Meetkunde. Inhoud. Vanouds tot op de dag van vandaag. Anne van Streun en Nellie Verhoef

Meetkunde

Handboek vakdidactiek wiskunde

Meetkunde Vanouds tot op de dag van vandaag Anne van Streun en Nellie Verhoef

Inhoud 1. Oriëntatie......................................................................................................................... 3 2. Probleemstelling ............................................................................................................. 8 3. Probleemverkenning ....................................................................................................... 8 3.1. Klasse I: Kijken, tekenen, rekenen, ordenen............................................................ 9 Klasse I.1 Kijken naar meetkundige situaties ...................................................... 9 Klasse I.2 Meetkundige berekeningen ............................................................... 11 Klasse I.3 Ordenen van meetkundige objecten .................................................. 12 3.2. Klasse II: Redeneren met meetkundige concepten ................................................ 14 Klasse II.1 Beginnen met redeneren ................................................................... 15 Klasse II.2 Opbouwen van een structuur ............................................................ 15 3.3. Klasse III: Oplossen van meetkundige problemen ................................................ 17 Klasse III.1 Klassieke bewijsprobleempjes .......................................................... 17 Klasse III.2 Berekeningen met gelijkvormigheid en goniometrie........................ 18 Klasse III.3 Cirkelmeetkunde ............................................................................... 19 Klasse III.4 Rijke historisch-culturele contexten ................................................. 19 4. Wat weten we al? .......................................................................................................... 21 4.1. Historisch perspectief van het onderwijs in de meetkunde.................................... 21 4.1.1. Oriëntatie......................................................................................................... 21 4.1.2. De oorsprong van de Euclidische meetkunde................................................. 22 4.1.3. De discussies in de 19e en 20e eeuw over het meetkundeonderwijs.............. 22 4.1.4. ‘Weg met Euclides. De New Math.’............................................................... 23 4.1.5. De huidige meetkundeprogramma's in havo-vwo .......................................... 25 4.2. Meetkundige conceptontwikkeling........................................................................ 28 4.2.1. Van Hiele ........................................................................................................ 28 4.2.2. Paradigmatische voorbeelden ......................................................................... 30 4.2.3. 3D-representaties ............................................................................................ 31 4.3. Het oplossen van meetkundeproblemen ................................................................ 32 4.3.1. Het exploreren van meetkundige relaties met behulp van software ............... 32 4.3.2. Bewijzen als denkmethode ............................................................................. 32 4.3.3. Een passende didactiek ................................................................................... 34 4.3.4. Verschillende bewijsmethoden ....................................................................... 37

1

Meetkunde


5. Ontwerpen..................................................................................................................... 38 5.1. Een algemene instructiestrategie............................................................................ 38 5.2. Kijken, tekenen, rekenen, ordenen......................................................................... 39 5.3. Redeneren met meetkundige concepten................................................................. 41 5.3. Redeneren met meetkundige concepten................................................................. 42 5.4. Oplossen van meetkundige problemen .................................................................. 43 5.4.1. Kegelsneden, meetkundig en analytisch ......................................................... 43 5.4.2. Meetkundig en analytisch oplossen ................................................................ 46 Referenties ........................................................................................................................ 49

2

Meetkunde


1. Oriëntatie

Figuur 1 Papyrus van Rhind

Alle klassieke beschavingen (Egypte, Babylon, India, China) kenden een praktische meetkunde, zoals hierboven door de papyrus van Rhind (2000 voor Christus) is geïllustreerd. Die meetkunde had daarin altijd het karakter van een min of meer correct recept in de vorm van: 'Bereken de oppervlakte van een driehoek door de lengte van de zijde te meten en die te vermenigvuldigen met de gemeten hoogte en de uitkomst door 2 te delen.' Meetkunde als een wetenschappelijke methode; een mentale discipline; een abstracte verhandeling; een voorbeeld van strak en logisch redeneren, is door de Grieken ontwikkeld en tot norm ingevoerd. Ongeveer 2300 jaar geleden herordende Euclides de meetkunde tot een gesloten systeem met vaste regels, definities en axioma's, waarmee een structuur werd opgebouwd van abstracte stellingen en strikte bewijzen. Tot ver in de twintigste eeuw zijn de leerboeken gebaseerd op de principes en de structuur van de Elementen van Euclides. We geven ter illustratie van die invloed enkele fragmenten uit leerboeken. Op de volgende pagina staat een fragment uit de 'Grondbeginselen der Meetkunst' (1e druk 1770, de afbeelding is uit de 7e druk 1811) geschreven door Pibo Steenstra. Een boek dat uitdrukkelijk is bestemd voor de gebruikers van wiskunde in de zeevaart, de bouwkunde, de landmeetkunde, de natuurkunde, enzovoort.

3

Meetkunde


Figuur 2 Omtrekshoek in Steenstra (1811/1770)

4

Meetkunde


Het tweede fragment komt uit P.Wijdenes, Beknopte meetkunde (1954). Tot aan de invoering van het nieuwe 'moderne' wiskundeprogramma in 1968 stond deze meetkunde met cirkels geprogrammeerd in het derde leerjaar van hbs, gymnasium en (m)ulo.

Figuur 3 Omtrekshoek in Wijdenes (1954)

5

Meetkunde


Dit laatste fragment is uit Moderne Wiskunde B2 deel 1 (Bos e.a., 1999), bestemd voor het vwo-vak wiskunde B2 in de toen net gestarte ‘nieuwe’ tweede fase havo-vwo. In dat wiskundevak voor het profiel N&T nam de Euclidische meetkunde een belangrijke plaats in.

Figuur 4 Omtrekshoek in Moderne Wiskunde (1999)

6

Meetkunde


Door de verschijning van Descartes' boek 'La Géométrie' in 1637 werd de gehele klassieke meetkunde binnen het bereik van de algebra gebracht, zodat vanaf dat moment meetkundige en algebraïsche principes elkaar konden bevruchten. Volgend op het werk van Descartes werd de analytische meetkunde met zijn 'Cartesiaanse' assen en vergelijkingen van lijnen en kegelsneden ontwikkeld. Na Descartes konden ook x2 en xy als getallen die lijnsegmenten voorstelden worden beschouwd en kon men uit de vergelijking 1 : a = a : a2 de term a2 als een lijnsegment uit een evenredigheid construeren. Een algebraïsche vergelijking in x en y werd nu een betrekking tussen getallen die lengten van lijnsegmenten voorstelden. Deze nieuwe wiskundige abstractie maakte de algemene algebraïsche behandeling van algebraïsche krommen mogelijk. In zijn proefschrift over Cardinael (1578-1647) laat Sitters (2007) zien dat die benadering van de meetkunde indertijd op hevig verzet van een aantal klassieke meetkundigen stuitte. Opdracht 1.1 Construeer met passer en liniaal een lijnstuk met lengte a2 als het lijnstuk met lengte a en de eenheid zijn gegeven. De algebraïsche of analytische meetkunde heeft na Descartes een grote vlucht genomen en werd voor 1968 als afzonderlijk vak in de bovenbouw van hbs en gymnasium onderwezen. Over de geschiedenis van het meetkundeonderwijs meer in hoofdstuk 4. Zoals de genoemde Steenstra al in de voorrede op zijn leerboek schreef zijn verscheidene delen van het werk van Euclides overbodig geworden, omdat de inhoud met behulp van algebra veel korter kan worden behandeld. Hij verdedigt evenwel met verve de noodzaak van het verwerven van een degelijke basis in de grondbeginselen der meetkunde. Dit katern gaat over de didactiek van het meetkundeonderwijs maar wij denken dat het voor (een deel van) de lezers nuttig is om delen van de meetkunde systematisch op te frissen. Wij verwijzen hen naar 'oude' schoolboeken (b.v. het genoemde schoolboek Moderne Wiskunde B2 deel 1 uit 1999) en websites waar alle boeken uit de Elementen van Eucides met dynamische figuren zijn terug te vinden. De stelling over de omtrekshoek staat bijvoorbeeld op de prachtige website van David Joyce, hoogleraar wiskunde aan de Clarke University, te vinden op de volgende pagina: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII20.html De didactiek van de algebraïsche of analytische meetkunde blijft in dit katern helaas voor het grootste deel buiten het gezichtsveld. In hoofdstuk 5 komt het wel aan de orde.

7

Meetkunde


2. Probleemstelling Dit katern heeft tot doel een aantal aspecten van het onderwijs in de meetkunde te bespreken, zodat de lezer in staat wordt gesteld een beargumenteerd oordeel te geven over de waarde en mogelijkheden van het onderwijs in de meetkunde in het voortgezet onderwijs. Op de volgende vragen wordt nader ingegaan: 1. Welke (historische) argumenten over de waarde en inhoud van het meetkundeonderwijs zijn nu relevant? 2. Welke didactische opbouw is passend bij de vorming van meetkundige concepten? 3. Hoe is het oplossen van meetkundige problemen en het redeneren te onderwijzen?

3. Probleemverkenning In het wiskundeonderwijs neemt meetkunde een specifieke plaats in omdat het daarbij niet gaat om het werken met getallen. De focus ligt op het werken met objecten, tweedimensionaal dan wel driedimensionaal. Getal en ruimte, de basiselementen van de wiskunde, zijn nauw met elkaar verbonden. Bij het wiskundig denken wordt gebruik gemaakt van getallen, maar óók van meetkundige objecten. Oplossingen van problemen worden nogal eens gevonden door heen en weer te pendelen tussen algebraïsche, analytische en statistische representaties enerzijds en meetkundige figuren anderzijds. Die wisselwerking, blikwisseling, is alleen mogelijk als er ook basiskennis bestaat over meetkundige objecten, de eigenschappen en de unieke karakteristiek daarvan. Over die basiskennis gaat het in dit katern. In deze paragraaf passeren verschillende typen meetkundige activiteiten de revue. In onze bespreking zijn de voorkomende meetkundige activiteiten ingedeeld in drie klassen. De eerste klasse Kijken, tekenen, rekenen, ordenen spitst zich toe op eenvoudige meetkundige situaties in de wereld om ons heen en op concrete meetkundige vormen en voorwerpen. Bij de tweede klasse Redeneren met meetkundige concepten ligt het accent op het redeneren aan de hand van eigenschappen van meetkundige objecten. De derde klasse Oplossen van meetkundige problemen gaat over vragen die naar voren komen uit een gegeven representatie van meetkundige objecten, figuren, situaties.

8

Meetkunde


3.1. Klasse I: Kijken, tekenen, rekenen, ordenen Klasse I.1

Kijken naar meetkundige situaties

In de vakliteratuur zijn talloze voorbeelden te vinden van meetkundige situaties die in het onderwijs voor 12-16 jarigen kunnen worden gebruikt om leerlingen meetkundig te leren kijken en denken. Een volgende stap is het representeren van een driedimensionale situatie naar tweedimensionale situatie. Voorbeelden I.1.1 Passpiegel In een paskamer bekeek ik mij in een spiegel en zag mezelf maar voor tweederde. Waar moet ik gaan staan om mij helemaal te zien? Intuïtief zeg je ‘een eindje achteruit gaan staan’. Maar lost dat het probleem? Neem in de klas een spiegel mee. Laat de leerlingen een schets van de situatie maken.

Figuur 5 In de spiegel kijken

Achteruit lopen helpt dus niet echt, wel helpt het om een grotere spiegel te nemen. De oplossing vind je dus sneller door even een schets te maken. I.1.2 Een 2D-representatie maken Er zijn heel wat verschillende manieren om 3D-objecten in 2 dimensies te representeren. Er is altijd sprake van een projectie van 3D naar 2D. De prenten van Dürer (1471-1528) en Alberti (1470-1528) laten zien hoe een 3D-object als een 2D-object op een scherm wordt gerepresenteerd. Dit type afbeelding wordt centrale projectie genoemd.

Figuur 6 Prent Alberti

9

Meetkunde


Een voorbeeld van de centrale projectie is figuur 8 (Aarts, 2000). Het is duidelijk dat bij een centrale projectie lijnstukken die in werkelijkheid even lang zijn, niet even lang blijven in de afgebeelde vorm. En (niet alle) evenwijdige lijnen in werkelijkheid blijven evenwijdig in de representatie.

Figuur 7 Prent Dürer

Figuur 8 Centrale projectie Vredespaleis

De ingenieursprojectie is een voorbeeld van een orthogonale parallelprojectie. Bij orthogonale parallelprojecties is er een verband tussen de verkortingen van de ribben van een kubus (of de eenheden op de assen van een 3-dimensionaal assenstelsel) enerzijds en de hoeken tussen ribben (of de x-as, de y-as en de z-as) in de figuur anderzijds. De ingenieursprojectie (figuur 9) wordt gekenmerkt door de keuze 1:1:0,5 als verhouding van de verkortingen. Figuur 9 Ingenieursprojectie

De orthogonale parallelprojectie geeft een betere indruk van de objecten dan de scheve parallelprojectie. Bij scheve parallelprojectie kijk je in feite naar een schaduwbeeld van het object zoals dat door schuin invallende lichtstralen op een scherm of op de vloer wordt afgebeeld. De orthogonale parallelprojectie lijkt op wat je ziet als je de blik op een object richt. Het object is van een zodanige grootte en op een zodanige afstand dat de perspectivische vertekening klein is. Bij bouwkunde wordt meer van perspectief en bij industrieel ontwerpen meer van orthogonale parallelprojectie gebruik gemaakt. Bij een scheve parallelprojectie blijven evenwijdige lijnen evenwijdig in de afgebeelde vorm, ook de onderlinge verhoudingen op lijnstukken blijven gehandhaafd.

10

Meetkunde


Aarts noemt nog meer mogelijkheden om afbeeldingen van 3D naar 2D te realiseren, zoals de militaire projectie, waarbij de plattegrond op 'ware grootte' het uitgangspunt is. Scheve parallelprojecties van de bebouwing op de plattegrond zijn toegevoegd om een betere indruk te krijgen van de omgeving.

Figuur 10 Militaire projectie

Zie voor dit soort overwegingen en de bijbehorende formules, met een afleiding ervan, het artikel 'Hoe teken je een kubus' door Jan van de Craats (1991) en het artikel van Martin Kindt (1989). Op leerlingenniveau is het Zebraboekje van Verweij en Kindt (1999) aan te bevelen. Publicaties over kunstenaars als Vredeman de Vries (1968) en Saenredam geven heel mooi inzicht in de manier waarop zij met perspectief werkten.

Klasse I.2

Meetkundige berekeningen

Het praktisch belang van de meetkunde is in de geschiedenis het voornaamste motief gebleken voor het onderwijzen van meetkunde aan een breed publiek van ingenieurs, landmeters, kaartenmakers, vestingbouwers enzovoort. Met name de historische landmeetkunde is een motiverend en rijk gebied, dat goed in het onderwijs voor 12-16 jarigen is in te passen. Zie bijvoorbeeld het proefschrift van Iris van Gulik-Gulikers (2005a). Figuur 11 is afkomstig uit Meetkonst van Petrus Ramus (1622). Figuur 11 Gebruik Jacobsstaf

11

Meetkunde


Voor de onderbouw havo-vwo zijn eenvoudig voorstelbare probleempjes, die uitdagen tot meetkundige activiteit, gemakkelijk te vinden. Het klaslokaal leent zich uitstekend voor vragen over kijkhoeken, lengte, oppervlakte en inhoud. Nog een ander voorbeeld. Touw om de aarde Om de evenaar wordt een touw gespannen. De omtrek van de aarde is 40.000.000 meter. Alle mensen worden opgeroepen om het touw overal precies 1 meter boven de grond te houden. Hoeveel touw is er extra nodig? Na wat brainstormen in de klas kan er worden gemeten, bijvoorbeeld aan een fietswiel met een touw. Maar ja, dat is de aarde niet. Dan maar even een schets te maken. En rekenen met de omtrek. Als r de straal van de aarde is, dan is de 40.000.000=2πr, dus r=6.369.426,75 meter. De nieuwe straal is dan 6.369.427,75 meter, en de nieuwe omtrek is dan 40.000.006,28 meter. Dat is 6,28 meter meer. Ofwel: als de straal met één meter toeneemt dan neemt de omtrek met 2π toe. Hadden we dat van tevoren ook kunnen bedenken? Zo iets als l = 2r en l = 2r!

Klasse I.3

Ordenen van meetkundige objecten

In de wiskunde is het ordenen van objecten en structureren van deelgebieden een belangrijke denkactiviteit. In de onderbouw havo-vwo kunnen geschikte opdrachten leerlingen al op het spoor zetten van het ordenen van meetkundige objecten op basis van waargenomen eigenschappen. Voorbeelden I.3.1 Construeren en ordenen van driehoeken Constructies van meetkundige situaties met de passer en lijnstukken (zonder maatverdeling) spelen een rol in de Griekse meetkunde. Je kunt spelenderwijs in de brugklas leerlingen met de passer en drie zelf gekozen lijnstukken driehoeken laten construeren. Daarna samen benoemen van gelijkzijdige en gelijkbenige driehoeken en de beschrijving van de kenmerkende eigenschappen vastleggen. Welke stelling over de lengten van zijden van driehoeken komt als vanzelf bij de constructies naar voren? I.3.2 Construeren en ordenen van vierhoeken Op basis van constructies met de passer en vier zelf gekozen lijnstukken vierhoeken laten construeren. Samen benoemen van bijzondere vierhoeken, namelijk ruit, parallellogram, rechthoek, vlieger, vierkant. De beschrijving vastleggen. Wat heb je naast de vier zijden nog meer nodig om een vierhoek vast te leggen, star te maken? I.3.3 Ordenen op basis van lijnsymmetrie We verrijken ons gereedschap met vouwen, het spiegelen in een lijn, lijnsymmetrie, het aantal symmetrieassen. De leerlingen ordenen hun driehoeken en vierhoeken op basis van lijnsymmetrie. Vouwen en/of een spiegeltje gebruiken. Deze ordening vastleggen.

12

Meetkunde


I.3.4 Regelmatige veelvlakken Een regelmatig veelvlak is een lichaam dat door congruente regelmatige veelhoeken wordt begrensd, zodanig dat in elk hoekpunt evenveel veelhoeken samenkomen. Hoeveel zijn er? Na wat experimenteren met regelmatige veelhoeken komen we erachter dat de som van alle hoeken die in één hoekpunt bij elkaar komen kleiner moet zijn dan 3600. Dit kunnen drie driehoeken (3x600), vier driehoeken (4x600) of vijf driehoeken (5x600) zijn. Het kunnen ook drie vierkanten (3x900) of drie vijfhoeken (3x1080) zijn. Bekende regelmatige veelvlakken zijn: een kubus (regelmatig zesvlak), een tetraëder (regelmatig viervlak) en een octaëder (regelmatig achtvlak). Minder bekend zijn de dodecaëder (regelmatig twaalfvlak) en de icosaëder (regelmatig twintigvlak). Kepler (omstreeks 1600) bracht de regelmatige veelvlakken in verband met de structuur van het zonnestelsel.

Figuur 12 Regelmatige veelvlakken

Beschik je in je klas over (draad)modellen van de regelmatige veelvlakken, dan zijn er tal van meetkundige activiteiten op te roepen. Vraag bijvoorbeeld: Als je de middens van de zijvlakken van een regelmatig veelvlak met elkaar verbindt, krijg je een ander regelmatig veelvlak. Welke paren veelvlakken krijg je zo?

13

Meetkunde


3.2. Klasse II: Redeneren met meetkundige concepten

Figuur 13 Een onmogelijke figuur?

Wat is er mis en waarom? Bij deze meetkundige activiteit gaat het altijd over dat Waarom?, het redeneren over objecten. De rijkdom van dit onderdeel van het wiskundeonderwijs ligt niét bij het zo natuurgetrouw mogelijk representeren van ruimtelijke figuren zoals je die om je heen waarneemt. Het gaat niet om de 2D- of 3Dobjecten zelf, maar om verzamelingen van eigenschappen gerepresenteerd door dat object en de relaties tussen die eigenschappen. Onder een meetkundig concept verstaan we hier een meetkundig object ingebed in het geheel van relaties en eigenschappen, die aan het object zijn verbonden. Die concepten zijn knooppunten in het op te bouwen netwerk of de structuur van de meetkunde. Op basis van axioma’s en stellingen is een deductief systeem op te bouwen, waarin elke volgende eigenschap is te bewijzen door een sluitende, logische, redenering. Het eerste voorbeeld in de geschiedenis vind je terug in de Elementen van Euclides, waar in hoofdstuk Oriëntatie al iets over is gezegd.

14

Meetkunde


Klasse II.1 Beginnen met redeneren II.1.1 De som van de hoeken van een driehoek is 1800 . Bedenk hoe je met je brugklas een redenering kunt opzetten die tot deze stelling leidt. Welke eigenschappen heb je nodig? II.1.2 De som van de hoeken van een vierhoek is 3600 . Laat vervolgens je leerlingen uitzoeken wat de som van de hoeken van een vierhoek is en laat ze dat beredeneren. II.1.3 Een eigenschap opsporen en beredeneren. Teken op het bord twee niet evenwijdige (halve) lijnen zonder hun snijpunt. Teken een lijnstuk met eindpunten op die lijnen. De leerlingen doen hetzelfde. Laat ze de twee scherpe hoeken tussen het lijnstuk en de lijnen meten. Teken nog zo’n lijnstuk en herhaal het meten van de hoeken. Enzovoort, totdat uit hun tabelletje de constante som van de hoeken in hun tekening is ontdekt. Wie kan uitleggen waarom die som steeds hetzelfde is?

Klasse II.2 Opbouwen van een structuur Lokaal kunnen deelgebieden van de meetkunde worden geordend met behulp van eigenschappen en onderlinge relaties. Enkele voorbeelden. II.2.1 De verzameling vierhoeken Na het experimenteel ordenen van vierhoeken op basis van lengten of vormen ligt het binnen het bereik van leerlingen om de vorm (bijvoorbeeld van een ruit of een vlieger) te koppelen aan definities en equivalente kenmerken. Een ruit is een vierhoek waarvan de lengten van de vier zijden aan elkaar gelijk zijn. De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar en delen elkaar middendoor. Omgekeerd is een vierhoek waarvan de diagonalen loodrecht op elkaar staan en elkaar middendoor delen een ruit. Enzovoort. II.2.2 Cirkelmeetkunde De cirkel is een meetkundig object waaraan een reeks verrassende eigenschappen van hoeken, bogen en koorden zijn te verbinden. Elegant op te bouwen met slechts een enkele stelling als uitgangspunt.

15

Meetkunde


II.2.3 Niet-Euclidische meetkunde In een vak als wiskunde D vwo past een project, waarin leerlingen kennis maken met de niet-Euclidische meetkunde. Met geschikte software blijken leerlingen ook zelf productief aan de slag te kunnen met bijvoorbeeld de Poincaré-schijf . Zo laat in figuur 14 een leerling met behulp van Cabri zien dat er door een punt P buiten een lijn l meerdere lijnen gaan die l niet snijden (Van Gulik-Gulikers 2005a). Figuur 14 Poincaré-schijf

II.2.4 3D-representaties Ruimtelijke figuren zijn nooit één-op-één weer te geven op een scherm. Er wordt een sterk beroep gedaan op het voorstellingsvermogen. Dat betekent dat er altijd sprake is van een projectie. Als het gaat om een studie van de eigenschappen van een meetkundig object worden ‘natuurgetrouwe’ projecties (zie 3.1) ingeruild voor abstracte projecties. Allereerst is de eigenschap evenwijdigheid van belang. In de scheve parallelprojectie blijven evenwijdige lijnen evenwijdig en de evenredigheid tussen lijnstukken blijft in de 2D-projectie gehandhaafd. De scheve parallelprojectie tekent gemakkelijk. Een kubus (in een ruitjesschrift van B naar C, 2 hokjes naar rechts en 1 hokje naar boven) ziet er zó uit dat het voorvlak ABFE evenwijdig is met het scherm en dus niét van grootte verandert. De eigenschappen zijn direct te ‘herkennen’: een kubus is een object begrensd door zes twee aan twee evenwijdige vierkanten van gelijke grootte. Figuur 15 Scheve parallelprojectie

16

Meetkunde


3.3. Klasse III: Oplossen van meetkundige problemen Meetkundeonderwijs leent zich goed voor het leren bewijzen en het leren oplossen van bepaalde typen problemen. Het gaat daarbij om het onder de knie krijgen van een systematische probleemaanpak. Een meetkundig programma als Cabri of GeoGebra maakt het mogelijk om met constructies meetkundige eigenschappen dynamisch op te sporen en mogelijke relaties te exploreren. Waarna een bewijs kan volgen. In het hoofdstuk Wat weten we al? vind je een bespreking van de literatuur over deze aspecten.

Klasse III.1 Klassieke bewijsprobleempjes Allereerst een voorbeeld van klassieke bewijsprobleempjes, die sinds 1968 (mavo-havovwo) uit het Nederlandse wiskundeonderwijs zijn verdwenen. Deze opgaven komen uit het 1e leerjaar hbs-gymnasium uit het schoolboek Wegwijzer in de meetkunde (W.J. Bos, P.E. Lepoeter, 1964).

Figuur 16 Bewijsprobleempjes

Minder gekunstelde en eenvoudiger probleempjes zijn de volgende:  ABCD is een trapezium, E en F zijn de middens van de evenwijdige zijden AB en CD. Bewijs dat |AD| + |BC| > 2•|EF|.  Bewijs dat de middens van de zijden van een willekeurige vierhoek de hoekpunten zijn van een parallellogram.

17

Meetkunde


Klasse III.2 Berekeningen met gelijkvormigheid en goniometrie Het deelgebied van de gelijkvormige figuren heeft verbindingen met het brede netwerk van de Verhoudingen, het vergroten en verkleinen, de verhoudingstabel, de vermenigvuldiging van figuren, het begrip schaal en de goniometrische berekeningen. Voor leerlingen in de onderbouw havo-vwo zijn de berekeningen lastig. Het centraal stellen van het werken met de vermenigvuldigingsfactor in het gehele gebied van verhoudingen in combinatie met een systematische probleemaanpak kan helpen. Een voorbeeld van deze aanpak met een opgave uit Wegwijzer in de meetkunde 2 (Bos en Lepoeter 1961): Stap 1: Zoek gelijkvormige figuren. Stap 2: Schrijf de vermenigvuldiging van overeenkomstige paren zijden uit. (Hint: schets eventueel de beide driehoeken in dezelfde stand naast elkaar.) Stap 3: Bereken de factor. Stap 4: Bereken de gevraagde lengte.

Figuur 17 Zoeken naar de factor

Ook bij de goniometrische berekeningen kan het herleiden van elke situatie tot een vermenigvuldiging vanuit de eenheidsdriehoek helpen.

1 sin  cos  Figuur 18 Eenheidsdriehoek

Stap 1: schrijf de gegevens op: k.sin180 = 3,6 en k.cos180 = b Stap 2: bereken de vermenigvuldigingsfactor k en vervolgens de gevraagde lengte.

18

Meetkunde


Klasse III.3 Cirkelmeetkunde

C

I

M

B A

D Figuur 19 Middelpunt ingeschreven cirkel

Verrassender dan de bekende meetkunde van de rechtlijnige figuren is de meetkunde van de cirkel. In het moderne meetkundeonderwijs heeft in veel landen de dynamisch meetkundige software zoals Cabri en GeoGebra een belangrijke plaats gekregen in het exploreren van meetkundige situaties, waardoor leerlingen in staat zijn zelf meetkundige situaties te exploreren en eigenschappen op te sporen. In de figuur is driehoek ABC gegeven en zijn omgeschreven cirkel met middelpunt M. De drie bissectrices snijden elkaar in het punt I, het middelpunt van de ingeschreven cirkel. Punt C doorloopt de omgeschreven cirkel. Wat doet punt I? Met meetkundige software kun je punt C laten lopen en de baan vinden waarlangs punt I loopt. Het lijkt erop dat punt I de bovenste cirkelboog AIB doorloopt als punt C het bovenste deel ACB van de omgeschreven cirkel doorloopt. Vermoedelijk is D het middelpunt van de cirkel door A, I en B. Valt dit vermoeden te bewijzen?

Klasse III.4 Rijke historisch-culturele contexten Een aantal meetkundige problemen heeft een grote historisch-culturele waarde en mag in het algemeen vormend wiskundeonderwijs niet ontbreken. Het bekendst is wel de gulden snede, waarover verschillende goede boekjes op leerlingenniveau bestaan. Op verschillende niveaus kan de rijkdom van dit probleem met leerlingen worden verkend. Zie bijvoorbeeld Wikipedia, het zebraboekje Gulden Snede of het programma en lesmateriaal voor wiskunde C vwo.

19

Meetkunde


De applet http://www.pandd.demon.nl/cabrijava/reg5hoek_m.htm laat zien hoe je een regelmatige vijfhoek construeert. Elke hoek is 108 graden.

Figuur 20 Constructie vijfhoek

Figuur 21 Lengten in een regelmatige vijfhoek

Nemen we de lengte van een zijde 1, dan kunnen we vervolgens de lengte van de diagonalen berekenen. Stel de lengte van CD = 1, dan is AC = ½ + ½ √5. De gulden snede is de verdeling van een lijnstuk in twee delen volgens een speciale verhouding. Bij de gulden snede verhoudt het grootste van de twee delen zich tot het kleinste, zoals het gehele lijnstuk zich verhoudt tot het grootste. Geven we het grootste deel aan met x en het kleinste deel met y, dan is de verhouding x : y = (x +y) : x. De verhouding x/y is het gulden getal   12 5  1,62 . De beide Zebrareeksen bevatten verschillend voorbeelden van dergelijke rijke meetkundige contexten. Zie: http://www.epsilon-uitgaven.nl/zebra en http://www.nvvw.nl/ Deze context leent zich ook heel mooi voor een verbinding tussen een meetkundige, een analytische en aan algebraïsche aanpak. Figuur 22 Fibonaccispiraal

20

Meetkunde


4. Wat weten we al? 4.1. Historisch perspectief van het onderwijs in de meetkunde 4.1.1. Oriëntatie Voor een goed begrip van de steeds wisselende positie van de meetkunde in het Nederlandse wiskundeonderwijs is een kort overzicht van de geschiedenis van het onderwijs in de meetkunde in dit katern op zijn plaats. We volgen het prachtige boek Geometry Civilized van de wetenschaps-historicus Heilbron (1999) die de weg van de Euclidische meetkunde door alle eeuwen en culturen volgt met tal van fraaie problemen. Dirk van Delft beschrijft in een paginagrote bespreking Terug naar Euclides van dat boek in de NRC (2-1-1999) wat Heilbron beweegt. ‘Zijn drijfveer is het genoegen dat de studie van de meetkunde hem verschaft, een genoegen dat hij aan anderen hoopt over te dragen. Heilbron benadrukt het esthetische aspect: het genieten van een helder bewijs, van het zien van krachtige toepassingen van simpele principes in de landmeetkunde, van het ontdekken van ingenieuze geometrische patronen in gebouwen, verkeersknooppunten of tegelwanden. Ook schept Heilbron behagen in precieze redeneringen waar geen woord te veel in staat, in illustraties die een hechte eenheid vormen met de tekst. Het doen van meetkunde, zo concludeert de Brit, is een culturele bezigheid.’ Heilbron en van Delft verwoorden hier de opvattingen van veel wiskundigen en leerlingen die zo meetkunde hebben gedaan. Natuurlijk zijn er ook andere wiskundigen die deze opvatting bestrijden en Algebra en algebraïsche structuren (b.v. de Galoistheorie) het toppunt vinden van wiskundige elegantie. Omstreeks 1960 hebben de New Math beweging en de Bourbakisten zoals Dieudonné de prominente plaats van de Euclidische meetkunde definitief ondergraven. In de Nederlandse curricula is er sindsdien sprake van een zich steeds herhalende golfbeweging in de positie van (verschillende aspecten van) de meetkunde. Met reuzenstappen gaan we in het vervolg door de tijd en onderscheiden daarbij:  De oorsprong van de Euclidische meetkunde  De discussies in de 19e en 20e eeuw over het meetkundeonderwijs  ‘Weg met Euclides. De New Math.’  De huidige meetkunde in havo-vwo

21

Meetkunde


4.1.2. De oorsprong van de Euclidische meetkunde De oorsprong van de meetkunde ligt in het oude Egypte. Net als bij de Babyloniërs was meetkunde daar een toegepast vak: het ging om rekenregels, strikt bewijzen was er niet bij. Het waren de oude Grieken die de meetkunde bevrijdden van het alledaagse en er een abstract systeem van maakten. In de Elementen presenteerde Euclides niet zozeer nieuwe inzichten, maar bracht hij de bestaande meetkundige kennis in een hecht bouwwerk van eigen compositie bijeen. Zo invloedrijk was zijn leerboek, dat de teksten van voorgangers in de vergetelheid raakten en verloren gingen. Overigens bereikte de Elementen het Westen pas op het einde van de Middeleeuwen, via de tussenroute van de Arabische vertalingen. De Elementen bestaan uit dertien boeken. Op basis van een aantal definities, postulaten en axioma’s worden de verdere stellingen (proposities) stuk voor stuk streng logisch afgeleid. Behalve vlakke meetkunde komen ook getaltheorie, verhoudingenleer en ruimtemeetkunde (stereometrie) aan de orde. Propositie 1 van boek I behelst het op basis van een gegeven lijnstuk construeren van een gelijkzijdige driehoek. Boek XIII besluit met de constructie van de vijf regelmatige veelvlakken, de Platonische lichamen. Eeuwenlang behoorde de Euclidische meetkunde, gekarakteriseerd door deze axiomatisch-deductieve aanpak en strenge bewijsvoering, tot de opvoeding van iedere fatsoenlijke burger. Geen boek dat het wetenschappelijk denken zo diep heeft beïnvloed als de Elementen. Het aantal edities en commentaren loopt in de duizenden, alleen de Bijbel is uitvoeriger bestudeerd. Er bestaan Engelstalige websites met de volledige vertaling van de Elementen met dynamische figuren gemaakt in Sketchpad of Cabri. Een schitterende website met de tekst van Euclides (de Engelse vertaling door Heath) en manipuleerbare figuren is die van David Joyce: http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/elements.html

4.1.3. De discussies in de 19e en 20e eeuw over het meetkundeonderwijs De meetkundige Lewis Caroll (auteur van Alice in Wonderland) schreef in 1885: ‘Niemand die Euclides’ aanpak heeft weten te benaderen, laat staan te evenaren.’ Toch waren er in de dagen van Lewis Caroll in Engeland veel schoolmethodes op de markt die zich maar weinig gelegen lieten liggen aan de logische strengheid die de Euclidische meetkunde eigen is. De boeken grossierden in figuren, maar er werd weinig bewezen op de manier van Euclides. Met als resultaat, zo klaagde Lewis Caroll, een laag niveau. In 1924 gooide Tatiana Ehrenfest-Afanassjewa de knuppel in het hoenderhok met een brochure getiteld: Wat kan en moet het Meetkundeonderwijs aan een niet-wiskundige geven? (Zie Eherenfest-Afanassjewa 1960.) Hoe kan het toch, vroeg de van oorsprong Russische wiskundige zich af, dat het meetkundeonderwijs, dat voor iedereen belangrijk was, velen afstootte en alleen iets losmaakte bij begaafde leerlingen? Als oplossing beval Afanassjewa aan dat leerlingen, voor ze aan de strenge tucht van Euclides’ axiomatischdeductieve aanpak werden blootgesteld, zich langs intuïtieve weg spelenderwijs met de meetkundige eigenschappen van figuren vertrouwd zouden maken. Het bewijzen van stellingen die de leerlingen als vanzelfsprekend voorkwamen hoorde in die fase niet thuis.

22

Meetkunde


De tegenaanval werd ingezet door E.J. Dijksterhuis, wetenschapshistoricus en leraar wiskunde. Evidente inzichten kunnen onjuist blijken te zijn, vond de latere auteur van De mechanisering van het wereldbeeld. Hij zag in het voorstel van Afanassjewa: ‘… een aanslag op wat steeds als een der meest kostelijke vruchten van het wiskundeonderwijs heeft gegolden: op de zuiverheid en de eerlijkheid van het mathematisch denken en spreken, op de geestelijke tucht, orde en reinheid die de mathesis nastreeft.’ In zijn proefschrift bespreekt Ed de Moor (1999) de veranderingen vanaf 1800 tot 1995 in het meetkundeonderwijs. Tegen het einde van de 19e eeuw hadden ook mathematici en logici kritiek op de opbouw in de Elementen. Boosdoener was het beruchte vijfde postulaat van boek I, dat erop neerkomt dat door een punt P buiten een lijn l precies één lijn evenwijdig aan l kan worden getrokken. Voortdurend zijn pogingen ondernomen om het vijfde postulaat uit de overige vier af te leiden en zo de status van stelling te verschaffen. Verrassend genoeg leidde de aanname dat er niet zo’n lijn valt te trekken of juist meer dan één, niet tot een tegenspraak. Dit resultaat leidde de ontwikkeling van de niet-Euclidische meetkunde in, die in 1915 zijn toepassing vond in de Algemene Relativiteitstheorie van Einstein. In 2000 is een studie verschenen onder auspiciën van de International Commission on Mathematical Instruction (ICMI) over de plaats die de geschiedenis van de wiskunde zou moeten innemen in het wiskundeonderwijs. In deze studie History in Mathematics Education (Fauvel en Van Maanen 2000) wordt ervoor gepleit om de geschiedenis te verweven in het reguliere wiskundeonderwijs, zodat leerlingen zelf de dynamiek van het ontstaan van wiskunde kunnen meemaken. Een breed scala van onderwerpen passeert de revue met natuurlijk ook tal van meetkundige onderwerpen zoals de stelling van Pythagoras in verschillende culturen, lengtemeting van Heron tot Liu Hui, Egyptische hoekmeting, de tunnel van Samos, kegelsneden in de 18e eeuw, enzovoort. Iris van GulikGulikers heeft in een ontwikkelingsonderzoek de 17e-eeuwse landmeetkunde geïntegreerd in de meetkunde van de onderbouw havo-vwo en in de bovenbouw vwo onderwijs in de geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde ontworpen (Van GulikGulikers, 2005a). Dat laatste onderwerp is vorm gegeven in een lesboekje Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde uit de Epsilonreeks (Van Gulik-Gulikers, 2005b).

4.1.4. ‘Weg met Euclides. De New Math.’ De wereldwijde New Math beweging uit de zestigerjaren kreeg de wind in de zeilen door de schokgolf, die de eerste Spoetnik (1958) in de westerse wereld veroorzaakte. Wiskundigen zagen hun kans schoon om het wiskundeonderwijs drastisch te vernieuwen. Weg met Euclides! Dood aan de driehoek. Ruim baan voor de eenvoudige basisstructuren van de wiskunde, voor de theorie van de verzamelingen en relaties. Bij onze zuiderburen bepaalde de wiskundige en senator Papy lange tijd de inhoud van het vernieuwde programma. Zijn leerboeken voor het voortgezet onderwijs waren in full colour(!) uitgevoerde hoogstandjes in het uitleggen van hogere wiskunde op leerlingenniveau. Zo werd in leerjaar 1 het reële getal keurig ingevoerd met een variant op de snede van Dedekind door oneindig voortlopende binaire getallen te gebruiken. De stelling van Pythagoras verscheen in leerjaar 2 als een speciaal geval van een stelling over vectoren.

23

Meetkunde


Figuur 23 De cosinusregel en de stelling van Pythagoras

In de American Scientist betreurt de vermaarde wiskundige René Thom (1971) in een kritisch artikel Modern Math: An Educational and Philosophic Error? speciaal het verdwijnen van de traditionele (vlakke) Euclidische meetkunde na de toegenomen nadruk op algebra. Hij betwijfelt allereerst of de algebra nuttiger en noodzakelijker is dan de meetkunde, ‘In ordinary life, who has needed to solve a second degree equation?’ Hoewel hij toegeeft dat veel problemen op elementair niveau door het gebruik van algebra worden vereenvoudigd, acht hij in complexere situaties het voordeel van algebraïsche en analytische methoden niet overtuigend. De introductie van algebraïsche structuren in de school is volgens hem alleen interessant voor specialisten in de dop. Voor het onderwijs is een actieve rol van de leerling en het zelf laten oplossen van problemen noodzakelijk. Thom is van mening dat in dit opzicht de meetkunde sterk superieur is in vergelijking met de algebra, omdat meetkundeproblemen een rijke variatie bezitten, terwijl algebraïsche problemen en stellingen of bijna triviaal of extreem moeilijk zijn. In Should we teach ‘modern’ mathematics reageert Jean Dieudonné (een vermaarde Franse wiskundige) op het artikel van René Thom (American Scientist, 1973) en ondersteunt hij de principes van de nieuwe leerplannen wiskunde. Dieudonné benadrukt dat nauwkeurige formuleringen, waarbij definities, hypothesen en logische redeneringen het misverstaan moeten voorkomen, de intuïtie moeten onderbouwen. Hij suggereert het onderwijzen van de fundamentele meetkundige stellingen vanuit het begrip vectorruimte. Er is, stelt hij, niets abstracts aan een tweedimensionale reële vectorruimte, waarbij de basisbegrippen en de axioma’s hun intuïtieve achtergrond hebben. In die context kunnen dan groepen, ringen en lichamen worden geïntroduceerd. Beide wiskundigen zijn het eens over de centrale rol van de meetkunde in de wiskunde en de noodzaak van een logische structuur, maar ze verschillen in de aanpak, euclidisch of algebraïsch. Een derde benadering is die van Felix Klein (Erlanger Programm, 1872), waarin de meetkunde helemaal wordt opgebouwd met transformaties (lijnspiegelingen, rotaties, translaties). Meetkundige begrippen en eigenschappen kunnen intuïtief worden opgebouwd. Op natuurlijke wijze leidt de studie van transformaties naar een meer meetkundige introductie van de lineaire algebra, terwijl ook de basisbegrippen relatie en functie langs deze weg kunnen worden geïntroduceerd. In Nederland is op basis van deze benadering een experimentele methode (Transformatiemeetkunde, Troelstra cs., 1962) ontwikkeld en onderzocht (De Groot, 1968).

24

Meetkunde


Met de invoering van de Mammoetwet in 1968 werd in Nederland besloten tot een compromis over het leerplan wiskunde. De Euclidische opbouw van de meetkunde werd verruild voor een meer inductieve benadering, maar voor de beoogde deductieve tweede ronde in havo-vwo met de transformatiemeetkunde ontbrak de ruimte. Wel werd de taal van de verzamelingen en relaties zo rigoureus ingevoerd dat al snel de gebruikers van wiskunde, zoals onze natuurkundecollega’s, begonnen te betogen dat op die manier de wiskunde zeker niet zou functioneren in hun vakken. Wat is een cirkel? {(x,y)  x | x2 + y2 = 4} {P(x,y)  XxY | d(P,O) = 2} In de onderbouw van havo-vwo werd al snel gesaneerd in de formele notatiecultuur en met de invoering van de basisvorming zijn ook in het mavo de laatste restanten van de New Math vernieuwing verdwenen, ruim 25 jaar na dato.

4.1.5. De huidige meetkundeprogramma's in havo-vwo Klasse I: Kijken, tekenen, rekenen, ordenen in havo-vwo Tegelijk met de invoering van de basisvorming in 1993 werd een nieuw wiskundeprogramma ingevoerd, dat in tal van opzichten radicaal afweek van de bestaande programma's in mavo-havo-vwo. De meetkunde werd verrijkt met de zogenaamde kijkmeetkunde, waarin de leerlingen de werkelijkheid om hen heen leerden bekijken met een meetkundige bril. Restanten van die kijkmeetkunde zijn nog altijd terug te vinden in de schoolboeken, terwijl sindsdien ook in de rekenmethoden van het basisonderwijs hoofdstukken kijkmeetkunde zijn opgenomen. De kijkmeetkunde paste goed bij de aandacht voor projectiemethoden, waar vooral in de bovenbouw van het havo in wiskunde B veel werk van werd gemaakt. Een restant ruimtemeetkunde is nog te vinden in het 2007 examenprogramma wiskunde B havo, met een stevig accent op tekenen en rekenen. Zo komt in het examenprogramma 2007 het volgende domein Ruimtemeetkunde voor. Domein D: Ruimtemeetkunde 1 Subdomein D1: Fragmenttekeningen van ruimtelijke objecten 7. De kandidaat kan van een ruimtelijk object aanzichten, uitslagen en vlakke doorsneden tekenen, interpreteren, er berekeningen aan uitvoeren en uit een serie parallelle doorsneden conclusies trekken over vorm en inhoud van zo'n object. Subdomein D2: Oppervlakte en inhoud 8. De kandidaat kan de oppervlakte van vlakke en ruimtelijke figuren berekenen, van ruimtelijke figuren de inhoud berekenen en schatten en het effect van schaalvergroting op zowel inhoud als oppervlakte beargumenteren.

25

Meetkunde


In het voorgestelde examenprogramma 2014 voor wiskunde B havo 2014 komen deze eindtermen niet meer voor. Ze zijn vervangen door: Subdomein C2: Analytische methoden De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren aan de hand van gegeven contexten en figuren. Subdomein C3: Vectorrekening De kandidaat kan berekeningen uitvoeren met vectoren in het platte vlak en het inwendig product van twee vectoren wiskundig en fysisch interpreteren.

Klasse II: Redeneren met meetkundige concepten Bij de invoering van de Tweede Fase havo-vwo (1998-1999) moesten leerlingen kiezen uit vier clusters van vakken, profielen genoemd. In het profiel Natuur en Techniek was het vak wiskunde B1,2 verplicht. De B1,2 betekende in het vwo dat het vak wiskunde B1 uit het profiel Natuur en Gezondheid werd uitgebreid met 200 studielasturen, dat is het aantal uren actieve werktijd. De Voortgezette meetkunde (120 slu) vormde het hoofdbestanddeel van die uitbreiding. Het voornaamste doel van de Voortgezette meetkunde in het vwo was het leren redeneren en bewijzen met behulp van de meetkunde. In dat examenprogramma lag de aandacht niet bij de meetkundige stellingen zelf maar bij de denkgewoonten en het proces van wiskundig denken. De leerlingen kregen op het centraal examen de beschikking over een lijst met meetkundige stellingen die zij in bewijzen mochten gebruiken. Uniek in de geschiedenis van het Nederlandse wiskundeonderwijs was de opname in het examenprogramma van concrete eindtermen die op redeneren en bewijzen betrekking hadden. Enkele eindtermen van het 1e examenprogramma wiskunde B2 vwo: De kandidaat kan 128 het verschil aangeven tussen een definitie en een stelling 129 het verschil aangeven tussen een vermoeden en een stelling 130 in relevante gevallen het verschil aangeven tussen een stelling en haar omkering herkennen en beoordelen welke van de twee bij een bepaald bewijs een rol kan spelen 131 de structuur van een gegeven bewijs doorgronden 132 verschillende technieken hanteren bij het geven van een bewijs of het weerleggen van een vermoeden, zoals:  het redeneren vanuit het ongerijmde  het gebruik maken van meetkundige plaatsen  het onderzoeken en onderscheiden van verschillende gevallen  het geven van een tegenvoorbeeld.

Mede door de invloed van dit nieuwe vwo-programma verschenen in de schoolboeken voor de onderbouw vwo brokjes meetkunde, waarin de leerlingen werden uitgedaagd een 'bewijs' te leveren. Bijvoorbeeld van de stelling van Thales of de stelling over de omtrekshoek.

26

Meetkunde


In de herziening van de Tweede Fase zijn deze eindtermen gesneuveld en lijkt het accent in wiskunde B helemaal verschoven naar de algebraïsche en analytische methoden. In het domein E Meetkunde met coördinaten van het (concept)examenprogramma 2014 wiskunde B vwo komt nog een globale eindterm over dit aspect van de meetkunde voor: 14

De kandidaat kan de eigenschappen van meetkundige objecten onderzoeken en bewijzen en kan daarbij gebruik maken van algebraïsche technieken en van ICT.

Het is op dit moment nog niet duidelijk of in de uitwerking van het programma voor wiskunde B in de schoolboeken de vwo-leerlingen voldoende meetkundige basis meekrijgen om ook in de analytische meetkunde de meetkundige betekenis van de uit te voeren analytische berekeningen als leidraad in het vizier te kunnen houden. Zie ook hoofdstuk Ontwerpen. In wiskunde D vwo wordt voor het domein Meetkunde geformuleerd dat de kandidaat analytische en meetkundige methoden kan gebruiken om meetkundige problemen op te lossen en eigenschappen te bewijzen. Die beide benaderingen moet de kandidaat kunnen toepassen op de studie van kegelsneden, terwijl ook een uitbreiding naar vectorrekening in het (concept)programma 2014 is opgenomen.

27

Meetkunde


4.2. Meetkundige conceptontwikkeling In deze paragraaf staat de ontwikkeling van meetkundige concepten centraal. Zowel Van Hiele (1957, 1973, 1986) als Freudenthal (1973, 1978, 1983, 1991) hebben baanbrekend werk verricht op het gebied van de kennis over het leren en onderwijzen van meetkundige concepten. De wiskundeleraar Pierre van Hiele is in 1957 gepromoveerd op een onderzoek naar niveaus in het redeneren en argumenteren over meetkundige objecten. Tot op de dag van vandaag heeft hij veel onderzoekers geïnspireerd tot nader onderzoek van de Van Hiele Levels. Veelal is dat onderzoek gekoppeld aan de vraag hoe leerlingen met een uitgekiende reeks van voorbeelden een hoger niveau kunnen bereiken. Zie bijvoorbeeld Burger (1986), Fuys (1988), Clemens (1992). De wiskundige Hans Freudenthal heeft naar eigen zeggen veel ontleend aan van Hiele. Zie zijn biografie op dit gebied (la Bastide - van Gemert 2006). Aanvullend op van Hiele benadrukt hij voor de didactische opbouw de kracht van slechts één paradigmatisch voorbeeld. Voor een bredere bespreking verwijzen we naar Katern 0 Leren en onderwijzen van wiskunde.

4.2.1. Van Hiele Van Hiele (1957, 1973, 1986) benoemt het redeneren en argumenteren op verschillende denkniveaus. Die verschillen berusten op het ontdekken van onderlinge verbanden en relaties, het veralgemeniseren. Karakteristiek voor de geleidelijke ontwikkeling (abstractieverhoging) is het afleiden van steeds weer nieuwe relaties en verbanden, het uitbreiden van het relatienet. Dina van Hiele-Geldof (1957) hield zich bezig met instructie om die geleidelijke ontwikkeling in abstractie te activeren. Om het verschil in denkniveaus aan te geven onderscheidt Van Hiele:  het nul-niveau (visuele niveau) van zintuiglijke waarneming van objecten;  het eerste niveau (beschrijvende niveau) van eigenschappen van objecten;  het tweede niveau (theoretische niveau) van verzamelingen, logische operatoren en formele bewijzen. Er zijn varianten van de niveautheorie waarin een derde niveau wordt onderscheiden. In dat geval heet het tweede niveau het informeel deductieve niveau en het derde niveau is dan het formeel deductieve niveau. Klassiek is Van Hiele’s eigen voorbeeld van een ruit. Kinderen zien allerlei ruiten in de vorm van een wybertje met de punt naar beneden. Een ruit op z’n kant (en niet op de punt) herkennen de kinderen vervolgens niet als ruit. Om niveauverhoging te realiseren wijst Van Hiele-Geldof op instructie via het geven van informatie: de leerling raakt bekend met de werkruimte door het materiaal te gebruiken dat aan hem of haar wordt aangeboden. Dit proces stimuleert het vinden van structuur. Zij pleit ervoor de fase van informatie te laten volgen door gerichte oriëntatie: de leerling verkent het onderzoeksveld door iets met het materiaal te gaan doen. Dit is de eerste stap om van het nul-niveau op het eerste niveau te komen.

28

Meetkunde


Op het eerste niveau zijn de objecten getypeerd door het beschrijven van eigenschappen van het object. Het is op dit eerste niveau mogelijk objecten te bewerken omdat de eigenschappen bekend zijn. Je kunt een vlieger van papier dubbelvouwen, een vlieger heeft een symmetrie-as. De argumenten zijn gebaseerd op delen van het object, en op relaties tussen deze delen. De concepten staan nu los van de situatie waarin dit is ontwikkeld. De termen en symbolen die het individu gebruikt om de redenering te ondersteunen zijn betekenisvol. Het individu is in staat zijn eigen definities te formuleren. De eigenschappen worden op dit niveau geordend en in redeneringen komen geen redundanties voor. Volgens Van Hiele bestaat de overgang van het nul-niveau naar het eerste niveau uit het in eigen woorden vastleggen van waarnemingsfeiten. Kenmerkend voor het denken op het eerste niveau is dat het nu ‘gaat over uitspraken die niet visueel zijn maar wel handelen over zaken die visueel gemaakt kunnen worden’. Er ontstaat gaandeweg een relatienet waar zich op de knooppunten wiskundige concepten bevinden die een bundel van eigenschappen bezitten. De knooppunten zijn door verschillende relaties met elkaar verbonden. Een manier om te testen of een relatienet bij een individu aanwezig is, is te kijken of er gebruik wordt gemaakt van vaktaal. Van Hiele veronderstelt bij de overgang van het nul-niveau naar het eerste niveau een ontwikkeling in de vaktaal van spreektaal naar formele taal. Bijvoorbeeld de uitspraak in spreektaal ‘de richting NNW (bissectrice) op deze kaart ligt precies tussen de richtingen N en NW ‘ en in formele taal ‘elk punt op de bissectrice heeft gelijke afstanden tot de benen van de hoek’. Niveauverhoging ontwikkelt zich door het veralgemeniseren van situaties. Uitspraken zijn dan niet meer gebonden aan de context. In bovenstaand voorbeeld is er een verband gelegd tussen de richting NNW en de beide richtingen N en NW. Dat verband kenmerkt zich door de tekening (de figuur) die bestaat uit een hoek en de bissectrice van die hoek, gebaseerd op de eigenschap van de bissectrice die de hoek doormidden deelt. Van Hiele-Geldof benadrukt dat het individu gestimuleerd kan worden om het bewustzijn over het netwerk van knopen en relaties daartussen onder woorden te brengen (te expliciteren). Karakteristiek voor het tweede niveau van Van Hiele is de loskoppeling van reële situaties, foto’s, films, animaties, tabellen, grafieken, tekeningen, of schema’s. Het netwerk van verbonden wiskundige concepten ontwikkelt zich en stabiliseert zich. Exacte definities worden begrepen en geaccepteerd. Bij redeneringen over objecten wordt naar definties verwezen. Relaties tussen objecten zijn geformaliseerd. Bijvoorbeeld relaties ontdekken tussen hoeken, driehoeken en evenwijdigheid:

29

Meetkunde


Figuur 24. Relaties ontdekken

Het tweede niveau bestaat uit een formeel relatienet. Het individu is in staat een deductieve redenering op te zetten. Volgens Van Hiele vindt bij de overgang van het eerste naar het tweede niveau door analyse en objectivering een ontwikkeling in vaktaal plaats van formele taal naar symbooltaal. Reeds bestaande eigenschappen kunnen worden gededuceerd uit andere eigenschappen. Bewijsvoering wordt dan beschikbaar. De uitspraak ‘elk punt op de bissectrice heeft gelijke afstanden tot de benen van de hoek’ in formele taal wordt in symbolische taal genoteerd als verzameling {x│d(x, l) = d(x, m)}. Er is een verband gelegd tussen de eigenschap van de bissectrice en andere eigenschappen van punten en lijnen zoals bijvoorbeeld de punten op de lijn die een hoek van 30º met een gegeven lijn maken, genoteerd als de verzameling {x ε k│( k, m) = 30º}. Het nieuwe verband is de hoek van twee lijnen. De eigenschappen zijn gekarakteriseerd. Om van het eerste niveau op het tweede niveau te komen is volgens Van Hiele-Geldof vrije oriëntatie nodig: het denken wordt gestimuleerd door taken te geven die uitdagend zijn en meerdere oplossinsgwegen kennen. Uiteindelijk zal de instructie gericht moeten zijn op integratie. Dat betekent dat het individu in staat is alle acties in het netwerk van knopen en relaties daartussen een weloverwogen plaats kan geven.

4.2.2. Paradigmatische voorbeelden Volgens Freudenthal (1973) voltrekt het proces van begripsvorming zich op tweeërlei wijze. Enerzijds is er sprake van een geleidelijk ontwikkelingsproces uitgaande van een rijke schakering aan contexten en oplossingsstrategieën, anderzijds zijn er ook situaties denkbaar waarbij de abstracties als vertrekpunt worden gekozen waarna aan de hand van paradigmatische, exemplarisch en gestileerd, voorbeelden het abstractieproces op gang komt. Freudenthal (1978) duidt dit verschil aan met de begrippen comprehension (samenvoegen) en apprehension (oppakken): ‘I used the words comprehension and apprehension to distinguish two ways of acquiring generalities. I took the liberty of moulding these terms comprehension and apprehension more sharply than I found them, and I did so not without a bit of etymology in the background. Comprehension, the ‘taking together’, ‘apprehension’, ‘the taking on’. Generalities by gathering many details, versus seizing a structure, albeit by an example, by one example.’ (Freudenthal 1978, p.197).

30

Meetkunde


Het samenvoegen van meerdere contexten met gemeenschappelijke kenmerken maakt het geleidelijk aan mogelijk deze kenmerken zelf als objecten van beschouwing onder ogen te nemen. Bijvoorbeeld bij het leren begrijpen van de beginselen van projectieve meetkunde hebben voorbeelden van spoorlijnen, buisconstructies, stadslandschappen, enzovoort een gemeenschappelijke onderliggend concept: ‘evenwijdigheid’. Wat het abstractieproces betreft voegt een grotere variatie aan contexten er op dat moment niets meer aan toe. Het is voor de leerling voldoende om de kenmerken en eigenschappen van dat ene voorbeeld als zodanig op te pakken. De beperking tot één enkel voorbeeld schept op deze wijze de nodige ruimte waarbinnen de leerling zijn aandacht op de eigenschappen kan richten. (Zie verder Katern 0 Leren en onderwijzen van wiskunde.)

4.2.3. 3D-representaties In de lijn van de niveaus van Van Hiele past ook de aandacht voor de weergave van ruimtelijke figuren in de eerder besproken scheve parallelprojectie. Deze projectie bevindt zich op een hoger abstractieniveau en is daarom beter bruikbaar bij het redeneren met eigenschappen. De eigenschappen van het 3D-object komen tot uitdrukking juist omdàt je niet direct ziet wat je zou willen zien. Concreet betekent dit het stapsgewijs ontwikkelen van abstractie, van ervaringen in de werkelijkheid en representaties die de werkelijkheid zo ‘natuurgetrouw’ mogelijk nabootsen naar steeds abstractere representaties. Uiteindelijk kom je dan uit bij de scheve parallelprojectie. Het abstractieproces kan verlopen via manipulaties met concreet materiaal naar bewerkingen van 2D-representaties (schema’s) van die objecten. Redeneringen over eigenschappen van die objecten worden gestimuleerd door ermee aan de gang te gaan: verschuiven, draaien, spiegelen, maar ook door te plakken en te knippen (doorsnijden).

31

Meetkunde


4.3. Het oplossen van meetkundeproblemen In deze paragraaf gaan we in op de vraag wat de inhoud is van de wiskundige denkactiviteit bij het oplossen van meetkundige problemen en hoe die denkactiviteit door onderwijs kan worden bevorderd. We bespreken: 1. Het exploreren van meetkundige relaties met behulp van software 2. Bewijzen als denkmethode 3. Een passende didactiek 4. Verschillende bewijsmethoden

4.3.1. Het exploreren van meetkundige relaties met behulp van software De terugkeer van Euclides in de bovenbouw van het vwo bij de invoering van de Tweede Fase (1999) kreeg een nieuwe dimensie door het verplichte gebruik van meetkundige software, zoals het programma Cabri dat aan de universiteit van Grenoble is ontwikkeld om het (streng formele) Franse onderwijs in de meetkunde te verrijken. Een eindterm in het indertijd geformuleerde examenprogramma verwijst naar de didactische mogelijkheden van dat type software: Eindterm 133 De kandidaat kan meetkundige situaties exploreren, met name aan de hand van constructies met een geschikt computerprogramma, en een vermoeden in de vorm van een (te bewijzen) stelling formuleren. Het proces van zelf zoeken naar relaties, kenmerken, eigenschappen en stellingen wordt sterk bevorderd door deze software, die het mogelijk maakt om kenmerken van figuren vast te leggen en andere te variëren. Nadat leerlingen de probleemsituatie voldoende hebben geëxploreerd, formuleren zij een vermoedelijke wetmatigheid, die daarna nog moet worden bewezen. Zie het voorbeeld in 3.3. Het meetkundeonderwijs is in veel landen verrijkt met dergelijke software voor de gehele leeftijdsgroep van 12-18 jarigen. In Nederland wordt in de leeftijdsgroep van 12-16 jarigen nog weinig gebruik gemaakt van deze meetkundige software.

4.3.2. Bewijzen als denkmethode Nadat in de zestigerjaren in een groot deel van de Westelijke wereld in de golf van New Math de Euclidische meetkunde was geschrapt of sterk verwaterd begonnen eminente wiskundigen als Thom en Kline te pleiten voor de terugkeer van de vlakke meetkunde (Otte 1974). Niet om de meetkundige inhoud, die ook in de universitaire wiskunde geen rol van betekenis meer speelde, maar omdat het zo’n prachtig gebied was om goede denkgewoonten aan te leren. Daarbij dachten zij aan het ontwikkelen van een goede probleemaanpak en aan het logisch leren redeneren in een deductief systeem. Ook de wiskundige Polya, bekend van zijn heuristieken in How to solve it en de latere boeken (1945, 1954, 1962, 1963, 1965, 1967), benadrukte het belang van het leren zoeken van een bewijs. Veel van zijn voorbeelden waren meetkundig van aard. Hij stelde:

32

Meetkunde


‘Als de leerling op school niet de gelegenheid had om vertrouwd te raken met de wisseling van gevoelens bij de worsteling naar een oplossing, dan hebben zijn wiskundelessen op het meest vitale punt gefaald.’ ‘Als een leerling nooit met meetkundebewijzen kennis maakte, miste hij de beste en eenvoudigste voorbeelden van een echt bewijs en de beste gelegenheid om zich het begrip streng redeneren eigen te maken. Zonder dit begrip ontbreekt het hem aan een echte standaard waarmee hij allerlei soorten zogenaamd bewijs kan vergelijken die men in het moderne leven aan hem kwijt wil.’ Inmiddels zijn we tientallen jaren van onderwijspsychologisch onderzoek verder. Het onderwijzen en doen ontwikkelen van denkmethoden op een bepaald gebied leidt, zo weten we, niet automatisch tot toepassing van diezelfde denkgewoonten op een ander gebied. De transfer is niet verzekerd en soms ver te zoeken. Zoals mevrouw Ehrenfest al veronderstelde, hangt veel af van de manier waarop dat onderwijs is opgezet. Krijgt de leerling de ruimte om zelf te exploreren en bewijzen te zoeken? Krijgt de leerling voldoende structuur en worden algemene aanpakmethoden en heuristieken wel geëxpliciteerd? Dr. Wim Bos schreef in de jaren vijftig dat leerlingen moeten leren een probleem te bevragen, moeten leren de gegeven situatie te vergelijken met de gevraagde, moeten leren hun gereedschapskist aan beschikbare stellingen te herordenen op toepassingen, enzovoort. In de beroemde schoolboekenserie Werkboek der meetkunde 1, 2 en 3 van Bos en Lepoeter zijn indertijd zijn ideeën uitgewerkt. Het belangrijkste kenmerk van de didactiek in die werkboeken is de expliciete aandacht voor de probleemaanpak, voor het idee van bewijzen, voor het analyseren van de gegevens en het te bewijzen, voor de logische regels van een redenering, voor het operationaliseren van de kennis met het oog op typen bewijzen, kortom voor de algemene denkmethoden die in de meetkunde kunnen worden geleerd. Zoals de bekende Russisch-Amerikaanse psycholoog Landa in de zestiger jaren concludeerde op basis van een onderwijsexperiment, zijn dat juist de elementen die leerlingen helpen greep te krijgen op de meetkundige problemen in zijn onderzoek. De oude didactische literatuur en meer recent onderwijspsychologisch onderzoek geven sterke aanwijzingen voor het vermoeden dat transfer van de geleerde denkmethoden naar andere disciplines buiten de meetkunde alleen optreedt als die denkmethoden expliciet aandacht krijgen. Uit de leerboeken moet het de leerlingen (en de leraren) duidelijk worden om welke denkstrategieën het hier gaat. De interactie tussen leerlingen en docent, hier onmisbaar ondanks het studiehuis, zal vooral over de reflectie op de eigen probleemaanpak en de heuristische denkmethoden moeten gaan.

33

Meetkunde


4.3.3. Een passende didactiek Sinds de invoering van de Tweede Fase met de Euclidische meetkunde in wiskunde B12 vwo is er opnieuw ervaring opgedaan met dit type meetkundeonderwijs. Sommige leraren ambiëren op hun school klassen waarin zij dat onderwijs mogen geven, andere leraren mijden die klassen juist. Sommige leraren zien kans om met hun leerlingen inderdaad de bedoelde wiskundige activiteiten te ontwikkelen, andere vereenvoudigen de leerinhouden tot reproduceerbare opgaven en beginnen niet aan de echte meetkundige problemen. Om welke denkmethoden gaat het bij het bewijzen? Hoe pak je het bewijzen aan? Een systematische probleemaanpak helpt, niet alleen bij meetkundige problemen. Voor het leveren van een (meetkundig) bewijs kan de volgen strategie helpen. Een systematische aanpak van bewijzen 1. Probleemanalyse Vragen stellen aan de probleemsituatie. Wat weet je? Wat volgt daaruit? Waar moet je naar toe? Heb je kennis beschikbaar om die kloof te overbruggen? Herken je het probleem als een voorbeeld uit een categorie problemen? 2. Progressief denken (vooruit denken) Dit zijn de gegevens. Waar doet je dat aan denken? Wat volgt hieruit? Welke stellingen kun je benutten? Kun je een hulplijn trekken om de gegevens beter te benutten? 3. Regressief denken (terug denken) Waar moet je naar toe? Als dat waar is wat volgt daaruit? Met welk wiskundig gereedschap kun je die conclusie trekken? Welke stelling kun je daartoe gebruiken? 4. Plan maken Leg een verband tussen de consequenties van de gegeven situatie en van de gevraagde situatie. Maak een plan voor het achtereenvolgens uitvoeren van verschillende bewijsstappen. Ziet dat er goed uit? Kom je zo waar je wilt komen? 5. Terug kijken Zo, dit is een oplossing. Hoe ben je daaraan gekomen? Of waar ben je op vast gelopen? Hoe komt dat? Kan het beter? Waar heb je het meest aan gehad? Wat heeft je verder geholpen? Even in je logboek je eigen aanpak vastleggen van het exploreren en bewijzen. De kunst is nu om in het lesmateriaal en de interactie met leerlingen deze elementen van een goede aanpak expliciet naar voren te halen. Dat kan nu en dan door als leraar bij het bord hardop denkend in wisselwerking mat de klas een aanpak te zoeken en verschillende manieren van aanpak te vergelijken. Dat kan door expliciet van leerlingen te vragen om ook hun zoeken naar een aanpak op te schrijven. Een gunstig moment voor het bespreken van een goede aanpak is natuurlijk het optreden van een blokkade. De oplosser zit vast, wat nu? Het helpt als leerlingen dan hebben geleerd om volgens een dergelijk heuristisch werkschema zich de nodige vragen te stellen. Laat we dat eens toepassen op het zoeken naar het bewijs van het vermoeden bij figuur 19 uit Klasse III.3 Cirkelmeetkunde.

34

Meetkunde


Analyseren Vooruitdenken Tja, ik zie niet onmiddellijk hoe ik dat bewijs moet aanpakken. Eerst de gegevens maar eens verwerken. De bissectrices delen de hoeken doormidden. De halve hoeken zijn 1 1 1 2  2 , en 2 . Dan is  DIB = 12  + 12  (buitenhoek van driehoek CIB). Analoog is  DIA = 12  + 12  Even in de tekening bijschrijven.

Figuur 25 Vooruitdenken

Terugdenken Hoe nu verder? Waar moet ik naar toe? We moeten aantonen dat |DA| = |DI| = |DB|. |DA| is natuurlijk |DB| want boog AD = boog DB omdat de hoeken bij C aan elkaar gelijk zijn (gelijke hoeken, gelijke bogen, gelijke koorden).

Plan maken We hebben nog te bewijzen dat |DI = DB|. Dan moet driehoek DIB gelijkbenig zijn. Dat is het geval als de hoeken DIB en DBI gelijk zijn. We hebben al dat  DIB = 12  + 12 . Die halve hoek  zit ook bij ABI (gegeven). En hoek ABD is een omtrekshoek op boog AD. Aha, daar staat  ACD ook op. Dus  ABD =  ACD = 12 . Nu nog even in de goede volgorde opschrijven.

Figuur 26 Plan maken

35

Meetkunde


Het bewijs opschrijven Leerlingen moeten expliciet aan de hand van voorbeelden leren hoe zij een bewijs moeten opschrijven, zodat het aan redelijke normen van logische argumentatie en begrijpelijke communicatie voldoet. Elke redeneerstap moet daarbij worden verantwoord, bijvoorbeeld door verwijzing naar een stelling. Als de leerlingen eraan gewend zijn om de voorgaande analyse inderdaad ook op te schrijven, dan kan het bewijs ook kort zijn. Bijvoorbeeld als volgt. Bewijs:  ACD =  BCD ( gegeven)  boog AD = boog BD (gelijke bogen en omtrekshoeken)  |AD = |BD| (gelijke bogen en koorden) (1) Bekijk driehoek DIB.  DIB =  ICB +  IBC (buitenhoek van een driehoek) )   DIB = 12  + 12  (gegeven) (2)  ABD =  ACD =

1 2

 (gelijke bogen en omtrekshoeken) 

 IBD =  IBA +  ABD = 12  + 12  (3) Uit (1) en (2) volgt dat  DIB =  IBD  |DI| = |DB| (gelijkbenige driehoek) Combinatie van de resultaten (1) en (3) geeft |DA| = |DI| = |DB|. Het punt I ligt op de cirkelboog met D tot middelpunt en |AD| = |BD| als straal. Terug kijken Daar leer je het meest van voor de volgende keer. Hoe kwam ik op het goede idee? Kon het ook anders? Misschien wel mooier of sneller? Meestal doe je zo'n bewijs met hoeken die constant blijven. Ja dat is natuurlijk hier ook zo. Ik had al dat  AIB = 12  + 12 +  . Een constante hoek, want de hoek  is constant (steeds op dezelfde boog) en de helft van  +  is dan ook constant. Verder staat  AIB steeds op dezelfde boog dus is de meetkundige plaats voor I een cirkelboog. Maar daar volgt nog niet direct uit dat het punt D het middelpunt is, of toch wel? Zo we laten het hier maar bij. Die andere cirkelboog, als C onder AB ligt, zal wel net zo gaan.

36

Meetkunde


4.3.4. Verschillende bewijsmethoden Het boeiende aan meetkundeproblemen is de verscheidenheid aan oplossingsmethoden. Wie kan het anders, beter, korter, eleganter? Hier volgt een historisch voorbeeld van dat zoeken naar meer oplossingsmethoden.

In het boekje 'Denken in cirkels', geschreven door het Profiteam voor het experiment met de Voortgezette Meetkunde, stond de volgende opgave die in allerlei varianten is overgenomen in verschillende schoolboeken. Figuur 27 Meerdere oplossingsmethoden

Op een cirkel c 1 met middelpunt M liggen de punten S en N. Een cirkel c 2 met middelpunt N snijdt c 1 in de punten A en B. De koorde SA snijdt c 2 ook in een punt T. Bewijs dat driehoek BST gelijkbenig is. In Euclides (Van Streun 2002) is verslag gedaan van verschillende methoden (een direct bewijs, een indirect bewijs en een dynamisch bewijs) om dit bewijs te leveren. De lezer wordt uitgenodigd om het zelf te proberen.

37

Meetkunde


5. Ontwerpen De vraag is nu wat je met een bepaalde doelgroep van leerlingen wilt bereiken. Gaat het om onderbouw havo-vwo, om wiskunde C vwo, om leerlingen uit een Natuurprofiel vwo of havo, het maakt een groot verschil. In de diverse meetkundige situaties verdient het aanbeveling om een instructiestrategie te kiezen die rekening houdt met de niveautheorie van Van Hiele. Zie ook Katern 0, Denken over leren en onderwijzen van wiskunde, de paragraaf over instructiestrategieën. In deze paragraaf beginnen we met een algemene samenvatting, waarna we voorbeelden uit de drie typen meetkundige activiteiten geven.

5.1. Een algemene instructiestrategie 1. Begin met ervaringsleren, waarnemingen en tastbare handelingen met 2D- en 3Dobjecten. Plakken, knippen en snijden (in oase), werken met echte spiegels, draaien in de ruimte en het uitvoeren van projecten die berusten op elementen uit de kijkmeetkunde. 2. Langzamerhand verschuift de focus naar objecten die je niet meer vast kunt houden of aanraken. Dan gaat het over figuren, films, foto’s, of computeranimaties. 3. Leerlingen leren de objecten beschrijven omdat ze die niet vast kunnen houden. De beschrijvingen monden bijvoorbeeld uit in 2D-representaties van 3D-objecten. 4. Begrippen worden steeds rijker, dat betekent dat de begrippen abstracter zijn en daardoor in meerdere domeinen – in en buiten de wiskunde - toepasbaar. Dat kan vooral door geleidelijk aan opdrachten te geven die argumenten vereisen. Deze ontwikkeling verloopt stapsgewijs omdat het leren gebaseerd is op kennen/weten/reproduceren van bekende eigenschappen in steeds complexere situaties. Dit proces verloopt geleidelijk. 5. Er kan uiteindelijk een link gelegd worden tussen 2D- en 3D-objecten (een verzameling eigenschappen) en coördinatenstelsels, stelsels van vergelijkingen, en objecten die geen representant in de werkelijkheid hebben zoals projectieve meetkunde. De argumenten gaan alleen over abstracties.

38

Meetkunde


In de monografie van het Journal for Research in Mathematics Education (Fuys 1988) over de Van Hiele niveaus staan de volgende aanbevelingen om met leerlingen naar een hoger denkniveau te streven. De auteurs zijn van mening dat de meeste opgaven en toetsen in schoolboeken (USA) een beroep doen op een laag denkniveau en op reproductie. Zij bevelen leraren aan om zelf aanvullend materiaal te ontwerpen: a. Ontwerp opdrachten aan de hand waarvan leerlingen zelf meetkundige situaties kunnen exploreren. b. Stimuleer dat leerlingen meetkundige begrippen en objecten in woorden gaan omschrijven om zo een meetkundige taal te ontwikkelen. c. Wees alert op misconcepties ontstaan door beperkte visualiseringen. Vul het schoolboek aan met concrete objecten waar leerlingen mee kunnen manipuleren om de concepten beter te kunnen begrijpen. d. Reik leerlingen meer voorbeelden en non-voorbeelden (tekeningen, concrete objecten) aan, zodat leerlingen zelf kunnen beoordelen of kenmerken waar of niet-waar zijn. e. Om leerlingen te helpen een hoger niveau te bereiken doet de leraar er goed aan om ook bij veel routineopgaven steeds weer te vragen: ‘Waarom?’ of ‘Leg je antwoord eens uit.’ f. Bedenk zelf toetsvragen die betrekking hebben op hogere niveaus of eigen producties vereisen.

5.2. Kijken, tekenen, rekenen, ordenen Natuurlijk is er een reeks van meetkundige situaties in de onderbouw waarin authentieke contexten aanleiding geven tot concrete meetkundige activiteiten. Zoals al eerder genoemd is de landmeetkunde in historisch perspectief een mooie context om aan de hand van concrete probleemsituaties, gekoppeld aan echte meetactiviteiten, de meetkunde rond verhoudingen, gelijkvormigheid en goniometrie te ontwikkelen. Een combinatie met het type vragen dat bij de kijkmeetkunde een rol speelt, ligt voor de hand. Op de grens van onderbouw en bovenbouw zijn echte ruimtelijke situaties bij uitstek geschikt om de integratie van allerlei meetkundige kennis en vaardigheden te versterken en eventuele deficiënties op te sporen. Met behulp van gegevens van het internet en foto's op het computerscherm is veel meer mogelijk dan het beperkte schoolboek kan bieden.

39

Meetkunde


Kubuswoningen

Figuur 28 Kubuswoningen

Aan de hand van een kubuswoning zijn met behulp van enkele foto's en gegevens een reeks van meetkundige activiteiten te ontwikkelen, waarin allerlei aspecten van de meetkunde aan de orde komen. Het begint al met het maken van een schaalmodel, bijvoorbeeld vanaf de vloer van de woonkamer. (Bij een hoekpunt is een deel van de kubus weggehaald, zodat ongeveer 16 deel van de drie ribben is overgebleven.) Teken op de buitenkant van het model de vloeren van de woonkamer, de slaapkamerverdieping en de zolderverdieping. Teken de ramen in op basis van de foto's. Spoor foto's op en zoek met het model in je hand op waar de fotograaf stond. Teken aanzichten. Bereken oppervlakten en inhouden. Meubilair de vertrekken! Waar kun je staan en waar niet? Enzovoort. Bronnen op diverse websites.

40

Meetkunde


De Willemswerf Nog mooier en ook complexer is de authentieke context van de Willemswerf bij de Erasmusbrug in Rotterdam. Meetkundig gezien is het een combinatie van twee ruimtelijke vormen, een keuze waarbij de vorm van het beschikbare perceel een grote rol heeft gespeeld. (Zie internet of het Jaarboek Architectuur in Nederland 1992). Alle mogelijke vragen op het gebied van kijkmeetkunde, doorsneden, aanzichten, inhouden, contextoverwegingen zoals de lichtinval en de situering aan de Nieuwe Maas komen als vanzelf naar boven.

Figuur 29 De Willemswerf

41

Meetkunde


5.3. Redeneren met meetkundige concepten De algemene instructiestrategie, zoals hiervoor samengevat, heeft vooral betrekking op het ontwikkelen van een meetkundig relatienet, het kunnen redeneren met meetkundige eigenschappen waarbij aan het object een scala van kenmerken is gekoppeld. Kies je ervoor om daar expliciet werk van te maken, terwijl de schoolboeken dat niet systematisch doen, dan kun je dat ook exemplarisch doen. Twee voorbeelden. De stelling over de omtrekshoek In 3 havo-vwo kunnen de leerlingen experimenteel op het spoor komen van de stelling over de omtrekshoek. In de klas kunnen de leerlingen meten onder welke hoek zij het middelste bord zien en vervolgens kan worden nagegaan wie dat bord onder dezelfde kijkhoek zien. Analoog in een tekening van een doel en een aanstormende voetballer. Waar staan de voetballers die het doel onder een hoek van 450 zien? In een cirkel lijkt het erop dat omtrekshoeken die op dezelfde boog staan ook gelijk zijn. Zo komen we op de stelling uit het begin van dit katern. Kunnen we dat bewijzen? Vanaf dit punt is het goed mogelijk om steeds verder terug te redeneren naar alle eigenschappen die nodig zijn om het bewijs te leveren. Het verantwoorden van het tekenen van een doorsnede Het moeten verantwoorden van het tekenen van een doorsnede leidt eveneens tot een breed scala van stellingen, waardoor leerlingen een idee krijgen wat er achter die stappen, vaak intuïtief uitgevoerd, verborgen zit. Punt P ligt op ribbe DC van de kubus ABCD.EFGH, punt Q op ribbe BC en punt R op ribbe EH. Teken de doorsnede van vlak PQR met de kubus.

Figuur 30 Doorsneden

42

Meetkunde


5.4. Oplossen van meetkundige problemen In het onderwijs zijn de mooiste meetkundige problemen natuurlijk die functioneel bijdragen aan het inzicht en de vaardigheden van de leerlingen in relatie tot het fingerende programma. Daar zijn al een aantal van besproken. De bekende problemen met een historisch-culturele achtergrond passen eigenlijk in elk programma, omdat ze ook een bijdrage leveren aan de gewenste attitude ten aanzien van wiskunde. Bekende voorbeelden zijn de context en toepassingen van de stelling van Pythagoras (in de analytische meetkunde een basisstelling), de gulden snede met alle verbindingen met onderwerpen buiten de meetkunde en het getal  (idem), de projectiemethoden, zoals die in wiskunde C vwo aan de orde komen.

5.4.1. Kegelsneden, meetkundig en analytisch

Wegens de hernieuwde aandacht voor de analytische meetkunde in de examenprogramma's havo-vwo kan een meetkundige benadering van de kegelsneden de blik van leerlingen verruimen. De meetkundige afleiding van de meetkundige kenmerken van de kegelsneden maakt gebruik van elementaire meetkundige eigenschappen, maar die behoren niet allemaal meer tot het standaard programma. Figuur 31 Kegelsneden

De leraar kan die afleiding natuurlijk wel laten zien.

43

Meetkunde


Voor de parabool geldt: De top is punt A. P is een willekeurig punt van de kromme. PN  AN. De lengte van lijnstuk AN, |AN|, is recht evenredig met de lengte van PN in het kwadraat, |PN|2. Bewijs: |PN|=|NO|, |P'N'|=|N'O'|. | PN |2 (1) Verder is |CN|.|ND|=|PN|2, zodat | ND | | CN | | P ' N ' |2 Analoog: | N ' G | (2) | EN ' | Omdat |CN|=|EN'| (par. CNN'E) leidt (2) nu tot | P ' N ' |2 | N ' G | (3) | CN | We maken gebruik van de gelijkvormigheid van de driehoeken AND en AN'G en substitueren (1) en (3): | AN | | ND | | PN |2   | AN ' | | N 'G | | P ' N ' |2 Een parabool wordt vastgelegd door de eigenschap: Als de top A is en P een ander punt van de kromme terwijl het segment PN loodrecht staat op AN dan is |AN| recht evenredig met |PN|2.

Voor de ellips geldt: A en M zijn toppen van de ellips op de hoofdas. P is een willekeurig punt van de kromme. PN  AN. Het product |AN|.|NM| is recht evenredig met |PN|2. Bewijs: Net als bij de parabool geldt: |NC|. |ND|=|PN|2 en |HN'|.|N'K|=|P'N'|2 (1) Uit de gelijkvormigheid van driehoeken AND en AN'K en MNC en MN'H volgt: | ND | | NC | | AN | | NM | .  . | AN ' | | N ' M | | N ' K | | N ' H | | AN | . | NM | | PN |2 Substitutie uit (1) geeft:  . | AN ' | . | N ' M | | P ' N ' |2

Ellips: A en M zijn de toppen van de hoofdas, P is een punt op de kromme met PN AN dan geldt dat |AN.|NM| recht evenredig is met |PN|2.

44

Meetkunde


Voor de hyperbool geldt: A is de top van de hyperbool. Vlak APO snijdt EB in M, de top van de tweede tak van de hyperbool. Voor een willekeurig punt P op de kromme met PN  AN. is het product |AN|.|NM| recht evenredig met |PN|2. Het bewijs gaat analoog aan dat voor de ellips en de parabool.

Met behulp van de volgende twee figuren kan voor de ellips en de hyperbool de equivalentie met de definitie uit de analytische meetkunde worden aangetoond.

Uit definitie van de ellips |FP| + |F'P| = 2a volgt de vergelijking: (a2 - c2)x2 + a2y2 = (a2 - c2) a2 (1) We moeten nu aantonen dat |AN.|NM| = k. |PN|2 met k een constante. |AN| = a + x, |NM| = a -x, |PN| = y. Terugdenken geeft |AN|.|NM| = (a + x)( a -x) = a2 - x2 en uit (1) volgt nu dat a2 y2 |AN|.|NM| = 2 2 a c waarbij a en c constant zijn voor elke positie van P.

Uit de definitie van de hyperbool ||PF|-|PF'|| = 2a volgt de vergelijking x2(c2 - a2) - a2 (c2 - a2) = a2y2 Nog te bewijzen dat: |AN|.|NM| = k. |PN|2

45

Meetkunde


5.4.2. Meetkundig en analytisch oplossen De analytische meetkunde heeft weer een belangrijke plaats gekregen in de programma's van de bovenbouw havo-vwo. Weer, want het had een prominente plaats in de programma's van de hbs (het vak analytische meetkunde), het havo (inclusief vectorrekening) en het vwo (het vak wiskunde 2). De didactische valkuil is dat het rekenen aan meetkundige situaties in de schoolboeken, in het onderwijs en vooral ook in de hoofden van de leerlingen wordt losgekoppeld van de meetkundige betekenis. Dat leidt veelal tot overmatig, ongestuurd en zinloos rekenwerk. Ook hiervoor geldt weer dat een verstandige probleemaanpak, sterk benadrukt door de docent, de leerlingen kan helpen om koers te houden in hun oplossingsproces. We passen de probleemaanpak voor het bewijzen aan voor een meetkundig probleem binnen de analytische meetkunde. Een systematische aanpak voor het oplossen van AM-problemen 1. Probleemanalyse  Situatieanalyse: Waar gaat het over? Kan ik een schetsje maken? Wat betekent de vraag meetkundig? Hoe kan ik handig een assenstelsel plaatsen?  Doelanalyse: Waar moet ik naar toe werken? Welke kloof tussen de gegeven situatie en het doel moet ik overbruggen?  Gereedschap: Wat weet ik al over zo'n situatie? Wat kan ik wellicht uit mijn gereedschapskist aan feiten en methoden toepassen? 2. Progressief denken of vooruit denken Dit zijn de gegevens. Waar doet je dat aan denken? Wat volgt hieruit? Welke stellingen kun je benutten? Kun je een hulplijn trekken om de gegevens beter te benutten? Is een geschikt assenstelsel in te voeren?. 3. Regressief denken of terug denken Daar moet je naar toe. Als dat het doel is, wat volgt daaruit? Met welk wiskundig gereedschap kun je die conclusie trekken? Welke stelling kun je daartoe gebruiken? 4. Plan maken Leg een verband tussen de consequenties van de gegeven situatie en van de gevraagde situatie. Maak een plan voor het achtereenvolgens uitvoeren van verschillende stappen. Ziet dat er goed uit? Kom je zo waar je wilt komen? 5. Aan de slag Uitvoeren van je plan. Ondertussen nu end an even stoppen en je afvragen of je op de goede weg bent. Waar moet je ook al weer naar toe? 6. Terug kijken Zo, dit is een oplossing. Hoe ben je daaraan gekomen? Of waar ben je op vast gelopen? Hoe komt dat? Kan het beter? Waar heb je het meest aan gehad? Wat heeft je verder geholpen? Even in je logboek je eigen aanpak vastleggen van het exploreren en bewijzen.

46

Meetkunde


Nu volgen enkele mogelijke opgaven om zowel de meetkundige als de analytische aanpak toe te passen. Leerlingen moeten eerst beide kunnen gebruiken, voordat ze hun persoonlijke voorkeur kunnen volgen. 1. Bewijs dat de zwaartelijnen van een driehoek door één punt gaan. 2. Bewijs dat de hoogtelijnen van een driehoek door één punt gaan. 3. Bewijs dat de middelloodlijnen van een driehoek door één punt gaan. 4. Bereken de coördinaten van de punten op de lijn x + y = 6, die gelijke afstanden hebben tot y = 2x – 1 en x + 2y = 3. 5. Geef de algemene vergelijking van een cirkel, die de X-as raakt, de Y-as raakt en door O gaat. 6. Bewijs dat de punten A (4,0), B(-4,0), C(0,8) en D(5,3) op één cirkel liggen. 7. Stel de algemene vergelijking op van een cirkel, die de X-as en de lijn y  43 x raakt. 8. Bepaal de meetkundige plaats van de projecties van O op de raaklijnen aan de parabool y2 = 8x (deze kromme heet cissoïde). 9. P doorloopt de parabool y2 = 2px (P niet in O). De lijn door het brandpunt, die evenwijdig is met de raaklijn in P, snijdt OP in S. Bepaal de meetkundige plaats van S. 10. Bepaal de meetkundige plaats van de middelpunten van de cirkels, die de X-as raken, en gaan door (4,2). 11. Bewijs dat het product van de afstanden van de brandpunten van een ellips tot een willekeurige raaklijn constant is. 12. P (x,y) is een punt van de orthogonale hyperbool x2 – y2 = a2; de projectie van P op de X-as is P’. Bewijs dat de afstand van P’ tot een van de toppen gelijk is aan de lengte van PP’. 13. Bepaal de meetkundige plaats van de punten van waaruit de raaklijnen aan de hyperbool b2x2 – a2y2 = a2b2 loodrecht op elkaar staan.

47

Meetkunde


14. Punt C ligt op de middellijn AB. De middelloodlijn van CB snijdt de cirkel in de punten D en E. Bewijs dat CE  AD.

15. Driehoek ABC is rechthoekig in A. Op zijde BC ligt een punt D zo dat |AC| = |AD|. Punt E ligt op AB zo dat ADE = 900. Bewijs dat |BE| = |DE|.

48

Meetkunde


Referenties Aarts, J. M. (2000). Meetkunde. Utrecht: Epsilon uitgaven. Bastide-van Gemert, S. la (2006). Elke positieve actie begint met critiek. Hilversum: Verloren. Bos, D. e.a. (1999). Moderne Wiskunde B2 deel 1. Groningen: Wolters-Noordhoff. Bos, W. J., & Lepoeter, P. E. (1964). Wegwijzer in de meetkunde 2. Amsterdam: Meulenhof. Burger, W.F., & Shaughnessy, J.M. (1986). Characterizing the van Hiele levels in geometry. Journal for Research in Mathematics Education, 17(1). Caroll. L. (1885, 1973). Euclid and his modern rivals. Reprint New York, Dover. Clemens, D.H., & Battista, M.T. (1992). Geometry and spatial reasoning. In D.A. Grouws (Ed.), Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. NCTM. Craats, J. van de (1991). Hoe teken je een kubus?’ Nieuwe Wiskrant, 11(1). Descartes, R. (1637). Discourse de la Méthode. Géométrie. Leiden. Dieudonné, J. (1973). Should we teach ‘modern’ mathematics? American Scientist, 61(1). Ehrenfest-Afanassjewa, T. (1960). Didactische opstellen wiskunde. Zutphen, Thieme. Fauvel, J., & Maanen, J. van (2000). History in Mathematics Education, the ICMI study. Dordrecht: Kluwer. Freudenthal, H. (1973). Mathematics as an Educational Task. Dordrecht: Reidel. Freudenthal, H. (1978). Weeding and Sowing. Dordrecht: Reidel. Freudenthal, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Dordrecht: Reidel. Freudenthal, H. (1991). Revisiting Mathematics Education, China Lectures. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Fuys, D., Geddes, D., & Tischler, R. (Eds.), (1987). English translation of selected writings of Dina van Hiele-Geldof and Pierre M. van Hiele. Brooklyn, New York: Brooklyn College, City University of New York. Fuys, D. (Ed.) (1988). The van Hiele Model of Thinking in Geometry among Adolescents. Journal for Research in Mathematics Education, Monograph 3. Reston: NCTM. Groot, A.D. de (1968). Bewegingsmeetkunde. Groningen: Wolters-Noordhoff. Gulik van-Gulikers, I. (2005a). Meetkunde opnieuw uitgevonden. Groningen: Rijksuniversiteit Groningen. Gulik van-Gulikers, I. (2005b). Geschiedenis van de niet-Euclidische meetkunde. Utrecht: Epsilon uitgaven. Heilbron, J.L. (1998). Geometry Civilized. History, Culture and Technique. Oxford: Clarendon Press. Hiele-Geldof, D. van (1957). De didaktiek van de meetkunde in de eerste klas van het v.h.m.o. Purmerend: Muusses. Hiele, P.M. van (1957). De problematiek van het inzicht. Purmerend: Muusses. Hiele, P.M. van (1973). Begrip en inzicht. Purmerend: Muusses. Hiele, P.M. van (1986). Structure and Insight: A Theory of Mathematics Education. Orlando: Academic Press. Kindt, M. (1989). Weten hoe je tekent’. Nieuwe Wiskrant 9(1). Moor, E. de (199). Van vormleer naar realistische meetkunde. Utrecht: CD  Press. Otte, M. (1974). Mathematiker über die Mathematik. Berlin: Springer. Pólya, G. (1945). How to solve it. Princeton University Press. Pólya, G. 1954). Mathematics and Plausible Reasoning, volumes I&II. Princeton University Press. Pólya, G. (1962). Mathematical Discovery I. New York: Wiley and Sons. Pólya, G. (1963). On Learning, Teaching and Learning Teaching. American Mathematical Monthly, 70, 605-619. Pólya, G. (1965). Mathematical Discovery II. New York: Wiley and Sons.

49

Meetkunde


Pólya, G. (1967). Schule des Denkens. Bern: Francke Verlag. Ramus, P. (1622). Meetkonst in XXVII boeken vervat. Amsterdam. Sitters, M.H. (2007). Sybrandt Hansz Cardinael. Hilversum: Verloren. Steenstra, P. (1811). Grondbeginselen der Meetkunst. Leyden: Luchtmans. Streun, A. van (2002). Twee schoolvoorbeelden van schoolmeetkunde. Euclides, 77(4). Thom, R. (1971). Modern Math: An Educational and Philosophic Error? American Scientist, 59(6). Troelstra, R. (Ed.) (1962, 1963). Transformatiemeetkunde. Deel I en II. Groningen: Wolters. Verweij, A., & Kindt, M. (2001). Perspectiviteit, hoe moet je dat zien? Utrecht: Zebrareeks, Epsilon uitgaven. Vredeman de Vries, J.V. (1968). Perspective. Dover Publications. Wijdenes, P. (1954). Beknopte meetkunde. Tweede deel. Negende vereenvoudigde druk. Groningen-Djakarta: P. Noordhoff.

50

Meetkunde. Inhoud. Vanouds tot op de dag van vandaag. Anne van Streun en Nellie Verhoef

Recommend Documents