het abstracte wiskundeonderwijs (zoals dat tot en met de zeventiger jaren van de vorige eeuw is gedoceerd) in de loop van de laatste decennia steeds meer is afgegleden in de richting van een ’pseudo-wiskunde’. Het is voorts te hopen dat het Ministerie van OCW inziet dat ons wiskundeonderwijs meer abstract moet worden en de leerlingen ’echte wiskunde’ dient bij te brengen. Een goed centraal examen is voldoende om dit te bewerkstelligen.

38


5 Slotopmerkingen en conclusies

5.1

Waarom moest ik dat vroeger allemaal leren? Ik doe er nu toch niets meer mee.

Veel oudere (alfa-)academici kijken met enig ongenoegen om naar de vele uren die ze in hun middelbare schooltijd moesten besteden aan gezwoeg met wiskunde sommen en het bewijzen van stellingen. Ze hebben er nu niets meer aan en ze begrepen vroeger de bedoeling van al die x’en en y’en ook niet echt. Deze en soortgelijke gedachten hebben de weg vrij gemaakt voor het ontstaan van de huidige ’contextuele’ wiskunde. Een begrip overigens dat niet bestaat in de wiskunde, maar is ontstaan bij de didactici en uitgevers van schoolboeken. De taal van de wiskunde is immers kort en symbolisch. Dát geeft wiskunde zijn essentie en zijn kracht. Geen proza, geen context, maar overzichtelijke formules, waardoor zeer ingewikkelde problemen kunnen worden oplost. Het idee dat een advocaat, politicus, arts of rechter nu niets meer heeft aan zijn vroegere geploeter met wiskunde berust op een groot misverstand. Het vak wiskunde heeft namelijk de hieronder gemelde zeer specifieke eigenschappen:

• Geen vak is beter in staat om het denkvermogen te stimuleren en te ontwikkelen. Ofwel, om met Robbert Dijkgraaf (NRC Handelsblad zaterdag 27 oktober 2007) te spreken: ’Wiskunde is helder denken.’

• Geen vak is geschikter om iemand precies en met zo min mogelijk fouten te leren werken. Voor elke academicus is het essentieel dat hij in zijn middelbare schooltijd heeft geleerd om kritisch en zelfstandig na te denken en om precies en nauwgezet te werken.

• Meer dan ooit is het nodig dat een jurist iets begrijpt van statistiek en van bewijsvoering (denk bijvoorbeeld aan Lucia de B.).

• Wij hebben wiskundigen nodig. Ze zijn er nu niet. Alleen als je Havo en VWO-leerlingen op tijd in aanraking brengt met wiskunde, kunnen de bèta-kinderen zichzelf ontdekken en vervolgens een exact pakket kiezen.


39

5.2 Waarom zijn er te weinig wiskunde en natuurkunde studenten?

•

Scholieren komen niet op tijd in aanraking met wiskunde. In de brugklas wordt nauwelijks iets aan algebra gedaan. Pas vlak voor de kerst komen de academici van de toekomst iets tegen als a+b+2a, daarna weer een paar maanden helemaal niets, en dan weer eens een klein stukje met wat héél elementair rekenen met een paar lettertjes. Euclidische meetkunde is helemaal uit de onderbouw verdwenen. Het bouwwerk van Euclides wordt niet meer opgetrokken. Voor de ’bollebozen’ wordt er in de bovenbouw slechts her en der een steentje van het imposante geheel getoond. Lees in dit verband een citaat van Albert Einstein 1: Het oude Griekenland wordt door ons gezien als de bron van de wetenschap van het avondland. Daar werd voor het eerst het geestelijk wonder van een logisch systeem bedacht, waarvan de uitspraken uit elkaar voortvloeiden, met een scherpte die iedere twijfel aan de bewezen stellingen wegnam: de geometrie van Euclides. Dit bewonderenswaardige werk van de ratio heeft de menselijke geest het zelfvertrouwen gegeven dat voor latere prestaties noodzakelijk was. Wie in zijn jeugd niet in de ban van dit werk raakt is niet voor de theoretische wetenschap in de wieg gelegd.

•

Het vak wiskunde is te veel ontdaan van zijn eigen taal. Moeilijke en langdurige redeneringen en bewijsvoeringen kun je met gewone Nederlandse zinnen niet goed volgen, laat staan zelf bedenken. Het logisch redeneren in de overzichtelijke en bondige wiskundetaal is veel gemakkelijker. Je kunt in feite stellen dat dát juist wiskunde is, het redeneren in de wiskundetaal. De kracht en het succes van wiskunde is dan ook dat je, door het gebruik van wiskundige formules en symbolen, veel moeilijker dingen kunt bewijzen dan met gewone taal mogelijk zou zijn. Zelfs in het tweede en derde leerjaar komt de leerling nog niet echt in aanraking met de korte en krachtige wiskundetaal die voor sommige kinderen juist zo aantrekkelijk is en waar zij de schoonheid van inzien.

•

Veel stellingen en formules worden niet meer bewezen. Neem als voorbeeld de belangrijke en veelgebruikte abc-formule. Deze komt zomaar uit de lucht vallen in bijna alle moderne schoolboeken. Leerlingen worden geacht om deze formule klakkeloos te geloven en toe te passen. Het mooie voor wiskundig ingestelde kinderen is juist dat zij op een gegeven moment de abcformule zelf kunnen afleiden met de algebra-kennis 2die zij op dat moment al onder de knie hebben. Dat geeft ze een gevoel van verwondering en voldoening.

•

Formules hoeft men niet meer uit het hoofd te weten. Als je de belangrijkste formules niet uit je hoofd weet, kunnen je hersens ook geen associaties leggen waardoor je niet meer in een flits iets kunt inzien en begrijpen. Met rekenmachine en formulekaart is het daarom veel moeilijker om de schoonheid van wiskunde te ontdekken. Het creatieve aspect van wiskunde is dan namelijk verdwenen.

1 2

40

Albert Einstein, Mijn kijk op het leven, deel 1 Daar zit nu ook precies het probleem: die algebrakennis is juist niet voldoende om het bewijs van de abc-formule te kunnen volgen en om het bewijs vervolgens ook zelf te leren opschrijven.


5.3 Waarom zijn de huidige schoolboeken niet goed voor VWO-leerlingen?

Wiskunde is voor de meeste VWO leerlingen niet een doel op zich. Het gaat niet om de vaardigheid met algebra en het gaat ook niet om de kennis van de abc-formule. Een notaris doet daar later inderdaad niets meer mee. Waar het wel om gaat, is de nauwkeurige en exacte manier van werken die men leert door het maken van lange wiskundige berekeningen. Waar het ook om gaat, is om de waterdichte logica onder de knie te krijgen door veel te oefenen in het zoeken naar een sluitend bewijs van een wiskundige stelling. Van onschatbare waarde is ook dat men via de wiskunde leert denken in abstracties. Hieronder een aantal punten over de moderne wiskunde schoolboeken:

− De contextuele schoolboeken bevatten te weinig abstracte wiskunde om de unieke voordelen van het vak tot uiting te laten komen.

− Veel stellingen worden niet bewezen. Zo komt bijvoorbeeld de abc-formule zonder afleiding uit de lucht vallen. Bij wiskunde gaat het juist om het bewijs en niet om het klakkeloos geloven en klakkeloos rekenen met een formule waarvan een ander zegt dat hij waar is.

− Met algebra wordt veel te laat en veel te weinig geoefend. − Het overzicht ontbreekt doordat allerlei onderwerpen door elkaar worden behandeld met veel tekst en plaatjes. Daar komt bij dat een kind geen boeken meer heeft van de voorafgaande jaren. Oude vergeten stof breekt ze daardoor vaak op en een totaalplaatje ontbreekt.

− De strakke logica van de Euclidische meetkunde wordt een toekomstig alfa-academicus totaal onthouden.

− De nadruk ligt te veel op het antwoord en op de rekenmachine. Het gaat niet om het antwoord, maar om de strakke redenatie en berekening.

5.4 Met het oog op de toekomst

Omwille van de rust in onderwijsland wil het ministerie nu niet opnieuw een verandering invoeren die dan achteraf weer verkeerd kan uitpakken (behalve dan de ’maatschappelijk stage’ die de organisatie van de scholen juist wèl weer zeer drastisch overhoop zal gooien). Voor deze pas-op-de-plaats-houding is het nu echter te laat. De enige effectieve ’verandering’ is: herinvoering van één centraal schriftelijke eindexamen waarin alle wiskundestof van een profiel aan bod komt. Geen multiple choice wel te verstaan. En geen formulekaarten en rekenmachientjes bij het examen (33, 45π is ook een goed antwoord). De leerling moet zonder pardon laten zien dat hij in staat is een berekening of bewijs exact en sluitend onder woorden te brengen in de daartoe speciaal ontworpen wiskundetaal. De rest gaat dan vanzelf. De leerstof maakt de orde.


41

42


Bronvermelding 1. Alles telt, leerlingenboek 8b, eerste druk 4e oplage, Thieme Meulenhof 2. Maatschrift 8A bij ’Alles telt’ 3. Werkschrift 8 bij ’Alles telt’ 4. De wereld in getallen, groep 8, Rekenboek b 5. Eindtoets Basisonderwijs Groep 8, 2007 6. Mijn Examen, opgaven van de toelatings-examens voor hoogere burgerscholen en gymnasia, gerangschikt door corn. maars, I, rekenen, dertiende, vermeerderde druk, J. Musses — uitgever — purmerend 7. Getal en Ruimte 1HV1 en Getal en Ruimte 1HV2, Wiskunde voor het eerse leerjaar havo/vwo, Eerste druk, derde oplage, 2000, EPN, Houten. 8. P.Wijdenes, Beknopte Algebra 1, vijftiende druk, P. Noordhoff N.V. – Groningen 9. Dr.D.N. van der Neut / Drs. A. Holwerda, Meetkunde met de grondbeginselen der goniometrie, eerste deel, dertiende druk, J.B. Wolters Groningen 10. Albert Einstein, Mijn kijk op het leven, deel 1, Uitgeverij Annex 11. PISA toetsvragen (http://www.oecd.org/LongAbstract/0,2546,fr_2649_35845621_34993148_119826_1_1_1,00.html) 12. brief van Maria van der Hoeven aan de Voorzitter van de Tweede Kamer (http://www.minocw.nl/documenten/brief2k-2004-doc-59789.pdf) 13. Willem Smit, ’Mythes en waarheden deel 5: maar internationaal doen we het toch goed?’ (http://www.beteronderwijs.nl)


43

Drs. Liesbeth van der Plas-Eskes (1951) studeerde natuurkunde (met als afstudeerrichting theoretische astrofysica) aan de Vrije Universiteit te Amsterdam. Zij behaalde tevens haar eerstegraads lesbevoegdheid in zowel de wiskunde als de natuurkunde. Na haar studie was zij werkzaam als lerares wiskunde in het reguliere voortgezet onderwijs en in het volwassenenonderwijs. Sinds enige jaren is zij auteur, ontwerpster en programmeur van educatieve software.

44



45

Minder bekende problemen van het Nederlandse wiskunde onderwijs

Recommend Documents