Mi a pont és a vektor? Milyen műveleteket végezhetünk el a pontokon és vektorokon? Pont: a(z euklideszi) tér egy eleme, amelynek semmiféle kiterjedése sincs. Vektor: geometriailag egy eltolás, aminek iránya és hossza van. A tér egy pontjához azt a másikat rendeli hozzá, ami az adott irányban, a vektornak megfelelő távolságban van. Műveletek: pont+vektor=pont ; pont-pont=vektor Vektorra: összeadás, kivonás, skalárral szorzás, vektoriális szorzat (eredmény vektorok), skaláris szorzat (eredmény skalár). Hogyan néz ki egy térbeli jobbsodrású illetve balsodrású koordináta-rendszer?
Jobb:
Bal: 1 / 24
Mi a síkbeli polárkoordináta-rendszer def.? Hogyan számíthatóak egy Descartes-féle derékszögű koord. rendszerben adott pont polárkoord.i? Hogyan számíthatóak egy polárkoord.kal adott pont Descartes-féle derékszögű koord. rendszerbeli koord.i? Egy O kezdőpontból (referenciapontból) induló félegyenes (polártengely) határozza meg. Egy P ): pont helyét két adat azonosítja ( •r 0: az OP távolsága a térben, [ ) az O-n és a P-n átmenő egyenes • polártengellyel bezárt szöge. Polár→Descartes: √ Descartes→Polár: ( ) ( ) ( )
{ ( 2 / 24
)
Mi a gömbi/térbeli polárkoord.-rendszer definíci ója? Hogyan számíthat óak egy Descartes-féle derékszögű koord.rendszerben adott pont gömbi koord.i? Hogyan számíthat óak egy térbeli polárkoord.kal adott pont Descartes-féle derékszögű koord.rendszerbeli koord.i? ): Egy térbeli P pontot 3 adat reprezentál ( a P pont alapsíkra vett vetületének polárkoordinátái, • [ : az O-t és P-t összekötő egyenes Z tengellyel bezárt szöge ) ( ): Gömb→Descartes: ( ; ; Descartes→Gömb: √ ; ( ); {
3 / 24
Hány pontot kell rögzítenünk a síkban, ha teljes euklideszi teret (annak összes pontját) le akarjuk írni baricentrikus koordináták segítségével? Ebben az esetben mit jelent a definició „nem egy n-1 dimenziós altérbe esnek” kitétele, milyen geometriai megkötést ad a rögzített pontokra? Ha -ben az pontok kifeszítik a teret (azaz nem esnek egy n-1 dimenziós altérbe), akkor a tér bármely x pontjához találhatóak valós számok úgy, hogy ∑ , ahol a baricentrikus koordinátákra teljesül, hogy ∑ . A síkban tehát 3 általános állású pont kell (olyanok, amelyek nem esnek sem egy egyenesbe, sem egy pontba), a térben 4 általános állású pont.
4 / 24
Hogyan bővítettük ki az euklideszi síkot és teret? Mik és projektív lezárásainak definíciói? Egyenes=egyenes+1 ideális pont úgy, hogy: •Párhuzamos egyenesek ideális pontja megegyezik, •Egy sík ideális pontjai egy egyenesen vannak, ez a sík ideális egyenese, •Párhuzamos síkok ideális egyenese megegyezik, •A tér ideális elemei egy síkban vannak, ez a tér ideális síkja. Homogén sík: az projektív lezárása, azaz egy kitűntetett ideális egyenessel: •Projektív síkban két pont meghatároz egy egyenest, •Bármely két egyenes meghatároz egy pontot(!). Homogén tér: az projektív lezárása, azaz egy kitüntett ideális egyenessel: •Bármely három pont meghatároz egy síkot, •Bármely három sík meghatároz egy pontot(!).
5 / 24
Hogyan rendeltünk homogén koordinátákat az euklideszi tér pontjaihoz és vektoraihoz? Egy projektív síkbeli [térbeli] koordináta számhármas [számnégyes] mit ábrázol az euklideszi térben (az értékek függvényében)? •Az euklideszi tér minden pontjához hozzárendelünk egy számnégyest, homogén koordinátákat: ( ) [ [ [ •az összes v=[ vektorhoz pedig: [ [ [ [ Mik az origó, az x tengely, az y tengely és a z tengely homogén koordinátás alakjai? tetsz., nem nulla valós szám [0,0,0,c] az origo [c,0,0,0] az x tengely ideális pontja [0,c,0,0] az y tengely ideális pontja [0,0,c,0] a z tengely ideális pontja 6 / 24
Hogyan írható fel egy általános egyenes a síkban poolárkoordinátákkal? •Az origón áthaladó, a polártengellyel szöget bezáró irányú egyenesek polárkoordinátás (implicit) egyenlete: . • Ha az egyenesünk nem halad át az origón, akkor legyen ( ) a metszéspontja az egyenesüknek és egy arra merőleges az origón áthaladó egyenesnek. Ekkor az egyenesünk polárkoordinátái közül a sugár a polárszög függvényeként felírható a következő alakban: ( ) (
)
Mi a lineáris leképezés definíciója? Azon leképezések, amelyekre teljesül, hogy és esetén (a+b)= (a)+ (b) (additív) és • ( ) ( ) (homogén).
7 / 24
Mik a projektív és affin transzformációk? Milyen algebrai struktúrát alkotnak a konkatenáció (transzformáció kompozíció) műveletével? •Az ideális síkkal kibővített euklideszi tér önmagára való, kölcsönösen egyértelmű, pont-, egyenes-, sík-, és illeszkedést tartó leképezéseit kollineációknak, vagy projektív transzformációknak nevezzük. •Affin transzformációk a projektív transzformációknak az az alcsoportja, amelyek a (kibővített) tér "közönséges”, euklideszi részét önmagára képezik le, és az ideális síkot is önmagára képezi le. A projektív és affin transzformációk algebrai csoportot alkotnak a konkatenáció (transzformációk kompozíciója) műveletével. (konkatenáció asszoc, ∃ egységelem, a dimenziótartó transzformációknak van inverze, /NEM kommutatív/)
8 / 24
Bizonyítsd be, hogy a baricentrikus koordináták affin invariánsak! Legyenek a tetsz. x baricentrikus koord.i -kre (∑ )= vonatkoztatva , ekkor ( ) ( ) ∑ ∑ ( ), mert affin transzformáció additív és homogén. Ism. az eltolás transzformációját! (Definíció, inverz, algebrai struktúra) Minden pontot egy adott d vektorral eltolunk: , általában T(dx,dy,dz)-vel jelöljük, mátrix alakban homogén pontmegadás kell, választással: [
].
Hiszen ha homogén koord.it használjuk x pontnak: [
][ ]
[
Az affin transzformációk egy kommutatív részcsoportját alkotják. T(a,b,c) inverze T-1(a,b,c)=T(-a,-b,-c). 9 / 24
].
Ism. a forgatás transzformációját! (Definíció, inverz, algebrai struktúra) Forgatás mátrixok: ahol , Z tengely mentén:
( )
[
]
Y tengely mentén:
( )
[
]
X tengely mentén:
( )
[
]
•Az azonos tengely körüli elforgatások az affin transzformációk egy kommutatív részcsoportját alkotják. •A forgatás inverze az eredeti forgatás nagyságával megegyező, de ellentétes irányú forgatás. •Az eltolás és forgatás sorrendje nem cserélhető! •Tetszőleges orientáció előállítható a három forgatás egymás utáni alkalmazásásval. ( ) 10 / 24
[
] [
]
[
]
Ism. a méretezés transzformációját! (Defi, inverz (linalg!), algebrai struktúra) Milyen spec. esetei vannak, hogyan hatnak ezek a sodrásirányra, van-e esetben inverz? •Az x,y,z tengelyek mentén széthúzzuk vagy összenyomjuk az alakzatot, azaz más léptéket választunk – egymástól függetlenül is akár. •Mátrix alak: (
)
[
]
•sx,sy,sz valamelyike negatív: ha ► az egyik: a tükrözés iránya merőleges a síkra, ► kettő: akkor tükrözés egy tengelyre, ► mindhárom: akkor középpontos tükrözés. •Páratlan számú negatív együtthatónál a sodrásirány is megváltozik. •Speciális eset: vetítés:ha sx,sy,sz vmelyike 0, ha 11 / 24
► az egyik: az irányra merőleges síkra vetítünk, ► kettő: akkor egy tengelyre vetítünk, ►mind3: akkor az origóba vetítünk mindent. • Ha a determináns 0 nincs inverz!!! Hogyan halad a fény a szemben? Mely lépései függnek az útnak a beérkező fény hullámhosszától? •A fény a szaruhártyán megtörve jut a szembe, a szivárványhártya (iris) csökkenti a szembe jutó fény mennyiségét (szűri), a pupilla pedig fényrekeszként funkcionál. A szemlencse a belépő fénysugarakat a recehártyára (retinára) fókuszálja (az egészséges szemben)… •A különböző hullámhosszú fény másképp törik. Ahhoz, hogy a szemlencse a retinára tudja fókuszálni a sugárizomnak módosítania kell a szemlencse alakját. ►a piros színre fókuszáláskor ugyanaz játszódik le, mint amikor közelre nézünk. ►a kék színnél pedig, mint amikor távolra. •…A fényreceptorok érzékelését a látóideg továbbítja az agy felé. 12 / 24
A retinában milyen fényérzékelést szolgáló idegsejtek találhatóak? •A retinában kétféle fény érzékelésére szolgáló idegsejt található: ► pálcikák (rod): alacsonyabb intenzitású fényre érzékenyek, a sötét-világos +különböztetésére alkalmas, alacsonyabb felbontásúak ► csapok (cone): erősebb fényingert igénylő idegsejtek, a színlátást és éleslátást szolgálják, tizedannyira érzékenyek a fényre mint a pálcikák •Az elektromágneses energia egy bizonyos sávjára érzékenyek csak a fenti sejtek. • 3féle csap található a szemben: érzékenységük: ►S csap: 420nm körüli fényre (kék) ►M csap: 530nm körüli fényre (zöld) ►L csap: 560nm körüli fényre (vörös)
13 / 24
Mi a CFF (critical flicker frequency)? Miért érzékeljük folyamatos képnek az ennél sűrűbben felvillanó képsorozatot? •Egy lassan villogó fényt külön-külön felvillanásonként észlelünk. Azonban ha a felvillanások közt eltelt idő egyre kisebb, akkor a fotoreceptorok által leadott jelek „összetorlódnak” (eléri a critical flicker frequency-t) folyamatos fénypontként érzékeljük. •CFF alatt a felvillanó képeket különálló elemekként kezeljük, azt átlépve folytonos képfolyamnak. •a flicker rate sok tényezőtől függ (háttérmegvilágítás, megjelenített kép nagysága) ►ideális körülmények között nagyjából 60Hz Mi a tristimulus érték? bármely színérzet kódolható egy számhármassal, tristimulus értékkel Jellemezd az RGB szín-teret! •Additív (összeadó) színmodell. •Legyen 3 kiválasztott hullámhossz: 14 / 24
=700nm; =561nm; =436nm Legyen egy monokromatikus fénynyaláb. Ekkor a hozzá tartozó RGB értékek megadására használjuk az r( ),g( ),b( ) színillesztő fv-eket. •használata: elsődlegesen elektronikai eszközök (képernyők, kijelzők, érzékelők) •vörös,zöld,kék fény különböző mértékű keverésével határozza meg a színeket •Az RGB skálán egy színt az határoz meg, hogy milyen intenzitású a három komponense. Jellemezd a CMYK szín-teret! •Szubsztraktív (kivonó) színmodell •a 3 alapszín: cián, magenta, sárga, fekete •a fekete a színek összességét a fehér a színek hiányát jelenti •használata: színes nyomtatás ►plusz fekete patron, praktikumból, hogy ne a másik háromból fogyasszon •(az RGB kockában az eredeti tengelyekkel „szemközti” tengelyek) Jellemezd a HSL/HSV színmodelleket! •A színeket egy hengerrel adjuk meg, egy árnyalat (Hue), egy telítettség (Saturation) és 15 / 24
egy fényesség (Lightness) vagy világosság (Value) segítségével. Hogyan néz ki az y tengelyű, (0,p) fókuszpontú parabola implicit, explicit és parametrikus egyenlete? Az y tengelyű, (0,p) fókuszpontú parabola egy •implicit egyenlete: •explicit egyenlete:
,
•parametrikus egyenlete: ( )
[
Jellemezd a ray-casting-ot! Mi a célja, hogyan működik, hogyan állapítja meg, hogy egy adott pixelben mi látszik stb.? •A ray-casting a szemlélőtől kiinduló sugarak segítségével dönti el egy-egy sík láthatóságát és építi fel a képet. •Sugarat indítunk a színtérbe, minden objektumra megnézzük, hogy metszi-e a sugár az objektumot. A legközelebbi metszett objektum színével színezzük ki a pixelt.
16 / 24
Ismertesd általánosan a parametrikus alakban megadott felület és a sugár metszését! •Legyen adva egy parametrikus felület ( ) [ ( ) ( ) ( ) •kell találni egy olyan t sugárparamétert, amihez létezik (u,v), hogy ( ) ( ) •ez 3 ismeretlenes (t,u,v), 3 egyenletes (x,y,z koord.nként egy) egyenletrendszer •t ellenőrizendő, esetek: ha ►t>0, a sugarunk előtt van a felület és metszi ►t=0, a sugár a felületről indul ►t<0, a sugár „mögött” van a felület és metszi a sugár egyenese a felületet (nekünk t>0 kell!!) •(u,v)-ra is figyelni kell, hogy a felületünk a paramétertartomány megengedett részén van-e Ismertesd általánosan az implicit alakban megadott felület és a sugár metszését! •Legyen adva egy f(x)=0 implicit egyenlet, ami meghat. a metszeni kívánt felületünket.( ) [ )-re meghat. •a sugarunk egyenlete egy pontot a térben. Tehát a köv. egyenletet kell megoldanunk t-re: ( ( )) 17 / 24
•a kapott t-től függően az esetek: ha ►t>0, a sugarunk előtt van a felület és metszi ►t=0, a sugár a felületről indul ►t<0, a sugár „mögött” van a felület és metszi a sugár egyenese a felületet (nekünk t>0 kell!!) Hogyan kell eldönteni egy pontról, hogy egy poligonon belül van-e? Vezesd le a szükséges részmetszéseket is! •A pont a poligonon belül van, ha tetsz. irányú, belőle indított sugárnak páratlan számú metszéspontja van a poligon oldalaival (azaz a sugarat a poligon összes oldalszakaszával el kell metszeni) •Konkáv és csillag alakú poligonra is működik •A poligon ( ), ( ) csúcspontjai közötti szakasz parametrikus ( ) ( ) alakja: ( ), [ •ezt kell metszeni ( ) alakú sugárral •a ( ) az a pont, amiről el akarjuk dönteni, hogy a poligonon belül van-e, d tetsz. •legyen ( )! 18 / 24
( ) egyenletet csak y •így a ( ) koord.-ra kell megoldani ( ) oldal •keressük meg, hogy hol meszi a egyenese a sugarat, s kifejezve: ( )-be •innen kapjuk x koord.t helyettesítve, ahol a sugár metszi a szakaszt [ ►ha : a sugár nem metszi a szakaszt ►ha : a sugár egybeesik a szakasszal vagy mögötte van a metszéspont A fény-anyag kölcsönhatások tekintetében milyen típusú felületeket vettünk? •Az anyagokat olyan színűnek látjuk, amilyen színű fényt visszavernek •Fénykibocsátó felületeket emittáló anyagnak hívjuk (ezek a fényforrások, nap, lámpa) •A diffúz vagy matt felületeket minden irányból nézve ugyanolyannak látjuk (a diffúz felület a beérkező fénysugár energiáját minden irányban azonos intenzitással veri vissza) •Tükröződő felületek, az ideális fénytörés irányába verik vissza nagyrészt a beérkező fényt (spekuláris felület) 19 / 24
•Átlátszó felület: ezeken a felületeken áthalad a fény, a beérkező fénysugár energiájának java részét áteresztik. •Áttetsző felület: ezek a beérkező fény nagy részét magukba engedik, de csak kis része lép ki az anyagból •Anizotróp felület: a felület a tengelye körül forgatva, a beeső és visszaverődő szögeket tartva is változik a színe Mi a BRDF? Miket használunk fel megadásakor?(Rajz is!) •A BRDF a kimenő (L) és a bejövő (L in) sugárintenzitás aránya, figyelembe véve a nézett pont és a fényforrás geometriai viszonyát ( ) •Legyen Lin egy adott irányból a felület egy pontára beérkező, L pedig az onnan visszavert fény intenzitása, az x felületi pontot nézve •jelölje l a fényforrás felé mutató egységvektort, v a nézőpont felé mutató egységvektort, n pedig a felületi normálist az adott pontban. A legyen az n és l által bezárt szög 20 / 24
•ekkor a kétirányú visszaverődéses eloszlási függvény, BRDF (bi-directional reflection distribution function) a köv: ( ) •jelölések: ► a nézeti irány, azaz a szem/kamera felé mutató vektor ► a megvilágító, a fényt „adó” pont felé mutató vektor, ekkor a beesési irány – ( ). ►n a felületi normális ►v,l,n egységvektorok ► a l és a n által bezárt szög (RAJZOLJON A K ÉDESANYJA, ÉRTELMEZZE AMIT ÍROK…ő SEM RAJZOLT…) Mi az ideális visszaverődés? Hogyan lehet kiszámítani az ideális visszaverődés irányát? Ábrával is szemléltesd a felhasznált mennyiségeket! •Visszaverődési törvény: A beesési irány (-l), a felületi normális (n), és a kilépési irány (r) egy 21 / 24
síkban van, valamint a beesési szög( ) megegyezik a visszaverődési szöggel ( ). •Az ideális tükör csak az r tükörirányba ver vissza. ( ) ( ) • •δ a Dirac-delta fv, amely minden nemnulla paraméterre nullát ad, de a valós számok felett vett integrálja 1. • visszaverődési együttható a Fresnelegyüttható. Ez függ az anyag törésmutatójából és az elektromos vezetési képességéből származik. A Fresnel-együttható a visszavert és beeső energia hányadát fejezi ki. •Általános esetben, egy v beeső vektorból a visszaverődési- vagy tükörirány: • ( ) •mivel , és n, v egységnyi hosszúak
22 / 24
Ismertesd a spekuláris visszaverődést és a Phong modelljét! Írd fel a BRDF-et, ismertesd a képletben szereplő együtthatókat! •A tükörirányban intenzíven visszaverő, de attól távolodva gyorsan elhaló „csillanás” adható meg vele. •Legyen az r tükörirány és a v nézeti irány által bezárt szög. Ekkor •olyan fv-t keresünk, ami =0-ra nagy, de gyorsan elhal ) • ( (nem szimmetrikus!) •csak ezt nézve: ( ) Ismertesd a spekuláris visszaverődést és a Phong-Blinn modelljét! Írd fel BRDF-et, ismertesd a képletben szereplő együtthatókat. •Legyen h a nézeti irány és a megvilágító pont felé mutató vektorok felezővektora • ‖ ‖ •Legyen δ a h és az n normálvektor által bezárt szög. Ekkor ) • ( 23 / 24
• csak ezt nézve: ( ) Mi az alias? A sugárkövetésnél miben jelentkezik? •mintavételezés grafikában – alias •eddig pixelenként csak egyetlen sugarat indítottunk, ha többet indítunk, akkor a Nyquist frekvencia nő •pixelenként egy szín kell csak, ezért a sugarak által behozott különböző színeket összegezni kell valahogy (pl átlagolni) •de a több sugár eredményét is többféleképpen összegezhetjük (vagyis: szűrhetjük) •egyenletes mintavételezéssel nem szűntethető meg az alias (csak ha a bejövő jel garantáltan nem tartalmaz túl magas frekvenciájú komponenseket) •Azonban ha nem egyenletes a mintavételezés, hanem megfelelő eloszlás szerint történik, akkor a alias helyett véletlenszerű, nagyfrekvenciás zaj lesz a képen •ehhez a szemünk már alkalmazkodott!
24 / 24
