Mikroökonómia Elıadásvázlat szeptember 13

(C) http://kgt.bme.hu/

Mikroökonómia Elıadásvázlat 2010. szeptember 13. I.

Marginalizmus és matematika

Két – vagy több – tényezı közötti kapcsolat jellemzésére függvényeket használunk, amelyek a független (magyarázó) és a függı (eredmény-) változó közötti összefüggést jelenítik meg. Gyakorlófeladat: Mik a korábban megismert keresleti és kínálati függvényeknél a független, illetve a függı változók? Változik-e a független változók száma, ha a keresleti, illetve kínálati görbék függvényszerő összefüggéseit vizsgáljuk? Ha mindkét változó értékei nagyon (végtelen) kis mennyiségekben változ(hat)nak, akkor folytonos függvényeket használhatunk, pl. az y = f (x ) függvény esetén:

y

f (x )

x

Ha most a független változó értéke módosul, x 0 -ról x 1 -re, akkor a függı változó értéke y 0 -

ról y1 -re módosul. Ha a P0 = (x 0 , y 0 ) és a P1 = (x 1 , y1 ) pontokat egymással összekötjük, akkor az S1 szelıt kapjuk, amelynek meredekségét az α szöggel határozhatjuk meg: y − y 0 ∆y tg (α ) = 1 = . x 1 − x 0 ∆x

1 1 /13

(C) http://kgt.bme.hu/ y S1

P1

f (x )

y1

P0 y0

α

x

x0

x1

Ha most a ∆x i = x i − x 0 , i = 1,2,3,... , távolságot egyre kisebbé változtatjuk, akkor mind újabb szelıket kapunk, amelyek meredekségét az α i szögek, i = 1,2,3,... , határozzák meg. A következı ábrán ezt i = 1,2 esetét tüntettük fel.

y S2

f (x )

y1

y2

S1

P2

P1

P0

y0 α2

α1

x

x0

x2

x1

2 2 /13


A szelıkbıl így elıbb-utóbb érintı lesz, az az E egyenes, amely az y = f (x ) függvény gráfját a P0 = (x 0 , y 0 ) pontban érinti.

y E P1

S1 f (x )

y1

P0 y0

α

x

x0

x1

Az E egyenes meredeksége ugyanazt fejezi ki, mint korábban az összes S1 , S 2 ,... szelık meredeksége – a magyarázó változó és az eredményváltozó értékmódosulásainak az arányát. Az egyetlen különbség, hogy a magyarázó (független) változó értéke most egy végtelen kis egységgel nıtt vagy csökkent. Gyakorlófeladat: Adott a q D (p ) =

100 alakú keresleti függvény. p a) Ábrázolja a fenti keresleti függvényt a következı koordináta-rendszerben! p

q

3 3 /13


b) Tegyük fel, hogy az ár a kiinduló p 0 = 50 értékrıl a p1 = 5 értékre csökken. Határozza meg a hozzátartozó termékmennyiségeket, utána kösse össze a P0 = (p 0 , q 0 ) és P1 = (p1 , q 1 ) pontokat egymással! Ábrázolja az árváltozást és a termékmennyiség változását! Melyik függvénnyel fejezhetjük ki az árváltozás és a termékmennyiség-változás arányát? c) Ábrázolja a megadott keresleti függvényt az alábbi koordináta-rendszerben! Kösse össze egymással a P0 = (p 0 , q 0 ) és P1 = (p1 , q 1 ) pontokat és hasonlítsa össze a kapott egyenest a b) feladatrészben kapott egyenessel! q

p

d) Tegyük fel, hogy a p1 = 5 árat nem a p 0 = 50 árból kiindulva érjük el, hanem rendre a p 2 = 40 , p 3 = 25 , p 4 = 20 , p 5 = 10 árakból. Határozza meg az árakhoz tartozó termékmennyiségeket és kösse össze a P1 = (p1 , q 1 ) pontot rendre a kiszámított pontokkal! Értelmezze az eredményt grafikusan és a b) feladatrészben meghatározott függvény segítségével is! e) Melyik egyenes fejezi ki legpontosabban a kereslet alakulását, ha az ár változik? Melyik egyenes fejezi ki legpontosabban a kereslet alakulását? f) Fogalmazza meg, mit jelent a kapott egyenesek meredeksége közgazdasági szempontból! g) Mi történik, ha az árváltozás rendkívül – szélsı esetben: végtelen – kicsi? Valamelyik görbéhez húzott érintı meredeksége tehát a) a függvény meredekségét mutatja az érintési pontban, b) azt fejezi ki, mennyire változik a független változó értéke, ha a függı változó értéke egy végtelen kis egységgel módosul.

Kérdés: Mit jelent az érintı pozitív, illetve negatív meredeksége? Értelmezze ennek ismeretében a keresleti, illetve kínálati függvény meredekségét! A függvény valamely pontban vett meredekségét a függvény elsı deriváltjával határozhatjuk meg. Ennek megértéséhez menjünk vissza az egyik korábbi ábránkhoz. Ha most az x 1 − x 0 különbséget h-val jelöljük, akkor azt kapjuk, hogy x 1 = x 0 + h és y1 = f (x 1 ) = f (x 0 + h ) . Így

4 4 /13


∆y = f (x 0 + h ) − f (x 0 ) és ∆x = h , vagyis az S1 szelı meredekségét kifejezı kifejezés most ∆y f ( x 0 + h ) − f ( x 0 ) úgy is leírható, hogy tg (α ) = = . ∆x h

y

P1

y1

S1

f (x )

f (x 0 + h ) − f (x 0 ) P0 y0 α

x

x0

h

x1

A P0 ponton áthaladó érintı meredekségét úgy kaptuk meg, hogy ∆x értékét egyre kisebbre

f (x 0 + h ) − f (x 0 ) értékét h megadjuk, ha h egyre kisebb lesz. Ezt a matematikában a határérték (limes) fogalma segítségével fejezzük ki, képletben:

vettük. Feladatunk tehát most az, hogy egy adott függvény esetén az

 f (x 0 + h ) − f (x 0 )  lim , h →0 h   amely – még egyszer megismételve - azt az utasítást jelenti, hogy keressük a szögletes zárójelekben lévı kifejezés értékét, miközben h tart a 0-hoz. Ezt az értéket nevezzük az f (x ) dy df (x ) függvény elsı deriváltját az x 0 érték mellett és a = hányadossal jelöljük. A dx x = x 0 dx x = x 0 ∆ helyett azért használjuk most a d-t, hogy jelezzük a változások végtelen kis mértékét; ez az egyetlen különbség. Tekintettel, hogy a szóban forgó kifejezést csak konkrétan megadott függvényekre tudjuk megadni, válasszuk most az y = f (x ) = x 2 függvényt. Valamely tetszıleges x 0 esetén tehát

5 5 /13


f (x 0 + h ) − f (x 0 ) (x 0 + h ) − x 02 = . h h 2

Az egyenlet jobb oldalán szereplı kifejezést átalakítva azt kapjuk, hogy

(x 0 + h )2 − x 02 h

x 02 + 2 x 0 h + h 2 − x 02 2x 0 h + h 2 = = = 2x 0 + h , h h

amely egyre kisebb h-értékek esetén szemmel láthatóan a 2 x 0 értékét veszi fel, azaz a fenti jelölést alkalmazva: dy dx

x=x0

d(x 2 ) = = 2x x = x 0 . dx x = x 0

Gyakorlófeladat: Határozza

meg

y = f (x ) = x 2

az

függvény

meredekségét,

ha

x 0 = −5, − 2, − 1, 0, 1, 2, 4, 10 ! Ábrázolja az f (x ) = x 2 függvényt, és tüntesse fel a meredekségét a megadott pontokban! Mit jelent az, hogy valamely függvény elsı deriváltja egy adott pontban zérus?

Legyen a megvizsgálandó függvény most az f (x ) = x 3 . Ebben az esetben tehát f (x 0 + h ) − f (x 0 ) (x 0 + h ) − x 30 x 30 + 3x 02 h + 3x 0 h 2 + h 3 = = , h h h 3

amibıl d(x 3 ) = 3x 2 x = x 0 dx x = x 0

adódik. A binomiális tétel segítségével megmutatható, hogy az f (x ) = x n alakú függvénynek elsı deriváltja

df (x n ) = nx n −1 , ahol n tetszıleges valós szám. dx

Gyakorlófeladat: Mutassa

meg,

hogy

az

f (x ) = a + bx

6 6 /13

deriváltja

b,

azaz

df = b! dx


Gyakorlófeladat: Határozza meg a fenti gyakorló feladatban szereplı q D (p ) =

100 keresleti függvény elsı p

deriváltját!

Gyakorlófeladat: Valamely termék kínálati függvénye q S (p ) = 3x 2 . a) Ábrázolja a függvényt az alábbi két koordináta-rendszerben! q

p

p

q

b) Mekkora kínálat-változás várható, ha az ár a p 0 = 1 , p1 = 3 , p 2 = 10 értékeknél egy végtelen kis egységgel csökkenne? c) Határozza meg hogyan változik a kínálat, ha a megadott árak esetén végtelenül kis árváltozás következik be! Tüntesse fel az eredményt az a) feladatrészben ábrázolt függvényeknél!

II.

A rugalmasság

1. A deriválással a következı kérdésre egyértelmő választ adhatunk: Mennyivel változik a termék iránti kereslet, ha az ár z egységgel nı? Sokszor azonban nem az ár és a kereslet, illetve általánosságban megfogalmazva: két változó abszolút mennyiségben mért értékváltozásai fontosak, hanem – fıleg nem-lineáris összefüggéseknél – azok százalékos változásuk aránya érdekes, azaz ha az egyik – független – változó értéke x százalékkal változik, akkor hány százalékkal változik a másik – függı – változó értéke. Ennek elemzéséhez a rugalmasság fogalmát használjuk.

7 7 /13


Legyen adva két változó – x és y – közötti kapcsolat, amelyet az y = f (x ) függvénnyel írhatunk le. Az y változónak az x változóra vonatkozó rugalmasságán (jelölés: ε yx ) azt értjük, hogy hány százalékkal változik az y változó értéke, ha az x változó értéke egy egységgel változik. Mivel az y változó százalékos változása

∆y , az y

∆y ∆x ∆y x y , ezért ε yx = = ⋅ , illetve végtelen x változó százalékos változása pedig ∆x ∆x y x x dy dy x y kis változások esetében a deriváltat alkalmazva: ε yx = = ⋅ ; az ε yx azt fejezi dx dx y x ki, hogy az x változó végtelen kis százalékos változása milyen – szintén százalékban kifejezett – változást eredményez az y változóban, az elsı index tehát az eredményváltozóra vonatkozik, a második a magyarázó változóra. -

Deriváltak használatakor az ún. pontrugalmasságot számítunk. dy x dy y Mivel ε yx = ⋅ = : , azért azt mondhatjuk, hogy a pontrugalmasság a dx y dx x „határváltozás és az átlagváltozás hányadosa”. Különbség pontrugalmasság és ívrugalmasság között: a diszkrét mennyiségeket figyelembe vevı ívrugalmasság közelebb áll a valósághoz, de megállapodás kérdése az intervallum melyik pontjára (vég- vagy középpont) vetítjük a változásokat.

2. Adott legyen a következı keresleti függvény: q D (p ) = 300 − 5p . A kereslet árrugalmassága a fentiek alapján

ε q Dp =

Tekintettel

arra,

hogy

dq D p ⋅ . dp q D

példánkban

dq D = −5 , dp

azt

kapjuk,

hogy

p p =− . Látjuk, hogy a kereslet árrugalmasságának az értéke 300 − 5p 60 − p az ártól függ, azaz lineáris keresleti függvények esetén a kereslet árrugalmassága nem 10 1 állandó. Ha az pl. p = 10 , akkor ε q D p =− = − , vagyis ebben az esetben p =10 60 − 10 5 1 -egységgel az ár egységnyi (végtelen kicsi) százalékos változása a keresletet 5 ε q D p = −5 ⋅

8 8 /13


változtatja az ellenkezı irányba (negatív elıjel!). Ha p = 50 , akkor ε q D p

p =50

= −5 ,

vagyis ebben az esetben az ár egységnyi (végtelen kicsi) százalékos növekedése (csökkenése) a keresletet 5 egységgel csökkenti (növeli). 3. A rugalmasság mértéke (a változás irányának a mellızése miatt abszolút értékben adjuk meg a rugalmasság határait):

ε yx = ∞ tökéletesen rugalmas

1 < ε yx < ∞ rugalmas

ε yx = 1 Egységnyi (vagy arányosan) rugalmas

0 < ε yx < 1 Rugalmatlan

ε yx = 0 teljesen rugalmatlan

4. A rugalmasság grafikus ábrázolása Adott a következı keresleti görbe: p

D

B

P

D q 0

A

C

dq D p ⋅ D , azonban a fenti ábrán nem a q D (p ) keresleti dp q görbét látjuk, hanem az inverz keresleti görbét. Mivel az inverz függvény képét úgy

A kereslet árrugalmassága ε q D p =

9 9 /13


kapjuk meg, hogy az eredeti görbét a 45°-os egyenesen tükrözzük, ezért a görbék 1 meredekségei is ennek megfelelıen változnak, így végül ε q D p = . A fenti görbe ε pq D meredeksége a P pontban

dp , ami megegyezik a szóban forgó ponton áthaladó érintı dq D

0D 0C D q PA hányadossal. A arány pedig egyenlı a 0P egyenes meredekségével, amely a p 0A D dp q 0D PA hányadossal adható meg. Így ε pq D = D ⋅ =− ⋅ , ezért a kereslet p dq 0C 0 A meredekségével, vagyis a CD egyenes meredekségével; ez viszont egyenlı a −

árrugalmassága ( ε q D p =

1 ε pq D

miatt) ε q D p = −

0C 0A ⋅ . 0D PA

Gyakorlófeladat: Adott az alábbi kínálati görbe:

p S

B

E

C

q 0

A

D

Döntse el, hogy az alábbi állítások közül melyik igaz a kínálat B pontbeli árrugalmasságára! Döntését indokolja meg! a) ε q D p = − b) ε q D p =

BC AB

AB BC

10 10 /13


c) ε q D p =

AD 0D

5. Különbözı rugalmasságok a) Kereslet vagy kínálat árrugalmassága • •

A kínálat árrugalmassága pozitív. A kereslet árrugalmassága általában negatív, de pozitivitása nincs kizárva, pl. Sznobhatás vagy az áruhiánytól való félelem ⇒ felvásárlás

b) Kereslet jövedelemrugalmassága • • •

Jellemzıen pozitív (superior javak), de elképzelhetı, hogy negatív (inferior javak); Luxusjavaknál 1-nél nagyobb; Engel-törvény: növekvı jövedelem mellett a háztartások egyre kevesebbet költenek élelmiszerekre – élelmiszereknél a kereslet jövedelemrugalmassága 1-nél kisebb;

c) Keresztár-rugalmasság • • •

Ha pozitív, akkor a két áru egymást helyettesítı termék, Ha negatív akkor komplementerek (egymást kiegészítı termékek) Robert Triffin: a verseny erısségének mértéke (itt: Triffin-féle együttható – jele: e) Ha e = 0 , akkor nincs verseny – ha A termelı által piacra vitt termék ára egy végtelen kis egységgel csökken, de ez nem hat B termelı értékesítésére, akkor a két szereplı között nincs verseny; Ha 0 < e < ∞ , ún. heterogén verseny; minél kisebb e, annál kisebb a verseny; Ha e = ∞ , homogén verseny – ha A termelı által piacra vitt termék ára egy végtelen kis egységgel csökken, akkor ez rendkívül erısen befolyásolja B termelı értékesítését; nagy a verseny.

6. A rugalmasság és a keresleti (kínálati) görbe alakja -

független (mennyiséget a vízszintes, árat a függıleges tengelyen ábrázolva: függıleges egyenes): teljesen rugalmatlan; vízszintes: tökéletesen rugalmas; az a görbe, amelynek meredeksége az adott pontban (abszolút értékben véve) kisebb, az rugalmasabb.

7. A rugalmasság alkalmazása.

11 11 /13


a) A kereslet árrugalmassága és a vállalat bevétele Ld. Varian, 16.7. pont (342-344. old.), ill. nagycsoportos foglalkozásokon. b) Adóbevételeknek az adóalap szerinti rugalmassága A gazdasági szereplınek jövedelemtıl függı adót is és jövedelemtıl független adót is kell fizetni, azaz t = t 0 + zy , ahol t a befizetésre kerülı adóösszeg, t 0 a jövedelemtıl független adó (forgalmi adó, gépkocsi súlyadója, stb.), z az adókulcs, amelyet az y nagyságú jövedelemre vetítettek ki. Az adóbevétel jövedelem szerinti rugalmassága dt y zy ⋅ = , a jövedelem egy – végtelen kis – százalékos növekedése ezek szerint dy t t 0 + zy zy az adóbevételeket százalékkal növeli. t 0 + zy Kérdés: Indokolt, ha a kormány a költségvetés deficitjét csökkenteni kívánja, ugyanakkor gazdaságélénkítı, azaz jövedelemnövelı gazdaságpolitikát kíván folytat, hogy ebben a helyzetben a többnyire jövedelemtıl független adónemeket megszünteti? c) A Laffer-görbe Az állam a jövedelemre vet ki adót, az adókulcs z , így az ebbıl származó adóbevételek B = zY , ahol Y a GDP-nek megfelelı összgazdasági jövedelem. A termelésen alapuló jövedelem viszont negatív kapcsolatban áll az adókulccsal – minél magasabb az adókulcs, annál jobban nınek a termelık terhei, annál nehezebben érik el az elvárt nyereséget, annál többen nem folytatják a termelést, kevesebb lesz a jövedelem, azaz pl. Y = a − bz . Az adóbevételek ezek után B = zY = z(a − bz ) . Tehát: az adókulcs növelésével egy darabig nınek az adóbevételek, utána csökkennek:

B

z

12 12 /13


Mikroökonómiai fejtörı 2. Keressen olyan keresleti és olyan kínálati függvényt, amelyeknek árrugalmasságai minden egyes pontban állandók! Értelmezze a kapott eredményt közgazdasági szempontból!

13 13 /13

Mikroökonómia Elıadásvázlat szeptember 13

Recommend Documents