Mecsi Beatrix Kaposvár, 1975

PSAK VI. 2003. Miskolc

Mecsi Beatrix: “Halhatatlanok”-e a buddhista arhátok?

Mecsi Beatrix Kaposvár, 1975

Díjak, kitüntetések: 1999 Pro Scientia aranyérem Ösztöndíjak, tanulmányutak: 1994-1998 Egyetemi tudományos ösztöndíjak (5 alkalommal, kétszer kiemelt kategóriában) 1996-1997 Köztársasági ösztöndíj 1998 Academy of Korean Studies ösztöndíja, koreai m vészet és kultúra, Seongnam, Dél-Korea 2001-2002 Intenzív koreai nyelvi ösztöndíj, Yonsei University, Dél-Korea, Szöul 1999-2003 PhD-képzés, University of London, M vészettörténet és Régészet szak (Korea Foundation és a University of London külön támogatása, Magyar Állami Eötvös ösztöndíj, Pro Renovanda Cultuira Hungariae ösztöndíja)

Tanulmányai: 1986- 90 Kaffka Margit Gimnázium, Budapest 1991-98 Eötvös Loránd Tudományegyetem, Bölcsészettudományi kar, m vészettörténet szak (kitüntetéses diploma) 1994-99 Eötvös Loránd Tudományegyetem, 1994-100 Bölcsészettudományi kar, japán szak (kitüntetéses diploma) 1997-99 Eötvös Loránd Tudományegyetem, Bölcsészettudományi kar, koreanisztika program 1999- 2003 University of London, SOAS, Anglia, London, PhD képzés

Nyomtatásban megjelent tudományos közlemények száma: 31 publikáció (ebb l PhD-dolgozat, 8 tudományos cikk, 3 könyvrészlet, 20 ismeretterjeszt cikk, 10 el adás nemzetközi fórumokon Legjelent sebb 5 publikációja: How Bodhidharma Came to the East: Representations of the First Zen Patriarch in East Asian Art (PhD-disszertáció, University of London, SOAS, 2003) “Identification Problems of Korean Bodhidharmapaintings”, Róma, La Sapienza Egyetem, 2003. “Hogyan érkezett Bodhidharma Japánba?” A Magyar Tudományos Akadémia Orinentalisztikai Bizottság, Eötvös Loránd Tudományegyetem, Budapest, 2000. “A japán keljfeljancsi. Avagy: Hogyan lett a szentb l játékbaba?” M hely,- különkiadás, Gy r, November, 1999 „Japánok az Amerikai Egyesült Államokban“, in: Terebess Ázsia E-tár, www.terebess.hu

Tudományos fokozata: PhD m vészettörténet (2003, University of London, M vészettörténet-Régészet szak) Tudományos tevékenység: • M vészetelméleti kérdések • Kelet-ázsiai m vészet • Ikonográfia • vizuális percepciókutatás a vallásos legendaképzésben Oktatási tevékenység: M vészetelmélet- és gyakorlat BA (University of London, SOAS) Korai japán és koreai m vészet MA (Sotheby’s Institute, London) Japán régészet MA (University of London, SOAS) Bevezetés Kelet-Ázsia m vészetébe BA (University of London, SOAS)

Kedvenc szabadid s tevékenységei: Természetjárás, úszás, tollas, rajzolás

212



“Halhatatlanok”-e a buddhista arhátok? Az arhát szó szanszkrit kifejezés. A szó eredeti jelentése „érdemre méltó”, és régt l fogva használt kifejezés a védikus, a dzsaina és buddhista írásokban. A Therav da buddhizmusban ezzel a kifejezéssel kezdték megnevezni azokat a személyeket, akik elérték a „megvilágosodást”. Ez az újjászületés láncolatából való megszabadulást is jelentette, és mint ilyen különleges hatalmat jelentett. Talán ez is er sítette népszer ségüket mind a Therav da, mind a Mah y na buddhizmusban, ahol mint segít er khöz imádkoztak a népi vallásosság szintjén. Az indiai eredet buddhizmus Kelet-Ázsiába érkezése után jellegzetes átalakuláson ment át. A vallási szövegek kínai nyelvre való lefordítása is sok nehézséget okozott, hiszen olyan eltér nyelvekr l van szó, amelyek teljesen más gondolkodásstruktúrát feltételeznek. Nem is beszélve az eltér kulturális háttérr l, amelybe az új vallást integrálni kívánták. Így hát a lefordítandó kifejezéseket sokszor megközelít leg hasonló, a kínai helyi hagyományban már meglév és bevett kifejezésekkel fordították le. Ez segítette a szöveg jobb és gyorsabb megértését a helyi lakosok körében, és egyengette útját az új kultuszok és tanok szélesebb kör elterjedésének és meghonosodásának. De nemcsak a vallási szövegek esetében figyelhetünk meg hasonló jelenséget, hanem a vizuális kultúrában, a képz m vészet területén is. A kérdésnek ezzel az oldalával viszonylag kevés kutató foglalkozott eddig részletesen - sajnálatos kísér jelensége ez a túlzottan írás és nyelvközpontú kutatások múltbeli el térbe helyezésének. Dolgozatomban a Kelet-Ázsiában népszer vé vált buddhista szentek, az úgynevezett arhátok kilétét vizsgálom a képz m vészet tükrében. Mennyire buddhisták ezek a „szentek”? Milyen mértékben köthet k az új vallás tanításaihoz és kultuszaihoz? És mennyiben kapcsolódnak a helyi népi hiedelemvilághoz, kultuszokhoz Kelet-Ázsiában? Az arhátok eredetileg a történelmi Buddha, Sákjamuni személyes tanítványai voltak, akik a buddhista tanítás (szanszkritul Dharma) rzésével voltak megbízva, amíg el nem jön Maitreya, az eljövend Buddha. Számuk eleinte tizenhat, kés bb tizennyolc, majd ötszázra b vült. A történelem folyamán kultuszuk gazdag ikonográfiát teremtett. A legkorábbi írásos forrás, amely beszámol az arhátok kultuszáról, Kínában az V. századra datálható, a Mah y navat raka stra kínai fordítása (kínaiul: Rudasheng lun), amelyet Daotai készített el.1 Ez a szöveg, bár tizenhat arhátról beszél, mégis csak kett t említ név szerint, Pindolát és Rahulát. Azonban a legfontosabb szöveg, ami el segítette a tizenhat arhát kultikus tiszteletét, az a Daaluohan nantimiduoluo suoshuo fazhuji (A Dharma fennmaradásáról szóló feljegyzés, ahogyan Nandimitra nagy arhát elbeszéli) cím írás.2 Kínaira a híres zarándok Xuanzang (602-664) fordította 654-ben. Nandimitra, az egyik arhát, közeledvén érezve halálát, mondja el ezt a vallási szöveget a Prasenajit király (kb. id számításunk el tti III-IV. század) f városában összegy lt szerzeteseknek és apácáknak. Ekkor adja meg a tizenhat arhát nevét és korábbi hegyi szálláshelyét. Ezek szerint az els arhát neve Pindola Bharadv ja, aki Aparagodanában lakik, a második Kanakavatsa, Kasmírból, a harmadik Kanaka Bharadv ja, Purva-Videhából, a negyedik Subinda UttaraKuruból, az ötödik Nakula Jambudvipából, a hatodik Bhadra Thamradvipából, a hetedik K lika Samghatadvipából, a nyolcadik Vajraputra Paranadvipából, a kilencedik Sup ka a Gandhamadana-hegyr l, a tizedik Panthaka a Trayastrim a mennyb l, a tizenegyedik R hula 1 2

Taish Tripitaka 1634 Taish Tripitaka 2030, 49: 12-14, röviden csak Fazhuji-nak szokták hívni ezt a forrást. 213



Priyangudvipából, a tizenkettedik N gasena a Potalaka-hegyr l, a tizenharmadik Ingada aVipulaparsva-hegyr l, a tizennegyedik Vanav si a Vatsa-hegyr l, a tizenötödik Ajita a Grdhrakuta-hegyr l és végül a tizenhatodik C dapanthaka a Nemindhara-hegyr l.3 A Tang-korban (618-906) már széles körben elterjedt a tizenhat arhát ábrázolása. A legkorábbi ilyen fennmaradt ábrázolás a híres VIII. századi fest , Lu Lengjia nevével hozható összefüggésbe. A tizenhat arhátot megfestette Guanxiu (832-912) híres szerzetes fest is, akiknek m vei nagy hatással voltak a kés bbi ábrázolásokra. A tizenhat arhát kultusza a Song-korban (960-1278) élte virágkorát. A felirattal is bíró alkotások különösen fontos szerepet játszanak az ábrázolt személyek azonosításában, és ha innen kezdjük vizsgálódásainkat, számos korábban egyértelm en azonosíthatónak vélt képet kell újraértelmeznünk. Érdekes megvizsgálni, hogy a különböz korokban hogyan változott bizonyos képtípusok azonosítása, mi okozta az ikonográfiai típusok keveredését, s t, néha felcserélhet ségét. Ahogy a megfestett figura jelentése megváltozott az adott társadalomban és az azt reprodukáló m vész fejében, számos forma törvényszer en összeolvadt és új jelentés képz m vészeti alkotások jöttek létre, ahogy azt a Déli Song Dinasztia (1127- 1279) idején készült arhát-képeken látható. Sákjamuni Buddha tanítványai a korai festményeken rendszerint indiai emberek formájában jelennek meg, de ahogy a buddhizmus Keletebbre érkezve elkínaiasodott, úgy kínai mesterek is megjelennek lassan az indiai mesterek mellett. Ami e képek érdekessége, az a felt n hasonlóságuk a taoista halhatatlanok portréival. Ez a jelenség egészen a X. századig vezethet vissza. A már korábban említett híres szerzetes fest , Guanxiau4 több szép arhát-sorozatot hagyott hátra, meg rizvén azt korunkra. , azon kívül, hogy Zen buddhista szerzetes volt,5 feljegyzik róla, hogy taoista is volt egyben. Guanxiau nagyon népszer volt korában, olyannyira, hogy még a király is el volt ragadtatva t le és halála után a Meditáló Hold Nagymestere (Chanyue Daisi) címet adományozta neki. Egy 915-re datálható kézirat fennmaradt a Dunhuangi barlangtemplomokban, ami megemlékezik haláláról.6 Híres festményén tizenhat arhátot ábrázol természeti környezetben, barlangokban, sziklák között és fák alatt üldögélve. Még számos más kés bbi példán is láthatjuk, ahogy a buddhista arhátokat a helyiek gyógyító, csodatév hatalmakkal ruházták fel, úgy ezek a buddhista figurák a taoista halhatatlanok és varázslók szerepét is átvették. Ennek köszönhet , hogy a buddhista arhátok ikonográfiája összemosódott a helyi taoista halhatatlanok ábrázolásaival, és egy új, összetettebb ikonográfiát teremtett. Bibliográfia: Birell, Anne: Chinese Mythology. An Introduction., The John Hopkins University Press, Baltimore & London, 1993 Chavannes, Edouard, „Les Seize Arhat protecteurs de la Loi”, Journal Asiatique, 11e serie, Vol. VIII., Juil-août 1916, pp. 5-50, sept-oct 1916, pp. 189-304. 3

De Visser fordítása alapján. De Visser, Marinus W.: The Arhats in China and Japan, Berlin: Oesterheld and Co., 1923: 58-60 4 Zanning: Song Gaoseng zhuan, 988 (Taisó Tripitaka Buddhista kánon 50. kötete, 2061, 30, 897. oldal. Lásd még Chavannes, 1916, pp. 298-304 és Mesnil, 1999, p.70. 5 Kínaiul Csan. A Zen kifejezés a kínai Csan japán kiejtése. Itt a köztudatban jobban elterjedt Zen megnevezést a nagyobb közérthet ség kedvéért használom. 6 S. 4037-es kézirat, British Library, London 214



De Visser, Marinus W.: The Arhats in China and Japan, Berlin: Oesterheld and Co., 1923 Eight Dynasties of Chinese Painting: The Collections of the Nelson Gallery-Atkins Museum, Kansas City, and the Cleveland Museum of Art., Cleveland, 1980 Eliade, Mircea: Vallási hiedelmek és eszmék története (original title: Histoire des croyances et des idées religieuses, Éditions Payot,Paris, 1978), Osiris Kiadó, Budapest, 1997 Fung Yu-lan: History of Chinese Philosophy II., Princeton, Princeton University Press, 1953 Hong Ja- Seong & So Ch’eon-seok, Hong ssi seon pul gi jong. Seoul, 1974 (1706) Jungmann, Burglind: „Immortals and Eccentrics in Chos n Dynasty Painting”, in: Korean Culture 11:2 (Summer, 1990), pp. 22-31 Kim Tae-Gon, Hanguk Mushin-do (Paintings of Shaman Gods of Korea), Youl Hwa Dang Publ., Seoul, 1989 Lancaster, Lewis R.(ed.), The Korean Buddhist Canon: A Descriptive Catalogue., Berkeley/Los Angeles/London: University of California Press, 1979 Ledderose, Lothar: „Subject Matter in Early Chinese Painting Criticism.”, in: Oriental Art, Vol. XIX. No. 1. 1973, pp. 69-83 Little, Stephen: Realm of the Immortals. Daoism in the Arts of China.Exhibition Catalogue, The Cleveland Museum of Art, February 10- april 10, 1988 Little, Stephen with Eichman, Shawn: Taoism and the Arts of China., The Art Institute of Chicago in Association with University of California Press, 2000. (Exhibition: 4. November, 2000- 7. January, 2201, Chicago) Mesnil, Evelyne: „Le Seize Arhat dans la peinture chinoise (VIIIe- Xe s.) et les collections japonaises: Prémices iconographiques et stylistiques”, in: Art Asiatiques, vol. 54 ,1999 , pp.66-84. Miklós Pál: A Zen és a m vészet.(Zen and Art) , (“Gyorsuló Id ”), Magvet Kiadó, Budapest, 1978. Miklós Pál : Tus és ecset. Kínai m vel déstörténeti tanulmányok.( Ink and Brush. Essays on Chinese Cultural History), Liget M hely Alapítvány, 1996. Moss, Paul: Between Heaven and Earth: Secular and Divine Figural Images in Chinese Paintings and Objects., London, 1988 Rakan: Sono Bijutsu to shink , (Arhats: Their art and religion), Otsu, Shiga Prefecture, Lake Biwa Cultural Centre, 1994

215



Seckel, Dietrich: Buddhist Art of East Asia (transl. By Ulrich Mammitzsch), Western Washington University, 1989 The Encyclopedia of Eastern Philosophy and Religion. Buddhism, Taoism, Zen, Hinduism., A Complete survey of the teachers, traditions and the literature of Asian Wisdom., ed.:Stephan Schuhmacher, Gert Woerner. (Zen: Michael S. Diener, Japanologist, Tokyo) Shambala, Boston, 1994 Special Exhibition: Rakan- sono bijutsu to shink Prefectural Museum, 1994

(Arhat-in art and religion), Shiga

SUD Hirotoshi, ”H ry ji kond ky hekiga [Densanch rakanz ] nitsuite” (A study of the Paintings what have traditionally been thought of as the Arhats in Mountains: Former Wall-Paintings of the Golden Hall at H ry -ji), in: Nihon Bijutsushi no suimyaku (The Veins of Japanese Art History), Pelican, T ky , 1993 The Taish Shinsh Daizoky (The Tripitaka in Chinese), Revised, Collated, Added and Rearranged. Together with Original Treatises by Chinese, Korean and Japanese Authors., Ed. by Prof. Dr. J. Takakusu, Prof. Dr. K. Watanabe., 1st ed. 1927, Reprinted 1960. Published by The Taisho Shinshu Daizokyo Kanko kai (Society for the Publication of the Taisho Tripitaka), Takada Toyokawa-cho, Bunkyo-ku, Tokyo Walters, Derek: Chinese Mythology. An Encyclopedia of Myth Aquarian/Thorsons, an imprint of HarperCollins Publishers, London, 1992

and

Legend.,

Werner, E.T.C.: A Dictionary of Chinese Mythology, Shanghai, Kelly and Walsh Limited, 1932 Whitfield, Roderick: „The Lohan in China”, in: Mahayanist Art After A.D. 900., William Watson (ed.), Percival David Foundation, London, 1971, pp. 96-101 Wu Tung, Masterpieces of Chinese Painting from the Museum of Fine Arts, Boston: Tang through Yuan Dynasties, 1996 Yao Tao-chung: “Buddhism and Taoism Under the Chin.”, in: China under Jurchen Rule: Essays on Chin Intellectual and Cultural History, ed.by Hoyt Cleveland Tillman & Stephen H. West,, Albany: State University of New York Press, 1995 Zürchner, E.: The Buddhist Conquest of China: The Spread and Adaptation of Buddhism in Early Medieval China., Leiden: E.J.Brill, 2 vols., 1959 Zürchner, E.: “Buddhist Influence on Early Taoism: A Survey of Scriptural Evidence”, in: T’oung Pao 66 (1-3), 1980, pp. 84-147.

216

217


Valkó Benedek: Sokrészecskerendszerek hidrodinamikai határátmenete

Valkó Benedek

Budapest, 1976 BMGE Matematikai Intézet, Sztochasztika Tanszék 1111 Budapest, Egry J. u. 1. MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 1053 Budapest, Reáltanoda u. 13-15. [email protected] [email protected]

Ösztöndíjak, tanulmányutak: 2003. Institut Henri Poincaré, Párizs (3 hónap) 2004. IMPA, Rio de Janeiro (1 hónap) Nyomtatásban megjelent tudományos közleményeinek száma: 6 Konferencia elõadásainak száma: 5 Legjelentõsebb 5 publikációja: Dombi, Gergely, Valkó, Benedek: On a problem of Erd s, Acta Mathematica Hungarica, vol. 77 (1997), pp. 47-56. Valkó, Benedek: Discrepancy of arithmetic progressions in higher dimensions, Journal of Number Theory, vol. 92 (2002), pp. 117-130. Tóth, Bálint, Valkó, Benedek: Between equilibrium fluctuations and Eulerian scaling: Perturbation of equilibrium for a class of deposition models, Journal of Stat. Phys., vol. 109 (2002), pp. 177-205 Tóth, Bálint, Valkó, Benedek: Onsager Relations and Eulerian Hydrodynamic Limit for Systems with Several Conservation Laws, Journal of Stat. Phys., vol. 112 (2003), pp. 497-521 Tóth, Bálint, Valkó, Benedek: Perturbation of singular equilibria of hyperbolic two-component systems: a universal hydrodynamic limit, (2003) közl. benyújtva, arxiv.org/abs/math.PR/0312256

Tanulmányai: 1991-95 Fazekas Mihály Gimnázium, Budapest 1995-00 Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar, Matematikus szak (kitüntetéses diploma) 2000-04 Budapesti M szaki és Gazdaságtudományi Egyetem, Matematika Intézet, Sztochasztika PhD program Jelenlegi munkahely: MTA Rényi Alfréd Matematikai Kutató Intézet (tudományos munkatárs) Tudományos fokozata: PhD matematika (2004, BME) "Hydrodynamic behavior of hyperbolic two-component systems"

Kedvenc szabadidõs tevékenységei: sportolás, zenehallgatás, bowling

Tudományos tevékenység: • sztochasztikus folyamatok hosszúidej viselkedésének leírása • hiperbolikus megmaradási törvények vizsgálata Oktatási tevékenység: • valószín ségszámítás • analízis Díjak, kitüntetések: 2000. Rényi Kató Díj I. fokozata 2001. Pro Scientia Aranyérem

218



Sokrészecskerendszerek hidrodinamikai határátmenete 1. Bevezetés A statisztikus fizika egyik alapproblémája a nagy mikroszkopikus kölcsönható rendszerek tér- és id beli dinamikájának vizsgálata. Gondolhatunk például gázmolekulákra egy szobában vagy áramló folyadék részecskéire. Ha ismerjük a mikroszkopikus dinamikát (például a newtoni mechanika szabályai szerint mozognak a részecskék), akkor lokálisan, egy nagyon rövid ∆t ideig meg tudjuk határozni egy vagy néhány adott részecske pályáját, állapotváltozását. A globális leíráshoz ez azonban kevés. A vizsgált rendszerek mérete általában óriási (1026 nagyságrend ), és a viselkedést jóval tovább akarjuk vizsgálni, mint az el bbi ∆t lenne. Minden egyes részecskét külön-külön követni reménytelen feladat, ezért más szemlélet szükséges a rendszer viselkedésének leírásához. Van egy sokkal hatékonyabb megközelítése a problémának: ,,messzir l” kell ránézni a rendszerre, azaz inkább a makroszkopikus fejl dést kell vizsgálni. Ez azt jelenti, hogy rendszerünk állapotát egy adott pontban néhány fizikailag jellemz megmaradó mennyiség lokális s r ségével jellemezzük (részecskeszám, momentum, energia). Ezeknek a helyt l függ függvényeknek az id beli fejl dése adja meg a kívánt leírást, ami általában egy parciális differenciál-egyenlet (pde) rendszert jelent. Tehát például ahelyett, hogy meghatároznánk minden részecske pozícióját egy szobában az id függvényeként, inkább a részecskes r séget adjuk meg ugyanott, az id és a hely függvényeként. A hidrodinamikai határátmenet az az eszköz, amellyel megkaphatók ezek a pde rendszerek a tér és id megfelel skálázásával. A fizikus irodalomban számos hidrodinamikai limesz formális levezetése ismert, kezdve Euler, Navier, Stokes klasszikus eredményeit l (pl. [6]). A matematikai fizika egyik fontos és nehéz problémája az, hogy hogyan lehet ezeket a levezetéseket matematikailag precízzé tenni. Teljesen determinisztikus rendszerekre (pl. a newtoni dinamikára) ez a probléma még megoldatlan, de a feladat némiképp kezelhet bb, ha a véletlen is jelen van. Az utóbbi évtizedekben jelent s eredményeket értek el sztochasztikus rendszerek hidrodinamikai viselkedésének leírásában ([2], [4]). A vizsgálat középpontjában megmaradási törvényekkel rendelkez rácsgáz modellek álltak (pl. simple exclusion, zero range). Ezeket tekinthetjük a determinisztikus rendszerek egy approximációjának, de modellként el fordulnak számos biológiai, kémiai és fizikai jelenségnél is (pl. felületnövekedési modellek, biológiai chemotaxis). A következ fejezetben az egyik legtöbbet vizsgált ,,karikatúramodellel” ismerkedünk meg. 2. Az egyszer kizárásos folyamat és hidrodinamikai határátmenete Az egyszer kizárásos folyamat (simple exclusion) egydimenziós, aszimmetrikus változata a következ . Adott egy egydimenziós rács, melynek pontjait az egészekkel számozzuk, és amelynek minden rácspontján 0 vagy 1 részecske lehet. A rendszer dinamikája a következ : minden egyes részecske egymástól függetlenül vár egy véletlen ideig (amelynek eloszlása 1 várható érték exponenciális eloszlású), majd utána megpróbál eggyel jobbra ugrani. Ha ott (azaz t le közvetlenül jobbra) nincs részecske, akkor végrehajtja az ugrást, egyébként marad a helyén. (Azaz két részecske nem lehet soha egy rácsponton, ebb l a kizárásos feltételb l jön a folyamat elnevezése.) Ezután megint vár egy véletlen ideig, megint megpróbál ugrani, és így tovább (ld. ábra). Tehát a részecskék mind jobbra próbálnak haladni (valamilyen véletlen szabály szerint, de konstans átlagos sebességgel), de egymást nem tudják megel zni. Ez tekinthetjük úgy is, mint egy egysávos egyirányú út autós forgalmának közelít modelljét.

219



1. ábra Az egyszer kizárásos folyamat egy részletének egy lehetséges fejl dése. Sötét szín körlapok a részecskéket, az üres körlapok a lyukakat jelzik. Az órák mutatják, hogy mely részecske próbál éppen ugrani, az els és harmadik esetben az ugrás létrejött, a másodikban nem.

Ez egy Markov-folyamat, azaz a jöv mindig csak az éppen aktuális állapottól függ, attól nem, hogy mi történt azel tt. A modellben a részecskeszám megmaradó mennyiség: nem képz dhet és nem t nhet el részecske. Ennek egy következménye például az, hogy ha meg szeretnénk határozni, hogy a t id pontban hány részecske van egy adott [a,b] intervallumban, akkor elég meghatározni a részecskeszámot ott a 0 id pontban, és megnézni, hogy t-ig hány részecske érkezett a-ba, illetve távozott b-b l. Könnyen meggondolható, hogy más mennyiség nem maradhat meg a dinamika során, azaz a ρ részecskes r ség id beni fejl désének vizsgálata az érdekes kérdés. Erre levezethet hidrodinamikai határátmenet: belátható, hogy a ρ (t, x ) függvény kielégíti az alábbi, ún. Burgers egyenletet: ∂ t ρ + ∂ x (ρ (1 − ρ )) = 0.

(1)

A hidrodinamikai határátmenet mindig az állapottér és az id átskálázásával jár. Az el bbi egyenlet ún. Euler-skálázás mellett érvényes, ami azt jelenti, hogy a teret és az id t ugyanolyan mértékben kell átskálázni. Az, hogy a részecskes r ségre az (1) egyenlet teljesül hidrodinamikai limeszben, röviden a következ t jelenti. Ha ρ (t, x ) az el bbi egyenlet egy megoldása, és kezdetben (a teret átskálázva) a részecskes r ség a ρ (0, x ) függvénnyel írható le, akkor (az id t is ugyanúgy átskálázva, mint a teret) t id múlva a részecskes r ség ρ (t, x ) lesz. Kicsit részletesebben kifejtve az el z eket. Rögzítsünk egy ρ 0 ( x ) függvényt, ami a számegyenesen van értelmezve, és 0 és 1 közötti értékeket vesz fel. Ez lesz a részecskes r ség a rendszer kiinduló állapotában, a 0 id pillanatban. Legyen n pozitív szám (ez lesz a skálázás mértéke, mely egyre nagyobb lesz majd), és az egydimenziós rácsot vegyük fel úgy, hogy a szomszédos rácspontok távolsága 1/n legyen. (Ezzel ,,összenyomtuk” az eredeti modellt 1/n-szeresére, az i-dik rácspont i/n-nél lesz.) Tekintsük ezen a modellünk egy olyan állapotát, ahol a lokális részecskes r ség ,,közel” ρ 0 (⋅) , vagyis helyezzünk el részecskéket a rácspontokon úgy, hogy tetsz leges x-re x ,,környékén” átlagosan ρ 0 ( x ) részecske legyen. (Matematikailag precíz megfogalmazásban a megfelel helyeken határátmeneteket kell használni.) Az állítás az, hogy ekkor n t id múlva (azaz az id t is átskálázzuk n-nel) x-ben a lokális részecskes r ség ,,közel” ρ (t, x ) lesz, ahol ρ (t, x ) az (1) parciális differenciálegyenlet megoldása lesz ρ (0, x ) = ρ 0 (x ) kezdeti feltétellel. 220



Az el bb leírt hidrodinamikai limesz matematikailag korrekt levezetésére több bizonyítás is ismert, az egyszer kizárásos folyamaton kívül több más, egy megmaradó mennyiséggel rendelkez modellre is (pl. [5]). Teljes általánosságban (általános részecskemodellre) nincs ismert bizonyítás. Ennek egyik oka az, hogy a vizsgált nagy állapotter Markov-folyamatok hosszú idej viselkedésének kezelése igen nehéz valószín ségszámítási feladat. A másik ok pedig, hogy határérték egyenletként általában egy ún. hiperbolikus megmaradási törvényt kapunk, amely teljes elemzése még nem megoldott a parciális differenciálegyenletek elméletében. A következ kben részletesebben is megvizsgáljuk, hogy mi okozza a nehézséget.

3. Hiperbolikus megmaradási törvények Az egydimenziós egy-komponens hiperbolikus megmaradási törvények általános alakja a következ : (2) ∂ t u + ∂ x f (u ) = 0, ahol f egy adott függvény. A Burgers egyenlet, azaz (1) esetében f ( x ) = x(1 − x ) . Többkomponens megmaradási törvények esetén u vektor és f vektorérték függvény, többdimenzióban div áll ∂ x helyett.

A karakterisztikák módszerével egyszer en belátható, hogy ha u (t, x ) a (2) egyenlet egy sima megoldása, akkor állandó lesz az x = x0 + f ' (u (0, x0 ))t egyenes mentén (azaz az

egyenes minden pontján u (0, x 0 ) az értéke). Ebb l máris egyszer en látható a hiperbolikus megmaradási törvények egyik legfontosabb tulajdonsága: nem létezik klasszikus értelemben vett globális er s megoldás, tetsz legesen sima kiindulási feltétel mellett véges id n belül szakadások, diszkontinuitások alakulnak ki (néhány speciális kiindulási feltételt kivéve). Tegyük fel ugyanis, hogy léteznek olyan x1 < x2 számok, amelyekre ( ( ) ) ( ( ) ) , és ( ) ( ) (ilyenek általában vannak), ekkor a megoldás f 'u 0, x1 > f 'u 0, x2 u 0, x1 ≠ u 0, x2 (u (0, x1 ))t és x = x2 + f '(u (0, x2 ))t egyenesek a nem lehet sima. Valóban, az x = x1 + f ' feltételek miatt metszik egymást, és ha a megoldás sima lenne, akkor az els egyenes minden pontjában u (0, x1 ) -et, a másodikon mindenhol u (0, x2 ) -et venne fel, ami a metszéspontban ellentmondáshoz vezet. Tehát az egyenletünk megoldása egy id után mindenképpen szakad. Ez a jelenség mikroszkopikus szinten is megfigyelhet a részecskerendszerekben, ahogy ez az el bb megismert modellen egyszer en be is mutatható. Tegyük fel, hogy a kiindulási állapotunk olyan volt, hogy a 0-ban a részecskék s r sége kisebb, mint 1-ben. Az ismertetett dinamikából leolvasható, hogy ha valahol a részecskék s r sége kisebb, akkor az átlagos sebességük nagyobb lesz (kevesebb ,,feltartó” részecske van). Lefordítva ,,közlekedési” képre: ha kisebb a forgalom egy úton, akkor jobban lehet haladni. Ez azt eredményezi, hogy a kezdetben 0 körüli ,,gyors” részecskék el bb utóbb beérik a kezdetben 1 körüli lassabb részecskéket, így azok környezetében megn a részecskes r ség. (Mivel k lassabbak, mint a balról érkez részecskék.) Ez torlódáshoz, ,,forgalmi dugóhoz” vezet, ami éppen azt jelenti, hogy a részecskes r ség az adott pontban ugrik, azaz nem folytonos. Ez a jelenség tapasztalható a valódi forgalmi dugókban is, a dugóba ,,érkezve” hirtelen kell csökkentenünk sebességünket, és ezzel együtt az átlagos autós r ség is hirtelen megn .

221



4. Gyenge megoldások Mivel egyenletünknek globális sima megoldása általában nem létezik, ezért ki kell terjesztenünk a megoldás fogalmát nem folytonos függvényekre. A (2) egyenlet divergencia alakú, ezért természetes módon értelmezni lehet az ún. gyenge megoldást, ami integrált alakban elégíti ki (2)-t (ez már akár szakadhat is). A gyenge megoldás keresésekor szembesülhetünk a hiperbolikus megmaradási törvények másik érdekes tulajdonságával: adott kezdeti feltétel mellett a gyenge megoldás nem egyértelm , bel lük akár végtelen sok is lehet. Ezek az egyenletek fizikai jelenségek kapcsán jelentkeznek, ahol adott kezdeti feltétel mellett a megoldás (még ha nem is folytonos) mindig ugyanaz. Ezért kell, hogy legyen valamilyen módszer, ami (adott kiindulási feltétel mellett) a sok lehetséges gyenge megoldás közül megadja, hogy melyik a ,,valódi” (,,fizikai”) megoldás. Egydimenziós egykomponens rendszerek esetén több (egymással ekvivalens) módszer is ismert ([1]). Bizonyos speciális, egy megmaradó mennyiséggel rendelkez részecskerendszerekre (pl. a kizárásos folyamatra) belátható, hogy hidrodinamikai határátmenetként a megfelel egyenlet ,,fizikai” megoldását kapjuk, azaz a mikroszkopikus modellek a ,,helyes” megoldást választják ki a sok lehetséges megoldás közül. Többkomponens rendszerek esetében (általános keretek közt) a ,,fizikai” megoldás kiválasztása még nyitott probléma. Másrészt a fizikailag érdekes részecskerendszerekben gyakran több, mint egy megmaradó mennyiség is van, ami azt eredményezi, hogy hidrodinamikai határátmenetként több-komponens megmaradási törvényt kapunk. Az el z ek miatt a matematikailag precíz levezetés ilyen esetekben rendkívül nehéz, kevés eredmény ismert ([3]). Egy lehetséges ,,megkerülése” a problémának, hogy a hidrodinamikai határátmenetet csak abban a tartományban bizonyítjuk, ahol a limesz-egyenlet ,,szép” (azaz megfelel en sima). Erre már léteznek robusztus módszerek ([10]), amelyek alkalmazhatók egy viszonylag tág modellcsaládban ([7]).

5. Kapcsolódó kérdések A témakörben még rengeteg érdekes és nehéz kérdést lehet feltenni. A hidrodinamikai határátmenet lényegében ,,nagy számok törvénye” a megmaradó mennyiségek lokális s r ségére. Természetes kérdés, hogy lehet-e bizonyítani a finomabb viselkedést leíró centrális határeloszlás-, ill. nagyeltérés-tételek megfelel it. Bizonyos részecskerendszerekre ez megoldott ([4]), de általánosan még nyitott a probléma. Másik lehetséges mód a hidrodinamikai határátmenet élesítésére, hogy perturbációs eredményeket bizonyítunk. Ez egy viszonylag tág modellcsaládban megoldható, legalábbis abban a tartományban, ahol a levezetett egyenlet sima ([8], [9]). Talán a legfontosabb kapcsolódó nyitott kérdés a hidrodinamikai határátmenet bizonyítása általános keretek között több-komponens rendszerekre. Ez rendkívül jelent s eredmény lenne mind a valószín ségszámítás, mind a parciális differenciálegyenletek szempontjából.

Irodalomjegyzék [1] L.C. Evans: Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics 19, AMS, Providence RI, 1998 [2] J. Fritz: An Introduction to the Theory of Hydrodynamic Limits. Lectures in Mathematical Sciences 18. Graduate School of Mathematics, Univ. Tokyo, 2001. [3] J. Fritz, B. Tóth: Derivation of the Leroux system as the hydrodynamic limit of a two-component lattice gas. (2003), http://arxiv.org/abs/math.PR/0304481

222



[4] C. Kipnis, C. Landim: Scaling Limits of Interacting Particle Systems. Springer, 1999. [5] F. Rezakhanlou: Hydrodynamic limits for attractive particle systems on Zd. Commun. Math. Phys. 140: 417-448 (1991) [6] A. Sommerfeld: Mechanics of deformable bodies, Lectures on Theoretical Physics, Vol. II., Academic Press, NY, 1950 [7] B. Tóth, B. Valkó: Onsager relations and Eulerian hydrodynamic limit for systems with several conservation laws. Journal of Statistical Physics 112: 497-521 (2003) [8] B. Tóth, B. Valkó: Perturbation of singular equilibria of hyperbolic two-component systems: a universal hydrodynamic limit, submitted preprint, http://arxiv.org/abs/math.PR/0312256 [9] B. Valkó: Perturbation of a hyperbolic equilibrium point in two-component systems, submitted preprint, http://arxiv.org/abs/math.PR/0402017 [10] H.T. Yau: Relative entropy and hydrodynamics of Ginzburg-Landau models. Letters in Mathematical Physics 22: 63-80 (1991)

223

Mecsi Beatrix Kaposvár, 1975

Recommend Documents