Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube

Bab 3

Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube 3.1

Metode Penentuan Hubungan Dispersi

Perangkat matriks Hamiltonian dan fungsi basis yang diberikan sebelumnya kini akan dimanfaatkan untuk membangun konsep pita energi atau kurva dispersi pada zat padat yang merupakan salah satu komponen struktur elektronik suatu material. Perumusan dilakukan dengan cara generalisasi penentuan kurva dispersi untuk sistem rantai atomik satu dimensi menuju struktur zat padat yang lebih besar (bulk). Misalkan digunakan bentuk persamaan Schrödinger tak bergantung waktu dalam bentuk matriks, E(ψ) = [H](ψ), dan model rantai seperti pada gambar 3.1. Jika di-

...

... 1

2

3

...

 N −1

N

Gambar 3.1 Rantai atomik satu dimensi.

asumsikan hanya satu orbital yang digunakan sebagai basis per titik atom dan irisan antaratom diabaikan, maka akan diperoleh matriks Hamiltonian berukuran N × N yang diagonal: H = diag (E0

E0

...

E0 ).

Jika atom-atom dibawa saling mendekat dan terjadi irisan antaratom, maka tetangga terdekat dari elemen diagonal matriks Hamiltonian di atas jadi tidak nol, seperti yang sudah dihitung untuk atom hidrogen (ilustrasi irisan pada gambar 2.1 dan 3.2). Untuk sistem rantai atomik 1D yang memperhitungkan irisan antaratom (antarfungsi

11

3.1. METODE PENENTUAN HUBUNGAN DISPERSI

12

fungsi gelombang beririsan

1s

1s

...

...

Gambar 3.2 Irisan dua fungsi gelombang yang bertetangga pada rantai atomik.

gelombang), Hamiltonian dinyatakan sebagai   E0 Ess 0 0 0   Ess E0 Ess 0 0      ..  . H =  0 Ess E0 0  .   .. ..  0 . . Ess  0   0 0 0 Ess E0 Ditambah dengan syarat periodisitas, elemen off-diagonal dari matriks Hamiltonian tersebut juga tidak lagi nol, melainkan sama dengan komponen irisan Ess . Dengan demikian, persamaan matriks lengkap yang perlu dipecahkan dalam sistem rantai atomik 1D ini adalah 

ψ1





E0

Ess

0 .. . .. .

0

0

    ψ2   0 Ess Ess E0     .    ..  ..   0 . Ess 0   E =  .. ..  ψn   0 . . 0 Ess     .   ..  ..   . E0    0 Ess 0 ψN Ess 0 0 0 Ess



 ψ 1    ψ2  0    ..    0  .    .     ψ n 0    ..    .  Ess    ψN E0

Ess

(3.1)

Bentuk matriks Hamiltonian seperti itu dipilih karena untuk setiap baris pers. (3.1) berlaku Eψn = Ess ψn−1 + E0 ψn + Ess ψn+1 .

(3.2)

Persamaan tersebut dapat diselesaikan secara analitik dengan tebakan ψn = ψ0 einφ : E = Ess

ψn+1 ψn−1 + E0 + Ess ψn ψn

= Ess e−iφ + E0 + Ess e+iφ = E0 + 2Ess cos φ. Akan tetapi, dalam bentuk yang terakhir ini φ memberikan tak hingga banyaknya nilai E yang kontinu. Harus ada batasan yang diterapkan pada φ agar nilai eigen yang diperoleh dari matriks Hamiltonian awal bisa berjumlah tertentu. (seperti ukuran matriksnya yang juga tertentu).


13

Untuk mengakomodasi keperluan tersebut, rentang φ harus dibatasi dan nilainya didiskretisasi. Pertama, yang membatasi rentang φ adalah pemberlakuan syarat ψn = ψ0 ein(φ+2π) = φ0 einφ ,

(3.3)

φ dan (φ + 2π) memberikan fungsi gelombang yang sama dan rentang tinjauan bisa terbatas pada setiap daerah φ yang berukuran 2π (di sini dipilih −π ≤ φ ≤ π karena simetri yang memudahkan analisis). Kedua, meskipun sudah dibatasi, nilai eigen masih bisa tak hingga banyaknya karena sifat kontinu dari φ. Oleh karena itu, diberlakukan diskretisasi untuk zat padat yang periodik: ψn+1 = ψ0 ein(N +1)φ = ψ1 ,

(3.4)

yang berarti eiN φ = 1 ⇒ N φ = 2πα ⇒ φ = α

2π , N

dengan α adalah bilangan bulat. Jika jarak antartitik kisi adalah a, maka φ dapat dituliskan sebagai φα = k α a = α

2π . N

(3.5)

Rantai atomik satu dimensi ini sebenarnya lebih realisitis jika digambarkan dengan dua atom per titik kisi. Perubahan struktur semacam dari awalnya seperti gambar 3.1 menuju 3.3 dikenal sebagai distorsi Peierl [9]. Di sini tidak akan dibahas detail tentang fenomena tersebut, melainkan akan ditunjukkan bagaimana cara memperoleh struktur pita energi untuk zat padat yang setiap titik kisi (atau sel satuannya) mengandung lebih dari satu orbital basis.

...

... 1 1'

2 2'

3 3'

... N N'

Gambar 3.3 Rantai atomik satu dimensi yang memiliki dua atom per titik kisi.

Perbedaan struktur ini akan mengubah bentuk Hamiltonian sebelumnya dengan beberapa modifikasi. Misalkan orbital basis yang digunakan tetap 1 buah per atom, maka akan ada 2 orbital per titik kisi. Persamaan Schrödinger berubah menjadi 

ψ1





E0

0 Ess

Ess

   0  ψ 0  Ess E0 Ess  1    .   0 .   E Ess E0  . =    ..  ψN   .    0 ψN 0 Ess

..

.

..

.



ψ1



  ψ 0   1   .    ..  ,       ψN    ψN 0

(3.6)


14

0 6= E . dengan Ess ss

Oleh karena ada dua fungsi ψn dan ψn0 dalam sebuah vektor kolom, diperlukan trik untuk mengembalikannya seperti bentuk standar yang periodik, yaitu dengan mengumpulkan keduanya pada matriks baru φn . Dengan perlakuan ini, persamaan Schrödinger (3.6) dapat dituliskan 

 H11 H12     φ2  H21 H22 H23    E . =  ..   H32 H33    .. φN . φ1





φ1



    φ2     . , ..  .   ..    .. φN .

(3.7)

dengan " Hnm =

E0

Ess

Ess

E0

#

" ,

Hn,n+1 =

dan

0

0

# ,

0 Ess 0

( {φn } =

ψn

" Hn,n−1 =

0 Ess 0

0

# ,

)

ψn0

.

Untuk setiap baris persamaan matriks, dapat dituliskan Eφn = Hnn φn + Hn,n−1 φn−1 + Hn,n+1 φn+1 ,

(3.8)

yang dapat diselesaikan dengan tebakan φn = φ0 eikna .

(3.9)

Substitusikan tebakan tersebut Eφ0 = Hnn φ0 + Hn,n−1 e−ika φ0 + Hn,n+1 eika φ0 , menghasilkan " E{φ0 } =

E0

0 e−ika Ess + Ess

0 eika Ess + Ess

E0

# {φ0 }.

Nilai eigen kemudian dapat ditentukan dengan menyelesaikan persamaan sekuler (determinan): E −E 0 e−ika Ess + Ess 0 = 0, 0 ika Ess + Ess e E0 yang hasilnya E = E0 ±

p 2 + E 02 + 2E E 0 cos(ka). Ess ss ss ss

(3.10)

Plot grafik dari pers. (3.10) ditunjukkan pada gambar 3.4, yang merupakan suatu kurva hubungan dispersi, yaitu hubungan energi terhadap bilangan gelombang yang diizinkan muncul. Dua cabang kurva yang diperoleh berkaitan dengan apa yang disebut sebagai pita valensi dan pita konduksi.


15

Gambar 3.4 Hubungan dispersi untuk rantai atomik satu dimensi dengan dua atom per titik kisi.

Generalisasi Prosedur Prosedur perhitungan struktur energi untuk rantai atomik dapat diperluas untuk sembarang zat padat periodik dengan sembarang jumlah fungsi basis per titik kisi (atau sel satuan). Tinjau sebuah sel satuan n yang terkait dengan sel satuan tetangganya m oleh matriks [Hnm ] berukuran (b × b), dengan b adalah jumlah fungsi basis per sel satuan. Persamaan matriks keseluruhan dapat dituliskan X

[Hnm ]{φm } = E{φn },

(3.11)

m

dengan {φm } merupakan sebuah vektor kolom berukuran (b×1) yang menyatakan fungsi gelombang pada sel satuan m. Himpunan persamaan ini dapat diselesaikan dengan tebakan ~

{φm } = {φ0 }eik·~rm ,

(3.12)

asalkan pers. (3.11) identik untuk setiap sel satuan n. Ini dapat dianggap sebagai suatu bentuk “modifikasi diskret” dari teorema Bloch yang mensyaratkan fungsi gelombang di setiap titik kisi periodik agar tampak sama dipandang dari sudut manapun. Teori tersebut merupakan konsekuensi dari periodisitas kisi dan menjamin ketika tebakan disubstitusikan pada pers. (3.11) akan diperoleh E{φ0 } = [h(~k)]{φ0 }

(3.13)

3.2. KURVA DISPERSI GRAPHENE

16

dengan [h(~k)] =

X ~ [Hnm ]eik·(~rm −~rn )

(3.14)

m

yang tidak tergantung pada sel satuan mana yang digunakan untuk mengevaluasi jumlahan pada persamaan di atas. Struktur pita kemudian dapat ditentukan dengan menemukan dulu nilai-nilai eigen dari matriks [h(~k)] berukuran (b × b) untuk setiap nilai ~k. Akan ditemui sebanyak b cabang pada kurva dispersi, masing-masing untuk setiap nilai eigen.

3.2

Kurva Dispersi Graphene

Graphene merupakan lapisan 2D yang menyusun kristal karbon grafit. Atom-atom karbon pada graphene tersusun secara heksagonal. Struktur heksagonal ini tampak tidak terlalu periodik, atom-atom yang berdekatan tidak memiliki lingkungan tetangga yang identik. Tetapi jika dua atom yang bersebelahan dalam jarak a0 dijadikan sebagai sebuah sel satuan, maka kisi dari sel satuan tersebut bersifat periodik dan masing-masing memiliki lingkungan yang identik (gambar 3.5). Setiap titik dalam kisi periodik yang dibentuk oleh sel-sel satuan dapat dideskripsikan oleh himpunan bilangan bulat (m, n) dengan rumusan (lihat gambar 3.6): ~ = m~a1 + n~a2 , R

(3.15a)

~a2 = aˆ x − bˆ y, √ 3a0 dan b = . 2

(3.15b)

~a1 = aˆ x + bˆ y a=

3a0 2

(3.15c)

Untuk kisi resiprok, titik-titik kisi pada bidang kx − ky diberikan oleh ~ = M~b1 + N~b2 , K

(3.16a)

π ~b1 = 2π(~a2 × zˆ) = π x ˆ + yˆ, ~a1 · (~a2 × zˆ a b z × ~a1 ) π π ~b2 = 2π(ˆ = x ˆ − yˆ. ~a2 · (ˆ z × ~a1 ) a b

(3.16b) (3.16c) y

x

sel satuan

a0

Gambar 3.5 Sketsa graphene: sel satuan dipilih terdiri dari dua atom karbon.

3.2. KURVA DISPERSI GRAPHENE

17

a , b

 /a , /3b 

0, 2 /3b 

a1

b1

a2

− /a ,− /3b

b2

a ,−b

Gambar 3.6 Kisi nyata dan kisi resiprok yang berkaitan pada graphene. Sumbu x dan y seperti yang didefinisikan pada gambar 3.5. Daerah yang diarsir merupakan zona Brillouin.

Dengan menggunakan vektor-vektor basis tersebut dapat dibangun zona Brillouin seperti pada gambar (3.6). Untuk nilai k tertentu, energi eigen dapat dihitung berdasarkan pers. (3.13) dan (3.14). Ukuran matriks [h(~k)] bergantung pada jumlah fungsi basis per sel satuan. Jika digunakan empat orbital sesuai elektron valensi karbon (2s, 2px , 2py , 2pz ) sebagai fungsi basis, maka ada delapan fungsi basis dalam satu sel satuan (yang mengandung dua atom karbon). Dengan demikian, untuk setiap nilai k akan diperoleh delapan nilai eigen. Akan tetapi, keadaan energi 2s, 2px , 2py tidak terkait sama sekali dengan keadaan 2pz karena tidak ada irisan fungsi gelombang antarkeadaan tersebut, yaitu Z ˆ p = 0. us,px ,py Hu z

(3.17)

Ini artinya keadaan valensi dan konduksi pada graphene dapat dijelaskan dengan baik cukup dengan menggunakan satu orbital (2p ) per atom karbon. Matriks [h(~k)] yang z

dibutuhkan akan berukuran (2 × 2) karena satu sel satuan mengandung dua atom. Matriks tersebut merupakan jumlahan seluruh Hamiltonian yang terkait interaksi dengan tetangganya dan juga dalam sel satuan itu sendiri. Elemen matriks merupakan integral irisan antarfungsi gelombang. Misalkan nilainya sebesar −t untuk atom-atom karbon yang bertetangga dan 0 untuk lainnya (karena tidak ada irisan), maka " [h(~k)] =

#

−t E0 "

+

E0 −t

+

" # ~ 0 −teik·~a1 0 0 # "

0

0

~ −te−ik·~a1

0

+

" [h(~k)] =

+

0 ~

−te−ik·~a2 E0

h0

h∗0

E0

" # ~ 0 −teik·~a2 0 # 0

0

0

# ,

(3.18)

3.3. KLASIFIKASI NANOMATERIAL

18

3 2

E t

1 0 −1 −2 −4

−3 −4

−2

−2

k y a0

0

0 2

2 4

k x a0

4

Gambar 3.7 Hubungan dispersi pada graphene.

dengan ~

~

h0 = −t(1 + eik·~a1 + eik·~a2 ) = −t(1 + 2eikx a cos(ky b). Nilai eigen kemudian dapat ditentukan dari persamaan sekuler (determinan) yang hasilnya 1/2 E = E0 ± |h0 | = E0 ± t 1 + 4 cos2 (ky b) + 4 cos(kx a) cos(ky b) .

(3.19)

Visualisasi rumusan E graphene ini ditunjukkan pada gambar 3.7, dengan E0 = 0.

3.3

Klasifikasi Nanomaterial

Tingkat-tingkat energi Eb (~k) yang diizinkan pada suatu zat padat periodik terkait dengan vektor gelombang k, dengan jumlah cabang sebanyak b sesuai dengan jumlah fungsi basis yang dipilih per sel satuan. Hasil tersebut berdasarkan pada asumsi syarat batas periodik di semua arah sehingga periodisitas fungsi gelombang tetap berlaku meskipun pada daerah “ujung” material. Oleh karena ukuran material yang besar (bulk), maka asumsi itu dapat berlaku dan sifat-sifat elektronik material dapat sesuai dengan apa yang diperoleh dari eksperimen. Beberapa fenomena menarik akhirnya sering teramati pada struktur nanomaterial, yang dapat dianggap sebagai “perbatasan” antara orde atom/molekul dan zat padat bulk. Material dalam orde nanometer biasanya disusun oleh sekitar seratusan atom. Sistem seperti ini sering dirujuk sebagai sistem mesoskopik atau sistem berdimensi rendah. Untuk kebanyakan nanomaterial, diagram E−k konvensional masih belum cukup untuk

3.3. KLASIFIKASI NANOMATERIAL

19

menjelaskan seluruh sifat elektroniknya. Pada bagian ini akan dibahas bagaimana suatu struktur zat padat bulk yang direduksi menjadi sistem berdimensi rendah membawa pada konsep subpita yang menunjukkan beberapa perbedaan kualitatif maupun eksperimental antara zat padat makroskopik dan mesoskopik. Nanomaterial dapat diklasifikasikan menurut aspek “pengurungan” gerak pembawa muatan atau ukuran derajat kebebasannya. Pada zat padat homogen bulk, elektron bisa bebas bergerak dalam tiga arah koordinat kartesian dan tingkat-tingkat energinya dapat dinyatakan sebagai Eb (kx , ky , kz ), indeks b berkaitan dengan pita-pita yang berbeda. Jika sekarang salah satu dimensi zat padat tersebut dibatasi, misalnya arah kz menjadi ukuran panjang yang cukup kecil, Lz , maka akan diperoleh struktur quantum well. Nilai kz “dipaksa” untuk berbentuk diskret dengan syarat batas seperti sumur potensial: kz =

nz π Lz

(nz bilangan bulat).

(3.20)

Misalkan hubungan dispersi Eb (~k) pada daerah tertentu dapat diaproksimasi oleh hubungan parabolik dengan massa efektif m∗ : E(~k) ≈ Ec +

~2 (kx2 + ky2 + kz2 ) , 2m∗

(3.21)

nilai Ec dan mc ditentukan dari pencocokan. Kedua parameter ini masing-masing merupakan ujung pita konduksi dan massa efektif yang dapat ditentukan untuk berbagai macam semikonduktor konvensional. Terkait dengan pembatasan gerak pada quantum well, hubungan dispersi zat padat bulk tersebut berubah menjadi Enz (kx , ky ) ≈ Ec + n2z z + z =

~2 (kx2 + ky2 ) , 2m∗

(3.22a)

~2 π 2 . 2m∗ L2z

(3.22b)

Langkah “pembatasan” gerak ini dapat dilanjutkan menuju struktur dalam dimensi yang lebih rendah, yaitu membentuk quantum wire: Eny ,nz (kx ) ≈ Ec + n2y y + n2z z + y =

~2 kx2 , 2m∗

(3.23a)

~2 π 2 , 2m∗ L2y

(3.23b)

dan bisa juga menjadi quantum dot: Enx ,ny ,nz

~2 π 2 ≈ Ec + 2m∗

n2y n2x n2z + + L2x L2y L2z

! .

Struktur quantum dot sering disebut juga sebagai atom buatan (artificial atoms).

(3.24)

3.4. STRUKTUR CARBON NANOTUBE

Zat padat biasa

20

Quantum wire

Quantum well

Quantum dot

Gambar 3.8 Struktur zat padat bulk, quantum well, wire, dan dot.

3.4

Struktur Carbon Nanotube

Carbon nanotube (CNT) dapat dibentuk dari penggulungan lembaran graphene. Oleh karena itu, sifat-sifatnya merupakan “turunan” dari sifat-sifat graphene, ditambah munculnya beberapa fenomena luar biasa sebagai akibat kuantisasi ruang dari 2D menuju 1D. Artinya dari segi struktur, CNT termasuk ke dalam jenis quantum wire dari quantum well dalam bentuk graphene. Peninjauan kembali struktur elektronik graphene akan sangat membantu dalam perumusan sifat elektronik CNT. Tingkat-tingkat energi graphene (seperti yang dijelaskan di bagian sebelumnya) dapat ditentukan dengan mencari nilai eigen dari matriks " h(~k) =

E0

h0

#

, h∗0 E0 h i h0 = −t 1 + 2eikx a cos(ky b) ,

yang menghasilkan 1/2 E = E0 ± |h0 | = E0 ± t 1 + 4 cos2 (ky b) + 4 cos(kx a) cos(ky b) . Oleh karena setiap tingkat-tingkat energi simetris di sekitar E0 = 0, maka seluruh keadaan dengan E < 0 akan terisi penuh, sedangkan seluruh keadaan dengan E > 0 akan kosong, atau bisa dikatakan tingkat energi Fermi berada pada E0 = 0. Pada bidang kx − ky , titik-titik dengan E0 = 0 merupakan daerah tempat berlakunya h0 (~k) = 0, yaitu (kx a, ky b) = (0, −2π/3),

(−π, +π/3),

(+π, +π/3)

(3.25)

(kx a, ky b) = (0, +2π/3),

(−π, −π/3),

(+π, −π/3).

(3.26)

Keenamnya tidak lain merupakan titik-titik sudut zona Brillouin Graphene seperti pada gambar 3.6. Titik-titik tersebut dikelompokkan menjadi dua kelompok yang masingmasing beranggotakan tiga titik setara yang berperan dalam proses konduksi muatan.


ky

21

ky

kx

kx

Gambar 3.9 Translasi titik zona Brillouin pada graphene yang berperan dalam konduksi.

Setiap titik dalam masing-masing kelompok memiliki kontribusi 1/3 terhadap konduksi. Supaya lebih mudah dalam peninjauan “penggulungan” graphene menjadi CNT, maka tiga titik pada masing-masing kelompok digabungkan dalam dua titik (kx a, ky b) = (0, ±2π/3) seperti ditunjukkan gambar 3.9. Begitu graphene digulung menjadi CNT, nilai-nilai k yang diizinkan akan tergantung pada syarat periodik di bagian kelilingnya. Jika didefinisikan vektor keliling (chiral): ~ch = m~a1 + n~a2 = a(m + n)ˆ x + b(m − n)ˆ y

(3.27)

yang menghubungkan dua titik yang setara pada bidang x − y ketika digulung, maka syarat batas periodik yang berlaku adalah ~k · ~ch = kc |~ch | = kx a(m + n) + ky b(m − n) = 2πν.

(3.28)

Syarat batas tersebut menyatakan garis-garis sejajar yang masing-masing berkaitan dengan bilangan bulat berbeda ν (gambar 3.10). Garis-garis tersebut menunjukkan keberadaan subpita pada CNT. Jika digambarkan kurva dispersi pada sepanjang garis sejajar, maka akan diperoleh hubungan Eν (k) masing-masing satu macam kurva untuk setiap subpita ν. Dari syarat (3.28) inilah bagaimana jumlah subpita dipengaruhi oleh dimensi (ukuran) CNT. Jika CNT memiliki keliling yang sangat besar, maka jumlah subpita pada zona Brillouin jadi cukup banyak. Sebagai akibatnya sifat nanotube demikian tidak ada bedanya dengan graphite biasa yang diagram energinya membentuk pita murni. Tetapi jika keliling CNT cukup kecil, keberadaan subpita akan sangat signifikan mempengaruhi sifat elektronik CNT. Hubungan dispersi yang dihasilkan apakah akan menunjukkan celah energi (semikonduktor) atau tidak (logam) tergantung pada keberadaan garis-garis subpita yang dapat melewati salah satu titik konduksi (kx a, ky b) = (0, ±2π/3). Persyaratan m dan n agar menjadi seperti logam dapat dihitung dari (3.28), yaitu agar garis


22

ky 0,2/ 3b

kx

kc∣ch∣=2 

0,−2/ 3b

kontur energi (konstan)

Gambar 3.10 Garis-garis sejajar sebagai subpita pada CNT.

subpita melewati kx a = 0, ky b = 2π/3 (tidak ada celah energi), maka (m − n)/3 = ν.

(3.29)

ν merupakan bilangan bulat, sehingga CNT seperti logam akan terjadi jika (m − n) merupakan kelipatan tiga. Selain yang demikian, sifat CNT yang muncul adalah semikonduktor. Misalkan ditinjau dua contoh yang spesifik, yaitu zigzag-CNT dan armchair-CNT. Untuk tipe zigzag-CNT, vektor ~ch = 2bmˆ y , syarat batas periodik mengakibatkan nilainilai k yang diizinkan jadi terletak sejajar dengan sumbu-kx (berarti koordinat ky yang ditentukan), yaitu ky 2bm = 2πν ⇒ ky =

2π 3ν 2πν = , 2mb 3b 2m

(3.30)

dengan 2bm sebagai besar keliling CNT. Demikian pula tipe armchair-CNT, vektor ~ch = 2amˆ x, syarat batas mengakibatkan nilai k yang diizinkan jadi terletak sejajar dengan sumbu-kx , yaitu koordinat ky : kx 2am = 2πν ⇒ kx =

2πν . 2ma

(3.31)

Meskipun rumusan (3.30) dan (3.31) bentuknya serupa, tetapi perbedaan mendasar jelas tampak dari ada atau tidaknya posisi kx dan ky agar terjadi konduksi. Titik konduksi zona Brillouin ada di koordinat bilangan gelombang (kx a, ky b) = (0, ±2π/3). Artinya, armchair-CNT bersifat seperti logam untuk berapapun nilai m karena subpita dengan ν = 0 selalu melewati titik konduksi tersebut. Sedangkan zigzag-CNT bisa bersifat seperti logam maupun semikonduktor tergantung pada nilai m, yaitu jika m (dalam kasus ini) merupakan kelipatan tiga berarti sifatnya logam.


23

Gambar 3.11 Aproksimasi kurva dispersi energi untuk CNT sebagai fungsi ky b sepanjang garis kx a = 0 (sumbu CNT). Dua kurva yang dibandingkan masing-masing berasal dari pers. (3.19) dan (3.35).

Konduksi listrik ditentukan oleh ketersediaan keadaan energi di sekitar tingkat Fermi. Pendekatan yang sangat berguna untuk menjelaskannya adalah uraian Taylor untuk plot E − k di sekitar E = 0. Caranya yaitu dengan menerapkan uraian tersebut untuk h0 (~k) = −t[1 + 2eikx a cos(ky b)] pada daerah (kx a, ky b) = (0, ±2π/3) yang celah energinya nol (h0 = 0 untuk titik tersebut). Selesaikan: ∂h0 2π ∂h0 + ky ∓ , h0 ≈ kx ∂kx kx a=0,ky b=±2π/3 3b ∂ky kx a=0,ky b=±2π/3

(3.32)

dengan i ∂h0 h = −2iateikx a cos(ky b) = iat = i3a0 t/2, ∂kx kx a=0,ky b=±2π/3 i √ ∂h0 h = 2bteiky a sin(ky b) = ±bt 3 = ±3a0 t/2, ∂ky kx a=0,ky b=±2π/3 sehingga dapat dituliskan 3a0 t (kx ∓ iβy ) h0 (~k) = i 2 2π βy ≡ ky ∓ 3 Hubungan dispersi energi yang terkait (seperti pers. (3.19)) dapat dituliskan 3ta0 q 2 E(~k) = ±|h0 | = ± kx + βy2 . 2 Rumusan dispersi energi hasil penyederhanaan ini cukup cocok pada rentang

(3.33) (3.34)

(3.35) energi

yang cukup luas (gambar 3.11). Dengan menggunakan aproksimasi Taylor, kontur energi konstan akan berbentuk lingkaran dan isotropik di sekitar pusat masing-masing titik


24

konduksi, (0, ±2π/3b). Menariknya, hasil ini menunjukkan bahwa vektor gelombang yang searah dengan sumbu CNT bernilai kontinu, asalkan CNT tersebut diasumsikan memiliki panjang tak hingga. Untuk CNT nyata yang panjangnya terbatas, nilai vektor gelombang yang terkuantisasi bisa juga muncul seperti untuk vektor gelombang yang searah dengan lingkaran keliling CNT. Lebar celah energi untuk CNT semikonduktor bergantung pada tipenya yang spesifik. Yang pasti, selama (m − n) bukan kelipatan angka tiga, maka celah energi tidak bernilai nol. Rumusan untuk lebar celah energi cukup mudah diturunkan jika ditinjau tipe zigzag-CNT. Dari pers. (3.30), (3.34), dan (3.35), dapat dituliskan s 2 2π 3ν 3ta0 2 kx + E(kx ) = ± −1 , 2 3b 2m

(3.36)

sehingga celah energi untuk suatu subpita ν dapat dinyatakan sebagai selisih antara energi cabang (+) dan (−) pada kx = 0: Eg,ν

2π = 3ta0 2mb

2m ν− . 3

(3.37)

Rumusan terakhir ini memiliki sebuah nilai minimum nol berkaitan dengan ν = 2m/3. Tetapi jika m bukan kelipatan tiga maka nilai minimum (ν − 2m/3) sama dengan 1/3. Ini artinya nilai terkecil celah energi diberikan oleh Eg =

2π 2ta0 ta0 = , 2mb D

(3.38)

D adalah diameter CNT dalam nm, dan πD keliling CNT yang sama dengan 2mb. Jika dibandingkan dengan penjelasan teoretik terdahulu [6], maka hasil ini menunjukkan kesesuaian yang sempurna. Lebar celah energi suatu CNT hanya berubah terhadap ukuran diameter CNT.


25

Gambar 3.12 Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 45. Tidak adanya celah energi menunjukkan sifat yang seperti logam.

Gambar 3.13 Dua subpita terendah pada zigzag-CNT dengan m = 44. Keberadaan celah energi menunjukkan sifatnya yang semikonduktor.

Perhitungan Struktur Elektronik Graphene dan Carbon Nanotube

Recommend Documents