1.
példa r r r r r Határozza meg F1 , F2 , F3 erıkbıl álló erırendszer F eredıjét, annak F nagyságát és e r irányvektorát, valamint a talajban ébredı F0 támasztóerıt! F1 = 20 N ; F2 = 30 N ; F3 = 10 N !
r F3
r F2
r F1
r r r Megoldás: F = ( 9.1421 ex + 52.8024 ey ) N , F = 53.5880 N , r r r r r e = ( 0.17ex + 0.985e y ) , F0 = − F . ______________________________________________________________________________________________________________________ 2.
példa Egy lámpa az ábrán látható módon van rögzítve a kötélen. Modellezzük tömegpontként a r r lámpatestet. Határozza meg a lámpatestre ható F1 és F2 erıt! Mekkorák a kötélben ébredı erık? G = 800 N ,
= 30o .
y
A
r F2
C
r F1
B
x
r G Megoldás: r r r r r F1 = (1385.6 406ex ) N ; F2 = ( −1385.6 406ex + 800 ey ) N ; F1 = 1385.6406 N ; F2 = 1600 N ______________________________________________________________________________________________________________________
3. példa A G = 800 N súlyú terhet kötelek segítségével emeljük a magasba. Határozza meg a három kötélben ébredı erıt!
= 30o ,
= 45o .
r F3
r F1
r G r r r r r Megoldás: F1 = ( −507.1797 ex + 292.8203 e y ) N , F2 = ( −800 ey ) N , r r r F3 = ( 507.1797ex + 507.1797 ey ) N , F1 = 585.6406 N ; F2 = 800 N ; F3 = 717.2604 N 1
______________________________________________________________________________________________________________________
c
4. példa Egy G = 2.5 kN súlyú terhet két kábellel erısítünk a gerendára. Határozza me a két kábelág terhelését! a = 3 m , b = 2 m , c = 5 m .
r F1
r F2
r G r r r r r r Megoldás: F1 = ( 0.6 ex + ey ) kN ; F2 = ( −0.6 ex + 1.5 e y ) kN ; F1 = 1.1662 kN , F2 = 1.6155 kN ______________________________________________________________________________________________________________________
5. példa r Határozza meg a talaj által az A pontban kifejtett F0 reakcióerıt, ha F = 100 N !
= 45o ,
= 45o és
r F
r r r r Megoldás: F = ( 50 ex + 50 ey + 70.7107 ez ) N ;
r r r r r F0 = − F = ( −50 ex − 50 e y − 70.7107ez ) N
______________________________________________________________________________________________________________________
2
6. p da Az s gerenda a ill. pontokhoz csatlakoz kötelek segítségével az r r F = ( −80 ez ) kN súlyú terhet egyensúlyozza. Határozza meg a támasztóerıket! Adatok: A ( 0, 0, 0 ) m ,
( 5, 0,5 )
,
( −4, 0,3)
,
( 0,8, 0 )
.
r F r r r r r r Megoldás: FA = (164.57 ey ) kN , F = ( 45.7ex − 73.14 ey + 45.71 ez ) kN , r r r r F = ( −45.7ex − 91.43 ey + 34.3 ez ) kN ______________________________________________________________________________________________________________________
7. példa Egy fémüstöt A , , helyeken erısítjük egy daru emelıköteleihez. Az emelıkampó = 2 -re helyezkedik el az üst felsı peremének közepe (orogó) fölött. Mekkorák a kötelek által az üstre r r r kifejtett erık ( FA , F , F ) , ha az üst sugara = 1 , = 45o , = 45o és G = 3 kN ?
r G r r r r r r r Megoldás: FA = ( 310.7ex + 310.7 ey + 878.7 ez ) N , F = ( −621.3ex + 1242.6 ez ) N , r r r r F = ( 310.7ex − 310.7 ey + 878.7 ez ) N
1
______________________________________________________________________________________________________________________
8. példa: (MP.I.5.49.) r r Egy G = ( −12 ez ) kN súlyú testet a , és rudakkal, valamint a -irányú kötél segítségével és A helyeken 1-1 gömbcsukló található. Az A helyen mindhátartjuk egyensúlyban. A , rom tartóelem össze van kapcsolva. Határozza meg a rudak támasztóerejét, valamint a kötélben ébredı húzóerıt! r r r r r r r r r Adatok: A = ( 4 ex + ez ) m , = ( −4 e ) m , = ( 4 e ) m , = ( 2 e ) m .
r G r r r r r r r r r r r Megoldás: F = ( 4ex + 4 e y + ez ) kN , F = ( −12ey + 9 ez ) kN , F = ( −4ex + 8 e y + 2 ez ) kN _____________________________________________________________________________________________________________________
9. példa: (MP.I.1.61.)
r
Ismertek a térbeli erırendszer pontokhoz kötött F erıvektorai = (1, 2,3) és az a r r r r r r r r r r r r r irányvektor: F1 = ( 4ex − 4 ez ) N , F2 = ( −2ex ) N , F3 = ( 2ex + 3e y + 4ez ) N , a = −2ex + 4 e y − 4 ez a. b. c. d.
r
Határozza meg az erırendszer eredıjét! r r Mekkora ezen erırendszer és A pontokra számított és A nyomatéka? Határozza meg az erırendszernek a koordináta-tengelyekre számított nyomatékát! Mekkora az erırendszer a -tengelyre számított nyomatéka?
"
1
6m
r F1 4m
O r F2
2
r F3
!
A r a
3
8m
r r r r r r r r r r Megoldás: F = ( 4ex + 3 e y ) N , = ( 24ex − 24 e y + 24 ez ) Nm , A = ( 24ex − 24 e y ) Nm ,
x
2
= 24 Nm ,
y
= −24 Nm ,
z
= 24 Nm ,
a
= −24 Nm
_____________________________________________________________________________________________________________________
10. példa: (MP.I.1.63.) r r #r #r Adott az F1 , F2 és 1 , 2 nyomatékokból álló erırendszer. #$ # # # Adatok : F1 = F2 = 5 és 1 = 2 = 20 Nm . a. Mekkora az erırendszer eredıje? #r #r b. Határozza meg az erırendszer % és A pontokra számított & és A nyomatékát! c. Mekkora az erırendszer a -tengelyre számított nyomatéka?
8m
r F1 r F2
4m
'r 1
'r 2
r r r r #$ #r r r r # , & = (15ex + 32 e y − 40 ez ) Nm , Megoldás: F = ( 4ex − 5 e y − 3 ez ) #r # # r r # Nm , A = ( 8e y − 20 ez ) a = −20 Nm
3
11. p da (MP.I.1.70.d.) r r ( Az xyz koordin ta-rendszerben adottak az A , ill. ) pontok, tov az ezekben ható FA , F* , r F+ erık. Határozzza meg az erırendszer A pontban redukált eredı vektorkettısét, és döntse el, hogy az erırendszer melyik osztályozási csoportba tartozik! Adatok: A ( 0, 0, 0 ) m , r r r r r r r r r - (0;8; 4) . , FA = ( −10ex + 20e y ) N , F* = ( 40e/ ) N , FA = (10ex − 40ey − 20ez ) N .
r FA
(
( 2, 0, 0 )
,
,
r F1
r F0
r 2r r r r r Megoldás: F = ( 20e y − 20ez ) N , + = ( 240ex + 40 ey ) Nm ,
345c6 a784
______________________________________________________________________________________________________________________
12. példa (MP.I.1.77.) r : Egy óceánjárót négy tolóhajó mozgat. A tolóerık ( F9 ) támadáspontjaikkal ( 9 ) együtt
; = (1, 2, 3, 4 )
adottak. r r r r r r r r <>= Adatok: F1 = ( −2e y ) kN , F2 = ( 8e y ) kN , F3 = ( −4ey ) kN , F4 = ( 3e y ) kN , , r r r r r r r r : : : : 1 = ( −60ex + 20ey ) m , 2 = ( −40ex − 20e y ) m , 3 = ( 30ex + 20e y ) m , 4 = ( 60ex − 20e y ) m . a. Redukálja az erırendszer az A pontba! ? erıközéppontot! b. Határozza meg a
r F1
r F2
r F3
r F4
r 2r r r r r r Megoldás: F = ( 5 e y ) kN , A = (140ez ) kNm ; 4@ = ( 28ex − 68e y ) m .
1
______________________________________________________________________________________________________________________
13. példa: (MP.I.1.55.) Adott az alábbi ábrán vázolt testre ható erırendszer. r r r r r r r r r Ar Ar Adatok: F1 = ( −2ex − 3e y ) N , F2 = ( 3ex ) N , F3 = ( e y ) N , 1 = ( 2ez ) Nm , 2 = ( −4ez ) Nm r r r r r r r r r r r r BA = ( −4 ex − 2 ey ) m , BC = ( −4 ex + 2ey ) m , BD = (8ex + 4 ey ) m , BE = ( 4 ex + 4ey ) m .
G
pontra! a. Számítsa ki nyomatékát az F illetve a b. Helyettesítse az erırendszert az eredıjével: elıször az x -tengely G , majd az y -tengely H pontjában!
r
r F3
2
r F2
r 1
r F1 Megoldás:
Ar
r
I = (8eJ ) Nm ,
Ar E
r r r r r = ( 20eJ ) Nm , BG = ( −4ex ) m , BK = ( −8eL ) m
______________________________________________________________________________________________________________________
14. példa: (MP.I.1.89.) Az alábbi testre a rudas megtámasztásokon átmenı, NM hatásvonalakon m ködı ( O = 1, 2,3) r Ar erıpár hat. A test egyensúlyban van. Számítsa ismeretlen FM támasztóerık, valamint az ismert r r r Ar r ki az F1 , F2 , F3 erıket, ha = (12ez ) Nm ! y 3
C r
PQ
B
1
RS
x
A RS
2 r r r r r r r Megoldás: F1 = ( −2ex ) N ; F2 = ( 2ex − 3 e y ) N , F3 = ( 3 e y ) N
2
15. p da (MP.I.1.121.) Reduk lja az A pontba a s gerend terhelı, x -tengely ment megoszl erırendszert! T Hat zza meg centr lis egyenese egy tetszıleges pontj k xU koordin Sz ki a t erıket! Vr Wr N Vr Wr N Vr Wr N Adatok: 1 = ( 2 y ) , 2 = ( −4 y ) , 3 = ( −6 y ) . m m m
r 1
r
r
2
3
r Xr r r Megoldás: F = ( −19 e y ) N , A = ( −275 ez ) Nm , xU = 14.47 m . ______________________________________________________________________________________________________________________
16. p da (MP.I.1.124.) a. Reduk lja az al l megoszl erırendszert a Y pontba. A megoszló Z[ [ szakaszon másodfokú parabola, a Y szakaszon lineárisan változik. erırendszer az Vr Wr N Vr Wr N Vr Wr N Vr Wr N Adatok: 1 = ( 4 y ) , 2 = ( −2 y ) , 3 = ( −3 y ) , 4 = (1 y ) . m m m m b. Hol és milyen helyzet rúddal lehet megtámasztani a tartót? [ c. Mekkorák lesznek az A és pontoknál a támasztóerık, ha ezeken a helyeken a tartót egy-egy y − irányú rúddal megtámasztjuk, és a tartó egyensúlyban van?
r
r
1
4
r 2
r 3
r Xr r r Megoldás: F = ( 7.67 e y ) N , \ = ( −21.5 e] ) Nm , x = 4.19 m , y − ^_ányban , r r r r FA = ( 0.375 e y ) N , FB = ( −8.042 e y ) N .
1
______________________________________________________________________________________________________________________
17. példa: (MP.I.1.144.) Adott egy anyagi pontból álló skalárrendszer. ` ` ` r r r r Adatok: m1 = 5 a , m2 = 2 a , m3 = 3 a , cb = ( 4 ex + 4 ey + 43ez ) m
Számítsa ki a tömegpontrendszer: er er d pontokra vonatkozó A ill. b statikai nyomatékát, a. A ill. r b. a tömegközépponjának helyét ( cf )! Megoldás:
er A
er r r r r r r r r r = ( 40ex + 28 ey + 15 ez ) kag , b = ( −12 ey − 15 ez ) kag , cf = ( 4ex + 2.8 ey + 1.5 ez ) m .
_____________________________________________________________________________________________________________________
18. példa: (MP.I.1.146.) a. Határozza meg az alábbi ábrán vázolt homogén test súlypontját! (a méretek mm -ben értendık) b. Hogyan változik a súlypont helye, ha a test 10x10x10-es felsı kocka része a többihez képest kétszerakkora s r ség anyagból készül?
h
kl
mj
A ij
x
Megoldás: 2
y
cn = (14ex + 5ey + 17 ez ) mm , cn o = (13.18 ex + 5ey + 18.34 ez ) mm r
r
r
r
r
r
r
r
_____________________________________________________________________________________________________________________
19. példa: (MP.I.1.149.d.) p p Számítsa ki az alábbi keresztmetszet x -tengelyre számolt x és y -tengelyre számolt y statikai nyomatákát! Határozza meg az A pontra vonatkozó statikai nyomatékát is és súlypontját! (a méretek mm -ben értendık) y
10
20
O
x
10
Megoldás:
p
p
3 3 x = 34500 mm , y = −2500 mm , r r r rq = ( −2.78ex + 38.3 ey ) mm .
pr A
r r = ( −2500 ex + 34500 ey ) mm3 ,
3
21. példa (MP.I.5.2.) r r Vízszintes, érdes talajra – kezdısebesség nélkül – helyezett G súlyú testre ismert F erı hat. A nyugvásbeli surlódási tényezı s 0 . Feltéve, hogy a test nyugalomban marad, határozza meg a r támasztó erırendszer Ft eredıjét és centrális egyenesét. A feladatot a. számítással , b. szerkesztéssel oldja meg! c. A megadott s 0 esetén nyugalomban marad a test? r r r r r Adatok: G = ( −800ey ) N , F1 = ( 300ex − 200ey ) N , s 0 = 0.35 .
wx
uv
r G
r F
0
r } r r Megoldás: F = ( 300ex − 1000 e y ) N , a c.e. yz az x − {engely metz| yz pon{ a : x = 0.35 m ,
s
~
0.t nyl .
= 0.3 < 0.35 ⇒ gen .
______________________________________________________________________________________________________________________
22. példa (MP.I.5.6.) Határozza meg az alábbi tartó támasztóerı rendszerét!
r r r r Megoldás: FA = (12ey ) , FB = 0 .
1
______________________________________________________________________________________________________________________
23. példa: (MP.I.5.8.) Határozza meg az alábbi tartó támasztóerı rendszerét!
0
=0
r r r r r r Megoldás: FA = (1.154 ex + 6 e y ) kN , F = ( −1.154 ex − 2 ey ) kN . _____________________________________________________________________________________________________________________
24. példa: (MP.I.5.13.) Határozza meg az alábbi tartó támasztóerı rendszerét!
y
A
B
x
r r r r r Megoldás: FA = ( 500 e y ) N , F = ( 500 ex + 500 ey ) N .
2
_____________________________________________________________________________________________________________________
25. példa: (MP.I.5.31.) r r Határozza meg, hogy legfeljebb mekkora F1 = F1 ex erıvel terhelhetı az A és helyeken sima r r felületnek támaszkodó G = ( −100 ey ) N súlyú homogén prizmatikus rúd úgy, hogy még egyensúlyban maradjon, a. ha F1 > 0 ill. b. ha F1 < 0 ? c. Mekkorák a fenti esetekben a támasztóerık?
r F1
=0
1
0
2
r G
A
r r r r r r r Megoldás: F1 = ( 83.33ex ) N , FA = (16.67ex ) N , F = ( −100 ex + 100 ey ) N , r r r r r r r F1 = ( −50 ex ) N , FA = ( 50ex + 100e y ) N , F = 0 .
3
28. példa (MP.I.5.21.) Határozza meg az alábbi tartó támasztóerı rendszerét!
0
=0
r r r r r r Megoldás: FA = ( 7 e y − 7 ez ) kN , F = ( − ey + 5 ez ) kN . ______________________________________________________________________________________________________________________
29. példa (MP.I.5.22.) Határozza meg az alábbi tartó támasztóerı rendszerét!
r r r r r r Megoldás: FA = ( −12.5 ey − 5 ez ) kN , F = (112.5 e y − 45 ez ) kN .
1
______________________________________________________________________________________________________________________
30. példa: (MP.I.5.34.) Határozza meg számítással az ábrán vázolt, tartós nyugalomban lévı szerkezet támasztóerı rendszerét! y
C
B
A
x
r r r r r r Megoldás: FA = F = ( 8 e ) kN , F¡ = ( − 8ex + 8 ey ) kN . _____________________________________________________________________________________________________________________
31. példa: (MP.I.5.47.) ¢ helyén mindkét végén gömcsuklóval ellátott súlytalan Elhanyagolható súlyú lemezt A és r rúddal, £ pontjában ez normálisú sima felülettel támasztunk meg. Adatok: a = 1 m , b = 3 m . r r a. Milyen tartományban lehet a lemezt F = − F ez erıvel terhelni, hogy egyensúlyban maradjon? r r ¤ pontban hat! b. Határozza meg a támasztóerıket, ha az F1 = ( −5 ez ) kN erı a
§
A
¨ 0
¦
¨
=0 ©
B ¥
Megoldás: az
2
ª¢ ¤ ® £ «¬ ¯z°± be²³² ,
r r r r r r FA = ( −2.5 ez ) kN , F¡ = ( 5 e´ ) kN , F = ( 2.5 e´ ) kN .
_____________________________________________________________________________________________________________________
32. példa: (MP.I.5.53.) r r Homogén tömegeloszlású, G = ( −240 ez ) N súlyú homogén lemezt 6 db súlytalan rúddal támasztunk meg. Mekkorák a támasztóerık?
µ¶
r G
r r r r r r r r Megoldás: F1 = F5 = (120 ez ) N , F2 = F3 = F4 = F6 = 0 .
3
30. példa (MP.I.5.57.) Határozza meg az alábbi ábrán látható szerkezet támasztóerıit és belsı erıit! Az érintkezı felületeket simának tekintse! r · ¸ · ¸ r r r Adatok: 1 = 0.3 , 2 = 0.2 , G1 = ( −90 e y ) N , G2 = ( −60 e y ) N .
¹0 = 0
r G1
r G2
r r r r r r r r r Megoldás: FA = ( 80 ex ) N , Fº = (150 e» ) N , F¼ = ( −80 e½ ) N , F12 = ( 80 ex + 60 e y ) N . ______________________________________________________________________________________________________________________
31. példa (MP.I.5.60.) Határozza meg az alábbi ábrán látható szerkezet támasztóerıit és belsı erıit! Az érintkezı felületeket simának tekintse! r · ¸ r r r Adatok: = 1.5 , G1 = ( −6 ez ) kN . G2 = ( −60 e y ) N .
¾¿
r r r r r r r Megoldás: FA = ( 6.67 e y ) kN , Fº = ( 8 ex − 0.67 ey ) kN , F¼ = ( −8 e½ ) kN , r r r F12 = ( −8 ex − 6 ey ) kN .
1
______________________________________________________________________________________________________________________
32. példa: (MP.I.5.61.) Határozza meg az alábbi ábrán látható szerkezet támasztóerıit és belsı erıit! Az érintkezı r r felületeket simának tekintse! G = ( −3 ey ) kN . y 2kN
Ä
Ã
A
S r G
B ÂÁ
ÀÁ
Å0 = 0
z
ÀÁ
r r r r r r r r r r Megoldás: FA = ( −4 ez ) kN , FÆ = ( 7 eÇ ) kN , FÈ = ( 4 ey − 2 ez ) kN , F12 = ( 4 ey + 2ez ) kN . _____________________________________________________________________________________________________________________
33. példa: (MP.I.5.70.) Képes-e megtartani a G súlyú testet a vázolt tulajdonságú fogó? G = F = 50 kN ,
r F
0
0
r G
Megoldás:
2
ÊË ÌÍ, É0 min = 0.18 .
É
0
= 0.3 .
_____________________________________________________________________________________________________________________
34. példa: (MP.I.5.73.) Határozza meg számítással az alábbi ábrán vázolt szerkezet támasztó és belsı erıit! A vastag vonallal rajzolt rudak súlya elhanyagolható. y 2m
2m
1m
C Î
2kN
Ï
3kN
A
B
x
r r r r r r r r r Megoldás: FA = ( − ex + 1.5 ey ) kN , FÐ = ( 4 ex − 0.5 ey ) kN , F12 = ( −2 ex − 1.5 ey ) kN .
3
35. példa (MP.I.5.77.) Határozza meg számítással az alábbi ábrán vázolt szerkezet támasztó és belsı erıit! A vastag vonallal rajzolt rudak súlya elhanyagolható.
ÑÒ
ÑÒ
r r r r r r r r Megoldás: FA = ( 7 eÓ ) kN = − FÔ , F12 = ( e y ) kN , F13 = ( 2 ey ) kN = − F23 . ______________________________________________________________________________________________________________________
36. példa (MP.I.5.79.) Határozza meg számítással az alábbi ábrán vázolt szerkezet támasztó és belsı erıit! A vastag vonallal rajzolt rudak súlya elhanyagolható. x
×Ö
ÕÖ
C ØÒ
2
12kN
3
ØÒ
B
ØÒ
1
A
z
r r r r r r r r Megoldás: FA = ( −8 ex − 12 ez ) kN , FÙ = ( 8 eÚ ) kN , F12 = ( −20 ex − 12 ez ) kN , r r r r F13 = (12 ex 12 ez ) kN = − F23 .
1
______________________________________________________________________________________________________________________
37. példa: (MP.I.5.90.) Határozza meg az alábbi Gerber-tartó támasztóerı-rendszerét és belsı erıit!.
y
ÛÜÝ
ÛÜÝßà
A
á 2m
C B 1m
ÞÜÝ
â 2m
x
1m
r r r r r r r r r r Megoldás: FA = ( 6 e y ) kN , Fã = ( −4 ex + 9 e y ) kN , Fä = ( 9 eå ) kN , F12 = ( −4 ex − 3 e y ) kN . _____________________________________________________________________________________________________________________
38. példa: (MP.I.5.91.) Határozza meg az alábbi Gerber-tartó támasztóerı-rendszerét és belsı erıit!.
æ
r r r çr r r r r r r Megoldás: FA = ( 3 ey − 2 ez ) kN , Aè = ( −22ex ) kNm , Fä = ( 3 eå ) kN , F12 = ( 3 e y − 2 ez ) kN .
2
_____________________________________________________________________________________________________________________
39. példa: (MP.I.5.94.) Az ábrán vázolt rúdszerkezet tartós nyugalomban van. Határozza meg számítással és r szerkesztéssel az F1 erıt, valamint a támasztó- és belsı erıket (csomópontra ható erık)!
éê ëê
r r r r r r Megoldás: F1 = ( −120 e y ) N , FA = ( −120 ex + 120 eì ) N = F1í , r r r r r r r Fî = (120 ex + 120 eì ) N = F3ï , F2í = (120 eð ) N = − F2ï .
ñò
A
òñ
C
ö
ó2í = óí 2
ó2ï = óï 2 ó3ï = óî
ó1
õ1í = õô
3
40. példa (MP.I.5.102.) Határozza meg az ábrán vázolt rácsos szerkezet kijelölt rúdjaiban ébredırúderıket!
÷ø
Megoldás: N1 = 3 kN , N 2 = 4.45 kN , N 3 = −6 kN , N 4 = N 6 = N 7 = 0 , N 5 = −4 kN . ______________________________________________________________________________________________________________________
41. példa (MP.I.5.108.) Határozza meg az ábrán vázolt rácsos szerkezet kijelölt rúdjaiban ébredırúderıket!
Megoldás: N1 = N 3 = N 4 = 0 , N 2 = 12.37 kN , N 5 = −18 kN , N 6 = 12 kN .
1
_____________________________________________________________________________________________________________________
42. példa: (MP.I.5.106.) Határozza meg az ábrán vázolt rácsos szerkezet kijelölt rúdjaiban ébredırúderıket!
ùú
Megoldás: N1 = 17 kN , N 2 = 2.83 kN , N 3 = −9.49 kN , N 4 = 9 kN , N 5 = 2 kN . _____________________________________________________________________________________________________________________
43. példa: (MP.II.1.7.) Határozza meg az ábrán vázolt rúdszerkezet kijelölt és ÿû igénybevételeket!
1 5m
A
û ( ý = 1..2 ) keresztmetszeteiben az N û , þû
B
1
z
5m
y
ü
2
5m
1m
3kN
2kN
C Megoldás: N1 = 17 kN ( N2 = 0 , 2
þ2 = −5 kN
),
(
þ1 = 1 kN ),
(
ÿ1 = −6.75 kNm
),
ÿ2 = −4.5 kNm
(
).
(
),
_____________________________________________________________________________________________________________________
44. példa: (MP.II.1.11.) Ismeretes a tartó terhelése és támasztó erırendszere. A tartón kijelölt 1 , 2 és 3 keresztmetszetek a -keresztmetszet közvetlen közelében van (távolságukat -tıl elhanyagolhatjuk). a. zámítsa ki a 1 , 2 és 3 keresztmetszet igénybevételeit! b. ırizze, hogy a kiszámolt igénybevételek hatására a 1 , 2 és 3 keresztmetszetek által közrefogott rész is egyensúlyban van-e! c. Határozza meg a 4 keresztmetszet igénybevételét!
y
A
2
C
3 1
B
z
, Megoldás: a.) N1 = 0 , 1 = 100 , 1 = −20 Nm , N 2 = 0 , 2 = −300 2 = −60 Nm , N 3 = 300 N , 3 = 100 , 3 = 40 Nm , b.) A 1 , 2 és 3 keresztmetszetek által közrefogott rész is egyensúlyban van, mert arra: = 100 − 100 = 0 , = −300 + 300 = 0 és = 20 − 60 + 40 = 0 . c.) N 4 = 300 N , 4 = 100 , 4 = 20 Nm ,
!"
3
& $ %
45. példa (MP.II.1.30.) ajzolja meg az adott terheléső befogott rúd N ( z ) rúderı ( ) nyíróerı és ( ) hajlítónyomatéki ábráját a számszerő értékek ill. a görbe szakaszok végérintıinek megadásával a. közvetlenül az egyes igénybevételek értelmezése alapján, b. a terhelési a nyíróerı és a hajlítónyomatéki ábra közötti összefüggések (egyensúlyi egyenletek) felhasználásával!
#$
' ( 6 er
y
r + 2 ez ) kN
Megoldás:
* +,-
A
B
C
)
. +,-
( 1kNm
2
z
/0 123
45 +,-
1 z
/623
______________________________________________________________________________________________________________________
& $ %
46. példa (MP.II.1.31.) ajzolja meg az adott terheléső befogott rúd N ( z ) rúderı ( ) nyíróerı és ( ) hajlítónyomatéki ábráját a számszerő értékek ill. a görbe szakaszok végérintıinek megadásával a. közvetlenül az egyes igénybevételek értelmezése alapján, b. a terhelési a nyíróerı és a hajlítónyomatéki ábra közötti összefüggések (egyensúlyi egyenletek) felhasználásával!
#$
7 ( −30 ery + 30 erz ) kN 1
Megoldás:
_____________________________________________________________________________________________________________________
47. példa: (MP.II.1.35.c) Adott a kéttámaszú tartó terhelése és támasztó er rendszere. A terhelési a nyíróer és a hajlítónyomatéki ábra közötti összefüggések (egyensúlyi egyenletek) felhasználásával rajzolja meg az egész tartóra a ( ) nyíróer és az ( ) hajlítónyomatéki ábrákat számszerő értékek ill. a görbe szakaszok végérintıinek megadásával!
89
r r r FA = ( 2,5 ey + ez ) kN
2
; 9 :
<
=
r r F = ( 6,5 e ) kN
48. Megoldás:
A B
C
N(z)
> -1
T(z)
2
1,5
z -1
-4,5
Mh(z)
2 0,5 z
-1 _____________________________________________________________________________________________________________________
49. példa: (MP.II.1.54.) Adott a kéttámaszú, törtvonalú tartó terhelése és támasztó er rendszere. a. Határozza meg, hogyan változik a tartó mentén a rúder és a nyíróer , majd rajzolja meg ezek függvényábráit! b. ajzolja meg a tartó hajlítónyomatéki ábráját a már megrajzolt nyíróer ábra alapján, c. ill. a a nyíróer ábra felhasználása nélkül, közvetlenül a tartóra ható er rendszerb l! 2kN/m
A
s
B
D
s
C 1kN
3m
3
Megoldás:.
A
B
N(z)
?
C
3 1
?
-3
T(z) 5 s -1 -3
Mh(z)
s
-6
4
49. példa (MP.II.1.34.) Adott a kétt tartó terhelése és masztó erırendszere. A terhelési-, a ny róerı- és a hajlítónyomatéki ábra közötti összefüggések (egyensúlyi egyenletek) felhasználása útján a. számítsa ki a tartó BC szakaszára a nyíróerı = C − B megváltozását, b. c.
A@ @ @ AD = D − D C megváltozását, határozza meg a BC szakaszra a hajlítónyomaték B B B F ajzolja meg az egész tartóra a @ ( E ) és ( E ) igénybevételi ábrákat!
Megoldás:
C
A@ = −2.5 GF , AD H 0.75 GNm . B
1
______________________________________________________________________________________________________________________
50. példa (MP.II.1.43.) Ismeretes a tartó terhelése ajzolja meg zvetlenül (a megrajzolása nélkül) a hajlítónyomatéki ábrát !
ó erırendszer és a ny
ı
Megoldás:
_____________________________________________________________________________________________________________________
51. példa: (MP.II.1.47.) Adott a erber-típusú tartó terhelése. ajzolja meg az igénybevételi ábrákat!
IJ
tartóra az N ( z ) ,
Megoldás: y
A N
[ S 3
y
TS]Nm ^VW
O
VW
UVW TUVW
-
UVW
O
\VW -2
2
Q
z
R \VW XYZ
P
C
B
_
-
UVW
z
K (L ) , N M (L )
a
_____________________________________________________________________________________________________________________
`
`
52. példa: (MP.II.1.65.) A végein sap tengelyekre ékelt 1 és 2 r r r r erık hatnak. F1 = ( 640 ex ) N , F2 = − F2 ey , 1 = 0.2
`
r r érıj tárcsára ismert F1 ill. ismeretlen F2
a,`
2
= 0.32
a , b = 0.8 a és a = 0.2 m .
eltételezve, hogy a tengely állandó szögsebességgel mozog, számítsa ki F2 értékét és rajzolja meg az N ( z ) ,
c ( d ) , f e ( d ) és f ( d ) igénybevételi ábrákat! c
r F1 r F2
r F2
r r Megoldás: F2 = ( −400 e y ) N y
A
g
B
h
ijj
y
kljj
mno
g
z
h
x
klpj mns mu
kpj
qrj z
tp
g g kpq 3
K tél egyensúlyi alakja és igénybevétele
v
53. példa (MP.II.2.2.) Az A és pontokon felfüggesztett kötelet három párhuzamos erıbıl álló erırendszer terheli. A r r kötelet annyira feszítjük meg, hogy a legnagyobb kötélerı N max = 2.5G legyen. G = −G ey , G = 80 N , a = 2 m . Szerkessze meg a kötél egyensúlyi alakját és számítsa ki a kötél
r G
r G
w hosszát!
r G
x = 2y pólustávolsággal szerkesztett, az A és v w z { pontokon átvezetett kötélsokszög , = ( 5 17 ) m 9.12 m . Megoldás: A kötél egyensúlyi alakja a
______________________________________________________________________________________________________________________
|
54. példa (MP.II.2.6.) Az A és pontokban felfüggesztett kötél önsúly okozta belógása y0 = 4 m . A kötél N folyómétersúlya = 40 , a felfüggesztési pontok vízszintes távolsága = 25 , szintkülönbsége m = 5 . A kis belógásra vonatkozó közelítések figyelembevételével számítsa ki az N 0 legkisebb r r kötélerıt, valamint az FA és F támasztóerıket!
}
~
r r r r r r Megoldás: N 0 = 796 N , FA = ( 357 e y − 796 ez ) N , F = ( 683 e y + 796 ez ) N .
1
K tél egyensúlyi alakja és igénybevétele _____________________________________________________________________________________________________________________
55. példa: (MP.II.2.11.) r r Az = ez szögsebességgel forgó
= 120 N ;
= 0.2 .
lefékezni. N1 a. >0 ; <0! b.
sugarú korongot a kerületére feszített acélszalaggal akarjuk r Számítsa ki az FA támasztóerı nagyságát, ha:
0
y x
r
A
N1
Megoldás: a.) FA = 64.02 N , b.) FA = 224.86 N . _____________________________________________________________________________________________________________________
>0; a. <0 ? b.
56. példa: (MP.II.2.13.) Az sugarú érdes korong felületére fektetett kötelet az rúd segítségével feszítjük meg. r r r = esetében maradhat a korong még nyugalomban, ha z . Mekkora max =
max
0
r
r F0
Megoldás: a.)
2
max
= 2 F0
(1 − ) −
0
b.)
max
= 2 F0
( − 1) . 0
