METODE DETERMINISTIK DAN RANDOM UNTUK MENCARI KESETARAAN SUKU BUNGA TETAP DAN ANNUITAS DENGAN MENGUNAKAN EXCEL I Made Wijana Staf Pengajar Pada Jurusan Akuntansi, Politeknik Negeri Bali ABSTRACT Flat interest rate and annuity interest rate, which is usually implemented in credit program, has a relationship. If we set annuity interest rate as an independent variable and flat interest rate as an dependent variable, then the relationship between the two variable can be described explicitly as: it = 1/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] -1/n, conversely if we set flat interest rate as an independent variable and annuity interest rate as an dependent variable, then the relationship between the two variable must be described by an implicit function G(i t, ia )=0 ,where G(it, ia )=1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia. In calculating the t relationship between flat interest rate (it) and annuity interest rate (ia) , where it is known, we can implement deterministic method, for example false position method ,or random method. Functional relationship implicitly between it and ia, can be described by a chart, after we implement numerical approach for example false position method to find a table of relationship between it and ia. The equivalency between it and ia, depend on n and it . For a certain it, if n=1 or n→ ∞ then ia = it. Also, for a certain n if it → ∞ then ia = it Key Words : flat interest rate, annuity interest rate, deterministic, random. ABSTRAK Suku bunga tetap (flat) dan suku bunga annuitas, yang biasa diterapkan pada program kredit, mempunyai hubungan kesetaraan. Apabila kita tempatkan suku bunga annuitas sebagai variabel bebas dan suku bunga tetap sebagai variabel tak bebas, maka hubungan kedua variabel tersebut bisa digambarkan dalam bentuk fungsi secara eksplisit, yaitu: it = 1/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] -1/n, sebaliknya, apabila kita tempatkan suku bunga tetap sebagai variabel bebas dan suku bunga annuitas sebagai variabel tak bebas , maka hubungan kedua variabel tersebut harus digambarkan dalam bentuk fungsi implisit berbentuk G(it, ia )=0 ,dimana G(it, ia )=1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia. Dalam mencari hubungan suku bunga tetap (it) dan suku bunga annuitas (ia) , dimana suku bunga tetap diketahui, kita bisa menerapkan metode deterministik, contohnya metode posisi palsu, atau metode random. Hubungan fungsional secara implisit antara it dengan ia, bisa kita gambarkan grafiknya, setelah dengan pendekatan numerik, misalnya metode posisi palsu, kita dapatkan tabel hubungan antara it dengan ia. Hubungan kesetaraan antara it dengan ia, tergantung n dan it . Untuk, suatu it tertentu, apabila n=1 atau n→ ∞ maka ia = it. Sedangkan, untuk n tertentu, apabila it → ∞ maka ia = it Key Words : suku bunga tetap, suku bunga annuitas, deterministik, random.
PENDAHULUAN Dari berbagai macam kredit yang ditawarkan lembaga keuangan, yang menarik untuk disimak dan dibandingkan adalah kredit dengan metode bunga tetap(flat) dan kredit dengan metode annuitas, karena kedua sistem itu banyak diterapkan. Variabel yang 1
bisa kita bandingkan adalah suku bunga dari kedua metode tersebut tersebut. Kredit dengan suku bunga tetap perhitungannya mudah dan nilai suku bunga tetap kelihatannya kecil tetapi sesungguhnya nilai ekivalensinya dengan suku bunga efektif atau annuitas lebih besar. Devie(2000), mengilustrasikan ,suku bunga efektif (annuitas) 2% per bulan atau 24% per tahun dengan jangka waktu (n) 24 bulan setara dengan suku bunga tetap(flat) 13,5%/tahun. Apabila ilustrasi Devie tersebut kita kembangkan, maka hubungan kedua variabel tersebut dengan mudah bisa digambarkan dalam bentuk fungsi dan grafiknya. Apabila kita tempatkan suku bunga annuitas sebagai variabel bebas dan suku bunga tetap sebagai variabel tak bebas . Tetapi sebaliknya, apabila kita tempatkan suku bunga tepat sebagai variabel bebas dan suku bunga annuitas sebagai variabel tak bebas , maka hubungan kedua variabel tersebut tidak mudah bisa digambarkan dalam bentuk fungsi. Untuk menggambarkannya, kita akan menerapkan pendekatan metode numerik, baik dengan metode deterministik atau random. Yang menjadi pokok permasalahan pada tulisan ini adalah bagaimanakah penerapan metode deterministik atau random dalam mencari suku bunga annuitas apabila suku bunga tetap diketahui. Selanjutnya, bagaimana hubungan antara suku bunga tetap(flat) dengan suku bunga annuitas bisa digambarkan dalam bentuk fungsi dan grafiknya dengan penerapan program EXCEL Tujuan utama dari tulisan ini untuk menggambarkan penerapan metode deterministik atau random dalam mencari suku bunga annuitas apabila suku bunga tetap diketahui, dengan menggunakan program EXCEL. Sekaligus untuk melihat bagaimana hubungan antara suku bunga tetap(flat) dengan suku bunga annuitas bisa digambarkan dalam bentuk fungsi dan grafiknya. Leithold(1976), mengambarkan y merupakan fungsi dari x apabila sebuah nilai x hanya bisa dikaitkan dengan sebuah nilai y. Fungsi bisa dinotasikan dengan y=f(x), dimana x sering disebut variabel bebas, sedangkan y disebut varibel tak bebas. Kreyszig(1983), menggambarkan fungsi juga bisa digambarkan dalam bentuk implisit G(x,y)=0. Dalam kaitannya dengan hubungan antara suku bunga annuitas(ia) sebagai variabel bebas dengan suku bunga tetap(it) sebagai variabel tak bebas, kita bisa menggambarkan dalam bentuk fungsi it = f(ia). Sedangkan, apabila suku bunga tetap(it) sebagai variabel bebas dengan suku bunga annuitas(ia) sebagai variabel tak bebas, kita harus menggambarkan dalam bentuk fungsi implisit G(it,ia)=0. PEMBAHASAN 1. Suku Bunga Annuitas Sebagai Variabel Bebas Dalam mencari hubungan fungsional antara suku bunga annuitas(ia) sebagai variabel bebas dengan suku bunga tetap(it) sebagai variabel tak bebas, kita bisa memulai dari rumus angsuran. Rumus angsuran (A) tiap bulan (pembayaran di belakang) dengan suku bunga annuitas: (1) …………A= P/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ], dimana A=Angsuran, P=Pokok pinjaman, n=banyak angsuran, dan ia suku bunga annuitas. Sebagai contoh, seorang meminjam uang Rp 20 juta, dengan suku bunga 2,5%/bulan dengan pengembalian 36 kali angsuran, harus membayar anguran tiap bulan: A= 20 juta/[{1+(1+ 0,025)-36}/ 0,025 ] = Rp. 849.031,5,2
Rumus angsuran (A) tiap bulan dengan suku bunga tetap: (2)…………. A= P/n + P it , dimana A=Angsuran, P=Pokok pinjaman, n=banyak angsuran, dan it suku bunga tetap. Sebagai contoh, seorang meminjam uang Rp 24 juta, dengan suku bunga tetap 1,5%/bulan dengan pengembalian 48 kali angsuran, harus membayar anguran tiap bulan: A= 24 juta/48 + 24 juta 2,5% = 500.000 + 360.000=Rp 860.000,Sekarang, dengan mengkaitkan rumus (1) dan (2) , kita akan dapatkan hubungan fungsional antara suku bunga annuitas(ia) sebagai variabel bebas dengan suku bunga tetap(it) sebagai variabel tak bebas. A=A ⇔P/n + P it = P/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] ⇔P(1/n + it ) = P/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] ⇔ (1/n + it ) = 1/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] it = 1/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] -1/n
(3)
Dari fungsi pada rumus (3), kita bisa membuat contoh dalam bentuk tabel , nilai suku bunga tetap (it ) jika nilai suku bunga annuitas ( ia ) diketahui, untuk n=12,36 dan 120. Tabel-1 Nilai Suku Bunga Tetap Jika Nilai Suku Bunga Annuitas Diketahui, Untuk n=12,36 dan 120 n= No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
12
ia
it
0,50% 10,50% 20,50% 30,50% 40,50% 50,50% 60,50% 70,50% 80,50% 90,50%
0,273% 6,704% 14,615% 23,470% 32,863% 42,543% 52,374% 62,284% 72,234% 82,206%
n= N o 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
N =
24
ia
it
0,50% 10,50% 20,50% 30,50% 40,50% 50,50% 60,50% 70,50% 80,50% 90,50%
0,265% 7,385% 16,569% 26,385% 36,345% 46,336% 56,334% 66,334% 76,333% 86,333%
No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
120
ia
it
0,50% 10,50% 20,50% 30,50% 40,50% 50,50% 60,50% 70,50% 80,50% 90,50%
0,277% 9,667% 19,667% 29,667% 39,667% 49,667% 59,667% 69,667% 79,667% 89,667%
Grafik-1 Grafik Suku Bunga Tetap Terhadap Nilai SukuBunga Annuitas, Untuk n=12,36 dan 120
3
suku bunga tetap
100,000% 90,000% 80,000% 70,000% 60,000% 50,000% 40,000% 30,000% 20,000% 10,000% 0,000% 0,0%
n=12 n=36 n=120
20,0% 40,0% 60,0% 80,0% 100,0% suku bunga annuitas
Dari uraian di atas, dengan jelas kita lihat bahwa hubungan antara suku bunga annuitas(ia) sebagai variabel bebas dengan suku bunga tetap(it) sebagai variabel tak bebas, bisa kita gambarkan secara eksplisit, sehingga dengan mudah kita bisa hitung nilai it apabila nilai ia ditentukan, sekaligus bisa dibuat grafiknya dengan menggunakan EXCEL. 2. Suku Bunga Tetap Sebagai Variabel Bebas Sekarang, apabila kita tempatkan suku bunga tetap sebagai variabel bebas dan suku bunga annuitas sebagai variabel tak bebas , maka hubungan kedua variabel tersebut secara fungsional harus digambarkan dalam bentuk fungsi implisit. Dari rumus (3), it = 1/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ] -1/n ⇔ it
+1/n = 1/[{1-(1+ ia)-n}/ ia ]
⇔{it
+1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia = 1
⇔1-
{it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia = 0
Pandang, G(it, ia )=1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia , sehingga fungsi implisit yang menggambarkan hubungan fungsional suku bunga tetap dengan suku bunga annuitas adalah : (4)………………G(it, ia )=0 , dimana G(it, ia )=1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia. Kita tidak bisa mencari secara langsung, nilai suku bunga annuitas(ia) jika nilai suku bunga tetap(it) diketahui, dari fungsi pada rumus (4). Dalam hal ini, kita bisa menerapkan pendekatan metode numerik, baik dengan metode deterministik atau random. Sebagai suatu ilustrasi, misalnya seorang meminjam uang Rp 10 juta, dengan suku bunga tetap 1,5%/bulan dengan pengembalian 24 kali angsuran, berapakah suku bunga annuitas yang
4
memberikan nilai anggsuran yang sama dengan suku bunga tetap tersebut? Mengacu ke rumus (4), dengan mengetahui nilai it =1,5%=0,015 dan n=24 maka kita mempunyai persamaan: ………. 1- {0,015 +1/24}{1-(1+ ia)-24}/ ia=0 atau f(ia)=0, dimana f(ia)=1- {0,015 +1/24}{1-(1+ ia)-24}/ ia Fungsi f(ia) digambarkan oleh grafik berikut ini. (5)
Grafik-2 f(ia) terhadap ia 0,1 0,08 0,06
f(ia)
0,04 0,02 0 -0,020,0%
1,0%
2,0%
3,0%
4,0%
-0,04 -0,06 -0,08 ia
2.1 Metode Deterministik Untuk mencari nilai ia yang setara dengan it , kita harus mencari nilai ia sehingga f(ia)=0. Dalam Kreyszig(1983) digambarkan salah satu metode deterministik yang bisa diterapkan untuk mencari nilai ia agar f(ia)=0 , dengan kata lain untuk mencari solusi persamaan f(ia)=0 bisa dilakukan secara interasi dengan metode posisi palsu (method of false position). Metode ini dimulai dengan menentukan nilai a0 dan b0 sehingga f(a0,b0)<0, selanjutnya algoritmanya sebagai berikut: For n=0,1,….until termination, do: C= {an f(bn) - bn f(an)}/{ f(bn) - f(an)} If f(c)=0, c solution and stop. Else continue. If f(an)f(c)<0, set an+1 = an , bn+1 = c , Else set bn+1 = bn , an+1 = c Then f(x)=0 for some x in [an+1, bn+1] Test for termination Kita bisa mengimplementasikan algoritme tersebut pada EXCEL dengan cara sebagai berikut: Langkah 1.
5
Pada kolom A,B,C,D,E,F,G,H kita tempatkan k, a,b,f(a),f(b),c,f(c) dan ε Langkah 2. Kita isi sel K1=24, dan K2=1,5% Langkah 3. (Memulai iterasi) Misalnya kita mulai mengisi: Pada baris 4, A4 diisi 0, B4 diisi 1,5%,C4 diisi 3%, D4 diisi =1-(1/$K$1+$K$2)*(1-(1+B4)^($K$1))/B4, E4 diisi =1-(1/$K$1+$K$2)*(1-(1+C4)^(-$K$1))/C4, F4 diisi =(B4*E4-C4*D4)/(E4-D4), dan G4 diisi =D4*(1-(1/$K$1+$K$2)*(1-(1+F4)^(-$K$1))/F4
Pada baris 5, A5 diisi =A4+1, B5 diisi =IF(G4<0;B4;F4), C5 diisi =IF(G4<0;F4;C4), D5 diisi dengan meng-copy D4 ke bawah, , E5 diisi dengan meng-copy E4 ke bawah , F5 diisi dengan meng-copy F4 kebawah, dan G5 diisi dengan meng-copy G4 ke bawah, dan H5 diisi =ABS(F4-F5).
Langkah 4. (iterasi) Meng-copy range A5:H5 kebawah seperlunya sampai kolom H nilainya lebih kecil dari nilai ε(error) atau batas toleransi kesalahan. Apabila kita menggunakan torensi ε = 1x10-10, maka kita mendapatkan hasil iterasi, ia =0,026216 atau 2,6216% seperti pada tabel-2 dibawah ini.
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a
b 1,5% 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015
Tabel-2 Iterasi Untuk Mencari Nilai ia Untuk it=1,5% dan n=24 f f f(a)f(c c ε
3,0% (a) -0,135056304 (b)0,04031928 0,026551 0,026551 -0,135056304 0,003673804 0,026246 0,026246 -0,135056304 0,000324782 0,026219 0,026219 -0,135056304 2,86347E-05 0,026216 0,026216 -0,135056304 2,52399E-06 0,026216 0,026216 -0,135056304 2,22471E-07 0,026216 0,026216 -0,135056304 1,96092E-08 0,026216 0,026216 -0,135056304 1,7284E-09 0,026216 0,026216 -0,135056304 1,52347E-10 0,026216
)-0,00049617 -4,3864E-05 -3,8673E-06 -3,4088E-07 -3,0046E-08 -2,6483E-09 -2,3343E-10 -2,0575E-11 -1,8138E-12
0,0003059 2,698E-05 2,378E-06 2,096E-07 1,848E-08 1,628E-09 1,435E-10 1,265E-11
Melihat tabel di atas, dengan ε = 1x10-10 ,bisa kita katakan it=1,5% setara dengan ia=2,6216% untuk n=24. Kalau kita teliti lebih mendalam , hubungan antara it=1,5% dengan ia tergantung nilai n (Banyak angsuran). Sebagai contoh, apabilai n=36, dengan menggunakan torensi ε = 1x10-10, maka kita mendapatkan hasil iterasi, ia =0,025495 atau 2, 5495% seperti pada tabel-3 dibawah ini.
Tabel-3 Iterasi Untuk Mencari Nilai ia Untuk it=1,5% dan n=36
6
k 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
a
b 1,5% 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015
f f f(a)f(c c 3,0% (a) -0,183262607 (b) 0,066064754 0,026025 )-0,00148966 0,026025 -0,183262607 0,008128566 0,025557 -0,00017474 0,025557 -0,183262607 0,000953517 0,025503 -2,0381E-05 0,025503 -0,183262607 0,000111213 0,025496 -2,3756E-06 0,025496 -0,183262607 1,29626E-05 0,025495 -2,7686E-07 0,025495 -0,183262607 1,51075E-06 0,025495 -3,2268E-08 0,025495 -0,183262607 1,76073E-07 0,025495 -3,7607E-09 0,025495 -0,183262607 2,05206E-08 0,025495 -4,3829E-10 0,025495 -0,183262607 2,39159E-09 0,025495 -5,1081E-11 0,025495 -0,183262607 2,78732E-10 0,025495 -5,9527E-12
ε 0,0004683 5,464E-05 6,37E-06 7,424E-07 8,652E-08 1,008E-08 1,175E-09 1,37E-10 1,596E-11
Hasil plot ia yang setara dengan it=1,5% terhadap n, tergambar seperti grafik berikut. Grafik-3a Grafik ia Terhadap n, Untuk it=1,5% 0,03 0,025 ia
0,02 0,015 0,01 0,005 0 0
50
100
150
200
250
n
Grafik-3b Grafik ia Terhadap n, Untuk it=1,5% 0,03 0,025 ia
0,02 0,015 0,01 0,005 0 0
500
1000
1500
n
Bisa dilihat dari grafik 3-b, bahwa untuk n=1 dan n→ ∞, ia= it. Hal ini bisa kita pahami karena rumus (4) ,
7
untuk n=1, 1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia=0 ⇔1- {it +1/1}{1-(1+ ia)-1}/ ia=0 ⇔ia ={it +1/1}{1-(1+ ia)-1} ⇔ia /{1-(1+ ia)-1}={it +1} ⇔ia /{1-1/(1+ ia)} ={it +1} ⇔ia /{(1+ ia)-1}/(1+ ia)} ={it +1} ⇔ia /{ia/(1+ ia)} ={it +1} ⇔1+ ia= it +1 ⇔ia= it Untuk n→ ∞, Limit 1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia=0 n→ ∞ ⇔Limit 1- {it +0}{1-0}/ ia=0 n→ ∞ ⇔1- it / ia=0 ⇔it = ia 2.2 Metode Random Untuk mencari nilai ia agar f(ia)=0 , kita bisa menerapkan metode random. Perbedaan dengan metode deterministik di atas terletak pada rumus untuk c. Pada metode random kita menggunakan rumus (6) …………….C= an + rand (bn- an), dimana rand adalah pembangkit bilangan random di antara 0 dan 1. Implementasi metode random pada EXCEL, tidak banyak berbeda dengan metode deterministik. Mengacu ke langkah langkah implementasi pada EXCEL di atas, dengan memanfaatkan fungsi rand() yang berfungsi membangkitkan bilangan random di antara 0 dan 1, maka kita hanya merubah dengan mengisi F4 dengan = RAND()*(C4B4)+B4, F4 dengan = RAND()*(C5-B5)+B5 dan seterusnya. Sebagai ilustrasi, untuk at =1,5% dan n=24 , salah satu hasil iterasi adalah sebagai berikut:
Tabel-4 8
Iterasi Metode Random Untuk Mencari Nilai ia Untuk it=1,5% dan n=24 k 0 1 2 3 4 5 6 7 8
a
b 1,5% 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015 0,015
f f f(a)f(c c ε 3,0% (a) -0,135056304 (b)0,04031928 0,026551 )-0,00049617 0,026551 -0,135056304 0,003673804 0,026246 -4,3864E-05 0,0003059 0,026246 -0,135056304 0,000324782 0,026219 -3,8673E-06 2,698E-05 0,026219 -0,135056304 2,86347E-05 0,026216 -3,4088E-07 2,378E-06 0,026216 -0,135056304 2,52399E-06 0,026216 -3,0046E-08 2,096E-07 0,026216 -0,135056304 2,22471E-07 0,026216 -2,6483E-09 1,848E-08 0,026216 -0,135056304 1,96092E-08 0,026216 -2,3343E-10 1,628E-09 0,026216 -0,135056304 1,7284E-09 0,026216 -2,0575E-11 1,435E-10 0,026216 -0,135056304 1,52347E-10 0,026216 -1,8138E-12 1,265E-11
Setelah menjalankan beberapa interasi, kita bisa melihat perbandingan error(ε) dari metode deterministi dengan metode random, seperti tergambar pada tabel-5 dan grafik-4, berikut ini. Tabel-5 Perbandingan Error Metode Random dan Deterministik Dalam Mencari Nilai ia Untuk it=1,5% dan n=24 k 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
a
b 0,01 5 0,01870 4 0,02516 6 0,02516 6 0,02546 7 0,02549 8 0,02549 80,0261 9 0,0261 9 0,0261 9 0,0261 9 0,02619 8 0,02619 8 0,02620 8 0,02621 2 0,02621 2 0,02621 2
f f f(a)f(c Erro c (a)-0,135056 (b) r Deterministi 0 0,040319 0,01870 ) 0,011842 Rando ,03 -0,0876878 3 3 4 8 m0,006461 k 0,0004682 0 0,040319 0,02516 0,0010194 ,03 -0,0116257 9 3 6 4 7 65,4645E0 0,040319 0,02681 -7,5781E0,001646 ,03 -0,0116257 7 3 2 05 40,00134 05 0,02681 0,006518 0,02546 9,6127E6,3696E2 7 4 7 05 5 06 0,02681 -0,0082684 0,006518 0,02549 6,5592E3,021E7,4236E2 8 05 05 07 0,02681 2 -0,0079328 4 0,006518 0,02651 -2,5756E0,001014 8,652E2 2 4 2 05 7 08 0,02651 -0,0079328 0,003246 0,0261 2,2868E0,000322 1,0084E2 2 8 9 06 6 08 0,02651 -0,0002882 0,003246 0,02633 -3,7807E0,000145 1,1752E2 7 8 6 07 88,491E09 0,02633 -0,0002882 0,001311 0,02625 -1,0964E1,3696E6 7 5 10,0261 07 05 10 0,02625 -0,0002882 0,000380 8,1922E6,053E1,5963E1 7 3 9 08 05 11 0,02625 -0,0002841 0,000380 0,02619 5,7635E7,409E1,8602E1 80,0262 -8,2105E08 06 12 0,02625 9 -0,0002028 3 0,000380 2,215E2,1683E10,0262 1 3 2 09 05 13 -0,0002028 4,048E0,02620 1,6666E1,117E2,5435E2 1-8,2176E05 8 08 05 14 0,0262 4,048E0,02621 3,9018E3,159E2,8692E2 05 05 2 09 06 15 0,0262 -4,7481E4,048E0,02621 -1,4853E7,173E3,7123E2 05 05 9 09 06 16 0,02621 -4,7481E3,128E0,02621 -5,2488E1,842E1,6306E9 05 7 06 16 0,02621 05 -4,7481E1,105E0,02621 10 -2,8845E4,535E9,0206E7 05 05 7 10 07 17
Grafik-4 Perbandingan Error Metode Random dan Deterministik. Dalam Mencari Nilai ia Untuk it=1,5% dan n=24
9
Metode Determ inistik
Metode Random 0,0005
0,008
0,0004 error
error
0,006 0,004 0,002
0,0003 0,0002 0,0001
0
0 0
5
10
15
20
0
5
n
10
15
20
n
Pada grafik di atas, kita bisa melihat bahwa error dari metode deterministik lebih kecil dari error metode random. Dengan demikian, metode deterministik lebih cepat konvergen metode random. 3. Kesetaraan Suku Bunga Tetap dan Suku Bunga Annuitas Dengan menggunakan metode deterministik dan random, khususnya metode deterministik pada contoh di atas (rumus 4) , dengan toleransi ε =1x10-10 , untuk n=24, it=1,5% setara dengan ia=2,6216% atau rasio antara ia dengan it adalah 1,747732 Demikian juga, untuk n=36, it=1,5% setara dengan ia=2,5495% atau rasio antara ia dengan it adalah 1,699687, sehingga bisa dikatakan hubungan kesetaraan antara it dengan ia tergantung nilai n (Banyak angsuran). Hal ini, tercermin pada grafik 3-a dan grafik 3-b. Lebih jauh bisa didapatkan bahwa dengan toleransi ε =1x10-10 , untuk n=24, it=2% setara dengan ia=0,034071% atau rasio antara ia dengan it adalah 1,703541 Demikian juga, untuk n=36, it=2% setara dengan ia=3,2858% atau rasio antara ia dengan it adalah 1,642895, sehingga bisa dikatakan hubungan antara it dengan ia tergantung nilai it. Hal ini, bisa dilihat pda pada grafik-5a dan grafik-5b Grafik-5-a Grafik Rasio ia / it Terhadap it untuk n=12,n=24, dan n=36
Rasio (ia/it)
2,5 2 n=12
1,5
n=24
1
n=36
0,5 0 0
0,5
1
it
Grafik-5-b Grafik ia Terhadap it untuk n=12,n=24, dan n=36
10
1, 2
ia
1 0, 8
n=12
0, 6
n=242 n=36
0, 4 0, 2 0 0
0, 2
0, 4
it
0, 6
0, 8
1
Dengan mengetahui hubungan kesetaraan antara it dengan ia tergantung nilai it dan n, maka kita bisa membuat tabel kesetaraan it dengan ia ,dengan toleransi ε =1x10-10, seperti contoh berikut: Tabel-6 Suku Bunga Annuitas(ia) Apabila Suku Bunga Tetap (it) Diketahui. it= n 1 6 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120
0,5% 0,500% 0,851% 0,908% 0,927% 0,924% 0,915% 0,904% 0,893% 0,882% 0,871% 0,861% 0,851%
1,0% 1,000% 1,691% 1,788% 1,798% 1,767% 1,729% 1,692% 1,657% 1,625% 1,595% 1,567% 1,541%
1,5% 1,500% 2,519% 2,643% 2,622% 2,550% 2,475% 2,406% 2,344% 2,288% 2,238% 2,193% 2,152%
2,0% 2,000% 3,337% 3,475% 3,407% 3,286% 3,171% 3,069% 2,980% 2,902% 2,834% 2,773% 2,720%
2,5% 2,500% 4,146% 4,287% 4,160% 3,985% 3,828% 3,694% 3,580% 3,482% 3,399% 3,326% 3,263%
3,0% 3,000% 4,944% 5,080% 4,886% 4,655% 4,456% 4,292% 4,155% 4,040% 3,943% 3,860% 3,789%
3,5% 3,500% 5,734% 5,855% 5,587% 5,300% 5,061% 4,868% 4,711% 4,582% 4,474% 4,383% 4,306%
4,0% 4,000% 6,515% 6,615% 6,268% 5,924% 5,648% 5,429% 5,254% 5,112% 4,995% 4,898% 4,816%
SIMPULAN DAN SARAN 1 Simpulan Dari pembahasan di atas, maka dapat disimpulkan sebagai berikut: Dalam mencari hubungan suku bunga tetap (it) dan suku bunga annuitas (ia) , dimana suku bunga tetap diketahui, kita bisa menerapkan metode deterministik, contohnya metode posisi palsu, dan metode random. Fungsi untuk untuk menggambarkan hubungan kesetaraan tersebut berbentuk implisit G(it, ia )=0 ,dimana G(it, ia )=1- {it +1/n}{1-(1+ ia)-n}/ ia. Hubungan fungsional tersebut, bisa kita gambarkan grafiknya, setelah dengan pendekatan numerik,misalnya metode posisi palsu, kita dapatkan tabel hubungan antara it dengan ia. Hubungan kesetaraan antara it dengan ia, tergantung n dan it . Untuk, suatu it tertentu, apabila n=1 atau n→ ∞maka ia = it. Sedangkan, untuk n tertentu, apabila it → ∞maka ia = it 2 Saran
11
Dalam tulisan ini, metode yang diterapkan masih terbatas pada metode posisi palsu. Yang bisa diteliti dan dibahas lebih lanjut antara lain penerapan metode determistik yang lain dan pengembangan metode random. DAFTAR PUSTAKA Devie, “Tinjauan atas Suku Bunga dan Dampaknya pada Keputusan Investasi dan Pembiayaan ”, Jurnal Akuntansi dan Keuangan, Vol 2, No 2, hal 162-173, 2000. E. Kreyzig, “Advanced Enggineering Mathematics”, Jhon Wiley, 1983. H. J. Kannegiesser , “Bussiness Mathematics”, MacMillan Company Australia PTY LTD, 1983. I M. Wijana, “Stochastic Methods in Integration in Financial Mathematics”, University Of Queensland, 1999. I M. Wijana, “Interest Rate Models and Its Application in Finance”, University Of Queensland, 1999. L. Leithold, “The Calculus With Analytic Geometry ”, Harper International, 1976. P. Wilmott, “Derivatives:The Theory and Practice of Financial Engineering”, Wiley, 1998. Calculating Effective Interest rate On Microcredit. Loan.http://www.microcapital.org/cblog/index.php?/archives/18-Flat-Interest-Rates-JustAnother-Way-to-Swindle-the-Global-Poor-Using-Your-Tax-and-Charitable-Dollars.html Visited 30/03/2007
12
RIWAYAT HIDUP NAMA ALAMAT TELPON E-MAIL TANGGAL LAHIR JENIS KELAMIN PENDIDIKAN S1 S2
Jurusan Matematika, Institut Teknologi Bandung , 1988 Department of Mathematics, The University Of Queensland , Australia, 1999
RIWAYAT PEKERJAAN 2000- Sekarang 1989-Sekarang 1992- 1998 1989- 1992
I MADE WIJANA BR KEPUH, PEGUYANGAN, DENPASAR , BALI , INDONESIA 80115 (62) (361) 424376 HP 081338701512
[email protected] 24 JUNI 2004 LAKI
Ketua Jurusan Akuntansi, Politeknik Negeri Bali Mengajar Matematika, Statistik, dan Komputer Jurusan Akuntansi, Politeknik Negeri Bali Sekretaris Jurusan Akuntansi, Politeknik Negeri Bali Ketua Lab Komputer, Politeknik Negeri Bali
PUBLIKASI 1990 “Determining the Area Under the Curve Using Numerical Approach”, Majalah Ilmiah Mandiri 1991 “Mathematical Analysis Of The Long Term Saving Program”, Majalah Ilmiah Mandiri 1992 “Real Number System in The Basica Language”, Majalah Ilmiah Mandiri 1989 “Arithmetic Error on BASICA language”, Majalah Ilmiah Mandiri 1992 “The Influence of the Grade in Mathematics and English at High School ”to the Average Grade at the Polytechnic, Majalah Ilmiah Mandiri 1994 Implentation of Numerical Approach to Find Root of Equation Using Pascal Program, Majalah Ilmiah Mandiri 1995 Comparison of the Achievement of Indonesian Language Between Commerce Students and Engineering Students, Majalah Ilmiah Mandiri 1995 The Factor that Influence Senior High School Students Continue to High Education in Denpasar, Majalah Ilmiah Mandiri 1996 2000 2001
Implementation of Numerical Approach to Find Value of Definite ntegral Using Pascal Program , Majalah Ilmiah Mandiri Comparison Monte Carlo and Sobol Method in Evaluating Multidimensional Integration, Jurnal Sinergi Stochastic Differential Equation Model For Stock Price Movement, Jurnal Sinergi 13
2003 2006
Simulation of Option Price, Jurnal Sinergi Analisis Kebutuhan Pendidikan dan Pelatihan pada Lembaga Perkreditan Desa di Kabupaten Badung Provinsi Bali , Jurnal Valid Denpasar, 29 Desember 2007 I Made Wijana
14
