Metode Alternatif Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube dengan Matriks Hamiltonian dalam Uraian Fungsi Basis
Laporan Tugas Akhir Diajukan untuk memenuhi persyaratan kelulusan pendidikan tingkat S1 di Program Studi Fisika ITB
oleh:
AHMAD RIDWAN TRESNA NUGRAHA (NIM. 10204001)
Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung 2008
“Physics is becoming so unbelievably complex that it is taking longer and longer to train a physicist. It is taking so long, in fact, to train a physicist to the place where he understands the nature of physical problems that he is already too old to solve.” [Eugene Wigner]
Lembar Pengesahan
Metode Alternatif Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube dengan Matriks Hamiltonian dalam Uraian Fungsi Basis
oleh: AHMAD RIDWAN TRESNA NUGRAHA (NIM. 10204001)
Laboratorium Fisika Material Elektronik, Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung
Tugas Akhir sebagai syarat kelulusan program S1 Fisika ITB ini dipresentasikan pada tanggal 25 Juni 2008. Pembimbing
:
Sukirno, Ph.D
Penguji
:
Dr. Eng. Yudi Darma
:
Dr. Eng. Suprijadi
Telah diperiksa, disetujui, dan disahkan oleh: Pembimbing,
Sukirno, Ph.D NIP. 131 471 332
Abstrak Struktur elektronik graphene dan carbon nanotube (CNT), meliputi hubungan dispersi dan lebar celah energi, dapat ditentukan dengan metode alternatif yang lebih sederhana. Perhitungan dilakukan dengan memecahkan nilai eigen dari matriks Hamiltonian dalam uraian fungsi basis. Metode ini dapat dianggap sebagai modifikasi dari pendekatan ikatan terkuat. Kecocokan hasil perhitungan dalam makalah ini dengan penjelasan teoretik yang sudah ada sebelumnya untuk graphene dan CNT bisa menjadi salah alasan satu alasan kesahihannya. Kata kunci: struktur elektronik, kurva dispersi, celah energi, graphene, carbon nanotube, alternatif, fungsi basis, matriks hamiltonian, ikatan terkuat
iii
Abstract Electronic structure of graphene and carbon nanotube (CNT), including energy dispersion relation and bandgap structure, can be obtained with such a simpler alternative method. Calculation is done by solving eigenvalues of Hamiltonian matrix in expansion of its basis functions. This method could be considered as a modication of tight-binding approximation. The same results found here compared with older calculation for graphene and CNT might be a reason of the method validity. Keywords: electronic structure, graphene, carbon nanotube, alternative, basis functions, hamiltonian matrix, tight-binding
iv
Prakata Segala puji bagi Allah Subhaanahu wa Ta’ala, tiada terkira banyaknya rahmat dan karunia yang telah dilimpahkanNya, sehingga saya diberi kesempatan menyelesaikan tugas akhir yang berjudul Metode Alternatif Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube dengan Matriks Hamiltonian dalam Uraian Fungsi Basis. Laporan ini disusun sebagai salah satu syarat kelulusan pendidikan Sarjana Sains di program studi Fisika ITB. Selebihnya, karya ini adalah demi kemajuan diri saya dalam berkreasi, dan mudah-mudahan dapat bermanfaat bagi pembaca, khususnya yang berkecimpung di bidang material elektronik. Berbagai kesulitan telah dialami ketika laporan ini dibuat. Alhamdulillah, berkat izin Allah dan bantuan dari berbagai pihak, kesulitan tersebut dapat teratasi. Saya berterima kasih kepada semua pihak yang telah memberikan dukungan dan bantuan, baik langsung maupun tidak langsung, sehingga saya dapat menyelesaikan 4 tahun pendidikan di program studi Fisika ITB, diantaranya yang sangat saya hormati adalah: • Keluarga terdekat, yaitu orangtua (Mamah dan Abah), tak terhitung jasa dan pengorbanan mereka dalam hidup saya, serta kedua kakak tersayang (Aa Dian dan Teh Astri). • Bapak Dr. Sukirno, dosen pembimbing yang sangat sabar dengan berbagai tingkah laku saya selama ini. Maafkan saya tidak bisa memenuhi banyak harapan bapak. • Bapak Dr. Suprijadi dan Dr. Yudi Darma selaku penguji pada sidang tugas akhir. Kritik dan masukannya akan selalu diusahakan sebagai bahan perbaikan. • Kak Izul (Satria Zulkarnaen) yang pertama kali membawa saya memasuki dunia nanofisika. Terima kasih atas suntikan motivasinya. Mudah-mudahan saya dapat menyusul jejak langkah go international. • Staf Tata Usaha dan Perpustakaan Fisika ITB, terutama Pak Yeye, Ibu Silvi yang banyak membantu dalam urusan administrasi.
v
vi • Pimpinan program studi fisika (Bapak Dr. Umar Fauzi dan Dr. Pepen Arifin), untuk berbagai “sentilan”nya. • Beberapa Dosen KK di Fisika ITB, yaitu Bapak Dr. Mikrajuddin, Dr. Toto Winata, Dr. Khairurrijal (dari Fisika Material Elektronik), Dr. Daniel Kurnia, Dr. Mitra Djamal (Fisika Instrumentasi), Dr. Jusak S. Kosasih, Dr. Bobby E. Gunara (Fisika Teoretik), Dr. Fredy Haryanto (Biofisika), serta Dr. Rizal Kurniadi (Fisika Nuklir) yang telah memberikan banyak pengetahuan tambahan seputar dunia fisika. • Laboratorium Fisika Dasar, terutama Ibu Dr. Euis atas kepercayaannya pada saya untuk menjadi koordinator asisten dan teknisi selama setahun terakhir. • Sahabat Fisika ITB angkatan 2004 yang senang “bermain” sama-sama sejak pertama kali menginjak tanah Ganesha, khususnya Ismail, Tri, Anto, Ryan, Candra, Hadiyawarman, Amin, Imran, Aris, Azie dan Yuda. Untuk geng Cisitu (Hamzah dan Juli), maafkan saya telah menyimpang dari jalur cepat. Rasa salut ingin disampaikan pada rival-rival akademik terberat, Yudis, Eko, Widi, Fiki, dan Agus yang membuat saya lebih semangat memacu prestasi. Tidak lupa, untuk klub sepakbola terbaik di jagat raya Fisika ITB (Quantum’04 FC), semoga kelak bisa tetap eksis selepas dunia mahasiswa. • Kelompok Studi 102 Fisikawan Muda (102 FM), atas kebersamaan yang telah terjalin, terutama para pengurus angkatan 2005: Indra, Natal, Kadek, Tina, Fran, Vidi, Indarta, Ibnu, dan Rahmat). Tidak ketinggalan salam hormat untuk pendiri 102 FM, K’Reinard. • Sahabat lama dari masa SMA yang isinya cuma 8 orang selama 2 tahun: Yonian, Edho, Puput, Pradita, Yena, Indri, Seramika, juga DKM Al-Furqan (Fajar, Ridho, Opik, Salman, Aep, Fiana, Moja, K’Ridha, dan K’Sandi) yang pernah memberikan salah satu pengalaman hidup terbaik pada penulis di masa remaja. Semoga Allah melimpahkan balasan yang lebih baik bagi mereka, serta untuk pihakpihak lain yang tidak bisa disebutkan seluruhnya di sini. Penulis pun dengan senang hati bersedia menerima kritik dan masukan karena kita sebagai manusia tentu tidak akan lepas dari kesalahan.
Bandung, 27 Juni 2008 Ahmad Ridwan T. Nugraha
Daftar Isi Abstrak
iii
Abstract
iv
Prakata
v
Daftar Gambar 1
2
3
4
viii
Pendahuluan
1
1.1
Latar Belakang dan Tujuan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Ruang Lingkup dan Sistematika Penulisan . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
Persamaan Schrödinger dalam Matriks dan Uraian Fungsi Basis
3
2.1
Matriks Hamiltonian dan Fungsi Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2
Contoh Aplikasi pada Molekul Hidrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3
Formalisme dalam Ruang Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube
11
3.1
Metode Penentuan Hubungan Dispersi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Kurva Dispersi Graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.3
Klasifikasi Nanomaterial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.4
Struktur Carbon Nanotube . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
Simpulan dan Saran
26
4.1
Simpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
4.2
Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
Daftar Pustaka
28
A Lampiran Kode Program
29
B Struktur Pita Galium Arsenida
33 vii
Daftar Gambar 2.1
Pilihan fungsi basis untuk molekul hidrogen . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2
Kerapatan elektron pada molekul hidrogen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
3.1
Rantai atomik satu dimensi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Irisan fungsi gelombang bertetangga pada rantai atomik 1D . . . . . . . .
12
3.3
Rantai atomik dengan dua atom per titik kisi . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
3.4
Hubungan dispersi rantai atomik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15
3.5
Sketsa graphene dan sel satuannya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16
3.6
Kisi nyata dan resiprok untuk graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
3.7
Kurva dispersi graphene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
3.8
Struktur zat padat bulk, quantum well, wire, dan dot . . . . . . . . . . . .
20
3.9
Translasi titik Brillouin yang berperan dalam konduksi graphene . . . . .
21
3.10 Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
3.11 Aproksimasi kurva dispersi CNT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
23
3.12 Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 45 . . . . . . . . . .
25
3.13 Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 44 . . . . . . . . . .
25
B.1 Penampang dua dimensi dari kisi fcc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
B.2 Kristal Zincblende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B.3 Plot E(~k) untuk galium arsenida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35
viii
36
