5]VSIMVMZOQI\MTRM[Ì\UÈVa $OLGOZZUNK ! MUNKA A munka szót sokszor használjuk, sokféle jelentése van. Mi is lehet ezeknek az egymástól nagyon különböző dolgoknak a közös lényege? És mi köze ezeknek a fizikához?
A költő is munkára nevel… 1.1. A munka az emberi lét, a jogos önbecsülés alapja
Sokféle munka van: például szellemi munka a tanulás, a levélírás, meg a többi, amiben nem a karunk, lábunk – a testünk fárad el, hanem az agyunk. Fizikai munka az, amitől akár izomlázat is kaphatunk, mint én a múltkor a lapátolástól.
Mindennapja ink munkafo galmait foglal juk össze.
Igazad van, mindenféle munkavégzés közben elfáradhatunk. Ez azt jelenti, hogy a szellemi, testi energiáink igénybevételével alkotunk valamit, miközben dolgozunk. A munka szót ilyen értelemben használjuk a mindennapokban. A fizika tudománya is ehhez hasonlóan, de mégis egy kicsit másképpen határozza meg a munka fogalmát. A fizikában áában akkor beszélhetü lhet nk munkavégzésről, ha egy test erő halhetü tására elmozdul. A munkavégzés hatására mindig változik valaminek az energiája. á ája. Ha munkát végzünk, elfáradunk, fogy az energiánk! Még jó, hogy fel tudunk töltődni.
1.2. Energiaközlési módok
8
Tehát a munkavégzés az energiaváltoztatásnak egy fajtája á . (Másik ája fajtája áája a melegítés vagy hőközlés. A kettő között lényeges nyeges kkülönbség van. Melegítéskor a testek minden kicsi részecskéj é ének élénkebbé válik a éj rendezetlen – mindenfé mindenf le irányú – mozgása. Munkavégzéskor pedig rendezetten, csak bizonyos irányokban változik meg a testben levő összes részecske sebessége, állapota. Erről bővebben a hőtanban tanulhatsz.) A munkavégzés* mennyiségi jellemzője, mértéke a munka*. A munka előjeles skalár mennyiség. (Tehát iránya nincs, de pozitív és negatív is lehet, előjeléről még ejtünk szót ebben a leckében…) A munka jele az angol „work” szóból származik: W. Az elmozdulással párhuzamos állandó erő munkáját a ható erőnek és a test elmozdulásának a szorzatával határozhatjuk meg. Fontos megjegyzés: a munka számolásánál az elmozdulást a kialakult szokás szerint s betűvel jelöljük! W = F × s. Mértékegysége: [W ] = [ F ]× [ s ] = N × m = J.
A fizika mun kafogalmának kialakítása
Egy kis fizikatör ténet
A munka, illetve az energia mértékegységének a neve a nagy angol fizikus tiszteletére joule. James Prescott Joule (1818–1889) hőtannal, elektromosságtannal, mechanikával foglalkozott. Különösen izgatták az energiával kapcsolatos kérdések. Huszonegy évesen alkotta meg az elektromos áram hőhatását leíró törvényét. Huszonöt sem volt, amikor a mechanikai munka és a hő közötti egyenértékűséget felismerte. Sokat tett az energia fogalmának, átalakulásainak, megmaradásának vizsgálatában, az erre vonatkozó törvények megfogalmazásában. „Főállását” tekintve, egy sörgyárat vezetett, ennek a laboratóriumában végezte világraszóló kísérleteit. Ne csak nézd! A fűrészt egyszer az egyik, aztán a másik favágó húzza 30 N-os erővel 1 m hosszan. Mennyi munkát végeznek 20 teljes periódus alatt?
1.3. James Prescott Joule (1818–1889)
F
1.4. Egyenletesen húzd a fűrészt!
A munka mate matikusabb meg fogalmazása
Ha az erő és az elmozdulás egymással nem párhuzamos, akkor két lehetőség van a munka kiszámolására. Vagy az erőnek kell az elmozdulással párhuzamos rhuzamos vet vetületét (komponensét) szorozni az elmozdulással, vagy az elmozdulást kell komponenseire bontanunk, és az elmozdulásnak az erővel párhuzamos komponensét megszoroznunk az erővel. Természetesen az eredmény ugyanaz lesz! Később matematikából tanulsz majd két vektor skaláris szorzatáról. Ez a két vektor nagyságának és az általuk bezárt szög koszinuszának a szorzata. Ezzel a művelettel elegánsan és általánosan megadható az állandó erő munkája. Az erő- és az elmozdulásvektor skaláris szorzata a munka. W = F × s = F × s × cos a. Mindig éppen a két vektor egymással párhuzamos vetületeinek a szorzataként kapjuk a munkát.
s
Fpárhuzamos
W = Fpárhuzamos · s F
sp
os
am
uz
h ár
s W = F · spárhuzamos F
α s W = F · s = F · s · cos
1.5. A szánkóhúzás is munka
1.6. Az elmozdulással nem párhuzamos erő munkája
9
5]VSIMVMZOQI\MTRM[Ì\UÈVa Ezek szerint, ha az erő irányában nem tesz meg utat a test, nem is történik munkavégzés? Ha Anya vízszintes úton cipeli haza a boltból a szatyrokat, nem végez munkát?! Fizikai értelemben nem, hiszen nincs az általa kifejtett erőnek az elmozdulással párhuzamos komponense. Biológiailag természetesen komoly izommunkát végez, tehát elfárad, ezután is bátran segíthetsz neki! 1.7. Elfárad. Munkát mégsem végez?
Egymás segí tésére is ne velünk.
A munka előjeles skalár mennyiség. Ez azt jelenti, hogy iránya nincsen, de pozitív és negatív is lehet. Akkor negatív a munka, ha az erő ellenében mozdul el a test. Ha engem elhúz a kutya, amikor sétáltatom, nem pontosan ellentétes irányú az erőm az ő mozgásával, de érzem, hogy az én erőm ellenére mozdul el a haszontalan! Milyen előjelű lesz a munkám?
F
Persze, hogy negatív, mert elég az erőnek az elmozdulással párhuzamos vetületét vizsgálni. Ez az erőkomponens pedig ebben az esetben ellentétes irányú az elmozdulással.
90°
s W = Fpárhuzamos · s = 0 F 1.8. Az elmozdulásra merőleges erő munkája nulla
Fpárhuzamos W = –Fpárhuzamos · s
s
Ne csak nézd! Mekkora a kislány munkája, ha 5 méteres úton előre haladva 20 N erővel húzza visszafelé a kutyát? Az erő és az elmozdulás egymással 150 fokos szöget zár be. 1.10. Az elmozdulással tompaszöget bezáró erő munkája
Vizsgáljuk meg a munkának egy szemléletes kiszámítási módját! Ha ábrázoljuk az állandó erőt (az úttal párhuzamos vetületét) az elmozdulás függvényében, a grafikonon a függvénygörbe és az úttengely között (a görbe alatt) megjelenik egy téglalap (1.11. ábra). Ennek a téglalapnak a területe éppen a munka számértékét adja. Természetesen egy síkidom területe mindig pozitív, a munka pedig előjeles mennyiség. Ha a munkát a görbe alatti területből határozzuk meg, minden esetben külön meg kell vizsgálni az előjelét! 1.9. Kutyasétáltatás közben negatív munkát végzünk
10
Többen meglepőd hetnek azon, hogy a munka nagysága az erő és az elmoz dulás egymáshoz viszonyított irá nyától is függ.
FII (N)
Ne csak nézd! Számold ki a munkát, ha F 5 N és s 3 m (az erő arra mutat, amerre a test halad)! Hogyan számolnál, ha az elmozdulással ellentétes irányú lenne az erő?
F W=F·s
A munka nagysá ga megjeleníthető az erő–elmozdulás grafik onon is.
0
s
s (m)
1.11. Az erő–elmozdulás grafikonon megjelenik a munka számértéke
Ne csak nézd! Hány szakaszra kellene bontani a folyamatot, hogy a közelítésünk „pontos” legyen?
FII (N)
Eddig minden esetben állandó erő munkáját próbáltuk meghatározni. Nyilvánvaló, hogy egy test mozgatása közben legtöbbször nem marad állandó az erő! Hogyan kaphatjuk meg ilyen esetben a munkát? Ne csak nézd! Állandó-e a hatalmas gumikötél által kifejtett fékezőerő? 1.12. A leszálló vadászgépeket a repülőgép-anyahajó rövid kifutópályáján egy rugalmas hevederrel fékezik le
Ha az erő nem állandó, akkor a munkáját magasabb matematikai ismeretek nélkül nehéz lenne számolni. Hívjuk segítségül az állandó erő esetén már kipróbált erő–elmozdulás grafikont! Így egyszerű lesz minden! Változó erő munkáját úgy határozhatjuk meg, hogy ábrázoljuk ennek a változó erőnek az elmozdulással párhuzamos komponensét az elmozdulás (egyenes vonalú, egyirányú mozgás esetén az út) függvényében. A grafikon görbéje alatti terület ebben az esetben is éppen a munka számértékét fogja adni. A függvénygörbét ugyanis tetszőleges pontossággal közelíthetjük olyan rövid, egyenes szakaszokkal, amelyek vagy az erő-, vagy az elmozdulástengellyel párhuzamosak. (Gondolj a számítógépen megjelenő görbékre vagy a már tanult, változó sebességű mozgások útjára!) Ha ezt tesszük, akkor a folyamatot sok olyan kicsi szakaszra bontottuk, amelyeken belül az erő állandónak tekinthető. Ezeken a kis részfolyamatokon belül a munka ugyanúgy számolható, mint állandó erő esetén. A sok kis téglalapegyüttes területe adja egyrészt a teljes görbe alatti területet, másrészt az egész változó erő munkájának a számértékét. Ez a terület az elmozdulás függvényében egyenletesen változó erő esetén könnyen számolható: egy háromszög vagy trapéz területe lesz. A munka előjelét itt is külön kell megvizsgálni!
W1 W2
Wössz
0
Wn
s (m)
1.13. Változó erő munkája a kis részfolyamatok munkáinak az „Lásd” a válto összege
Ne csak nézd! Mekkora a munka, ha F1 3 N, F2 5 N és s 2 m? (Hogyan is számoljuk a trapéz területét?) Mekkora lenne a munka, ha F1 3 N, F2 0 és s 2 m lenne?
zó erő munká jának a nagy ságát!
F (N) F2
F1 W
0
$ $s
s (m)
1.14. Az elmozdulás függvényében egyenletesen változó erő munkája
11
5]VSIMVMZOQI\MTRM[Ì\UÈVa A fizikában akkor beszélhetünk munkavégzésről, ha egy test erő hatására elmozdul. A munkavégzés az energiaváltoztatásnak egy fajtája. A munkavégzés mennyiségi jellemzője, mértéke a munka. A munka előjeles skalár mennyiség. Akkor negatív a munka, ha az erő ellenében, vagyis vele ellentétes irányban mozdul el a test. Jele az angol „work” szóból származik: W. Az elmozdulással párhuzamos állandó erő munkáját a ható erőnek és a test elmozdulásának a szorzatával határozhatjuk meg. Fontos megjegyzés: a munka számolásánál az elmozdulást a kialakult szokás szerint s betűvel jelöljük! W = F × s . Mértékegysége: [W ] = [ F ]× [ s ] = N × m = J (joule). Ha az erő és az elmozdulás egymással nem párhuzamos, e két vektor egymással párhuzamos vetületeinek a szorzataként kapjuk a munkát. Az állandó erő munkájának általános meghatározása: az erő- és az elmozdulásvektor skaláris szorzata a munka. W = F × s = F × s × cos a. A változó erő munkájának a számértékét az erő–elmozdulás grafikon görbéje alatti terület adja.
Újra megje lennek a leg fontosabb tar talmak.
Intellektuális kihívás – segít séggel Ne ijedj meg! A következő feladatok viszonylag összetettek, de minden fontos részük jól elkülöníthető. Ezek önálló, egyszerű feladatok is lehetnének! Együttes megoldásukat tekintsd intellektuális kihívásnak!
1.15. Próbáld egyedül! Rajzolj, idézd fel, amit tudsz! Ha nagyon kell, akkor segítünk!
α F s 1.16. A ládát ferdén lefelé ható erővel tolja a munkás
12
1. Egy rakodómunkás vízszintes talajon az ábra szerinti elrendezésben, 100 N erővel 2 méterrel tol arrébb egy ládát. A láda tömege 50 kg, a munkás által kifejtett erő a vízszintessel 30 fokos szöget zár be, a súrlódási együttható a talaj és a láda között 0,1. Mekkora munkát végeznek a ládára ható erők? Megoldás: Adatok: m 50 kg, s 2 m, α 30°, μ 0,1, F 100 N. WF ?, WFs ?, WFn ?, WFny ?, WFΣF ? – Rajzoljuk be a ládára ható erőket! – A feladat négy állandó erő (F (F, F, Fs, Fn, Fny) munkáját kérdezi. (Ráadás lehet az eredő erő munkája!) – Kezdjük a legegyszerűbbekkel: a nehézségi és a nyomóerő merőleges az elmozdulásra, munkájuk nulla! – A munkás által kifejtett erő α szöget zár be az elmozdulással. Munkáját a tanultak szerint WF = Fpárhuzamos × s módon számolhatjuk. Ehhez bontsuk fel az F erőt az elmozdulással párhuzamos (Fx ) és arra merőleges (Fy ) komponensekre! Így: WF = Fpárhuzamos × s = Fx × s.
– Az erő felbontását a vektorok összegzési műveletének megfordításával végezhetjük.
A felbontandó vektor kezdőpontjából kiindulva megrajzoljuk a komponensek tervezett hatásvonalát. A vektorunk végpontjából párhuzamosokat húzunk az előbb kijelölt egyenesekkel. (Így megalkottuk a vektorok összegzéséből ismert paralelogrammát.) Ahol ezek metszik a kijelölt hatásvonalakat, ott lesz a komponensek végpontja. Kezdőpontjuk természetesen az eredeti erő kiindulópontja. (A két komponens természetesen egyenértékűen helyettesíti az eredeti vektort!) A komponensek számértékét egyszerűen meghatározhatjuk a szögfüggvények segítségével (ha ezekről már tanultunk!): Fx = F × cos a és Fy = F × sin a. Ha a szögfüggvényeket még nem tanultuk, akkor geometriai ismereteink felhasználásával dolgozhatunk. Vegyük észre, hogy (mivel α 30°) a felbontás során létrehozott téglalapot (oldalai Fx és Fy) az átlója (F) két olyan háromszögre osztja, melyek egy egyenlő oldalú háromszöggé egészíthetők ki egyszerűen tükrözéssel. Tudjuk, hogy a szabályos háromszög oldalát a szimmetriatengelye felezi. Tehát Fy éppen fele F F-nek, és Pitagorasz tételéből adódóan: 3 Fx = × F » 0, 866 × F . 2
Ezek után:
WF = Fpárhuzamos × s = Fx × s = 0, 866 × F × s = 0, 866 ×100 N × 2 m = 173, 2 J. – A súrlódási erő munkája: WFs = -Fs × s = -m × Fny × s. Fontos, hogy a nyomóerő most nem egyenlő a nehézségi erővel (a munkás is nekinyomja a ládát a talajnak!). Használjuk ki, hogy függőlegesen nem gyorsul a láda! Tehát a függőleges erők – erőkomponensek eredője nulla. F Így: Fny = Fn + Fy = m × g + és 2 WFs = -Fs × s = -m × Fny × s = -m × ( Fn + Fy )× s »
Fny Fx s
Fy Fs
F Fn 1.17. A ládára ható erők
A jelenség fel idézése sorozat felvétellel
» -0,1× 550 N × 2 m. WFs = -110 J. – Az eredő erő munkája: W F = å F × s = ( Fx - Fs )× s = (86, 6 N - 55 N )× 2 m = 63, 2 J. å Látható, hogy ez egyenlő az egyes erők munkáinak az összegével, W -vel is! å W-vel
N rugóállandójú rugóval lasm san, egyenletesen emelünk föl a padlóról. A rugó eredeti (nyújtatlan) hossza l0 10 cm. A rugó fölső végét fogjuk, és azt egy méterrel mozdítjuk el fölfelé. a) Mekkora munkát végzünk? b) Mekkora a nehézségi erő munkája a golyón? 2. Egy m 2 kg tömegű golyót D = 40
1.18. Így is emelhetünk golyót (sorozatfelvétel a rugóval emelt golyóról)
13
5]VSIMVMZOQI\MTRM[Ì\UÈVa Elvont fogal maknak a jelenséghez kap csolása
Megoldás: h
$llmax
h– lmax h–$
l0
1.19. A rugóval emeljük a golyót
F (N) Fmax W
$llmax
0
h s (m)
1.20. A változó erő munkája
Adatok: m 2 kg, D = 40
N , l0 10 cm, h 1 m. m
a) W ? b) WFn ? A jelenség rövid leírása: a rugó fölső végét emelve, először még nem fejtünk ki erőt (a rugó kezdetben nyújtatlan). Ahogy egyre jobban megnyúlik a rugó, az erőnk a megnyúlással egyenes arányban nő. Amikor a megnyújtott rugó ereje egyenlővé válik a golyóra ható nehézségi erővel, a golyó elkezd egyenletesen emelkedni, a rugó nem nyúlik tovább.
A jelenség lé nyegének szö veges leírása
a) A folyamat során kezdetben változó nagyságú, aztán állandó erővel végzünk munkát. Készítsük el az erőnk nagyságát a fölső rugóvég (a kezünk) elmozdulásának függvényében megadó grafikont! Fmax = D × Dlmax = m × g = 20 N és A probléma matemati F m× g 20 N Dllmax = max = = = 0, 5 m. kai megoldása az 1.20. N D D 40 ábra grafikonjának se m gítségével A görbe alatti terület a munkánk számértékét adja: h + (h - Dlmax ) W= × Fmax = 0, 75 m × 2200 N = 15 J. A terület nagyságát 2 pozitív előjellel vesszük, hiszen az elmozdulás az erőnkkel megegyező irányú. b) A nehézségi erő akkor végez munkát, amikor a golyó emelkedik. Az ehhez tartozó elmozdulás a golyó emelkedési magassága: h – ∆lmax. Mivel a nehézségi erő állandó, munkáját könnyen számolhatjuk. WFn = -Fn × (h - Dlmax ) = -m × g × (h - Dlmax ) = -10 J. Azért negatív ez a munka, mert az elmozdulással ellentétes irányú a nehézségi erő.
1.21. Munka után édes a pihenés!
s1
F2
F1
s2
h m
m
1.22. Emelés álló és mozgó csigával
14
Megjegyzés: a grafikonról is leolvasható a nehézségi erő munkája, mivel az első szakaszon a mi munkánk a rugó nyújtására, a második szakaszon pedig a nehézségi erő ellenében való egyenletes emelésre fordítódott. Tehát a téglalap területének a számértéke negatív előjellel adja a nehézségi erő munkáját. Gyakorlati, fizikatör téneti kérdések, ke resni és igazán meg gondolni valók 1. Nézz utána, hogy a görög ergon szó mit jelent! Milyen mértékegység neve származik ebből a szóból? Milyen kapcsolatban van ez a mértékegység a munka SI mértékegységével?
2. Egyszer egy mozgócsiga segítségével, majd egy állócsigával emelünk egy adott testet ugyanolyan magasra. Hasonlítsd össze, hogy milyen a két munka aránya! Készíts ábrát! Fogalmazd meg általánosan is a megállapításodat az egyszerű gépek esetére! 3. Mikor kell több munkát végeznünk? Ha a kezünkben viszünk fel egy vödör maltert az építkezés második emeletére, vagy ha állócsigával húzzuk fel? 4. Nézz utána a könyvtárban vagy az interneten, hogy kik voltak azok a francia tudósok, akik bevezették a munka fogalmát!
Fokozatosan ne hezedő feladatok, elképzelést, meg oldást segítő képi elemekkel
1. Az ásót 25 cm mélyre nyomjuk a talajba. Ehhez átlagosan 400 N erőt fejtünk ki. Mekkora munkát végzünk? 2. Mekkora úton húzhatjuk a gereblyét 50 N nagyságú erővel 75 J munka árán? 3. Egy testre (többek között) egy F1 20 N nagyságú erő hat, és az egyenes pályán megtett útja 2,5 m. Készítsd el az erő–út grafikont! Határozd meg az F1 erő munkáját! Oldd meg a feladatot a következő három esetre! a) Az erő és az út párhuzamos, és a mozgás az erő irányában jön létre. b) Az erő és az út párhuzamos, és a mozgás az erővel ellentétes irányban jön létre. c) Az erő és az elmozdulás egymással 45°-os szöget zár be. 4. A szánhúzó kutya egyenletesen húzza a szánkót és a rajta ülő gyereket a vízszintes, 25 méteres úton. Számold ki a kutya, a gravitációs erő, a nyomóerő, a súrlódási erő és az eredő erő munkáját is! A szánkó kötelét tekintsük vízszintesnek. A szánkó és a gyerek együttes tömege 40 kg, a súrlódási együttható 0,02.
1.23. Mekkora is a felemelt test tömege?! (Mit emelünk?)
1.24. A szánkózás kellemes téli időtöltés
5. Oldd meg az előző feladatot azzal az eltéréssel, hogy a szánkó kötele zárjon be 30-os szöget a talajjal (például a gyermekét szánkóztató apa esete)!
1.25. Az apa húzza a szánkót
...
15
