M´er´es, jelfeldolgoz´as, elektronika BME G´ep´eszm´ern¨oki Kar hallgat´oi sz´am´ara Dr. Hal´asz G´abor el˝oad´asai alapj´an k´esz´ıtette Varga Rox´ana 2016. szeptember 2.
1. A jelfeldolgoz´ as l´ ep´ esei M´er´esi modellek fel´ all´ıt´ asakor a c´elunk az, hogy egy m´erend˝o mennyis´eget sz´amszer˝ us´ıteni tudjunk, ´es abb´ol inform´ aci´ ot nyerj¨ unk. A megm´erend˝o mennyis´eget, jelet (pl.: h˝om´ers´eklet, nyom´as, stb.) egy ´erz´ekel˝ o seg´ıts´eg´evel folytonos villamos jell´e (´aram vagy fesz¨ ults´eg jell´e) tudunk alak´ıtani, melyet egy anal´ og-digit´ alis konverterrel digit´alis jell´e alak´ıthatunk. Ahhoz hogy a jel inform´aci´otartalma haszn´alhat´o legyen, a berendez´est kalibr´ alni kell. A t´argy c´elja az ´ıgy kapott jel feldolgoz´ asa m˝ uszaki-szakmai szempontb´ ol, k¨ ul¨ onb¨ oz˝o m´odszerek megismer´ese.
1. ´ abra. A jelfeldolgoz´as l´ep´esei.
1.1. Jel Jel alatt az inform´ aci´ ot hordoz´ o mennyis´eget ´ertj¨ uk. Mivel ´altal´aban id˝oben v´altoz´o mennyis´eg, x(t)-vel jel¨olj¨ uk. Megk¨ ovetelj¨ uk, hogy az x(t) jel az ´ertelmez´esi tartom´any´aban (vagyis az id˝ oben) ´es amplit´ ud´ oj´ aban is folytonos legyen. A jel lehet determinisztikus, illetve sztochasztikus. Determinisztikus a jel, ha periodikus vagy tranziens (´atmeneti, egy ´allapotb´ol egy m´asikba megy ´ at). A jel sztochasztikus, ha v´eletlenszer˝ uen v´altozik az id˝o f¨ uggv´eny´eben. A sztochasztikus jel lehet stacion´ arius vagy nem stacion´ arius (ezek le´ır´as´at l´asd k´es˝obb).
1.2. Anal´ og-digit´ alis konverzi´ o Az anal´ og-digit´ alis konverzi´ ora (A/D konverzi´o) az´ert van sz¨ uks´eg, mert anal´og jelet nem tudunk t´arolni, azt digitaliz´ alni kell. Els˝o l´ep´esben a folytonos jelet id˝oben diszkretiz´aljuk, vagyis n∆t (n = 0, 1, . . .) id˝ opontokban mintav´etelezz¨ uk, ´ıgy kapjuk az xmv (t) mintav´etelezett jelet, mely amplit´ ud´oj´aban m´eg folytonos, a 2. ´ abra fels˝o sor´aban az els˝o diagram a folytonos jelet, m´ıg a m´asodik az id˝ oben m´ ar diszkretiz´ alt jelet mutatja. Ezt a jelet, amely teh´at amplit´ ud´oj´aban m´eg folytonos, amplit´ ud´ o kvant´ al´ assal lehet diszkretiz´alni. Az amplit´ ud´o kvant´al´as sor´an a 2. ´abra fels˝ o
1
sor´aban az utols´ o´ abra alapj´ an l´epcs˝ oket ´all´ıtunk el˝o, melyek seg´ıts´eg´evel az amplit´ ud´ot is diszkretiz´alni tudjuk. Az ´ıgy kapott xmvkv jelet ´abr´azolja a 2. ´abra als´o diagramja. A kvant´al´as sor´ an a l´epcs˝oket u ´gy kell megv´ alasztani, hogy a kapott xmvkv id˝oben is, ´es amplit´ ud´oj´aban is diszkretiz´alt jelb˝ol vissza tudjuk kapni az eredeti x(t) jel jellemz˝oit. Miel˝ott kimondjuk a t´etelt, amely ∆t megv´alaszt´ as´ ara ad egy korl´ atot, sz¨ uks´eg¨ unk van a s´avsz´eless´eg defin´ıci´oj´ara. A s´ avsz´ eless´ eg, melyet B-vel szok´ as jel¨ olni, a jelben lev˝o peri´oduskomponensek Hertz-ben megadott frekvenci´ ainak maximuma. Vagyis a s´ avsz´eless´eg az az ´ert´ek, amelyn´el (´es felette) nincs komponens a jelben. Ami azt a k¨ovetkezm´enyt is tartalmazza, hogy a jel Fourier-sor´aban a B feletti frekvenci´ak eset´eben a Fourier-egy¨ utthat´ ok mind 0-k. Ha B < ∞, akkor a jel s´ avkorl´ atozott.
2. ´abra. Anal´ og-digit´ alis konverzi´ o. Balr´ol jobbra haladva rendre a ∆t id˝opontokban a mintav´etelez´es; a mintav´etelezett jel valamint az amplit´ ud´o kvant´al´as diagramjai.
A k¨ovetkez˝ okben ismertet´esre ker¨ ul˝o mintav´eteli t´etel csak a mintav´etelez´es hib´aj´aval foglalkozik, ´es nem foglalkozik a kvant´ al´ as hib´ aj´aval. Shanon-f´ ele mintav´ etelez´ esi t´ etel (∼1948) 1 Legyen a folytonos jel¨ unk s´ avkorl´ atozott, ´es s´avkorl´atja B < ∞. Ekkor ha ∆t = 2B - vel mintav´etelez¨ unk, akkor inform´ aci´ o veszt´es n´elk¨ ul vissza´all´ıthat´o a jel, ´es x(t) a k¨ovetkez˝o alakban
2
sz´amolhat´o: x(t) =
∞ X
x(n∆t)
n=−∞
sin ωB (t − n∆t) , ωB (t − n∆t)
(1)
ahol ωB = 2πB ´es x(n∆t) a jel ´ert´ekei az n∆t id˝opillanatokban. ´ Erdemes ´eszrevenni, hogy zn := ωB (t − n∆t) jel¨ol´essel, a k´epletben szerepl˝o t¨ort sin zn → 1, zn
ha zn → 0
´es egy´ebk´ent egy cs¨ okken˝ o amplit´ ud´ oj´ u f¨ uggv´eny (3. ´abra). Vagyis az eredeti x(t) jel el˝o´all egy megfigyelt ´ert´eksorozat ´es egy f¨ uggv´enysorozat szorzatak´ent.
sin(z)/z 1,5
1
0,5
0 -12
-7
-2
3
-0,5
3. ´abra. A
8
z
sin(z) z
f¨ uggv´eny.
A t´etelre nem adunk egy prec´ız matematikai bizony´ıt´ast (ez megtal´alhat´o a jegyzet v´eg´en felsorolt szakirodalomban), azt csak nagy vonalakban mutatjuk be a hallgat´onak. x(t) jel legyen s´avkorl´atozott, s´ avkorl´ atja B. Figyelj¨ uk meg T ideig, teh´at a megfigyel´es id˝ointervalluma [0, T ]. Fedj¨ uk le a megfigyelt s´ avval az eg´esz s´ıkot, ´ıgy kapunk egy periodikus jelet. Mivel periodikus a jel, Fourier-sorba fejthet˝ o, aminek az alapfrekvenci´aja ∆f = T1 . Feltett¨ uk, hogy x(t) s´avkorl´atozott B jel, ´ıgy l´etezik egy hat´ ar amely felett nincs frekvencia a jelben. A Fourier-sornak ∆f = BT darab tagsz´ama van, az egy¨ utthat´ oinak a sz´ ama pedig 2BT . Vagyis ahhoz, hogy a jelet egy´ertelm˝ uen megkapjuk 2BT darab adatra van sz¨ uks´eg, teh´at 2BT pontban kell mintav´etelezni, ami azt jelenti, hogy az fmv = 2B mintav´eteli frekvencia j´o. Gondoljuk meg, hogy a formula a m´er´esi pontokban val´oban visszaadja a mintav´etelezett jelet. A t´etel ´all´ıt´asa azt mondja, hogy ha a mintav´etelez´esi frekvencia a hat´arfrekvencia k´etszerese, akkor k´et mintav´etelezett pont k¨ oz¨ ott is a megfigyelt jelet kapjuk vissza a k´epletben szerepl˝o sin(zn )/zn f¨ uggv´eny seg´ıts´eg´evel. Teh´ at mondhatjuk azt, hogy az (1)-es k´eplettel megadott f¨ uggv´eny k´et mintav´etelez´esi pont k¨ oz¨ ott interpol´ aci´os polinom. A fenti t´etelhez a tov´ abbi megjegyz´esek f˝ uzhet˝oek. Tekints¨ uk az x(t) = A sin(2πBt) f¨ uggv´enyt (4. ´abra, folytonos g¨ orbe). Mekkora fmv mintav´etelez´esi frekvenci´at ´erdemes v´alasztani?
3
2sin(2πBx ) 2,5
2
1,5
1
0,5
Adatsor1 f_mv=B
0 0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
f_mv=2B f_mv>2B
-0,5
-1
-1,5
-2
-2,5
4. ´abra. Mintav´etelez´es
1. Ha fmv < 2B, legyen p´eld´ aul fm = B. Ekkor peri´odusonk´ent egy pontot mintav´etelez¨ unk (4. ´abra, z¨ old pontok), amely a [-A,A] tartom´anyban b´armilyen ´ert´eket felvehet. ´Igy nyilv´anval´ oan kev´es pontot t´ arolunk el ahhoz, hogy a szinusz f¨ uggv´enyt vissza tudjuk nyerni azok ismeret´eben. Ebben az esetben azt mondjuk, hogy alul-mintav´etelez´es t¨ort´ent. 2. Ha fmv = 2B. Ekkor m´ ar peri´ odusonk´ent k´et pontot mintav´etelez¨ unk (4. ´abra, k´ek pontok), ami szint´en kev´es. Ak´ ar el˝ ofordulhat az az eset is, hogy az azonosan 0 sorozatot mintav´etelezz¨ uk. Megjegyezz¨ uk, hogy az 1. esetben nyilv´anval´oan nem teljes¨ ul a mintav´eteli frekvenci´ ara vonatkoz´ o felt´etel. A 2.eset k¨ ul¨on meggondol´ast ig´enyel: a jel frekvenci´aja pontosan B, vagyis a hat´ arfrekvencia nagyobb mint B. Ez´ert a jel vissza´all´ıt´as´ahoz nem elegend˝ o a 2B mintav´eteli frekvencia, enn´el nagyobb kell. 3. Ha fmv > 2B, akkor f´el peri´ odusn´al s˝ ur˝ ubben mintav´etelez¨ unk (4. ´abra, piros pontok), de m´eg ez is lehet kev´es. Elvben ez elegend˝o, de ”szemre” nem lehet felismerni a keresett jelet. 4. A gyakorlatban fmv ≥ (5 − 8)B mintav´etelez´esi frekvenci´at szok´as alkalmazni, ekkor a jel helyre´ all´ıthat´ o. Ezt az esetet nevezz¨ uk t´ ulmintav´etelez´esnek. Ha viszont nem c´el a jel helyre´all´ıt´asa, nincs sz¨ uks´eg¨ unk minden inform´aci´ora amit az hordoz, akkor alul-mintav´etelez´es is alkalmazhat´ o. 5. Ismeretlen jel eset´en a B s´ avsz´eless´eget ´altal´aban nem lehet meghat´arozni a jelfeldolgoz´ as el˝ott, ez´ert fmv mintav´etelez´esi frekvencia megv´alaszt´asa sem egy´ertelm˝ u. Azonban minden berendez´esnek van egy fizikai korl´atja, amin´el nagyobb s´avsz´eless´eget nem b´ır el, ´ıgy l´etezik lehets´eges legnagyobb frekvencia is. A frekvencia mesters´eges u ´ton is korl´atozhat´o p´eld´ aul alul-´atereszt˝ o sz˝ ur˝ ovel, melyet k´es˝obb r´eszletesebben t´argyalunk. A t´etel bizonyos ´ altal´ anos´ıt´ asok eset´eben is igaz marad:
4
• A t´etelben a mintav´etelez´es ideje δt > 0 id˝ointervallum (δ > 0). A t´etel akkor is igaz, ha a mintavev˝ o val´ os, v´eges idej˝ u. • Egy folyamatb´ ol ered˝ o zaj is r´ aker¨ ulhet a jelre. Zajjal terhelt jel eset´en is igaz a t´etel, de ekkor m´ ar nem determinisztikus, hanem v´arhat´o ´ert´ekekre. • A t´etel igaz marad nem egyen´ert´ek˝ u mintav´etelez´es eset´en is, vagyis ha nem azonos ∆t id˝ok¨oz¨ onk´ent mintav´etelez¨ unk.. ¨ Osszefoglalva a t´etelhez kapcsol´ od´ o alapfogalmak: • B a hat´ arfrekvencia, vagy s´ avkorl´at, amely a jel saj´atoss´aga. • fmv a mintav´eteli frekvencia, amely a berendez´eshez ´es a m´er´eshez tartozik. • ∆t =
1 fmv
k´et mintav´etelez´es k¨ oz¨ ott eltelt id˝o.
• T [s] a megfigyel´es hossza. • N=
T ∆t
a megfigyelt ´ert´ekek sz´ ama.
• ∆f a Fourier-transzform´ aci´ o alapfrekvenci´aja, vagyis ∆f = frekvenciafelbont´ as, melyet csakis T hat´aroz meg.
1 T
=
1 N ∆t
=
fmv N .
Teh´ at a
Az amplit´ ud´ o kvant´ al´ as hib´ aja - Kvant´ al´ asi t´ etel Amint m´ar eml´ıtett¨ uk, az amplit´ ud´ o kvant´al´as sor´an v´eges l´epcs˝oket vesz¨ unk fel ´es azokon ´abr´azoljuk az amplit´ ud´ okat. Ekkor nyilv´ an inform´aci´ot veszt¨ unk, a hiba m´ert´ek´er˝ol a kvant´al´asi t´etel ad inform´aci´ot. Ha az eredeti x(t) jel s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye s´avkorl´atozott, akkor a kvant´alt jel v´arhat´o ´ert´eke megegyezik az eredeti jel v´ arhat´ o ´ert´ek´evel, vagyis a kvant´al´as torz´ıtatlan becsl´es: M (xkv (t)) = M (x(t))
(2)
A kvant´alt jel sz´ or´ asa ´es az eredeti jel sz´or´asa k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝o ¨osszef¨ ugg´es ´all fenn: D2 (xkv (t)) = D2 (x(t)) +
q2 , 12
(3)
2
q ahol q jel¨oli a l´epcs˝ ok nagys´ ag´ at. A 12 tagot nevezz¨ uk Shepard-f´ele korrekci´ os tagnak. Teh´at a hiba m´ert´eke csakis q megv´ alaszt´ as´ at´ ol f¨ ugg. A sz´or´as hib´ aj´ anak m´ert´ek´et ´erz´ekeltetend˝o, tekints¨ uk a k¨ovetkez˝o p´eld´at. Tegy¨ uk fel, hogy az ´erz´ekel˝onkr˝ol egy 0 − 10 V-os jel j¨ on le, ´es legyen egy sz´o 10 bit-es (r´egi sz´am´ıt´og´epr˝ol l´ev´en sz´ o). Ekkor a l´epcs˝ ok sz´ ama 210 ≈ 1000, (4)
´es ´ıgy q=
10V = 10−2 V. 1000
5
(5)
5. ´ abra. A kvant´al´as hib´aja
Ebb˝ol pedig a sz´ or´ asn´egyzet hib´ aja q2 10−4 = ≈ 10−5 V 2 . 12 12
(6)
Melynek gy¨oke √ q2 (7) ≈ 10 ∗ 10−6 ≈ 3 ∗ 10−3 = 0, 003V. 12 Vagyis a sz´or´ as becsl´es´enek hib´ aja az esetek nagy t¨obbs´eg´eben elhanyagolhat´o, nem ´erdemes vele foglalkozni. r
1.3. Kalibr´ al´ as Az ´erz´ekel˝or˝ ol lej¨ ov˝ o jel digitaliz´ al´ asa ut´an az inform´aci´o sz´amsorozatk´ent t´arol´odik a mem´ori´ aban. Ahhoz, hogy ebb˝ ol a sz´ amsorozatb´ ol visszakapjuk az ´altalunk keresett fizikai mennyis´eget, kalibr´ aci´ ora van sz¨ uks´eg. A kalibr´ aci´ ohoz sz¨ uks´eg¨ unk van egy ismert nagys´ag´ u jelre, etalonra, mely az adott fizikai mennyis´eg egys´eg´enek megtestes´ıt˝ oje ismert hibakorl´attal. Az egyszer˝ u mennyis´egeknek l´etezik etalonja (hossz´ us´ ag, t¨ omeg t´erfogat, stb.). M´as mennyis´egek etalonj´at sz´armaztatjuk (pl. h˝om´ers´eklet).
6
Ekkor a bemen˝ o x jel az etalon, a kimen˝o η jel pedig az ´erz´ekel˝or˝ol lej¨ov˝o jel. A kalibr´aci´ o fel´ adata az x ´es η v´ altoz´ ok k¨ oz¨ otti ¨ osszef¨ ugg´es keres´ese. Altal´aban a m´er˝oeszk¨oz¨ok olyanok, hogy ez a kapcsolat line´ aris, vagyis a feladat egy kalibr´ aci´ os egyenes meghat´aroz´asa. Erre a statisztikai tanulm´anyaink sor´ an megismert legkisebb n´egyzetek m´odszer´et szok´as alkalmazni. ´ azoljuk a megfigyelt [xi , ηi ] pontp´arokat az x − y koordin´ata-rendszerben. A m´odszer alAbr´ kalmaz´as´anak felt´etele, hogy az x v´ altoz´o determinisztikus legyen (teh´at azt pontosan ismerj¨ uk, ne terhelje hiba), valamint az η v´ altoz´ ot norm´alis eloszl´as´ u v´eletlen hiba terhelje, vagyis ne legyen rendszeres hib´ aja. Ezekre a pontp´ arokra illeszt¨ unk y = a0 x + a1 egyenlet˝ u egyenest. Az egy¨ utthat´okat u ´gy szeretn´enk megv´ alasztani, hogy y(xi ) ´es ηi pontok k¨oz¨otti n´egyzetes t´avols´agok ¨osszege minim´alis legyen: n X D= (ηi − (α0 xi + α1 ))2 → min! (8) i=1
Ahol α0 ´es α1 az a0 ´es a1 egy¨ utthat´ ok becsl´ese. Vegy¨ uk ´eszre, hogy D ´ert´eke csakis α0 ´es α1 ´ert´ek´et˝ol f¨ ugg, teh´ at D(α0 , α1 ) k´etv´ altoz´os f¨ uggv´eny lok´alis minimum´at keress¨ uk. Matematik´ ab´ ol j´ol ismert, hogy lok´ alis minimuma egy f¨ uggv´enynek ott lehet, ahol a parci´alis deriv´altak z´erus ´ert´eket vesznek fel. A sz´ amol´ as r´eszletes ismertet´ese n´elk¨ ul a kapott egy¨ utthat´ok: P ηi (xi − x ¯) α1 = P (9) (xi − x ¯)2 α0 + α1 x ¯ = η¯,
(10)
ahol x ¯ ´es η¯ az ´ atlagokat jel¨ olik. Ekkor a Gauss-Markov t´etel alapj´an α0 ´es α1 az a0 ´es a1 egy¨ utthat´ ok torz´ıtatlan becsl´esei [8]. A kalibr´al´ as nem ¨ or¨ ok ´elet˝ u, u ´jra ´es u ´jra el kell v´egezni, hiszen a berendez´es¨ unk az id˝o m´ ul´as´ aval nem biztos, hogy mindig ugyan´ ugy m˝ uk¨odik. Teh´at α0 ´es α1 nem ´alland´o mennyis´egek. A kalibr´aci´os egyenesnek l´etezik egy elm´eleti ´ert´eke, ami k¨or¨ ul a sz´am´ıtott egyenes¨ unk mozog. Ahhoz, hogy mondani tudjunk valamit a sz´am´ıt´asunk hib´aj´ar´ol, j´o lenne egy s´avot meghat´arozni az elm´eleti egyenes k¨ or¨ ul, ami tartalmazza a sz´am´ıtott egyeneseket. A c´elunk teh´at konfidencia s´ av meghat´aroz´asa a kalibr´ aci´ os egyenes k¨ or¨ ul. El˝osz¨or eleven´ıts¨ uk fel a konfidencia intervallumokr´ol tanultakat [8]. A konfidencia intervallum olyan r sugar´ u k¨ ornyezete a m´ert mennyis´egek ´atlag´anak, mely adott p val´osz´ın˝ us´eggel tartalmazza ¯ akkor az r az ´atlag v´arhat´ o ´ert´ek´et. Vagyis, ha ξ1 , ξ2 , . . . ξN a m´ert mennyis´egeink, ´es ´atlaguk ξ, sugar´ u konfidenciaintervallum olyan, hogy
r a k¨ovetkez˝ ok´eppen sz´ amolhat´ o:
¯ ≤ ξ¯ + r) = p. P (ξ¯ − r ≤ M (ξ)
(11)
s∗ λst r= √ , N
(12)
ahol λst = λst (N, p). A konfidencia s´ avot u ´gy kapjuk, hogy a kalibr´aci´os egyenes minden pontja k¨or¨ ul megadunk egy konfidencia intervallumot. A tov´ abbiakban bemutatjuk, hogy hogyan is kell meghat´arozni ezt a s´avot. Legyen a legkisebb n´egyzetek m´ odszer´evel meghat´arozott egyenes Y (x) = α0 +α1 x, ahol tudjuk, hogy M (α0 ) = a0 ´es M (α1 ) = a1 . Ekkor Y v´arhat´o ´ert´eke: M (Y ) = M (α0 + α1 x) = M (α0 ) + M (α1 )x = a0 + a1 x.
7
(13)
Teh´at Y torz´ıtatlan becsl´ese a kalibr´ aci´os egyenesnek. Y sz´or´asa, felhaszn´alva a (10)-es egyenletet: D2 (Y ) = D2 (α0 + α1 x) = D2 (¯ η − α1 x ¯ + α1 x) = D2 η¯ + α1 (x − x ¯) . (14) Mivel η¯ ´es α1 egym´ ast´ ol f¨ uggetlen v´ altoz´ok: D2 η¯ + α1 (x − x ¯) = D2 η¯ + D2 α1 (x − x ¯) .
(15)
Az ´atlag sz´ or´ asn´egyzete sz´ amolhat´ o az eredeti sz´or´asn´egyzetb˝ol, valamint a sz´or´asn´egyzetb˝ ol a konstansok n´egyzetesen kiemelhet˝ ok: σ2 + (x − x ¯)2 D2 α1 D2 η¯ + D2 α1 (x − x ¯) = N
(16)
D2 α1 a (9)-es egyenlet alapj´ an: D 2 α1 = D 2
! P P (xi − x ¯)2 D2 ηi ηi (xi − x ¯) σ2 P P = = P 2 (xi − x ¯ )2 (xi − x ¯)2 (xi − x ¯)2
(17)
Itt a m´asodik egyenl˝ os´eg az´ert igaz, mert az xi mennyis´egek hibamentesek, azokat pontosan ismerj¨ uk a kalibr´ aci´ o sor´ an. Ezzel a kalibr´aci´os egyenes sz´or´asn´egyzete: D2 (Y ) =
σ2 σ2 + (x − x ¯)2 P . N (xi − x ¯)2
Ebb˝ol a sz´or´ as:
s D(Y ) = σ
(x − x ¯)2 1 +P . N (xi − x ¯ )2
Ezzel a konfidencias´ av sugara a kalibr´ aci´os egyenes egy adott x pontja k¨or¨ ul: s (x − x ¯ )2 1 +P r(x) = λst σ . N (xi − x ¯)2
(18)
(19)
(20)
Teh´at ¨osszefoglalva, a konfidencia s´ av az Y (x) = α0 + α1 x egyenes k¨or¨ ul egy olyan s´av mely egy adott x ˜ pontban az Y (˜ x) pont f¨ ol¨ott ´es alatt r(˜ x) t´avols´agra van, ´es az a0 + a1 x egyenes p val´osz´ın˝ us´eggel ebben a s´ avban helyezkedik el. Gondoljuk meg, hogy amikor x = x ¯ akkor a s´ av a legsz˝ ukebb, hiszen sugara r(¯ x) = λst √σN . Ha pedig x ¯-t´ol t´avolodunk, akkor az r(x) sug´ar n˝o. A konfidencias´ av kisz´ am´ıt´ as´ anak l´ ep´ esei 1. Az [xi , ηi ]N er´esi sorozat x ¯ ´es η¯ ´atlagainak kisz´am´ıt´asa, valamint az α0 ´es α1 egy¨ utti=1 adott m´ hat´ok meghat´ aroz´ asa a (10) ´es (9) k´epletek seg´ıts´eg´evel. P 2 2. A marad´ek sz´ or´ as kisz´ am´ıt´ asa: s∗2 = N 1−2 N epletben j=1 (ηj − α0 − α1 xj ) . Ekkor a (20)-as k´ ∗ szerepl˝ o σ s -gal k¨ ozel´ıthet˝ o. 3. p val´osz´ın˝ us´egi szint megv´ alaszt´ asa (´altal´aban p = 0, 95).
8
6. ´ abra. A konfidencias´av meghat´aroz´asa.
4. p ´es N ismeret´eben λst meghat´ arozhat´o. Figyelem, Excel-ben λst N − 1 ´es 1 − p ´ert´ekekkel sz´amoland´ o. 5. A m´er´esi tartom´ anyban x ´ert´ekekhez r(x) sug´ar sz´amolhat´o a (20)-as k´eplettel. Ekkor az als´ o ´es fels˝o hat´ arok (diszkr´et pontokban): • als´ o hat´ ar: α0 + α1 x − r(x) • fels˝ o hat´ ar: α0 + α1 x + r(x) A konfidencias´ av haszn´ alata M´er´es sor´an a hib´ aval terhelt ηm -et tudjuk, ehhez szeretn´enk xm -et ´es hibakorl´atot meghat´arozni. ´ Teh´at ´eppen ford´ıtva kell elj´ arnunk. Altal´ aban a konfidencias´av fels˝o hat´ar´ara egy m´asodfok´ u g¨orb´et illesztve, a g¨ orbe egyenlet´eb˝ ol ηm ismeret´eben xm kifejezhet˝o. A m´er´esi gyakorlaton haszn´ alt m˝ uszerek-eszk¨ oz¨ ok ”j´ o” berendez´esek, ez´ert a gyakorlaton sz´amolt konfidencia s´av sz˝ uk lehet. ´ azol´ashoz lehet pl. λst -t n¨ Abr´ ovelni (p val´osz´ın˝ us´eg n¨ovel´es´evel) vagy a diagramunkat felnagy´ıtani. Megjegyezz¨ uk, hogy ha az α0 ´es α1 egy¨ utthat´okkal meghat´arozott egyenes meredeks´ege kicsi (vagyis az egyenes lapos), akkor kicsi η v´altoz´asokhoz nagy x ´ert´ekbeli v´altoz´as tartozik, ´ıgy pontos m´er´es eset´en is lehet az eredm´eny pontatlan. A meredeks´eget szok´as az elektronik´aban er˝ os´ıt´esnek nevezni.
2. Fourier-sor, Fourier-transzform´ aci´ o, spektrum Kor´abbi tanulm´ anyainkb´ ol tudjuk, hogy az x(t) jel Fourier-sorba fejthet˝o, ha • periodikus T peri´ odusid˝ ovel • T -n l´etezik a Riemann integr´ alja, vagyis
R T
x(t)dt < ∞.
9
7. ´ abra. A konfidencias´av haszn´alata.
Ekkor x(t) Fourier-sora: x(t) = a0 +
∞ X
ak cos(kω0 t) + bk sin(kω0 t)
(21)
k=1
ahol ω0 = 2π orfrekvencia ´es f0 = T a k¨ adhat´ok meg:
1 T
a frekvencia. Az egy¨ utthat´ok a k¨ovetkez˝o integr´alokkal
Z 1 T a0 = x(t)dt T 0 Z 2 T x(t) cos(kω0 t)dt ak = T 0 Z 2 T bk = x(t) sin(kω0 t)dt T 0
(22) (23) (24)
A Fourier-sor komplex alakja - Fourier transzform´ aci´ o A komplex sz´ ams´ıkon az exponenci´ alis f¨ uggv´eny ´es a trigonometrikus f¨ uggv´enyek k¨oz¨ott a k¨ovetkez˝ o kapcsolat ´all fenn: eikω0 t = cos(kω0 t) + i sin(kω0 t), (25) e−ikω0 t = cos(kω0 t) − i sin(kω0 t).
(26)
Ez az u ´gynevezett Euler-f´ele ¨ osszef¨ ugg´es. Ezekb˝ol cos(kω0 t)-t ´es sin(kω0 t)-t kifejezve, majd (21)-be be´ırva kapjuk: +∞ X x(t) = ck eikω0 t , (27) k=−∞
10
ahol
1 ck = (ak − ibk ). (28) 2 Hab´ar (27) komplex kifejez´es, az ¨ osszegz´es sor´an az imagin´arius tagoknak ki kell esni¨ uk, hiszen x(t) val´os jel. Megjegyezz¨ uk tov´ abb´ a, hogy a fenti v´egtelen sor puszt´an form´alis kifejez´es, amely nagy m´ert´ekben megk¨ onny´ıti a sz´ amol´ asokat, viszont semmif´ele fizikai tartalma nincsen. A Fourier-transzform´ aci´ o bevezet´es´ehez tov´abbi ´atalak´ıt´asokat kell v´egezn¨ unk. A ck egy¨ utthat´ o ak ´es bk egy¨ utthat´ ok defin´ıci´ oj´ at felhaszn´alva a k¨ovetkez˝o alakba ´ırhat´o: Z Z 1 T 1 T ck = x(t) cos(kω0 t)dt − i x(t) sin(kω0 t)dt. (29) T 0 T 0 Amely az Euler-formul´ at felhaszn´ alva: ck =
1 T
T
Z
x(t)e−ikω0 t dt
(30)
0
Ha az x(t) f¨ uggv´eny nem periodikus, hanem T −→ ∞, ekkor ∆ω := ω0 = 2π uk fel T −→ 0. Tegy¨ tov´abb´a, hogy az ω := kω0 szorzat v´eges. A fenti jel¨ol´esek mellett (27) a k¨ovetkez˝o alakban ´ırhat´ o: Z T +∞ X iωt 1 x(t) = e x(t)e−iωt dt, (31) T 0 k=−∞
Innen az x(t) jel Fourier-transzform´ altja: Z F (ω) =
T
x(t)e−iωt dt,
(32)
0
Felhaszn´alva, hogy
1 T
=
∆ω 2π ,
(31) ´ıgy ´ırhat´o: +∞ 1 X iωt x(t) = e F (ω)∆ω, 2π
(33)
k=−∞
Melyb˝ol T −→ ∞ hat´ ar´ atmenettel kapjuk az x(t) jel inverz Fourier-transzform´ altj´ at: Z ∞ 1 eiωt F (ω)dω, x(t) = 2π −∞
(34)
A Fourier transzform´ alt komplex ´ert´ek˝ u f¨ uggv´eny, teh´at egy ω helyen F (ω) = a(ω) + b(ω)i = |F (w)|eϕ(ω)i , ahol a ´es b val´ os ´ert´ek˝ u f¨ uggv´enyek, ϕ(ω) az F (ω) komplex sz´am f´azisa (sz¨oge). Az x(t) jel amplit´ ud´ o- ´es f´ azis-spektruma megkaphat´o F (ω) hossz´ab´ol ´es f´azis´ab´ol: • |F (w)| az amplit´ ud´ o spektrum, • ϕ(ω) a f´ azis-spektrum. Periodikus ¨ osszetev˝ okb˝ ol ´ all´ o x(t) jelek amplit´ ud´o-spektruma vonalas spektrum. Tekints¨ uk p´eld´aul az x(t) = A sin(ω0 t) f¨ uggv´eny egy peri´odus´at. Ha a megfigyelt jel nem periodikus, p´eld´ aul valamilyen zaj terheli, akkor az amplit´ ud´o-spektrum ω-ban m´ar folytonos spektrum lesz. Fizikai jelens´egek t¨obbs´eg´en´el a spektrum egy id˝o ut´an azonosan 0. Eml´ekezz¨ unk vissza, hogy ez ´epp azt jelenti, hogy a jel¨ unk s´ avkorl´ atozott. A m´ert jelek ´altal´aban determinisztikus r´eszb˝ol ´es zajb´ ol ´allnak ¨ossze. Ha a jel spektruma olyan, hogy a periodikus komponensek ´es a zaj sz´etv´alnak, akkor sz˝ ur´essel elt´ avol´ıthat´ o a zaj (l´ asd 4. fejezet).
11
2.1. Periodikus jelek feldolgoz´ asa Diszkr´ et Fourier-transzform´ aci´ o (DFT) Tekints¨ uk az x(t) jelet, melyet fmv mintav´etelez´esi frekvenci´aval, ∆t = 1/fmv id˝ok¨oz¨onk´ent mintav´etelez¨ unk. Legyen a megfigyel´es hossza T ´es a megfigyel´esi id˝opontok 0, ∆t, 2∆t, . . . , k∆t = tk . Tegy¨ uk fel, hogy p´ aratlan sz´ am´ u, azaz 2n − 1 darab megfigyel´es¨ unk van (ez az´ert fontos, hogy a megfigyel´eseket meg lehessen felezni). A Fourier sorba fejt´es alapfrekvenci´aja (frekvenciafelbont´ asa) legyen ∆f = 1/T , ´es a j. frekvencia fj = j∆f . A fenti jel¨ ol´esek mellett a digitaliz´ alt Fourier-transzform´alt integr´al-k¨ozel´ıt˝o ¨osszege: F (fj ) = Fj '
2n−1 X
x(k∆t)e−i2πfj tk ∆t,
(35)
k=0
Alak´ıtsuk ´at a kitev˝ oben l´ev˝ o kifejez´est: iπ 1 T = jk. i2πfj tk = i2πj∆f k∆t = i2πj k T 2n n Legyen tov´abb´ a iπ
W = e− n
´es x(k∆t) = xk .
Ezzel diszkr´et Fourier-transzform´ alt: Fj ' ∆t
2n−1 X
xk W jk ,
(36)
k=0
W el˝onye, hogy nem f¨ ugg a jelt˝ ol, ´es ´ert´ekei egy f˝o´atl´oj´ara szimmetrikus m´atrixba ´ırhat´ok. j\k 0 1 2 3 .. .
0 1 1 1 1 .. .
1 1 W W2 W3 .. .
2 1 W2 W4 W6 .. .
3 1 W3 W6 W9 .. .
... ... ... ... ... .. .
iπ
1. t´ abl´ azat. A W = e− n hatv´anyainak m´atrixa. W hatv´anyinak tulajdons´ agai: iπ
1. W −n = e n n = eiπ = −1, 2k 2. W −n = 1, 3. ha j > n (vagyis a f´elfrekvencia feletti ´ert´ekekre), akkor W j−n = W j W −n = −W j , 4. W 2k(j−n) = W 2kj−2kn = W 2kj . Mennyi a diszkr´et Fourier-transzform´alt el˝o´all´ıt´as´anak m˝ uveletig´enye? Egy darab Fj kisz´am´ıt´ as´ ahoz, 2n szorz´asra majd 2n − 1 ¨ osszead´ asra, v´eg¨ ul m´eg egy szorz´asra van sz¨ uks´eg. Ez ¨osszesen 2n + 2n − ¨ 1 + 1 = 4n darab m˝ uvelet. Osszesen 2n darab Fj van, ´ıgy a DFT m˝ uveletig´enye 2n ∗ 4n = 8n2 .
12
Gyors Fourier-transzform´ aci´ o (FFT) W hatv´anyainak tulajdons´ agaib´ ol m´ ar j´ol l´atszik, hogy a Fourier-transzform´althoz nem sz¨ uks´eges minden egy¨ utthat´ ot kisz´ amolni, hiszen sok megegyezik. A gyors Fourier-transzform´alt ¨otlete abban rejlik, hogy az egy¨ utthat´ okat csak a f´el frekvenci´aig sz´amoljuk ki, ut´ana felhaszn´aljuk az el˝oz˝ oeket, ezzel l´enyegesen lecs¨ okkentve a m˝ uveletig´enyt. V´alasszuk k¨ ul¨ on a p´ aros ´es p´ aratlan sz´am´ u megfigyel´eseket. A p´aros megfigyel´eseket jel¨ olje 0 00 aratlanokat pedig xk = x2k+1 (k = 0, 1, . . . , n − 1). Ekkor a p´aros tagokra a diszkr´et xk = x2k , a p´ Fourier-transzform´ alt: n−1 X 00 00 Fj = ∆t xk W 2jk . (37) k=0
A p´aratlan tagok´e, felhaszn´ alva, hogy W j(2k+1) = W j W 2kj : 0∗
Fj = ∆t
n−1 X
0
xk W
j(2k+1)
= ∆tW
j
k=0
n−1 X
0
xk W 2kj .
(38)
k=0
Legyen 0
Fj = ∆t
n−1 X
0
xk W 2kj ,
(39)
k=0
Ezzel (36) ´ıgy ´ırhat´ o:
00
0
F (fj ) = Fj + W j Fj ,
(40)
Gondoljuk meg, hogy ha j > n, vagyis a f´el frekvencia feletti tagokra a k¨ovetkez˝ok igazak: 00
00
0
0
• Fj = Fj−n , W 4. tulajdons´ aga miatt, ∗ , W 3. tulajdons´ • Fj ∗ = Fj−n aga miatt.
Ezekb˝ol pedig r¨ ogt¨ on k¨ ovetkezik, hogy j > n-re 00
0
Fj−n = Fj − W j Fj ,
(41)
valamint az egy¨ utthat´ okat el´eg n-ig kisz´amolni, majd onnant´ol azokat u ´jra fel lehet haszn´alni. 0 00 A gyors Fourier-transzform´ alt eset´en egy Fj ´es Fj kisz´am´ıt´as´ahoz 2n + (2n − 1) + 1 = 4n darab m˝ uvelet sz¨ uks´eges, majd F (fj )-hez m´eg egy darab szorz´asra ´es egy darab ¨osszead´asra, ez ¨osszesen 4n + 2 m˝ uvelet. Ezeket a m˝ uveleteket el´eg j < n-ig kisz´am´ıtani, vagyis a f´elfrekvenci´ aig n(4n+2) = 4n2 +2n m˝ uveletre van sz¨ uks´eg. A f´elfrekvenci´an t´ ul m´ar fel lehet haszn´alni a kor´abban 0 00 meghat´arozott Fj ´es Fj ´ert´ekeket, ´ıgy csak egy szorz´ast ´es egy kivon´ast kell elv´egezni, ami a marad´ek n darab F (fj )-re 2n m˝ uvelet. Ezzel az ¨osszes elv´egzend˝o m˝ uveletek sz´ama 4n2 +2n+2n = 2 4n + 4n. L´athat´o, hogy a FFT eset´eben a m˝ uveletig´eny l´enyegesen lecs¨okkent a DFT-hez k´epest. S˝ ot, tov´abbi felez´esekkel a m˝ uveletig´eny tov´ abb cs¨okkenthet˝o, ez´ert is ´erdemes 2N elem˝ u mintav´etelez´est csin´alni. Megjegyezz¨ uk, hogy az Excel ´eppen ez´ert tudja csak egy 2n elem˝ u sz´amsor Fouriertranszform´altj´ at kisz´ am´ıtani.
13
Ablakoz´ as A gyakorlatban legt¨ obbsz¨ or a megfigyelt x(t) jel nem periodikus, ´es −∞ < t < ∞ is lehet. S˝ ot a m´er´es¨ unk biztosan v´eges idej˝ u. M´ ar eml´ıtett¨ uk, hogy az a szok´as, hogy a T ideig megfigyelt jelet t¨obbsz¨or egym´ as mell´e t´eve szok´ as periodikuss´a tenni azt. Ezzel viszont az a probl´ema, hogy a kT id˝opontokban a jel szakad´ asos lehet. Ennek a probl´em´anak a kezel´es´ere szok´as u ´gynevezett ablakoz´ ast alkalmazni. Ekkor egy adott w(t) f¨ uggv´ennyel szorozzuk meg az x(t) megfigyelt jel¨ unket ´es azt vizsg´aljuk. A w(t) f¨ uggv´eny olyan, hogy a m´er´esi tartom´anyunkon k´ıv¨ ul minden¨ utt 0 (8. ´ abra, bal oldal, piros g¨ orbe). A legegyszer˝ ubb ilyen ablak: ( 1 ha t ∈ [0, T ] w(t) = 0 k¨ ul¨onben.
w(t) ablak
Hann-féle ablak
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0 -1
0 0
1
2
3
4
5
6
-1
0
-0,5
-0,5
-1
-1
-1,5
-1,5
1
2
3
4
5
6
8. ´ abra. Bal oldalon a w(t) ablak, jobb oldalon a Hann-f´ele ablak l´athat´o. Amikor x(0) 6= x(T ), ezzel a w(t) f¨ uggv´ennyel vett szorzat nem seg´ıt. A Hann-f´ele ablak mesters´egesen elnyomja ezt a szakad´ ast (8. ´abra, jobb oldal, piros g¨orbe.): ( 1 (1 − cos( 2π T t)) ha t ∈ [0, T ] w(t) = 2 0 k¨ ul¨onben. Sz´amos m´ as ablak is ismeretes, l´ asd pl. [1] ´es [3] javasolt irodalomban, ahol megtal´alhat´ ok az ablakok konstrukci´ oj´ anak ´es alkalmaz´ as´anak szempontjai is. Nem szabad elfelejteni, hogy ablak alkalmaz´as´aval nem az x(t) jel, hanem az x(t)*w(t) szorzat Fourier transzform´altj´at k´epezz¨ uk, ennek hat´asair´ ol is az eml´ıtett irodalmakb´ol lehet t´aj´ekoz´odni. Ugyanez a helyzet, ha v´eges T hossz´ us´ag´ u jel Fourier transzform´ altj´ at k´epezz¨ uk, ekkor ”der´eksz¨og˝ u” ablakkal v´agtuk ki a jelet. A k¨ovetkez˝ o p´elda mutatja az ablaktechnika hat´asoss´ag´at. Legyen a vizsg´aland´o jel: x(t) = a1 sin(2πf1 t) + a3 sin(2πf3 t) A v´alasztott param´eterek: a1 = 1 [V]; a3 = 0.0001 [V]; f1 = 23 [Hz]; f3 = 200 [Hz]; fmv = 1000 [Hz]; T = 0.3 [s]. Vagyis az els˝ o ”szinusz”-ra rak´od´o m´asodik jelr´esz frekvenci´aja egy nagys´agrenddel
14
nagyobb, mint az els˝ o jelr´esz frekvenci´ aja, ´es amplit´ ud´oja n´egy nagys´agrenddel kisebb. A jel grafikonja a 9. ´abra bal oldal´ an l´ athat´ o, ez a der´eksz¨og˝ u ablakkal kiv´agott jel. A Hann ablakkal kiv´ agott jel l´athat´o 10. ´ abra bal oldal´ an. A der´eksz¨og˝ u ablakkal kiv´agott jel spektrum´aban nem ismerhet˝ o fel a m´asodik komponens (9. ´ abra jobb, oldal), de a Hann ablak alkalmaz´asa megmutatja ezt is (10. ´abra, jobb oldal) .
9. ´ abra. Der´eksz¨ og˝ u ablakkal kiv´agott jel ´es spektruma.
10. ´ abra. Hann ablakkal kiv´agott jel ´es spektruma.
3. Stacion´ arius jelek kezel´ ese Az id˝oben lezajl´ o folyamat mindig egy determinisztikus r´eszb˝ol ´es egy torz´ıt´o zajb´ol tev˝odik ¨ ossze, melyeket nem lehet megk¨ ul¨ onb¨ oztetni. A zaj egyr´eszt ad´odhat a folyamatb´ol (pl. ´araml´astani folyamatokn´ al ¨ orv´enyek v´ alhatnak le, turbulens ´araml´as alakulhat ki), vagy a m˝ uszerek elektronik´aj´ab´ol. Az id˝ oben megfigyelt η(t) jel teh´at ´all egy x(t) a determinisztikus jelb˝ol, ´es egy ε(t) a zajb´ol: η(t) = x(t) + ε(t). (42) η(t) maga is val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ o, ami nem csak a v´eletlent˝ol, de az id˝ot˝ol is f¨ ugg, ε(t) zaj norm´ alis ´ eloszl´as´ u. Igy teh´ at a folyamatot t¨ obbsz¨or megm´erve nem mindig ugyanazt az eredm´enyt kapjuk, hanem k¨ ul¨onb¨ oz˝ o η1 , η2 , . . . m´er´eseket, melyek mind ugyanabb´ol az x(t) determinisztikus jelb˝ ol ´es egy ε(t) zajb´ ol ´ allnak, ´es a folyamat realiz´ aci´ oj´ anak nevezz¨ uk ˝oket.
15
11. ´abra.
Tekints¨ unk most egy t1 id˝ opontban vett keresztir´any´ u metszetet. Legyen az ekkor megfigyelt ´ert´ekek vektora η(t1 ) = [η1 (t1 ), η2 (t1 ), . . . , ηn (t1 )], η(t1 )-et perem val´ osz´ın˝ us´ egi v´ altoz´ onak nevezz¨ uk. η(t1 ) s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye szint´en id˝of¨ ugg˝o: f (z, t1 ), amely val´oj´aban f (z, t), ennek kezel´ese igen bonyolult ´es neh´ez, ez´ert k´et fontos egyszer˝ us´ıt´est tesz¨ unk: 1. Legyen a folyamat stacion´ arius. A stacionarit´as azt jelenti, hogy a jel statisztikai jellemz˝ oi (legal´abb a v´ arhat´ o ´ert´eke ´es a sz´or´asa) id˝oben ne v´altozzanak. Term´eszetesen ez nem azt jelenti, hogy maga a jel id˝ ot˝ ol f¨ uggetlen (a stacionarit´as elvi ellen˝orz´ese neh´ez feladat, l´ asd a 2. pont ut´ ani megjegyz´est). A stacionarit´ashoz sz¨ uks´eges, hogy a jel determinisztikus r´esze ne legyen id˝ of¨ ugg˝ o. Ha azt l´ atjuk, hogy x(t) id˝of¨ ugg˝o, akkor ennek becsl´es´et vonjuk ki a jelb˝ ol: P´eld´aul legyen x(t)-re a becsl´es¨ unk x ˜(t) ´es η ∗ (t) = η(t) − x ˜(t), ekkor ha j´o a becsl´es¨ unk M (η ∗ (t)) = 0 kell legyen. 2. Legyen a folyamat ergodikus, vagyis feltessz¨ uk, hogy az id˝o ir´any´ u v´altoz´asb´ol megkaphat´ o a keresztir´ any´ u v´ altoz´ as. Ekkor egyetlen realiz´aci´o is elegend˝o. Ha egy folyamat ergodikus, akkor stacion´ arius, ´es a v´ arhat´ o ´ert´ek´ere fenn´all: Z
+∞
M (η) = −∞
1 zf (z)dz = lim t→∞ T
Z
T
η(t)dt.
(43)
0
Vagyis a sokas´ ag ´ atlaga megegyezik az id˝o´atlaggal. A stacionarit´ as ´es ergodicit´ as ellen˝orz´ese neh´ez feladat, sokszor nem is tudjuk elv´egezni. Ha a jelet ”elegend˝ oen” hossz´ u T ideig meg tudjuk figyelni, akkor szeletekre v´aghatjuk. A szeletek egym´ast´ol f¨ uggetlen megfigyel´eseknek tekinthet˝ok, ´ıgy az ´atlag ´es a tapasztalati sz´or´as ´alland´ os´ aga statisztikai m´ odszerekkel (pl. pr´ ob´ akkal) vizsg´alhat´o.
16
12. ´abra.
V´ arhat´ o´ ert´ ek becsl´ ese ergodikus folyamatok eset´ eben Egyenk¨oz˝ u mintav´etelez´es eset´en T = n∆t, ekkor az η(t) ergodikus folyamat v´arhat´o ´ert´ek´enek becsl´ese: Z n 1 T 1X M (η) = lim η(t)dt ' ηi ∆t. (44) t→∞ T 0 T i=1
Ebb˝ol pedig
n
1X M (η) = ηi . n
(45)
i=1
Vagyis a v´arhat´ o ´ert´ek az ´ atlaggal becs¨ ulhet˝o. A s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny becsl´ ese ergodikus folyamatok eset´ eben Mivel az ε(t) zaj feltehet˝ o, hogy norm´ alis eloszl´as´ u, ez´ert, ha x ˜(t) j´o becsl´es, akkor η ∗ (t) is norm´ alis eloszl´as´ u kell legyen. Tekints¨ unk egy η(t) realiz´ aci´ ot. Becs¨ ulj¨ uk meg a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et! Kor´abbi tanulm´anyainkb´ ol tudjuk, hogy a v´ altoz´ o intervallumba es´es´enek val´osz´ın˝ us´ege becs¨ ulhet˝o a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny ´es az intervallum hossz´ anak szorzat´ ab´ ol. Vagyis, ha f (z)-vel jel¨olj¨ uk a s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enyt, akkor f (z)∆z ' P (η ∈ ∆z). Mivel a val´osz´ın˝ us´eg becs¨ ulhet˝ o a relat´ıv gyakoris´aggal, ez´ert X ∆τi , ahol η(∆τi ) ∈ ∆z. f (z)∆z ' T ∆t egyenk¨oz˝ u mintav´etelez´es eset´en ∆τi = ki ∆t, ezzel f (z)∆z '
X ∆τi T
=
∆t(k1 + k2 + . . .) ∆t(k1 + k2 + . . .) ν = = , T n∆t n
17
13. ´abra.
ahol ν = k1 + k2 + . . . a ∆z intervallumba es´es gyakoris´aga. Teh´at f (z) '
ν . n∆z
(46)
f (z) neve amplit´ ud´ o s˝ ur˝ us´ egf¨ uggv´ eny, hiszen az amplit´ ud´okb´ol hoztuk l´etre. P´elda: A jobb meg´ert´es ´erdek´eben tekints¨ uk az x(t) = A sin(2πf0 t) f¨ uggv´enyt, ahol f0 = 1/T a frekvencia, ´es sz´ am´ıtsuk ki az amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´et: P τi 2∆t 2 1 f (x)∆x = = ⇒ f (x) = ∆x T T T ∆t ∆x → 0 ´es ∆t → 0 hat´ ar´ atmenettel f (x) = Sz´am´ıtsuk ki
dx dt
2 1 . T dx dt
deriv´ altat: dx = A2πf0 cos(2πf0 t). dt
Kihaszn´alva, hogy sin2 (2πf0 t) + cos2 (2πf0 t) = 1 q cos(2πf0 t) = 1 − sin2 (2πf0 t). ´ ezzel Es
r q p dx x2 = A2πf0 1 − sin2 (2πf0 t) = A2πf0 1 − 2 = 2πf0 A2 − x2 . dt A Teh´at a keresett s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny: f (x) =
2 1 1 √ = √ . T 2πf0 A2 − x2 π A2 − x 2
Ha a jelet m´eg valamilyen norm´ alis eloszl´as´ u zaj is terheli, akkor az ¨osszeg s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a´ltal´aban egy ”k´et p´ up´ u” s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny. Teh´at a m´ert jel s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´enek alakj´ab´ol lehet k¨ovetkeztetni a determinisztikus jelre.
18
x(t)=2sin(2πft)
f(x) amplitúdó sűrűségfüggvény 2,5
2,5 2 2 1,5
1,5 1 1
0,5
0,5
0
0
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
3,5
4
4,5
5
0
-0,5
0,5
1
1,5
2
2,5
-0,5
-1 -1 -1,5 -1,5 -2 -2 -2,5 -2,5
14. ´ abra. Az x(t) = A sin(2πf0 t) ´es f (x) =
√ 1 π A2 −x2
amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
15. ´ abra. A sinusz f¨ uggv´eny zaj n´elk¨ ul ´es amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
16. ´ abra. A sinusz f¨ uggv´eny zajjal ´es amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
P´elda: Tekints¨ uk a x(t) = A sin(ωt + φ) + ε(t) f¨ uggv´enyt, ahol ε(t) v´eletlen zaj. A 15.-19 ´ abr´ ak mutatj´ak, hogy hogyan v´ altozik x(t) amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye a zaj m´ert´ek´et n¨ovelve. J´ ol megfigyelhet˝ o, hogy min´el nagyobb a zaj m´ert´eke, az eredeti szinuszos jel ann´al kev´esb´e vehet˝ o ki a jobb oldali ´ abr´ akon, valamint az amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny egyre jobban hasonl´ıt egy norm´ alis eloszl´as´ u v´altoz´ o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´eny´ehez.
19
17. ´ abra. A sinusz f¨ uggv´eny zajjal ´es amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
18. ´ abra. A sinusz f¨ uggv´eny zajjal ´es amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
19. ´ abra. A sinusz f¨ uggv´eny zajjal ´es amplit´ ud´o s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye
Autokorrel´ aci´ o´ es keresztkorrel´ aci´ o ergodikus jelek eset´ eben Eml´ekeztet˝o: A ξ ´es η val´ osz´ın˝ us´egi v´ altoz´ok korrel´aci´os egy¨ utthat´oja: M [ξ − M (ξ)][η − M (η)] 2 % (ξ, η) = , σξ ση
(47)
amely azt mondja meg, hogy van-e a k´et v´altoz´o k¨oz¨ott line´aris kapcsolat. A fenti k´eplet sz´aml´al´ oj´ aban lev˝o kifejez´es a kovariancia.
20
Legyen most ξ(t) ´es η(t) ergodikus folyamatok, ´es M (ξ) = M (η) = 0. Ekkor a keresztkorrel´ aci´ os f¨ uggv´ eny¨ uk: Z +∞ ξ(t)η(t + τ )dt. (48) Cξ,η (τ ) = 0
Bizony´ıthat´o, hogy ergodikus folyamatok eset´eben a keresztkorrel´aci´os f¨ uggv´eny csakis az eltol´ ast´ ol f¨ ugg. A f¨ uggv´enyt a gyakorlatban tipikusan cs˝oben ´araml´o szemcs´ek sebess´eg´enek meg´allap´ıt´ as´ ara haszn´alj´ak. Tekints¨ unk egy cs¨ ovet melyben nagy sebess´eg˝ u leveg˝o ´aramlik, ´es sz´orjunk bele valamilyen szemcs´eket. K´erd´es, hogy mennyi id˝o alatt jutnak el a szemcs´ek a cs˝o 1-es pontj´ab´ ol a 2-esbe, melyek L t´ avols´ agra helyezkednek el egym´ast´ol. Tegy¨ unk egy-egy indukt´ıv ´erz´ekel˝ ot az 1-es ´es 2-es pontokba, melyeknek fesz¨ ults´egjele legyen rendre ξ(t) ´es η(t). Ahol Cξ,η (τ ) maxim´ alis, legyen ez Cξ,η (τ ∗ ), az lesz az L t´ avols´ ag megt´etel´ehez sz¨ uks´eges id˝o. Ha a keresztkorrel´ aci´ os f¨ uggv´enyt nem kett˝o, hanem egy v´altoz´ora ´ırjuk fel, akkor kapjuk az autokorrel´ aci´ os f¨ uggv´ enyt: Z +∞ Cξ,ξ (τ ) = ξ(t)ξ(t + τ )dt. (49) 0
Az autokorrel´ aci´ os f¨ uggv´eny periodikusnak t˝ un˝o f¨ uggv´enyek peri´odusidej´enek meghat´aroz´ as´ ara val´o. P´elda: Legyen x(t) egy m´ asodrend˝ u m´er˝orendszer v´alasza ugr´asf¨ uggv´eny bemenetre. Keress¨ uk a saj´atleng´es frekvenci´ aj´ at.
20. ´ abra. x(t) f¨ uggv´eny ´es spektruma.
Az autokorrel´ aci´ os f¨ uggv´eny els˝ o maximuma a T = 20 [s] helyen van, vagyis a saj´atfrekvencia f = 1/T = 0, 05 [Hz].
4. Sz˝ ur´ es (g´ ep´ esz hallgat´ oknak) A k¨ovetkez˝okben arr´ ol lesz sz´ o, hogy hogyan lehet kezelni az elt´arolt zajos jelet. Sz˝ ur´es sor´ an egy bemen˝ o x(t) jelet (gerjeszt´est) egy F filter kimen˝o (v´ alasz ) y(t) jell´e alak´ıt. A filter vagy egy adott frekvenciatartom´anyb´ol a nagy frekvenci´as r´eszeket, vagy egy adott frekvencias´avot tart meg vagy sz˝ ur ki. Vizsg´aljuk meg, hogy hogyan viselkedhet egy sz˝ ur˝o, honnan tudhatjuk, hogy egy adott v´ alaszb´ ol milyen gerjeszt´esre lehet k¨ovetkeztetni.
21
21. ´ abra. Az autokorrel´aci´os f¨ uggv´eny
Sz˝ ur˝ ovizsg´ alat Legyen F sz˝ ur˝ o ´es tegy¨ uk fel, hogy egy speci´alis x0 (t) gerjeszt´esre ismerj¨ uk az y0 (t) v´alasz´at. Ekkor tetsz˝oleges x(t) bemen˝ o jel eset´en ki szeretn´enk tudni sz´am´ıtani az y(t) kimen˝o jelet. A speci´ alis jel lehet az ugr´ as f¨ uggv´eny vagy a Dirac delta. Vizsg´aljuk meg mi t¨ort´enik a Dirac delta bemen˝ o jel eset´en. Eml´ekeztet˝ o: a δ(t) Dirac delta f¨ uggv´enyt u ´gy kapjuk, hogy vessz¨ uk az orig´oba helyezett ∆(t) sz´eless´eg˝ u 1 ter¨ ulet˝ u t´eglalapot, ekkor a t´eglalap magass´aga δ(t, ∆(t)). Ha ∆(t) → 0, akkor δ(t) → +∞. Ha az orig´ ot a t0 pontba toljuk, akkor δ(t − t0 ). Tegy¨ uk fel, hogy az F sz˝ ur˝ o line´ aris ´es invari´ans, vagyis • gerjeszt´esek line´ aris kombin´ aci´ oj´ ara a v´alaszf¨ uggv´eny, a v´alaszok line´aris kombin´aci´oja. • a jellemz˝ ok id˝ oben nem v´ altoznak. Tegy¨ uk fel tov´ abb´ a, hogy ismerj¨ uk F v´alasz´at a δ(t) gerjeszt´esre, legyen ez w(t), ´es δ(t − t0 )-ra a v´alasz w(t − t0 ). Ekkor m´ as tetsz˝ oleges x(t) bemen˝o jelre a v´alasz a k¨ovetkez˝ok´eppen sz´amolhat´ o. Egyetlen impulzusra a v´ alasz x(τk )∆τ w(t − τk ), ez az ¨osszesre ¨ osszead´ odik: y(t) '
n X
x(τk )w(t − τk )∆τ .
k=0
∆τ → 0 hat´ ar´ atmenettel: Z
+∞
x(τ )w(t − τ )dτ .
y(t) =
(50)
0
y(t) ekkor az x(t) ´es w(t) f¨ uggv´enyek konvol´ uci´ oja, melyet ∗-gal szok´as jel¨olni: y(t) = x(t) ∗ w(t). Teh´at x(t) ´es w(t) ismeret´eben y(t) sz´ amolhat´o. Igaz a k¨ovetkez˝o ´all´ıt´as is, melyet nem bizony´ıtunk. Legyen Y (ω) = F (y(t)) X(ω) = F (x(t)) W (ω) = F (w(t))
22
22. ´abra.
Ekkor ha y(t) = x(t) ∗ w(t), akkor Y = XW . Vagyis ha y(t) el˝o´all az x(t) ´es w(t) f¨ uggv´enyek konvol´ uci´ojak´ent, akkor y(t) Fourier-transzform´altja el˝o´all az x(t) ´es w(t) Fourier-transzform´altjainak szorzatak´ent. ω ismeret´eben n´egyf´ele sz˝ ur˝ ot k¨ ul¨ onb¨oztet¨ unk meg. • Alul´atereszt˝ o sz˝ ur˝ o • Fel¨ ul´atereszt˝ o sz˝ ur˝ o • S´av´atereszt˝ o sz˝ ur˝ o • S´avkiz´ ar´ o sz˝ ur˝ o
23. ´abra. Bal oldalon az alul´ atereszt˝ o sz˝ ur˝o, jobb oldalon a fel¨ ul´atereszt˝o sz˝ ur˝o jellegg¨orb´eje l´athat´ o.
Ezek elm´eleti jelleg¨ orb´ej´et az 23-24. ´ abr´ak mutatj´ak. A megval´os´ıt´ashoz tekints¨ uk pl. az alul´atereszt˝ o sz˝ ur˝ot. A 0 ´es ωp k¨ oz¨ otti frekvenciatartom´anyt ´atereszti, majd megjelenik egy ´atmeneti tartom´ any, am´ıg el nem ´er¨ unk a ωc frekvenci´ ahoz melyen t´ ul m´ar a v´ag´asi tartom´any van. Megjegyezz¨ uk, hogy sz˝ ur´es csak akkor alkalmazhat´o, ha a determinisztikus ´es zajos jel frekvenciakomponensei k¨ ul¨ onv´ alnak. Ha nem ´ıgy van, akkor a v´ag´as sor´an nem lehet¨ unk biztosak abban,
23
24. ´abra. Bal oldalon az s´ av´ atereszt˝ o sz˝ ur˝o, jobb oldalon a s´avkiz´ar´o sz˝ ur˝o jellegg¨orb´eje l´athat´ o.
Szűrő karakterisztikák
abs(W) 1.2
1
0.8
Csebisev (3. rendű)
0.6
Butterworth (4. rendű)
0.4
0.2
W/WC
0 0
1
2
3
4
25. ´abra. Az ´ atmeneti tartom´ any bemutat´asa a Csbisev (k´ek), ´es a Butterworth (piros) karakterisztik´ak eset´en.
hogy val´oban a sz´ amunkra l´enyeges inform´aci´ot tartjuk meg ´es a l´enyegtelent v´agjuk le. A sz˝ ur´es akkor j´o, ha alakra ugyanolyan a v´ alasz jel, mint a bemen˝o jel. A sz˝ ur´es j´os´ag´anak ellen˝orz´es´ehez az al´abbi p´elda javasol m´ odszert. P´elda: Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o x(t) jelet: x(t) = 5 sin(4πt) + 2 sin(5 ∗ 4πt +
π ), 5
melyet egy v´eletlen ε(t) zaj terhel (26. ´abra bal oldala). A Csebisev sz˝ ur˝ovel megmaradt y(t) jel a 26. ´abra jobb oldal´ an l´ athat´ o. A sz˝ ur´es akkor j´ o, ha a x(t) − y(t) jel norm´alis eloszl´ast k¨ovet, ennek hisztogramja a 27. ´ abra bal oldal´an l´ athat´ o. J´ ol l´ atszik, hogy x(t) − y(t) norm´alis eloszl´ast k¨ovet, vagyis a sz˝ ur´es j´ onak mondhat´o, melyet a Ryan-Joiner teszttel ellen˝orizt¨ unk [8].
24
26. ´ abra. A zajjal terhelt x(t) f¨ uggv´eny, ´es a Csebisev sz˝ ur˝o ´altal meghagyott jel.
27. ´ abra. Az x(t) − y(t) jel s˝ ur˝ us´egf¨ uggv´enye.
´ 5. Atlagol´ asi elj´ ar´ asok Az ´atlagol´asi elj´ ar´ as ´ alland´ o zajos jelek illetve nem t´ ul nagy frekvenci´aj´ u jelek sim´ıt´as´ara haszn´alhat´ o. Legyen az n elem˝ u m´er´esi sorozatunk x0 , x1 , . . . , xn−1 , ezek ´atlag´aval becs¨ ulhet˝o xn : n−1
x bn =
1X xk , n
(51)
k=0
ahol x bn jel¨oli az xn becsl´es´et. Ezzel a m´odszerrel minden k¨ovetkez˝o becsl´eshez sz¨ uks´eg van az el˝oz˝o ¨osszes m´er´esi eredm´enyre, amely igen nagy t´arhelyet ig´enyel. Sz¨ uks´eg van teh´at egy rekurz´ıv formul´ara, amelyhez nem kell az egyre nagyobb n elem˝ u jelet t´arolni. x bn+1
n
n−1
k=0
k=0
1 1 X 1 n 1 X ' xk = xn + xk = xn + x bn , n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
(52)
az utols´o egyenl˝ os´egn´el felhaszn´ altuk az (51)-es egyenletet. Teh´at azt kaptuk, hogy x bn+1 el˝ o´ all a legut´obb m´ert ´es a kor´ abban becs¨ ult ´ert´ekek line´aris kombin´aci´oj´ab´ol. Az egyenletet tov´ abb alak´ıtva: 1 n 1 1 1 x bn+1 ' xn + x bn + x bn − x bn = x bn + xn − x bn , (53) n+1 n+1 n+1 n+1 n+1
25
Teh´at azt kaptuk, hogy 1 xn − x bn , (54) n+1 ahol a jobb oldalon ´ all´ o¨ osszeg els˝ o tagja a predikci´ o, m´asodik tagja pedig a korrekci´ o, a k´epletet pedig predikci´ os-korrekci´ os formul´ anak nevezik. Megjegyz´es: Az (54)-es formula egyl´ep´eses m´odszer, hiszen k = 1 l´ep´es becsl´es´ere alkalmas. A formula kiterjeszthet˝ o k > 1 t¨ obbl´ep´eses esetre is. k < 1 l´ep´es eset´en visszafel´e sim´ıtunk u ´gy, hogy figyelembe vessz¨ uk az el˝ ore becs¨ ult ´ert´ekeket is, ezt h´ıvj´ak ablakos sim´ıt´asnak (l´asd al´abb). Az (52)-es becsl´est m´ as s´ ulyokkal is el lehet v´egezni, ekkor exponenci´ alis ´ atlagol´ asr´ ol besz´el¨ unk. Legyen Q > 1, ezzel az (52)-es formula: x bn+1 = x bn +
x bn+1 =
1 Q−1 xn + x bn , Q Q
(55)
hasonl´o becsl´es ´ırhat´ o fel x bn -re is, amit be´ırva az el˝oz˝o k´epletbe: Q − 1 1 Q−1 1 1 1 1 2 1 xn−1 + x bn−1 = xn + 1− xn−1 + 1 − x bn−1 . (56) x bn+1 = xn + Q Q Q Q Q Q Q Q Tov´abb folytatva a sort kapjuk: 1 1 1 1 1 2 1 1 3 x bn+1 = xn + 1− xn−1 + 1− xn−2 + 1− xn−3 . . . Q Q Q Q Q Q Q
(57)
Ezt a becsl´est ”felejt˝ os” becsl´esnek is szok´as nevezni, mert az egyre kisebb index˝ u tagoknak egyre kisebb egy¨ utthat´ oi vannak. Becsl´es ablakokkal is v´egezhet˝ o, amikor az ´atlagol´ast nem az eg´esz adatsorra v´egezz¨ uk el, hanem csak azokra a tagokra melyek beleesnek az ablakba. Ekkor p´eld´aul egy N hossz´ u ablak eset´en x bn =
1 N
n−1 X
xk
(58)
k=n−N
Ha az ablak olyan, hogy mindig az ´eppen k¨oz´eps˝o pontot becs¨ ulj¨ uk, a k¨or¨ ul¨otte lev˝o elemek ´atlag´aval, akkor bels˝ o pontos sim´ıt´ asr´ ol van sz´o. Ekkor egy N hossz´ u ablak eset´en 1 x bj = N
j+ N 2−1
X
xk
(59)
k=j− N 2−1
A fenti 58 ´es 59 k´epletekben minden xk -nak azonos 1/N s´ ulya van. Megjegyezz¨ uk, hogy olyan ablakok is l´eteznek, melyek nem sz¨ ogletesek, p´eld´aul a (Fourier-transzform´aci´on´al) m´ar l´atott Hann vagy Hamming ablakok, ahol a ”becs¨ ulend˝o” j-edik elemt˝ol t´avolodva egyre kisebb a s´ uly: j+ N 2−1
x bj =
X
wk x k
(60)
k=j− N 2−1
A sim´ıt´as j´ os´ ag´ anak meg´ıt´el´eshez hasonl´oan j´arhatunk el, mit sz˝ ur´esn´el tett¨ uk. Ha az eredeti ´es a sim´ıtott jel k¨ ul¨ onbs´ege norm´ alis eloszl´ast mutat, akkor feltehetj¨ uk, hogy csak a zajt sim´ıtottuk
26
´ le. A normalit´ as ellen˝ orz´es´ere alkalmas lehet pl. a Ryan-Joiner tesz (l´asd [8]). Altal´ aban elmondhat´o, hogy a felsorolt m´ odszerek mind numerikus m´odszerek, ez´ert m´ıg egyes esetekben igen j´ onak bizonyulhatnak, m´ as esetekben nem ´erdemes ˝oket haszn´alni. Mindig a probl´ema saj´atoss´aga az, hogy milyen numerikus m´ odszert ´erdemes haszn´alni. P´elda: Tekints¨ uk a k¨ ovetkez˝ o zajjal terhelt csillap´ıtott leng´est: x(t) = B(1 − e−t/C ) + A sin(2πf t)
1 + ε(t) t + ∆t
(61)
x(t) ´es az ´atlagol´ assal sim´ıtott k¨ ozel´ıt´ese a 28. ´abr´an l´athat´o. J´ol l´atszik, hogy ezzel a sim´ıt´assal a leng´es egy´altal´ an nem kaphat´ o vissza.
28. ´abra. Az x(t) zajos jel, ´es az ´ atlagol´asos sim´ıt´assal kapott jel (als´o ´abra, piros vonal).
Az x(t) jel exponenci´ alis sim´ıt´ assal vett k¨ozel´ıt´ese Q = 5 ´es Q = 50 eset´en a 29. ´abr´an k¨oz´epen illetve lent l´ athat´ o. Q = 50 eset´en a sim´ıt´as kezdetben nem igaz´an j´o. A 30. ´abra der´eksz¨ og˝ u (fels˝ o sor m´ asodik k´ep), Hamming (als´o sor els˝o k´ep) illetve Hann (als´ o sor m´asodik k´ep) ablakokkal vett sim´ıt´asokat mutatja.
5.1. Savitzky-Golay sim´ıt´ as (1964) Egy m´asik sim´ıt´ asi m´ odszer, amely egyben egy sz˝ ur´esi elj´ar´asnak is nevezhet˝o, az Savitzky-Golay sim´ıt´as, amely a k¨ ovetkez˝ o¨ otleten alapszik. Legyen x(t) egy zajos folyamat, amelynek ∆t egyenk¨ oz˝ u megfigyel´esei az x1 , x2 , . . . xn ´ert´ekek. C´elunk a megfigyel´eseket terhel˝o zaj cs¨okkent´ese. Ezt a k¨ovetkez˝o m´ odon val´ os´ıtjuk meg. A j. megfigyel´es el˝ott ´es ut´an lev˝o k´et-k´et megfigyel´esre, vagyis ¨ot pontra m´ asodfok´ u polinomot illeszt¨ unk legkisebb n´egyzetek m´odszer´evel. Ezzel a j. m´er´esi pont sim´ıt´asa legyen az abba a pontba illesztett m´asodfok´ u polinom helyettes´ıt´esi ´ert´eke. A fentieket matematikailag is megfogalmazzuk. El˝osz¨or hat´arozzuk meg a j. pont k¨or´e illesztett m´asodfok´ u polinomot. Vezess¨ uk be a t v´altoz´o helyett a z v´altoz´ot: zk =
tk − tj , ∆t
ahol k = j − 2, j − 1, j, j + 1, j + 2.
27
(62)
29. ´abra. Az x(t) zajos jel, ´es az exponenci´alis ´atlagol´assal sim´ıtott jel. A fels˝o ´abr´an az eredeti jel l´athat´o. A k¨ oz´eps˝ o´ abr´ an Q = 5, az a als´o ´abr´an pedig Q = 50 ´ert´ekekkel sz´amolt sim´ıt´as van.
30. ´ abra. Sim´ıt´as ablakokkal.
Az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert legyen most z1 = −2, z2 = −1, z3 = −0, z4 = 1, z5 = 2. Az illesztett m´asodfok´ u polinom pedig Y (z) = α0 + α1 z + α2 z 2 , (63) melynek α0 , α1 ´es α2 egy¨ utthat´ oi legkisebb n´egyzetek m´odszer´evel meghat´arozhat´o. A m´odszer l´enyege, hogy az illesztett g¨ orbe ´es a m´er´esi pontok k¨oz¨otti elt´er´esek n´egyzet¨osszeg´et minimaliz´ alja.
28
31. ´ abra. Zajos jel Hamming ablakkal vett sim´ıt´asa.
Teh´at ´ırjuk fel a minimaliz´ aland´ o F hibaf¨ uggv´enyt: F (α0 , α1 , α2 ) =
2 X
(xk − Yk )2 =
2 X
xk − α0 − α1 z − α2 z 2
2
(64)
k=−2
k=−2
F minimumhely´et az αi -k szerinti parci´alis deriv´altakb´ol tudjuk meg´allap´ıtani. A deriv´al´asok ´es n´emi ´atrendez´es ut´ an a k¨ ovetkez˝ o h´ arom egyenletb˝ol ´all´o egyenletrendszert kapjuk: 2 X
5α0 + 0α1 + 10α2 =
xk ,
(65)
x k zk ,
(66)
xk zk2 .
(67)
k=−2 2 X
0α0 + 10α1 + 0α2 =
k=−2 2 X
10α0 + 0α1 + 34α2 =
k=−2
Ez egy line´aris algebrai egyenletrendszer, melynek megold´asai k¨onnyen kisz´am´ıthat´ok: 1 (−3xj−2 + 12xj−1 + 17xj + 12xj+1 − 3xj+2 ) , 35 = ...
α0 =
(68)
α1
(69)
α2 = . . . .
(70)
Az illesztett polinommal csak a k¨ oz´eps˝o, j. ´ert´eket sim´ıtjuk. Feltev´es¨ unk szerint zj = z3 = 0, ez´ert Yj = α0 . Ezt ´altal´ anos´ıtva fel´ırhat´ o´ altal´ aban a k¨oz´eps˝o j. pont hely´en a sim´ıtott ´ert´ek: Yj =
2 X k=−2
29
Ck x k
(71)
3 17 A Ck egy¨ utthat´ ok pedig C−2 = C2 = − 35 , C−1 = C1 = 12 35 , C0 = 35 . A j < 3 vagy j > n − 2 kritikus sz´els˝o pontok, amelyekben a fenti m´odszer nem m˝ uk¨ odik. Ezekre a pontokra t¨ obb megold´ as k¨ oz¨ ul v´alaszthatunk.
• Az xj sorozatot o ¨nk´enyesen szimmetrikusan folytatjuk. P´eld´aul a m´er´esi sorozat elej´et ´es v´eg´et kib˝ ov´ıtj¨ uk k´et taggal u ´gy, hogy az az x0 ´es xn pontok k¨or¨ ul legyenek szimmetrikusak. • Az els˝ o ´es az utols´ o sim´ıt´ o parabol´ab´ol nem csak a k¨oz´eps˝o ´ert´eket sim´ıtjuk, hanem az els˝ o, illetve az utols´ o k´et ´ert´eket is. Tov´abbi ´ altal´ anos´ıt´ asokkal is ´elhet¨ unk: • A sim´ıtott pontokban deriv´ altak is sz´am´ıthat´ok. • A legkisebb n´egyzetek m´ odszer´eben lehet s´ ulyozni a pontokat. • Nem csak 5 pontra, hanem 7, 9, stb. pontra is lehet sim´ıt´o polinomot illeszteni. Az illesztett polinom lehet magasabb fok´ u is.
30
31
Hivatkoz´ asok [1] BME MIT Tansz´eki Munkak¨ oz¨ oss´eg: Digit´alis jelfeldolgoz´as. Seg´edlet a Digit´alis jelfeldolgoz´ as (BMEVIMM4084) t´ argyhoz. K´ezirat, kiz´ar´olag a BME hallgat´oinak haszn´alat´ara, 2008. szeptember. [2] Schnell L´ aszl´ o: Jelek ´es rendszerek m´er´estechnik´aja, I., II., III. M˝ uegyetemi Kiad´o 1994. [3] N. Hesselmann: Digit´ alis jelfeldolgoz´as. M˝ uszaki K¨onyvkiad´o. 1985. [4] Szathm´ ary Zolt´ an: M´er´esek ki´ert´ekel´ese. Egyetemi jegyzet. Budapest, 2010. [5] Kem´eny S´ andor: K´ıs´erletek tervez´ese ´es ´ert´ekel´ese. BME Tov´abbk´epz˝o Int´ezet 1983. [6] John G. Webster: Electrical Measurement, Signal Processing, and Displays. Publisher: CRC. 2003-07-15. ISBN: 0849317339 [7] J.S. Bendat, A.G. Piersol: Random Data. Analysis and Measurement Procedures. John Wiley and Sons. 2000. [8] Varga Rox´ ana: M˝ uszaki ´es gazdas´agi adatok elemz´ese el˝oad´asjegyzet. http : //www.hds.bme.hu/letoltesek/targyak/BM EGEV GAG14/mugaz ea jegyzet.pdf
32
