METODY ŘEŠENÍ ÚLOH
Pavel Leischner
Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích 2014
2
Úvod Stává se, že učitel neumí řešit nestandardní úlohy z elementární matematiky. Není schopen poradit žákovi s úlohami z matematické olympiády. Předmět Metody řešení úloh si klade za cíl tento nedostatek kompenzovat a připravit budoucí učitele na práci s talentovanými žáky. Tento učební text je sbírkou úloh z matematických soutěží. Při práci s ním se na semináři seznámíte se základními metodami jejich řešení. K tomu stačí (až na několik výjimek) učivo základní školy. Bude zakázáno užívat poznatky z vyšší matematiky. V průběhu lekcí vám budu zadávat úlohy ze sbírky do dalších hodin semináře. Budu požadovat jejich samostatné řešení. Nesmíte řešení prezentovat tak, že budete číst svoji přípravu. Za každý výstup může student získat maximálně 2 body. Může též získat až dva body, když vyřeší některý z problémů zadaných v průběhu cvičení. Podmínkou zápočtu je dosáhnout součtu aspoň 20 bodů. Do tohoto součtu se zahrnují body získané na závěrečné písemné práci a body z výstupů na seminářích. Závěrečná práce bude obsahovat šest úloh buď vybraných přímo z této sbírky, nebo podobných. Každá správně vyřešená úloha (elementárními metodami!) bude hodnocena čtyřmi body. Přeji všem hodně úspěchů při práci s touto učebnicí. Pavel Leischner
Obsah 1 Vybrané úlohy z geometrie
5
2 Invarianty a poloinvarianty
9
3 Elementární teorie čísel
13
4 Slovní úlohy o pohybu
17
5 Pravidlo součtu a součinu
23
6 Dirichletův princip
27
7 Nerovnosti a extrémy funkcí 7.1 Nerovnosti . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Kvadratická funkce, AG nerovnost . . 7.3 Metoda diskriminantu a AG nerovnost 7.4 Extrémy kubické funkce . . . . . . . .
3
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
31 31 33 34 35
4
OBSAH
Kapitola 1 Vybrané úlohy z geometrie Literatura: Koubová V.: Obsahy rovinných útvarů, diplomová práce, JČU Českých Budějovicích, Pedagogická fakulta, České Budějovice 2010.
1. Je dán rovnoběžník ABCD, bod K uvnitř strany AB a bod L uvnitř úhlopříčky AC. Platí SACD = 12 cm2 , SAKL = 5 cm2 , SBCL = 3 cm2 . Určete SKBL . 2. Je dán rovnoběžník ABCD a bod K uvnitř strany DC. Platí SAKD = = 3 cm2 , SABK = 5 cm2 . Určete SBCK . 3. Je dán rovnoběžník ABCD, bod K uvnitř strany AB a body L, M uvnitř strany DC v uvedeném pořadí od bodu D. Platí SALD = 3 cm2 , SAKL = 7 cm2 , SKM L = 6 cm2 a SKBM = 5 cm2 . Určete SBCM . 4. Je dán rovnoběžník ABCD, uvnitř něj bod M. Platí SAM D = 7 cm2 , SM CD = 6 cm2 , SBCM = 4 cm2 . Určete SABM . 5. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, bod M je průsečík jeho úhlopříček. Platí SABM = 18 cm2 , SDAM = 6 cm2 . Určete obsahy zbývajících částí. 6. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, bod M je průsečík jeho úhlopříček. Platí SACD = 16 cm2 , SM BC = 12 cm2 . Určete SDAM , SCDM a SABM . 7. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, bod M je průsečík jeho úhlopříček. Platí SACD = 10 cm2 , SABC = 40 cm2 . Určete SCDM , SADM , SBCM a SABM . 5
6
KAPITOLA 1. VYBRANÉ ÚLOHY Z GEOMETRIE 8. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, bod M je průsečík jeho úhlopříček. Platí SABM = 27 cm2 , SM CD = 3 cm2 . Určete obsahy zbývajících částí. 9. Je dán lichoběžník ABCD se základnami AB a CD, úhlopříčky jej dělí na čtyři části. Určete jejich obsahy, platí-li |CD| : |AB| = 1 : 3, SABCD = 80 cm2 . 10. Je dán trojúhelník ABC a body K, L po řadě uvnitř stran AB a BC tak, že platí |AK| : |KB| = 2 : 1, |BL| : |LC| = 3 : 1. Platí SABC = 72 cm2 . Určete obsahy všech tří částí, na něž je trojúhelník ABC rozdělen úsečkami KC a KL. 11. Je dán trojúhelník ABC a body K, L po řadě uvnitř stran AB a BC tak, že platí |AK| : |KB| = 2 : 1, |BL| : |LC| = 3 : 1. Platí SABC = = 72 cm2 . Určete obsahy všech čtyř částí, na něž je trojúhelník ABC rozdělen úsečkami AL a CK. 12. Je dán trojúhelník ABC a body K, L po řadě uvnitř úseček AB a KC. Platí SAKL = 5 cm2 , SKBL = 3 cm2 a SALC = 15 cm2 . Určete obsah trojúhelníka LBC. 13. Je dán trojúhelník ABC a body K, L po řadě uvnitř stran AB a BC tak, že platí |AK| : |KB| = 3 : 1, |BL| : |LC| = 1 : 2. Platí SABC = = 72 cm2 . Určete obsahy všech čtyř částí, na něž je trojúhelník ABC rozdělen úsečkou CK a přímkou, která prochází bodem L rovnoběžně se stranou AB. 14. Je dán trojúhelník ABC s obsahem S a body K, L a M po řadě uvnitř stran AB, BC a CA tak, že platí |AK| : |KB| = |BL| : |LC| = = |CM| : |MA| = 1 : 2. Vyjádřete obsahy všech částí, na něž je trojúhelník ABC rozdělen úsečkami AL, BM a CK. 15. Je dán rovnoběžník ABCD s obsahem S = 80 cm2 a bod K uvnitř strany AB tak, že platí |AK| : |KB| = 1 : 3. Určete obsahy všech částí, na něž je rovnoběžník rozdělen úsečkami AC, CK a DK. 16. Je dán rovnoběžník ABCD a střed E jeho strany AB. Úsečky CE a BD rozdělují daný čtyřúhelník na čtyři části. Určete obsahy těchto částí, je-li obsah rovnoběžníku ABCD 48 cm2 . 17. Konvexní čtyřúhelník ABCD má průsečík úhlopříček E. Úhlopříčky jej rozdělují na čtyři části. Určete obsahy těchto částí, je-li S = 90 cm2 , |DE| : |EB| = 2 : 3 a |AE| : |EC| = 1 : 2.
7 18. Přímka rovnoběžná se stranou AB trojúhelníka ABC protíná strany AC BC po řadě v bodech E a F , bod D leží uvnitř strany AB. Určete SADE , jestliže platí SEF C = 5 cm2 , SEF D = 5 cm2 , SDBF = 2 cm2 . 19. Přímka rovnoběžná se stranou AB trojúhelníka ABC protíná strany AC BC po řadě v bodech E a F , bod D leží uvnitř strany AB. Určete SADE , jestliže platí SEF C = 4 cm2 , SEF D = 8 cm2 , SDBF = 5 cm2 . 20. Přímka rovnoběžná se stranou AB trojúhelníka ABC protíná strany AC BC po řadě v bodech E a F , bod D leží uvnitř strany AB. Určete SEF C , jestliže platí SADE = 7 cm2 , SEF D = 4 cm2 , SDBF = 5 cm2 . 21. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF . Spojnice jeho vrcholů s vnitřním bodem M jej rozdělí na šest trojúhelníků. Určete jejich obsahy, jestliže SABM = 8 cm2 , SDEM = 8 cm2 a SF AM = 4 cm2 . 22. Je dán pravidelný šestiúhelník ABCDEF . Spojnice jeho vrcholů s vnitřním bodem M jej rozdělí na šest trojúhelníků. Určete jejich obsahy, jestliže SABM = 4 cm2 , SDEM = 8 cm2 a SF AM = 2 cm2 . 23. Uvnitř pravidelného šestiúhelníku ABCDEF je zvolen bod M. Dokažte, že součet obsahů trojúhelníků ABM, CDM a EF M je roven součtu obsahů trojúhelníků BCM, DEM a F AM. 24. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, v němž jsou paty kolmic z jeho libovolného vnitřního bodu X na strany AB, BC a CA označeny po řadě písmeny K, L a M. Dokažte, že platí SAKX + SBLX + SCM X = SKBX + SLCX + SM AX . 25. Označme T a U body dotyku tečen z bodu A ke kružnici k(O, r). Třetí tečna kružnice k protíná úsečky AT a AU v bodech B a C. Určete obvod trojúhelníka ABC, je-li dáno r = 3 cm a |AT | = 8 cm. 26. Dokažte, že pro obsah trojúhelníka ABC platí: S = 21 ava = 12 ab sin γ = √ = abc = sρ = xρa = xyz = sxyz, kde x = s − a, y = s − b, z = s − c 4r ρ jsou délky tečen z vrcholů A, B a C ke kružnici trojúhelníku vepsané, s = x+ y + z, ρa ρa jsou poloměry kružnice vepsané a kružnice připsané ke straně BC. 27. Nechť osa úhlu ACB trojúhelníka ABC protíná stranu AB v bodě U. Dokažte, že platí: |AU| : |UB| = b : a.
8
KAPITOLA 1. VYBRANÉ ÚLOHY Z GEOMETRIE 28. Nechť M je libovolný bod v daném trojúhelníku ABC. Přímky procházející bodem M a rovnoběžné se stranami AB, BC a CA ohraničují spolu s těmito stranami trojúhelníky MB1 C1 , A2 MC2 a A3 B3 M, podobné trojúhelníku ABC. Najděte vztah mezi koeficienty podobností, které převádí trojúhelník ABC na trojúhelníky MB1 C1 , A2 MC2 a A3 B3 M. 29. V trojúhelníku ABC sestrojíme tečny ke kružnici vepsané tak, aby byly rovnoběžné se stranami trojúhelníka. Tečny určují při vrcholech tři menší trojúhelníky, podobné danému. Těm opět vepíšeme kružnice. Dokažte, že součet poloměrů těchto tří kružnic se rovná poloměru kružnice vepsané trojúhelníku ABC. 30. Dokažte, že obsah pravoúhlého trojúhelníka1 ABC je S = |AD| · |BD|, kde D je bod dotyku přepony s vepsanou kružnicí. 31. V pravoúhlém trojúhelníka ABC je U průsečík osy pravého úhlu s přeponou. Pomocí délek m = |AU|, n = |BU| vyjádřete délky jeho stran a výšku. 32. Nechť m a n jsou vzdálenosti bodů A a B od tečny s dotykovým bodem C ke kružnici pravoúhlému trojúhelníku ABC opsané. Vyjádřete délky stran a obsah tohoto trojúhelníka pomocí m a n. 33. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je Q pata výšky z vrcholu C, ρ1 , ρ2 a ρ poloměry kružnic vepsaných trojúhelníkům AQC, BQC a ABC. Dokažte, že platí: a) ρ =
a+b−c , 2
b) ρ1 + ρ2 + ρ = v.
34. Označme ρc poloměr kružnice připsané pravoúhlému trojúhelníku ABC při přeponě AB a ρ poloměr kružnice trojúhelníku vepsané. Vyjádřete délku přepony a obsah trojúhelníka pomocí ρ a ρc . 35. Určete obsah pravoúhlého trojúhelníka ABC, je-li dáno m a v, přičemž m = a + b a v je výška z vrcholu C. 36. Určete obsah pravoúhlého trojúhelníka ABC, je-li dáno u = |CU| a v, kde v je výška z vrcholu C a U je průsečík osy úhlu ACB s přeponou AB.
1
Ve všech úlohách má pravoúhlý trojúhelník ABC přeponu AB.
Kapitola 2 Invarianty a poloinvarianty Literatura: Chvál V.: Invarianty v elementární matematice, diplomová práce, JČU, Pedagogická fakulta, České Budějovice 2010. Úlohy: 1. Kouzelná jabloň měla na počátku 70 zlatých jablek. Každou noc přiletí drak a odnese 5 jablek. Ihned po jeho odletu vždy tři nová jablka narostou. Přes den se počet jablek na stromě nemění. Může mít jabloň za těchto okolností v některém dni přesně 7 jablek? 2. Na stole je umístěna řada stejných mincí, některé mají nahoře líc jiné rub. Hráč A na chvíli odejde, hráč B mezitím odebere jednu minci a potom opakovaně a tak jak ho napadne obrací zbývající mince v řadě. Vždy však musí obrátit dvě mince naráz. Po nějaké době zavolá hráče A, který má uhodnout, která mince byla odebrána. Dokázali byste to vy, kdybyste byli na místě hráče A? Vysvětlete, jak. 3. Klenotník měl na počátku roku v prvním trezoru 127 drahokamů, ve druhém jich měl 250, ve třetím 303 a ve čtvrtém 712. Každý následující den změnil počet drahokamů tak, že zvolil libovolné dva trezory a v každém z nich přidal nebo ubral jeden nebo pět drahokamů. Je možné, aby počty drahokamů v trezorech dosáhly některého dne hodnot 155, 300, 124 a 216? 4. Na tabuli jsou napsána čísla 1, 2, 3, . . . , 2n. Škrtneme libovolná dvě čísla a napíšeme místo nich číslo, které je rovno absolutní hodnotě jejich rozdílu. Po 2n − 1 takových krocích zbyde číslo jediné. Bude sudé, nebo liché? (Rozlište situace, kdy je n sudé a kdy liché.) 9
10
KAPITOLA 2. INVARIANTY A POLOINVARIANTY 5. Na tabuli jsou napsána všechna přirozená čísla od 1 do 100. Libovolná dvě z čísel smažeme a nahradíme je jejím součtem. Tuto operaci opakujeme vícekrát za sebou, až nakonec na tabuli zbydou tři čísla. Mohou to být tři po sobě jdoucí čísla? 6. Drak má sto hlav a rytíř mu dokáže jediným mávnutím kouzelného meče setnout naráz buď 7 hlav nebo 5 nebo 11 nebo 14. Jiný počet hlav však kouzelným mečem naráz nikdy nesetne. Po setnutí sedmi hlav narostou drakovi čtyři nové, po setnutí pěti hlav mu jich naroste dvacet, po setnutí 11 hlav narostou drakovi jen dvě a po setnutí 14 hlav mu jich naroste 17. (Uvedené narůstání hlav nastává, jen když je drak živý, tzn. když mu zbývá aspoň jedna hlava.) Může rytíř draka svým kouzelným mečem zabít (postupně mu setnout všechny hlavy)? 7. V mnohoúhelníku jsou narýsovány některé úhlopříčky. Vrchol, ze kterého vychází lichý počet úhlopříček, budeme nazývat lichý vrchol. Sudý vrchol je ten, ze kterého vychází sudý počet úhlopříček (může to být i nula). Dokažte, že počet lichých vrcholů je sudý. 8. Představme si půdorys přízemí nějakého domu, kde do každé místnosti vede sudý počet vchodů. Dokažte, že pak musí mít i dům sudý počet vchodů. 9. V přepravce je 36 lahví, z nichž 19 je plných a ostatní jsou prázdné. Náhodně vyndáme dvě láhve. Pokud je právě jedna z nich plná, vrátíme ji do přepravky. Pokud jsou obě prázdné, vrátíme jednu z nich do přepravky. Pokud jsou obě plné, jednu z nich vyprázdníme a vrátíme ji do přepravky. Tak pokračujeme, až v přepravce zbyde jedna láhev. Bude plná nebo prázdná?
10. a) V pohádkové zemi mají tři druhy peněz: modré, červené a zelené. Kdo něco kupuje, zaplatí vždy dvě bankovky různých barev a prodavač mu vrátí jednu bankovku barvy třetí. Alenka měla 20 červených, 5 modrých a 4 zelené bankovky. Jaký největší počet nákupů může uskutečnit, kolik bankovek jí nakonec zbyde a jakou budou mít barvu? b) Řešte předchozí úlohu, měla-li Alenka 17 červených, 7 modrých a 5 zelených bankovek. 11. Krokem budeme rozumět nahrazení trojice celých čísel (a, b, c) trojicí (c + 5b, 3c − 5a, 2b − 3a). Rozhodněte, zda existuje celé číslo k takové, že z trojice (1, 3, 7) vznikne po konečném počtu kroků trojice (k, k + 1, k + 2).
11 12. a) Zjistěte, zda existuje konvexní n−úhelník, který lze rozřezat na k navzájem disjunktních trojúhelníků tak, aby všechny vrcholy vzniklých trojúhelníků ležely ve vrcholech daného n−úhelníku. Řešte pro a) k = n − 3, b) k = 2n − 30. 13. Na ostrově žije 13 bílých, 15 zelených a 17 červených chameleónů. Když se dotknou dva chameleóni různých barev, změní se jejich barva na barvu třetí. Je možné, aby se všichni chameleóni nakonec stali bílými? 14. Do levého dolního rohu šachovnice 8×8 postavíme jezdce. Povolený tah jezdcem se skládá z posunu o dvě políčka ve směru řad nebo sloupců šachovnice, po němž následuje posun o jedno políčko po kolmici k tahu. a) Je možné, aby se jezdec dostal do pravého horního rohu přesně po jedenácti tazích? b) Může se do pravého horního rohu dostat po jiném počtu tahů? Pokud ano, uveďte příklad. 15. Na každém poli šachovnice 7 × 7 se nachází jezdec. Je možné, aby po jedno současném a přípustném tahu všech jezdců byl na každém políčku šachovnice opět právě jeden jezdec? 16. Na některém políčku šachovnice 7×7 se nachází jezdec. Zjistěte, zda může provést 49 tahů tak, aby každé políčko prošel právě jednou a nakonec se dostal do výchozí polohy. 17. Dokažte, že šachovnici 10×10 nelze pokrýt pětadvaceti kostkami tetramina (tj. obdélníky 4 × 1). 18. Dokažte, že šachovnici 10×10 nelze pokrýt 25 kostkami T-tetramina (tj. obrazci, z nichž každý se skládá ze čtyř políček šachovnice a má tvar písmene T). 19. Dokažte, že šachovnici 8 × 8, z níž je odstřiženo levé dolní a pravé horní políčko, nelze pokrýt jednatřiceti kostkami domina (tj. obdélníky 2×1). 20. Dokažte, že šachovnici 7 × 7, z níž je odstřiženo levé horní políčko, nelze pokrýt čtyřiadvaceti kostkami domina (tj. obdélníky 2 × 1). tak, že dvanáct jich je ve vodorovné a dvanáct ve svislé poloze. 21. Dá se pokrýt šachovnice 8 × 8 bez jednoho rohového políčka jednadvaceti kostkami trimina? (Kostka trimina je obdélník 3 × 1.) 22. Dokažte, že na šachovnici 9 × 9 nelze rozmístit 13 kostek 6 × 1 tak, aby tři políčka zůstala nepokrytá.
12
KAPITOLA 2. INVARIANTY A POLOINVARIANTY
23. Šachovnici 8 × 8 pokryjte 16 kostkami T-tetramina. Je možné v ní umístit patnáct kostek tak, aby zůstala nepokryta čtyři rohová pole?
24. a) Je možné nakreslit graf („domečekÿ) na obr. (a) jedním tahem tak, abychom každou hranou prošli právě jednou? b)Je možné nakreslit graf na obr. (b) jedním tahem tak, abychom každou hranou prošli právě jednou? c) Je možné utvořit souvislý podgraf grafu na obr. (c) tak aby obsahoval všechny uzly a aby každému uzlu příslušely nejvýše dvě hrany? 25. V rovině je dáno 2n různých bodů. Dokažte že je možno sestrojit n úseček s krajními body v daných bodech tak, aby žádné dvě z těchto úseček neměly společný bod. 26. V každém políčku v obdélníkové tabulce m × n je napsáno celé číslo. Termínem řada budeme označovat řádek nebo sloupec. Je povoleno změnit znaménka u všech čísel vybrané řady. Dokažte, že při určitém počtu takových změn lze dosáhnout nezáporného součtu všech čísel v tabulce.
Kapitola 3 Elementární teorie čísel Literatura: Veselý F.: O dělitelnosti čísel celých. Sedláček J.: Co víme o přirozených číslech. Slovem číslo zde budeme (pokud nebude uvedeno jinak) označovat vždy číslo celé. Při důkazech užívejte jen poznatky ze ZŠ. 1. Věta. Ke každým dvěma číslům a, b, kde b 6= 0, existuje právě jedna dvojice čísel q, r taková, že platí a = b · q + r,
q, r ∈ Z,
0 ≤ r < b,
2. Vyslovte a dokažte kritéria dělitelnosti čísly 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11. 3. Dokažte: Celá čísla a, b mají při dělení přirozeným číslem d stejný zbytek, právě když je jejich rozdíl dělitelný číslem d. 4. Dokažte: Je-li v rovnosti typu a + b + . . . + c = r + s + . . . + t o všech členech kromě jednoho známo, že jsou to násobky čísla d, pak i tento jeden člen je násobkem čísla d. 5. Dokažte: Součin n po sobě jdoucích celých čísel je dělitelný (přirozeným) číslem n. 6. Dokažte: Je-li přirozemé číslo n liché, pak součet n po sobě jdoucích celých čísel je dělitelný číslem n. Platí podobné tvrzení i pro sudé n? 7. Čísla m, n jsou nesoudělná. Dokažte, že pak jsou nesoudělná i čísla mn a m + n. 13
14
KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL 8. Přirozená čísla m, n jsou nesoudělná. Určete všechny dělitele čísel m−n a m + n. 9. Jsou-li dána čísla a, b, pak alespoň jedno z čísel a, b, a + b, a − b je dělitelné třemi. Dokažte.
10. Dokažte, že pro libovolné přirozené n platí: a) 6|(n3 −n) c) 42|(n7 − n).
b) 7|(n7 −n).
11. Dokažte, že pátá mocnina libovolného přirozeného čísla je zakončena stejnou cifrou jako číslo, které se umocňovalo. 12. Je-li n libovolné liché přirozené číslo, je číslo (n2 − 1) · (n + 3) dělitelné číslem 48. Dokažte. 13. Dokažte, že číslo 48 je dělitelem čísla n2 (n + 1)2 (n − 1)(n − 2) pro každé číslo n > 2. 14. Je-li p prvočíslo větší než 3, pak je číslo p2 − 1 dělitelné číslem 24. Dokažte. 15. Dokažte (bez použití binomické věty) platnost těchto vztahů: (a) 17|(1820 − 1),
(b) 30|(4197 − 2679 ),
20|(3940 + 19),
19|(5641 − 3731 ).
204|(101103 + 103101 ).
16. Dokažte, že číslo 6100 − 2 · 699 + 10 · 698 je dělitelné 17. 17. Následující úlohy řešte bez použití kvadratické rovnice: (a) Součin cifer daného dvojciferného přirozeného čísla je dvakrát větší než součet jeho cifer. Jestliže od tohoto čísla odečteme 27, dostaneme dvojciferné číslo zapsané stejnými ciframi, ale v opačném pořadí. Určete dané číslo. (b) Součet druhých mocnin cifer daného dvojciferného přirozeného čísla je 13. Jestliže od tohoto čísla odečteme 9, dostaneme dvojciferné číslo zapsané stejnými ciframi, ale v opačném pořadí. Určete dané číslo. (c) Jestliže dané dvojciferné číslo vynásobíme součtem jeho cifer, dostaneme 405. Jestliže číslo zapsané stejnými ciframi opačném pořadí vynásobíme součtem jeho cifer, dostaneme 486. Určete dané číslo.
15 (d) Součet druhých mocnin cifer daného dvojciferného přirozeného čísla je roven deseti a součin daného čísla s číslem zapsaným stejnými ciframi v opačném pořadí je 403. Určete toto číslo. 18. Čtyřciferné číslo má na posledním místě číslici 2. Postavíme-li tuto číslici na první místo vlevo, dostaneme číslo, které děleno sedmi dává číslo o 66 menší než je čtvrtina původního čísla. Určete původní číslo. 19. Šesticiferné číslo s první číslicí 2 se promění na trojnásobné, přestavímeli první číslici na poslední místo. Nalezněte původní číslo. 20. Je-li přirozené číslo n druhou mocninou celého čísla, pak součin dvou posledních cifer čísla n je číslo sudé. Dokažte. 21. Není-li přirozené číslo n dělitelné sedmi, pak jedno z čísel n3 +1 a n3 −1 je dělitelné sedmi. Dokažte. 22. Šesticiferné přirozené číslo, které je v dekadické soustavě zapsáno ve tvaru xyxyxy, kde x a y jsou některé z cifer 0, 1, 2, . . . 9, nemá většího prvočíselného dělitele než 97. Dokažte. 23. Dokažte, že každé šesticiferné číslo tvaru abcabc je dělitelné číslem 91. 24. Přirozené číslo a má stejný ciferný součet jako jeho pětinásobek. Dokažte že 9|a. 25. V dekadickém zápisu nějakého přirozeného čísla se vyskytuje 300 jedniček a ostatní cifry jsou nuly. Může být takové číslo druhou mocninou celého čísla? 26. (MO 50, C-S-3) Dokažte, že pro každé přirozené číslo n platí: 27|(10n + 18n − 1). 27. Pro trojici navzájem různých přirozených čísel platí: Součet kterýchkoli dvou čísel z této trojice je dělitelný číslem třetím. Najděte všechny takové trojice. 28. (Malý poplach v lékárně.) Do lékárny byla dovezena zásilka jistého léku. Lék byl dodán celkem v osmi skleněných dózách, každá obsahovala pětset tablet. Za chvíli poté dorazil telegram od dodavatele: „Jedna dóza je plná špatně vyrobených tablet, které jsou těžší a obsahují smrtelně nebezpečnou příměs! Okamžitě ji zašlete zpět! Každá z jedovatých tablet má hmotnost 1, 1 g, kdežto tablety vyrobené správnou technologií mají
16
KAPITOLA 3. ELEMENTÁRNÍ TEORIE ČÍSEL jen 1, 0 g.ÿ „To je otrava,ÿ povdychl si mladý lékárník, „když nebudeme mít štěstí, objevíme tu vadnou dózu až při osmém vážení!ÿ „Mýlíš se.ÿ odpověděl starý lékárník. „Na zjištění, která dóza obsahuje vadné tablety, stačí vážení jediné.ÿ Dokažte, že měl starý lékárník pravdu.
29. (Velký poplach v lékárně.) Po nějaké dově obdrželi v lékárně novou zásilku téhož léku, opět v osmi skleněných dózách, každá po pětistech tabletách. Za chvíli znovu přišel telegram od dodavatele, který sděloval, že v některých dózách je opět vadný lék, jehož tablety jsou o 0, 1 g, těžší. Tentokrát však není známo, které dózy obsahují vadný lék a které ne. Starý lékárník určil všechny dózy s vadným lékem opět jediným vážením. Zjistěte, jak to udělal. 30. Najděte všechna celočíselná řešení rovnic: a) 8x − 12y = 2, b) 13x + 7y = 1, c) 7x − 11y = 1, d) 2x + 5y = 97, e) 16x + 4y = 1830, f) 21x + 19y = 5. 31. Najděte všechna trojciferná čísla, která při dělení devatenácti dávají zbytek 4 a při dělení třinácti zbytek 2. 32. Farmář koupil 100 kusů dobytka celkem za 1000 dolarů. Za každou krávu zaplatil 100 dolarů, za každou ovci 30 dolarů a za každou krůtu 5 dolarů. Jiné druhy zvířat nekupoval. Kolik koupil krav, kolik ovcí a kolik krůt? 33. Jiný farmář utratil za 100 kusů dobytka 1800 dolarů. Za každou krávu zaplatil 72 dolarů, za každou ovci 36 a za každou krůtu 6 dolarů. Jiné druhy zvířat nekupoval. Navíc víme, že krav bylo nakoupeno více než ovcí. Kolik koupil krav, kolik ovcí a kolik krůt? 34. (MO 41 C-II-3) Součtem trojciferného čísla A s trojcifernými čísly B, C, jež dostaneme z čísla A cyklickou záměnou číslic, je čtyřciferné číslo dělitelné číslem 72. Určete čísla A, B, C, víte-li, že každé z nich je zapsáno navzájem různými číslicemi. 35. Dokažte, že rovnici 15x2 − 7y 2 = 9 nevyhovuje žádná dvojice celých čísel x, y.
Kapitola 4 Slovní úlohy o pohybu Literatura: Berrondo M.: Les jeux mathématiques d’Eurˆeka. Doskočilová R.: Úlohy o pohybu ve středoškolské matematice, diplomová práce, JČU, Pedagogická fakulta, České Budějovice 2010. 1. Petr a Jan vyjeli současně z A do B, jeden na kole, druhý autem. V určitém okamžiku jejich cesty se ukázalo, že kdyby byl Jan ujel třikrát více, zbývalo by mu ujet ještě dvakrát méně, než má ujet od tohoto okamžiku, a kdyby Petr ujel dvakrát méně, musel by ještě ujet třikrát více, než mu zbývá. Jak se jmenuje cyklista? 2. Dva cyklisté vyjeli současně, oba z A do B. Vzdálenost míst A, B je 195 km. Ten z cyklistů, jehož střední rychlost byla o 4 km/h větší než rychlost druhého, dorazil do B o hodinu dříve. Jakou měl rychlost? 3. V 9 hodin vyjel Pavel na kole z A do B rychlostí 15 km/h. V 9 hodin 45 minut vyjel Petr z B do A rychlostí 20 km/h. Oba přátelé se chtěli setkat přesně v polovině cesty a uspořádat tam piknik. Podařilo se jim dojet do této poloviny současně. V kolik hodin se setkali a kolik každý ujel? 4. Lyžař přemýšlí, kterou cestou z A do B se má vydat. Obě jsou stejně dlouhé. Jedna vede po rovině, kdežto druhá jde ve své první polovině do kopce a pak jde z kopce. Lyžař ví, že do kopce jede třikrát pomaleji než po rovině, zato z kopce jede třikrát rychleji než po rovině. Nakonec si řekne: „Nač bych nad tím přemýšlel? Stejně je to jedno. Obě cesty by mi trvaly stejně dlouho.ÿ Měl lyžař pravdu? 5. Tři běžci závodili v běhu na sto metrů. Běžec A zvítězil před běžcem 17
18
KAPITOLA 4. SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU B o jeden metr, běžec B zvítězil před běžcem C také o jeden metr. O kolik metrů před C doběhl do cíle běžec A? 6. Když jdu po vzhůru jedoucím eskalátoru nahoru, vyšlapu 20 schodů a trvá mi to 60 s. Moje žena jde pomaleji a vyšlape jen 16 schodů za 72 s. Kolik schodů vyšlapu, je-li eskalátor porouchán a nepohybuje se? 7. Při výstupu z metra šel profesor Makos po eskalátoru jedoucím vzhůru a vyšlapal nahoru celkem 20 schodů. Potom spatřil revizora a uvědomil si, že jízdenku z roztržitosti vyhodil dole na nástupišti do koše. Obrátil se tedy a utíkal dolů proti pohybu eskalátoru. Uběhl 140 schodů, ale trvalo mu to dvakrát déle, než cesta nahoru. Lístek z koše šťastně vylovil a když se chtěl vrátit tak zjistil, že se mezitím eskalátor porouchal. Kolik schodů musel vyšlapat nahoru po nepohybujícím se eskalátoru? 8. Když jdu po pohyblivém chodníku jedním směrem, dojdu z jednoho konce na druhý za 6 sekund. V opačném směru mi to ale trvá 6 minut a to je doba, za kterou obvykle ujdu 500 metrů. Jak dlouhý je pohyblivý chodník? 9. Opravář metra jde pěšky podzemní drahou podél trati metra v Mexiku. Každých 5 minut projíždí proti němu souprava a každých 6 minut jej míjí souprava jedoucí ve směru jeho chůze. V okamžiku, kdy došel na místo kde měl vykonat jakousi opravu, jej míjela souprava. Za jak dlouho projede kolem tohoto místa další souprava stejným směrem? Předpokládáme, že soupravy jezdí v obou směrech stejně rychle a ve stejných vzdálenostech od sebe.
10. Jednou v létě se Žaneta s Monikou vypravily zaplavat si v řece. Obě vlezly do řeky na témže místě a současně začly plavat. Monika po proudu a Žaneta proti proudu. Ukázalo se, že si Monika zapomněla sundat velké dřevěné korále, které se jí hned na počátku plavání uvolnily a pluly volně po proudu. Po čtvrthodině se děvčata obrátila a plavala proti sobě dokud se nesetkala. Která z nich doplavala ke korálům dříve? Žaneta, nebo Monika? 11. Loď plula po řece jedním směrem a pak se navrátila do výchozího místa. Doba celé plavby byla 6 hodin a celkově loď urazila 36 km. Plula stále stejnou vlastní rychlostí (tj. rychlostí, jakou má na klidné vodní hladině vzhledem k této hladině) a nikde nedělala zastávky. Určete vlastní rychlost lodi, byla-li rychlost proudu 3 km/h.
19 12. Dva delfíni plují oceánem po přímce rychlostí 6 km/h. Najednou se jeden oddělí a pluje dopředu rychlostí 10 km/h. Po nějaké době se obrátí a vrátí se zpět. Pomalejší delfín mezitím nemění směr plavby ani velikost rychlosti. V kolik hodin se rychlejší delfín obracel zpět, jestliže se od sebe oddělili v 9 hod. 15 min. a opět se setkali přesně v 10 hodin? 13. Skupina cyklistů trénovala před závodem na silnici. Všichni jeli pohromadě rychlostí 35 km/h. Náhle se jeden od nich oddělil a jel dopředu rychlostí 45 km/h. Ujel 10 kilometrů, pak se obrátil a vracel se stejnou rychlostí zpět. Jaká doba uplynula od okamžiku, kdy opustil skupinu, do jeho návratu? 14. Z míst A a B vyletěla současně letadla rovnoměrným pohybem proti sobě. Poprvé se setkala ve vzdálenosti 437 km od B. Po příletu do míst B, A se každé letadlo zdrželo půl hodiny na svém stanovišti (v místě přistání) a pak vyletělo stejnou rychlostí jako při prvním letu zpět Při tomto zpátečním letu se letadla setkala 237 km od A. Určete vzdálenost |AB|. 15. Markéta vychází ze školy vždy přesně v poledne a jde domů. Ve stejnou dobu jí přijíždí ke škole naproti z domova otec. Jednou byl pěkný den a pan učitel pustil děti ze školy o něco dříve. Za čtvrt hodiny po odchodu potkala Markéta otce, sedla do jeho auta a dojeli domů o 10 minut dříve než obvykle. V kolik hodin vyšla Markéta ze školy? 16. V tentýž okamžik, kdy Pierre opustil bar „U draka,ÿ vyšel z „Divadelního baruÿ Jean. Pierre mířil do „Divadelního baruÿ a Jean do baru „U draka.ÿ Oba šli rovnoměrně, ale každý jinou rychlostí. Když se setkali, prohlásil Pierre, že ušel o 200 metrů více. Měl pravdu, ale Jeanovi se to nelíbilo a proto jej uhodil. Oba se pořádně poprali a pak se každý odebral ke svému cíli. Pohybovali se opět rovnoměrně, ale každý poloviční rychlostí, než původně. Proto zbytek cesty trval Pierrovi 8 minut a Jeanovi 18 minut. Určete délku cesty z jednoho baru do druhého. 17. Polárník vyjel z jednoho místa do druhého na saních tažených spřežením pěti psů. Po 24 hodinách jízdy dva psi padli a proto se jejich rychlost snížila na 35 původní rychlosti. Z toho důvodu se opozdil o 48 hodin. „To je ale smůla, povzdychl si, Kdyby ti dva psi vydrželi ještě 120 kilometrů, opozdil bych se jen o 24 hodin.ÿ Jak velkou vzdálenost ujel celkem? 18. Každou sobotu mezi patnáctou a šestnáctou hodinou hraji tenis se svým přítelem Filipem. Moje žena pro mne přijíždí automobilem vždy
20
KAPITOLA 4. SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU přesně v 16 hod. 10 min. (Předpokládáme, že vždy jezdí stejnou cestou a stejnou rychlostí tam i zpět.) Jednou Filip onemocněl. Já jsem o tom nevěděl a jako obvykle jsem přišel na hřiště. V 15 hod. 5 min. jsem pochopil, že Filip nepřijde, a tak jsem šel domů. Cestou jsem potkal manželku přijíždějící pro mne. Sedl jsem si k ní do auta a domů jsme dojeli o 10 minut dříve než obvykle. Tato příhoda na první pohled nevypadá zajímavě, ale dovedli byste z ní zjistit vztah mezi rychlostí mé chůze a rychlostí manželčina auta?
19. V jedné pařížské rodině chystali oslavu mužových úspěchů. Jeho manželka, známá dáma, objednávala telefonicky k večeři pečivo: „Oslava začíná v 18 hodin a já potřebuji, abyste mi čerstvé pečivo přivezli přesně v tuto dobu.ÿ Vedoucí pekárny jí odpověděl: „Paní, řidič odveze pečivo hned jak bude upečeno. Bude-li mít štěstí, a na ulicích nebude žádný provoz, pojede průměrnou rychlostí 60 km/h a přijede k vám v 17 h. 45 min. Bude-li však na ulicích velký provoz, pojede průměrně 20 km/h a přiveze vám pečivo až v 18 h 15 min.ÿ Jakou průměrnou rychlostí musí jet auto, má-li dorazit přesně v 18 hodin? 20. Na jednom konci vesnice měl krám řezník, na druhém pekař. Jednou poslal řezník svého syna do pekařství a ve stejném okamžiku poslal také pekař svého syna do řeznictví. Oba synové si šli naproti rovnoměrnými pohyby. Když se setkali, ušel řezníkův syn o 500 m více, než pekařův. Přitom mu zbývalo do cíle 10 minut cesty, kdežto pekařovu synovi zbývalo 22, 5 minuty. Jak daleko je pekařství od řeznictví? 21. Cesta z hájovny na nádraží je dlouhá 5 kilometrů. Jednou přijel hajný vlakem a šel z nádraží domů rychlostí 6 km/h. V okamžiku, kdy opustil nádraží, vyšla také z hájovny jeho žena a šla mu naproti rychlostí 4 km/h. S ní vyběhl jejich pes Azor a běžel rychlostí 20 km/h k hajnému, tam se okamžitě otočil a běžel zpět k jeho ženě, od ní opět k hajnému a tak to dělal stále, dokud se oba manželé nepotkali. Kolik kilometrů pes celkem uběhl? 22. Vlastní rychlost plavidla je rychlost, jakou by plavidlo mělo na klidné vodní hladině jezera. Z místa A vyplul člun s vlastní rychlostí 3 km/h po proudu řeky a současně s ním vyplul z místa B nacházejícího se 10 km po proudu od A motorový člun směrem k A. Vlastní rychlost motorového člunu je 12 km/h. Za jak dlouho a jak daleko od A se obě lodě potkají, je-li rychlost proudu 2 km/h?
21 23. Vodáci plují se svou lodí po proudu řeky rychlostí 6 km/h vzhledem ke břehu. Rychlost proudu je 2 km/h. V 10 hodin, zrovna když míjeli most, upadl jednomu z nich do vody klobouk. Ztrátu objevili až ve vzdálenosti 1, 5 km od mostu. Otočili se a pádlovali se stejným úsilím zpět proti proudu. Jak daleko byli od klobouku v okamžiku zjištění ztráty? V kolik hodin dopluli ke klobouku? 24. Místo B se nachází na řece 20 km po proudu od místa A. Z A do B vyplul člun a současně s ním volně po proudu kmen stromu. Člun plul do B, tam se ihned otočil a plul zpět do A, kde se opět otočil a vrátil se do B. Při cestě z B do A se setkal s kmenem ve vzdálenosti 4 km od A. V jaké vzdálenosti od A se setkal s kmenem podruhé? 25. Parník ujede dráhu z A do B po proudu řeky za tři hodiny a zpáteční cestu za čtyři hodiny. Za jakou dobu se dostane z A do B, nechá-li se pouze unášet proudem? 26. Automobil ujede cestu z A do B za hodinu. V okamžiku, kdy vyjel z A, mu vyšel z místa B naproti chodec. Když se automobil setkal s chodcem, odvezl jej do A a pak se vrátil do B. Na popsanou cestu bylo celkem zapotřebí 2 hodiny a 40 minut. Jak dlouho by chodec šel celou cestu z B do A? 27. Autobus jel z místa A do místa B rychlostí 65 km/h, přičemž po každých šestnácti kilometrech měl destiminutovou zastávku. Takových zastávek je celkem pět (|AB| = 96 km). Současně s autobusem vyjel z místa B naproti autobusu cyklista rychlostí 21 km/h. Jak daleko od A dojde k setkání? 28. Osobní vlak projede kolem sloupu za 6 sekund. Jakou dobu se míjí osobní vlak s rychlíkem, jehož rychlost je 1, 5krát větší, je-li délka osobního vlaku rovna 4/3 délky rychlíku? 29. Z míst A a B vyjeli současně proti sobě cyklisté. Setkali se 12 km od místa B a hned pokračovali každý ve své cestě. Když dojeli do míst B, A, otočili se a vraceli se zpět. Podruhé se setkali 6 km od A. Určete rychlost každého cyklisty a vzdálenost |AB|, jestliže víme, že druhý cyklista se navrátil do místa B o hodinu později než se navrátil prvý cyklista do A. 30. Mimořádný vlak má ujet dráhu z A do B za stanovený čas. Po třech hodinách jízdy došlo k nepředvídanému hodinovému zdržení. Aby vlak zpoždění dohnal, musel jet rychlostí o 4 km/h větší. Kdyby touto větší
22
KAPITOLA 4. SLOVNÍ ÚLOHY O POHYBU rychlostí jel celou cestu, byla by jeho celková jízda kratší o 1 hodinu a 12 minut. Určete vzdálenost z A do B.
Výsledky 1. Jan, 2. 30 km/h. 3. Ve 12 hodin, každý ujel 45 km. 4. Neměl. Druhá . 1 cesta by trvala 35 krát déle. 5. 1, 99 m). 6. 40 schodů. 7. 60 schodů. 8. 61 km = . . min.= 5, 45 min. 10. Dopluly ke korálům ve stejném oka= 16, 39 m. 9. 60 11 √ . mžiku. 11.3 + 3 2 = 7, 24 km/h 12. 9 hodin 51 minut. 13. 15 minut. 14. 1074 km. 15. 11 hodin 40 minut. 16. 1 km. 17.320 km, 18. Auto bylo dvanáctkrát rychlejší. 19. 30 km/h. 20. 2, 5 km. 21.10 km. 22. Za 40 minut, 10 km od A. 23. V 10 hodin 30 minut, 1 km. 24. 5 km. 25. Za 24 h. 26. 5 h. 3 27.64 km. 28. 21 s nebo 4, 2 s. 29. 30 km/h a 20 km/h. 30. 1008 km.
Kapitola 5 Pravidlo součtu a součinu Literatura: Březinová J.: Kombinatorické principy ve školské matematice, diplomová práce, JČU, Pedagogická fakulta, České Budějovice 2010. Hejný M.-Niepel L.: Šestnásť matematických príbehov.
Úlohy: 1. Z místa A jsou vyznačeny čtyři turistické cesty na rozhlednu R. Z rozhledny vedou tři značené turistické cesty do místa B. Určete, kolika způsoby může turista naplánovat výlet po těchto cestách, jestliže chce jít a) z A do B přes R, b) z A do B přes R a zpět, c) z A do B přes R a zpět, přičemž po žádné cestě nepůjde dvakrát, d) z A do B přes R a zpět, přičemž po právě dvou cestách půjde dvakrát, e) z A do B přes R a zpět, přičemž po cestě A do R půjde dvakrát, f) z A do B přes R a zpět, přičemž po právě jedné cestě půjde dvakrát. 2. Z železniční stanice A jsou vyznačeny čtyři turistické cesty k rybníku R. Z stanice B na téže trati vedou k R tři značené cesty. Určete, kolika způsoby může turista naplánovat výlet po těchto cestách, jestliže chce jít a) z A nebo B k R, b) z A nebo B k R a zpět pouze do A, c) z A nebo B k R a zpět buď do A nebo do B. 23
24
KAPITOLA 5. PRAVIDLO SOUČTU A SOUČINU 3. Adam, Jirka, Petr, Mirek a Zdeněk šli do kina. Určete, kolika způsoby se mohou posaditvedle sebe na 5 sedadel a) bez omezujících podmínek, b) jestliže Jirka a Mirek mají sedět vedle sebe, c) jestliže Petr má sedět na kraji, d) Petr má sedět na kraji a Jirka s Mirkem vedle sebe. 4. V košíku je 12 jablek a 10 hrušek. Petr si má vybrat buď jablko nebo hrušku tak, aby Věra, která si po něm vybere jedno jablko a jednu hrušku, měla co největší počet možností svého výběru. 5. Kolika způsoby můžeme rozestavit na šachovnici 8 stejných věží tak, aby se vzájemně neohrožovaly? 6. Ve sportovním turnaji soupeřilo 8 mužstev. Každé s každým odehrálo právě jeden zápas. Kolik zápasů bylo celkem odehráno? 7. Určete počet všech pravoúhelníků, jejichž vrcholy se nacházejí ve středech políček čtvercové sítě 10 × 10. 8. Určete počet všech čtyřciferných přirozených čísel, jejichž dekadické zápisy jsou sestaveny z cifer 0, 1, 2, 5, 7 a 8, jestliže a) nejsou stanoveny žádné další podmínky, b) čísla jsou větší než 5 000, c) čísla jsou větší než 5 000 a každé dvě cifry v zápisu čísla jsou různé, d) čísla jsou sudá a cifry se v zápisech neopakují, e) čísla jsou dělitelná pěti, f) v zápisu každého čísla se vyskytují právě dvě dvojky a ostatní cifry se neopakují. 9. Kolik úhlopříček má konvexní n−úhelník?
10. V oboru přirozených čísel určete počet všech dělitelů čísla 23 · 34 · 56 . 11. V oboru přirozených čísel určete počet všech dělitelů čísla 23 · 34 · 45 . 12. V oboru přirozených čísel určete počet všech dělitelů čísla 1 400. 13. Prodejní firma vypsala konkurz na místo prodavače, přihlásilo se sedm uchazečů. Chtějí přijmout tři, po jednom do každé ze tří prodejen. Kolik mají možností výběru? (Rozlišujeme, kdo v které prodejně bude.) 14. Test sestává z dvanácti otázek. Je požadováno, aby si každý student vybral deset z těchto otázek a zbývající dvě vynechal. Kolik takových podmnožin otázek může být vybráno?
25 15. V jedné pizzerii lze objednat následující druhy pizzy: ančovičkovou, feferonovou, salámovou, černé olivy, sýrovou, zelené papriky, cibulovou, houbovou. a) Kolik je možných objednávek na tří různé druhy pizzy? b) Určete počet možných objednávek jedné pizzy se dvěma různými náplněmi, je-li ještě nabízena buďto silná anebo slabá kůrka. 16. Určete, kolik značek Morseovy abecedy lze utvořit sestavením teček a čárek do skupin o jednom až čtyřech prvcích. 17. Šifrový zámek se skládá z pěti kotoučů. Na každém z nich lze nastavit právě jednu z deseti možných cifer. Určete pravděpodobnost, že náhodně nastavené heslo bude správné. 18. Určete počet všech kvádrů, jejichž velikosti hran v centimetrech jsou přirozená čísla rovná nejvýše 10. Dále určete, kolik je mezi nimi krychlí a kolik kvádrů se čtvercovou podstavou. 19. Ke kulatému stolu se čtyřmi různými židlemi se mají posadit 4 osoby. Kolik je možností, jestliže a) záleží na které židli kdo sedí, b) nezáleží na které židli kdo sedí, ale záleží na tom, koho má napravo a koho nalevo, c) nezáleží na které židli kdo sedí, ani koho má napravo a koho nalevo, ale záleží na tom, jaké má sousedy. 20. Kolika způsoby lze rozdělit 10 stejných míčů do čtyř různých krabic, jestliže a) počet míčů v krabicích není omezen (některé krabice mohou být i prázdné), b) v každé krabici musí být aspoň jeden míč. 21. a) V prostoru je dáno 15 bodů v obecné poloze. Jaký největší počet rovin je jimi určen? b) Řešte předchozí úkol, leží-li v téže rovině právě 6 z daných patnácti bodů. 22. Rychlíková souprava se má skládat z jednoho vagonu jídelního, čtyř vagonů osobních, dvou lůžkových a tří lehátkových. Vagony téhož druhu nerozlišujeme. Kolik takových různých souprav existuje? 23. Oddíl 12 turistů uspořádal putovní tábor, mají 4 stany, každý pro 3 osoby. Kolika způsoby se mohou rozdělit na čtyři trojice do stanů,
26
KAPITOLA 5. PRAVIDLO SOUČTU A SOUČINU jestliže: a) Rozlišujeme, kdo bude spát ve stanu červeném, kdo v modrém, kdo v zeleném a kdo ve hnědém. Navíc v každém stanu rozlišujeme, kdo spí nalevo, kdo uprostřed a kdo napravo. b) Rozlišujeme pouze, kdo bude spát ve stanu červeném, kdo v modrém, kdo v zeleném a kdo ve hnědém. (Rozmístění skupiny ve stanu nás nezajímá.) c) Vyřešte úkol b) za předpokladu, že ani stany nerozlišujeme. (Všechny jsou nové, téhož typu a téže barvy.)
24. Alenka bydlí ve čtvrti rodinných domků na čtvercových parcelách. Ulice mezi parcelami jsou znázorněny sítí úseček na obr. 5.1a). Vchod do jejího domku je v místě A a vchod do školy v místě B. Kolik má možností nejkratší cesty sídlištěm z domu do školy?
A
A
B
B a)
b)
Obr. 5.1: Obrázky k úlohám 24 a 25. 25. Pavouk Hubert je pohádkový tvor, který kdysi žil na jedné škole. Jednou si utkal síť podle obr. 5.1b). Během jeho odpočinku v místě A mu do místa B položili hodní žáci mouchu. Kolik má možností nejkratší cesty z A do B? 26. Jindy si pavouk Hubert utkal síť na drátěném modelu krychle takto: Spojil pavoučím vláknem středy protilehlých hran v rovině každé stěny a navíc spojil vláknem protilehlé středy stěn. Vznikla tím krychlová síť 2 × 2 × 2. Nyní se nachází v jednom vrcholu modelu krychle a na nejvzdálenějším vrcholu od něj má položenou mouchu. Kolika nejkratšími cestami se může dostat po dané krychlové síti k mouše?
Kapitola 6 Dirichletův princip Literatura: Březinová J.: Kombinatorické principy ve školské matematice, diplomová práce, JČU, Pedagogická fakulta, České Budějovice 2010. Bukovský L.-Kluvánek I.: Dirichletov princip. Hejný M.-Niepel L.: Šestnásť matematických príbehov.
Úlohy: 1. Dokažte Dirichletův princip: a) Jestliže více než n předmětů rozdělíme do n skupin, pak v aspoň jedné skupině budou aspoň dva předměty. b) Jestliže více než kn předmětů rozdělíme do n skupin, pak v aspoň jedné skupině bude aspoň k + 1 předmětů. 2. Dokažte, že v každém trojúhelníku má aspoň jeden úhel velikost a) menší nebo rovnu 60◦ , b) větší nebo rovnu 60◦ . 3. Dokažte: Jestliže přímka umístěná v rovině trojúhelníka ABC neprochází vrcholem trojúhelníka, pak nemůže protínat všechny jeho tři strany. 4. Je 500 beden s jablky, v každé z nich je nejvýš 240 jablek. Dokažte, že aspoň tři bedny mají stejný počet jablek. 27
28
KAPITOLA 6. DIRICHLETŮV PRINCIP 5. Kolikrát je třeba hodit třemi kostkami aby bylo zaručeno, že aspoň čtyřikrát padne tentýž součet? 6. Skot má jedenáct kapes a 43 jednodolarových bankovek. Může tyto bankovky rozmístit do kapes tak, aby v každých dvou kapsách měl různé obnosy? 7. Antropologové prokázali, že každý člověk mát na hlavě méně než 500 000 vlasů. (Lze to zjistit stanovením maximální hustoty vlasů a největší možné plochy porostlé vlasy na hlavě.) Mexiko City má více než 18 milionů obyvatel. Dokažte, že v Mexiko City existuje aspoň 37 obyvatel se stejným počtem vlasů. 8. Do fotbalového mistrovství postoupilo n mužstev. Každá dvě mužstva mají sehrát právě jeden zápas. Dokažte, že v jakékoli fázi mistrovství mají vždy některá dvě mužstva odehrán stejný počet zápasů. 9. Sešlo se 50 lidí, z nichž někteří se znají a jiní ne. Předpokládáme, že pokud se dva znají, tak se znají navzájem, tj. pokud A zná B, pak B zná A. Dokažte, že mezi těmito lidmi existují dva, kteří znají stejný počet lidí z uvedené skupiny.
10. V kartézské soustavě v rovině je libovolně zvoleno pět bodů s celočíselnými souřadnicemi. Dokažte, že uvnitř některé úsečky určené těmito body se nachází bod, jehož souřadnice jsou také celočíselné. 11. V kartézské soustavě v prostoru je libovolně zvoleno devět bodů s celočíselnými souřadnicemi. Dokažte, že uvnitř některé úsečky určené těmito body se nachází bod, jehož souřadnice jsou také celočíselné. 12. Konference se zúčastnilo 70 delegátů, kteří hovoří 11 jazyky. Stejným jazykem mluví vždy nejvýš 15 delegátů. Organizační výbor rozhodl, že za oficiální jazyk konference bude považovat ten jazyk, kterým mluví aspoň 5 delegátů. Dokažte, že na koferenci byly aspoň 3 oficiální jazyky. 13. V autobuse je 38 cestujících, přitom ti, kteří se neznají, mají mezi cestujícími společného známého. Dokažte, že některý cestující má v autobuse aspoň 7 známých. 14. Sedmnáct osob si navzájem dopisuje, každá z nich se všemi ostatními. V celé korespondenci se vyskytují jen tři různá témata. Každá dvojice si dopisuje jen na jedno z těchto témat. Dokažte, že existují aspoň tři osoby, které si dopisují na totéž téma.
29 15. Dokažte, že mezi n libovolně zvolenými přirozenými čísly lze vybrat několik čísel (může být i jedno), jejichž součet je dělitelný číslem n. 16. Radek se připravuje na matematikou olympiádu tak, že po dobu 33 za sebou jdoucích dní vyřeší aspoň jednu úlohu denně. Přitom za kalendářní týden nevyřeší více než 13 úloh. S přípravou začal v pondělí. Dokažte, že pak existuje období několika za sebou jdoucích dní, ve kterém vyřeší přesně 33 úloh. Můžeme vyslovit stejný závěr, když začne s přípravou v pátek? 17. Dokažte, že každé přirozené číslo má (nenulový) násobek, jehož dekadický zápis obsahuje jen cifry 0 a 9. 18. Dokažte, že ke každému přirozenému číslu m existuje číslo zapsané (dekadickým zápisem) jen jedničkami a nulami a je dělitelné číslem m. 19. Existuje přirozené číslo n takové, že číslo zapsané (dekadicky) jen n jedničkami je dělitelné číslem 1997? 20. Z každých dvanácti různých dvojciferných přirozených čísel lze vybrat dvě čísla, jejichž rozdíl je dvojciferné číslo zapsané stejnými ciframi. Dokažte. 21. Ve čtvercové síti 14 × 14 je v každém čtverci sítě zapsáno jedno z čísel 1, 2, . . . , 2000. Dokažte, že existují dva pravoúhelníky P a Q, jejichž vrcholy se nachází ve středech čtvercových políček sítě a takové, že strany pravoúhelníků jsou rovnoběžné s přímkami sítě a součet čísel ve vrcholech pravoúhelníku P je stejný jako součet čísel ve vrcholech pravoúhelníku Q. 22. Čtverec 100 × 100 je rozdělen na 10 000 jednotkových čtverců. Do nich jsou libovolným způsobem vepsána čísla od 1 do 10 000 (do různých čtverců různá čísla). Dokažte, že pak existují dva sousední (tj. mající společnou stranu) čtverce, v nichž jsou umístěna čísla lišící se aspoň o 51. 23. Každý bod čtverce o straně 10 cm je obarven právě jednou ze dvou barev. Dokažte, že existují ve čtverci tři body které jsou vrcholy trojúhelníka o obsahu aspoň 25 cm2 a které mají stejnou barvu. 24. Každá stěna krychle je obarvena jednou ze dvou barev. Dokažte, že některé její dvě sousední stěny (tj. stěny mající společnou hranu) mají stejnou barvu.
30
KAPITOLA 6. DIRICHLETŮV PRINCIP
25. Každý bod krychle o hraně 10 cm je obarven jednou ze tří barev. Dokažte, že při libovolném obarvení existují v krychli 2 body stejné barvy, jejichž vzdálenost je aspoň 14 cm. 26. Každému bodu jednotkové krychle přiřadíme právě jednu ze dvou barev. Dokažte že při libovolném takovémto obarvení existuje dvojice bodů stejné barvy, jejichž vzdálenost je aspoň 3/2. 27. V rovině je dáno 50 bodů, z nichž žádné tři neleží na přímce. Dokažte,že trojúhelníky určené trojicemi daných bodů mají aspoň 200 vnitřních úhlů menších než 8◦ . 28. Dokažte, že v každém konvexním devítiúhelníku mají některé dvě úhlopříčky odchylku menší než 7◦ . 29. Dokažte, že v kruhu o poloměru 1 nelze vybrat 6 bodů tak, aby vzdálenost každých dvou byla větší než 1. 30. V krychli s hranou 15 cm je zvoleno 2198 bodů. Dokažte, že se mezi nimi najdou dva body, jejichž vzdálenost je menší než 2 cm. 31. Je dán čtverec a devět přímek. Každá z nich dělí čtverec na dva čtyřúhelníky, které mají poměr obsahů 2 : 3. Dokažte, že aspoň tři z těchto devíti přímek procházejí jedním bodem. 32. Uvnitř jednotkového čtverce je několik kruhů. Součet poloměrů všech těchto kruhů je 0, 51. Dokažte že existuje přímka, která protíná aspoň dva kruhy a je rovnoběžná s některou stranou čtverce. 33. Uvnitř jednotkového čtverce je několik kružnic. Součet délek všech těchto kružnic je 10. Dokažte, že existuje přímka, která protíná aspoň čtyři kružnice a je rovnoběžná se stranou čtverce.
Kapitola 7 Nerovnosti a extrémy funkcí Literatura: Řezníčková E.: Elementární metody řešení extremálních úloh, diplomová práce, JČU, Pedagogická fakulta, České Budějovice 2001. Práci naleznete na stránkách naší katedry matematiky. Konkrétně na adrese http://www.pf.jcu.cz/stru/katedry/m/MRG/element.pdf
7.1
Nerovnosti
1. Dokažte, že ze všech čtyřúhelníků vepsaných do téže kružnice má největší obsah čtverec. 2. Vyslovte a dokažte AG nerovnost. 3. Dokažte, že pro každá nezáporná a, b, c platí: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc. 4. Dokažte, že pro každá reálná a, b, c platí: Jestliže a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca, pak a = b = c. 5. Dokažte, že pro každá kladná x1 , x2 , . . . , xn platí: x1 x2 xn−1 xn + +...+ + ≥ n. x2 x3 xn x1 6. Dokažte, že pro všechna kladná a, b, c, d, jejichž součin je roven jedné, platí: a2 + b2 + c2 + d2 + ab + ac + ad + bc + bd + cd ≥ 10. 31
32
KAPITOLA 7. NEROVNOSTI A EXTRÉMY FUNKCÍ 7. Dokažte, že pro každá nezáporná a, b platí: a2 b ≤
4(a + b)3 , 27
přičemž rovnost nastane právě tehdy, když a = 2b. 8. Dokažte, že pro každá reálná a, b platí: (a + b)4 ≤ 8(a4 + b4 ). 9. Dokažte, že pro každá nezáporná a, b platí: (a + b)(a4 + b4 ) ≥ (a2 + b2 )(a3 + b3 ). 10. Dokažte, že pro všechna nezáporná a1 , a2 , . . . a5 , která splňují vztah a1 + a2 + . . . + a5 = 1, platí: 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 −1 − 1 ≥ 1024. a1 a2 a3 a4 a5 11. Dokažte, že pro každé přirozené n platí: n2 + n ≥ (n!)2/n . 3 12. Najděte všechna kladná řešení soustavy: x + 1/y ≤ 2 y + 1/z ≤ 2 z + 1/x ≤ 2. 13. Obsah rovinného konvexního čtyřúhelníka je 32 cm2 , součet délek jeho dvou protilehlých stran a jedné úhopříčky je 16 cm. Určete všechny možné délky druhé úhlopříčky. 14. Trojúhelník má obsah 32 cm2 a součet délek dvou stran 16 cm. Určete délku třetí strany. 15. Čtyřstěn ABCD má objem 36 cm3 , součet délek hran AB, BC a CD je 18 cm. Určete délku hrany AD.
7.2. KVADRATICKÁ FUNKCE, AG NEROVNOST
7.2
33
Kvadratická funkce, AG nerovnost
Řešte jednak využitím AG nerovnosti, jednak využitím vlastností grafu kvadratické funkce a také doplněním na úplný čtverec. 1. Kladné číslo rozložte na dva sčítance tak, aby součet druhých mocnin těchto čísel byl co nejmenší. 2. Dokažte, že ze všech pravoúhelníků daného obvodu má největší obsah čtverec. 3. Dokažte, že ze všech pravoúhelníků daného obsahu má nejmenší obvod čtverec. 4. Konzervy tvaru válce mají mít daný objem V . Určete, jaké musí mít rozměry, aby se na jejich výrobu spotřebovalo co nejméně plechu. 5. Je dán obsah kruhové výseče. Určete její poloměr a velikost středového úhlu tak, aby její obvod byl minimální. 6. Je dán obvod kruhové výseče. Určete její poloměr a velikost středového úhlu tak, aby její obsah byl maximální. 7. Na břehu řeky se má oplotit ze tří stran pozemek tvaru pravoúhelníku (čtvrtou stranu pravoúhelníku bude ohraničovat řeka). Určete rozměry tohoto pravoúhelníku, má-li být jeho obsah maximální a je-li k dispozici 120 m pletiva. 8. Obrazec se skládá z obdélníka o rozměrech x, y a rovnostranného trojúhelníka o délce strany x. (Oba útvary mají stranu délky x společnou.) Určete rozměry obrazce tak, aby jeho obsah byl při daném konstantním obvodu l maximální. 9. Určete rozměry rotačního kužele, který má při daném konstantním povrchu S největší objem. 10. V trojúhelníku je dán obvod a + b + c = 2s. Určete délky a, b, c tak, aby rotací trojúhelníka kolem jedné strany vzniklo těleso největšího objemu. 11. Do elipsy o daných poloosách a, b vepište pravoúhelník největšího obsahu. 12. Do čtverce o dané úhlopříčce u vepište obrazec tvaru kříže ohraničeného dvěma stejně širokými pruhy rovnoběžnými s úhlopříčkami čtverce tak, aby obsah kříže byl maximální.
34
KAPITOLA 7. NEROVNOSTI A EXTRÉMY FUNKCÍ
13. Do daného trojúhelníka ABC vepište pravoúhelník největšího obsahu tak, aby dva jeho vrcholy ležely na straně AB a ostatní na zbývajích stranách trojúhelníka. 14. Do daného půlkruhu vepište pravoúhelník maximálního obsahu tak, aby jeho dva sousední vrcholy ležely na průměru půlkruhu a zbývající dva vrcholy na jeho hraniční kružnici. 15. Do rotačního kužele o poloměru R a výšce h vepište válec s maximálním pláštěm. 16. Do koule o poloměru R vepište rotační válec s největším pláštěm. 17. Je dán trojúhelník ABC. Určete rozměry rovnoběžníka AKLM, jehož vrcholy K, L, M leží po řadě uvnitř stran AB, BC, CD, jestliže obsah rovnoběžníka má být co největší.
7.3
Metoda diskriminantu a AG nerovnost
Řešte metodou diskriminantu nebo pomocí AG nerovnosti s využitím metody neurčitých koeficientů. 1. Rozložte kladné číslo a na dva činitele tak, aby jejich součet byl minimální. 2. Vrcholem A obdélníka ABCD veďte polopřímku, která protne stranu CD v bodě E a prodlouženou stranu BC protne v bodě F tak, aby součet |DE| + |BF | byl minimální. (Určete x = |DE|.) 3. Uvnitř pásu roviny omezeného rovnoběžkami p, q leží bod A, jehož vzdálenost od přímky p je a, od přímky q je b. Určete pravoúhlý trojúhelník AXY s přeponou XY tak, aby jeho vrchol X byl na přímce q a Y na přímce p, a aby jeho obsah byl minimální. 4. Jaké rozměry má mít profil okna složený z obdélníka a přilehlého půlkruhu, aby při daném plošném obsahu S byl obvod okna minimální? 5. Plakát pravoúhelníkového tvaru má mít plochu 2000 cm2 . Jeho potištěná část má být rovněž pravoúhelníková, přičemž má být přesně dodržen okraj po 4 cm po stranách a nahoře a 6 cm dole. Určete rozměry plakátu tak, aby byla potištěná plocha maximální.
7.4. EXTRÉMY KUBICKÉ FUNKCE
35
6. Na stránce knihy má text pokrývat plochu s obsahem S cm2 . Horní a dolní okraj má být a cm, pravý a levý okraj b cm. Jaké mají být nejvýhodnější rozměry stránky, aby se na vytištění knihy spotřebovalo co nejméně materiálu? 7. Určete lokální (a současně i absolutní) minimum funkce x2 g(x) = , x−a kde a je kladný reálný parametr a proměnná x je z intervalu (a, ∞). 8. Dvě přímě železniční tratě se kříží pod pravým úhlem. K místu křížení se současně blíží po obou tratích dva vlaky. Jeden z nádraží ležícího 40 km od místa křížení, druhý z nádraží, které je 50 km od křížení. První vlak ujede za jednu minutu 0, 8 km, druhý 0, 6 km. Za kolik minut od výjezdu z obou nádraží budou vlaky od sebe nejméně vzdáleny? 9. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, jež má pravý úhel při vrcholu A, |AC| = 5 km. Přímka AB představuje hranici jezera, v místě C se na jezeře nachází pramice s mužem, který se chce dostat v co nejkratším čase do místa B. Přitom dokáže veslovat rychlostí 3 km/hod a po břehu se pohybuje rychlostí 5 km/h. Bude tedy veslovat do bodu E uvnitř úsečky AB a odtud půjde do B po břehu. Určete |AE|, jestliže |AB| = 12 km. 10. Do polokoule poloměru R je vepsán rotační válec tak, že jeho dolní podstava leží v kruhové podstavě polokoule a hranice horní podstavy válce se dotýká vrchlíku polokoule. Určete rozměry válce, má-li být jeho povrch maximální. 11. Do polokoule poloměru R je vepsán kvádr se čtvercovou podstavou která leží v kruhové podstavě polokoule a vrcholy horní podstavy kvádru se dotýkají vrchlíku polokoule. Určete rozměry kvádru, má-li být jeho povrch maximální.
7.4
Extrémy kubické funkce
Pokud to půjde, řešte jednak elementární metodou hledání lokálních extrémů kubické funkce (využitím Vietových vztahů, tj. metody neurčitých koeficientů), jednak pomocí AG nerovnosti a metody neurčitých koeficientů.
36
KAPITOLA 7. NEROVNOSTI A EXTRÉMY FUNKCÍ 1. Karton má tvar pravoúhelníku 20 cm × 32 cm. V jeho rozích se mají vystřihnout čtverce a straně délky x tak abychom po ohnutí pravoúhelníků, které vznikly odstřižením čtverců a slepení těch okrajů délky x, které se ohnutím dostany k sobě, obdrželi krabici tvaru kvádru. Určete x tak, aby objem krabice byl maximální. 2. Z plechu tvaru čtverce o straně a máme v rozích vystřihnout shodné čtverce tak, aby nádoba vzniklá ohnutím okrajů zbytků měla maximální objem. Určete délku x strany vystřižených čtverců. 3. Součet dvou čísel je 12. Najděte tato čísla, jsou-li obě kladná a součin jednoho s druhou mocninou druhého je maximální. 4. Krabice tvaru kvádru má dvakrát větší délku než šířku a povrch (včetně dna a víka bez překrytí) 108 cm2 . Jaký je její největší možný objem? 5. Do koule o poloměru R vepište rotační kužel o největším plášti. 6. Určete výšku rotačního kužele, který má při dané straně s největší objem. 7. Nádrž na vodárenské věži se skládá ze svislého rotačního válce o dané výšce a dole ukončeného kuželem o témže poloměru a o straně délky 3a. Určete výšku kužele a jeho poloměr tak, aby nádrž měla maximální objem. 8. Do parabolické úseče vytvořené parabolou 6y = x2 a přímkou y = 9 vepište rovnoramenný lichoběžník se základnami rovnoběžnými s osou x tak, aby obsah lichoběžníku byl co největší. 9. Do rotačního kužele o poloměru r a výšce h vepište válec maximálního objemu.
10. Pomocí Vietových vztahů vyšetřete lokální extrémy a načrtněte grafy těchto funkcí: a) f (x) = 2x3 −15x2 +36x+6, c) h(x) = x3 − 2x2 + 19x − 4,
b)
g(x) = −3x3 +9x2 +135x+405,
d) r(x) = −x3 + 3x2 − 4x + 5,
