Obsahy a objemy. Pavel Leischner,

Obsahy a objemy Pavel Leischner, [email protected],cz Soubor apletů a obrázků v Cabri je pomů ckou k výuce té mat obsahy rovinný ch útvarů a objemy tě les na ZŠ a SŠ. Text odstavců obsahuje metodický návod k práci s aplety, které otevřete klepnutím pomocí levé ho tlačítka myši na obrázek. Odpovídající obrázky v Cabri otevřete klepnutím na nadpis.

01 Obsah obdé lníka

Obrázek slouží jako základní ukázka k seznámení s pojmem obsah obdé lníka. První (názornou) představou by mělo být, že obsah útvaru je počet jednotkových čtverců , kterými lze útvar beze zbytku a bez překrývání pokrýt. Sítí jednotkových čtverců v levé části obrázku mů žeme posouvat úchopem za levý dolní mřížový bod. Přemístíme ji tak, aby se čtyři mřížové body kryly s vrcholy obdé lníka a zjistíme, kolik jednotkových čtverců obdé lník obsahuje. Dalším vhodným posunutím sítě mů žeme demonstrovat, že počet jednotkových čtverců obsažených v obdé lníku zů stane stejný i když mřížové body nejsou ve vrcholech obdé lníka. Nemů žeme zde ukázat, že je tento počet invariantní i vů či otočení sítě. Lze však využít fyzikální úvahu: Kdybychom si vyrobili model obdélníka z homogenní destič ky a ze stejné destič ky i model jednotkového č tverce (obojí ve skuteč né velikosti) a modely zvá žili, je obsah urč en podílem hmotnostímodelu obdélníka a č tverce. V tomto smyslu je obsah konstantou úměrnosti mezi daným útvarem a jednotkovým čtvercem. Přesunutím sítě zpět do počáteční polohy a odsunutím obdé lníka úchopem za levý horní vrchol odkryjeme obdé lník, kterýje již na 15 jednotkových čtverců rozdělen. Č tverce lze po řadách „ poskládat“ na číselnou osu přemisťováním za dolní vrcholy řad na levé straně obdé lníka (začínáme odspodu).

PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

02 Obsah čtyřúhelníka

Č tyřúhelník na obrázku mů žeme posunovat úchopem za vnitřní bod které koli jeho strany. Č tvercovou sítí posouváme pomocí levé ho červeně vyznačené ho bodu a otáčíme pomocí pravé ho červené ho bodu. Má se zjistit obsah čtyřúhelníka. To provedeme přemístěním sítě tak, aby nejdelší strana čtyřúhelníka ležela na některé přímce sítě a mřížovýbod sítě byl ve vrcholu čtyřúhelníka při jeho pravé m úhlu. Pokud je čtyřúhelník pokryt sítí, snadno spočítáme, kolik jednotkových čtverců obsahuje.

03 Přesnější odvození obsahu pravoúhelníka Obsah rovinné ho útvaru lze definovat jako nezáporné číslo, jež splňuje tyto axiomy: 1. Jednotkovýčtverec má obsah 1. 2. Obsahy shodných útvarů jsou si rovny. 3. Obsah sjednocení dvou útvarů , které nemají společné vnitřní body, je roven součtu obsahů těchto útvarů . Pomocí nich nejprve odvodíme, že pravoúhelník jehož jedna strana má dé lku 1 a druhá dé lku a, má obsah S = a. Jednotkový čtverec v levé části obrázku je rozdělen na n navzájem shodných obdé lníčků o rozměrech 1 a 1/n. Rů zné hodnoty n mů žeme nastavovat pomocí ovladače v horní části obrázku. Dodejme, že n je přirozené č íslo, mají-li bý t všechny obdélníč ky v jednotkovém č tverci shodné navzá jem. Proto bychom na ovladač i mě li nastavovat jen celoč íselné hodnoty n.


V pravé části obrázku je uvažovaný pravoúhelník jehož svislá strana má dé lku 1 a vodorovná dé lku a. Polopřímku, v níž leží dolní strana pravoúhelníka a jejíž počátek je v jeho levé m dolním vrcholu rozdělíme podle obrázku na úsečky dé lky 1/n. Tyto úsečky jsou stranami obdé lníčků shodných s těmi, na něž je rozřezán jednotkovýčtverec. Počet všech takových obdé lníčků beze zbytku obsažených v dané m pravoúhelníku je k. Snadno určíme, že dé lka a splňuje vztah d < a < d + 1/n, kde d = k/n. Tedy číslo a je v intervalu šířky 1/n.

Pomocí axiomů 1 –3 snadno ukážeme, že obsah jednoho obdé lníčku je 1/n. Dále zjistíme, že podle axiomů 2 a 3 splňuje obsah S dané ho pravoúhelníka vztah d < S < d + 1/n, kde d = k/n. Nachází se tedy ve stejné m intervalu jako a. S rostoucím n se šířka 1/n tohoto intervalu neomezeně zužuje, avšak čísla S i a v něm pořád leží. Je tedy S = a. Pozná mka: Pravé okraje kótová nís údaji d =1/n a d + 1/n v pravé č á sti tohoto obrá zku se při změ ná ch hodnoty č ísla n neposouvají automaticky. Jejich polohu je nutno nastavit pro každou hodnotu n ruč ně úchopem za pravé konce kót. V příslušném apletu můžeme mě nit délku a strany pravoúhelníka úchopem za pravý dolnívrchol a zvě tšová ním hodnoty n pomocíovladač e ná zorně uká zat limitnípřechod. Aplet při otevřenínedodržuje uložené umístě níná zvů. Omluvte to, prosím, a ná zvy si posuňte do sprá vné polohy. Vylepšenou variantou předchozího obrázku je soubor 03A, kde není nutno kótování upravovat. Na základě vztahu S = a pro pravoúhelník se stranami dé lek 1 a a podobně dokážeme, že obsah pravoúhelníka s rozměry a, b je S = ab. Jen místo čtverce zvolíme


obdé lník s vodorovnou stranou dé lky 1 a svislou stranou dé lky a (soubor 03B). Daný obdé lník bude mít vodorovnou stranu dé lky b a svislou stranou dé lky a. Analogickými axiomy pro zavedení objemu tělesa a analogickými úvahami pro kvádr zjistíme, že objem kvádru s rozměry a, b, c je V = abc.

03A Odvození obsahu pravoúhelníka, část A

03B Odvození obsahu pravoúhelníka, část B


04 Obsah rovnoběžníka

Tahem doprava za koncovýbod vektorové ho ovladače odstraníme horní rovnoběžník a zviditelníme spodní, shodný s pů vodním, který je rozdělen kolmicí v levé m dolním vrcholu na dva útvary. Úchopem trojúhelníka za levý dolní vrchol a tahem doleva přetransformujeme rovnoběžník na obdé lník se stranami dé lek a, v. Z šedé ho obdé lníku „ vytáhneme“ skrytýtext S = av.

05 Obsah rovnoběžníka II

U takovýchto rovnoběžníků je předešlá transformace na obdé lník složitější. Táhněte nejprve červeným ovladačem za koncový bod doprava, pak dolním ovladačem za koncový bod doleva. Vzorec „ vytáhneme“ z šedé schránky obdobně jako u předešlé ho obrázku.


06 Obsah trojúhelníka

Pohybujte koncovým bodem vektoru ovladače po oblouku. Získáte rovnoběžník složený ze dvou středově souměrných trojúhelníků . Z šedé schránky „ vytáhnete“ vzorec.

07 Obsah lichoběžníka

Obsluha je stejná jako u předchozí pomů cky.


08 Obsah kruhu Pomů cky slouží k odvození vztahu pro obsah kruhu Kellerovou metodou: Kruh rozřežeme na velký počet n navzájem shodných úsečí, ze kterých poskládáme útvar podobný rovnoběžníku. Když se n blíží k nekonečnu, nabývá rovnoběžník tvar obdé lníka se základnou π r a výškou r. U všech tří souborů nejprve pohybujte koncovým bodem vektoru ovladače po oblouku. Potom uchopte horní pravýkoncovýbod horní pravé výseče a táhněte dolů .

Kruh I –10 výsečí

Kruh II –22 výsečí

Kruh III –42 výsečí


Pozná mka: S posledními dvěma aplety se pro složitost konstrukce hů ře manipuluje. Proto je pro demonstraci lepší otevřít si obrázky v Cabri (klepnutím na nadpisy).

10A Odvození objemu kvádru, část A

10B Odvození objemu kvádru, část B


10C Odvození objemu kvádru, část C

11 Cavalieriho princip I

Pomů cka slouží k demonstraci Cavalieriho principu: Jestliže pro dvě tě lesa existuje taková rovina, že každá rovina s ní rovnobě žná protíná obě tě lesa v rovinný ch útvarech se stejný mi obsahy, majítě lesa stejný objem. Pohybujte koncovým bodem vektoru nahoru.


12 Cavalieriho princip II Tuto pomů cku lze využít ke zdů vodnění principu. Při pohybu koncovým bodem vektorové ho ovladače nahoru vznikají v apletu stopy obrazů podstav jehlanů v příslušných stejnolehlostech. (V originálním obrázku v Cabri musíme napřed stopu nastavit.) Jehlany se „ navrství“ z „ destiček.“ Destičky ve stejných výškách mají stejný elementární objem. Č ím pomaleji bodem ovladače pohybujeme, tím hustěji se destičky navrství. Stopy („ destičky“) smažeme klepnutím pomocí tlačítka myši na ikonku „ Krok vpřed“ na liště ovladače apletu. V Cabri pak pomocí příkazu „ Upravit- překreslit.“ Pomocí Cavalieriho principu a stejnolehlosti ukážeme, že všechny jehlany a kužele mají tentýž objem, pokud mají stejnou výšku a stejnýobsah podstavy.


13 Objem jehlanu I

Pohybem hodu na horním úsečkové m ovladači doprava „ rozřežeme“ trojboký hranol na tři trojboké jehlany, jejichž výšky obsahy podstav jsou stejné . Pohybem bodu na dolním ovladači doleva odsuneme jehlany od sebe tak, aby byly oddělené . Vektorové ovladače v pravé části obrázku umožňují měnit tvar trojboké ho hranolu.

13 Objem jehlanu II

Pomů cka se ovládá analogicky, je zde jen zvolen jinýzpů sob rozřezání a jehlany lze odsouvat jednotlivě.


Obsahy a objemy. Pavel Leischner,

Recommend Documents