METODE YATES : METODE ALTERNATIF MENGHITUNG KONTRAS SUTARMAN Fakultas Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Abstrak Artikel berikut ini menyajikan salah satu metode, dikenal dengan sebutan metode Yates, yang dapat digunakan dalam menghitung kontras. Metode ini cukup sederhana sehingga mudah menggunakannya. Metode ini terutama sangat baik dalam menghitung kontras dari suatu percobaan faktorial yang berukuran2n . Pendahuluan Marilah kita perhatikan percobaan faktorial 22 yang mempunyai n ulangan percobaan untuk setiap kombinasi perlakuan. Kita simbolkan (1.), a, b, dan ab sebagai jumlahan dari ulangan-ulangan itu untuk setiap ulangan kombinasi perlakuan. Tabel berikut adalah tabel dua arah dari jumlahan ulangan-ulangan untuk setiap kombinasi perlakuan. tabel 1.1 Jumlahan ulangan tiap kombinasi perlakuan. B a0 A a1 Jumlah Rata - rata
b0 (1) a (1)+a ((1)+a)/2n
b1 b ab b+ab (b+ab)/2n
Jumlahan (1)+b a+ab
Rata- rata ((1)+b)/2n (a+b)/2n
Sekarang kita definisikan kontras –kontras sebagai berikut : Akontras = (a+b) – ((1)+b) = ab+a-b(1) Bkontras = (ab+b)– ((1)+a) = ab-a+b–(1) ABkontras = (ab–b) – (a-(1)) = ab–a-b+(1) Efek utama dari setiap faktor adalah ab + a – b – (1) Akontras Wa = _____________ = _______ 2n 2n Wb = ab – a + b – (1) Bkontras _____________ = ______ 2n 2n Kontras WA merupakan selisih antara rata-rata respon pada taraf rendah dan tinggi didasari faktor A. Dari kenyataan ini WA disebut sebagai efek utama dari faktor A dan WB disebut dengan efek utama faktor B. lnteraksi diperoleh dengan menghitung selisih antara ab-b dan a-(1) atau ab-a-b+(1). Jadi efek utama interaksi adalah sebagai berikut: ab -a -b + (1) ABkontros WAB = ___________ = ______ 2n 2n
©2004 Digitized by USU digital library
1
Jika WAB = 0 maka suatu garis yang menghubungkan respon untuk setiap taraf faktor A pada taraf kedua faktor B merupakan garis pararel yang hampir mendekati garis yang menghubungkan respon untuk setiap taraf faktor A pada taraf pertama faktor B. Garis yang tidak paralel pada gambar 1.1 merupakan gambaran interaksi antara faktor A dan faktor B.
Gambar 1.1 Interaksi antara A dan B Sekarang akan kita definisikan jumlah kuadrat – kuadrta faktor A sebagai berikut :
dalam hal ini T1.. = b + (1), T2.. =ab + a, c1=-1, dan c2=1. Jadi (Akontros)2 (ab+a+b-(1))2 JKA = ____________ = _______ 2n2 22.n Dengan cara yang sama akan didapat kontras B dan AB sebagai berikut: JKB =
(AkontrasB)2 (ab - a +b -(1))2 _____________ = _______ 2n2 22.n
(ABkontrasB)2 (ab -a -b + (1))2 JKAB = _____________ = ________ 2n.2 22.n Dalam mengitung kontras A, B, dan AB akan lebih mudah bila kita koefisien-koefisien dari (1), a, b, dan ab disusun dalam tabel seperti berikut ini
©2004 Digitized by USU digital library
2
Tabel 1.2 Tanda Koefisien Efek untuk Percobaan Faktorial 22. kombinasi Perlakuan (1) a b ab
Efek Faktor A B + + + + + +
Total + + + +
AB + + + +
Bila percobaan yang kita lakukan adalah percobaan faktorial 23, maka tabel koefisien dapat disusun sebagai berikut: Tabel 1.3. Tanda Koefisien Efek Untuk Percobaan Faktorial 23 Kombinasi Perlakuan (1) a b ab c ac bc abc
Total + + + + + + + +
A + + + +
B + + + +
Efek Faktor AB C + + + + + + + +
AC + + + +
BC + + + +
ABC + + + +
Perhatikan kolom AB, AC, dan ABC tanda koefisien merupakan hasil perkalian kolom-kolom A, B, atau C. Jika kita perhatikan tanda koefisien-koefisien di atas maka nampaklah bahwa: 1. Untuk efek A, B, dan C, koefisien-koefisien kontras yang masing-masing tidak mengandung a, b atau c akan bertanda negatif, sedangkan yang mengandung a, b, atau c bertanda positip. 2. Koefisien kontras AB didapat dengan jalan mengalikan kontras efek A dengan koefisien kontras efek B. Demikian juga untuk koefisien kontras BC, AC, dan ABC. Untuk menghitung kontras dapat dilakukan sebagai berikut, sebagai contoh kontras ABC (perhatikan tabel 1.3) ABCkontras = -(1) + a + b -ab + c -ac -bc +abc dan JKABC
(ABC kontras)2 = ____________ 23.n
Untuk percobaan faktorial 2k dengan n ulangan untuk tiap kombinasi perlakuan, maka jumlah kuadrat-kuadrat perlakuan dapat dinyatakan sebagai: JKPerlakuan
(Perlakuankontras)2 = ______________ 2k.n
©2004 Digitized by USU digital library
3
Metode Yates Sangatlah sulit untuk menuliskan tanda-tanda koefisien untuk eksperimen yang besar. Satu cara sistematis yang digunakan untuk menyusun tabel tersebut guna mendapatkan efek faktorial telah dikembangkan oleh Yates. Perlakuan kombinasi dan observasi harus dituliskan dalam bentuk standard. Untuk satu faktor bentuk standardnya adalah (1) dan a. Untuk dua faktor kita tambahkan b dan ab, yang diperoleh dengan, mengalikan dua kombinasi perlakuan yang pertama dengan huruf b. Untuk tiga faktor kita tambahkan c, ac, bc, dan abc, yang diperoleh dengan mengalikan keempat kombinasi perlakuan yang pertama dengan penambahan huruf c dan seterusnya. Dalam hal tiga faktor bentuk (urutan) standardnya adalah: (1), a, b, ab, c, ac, bc, abc. Untuk lebih ringkasnya metode Yates dapat dikerjakan dengan menggunakan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Tempatkan kombinasi perlakuan dan jumlahan ulangan dalam satu kolom dengan urutan standard. 2. Kolom (1.) pada bagian I didapat dengan cara menjumlahkan pasangan respon yang berdekatan (adjacent pairs), sebagai contoh perlakuan (1) = (1) + a, a = b+ ab, b =c+ac, dan ab = bc + abc. Sedangkan yang bagian n didapat dengan cara mengalikan entri pertama dengan negatif fan menambahkannya dengan pasangan bertetangga, sebagai contoh, perlakuan c = -( 1) + a atau c = a-( 1), ac=ab-b, bc = ac -c dan abc=abc-bc. 3. Dengan cara yang sarna kita mengisi kolom kedua dan ketiga. Tabel 1.4. Metode Yates untuk Percobaan faktorial 23 Komb. Perl. (1) a b ab c ac bc abc
(1)
(2)
(3)
(4)
(1)+a b+ab c+ac bc+abc a-(1) ab-b ac-c abc-c
(1)+a+b+ab C+ac+bc+abc a-(1)+ab-b ac-c+abc-bc b+ab-(1)-a bc+abc-c-ac ab-b-a+(1) abc-bc-ac+c
(1)+a+b+ab+c+ac+bc+abc a-(1)+ab-b+ac-c+abc+bc b+ab-(1)-a+bc+abc-c-ac ab-b-a+(1)+abc-bc-ac+c c+ac+bc+abc-(1)-a-b-ab ac-c+abc-bc-a+(1)-ab+b bc+abc-c-ac-b-ab+(1)+a Abc-bc-ac+c-ab+b+a-(1)
Total A kontras B kontras AB kontras C kontras AC kontras BC kontras ABC kontras
Contoh.Misalkan eksperimen mengenai hasil semacam zat kimia ditentukan oleh faktor-faktor temperatur (50 °c dan 60 °C), konsentrasi (40 % dan 50 %), dan tekanan dengan taraf rendah dan tinggi. Dengan demikian kita peroleh eksperimen 23. Misalkan eksperimen dilakukan dengan menggunakan ulangan sebanyak tiga kali, dan hasilnya diberikan pada tabel berikut:
©2004 Digitized by USU digital library
4
Tabel 1.6. Hasil Pengukuran Percobaan Semacam Zat Kimia Karena Temperatur, Konsentrasi, dan Tekanan Berbeda (n=3). Temp 0 C 50 Jlh 60 Jlh
40% Tekanan Rendah Tinggi 43,7 45,2 44,1 44,9 43,9 45,9 131,7 135,7 48,2 47,9 47,9 48,0 47,2 45,7 143,3 141,6
50% Tekanan Rendah Tinggi 42,7 45,7 44,1 46,0 45,0 45,9 131,8 137,6 48,9 49,8 48,7 50,1 49,3 52,3 146,9 152,2
Dengan menggunakan metode Yates kita akan menganalisis data di atas seperti terlihat pada tabel 1.7 Tabel 1.7. Metode Yates Untuk Menghitung Kontras (Data pada Tabel 1..6) Perlakuan (1) a b ab c ac bc abc
Respons 131,7 143,3 131,8 146,9 135,7 141,6 137,6 152,2
Kol (1) 275,0 278,7 277,3 289,3 11,6 15,1 5,9 14,6
Kol (2) 553,7 567,1 26,7 20,5 3,7 12,5 3,5 8,7
Kol (3) 1.120,8 47,2 16,2 12,2 13,4 -6,2 8,8 5,2
JK 52.341,36 92,83 10,94 6,20 7,48 1,60 3,23 1,13
Bilangan-bilangan pada kolom terakhir diperoleh dengan jalan mengkuadratkan bilangan-bilangan kolom (3), kemudian dibagi dengan 23.n=24 Kesimpulan Dari prosedur yang sudah kita kerjakan di atas terlihat bahwa metode Yates ini memberikan suatu kemudahan dalam menghitung kontras yang sekaligus akan diperoleh jumlah kuadrat-kuadrat dari respons yang bersangkutan. Proses yang dilakukan terlihat bahwa kita tidak terlalu banyak terlibat dengan notasi-notasi rumus dalam mencari jumlah kuadrat-kuadrat, yang berakibat kita dapat menghemat waktu dalam mencari kontras dan jumlah kuadrat-kuadrat. Kepustakaan Cochran, W.G., Cox, G.M (1957)Experimental Design. 2nd Edition. John Wiley & Sons, New York. Montgomery, Doughlas C. (1991). Design and Analysis of Experiment. Third Edition. John Wiley & Sons, New York. Raghvarao, D. (1971) Constructions and Combinatorial Problems in Design of Experiment. Dover Publications, Inc., New York
©2004 Digitized by USU digital library
5
