MENGENALKAN MATEMATIKA MELALUI PENGAMATAN ALAM SEMESTA (Menanamkan Karakter Rasa Ingin Tahu, Peduli Lingkungan dan Menghargai Prestasi)
Agung Prabowo Program Studi Matematika - Fakultas Sains dan Teknik Universitas Jenderal Soedirman Jl. Dr. Suparno No. 64 Karangwangkal, Purwokerto Email:
[email protected] ;
[email protected] Abstrak. Pembelajaran matematika memerlukan metode yang tepat dan materi ajar berkualitas yang sekaligus diarahkan untuk pembentukan karakter. Tiga buah karakter yaitu karakter rasa ingin tahu, peduli lingkungan dan menghargai prestasi diintegrasikan dalam materi matematika yang dikembangkan dari Masalah Kelinci Fibonacci. Hasilnya berupa materi matematika yang didisain untuk menanamkan ketiga buah karakter tersebut. Makalah ini disusun dengan tujuan memaparkan materi pembelajaran matematika yang dapat digunakan oleh guru/calon guru dalam mencangkokkan konsep matematika dan menanamkan tiga buah karakter tersebut. Untuk mewujudkan tujuan tersebut siswa didorong untuk menemukan sendiri rumus atau model matematika, menyelidiki hasilnya, membuat persamaan matematika dan menyelesaikannya, melakukan pengamatan lingkungan sekitar dan pemberian informasi mengenai aplikasi dan kaitan antara matematika dengan fenomena alam. Dengan demikian, kemasan materi yang dibuat dapat membuka wawasan para siswa mengenai manfaat matematika dalam kehidupan manusia, menumbuhkan minat terhadap matematika pada diri siswa, dan tumbuhnya kesadaran adanya keterkaitan matematika dengan berbagai hal.
Kata kunci: matematika, Fibonacci, alam semesta, pengamatan, karakter 1.
Pendahuluan Apakah matematika mencerminkan realitas? Pandangan bahwa matematika adalah ratu (queen) dan pelayan (servant) menunjukkan bahwa matematika mempunyai kaitan dengan realitas atau dapat melepaskan diri dari ikatannya dengan realitas. Tidak ada yang salah apabila para matematikawan teoritik menyatakan bahwa pengetahuan matematika “murni” sama sekali tidak memiliki hubungan apapun dengan dunia material. Beberapa fisikawan teoritik menyatakan dukungan terhadap fenomena matematika yang melepaskan diri dari dunia fisik. Kesahihan model matematika mereka tidaklah tergantung pada pembenaran yang diperoleh secara empirik, melainkan semata-mata pada kualitas estetik dari persamaan-persamaan matematika yang menyusunnya (Woods dan Grant, 2006). Menurut J.P. Stewart (Widodo, 2010: 2), “Mathematics is the logical and abstract study of pattern.” Ini berarti salah satu pengertian dari matematika adalah ilmu yang mempelajari logika (cara berpikir) dan pola-pola yang abstrak. Matematika pada tingkat yang abstrak tidak bersedia lagi berhubungan dengan realitas fisik. Namun demikian, matematika tetap didisain (secara sembunyi-sembunyi) dengan harapan dapat membantu di dalam menyelesaikan seluruh masalah yang terkait dengan beragam fenomena fisik yang terjadi. Sama halnya dengan tidak ada yang salah apabila matematika dikenalkan melalui interaksinya dengan hal-hal fisik yang nyata. Perkembangan matematika adalah hasil dari kebutuhan manusia yang sangat material, sehingga matematika perlu diajarkan melalui pengamatan berbagai fenomena alam semesta yang dekat dengan siswa. Aristoteles menulis (Woods dan Grant, 2006: 457), “Objek matematika tidak dapat hadir terpisah dari bendabenda yang dapat diraba (yaitu, material).”
1
Fakta tak terbantahkan bahwa awal mula matematika terkait dengan fenomena fisik dan masa dewasa matematika lebih disajikan sebagai proses abstraksi membawa gagasan perlunya matematika dikenalkan kepada siswa dengan memulainya pada tingkat yang paling kongkret yaitu mengajarkan matematika berdasarkan fenomena alam semesta. Dengan porsi yang lebih kecil, siswa setingkat SLTP dan SLTA pun masih perlu untuk mengenal matematika dari fenomena alam. Mereka perlu mengenal dan mengetahui atau mengalami secara fisik mengapa sin 450 = ½ sehingga mereka mengetahuinya bukan karena diberitahu oleh guru, tabel, alat hitung tetapi benar-benar tahu setelah membuktikannya. Dengan demikian, keyakinan mereka akan semakin kuat. Semua siswa tentu saja belajar matematika baik di Indonesia maupun seluruh dunia, dengan porsi jam belajar yang lebih besar dibanding mata pelajaran lainnya. Setelah mereka meninggalkan bangku sekolah, jauh lebih banyak siswa yang tidak tertarik dengan matematika. Banyak siswa yang kemudian tidak dapat memperoleh manfaat apapun sebagai hasil dari belajar matematika. Bagi mereka matematika adalah aktifitas berpikir yang tidak dapat diikuti. Tidak ada kesan positif yang terekam dalam benak mereka setelah 12 tahun belajar matematika. Bagi mereka, matematika bukanlah kebutuhan. Padahal, hasil paling penting dari belajar matematika adalah cara berpikirnya yang dapat diterapkan pada segala bidang sehingga lulusan prodi matematika yang bekerja di luar bidang matematika dapat sukses dan berhasil berkat cara berpikir yang diperolehnya selama belajar di prodi matematika. Cara berpikir akan dapat diperoleh para siswa atau mahasiswa setelah mereka belajar matematika apabila ada ketertarikan. Syarat utamanya adalah rasa tertarik, rasa ingin tahu (curiosity), kemudian tumbuh minat dan akhirnya matematika akan menjadi kebutuhan. Apabila matematika telah menjadi kebutuhan maka belajar matematika akan dilakukan dengan senang. Salah satu cara untuk mengarahkan siswa kepada gagasan matematika sebagai kebutuhan adalah dengan memperkenalkan siswa dengan berbagai fenomena alam sehingga mereka merasa tertarik dan tumbuh rasa ingin tahunya untuk tujuan klarifikasi dan memuaskan rasa tersebut lebih dalam lagi. Minat pada matematika, apabila selama ini sulit diwujudkan melalui pembelajaran matematika dalam bentuk konsep matematika yang sudah jadi, maka konsep matematika dapat ditanamkan dengan bantuan pengamatan terhadap berbagai fenomena alam semesta. Siswa dengan melalui pengamatan dapat menemukan sendiri konsep matematika sehingga dapat membangkitkan minat mereka pada matematika. Makalah ini disusun dengan suatu rumusan masalah mengenai strategi atau cara yang dapat digunakan oleh guru/calon guru dalam menanamkan konsep matematika pada diri siswa yang dapat menanamkan karakter rasa ingin tahu, peduli lingkungan dan menghargai prestasi. Strategi atau cara yang ditawarkan adalah dengan membelajarkan konsep-konsep matematika melalui fenomena yang terjadi di sekitar siswa. Siswa diajak untuk menemukan sendiri konsep-konsep matematika untuk selanjutnya menggunakan konsep yang telah diperolehnya tersebut pada masalah matematika atau masalah di luar matematika. Keterkaitan dengan fenomena alam diharapkan dapat membantu meningkatkan daya tarik dan minat siswa terhadap matematika, disamping memperluas wawasan siswa bahwa matematika bukanlah pengetahuan yang berdiri sendiri, tetapi mempunyai kaitan dengan berbagai bidang dan mata pelajaran lainnya. Dengan demikian, manfaat yang dapat diraih setelah implementasi strategi atau cara di atas adalah tertanamnya beberapa karakter pada diri siswa yaitu karakter rasa ingin tahu, peduli lingkungan, menghargai prestasi, tumbuhnya minat pada matematika, dan tumbuhnya kesadaran adanya keterkaitan matematika dengan berbagai hal. Makalah ini memaparkan konsep matematika mengenai pola abstrak dari suatu barisan bilangan. Pola tersebut tidak langsung diperkenalkan dalam bentuk rumus matematika, tetapi diawali dari fenomena yang akrab bagi siswa untuk kemudian dikembangkan menjadi pengetahuan matematika formal. Siswa difasilitasi dengan 2
menemukan keterkaitan pola barisan bilangan tersebut dengan berbagai hal ada terjadi di alam semesta. Dengan demikian siswa akan mengerti bahwa matematika berguna bagi dirinya, bermanfaat bagi bidang ilmu pengetahuan lainnya dan dapat memberikan sumbangan bagi kesejahteraan umat manusia. Dari pola barisan tersebut juga dapat dikembangkan konsep-konsep matematika lainnya, seperti konstanta Phi, Golden Rectangle, pentagram, dan lain-lain 2. 2.1
Pembahasan Karakter Karakter merupakan identitas yang menggambarkan kualifikasi atau kualitas pribadi seseorang. Pembentukan karakter dapat dilakukan dengan menyisipkan, melekatkan atau mengintegrasikannya dalam setiap mata pelajaran yang sudah ada. Cukuplah apabila seorang siswa sudah benar-benar meyakini dan mengalaminya sendiri, bahwa hari ini ternyata lebih baik dari hari kemarin, maka kualifikasi pribadinya telah memperlihatkan keunggulan sebab secara internal siswa tersebut akan selalu terdorong untuk berubah dari hari ke hari menjadi semakin baik. Juga harus ditanamkan bahwa pengembangan karakter pada akhirnya akan menjadi tanggung jawab pribadi. Karakter tanpa disertai tanggung jawab pada pribadinya sendiri ibarat bulir padi yang hampa. Menciptakan lebih banyak siswa yang menguasai matematika adalah penting. Namun demikian, jika pengalaman sejak Indonesia merdeka hingga saat ini menunjukkan tidak ada peningkatan yang berarti dalam hal jumlah/banyaknya siswa yang mampu belajar matematika, tidak ada salahnya jika pembelajaran matematika sedikit digeser dengan tidak sekedar mengajarkan materi matematika, tetapi juga mendidik untuk membangun dan memahat karakter (Prabowo dan Pramono, 2010). Pembelajaran matematika dijadikan sebagai media dan wahana untuk pembentukan karakter tersebut. Materi matematika dikemas sehingga karakter-karakter yang hendak ditanamkan dapat muncul pada materi tersebut. Dengan melekatkan pendidikan karakter dalam pembelajaran matematika, maka pembelajaran matematika tidak lagi untuk mendukung pengembangan ranah kognitif saja tetapi juga mengembangkan ranah afektif dan psikomotorik. Dalam buku Pengembangan Pendidikan Budaya dan Karakter Bangsa dipaparkan 18 jenis karakter yang harus ditumbuhkan dalam pembelajaran. Tiga dari delapan belas karakter tersebut yaitu rasa ingin tahu, peduli lingkungan dan menghargai prestasi dicoba untuk dapat ditanamkan dalam pembalajaran matematika dengan mengambil topik Barisan Bilangan Fibonacci. Menurut buku tersebut, rasa ingin tahu adalah sikap dan tindakan yang selalu berupaya untuk mengetahui lebih mendalam dan lebih luas dari sesuatu yang dipelajarinya, dilihat dan didengar. Peduli lingkungan berkaitan dengan upaya mencegah kerusakan alam dan mengembangkan upaya untuk memperbaiki kerusakan alam yang telah terjadi. Menghargai prestasi berkaitan dengan sikap dan tindakan yang mendorong untuk menghasilkan sesuatu yang berguna bagi masyarakat dan mengakui serta menghormati hasil karya orang lain. Apabila dikaitkan dengan atribut-atribut dalam penelitian matematika yang meliputi PEACE-AG yaitu proof (bukti), extension (perluasan), application (aplikasipenerapan), characterization (karakterisasi-ciri), existence (eksistensi), abstraction (abstraksi) dan generalization (generalisasi), maka menurut Widodo (2010), karakter rasa ingin tahu dapat ditumbuhkan melalui atribut extension, existence, abstraction, dan generalization, sedangkan karakter peduli lingkungan dapat diintegrasikan melalui application. Sementara itu karakter semangat berprestasi dapat ditanamkan melalui proof dan characterization. Hal ini menjelaskan bahwa pada tingkat selanjutnya, karakter-karakter yang telah ditanamkan juga dibutuhkan dan dikembangkan terus melalui penelitian matematika. Hal senada diungkapkan oleh Suryadi (2010), “...apabila materi ajarnya berkualitas dan metodenya tepat, maka hasilnya tentu bisa diharapkan lebih optimal. Apalagi jika 3
pembelajaran matematika tidak hanya diarahkan pada penguasaan kemampuan matematikanya, melainkan juga pada pembentukan karakter bangsa ....” Pembelajaran matematika memerlukan metode yang tepat dan materi ajar yang berkualitas yang juga diarahkan untuk pembentukan karakter. 2.2
Barisan Bilangan Fibonacci Barisan Bilangan Fibonacci (BBF) diperkenalkan oleh Leonardo Fibonacci dalam karyanya berjudul Liber Abaci yang diterbitkan pada tahun 1202 dengan maksud memperkenalkan bilangan Hindu-Arab kepada masyarakat barat (Eropa). Dalam bukunya tersebut, Fibonacci mempromosikan untuk meninggalkan sistem bilangan Romawi dan beralih ke sistem bilangan Hindu-Arab yang sangat efisien. Dengan hanya 10 buah digit (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) dan penggunaan sistem nilai tempat, sistem bilangan Hindu-Arab dapat mengungguli sistem bilangan Romawi. Keunggulan lainnya adalah adanya bilangan 0 dan kemudahan dalam perhitungan aritmatika. Atas jasanya ini, seluruh dunia dan matematika saat ini menggunakan sistem bilangan Hindu-Arab dan nama Fibonacci tetap harum mewangi, tetap dikenal hingga hari ini. Fibonacci tidak hanya dikenal dalam matematika. Bidang-bidang seperti arsitektur, psikologi, pasar saham, botani, zoologi, biologi dan lain-lain mengenal Fibonacci melalui Barisan Bilangan Fibonacci, Spiral Fibonacci, Persegi Panjang Emas (Golden Rectangle), Persegi Fibonacci, Sudut Emas (Golden Angle), Segitiga Emas (Golden Triangle), Phi (Nisbah Emas/Golden Ratio) dan lain-lain. Dalam Liber Abaci juga terdapat permasalahan yang disebut The Reproductive Habits of Rabbits in an Enclosed Area (Masalah Kelinci Fibonacci). Sepasang kelinci yang baru lahir (jantan dan betina) segera menjadi dewasa sebulan kemudian dan melahirkan sepasang anak (jantan dan betina) sebulan berikutnya dan tiap bulan selanjutnya akan melahirkan sepasang kelinci. Hal yang sama berlaku untuk semua pasang anak kelinci. Proses perkembangan dan banyaknya pasang kelinci pada bulan pertama, kedua dan seterusnya diberikan pada gambar di bawah ini
Gambar 1. Proses Perkembangbiakan Kelinci dalam Masalah Kelinci Fibonacci Sumber: www.google.com Persoalan yang diajukan adalah berapakah jumlah pasang kelinci dalam tiap bulannya. Masalah nyata ini (dengan sedikit rekayasa) dapat digunakan untuk memperkenalkan kepada siswa mengenai pola bilangan. Siswa dapat diarahkan pada cara memperoleh bilangan selanjutnya dan menemukan rumus (model) matematika dari Masalah Kelinci Fibonacci. Dengan cara seperti ini, siswa disadarkan bahwa matematika dapat berasal dari masalah nyata sehari-hari. Dengan demikian, dalam diri siswa akan tertanam karakter menemukan sesuatu dan menghargai hasil penemuan orang lain.
4
Dari masalah yang diajukan Fibonacci dalam Liber Abaci, diperoleh barisan bilangan yang saat ini disebut dengan namanya: Barisan Bilangan Fibonacci (Fibonacci’s Sequence): 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, .... Barisan bilangan Fibonacci sangat istimewa. Bilangan berikutnya diperoleh dengan menjumlahkan dua buah bilangan sebelumnya yang berturutan. Secara matematika, Fn Fn1 Fn2 dengan n 3 , 4 ,5 ,.... dan F1 1 , F 2 1 . Tentu saja, rumus (model) matematika tersebut harus ditemukan sendiri oleh siswa dengan mengamati pola pada barisan bilangan tersebut. Guru dapat membantu dengan memberikan pertanyaan yang mengarahkan siswa pada proses penemuan rumus tersebut. 2.3
Menumbuhkan Karakter Rasa Ingin Tahu Siswa dapat diajak untuk melakukan eksplorasi lebih dalam terhadap Barisan Bilangan Fibonacci (BBF). Kepada siswa dapat diajukan pertanyaan membimbing berkaitan dengan rasio/perbandingan dua buah bilangan yang berturutan dalam BBF, dengan tujuan siswa dapat menemukan kesimpulan yang tepat dan menyadari keistimewaan BBF. Hasil eksplorasi siswa dapat dibuatkan dalam bentuk tabel seperti pada tabel 1 Tabel 1. Perbandingan Dua Buah Bilangan Fibonacci yang Berturutan Bilangan Perbandingan Bilangan ke - (i 1) Fibonacci Bilangan ke - i
1 1 2 3 5 8 dst
1/1 = 1,000 2/1 = 2,000 3/2 = 1,500 5/3 = 1,667 8/5 = 1,600 dst
Perbandingan dua buah bilangan yang berturutan semakin lama semakin mendekati konstanta yang dinamakan Golden Ratio (Nisbah Emas) yaitu 1,618 (pendekatan). Perhatikan bahwa 89/55 = 1,6182, 144/89 = 1,6180, 233/144 = 1,6181 dan seterusnya. Konstanta nisbah emas 1,618 saat ini disebut Phi dan dilambangkan dengan huruf Yunani Phi yaitu Φ (baca: vi). Phi tentu saja berbeda dengan Pi (baca: pi) yang dilambangkan dengan π dan bernilai 3,14. Inilah keistimewaan BBF. Apabila siswa sudah belajar penyelesaian persamaan kuadrat, dapat diajukan masalah matematika berupa penyelesaian persamaan kuadrat x2 – x – 1 = 0 yang seharusnya sudah dapat diselesaikan oleh siswa SMP kelas 1. Solusi pertama disebut Phi yaitu Φ = 1,618 dan solusi kedua disebut phi yaitu φ = 0, 618. Hubungan keduanya adalah Phi = 1/phi. Konstanta Phi mempunyai beragam nama, tergantung masa dan penggunaanya misalnya golden section dan divine proportion. Konstanta phi juga mempunyai beragam nama yaitu mean ratio, golden mean, dan golden ratio. Saat ini, semua istilah tersebut (golden section, divine proportion, mean ratio, golden mean, dan golden ratio) tidak lagi dibedakan dan dinamakan Phi dengan nilai Φ = 1,618, diambil dari nama Phidias yang membangun Kuil Parthenon dan patung-patungnya. 2.4
Menanamkan Karakter Peduli Lingkungan Ekplorasi lebih lanjut mengenai BBF dapat dilakukan dengan cara mengajukan masalah di luar matematika yang dapat mengantarkan siswa untuk memiliki rasa peduli pada 5
lingkungan (alam semesta). Tujuannya agar mereka dapat menyadari pentingnya merawat alam semesta, menjaga dan tidak merusaknya. Seperti apa kaitan BBF dengan lingkungan tempat tinggal siswa? Ternyata, bunga-bunga yang indah adalah bunga-bunga yang memiliki jumlah daun, kuntum atau kelopak (petals) yang berupa bilangan Fibonacci. Sebutlah bungabunga tersebut sebagai bunga-bunga Fibonacci. Siswa dapat diarahkan untuk secara langsung menyelidiki atau mencari bunga-bunga yang jumlah kelopaknya 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, atau 89 dan selanjutnya. Bagian ini tentu saja dapat dikaitkan dengan biologi khususnya botani, seperti nama-nama ilmiah untuk bunga-bunga Fibonacci. Contoh bunga-bunga Fibonacci adalah (angka dalam kurung adalah jumlah daun/kelopak) diberikan pada gambar 2.
Lily (3)
Delphiniums (8)
Iris (3)
Trilium (3)
Blood Root (8)
Pyrethrum (34)
Wild Rose (5)
Pinks (5)
Ragwort (8) Black Eyed Susan (13) Aster (21)
Buttercup (5)
Chamomile (21)
Gaillardia (34) Michaelmas Daisy (55) Asteracae (89)
Gambar 2. Bunga-Bunga Fibonacci Sumber: www.google.com Langkah selanjutnya adalah mengarahkan dan mendorong siswa secara persuasif untuk bersedia membuat Taman Bunga Fibonacci yaitu taman bunga yang khusus ditanami bunga-bunga Fibonacci, baik di halaman sekolah maupun halaman rumah masing-masing. Siswa juga dapat dibimbing untuk memahami kaitan matematika dengan biologi, khususnya zoologi yaitu dengan beternak lebah. Isilah taman bunga Fibonacci dengan koloni-koloni lebah. Di masa dewasanya siswa dapat mengembangkan gagasan ini dengan menjadi peternak/petani madu. Apa kaitannya matematika dengan lebah? Dalam satu koloni lebah, jumlah lebah betina akan jauh lebih banyak dibanding lebah jantan dan perbandingan keduanya adalah bilangan Nisbah Emas atau Phi yaitu Φ = 1,618. Masih ada lagi keistimewaan koloni lebah. Ternyata, proses perkembangbiakan lebah mengikuti Barisan Bilangan Fibonacci. Perkembangan lebah pun seperti perkembangan kelinci sehingga jumlah lebah pada setiap generasi merupakan barisan bilangan Fibonacci. Generasi Gambar Jumlah Lebah Keterangan 1 1 2 1 Jantan 3 2 4 3 5 5 Betina 6 8 Gambar 3. Barisan Bilangan Fibonacci pada Proses Perkembangbiakan Lebah 6
2.5
Menanamkan Karakter Menghargai Prestasi Masalah Kelinci Fibonacci juga dapat didisain untuk menanamkan karakter menghargai prestasi dengan mengajarkan siswa untuk menghargai hasil karya dan prestasi orang lain. Pengakuan ini dapat didorong untuk menjadi semangat berprestasi dan berkontribusi yang dilakukan oleh diri sendiri. Kepada siswa dapat ditanamkan sifat jujur dan menghindari plagiarisme, bangga, dan keinginan untuk memberi kontribusi dalam hidup. Banyak hasil karya seni dan budaya yang dalam disain pembuatannya menggunakan konsep Nisbah Emas. Fakta-fakta yang akan dibeberkan dapat membantu para siswa untuk lebih memahami peran matematika dalam arsitektur dan seni lukis. Tentu saja siswa sudah mengenal piramida, tetapi sangat mungkin mereka belum mengetahui bahwa disain piramida Giza didasarkan pada konsep Nisbah Emas 1,618. Masyarakat Yunani Kuno menyebutnya Golden Section. Plato (~428 SM – 347 SM) juga telah menggunakan Golden Section dalam bukunya, Timaeus. Euclid dalam the Elements, membagi sebuah garis pada titik 0,6180399. Titik ini dinamakan Mean Ratio. Euclid juga menggunakan Mean Ratio dalam pembuatan pentagram. Pada perkembangan selanjutnya, istilah Mean Ratio diganti dengan Golden Mean. Istilah Golden Ratio juga digunakan untuk menggantikan Mean Ratio. Phidias dari Yunani Kuno menggunakannya dalam kuil Parthenon dan patung-patung di dalamnya. Phidias (500 SM – 432 SM) adalah seorang pematung (pemahat) dan matematikawan Yunani, mempelajari Nisbah Emas 1,618 dan menggunakannya untuk membangun Kuil Parthenon dan mendisain patung-patung yang ditempatkan dalam kuil tersebut. Sebagai penghargaan kepada Phidias, konstanta 1,618 dinamakan Phi, diambil dari huruf pertama namanya.
Gambar 4. Kuil Parthenon Sumber: https://taicarmen.wordpress.com/tag/patterns-in-nature/ Istilah lain untuk Phi adalah Divine Proportion (Proporsi Ilahi) yang diperkenalkan oleh Luca Pacioli pada tahun 1509 dalam karyanya De Divine Proportione. Dalam karyanya tersebut, Pacioli menjelaskan karya-karya Leonardo da Vinci yang dibuat dengan menggunakan Golden Section dan berdasarkan lima benda Platonic. Da Vinci adalah orang yang pertama kali menggunakan istilah Latin Sectio Aurea (Ing: Golden Section). Lukisan Monalisa dan Perjamuan Terakhir ‘The Last Supper’ (keduanya karya Leonardo da Vinci) juga menggunakan konsep Nisbah Emas dalam pembuatannya. Di dalam ruang kelas dapat dipajang beragam karya seni yang disain pembuatannya menggunakan konsep Nisbah Emas, agar siswa terus menerus menyadari kaitan matematika dengan alam sekitar dan hasil karya manusia. Johannes Kepler (1571-1630), menemukan orbit eliptik dari planet dengan memanfaatkan divine proportion, seperti yang dikatakannya. "Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras; the other, the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may compare to a measure of gold; the second we may name a precious jewel." (http://www.phiforex.com/en/phi_in_financial.html)
7
Gambar 5. Lukisan Monalisa dan Perjamuan Terakhir Sumber: https://taicarmen.wordpress.com/tag/patterns-in-nature/ 2.6
Keterkaitan Matematika dengan Bidang-Bidang Lainnya Masalah Kelinci Fibonacci pada akhirnya menghasilkan Barisan Bilangan Fibonacci, dan menjadi sarana untuk memperoleh konstanta Nisbah Emas (Phi). Banyak bidang-bidang lain yang memanfaatkan Barisan Bilangan Fibonacci maupun Phi dalam disain pembuatan atau penciptaannya. Bidang Matematika Lainnya (Golden Rectangle) Persegi Panjang Emas (Golden Rectangle) diyakini sebagai bentuk persegi panjang dengan proporsi yang indah. Rasio (perbandingan) antara panjang dan lebar pada Golden Rectangle adalah Golden Ratio atau Phi = 1,6180339887.... Apabila sisi panjang dilambangkan dengan p dan sisi lebar dengan l, maka pada Golden Rectangle berlaku l p pl p p l p p l atau
Bagaimana cara memperoleh Golden Rectangle? Salah satu cara sederhana untuk memperoleh Golden Rectangle adalah: 1. Buat persegi ABCD dengan ukuran 1 x 1. 2. Tentukan titik tengah DC sebut titik M. 3. Hubungkan titik M dengan titik B. 4. Buat lingkaran dengan titik pusat M dan jari-jari MB 5. Perpanjang ruas garis DC sampai bertemu dengan lingkaran. Selesai. Diperoleh Persegi Panjang dengan perbandingan panjang dan lebar adalah golden ratio. Sebut persegi panjang tersebut AEFD.
Gambar 6. Pembuatan Golden Rectangle Secara umum, Golden Geometry akan diperoleh dengan melibatkan Golden Ratio dalam ukuran-ukuran yang digunakan. Salah satu penggunaannya adalah pada logo majalah National Geographic yang berupa Golden Rectangle. Demikian juga dengan berbagai logo seperti logo Apple, Pepsi, iCloud, dan Toyota juga dibuat berdasarkan Golden Ratio. 8
Gambar 7. Penggunaan Golden Ratio pada Logo National Geographic dan Apple Sumber: http://www.google.com Fenomea Phi juga ditemukan pada banyak benda yang sehari-hari digunakan. Benda-benda yang mengambil bentuk persegi panjang banyak yang merupakan perwujudan dari Persegi Panjang Emas (Golden Rectangle) misalnya kartu ATM, KTP, chips kartu HP, perangko, kartu pos, dan lain-lain. Bidang Matematika Lainnya (Pentagram) Gagasan mengenai pentagram mengandung kesan mistik. Pentagram berupa bintang sehingga secara matematika pentagram merupakan bentuk geometri. Tidak lebih. Matematika mempunyai cara untuk membuat atau menggambar pentagram, tanpa perlu membawa penjelasan-penjelasan yang bersifat mitos dan teologis. Buatlah segilima sama sisi (regular pentagon), misalkan dengan panjang sisi 1 (gambar 8a). Selanjutnya hubungkan titik-titik sudutnya dengan garis diagonal hingga diperoleh bentuk bintang yang disebut pentagram (gambar 8b). Perbandingan antara diagonal dengan sisi regular pentagon adalah Phi.
Gambar 8. Pembuatan Pentagram dari Regular Pentagon Pembuatan pentagram juga dapat dimulai dengan membuat lingkaran. Bagilah lingkaran tersebut menjadi 5 juring lingkaran bersudut sama (720). Buatlah segilima sama sisi di dalam lingkaran tersebut dan seperti cara sebelumnya, dapat diperoleh pentagram (gambar 12 a). Besar sudut setiap ujung pentagram adalah 360. Apabila pentagram tersebut dipotong hingga diperoleh bentuk segitiga, maka segitiga yang diperoleh disebut Segitiga Emas atau Golden Triangle (gambar 12 b)
(a)
(b)
Gambar 8. Pembuatan Pentagram dari Lingkaran (a) dan Segitiga Emas (b) 9
Biologi (khususnya Genealogi) Untuk siswa tingkat SMA, Masalah Kelinci Fibonacci dapat diangkat menjadi contoh dalam pembelajaran genealogi (ilmu pohon silsilah/keturunan) dalam biologi. 1. Seluruh pasangan kelinci yang lahir pada bulan yang sama dikelompokkan dalam satu generasi yang sama sehingga pada genealogi (pohon keturunan/pohon silsilah) ditempatkan pada level yang sama. Nenek moyang kelinci ditandai dengan angka 0 Pada bulan kesatu belum ada kelahiran Pada bulan kedua terdapat 1 pasang kelahiran (ditandai dengan angka 1) Pada bulan ketiga terdapat 1 pasang kelahiran (ditandai dengan angka 2) Pada bulan keempat terdapat 2 pasang kelahiran (ditandai angka 3 dan 4) Pada bulan kelima terdapat 3 pasang kelahiran (angka 5, 6, dan 7) dst 2. Urutan penomoran untuk setiap pasang kelinci yang lahir pada generasi yang sama, dilakukan berdasarkan urutan nomor induknya. Dengan demikian, kelinci dengan nomor 5, 6 dan 7 berturut-turut dilahirkan oleh induk dengan nomor 0, 1, dan 2
Gambar 9. Pohon Silsilah pada Masalah Kelinci Fibonacci Dari pohon silsilah tersebut diperoleh beberapa pengetahuan berikut ini: (1) pasangan kelinci dengan nomor berupa bilangan Fibonacci, semuanya dilahirkan oleh nenek moyang (nomor 0). Perhatikan bahwa pasangan kelinci dengan nomor 0 melahirkan pasangan kelinci dengan nomor 1, 2, 5, 8, 13, 21; (2) pada setiap generasi yang sama, selalu terdapat pasangan kelinci dengan nomor berupa bilangan Fibonacci; (3) jumlah pasangan kelinci pada satu generasi yang sama adalah bilangan Fibonacci. Struktur DNA yang ditemukan pada semua sel di tubuh manusia juga didasarkan pada bilangan Fibonacci dan Golden Ratio. Jean-Claude Perez, penemu DNA menyatakan bahwa dalam DNA setiap organisme hidup akan ditemukan Thiamine (T), Cytosine (C), Adenine (A), dan Guanine (G) atau CTAG. Dalam 144 nukleotida yang berdekatan, akan ditemukan 55 basis T dan 89 basis CAG. Angka 55 dan 89 merupakan bilangan Fibonacci. Selanjutnya, perbandingan Bobot Atom antara Bio-Atom yang terdiri dari karbon, nitrogen, oksigen dan hidrogen yang menghasilkan basis-basis nukleat TCAG dengan Bio-Atom yang menghasilkan junk DNA (DNA sampah) yang tidak dapat diterjemahkan menjadi informasi genetik atau yang terkait dengan sintesa protein adalah Phi yaitu Golden Ratio 1,618. Sesungguhnya, untuk setiap segala sesuatu telah ada ketentuan-ketentuan yang berlaku baginya dan tidak ada kreasi Sang Pencipta yang tidak seimbang. Jari tangan manusia juga memperlihatkan adanya bilangan Fibonacci dalam disainnya, seperti dapat dilihat pada gambar 10
Gambar 10. Bilangan Fibonacci pada Jari Tangan Manusia Sumber: http://www.google.com
10
3.
Kesimpulan dan Saran Pembelajaran matematika memerlukan metode yang tepat dan materi ajar yang berkualitas yang juga diarahkan untuk pembentukan karakter. Contoh materi ajar yang didisain dengan tujuan menanamkan karakter rasa ingin tahu, peduli lingkungan dan menghargai prestasi dapat diambil dari topik mengenai Masalah Kelinci Fibonacci. Pengembangan topik ini sangat luas, berkaitan dengan berbagai bidang dan dapat diberikan pada jenjang SD, SMP maupun SMA. Masalah Kelinci Fibonacci dapat digunakan untuk menanamkan karakter menemukan sesuatu dan menghargai hasil penemuan orang lain. Karakter rasa ingin tahu dapat dikembangkan dengan mendorong siswa mengekplorasi lebih jauh hasil yang diperoleh dari Masalah Kelinci Fibonacci sehingga mereka menemukan sendiri konstanta Phi. Rasa ingin tahu yang lebih dalam dapat dimunculkan dalam bentuk mengarahkan siswa untuk sampai pada bentuk persamaan kuadrat dan menemukan solusinya. Dengan pengalaman ini siswa dapat menyadari bahwa Phi atau Golden Ratio dapat diperoleh baik dari fenomena alam maupun permasalahan matematika. Dampaknya, siswa mempunyai kesadaran bahwa matematika dan alam semesta mempunyai kaitan yang erat. Selanjutnya, siswa dapat diarahkan untuk menikmati berbagai karya seni budaya yang didalamnya menggunakan konstanta Phi sehingga pada diri siswa tertanam karakter menghargai hasil karya orang lain serta keinginan untuk selalu jujur, menghindari sikap plagiat dan hasrat untuk berkontribusi dengan menciptakan karyanya sendiri. Pemberian informasi mengenai penggunaan Nisbah Emas dan bilangan Fibonacci pada Golden Rectangle, logo National Goegraphis dan Apple, pentagram, genealogi, DNA dan jari manusia dapat membuka wawasan lebih jauh mengenai manfaat matematika dalam kehidupan manusia. Sebagai saran, perlunya diekplorasi berbagai materi matematika lainnya dan dikemas dalam bentuk bahan ajar yang dapat digunakan untuk menanamkan berbagai karakter pada diri siswa. Daftar Pustaka http://www.phiforex.com/en/phi_in_financial.html [11 November 2011]. https://taicarmen.wordpress.com/tag/patterns-in-nature/ [11 November 2011]. Prabowo, A. dan Pramono, S. (2010). Memahat Karakter Melalui Pembelajaran Matematika. Makalah pada Proceedings of The 4th International Conference on Teacher Education; Join Conference UPI & UPSI Bandung, 8-10 November 2010. DIKNAS (2010). Pengembangan Karakter Budaya dan Karakter Bangsa. [Online]. Tersedia: http://www.puskur.net/files/1_%20Pendidikan%20Budaya%20dan%20Karakter%20Ban gsa.pdf [17 Juli 2011]. Suryadi, D. (2010). Penelitian Pembelajaran Matematika untuk Pembentukan Karakter Bangsa. Makalah Utama pada Booklet Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Universitas Negeri Yogyakarta, 27 November 2010. Widodo (2010). Peran Penelitian Matematika dalam Upaya Pembentukan Karakter Bangsa. Makalah Utama pada Booklet Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, Universitas Negeri Yogyakarta, 27 November 2010. Woods, A. dan Grant, T. (2006). Revolusi Berpikir dalam Ilmu Pengetahuan Modern. Yogyakarta: IRE Press.
11
12
