Mechanika II.A – První domácí úkol (Zadání je ze sbírky: Lederer P., Stejskal S., Březina J., Prokýšek R.: Sbírka příkladů z kinematiky. Skripta, vydavatelství ČVUT, 2003.) Vážené studentky a vážení studenti, byli bychom rádi, kdybyste k domácím úkolům z Mechaniky II.A přistoupili jako k možnosti, zkusit si vypočítat tři zadané příklady a navíc se dozvědět, zda jste je řešili správně. Každému, kdo se o to pokusí, se budeme rádi věnovat. Na druhou stranu jsou naše zkušenosti například z minulého semestru s domácími úkoly z Mechaniky I takové, že dostaneme od studentů z různých kroužků zcela totožná a bohužel ne vždy správná řešení. Věnujeme tedy spoustu našeho času na opravování Vašich referátů, které jste však nevypracovali, ale pouze okopírovali i se všemi chybami původního autora. Abychom šetřili náš čas, přicházíme s následujícím řešením: 1) Řešení všech referátů musí být napsáno čitelně rukou. Zadání mohou být samozřejmě okopírována nebo vytištěna na počítači, řešení však nikoli! (Věřte, že i pouhé opsání nejlépe správného řešení Vám následně usnadní složení zkoušky). 2) Všechna zadání jsou doplněna číselnými výsledky, zaokrouhlenými na určitý počet platných číslic (zpravidla na dvě desetinná místa, ale u některých výsledků to není vhodné). Každý výsledek Vašeho řešení uvádějte, prosím, vždy zpřesněný o další dvě desetinná místa. Pokud se mají tato další dvě desetinná místa shodovat s našimi přesnějšími výsledky, nesmíte při řešení mezivýsledky zaokrouhlovat. Nejjednodušší pro Vás je řešit vše v MATLABu. Ten Vám také usnadní nakreslení požadovaných grafů (inspirujte se řešeními příkladů ze cvičení na adrese http://moodle.fs.cvut.cz, která jsou umístěna ve složce Ústav mechaniky, biomechaniky a mechatroniky , Courses , Mechanika II.A). 3) Poskytnuté výsledky Vám umožní vlastní kontrolu, zda jste referát vypočítali správně. Kdo si přesto přeje kontrolu svého referátu učitelem, nechť na titulní list napíše „PROSÍM OPRAVIT“. Ostatní referáty učitel opravovat nebude, ale samozřejmě má právo špatně vyřešené referáty vrátit k přepracování. Věříme, že tento soubor šedesáti řešených příkladů Vám pomůže i při přípravě na zkoušku. I přes veškerou snahu nemusejí být všechny výsledky správné. Prosím, pokud jste přesvědčeni, že je některý výsledek nesprávný, zašlete Vaše řešení (pokud možno včetně souboru m-file) a Váš výsledek na email
[email protected] . Pokud budete mít pravdu, opravíme výsledek v tomto souboru vystaveném na našem webu. Děkuji Vám za spolupráci. Za kolektiv učitelů Mechaniky II.A Doc. Ing. Václav Bauma, CSc.
Zadání č.
1
Doplnění zadání a zaokrouhlené výsledky Str. 12, Příklad 1.16 Dodatek k zadání podle skript: Rozhodněte, zda uvedený výsledek s4 je dráha, kterou bod urazil za 4 sekundy nebo jeho odlehlost. Označte a vypočtěte „druhou“ z veličin. Určete čas tn, ve kterém se bod navrátí do výchozí polohy. Kromě závislosti rychlosti a dráhy bodu na čase nakreslete i graf jeho odlehlosti. Všechny grafy nakreslete pro čas z intervalu < 0; tn >. Výsledky: tz = 3,67 s , v4 = -5,00 ms-1 , s4 = 44,0 m , sz = 44,8 m , “druhá” z veličin = 45,6 m , tn = 5,87 s
20
90
45
80
40
70
35
60
30
50
25
10
-20
odlehlost [m]
-10
draha [m]
rychlost [ms
-1
]
0
40
20
30
15
20
10
10
5
-30
-40
-50
0
2
4
6
0
0
2
cas [s]
2
4
0
6
0
2
cas [s]
4
6
cas [s]
Str. 12, Příklad 1.17 Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro k = 0,01 , m = 700 ms-1 , n = 75 s , v1 = 500 ms-1. Nakreslete grafy závislosti dráhy a rychlosti rakety na čase. Výsledky: t1 = 53,4 s , s1 = 13,3 km 14000
500
450 12000 400
10000
-1
]
350
rychlost [ms
draha [m]
8000
6000
300
250
200
150
4000
100 2000 50
0
3
0
10
20
30 cas [s]
40
50
60
0
0
10
20
30 cas [s]
40
50
60
Str. 12, Příklad 1.18 Dodatek k zadání podle skript: Vyjádřete závislost vB = vB(sB), nakreslete její graf a vypočtěte z ní rychlost bodu B v místě, kde urazil vzdálenost sB = 54 m. Výsledky: φ = 66,3 stupňů , vB 2asB , vB54 = 18,6 ms-1
25
-1
]
20
rychlost v
B
[ms
15
10
5
0
4
0
10
20
30
40 draha s
50 B
60
70
80
[m]
Str. 12, Příklad 1.19 Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro hodnoty r1 = 0,8 m , r2 = 1,1 m , vA = 0,5 ms-1 a vB0 = 0,7 ms-1 a nakreslete grafy drah sA a sB v závislosti na čase od 0 do T. Výsledky: aBt = 0,537 ms-2 , T = 2,51 s , aA = 0,31 ms-2 , aB = 3,86 ms-2 3.5 s s
A B
3
2.5
draha [m]
2
1.5
1
0.5
0 0
5
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 12, Příklad 1.20 Dodatek k zadání podle skript: Výsledky vyčíslete pro hodnoty r = 1,0 m, l = 1,3 m , c = 2,5 ms-1 a nakreslete grafy drah sA a sB v závislosti na čase. Výsledky: vB0 = 2,66 ms-1 , aBt = 1,37 ms-2
5
4.5 s 4
s
A B
3.5
draha [m]
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cas [s]
6
Str. 13, Příklad 1.21 Dodatek k zadání podle skript: Nakreslete graf rychlosti závodníka v závislosti na čase od startu do konce druhé zatáčky. Výsledky: t = 938 s (≈ 15 minut a 38 s) , vprům = 139 km/h 200
180
160
rychlost [kmh
-1
]
140
120
100
80
60
40
20
0
7
0
10
20
30 cas [s]
40
50
60
Str. 13, Příklad 1.22 Dodatek k zadání podle skript: Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy obou bodů vyčíslete v čase t1 pro hodnoty c = 1,2 ms-1 , r = 0,8 m , e = 0,5 m , l = 1,8 m a nakreslete grafy dráhy obou bodů v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: t1 = 4,19 s , sS = 5,03 m , sD = 5,03 m
6 s s
D S
5
draha [m]
4
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
cas [s]
8
Str. 13, Příklad 1.23 Dodatek k zadání podle skript: Dále vypočtěte dráhu středu S válce, sestavte rovnice pohybu válce, vyřešte pohyb tělíska T, úhlovou rychlost, úhlové zrychlení válce a čas t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy bodu S a tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce vyčíslete v čase t1 pro hodnoty l = 0,8 m , r = 0,2 m , c = 0,45 ms-1 a nakreslete grafy dráhy bodu a tělíska v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: t1 = 2,79 s , sS = 1,26 m , sT = 2,45 m , ωv = 2,25 s-1 , αv = 0,00 s-2 2.5
2
s s
T S
draha [m]
1.5
1
0.5
0
9
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 13, Příklad 1.24 Dodatek k zadání podle skript: Řešte pouze v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě D. Souřadnice xL a yL bodu L vyčíslete pro hodnoty l = 0,6 m , r = 1,2 m , c = 2,1 ms-1 v čase t1 = 0,9 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od 0 do času, kdy bod A bude totožný s bodem D. Dále vypočtěte, v jakém čase bude bod L v nejvyšší poloze a jaká bude jeho y-ová souřadnice? Výsledky: xL = 1,62 m , yL = 1,63 m , tyLmax = 0,99 s , yLmax = 1,64 m
3 x y
L L
2.5
2
souradnice [m]
1.5
1
0.5
0
-0.5 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
cas [s]
10
Str. 13, Příklad 1.25 Dodatek k zadání podle skript: Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem ve středu válce. Souřadnice xM , yM , složky rychlosti vMx , vMy a složky zrychlení aMx , aMy bodu M vyčíslete pro hodnoty r = 1,3 m , l0 = r , φ(t)= ωt rad , ω = 5 s-1 v čase t1 = 0,2 s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od 0 do času, kdy se bod M dotkne válce. Výsledky: xM = 1,64 m , yM= -2,60 m , vMx = 7,52 ms-1 , vMy = 11,7 ms-1 , aMx = -76,1 ms-2 , aMy= 10,3 ms-2 25 v v
Mx My
20
rychlosti [ms
-1
]
15
10
5
0
-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
cas [s]
11
Str. 14, Příklad 1.26 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xM a yM bodu M vyčíslete pro hodnoty d = 1,4 m , r = 0,65 m , b = 0,35 m , c = 0,2 ms-1 v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od 0 do času, kdy bod A bude v nejnižším místě své trajektorie. Výsledky: xM = 0,41 m , yM = 0,14 m
0.7 x y
M M
0.6
souradnice [m]
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
12
0
1
2
3 cas [s]
4
5
6
Str. 14, Příklad 1.27 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xD a yD bodu D vyčíslete pro hodnoty l = 1,5 m , d = 0,95 m , h = 0,35 m , β = 60 stupňů , s(t) = vA t m , vA = 0,5 ms-1 v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy souřadnic v závislosti na čase od 0 do času, kdy bod B bude v počátku souřadnicového systému O. Výsledky: xD = 0,21 m , yD = 0,79 m 1.2 x y
D D
1
souradnice [m]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
13
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 15, Příklad 1.28 Dodatek k zadání podle skript: Řešte pouze pohyb bodu K. Velikost rychlosti a velikost zrychlení ověřte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem ve středu válcové plochy. Rychlost, normálovou a tečnou složku zrychlení, zrychlení, souřadnice xK , yK , složky rychlosti vKx , vKy a složky zrychlení aKx , aKy bodu K vyčíslete pro hodnoty r = 1,7 m , l = ½r , ω = 1,2 s-1 v čase t1 = 0,2 s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od 0 do času, kdy se bod K dotkne válcové plochy. Výsledky: v = 2,71 ms-1 , aKt = 3,26 ms-2 , aKn= 2,45 ms-2 , aK= 4,08 ms-2 , xK = -2,60 m , yK= 1,11 m , vKx = 0,65 ms-1 , vKy = -2,64 ms-1 , aKx = 2,58 ms-2 , aKy= 3,15 ms-2
1.5 v v
1
Kx Ky
0.5
rychlosti [ms
-1
]
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
-3.5
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cas [s]
14
Str. 15, Příklad 1.29 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice stínu xL a yL vypočtěte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě S, vyčíslete je pro hodnoty r = 900 mm, = 25o , v0 = 0,85 ms-1, aA = 0,6 ms-2 v čase t1 = 1,3 s, dále vyčíslete rychlost stínu v nejnižším bodě kružnice a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: xL = -0,57 m , yL= -0,69 m , vL = 2,69 ms-1 1 x y
0.8
L L
0.6
0.4
souradnice [m]
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cas [s]
15
Str. 15, Příklad 1.30 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice stínu xS a yS vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty h = 600 mm, = 20o, c = 4,1 ms-1, xA = 400 mm, yA = 250 mm, zA = 150 mm v čase t1 = 1,25 s a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: xS = 0,43 m , yS = -0,061 m
0.6 x y
S S
0.5
souradnice [m]
0.4
0.3
0.2
0.1
0
-0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
cas [s]
16
Str. 15, Příklad 1.31 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xL , yL a zL bodu L vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty OD0 h = 600 mm, OE0 p = 800 mm, OF q = 1600 mm,
EL l = 600 mm a c = 0,8 ms-1 v čase t1 = 2,1 s a nakreslete grafy souřadnic bodu L v závislosti na čase od 0 do času, ve kterém bude bod E totožný s bodem F. Výsledky: xL = 1,39 m , yL = 0,36 m , zL = 0,13 m 2.5 x y z
L L L
2
souradnice [m]
1.5
1
0.5
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
cas [s]
17
Str. 16, Příklad 1.32 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xD , yD a zD bodu D vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty r = 500 mm , γ = π/12 rad, AB l 2,5πrtgγ , BD d = 450 mm a c = 0,3 ms-1 v čase t1 = 1,2 s a nakreslete grafy souřadnic bodu D v závislosti na čase od 0 do času, ve kterém se bod B dotkne válcové plochy. Výsledky: xD = 0,16 m , yD = 0,88 m , zD = 0,040 m
1.2 x y 1
z
D D D
0.8
souradnice [m]
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
2
4
6
8
10
12
14
cas [s]
18
Str. 16, Příklad 1.33 Dodatek k zadání podle skript: Souřadnice xL a yL, složky rychlosti vLx , vLy a složky zrychlení aLx , aLy bodu L vypočtěte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě O, vyčíslete je pro hodnoty φ(t)= ωt rad , ω = 2 s-1 , OS l 300 mm , r = 100 mm, Ω = 2 s-1 , γ = π/3 rad v čase t1 = 0,2 s a nakreslete grafy složek rychlosti v závislosti na čase od 0 do času, kdy se přímka otočí o úhel 2 rad. Výsledky: xL = 0,37 m , yL= 0,16 m , vLx = -0,29 ms-1 , vLy = 0,75 ms-1 , aLx = -1,87 ms-2 , aLy= -0,69 ms-2 0.8 v v
Lx Ly
0.6
0.4
rychlosti [ms
-1
]
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
cas [s]
19
Str. 17, Příklad 1.38 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte rychlost a zrychlení bodu v čase t1 a nakreslete grafy výchylky, rychlosti a zrychlení bodu v závislosti na čase od 0 do doby periody T. Výsledky: T = 1,99 s , x = 0,10 m , v = -0,54 ms-1 , a = -1,02 ms-2
Prubeh pohybu bodu 2 vychylka x [m] -1
rychlost v [ms ] 1.5
-2
zrychleni a [ms ]
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
-2
-2.5
20
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1 cas [s]
1.2
1.4
1.6
1.8
2
Str. 21, Příklad 2.7 Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlové rychlosti ω1, určete i úhel pootočení φ1 a úhlové zrychlení α1 setrvačníku v okamžiku, kdy držák proběhl dráhu l a nakreslete grafy úhlu pootočení a úhlové rychlosti setrvačníku v závislosti na čase během celého pohybu držáku po dráze l. Výsledky: φ1 = 4,51 rad , ω1 = 69,7 s-1 , α1 = 516 s-2 5
70
4.5 60 4
50 -1
]
3.5
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
3
2.5
2
1.5
40
30
20
1 10 0.5
0
21
0
0.05
0.1 cas [s]
0.15
0.2
0
0
0.05
0.1 cas [s]
0.15
0.2
Str. 22, Příklad 2.8 Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlové rychlosti ω, určete i úhel pootočení φ a úhlové zrychlení α bubnu v okamžiku, kdy páka je pootočena o úhel ψ = ψ1 a nakreslete grafy závislosti úhlu pootočení a úhlové rychlosti bubnu na čase během pootočení páky od ψ = 0 rad do ψ = π/2 rad. Výsledky: φ = 1,15 rad , ω = 0,34 s-1 , α = -0,39 s-2
1.4
1
0.9 1.2 0.8
0.7
uhlova rychlost omega [s
-1
]
1
uhel fi [rad]
0.8
0.6
0.6
0.5
0.4
0.3
0.4
0.2 0.2 0.1
0
22
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
0
3
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 22, Příklad 2.9 Dodatek k zadání podle skript: Úhel pootočení, úhlovou rychlost a úhlové zrychlení tyče vyčíslete v čase t1 = 1,8 s a nakreslete grafy závislosti úhlu pootočení a úhlové rychlosti tyče na čase v intervalu < 0; 2,8 > s. Výsledky: φ = -0,27 rad , ω = -0,52 s-1 , α = 0,036 s-2 0.8
-0.5
0.6 -0.55
-1
]
0.4
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.2
0
-0.2
-0.6
-0.65
-0.4 -0.7 -0.6
-0.8
23
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
-0.75
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 22, Příklad 2.10 Dodatek k zadání podle skript: Kromě úhlu φ1 a úhlové rychlosti ω1 určete i úhlové zrychlení α1 poklopu v čase T a nakreslete grafy úhlu pootočení a úhlové rychlosti poklopu v závislosti na čase v intervalu < 0; T > s. Výsledky: φ1 = 0,99 rad , ω1 = 0,27 s-1 , α1 = 0,059 s-2
1
0.28
0.9
0.275
0.8
0.27
-1
]
0.7
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.6
0.5
0.4
0.265
0.26
0.255
0.25
0.3 0.245 0.2
0.24
0.1
0
24
0.235 0
1
2 cas [s]
3
4
0
1
2 cas [s]
3
4
Str. 23, Příklad 2.11 Dodatek k zadání podle skript: Nakreslete graf závislosti celkového zrychlení koncového bodu ramene mostu v závislosti na čase během celého pohybu. Výsledky: k = 0,0029 s-2 , ωII = 0,0320 s-1
0.16
0.14
-2
zrychleni [ms ]
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04 0
25
10
20
30 cas [s]
40
50
60
Str. 24, Příklad 2.14 Dodatek k zadání podle skript: Vyčíslete uhlové zrychlení ramene v prvním úseku, uhlovou rychlost ramene ve druhém úseku a uhlové zrychlení ramene ve třetím úseku. Výsledky: α1 = 49,28 s-2 , ω2 = 2,46 s-1 , α2 = 24,640 s-2
2.5
50
1 40 2 30
-1
-2
]
]
0.8
20
0.4
uhlove zrychleni [s
uhlova rychlost [s
uhel [rad]
1.5 0.6
1
10
0
-10 0.5
0.2
-20
0
26
0
0.1
0.2 0.3 cas [s]
0.4
0.5
0
0
0.1
0.2 0.3 cas [s]
0.4
0.5
-30
0
0.1
0.2 0.3 cas [s]
0.4
0.5
Str. 27, Příklad 2.18 Dodatek k zadání podle skript: V počáteční poloze (v čase t0 = 0 s) byl bod L v nejnižší poloze. Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě L0. Pro zadané hodnoty r = 450 mm , e = 400 mm a c = 30 ms-1 vyčíslete souřadnice, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol v čase t1 = 0,6 s a nakreslete graf závislosti složek rychlosti bodu L na čase během jednoho otočení kola o 360 stupňů. Výsledky: xL = 17,7 m , yL= 0,67 m , vL = 51,8 ms-1, aL = 1778 ms-2 , ω = 66,7 s-1 60 v v 50
Lx Ly
40
rychlosti [ms
-1
]
30
20
10
0
-10
-20
-30
27
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05 cas [s]
0.06
0.07
0.08
0.09
0.1
Str. 35, Příklad 3.10 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru trojúhelníku se z nakreslené počáteční polohy, ve které měl počáteční rychlost vA0 , pohybuje po vodorovné přímce s konstantním zpomalením aA. Bod B je přitom veden po kružnici. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vypočtěte pohyb bodu C a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty vA0 = 0,5 ms-1, aA = 0,2 ms-2, počáteční vzdálenost d bodů A a S: d = 1550 mm, AB m = 1150 mm,
BC k = 500 mm, AC l = 1500 mm a r = 450 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu C a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 0,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1 . Výsledky: xA = 1,29 m , yA = 0,00 m , φ = 0,35 rad , xC = 0,072 m , yC = 0,88 m , ω = 0,15 s-1
0.4
1.1
1
0.35
0.8
-1
]
0.9
uhel fi [rad]
uhlova rychlost omega [s
0.3
0.25
0.7
0.6
0.5
0.4
0.2
0.3
0.2
0
28
0.1
0.2
0.3 cas [s]
0.4
0.5
0.1
0.6
0
0.1
0.2
0.3 cas [s]
0.4
0.5
0.6
Str. 35, Příklad 3.11 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tyče AB se z počáteční polohy A0 pohybuje konstantní rychlostí vA . Bod B se smýká po nakloněné rovině. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D, který leží na tyči ve vzdálenosti h od bodu A a úhlovou rychlost tyče. Vypočtěte polohu tyče, polohu bodu D a úhlovou rychlost tyče v čase t1 a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1. Dáno: AB l = 1700 mm, AD h = 1400 mm, d = 900 mm, = 40o , vA = 2,6 ms-1 , t1 = 0,5 s. Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 1,30 m , φ = -0,49 rad , xD = 1,24 m , yD = 0,65 m , ω = -3,11 s-1 0.4
-1.2
0.3
-1.4
-1.6
]
0.2 -1.8
-1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.1
0
-0.1
-0.2
-2
-2.2
-2.4
-2.6 -0.3
-2.8
-0.4
-0.5
-3
0
0.1
0.2
0.3 cas [s]
29
0.4
0.5
-3.2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
cas [s]
Str. 36, Příklad 3.13 Dodatek k zadání podle skript: Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte polohu tělesa a polohu bodu B v čase t1 = 1,5 s pohyb bodu B a úhlovou rychlost tělesa a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1 . Výsledky: AC min = 0,23 m , tvp = 1,33 s , xA = 0,21 m , yA= -0,34 m , φ = 1,16 rad , xB = 0,70 m , yB = 0,76 m , ω = 1,53 s-1
2
1.5 1.1
]
1
-1
1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.5
0.9
0.8
0
-0.5
-1
0.7 -1.5
0.6 0
0.5
1
-2
1.5
0
0.5
1
cas [s]
30
1.5
cas [s]
Str. 36, Příklad 3.14 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Zalomená tyč s koncovými body A a M se pohybuje z nakreslené počáteční polohy tak, že její bod A je veden s konstantním zpomalením aA po svislé přímce. Počáteční rychlost bodu A je vA0 . Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost tyče. Vypočtěte polohu tyče, polohu bodu M a úhlovou rychlost tyče v čase t1 a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1 . Dáno: r = 450 mm, b = 1400 mm, m = 1850 mm, p = 150 mm, vA0 = 0,55 ms-1, aA = - 0,3 ms-2, t1 = 1,1 s. Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 0,18 m , φ = 0,31 rad , xM = 1,81 m , yM = 0,60 m , ω = 0,16 s-1 0.35
0.4
0.3 0.35
uhlova rychlost omega [s-1]
uhel fi [rad]
0.25
0.2
0.15
0.3
0.25
0.1 0.2 0.05
0 0
31
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
Str. 36, Příklad 3.15 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost kmenu. Pro zadané hodnoty vA = 2,0 ms-1, AB l = 5500 mm, h = 300 mm, r = 600 mm a b = 150 mm vyčíslete polohu kmenu, polohu bodu B a úhlovou rychlost kmenu v čase t1 = 0,55 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti kmenu na čase od 0 do t2 = 2,0 s. Výsledky: xA = 1,25 m , yA= 0,90 m , φ = 0,22 rad , xB = -4,11 m , yB = -0,32 m , ω = -0,31 s-1
0.7
0
-0.2 0.6 -0.4
-0.6
uhlova rychlost omega [s
-1
]
0.5
uhel fi [rad]
0.4
0.3
-0.8
-1
-1.2
-1.4
0.2
-1.6 0.1 -1.8
0
32
0
0.5
1 cas [s]
1.5
-2
2
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
Str. 37, Příklad 3.16 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty v0 = 0,15 ms-1, a = 0,25 ms-2, AB l = 850 mm, AC d = 600 mm, CD h = 200 mm a A0O b = 800 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu D a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 1,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,41 m , yA= 0,00 m , φ = 1,09 rad , xD = 0,51 m , yD = 0,62 m , ω = 0,63 s-1 1.1
0.64
1 0.62
-1
]
0.9
0.6
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.8
0.7
0.6
0.58
0.56
0.5
0.54 0.4
0
33
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
0.52
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
Str. 37, Příklad 3.17 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Uvažujte s = s0+s0*sin( t+0). Pro zadané hodnoty b = 500 mm, d = 140 mm, = /6 rad, KL l = 1400 mm, s0 = 280 mm, = 4 s-1 a 0 = -/2 rad vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L, složky rychlosti bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,1 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1 . Výsledky: xK = -0,44 m , yK= 0,25 m , φ = 0,26 rad , xL = 0,91 m , yL = -0,11 m , vLx = 1,03 ms-1, vLy = -0,15 ms-1, ω = -0,28 s-1
0.35
0.5
0.4 0.3
-1
]
0.3
0.2
uhel fi [rad]
uhlova rychlost omega [s
0.25
0.2
0.1
0
-0.1 0.15 -0.2
0.1
34
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
-0.3
1.4
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
Str. 37, Příklad 3.18 Dodatek k zadání podle skript: Sestavte rovnice pohybu tyče a vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty r = 400 mm, b = 1400 mm, MN l = 1800 mm a c = 0,28 ms-1 vyčíslete polohu tyče, polohu bodu N, složky rychlosti bodu N a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1. Výsledky: xM = 0,00 m , yM= 0,45 m , φ = -0,034 rad , xN = 1,80 m , yN = 0,39 m , vNx = -0,012 ms-1, vNy = -0,076 ms-1, ω = -0,20 s-1 0.3
-0.196
-0.197 0.25
-0.198
uhlova rychlost omega [s
-1
]
0.2
uhel fi [rad]
0.15
0.1
-0.199
-0.2
-0.201
-0.202
0.05 -0.203 0 -0.204
-0.05
35
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
-0.205
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
Str. 37, Příklad 3.19 Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost válce. Pro zadané hodnoty r = 250 mm, b = 1200 mm a c = 0,51 ms-1 vyčíslete polohu válce a velikost jeho úhlové rychlosti v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti válce na čase od 0 do t1. Výsledky: xS = 0,94 m , yS= 0,00 m , φ = 3,77 rad , ω = 2,84 s-1
4
2.9
2.8
3.5
2.7
-1
]
3
2.6
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
2.5
2
1.5
2.5
2.4
2.3
1 2.2
0.5
0
36
2.1
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
2
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
Str. 38, Příklad 3.21 Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty aA = 0,2 ms-2, d = 1200 mm, r = 400 mm, AB l = 850 mm a BC h = 300 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu T a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 2,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,53 m , yA= 0,00 m , φ = 0,48 rad , xT = 0,84 m , yT = 0,33 m , ω = -0,15 s-1 0.2
0.45
0.15
0.4
0.1
uhlova rychlost omega [s
-1
]
0.5
uhel fi [rad]
0.35
0.3
0
0.25
-0.05
0.2
-0.1
0
0.5
1
1.5 cas [s]
37
0.05
2
2.5
-0.15
0
0.5
1
1.5
2
2.5
cas [s]
Str. 38, Příklad 3.23 Dodatek k zadání podle skript: Vyřešte úhlovou rychlost půlválce. Pro zadané hodnoty aA = 0,2 ms-2, r = 600 mm a m = 250 mm, vyčíslete polohu půlválce, polohu bodu M a úhlovou rychlost půlválce v čase t1 = 2,1 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti půlválce na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 0,16 m , φ = 0,83 rad , xM = 0,58 m , yM = 0,78 m , ω = 1,03 s-1
0.9
1
0.8
0.7
]
0.8 -1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.6
0.5
0.4
0.3
0.6
0.4
0.2 0.2 0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
0
2.5
0
0.5
cas [s]
38
1
1.5
2
2.5
cas [s]
Str. 38, Příklad 3.25 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa tvořeného dvěma úsečkami se pohybuje v drážce b harmonickým pohybem s = s0+s0*sin( t+0). Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu L a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty d = 300 mm, s0 = 200 mm, = 3 s-1, 0 = -/2 rad,
AJ m = 150 mm a JL n = 100 mm vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,2 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 0,38 m , φ = 0,90 rad , xL = 0,015 m , yL = 0,56 m , ω = -0,34 s-1 1.6
0.9
1.4
0.8
1.2
0.7
1
-1
]
1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.6
0.5
0.4
0.6
0.4
0.3
0.2
0.2
0
0.1
-0.2
0
39
0.8
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
-0.4
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
Str. 12, Příklad 1.18 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje z počáteční klidové polohy A0 po přímce p s konstantním zrychlením aA. Ve stejném okamžiku jako bod A vyrazí z bodu B0 po přímé dráze bod B rovnoměrně zrychleným pohybem. Pod jakým úhlem se musí pohybovat, aby se s bodem A setkal? Vyjádřete závislost vB = vB(sB), nakreslete její graf a vypočtěte z ní rychlost bodu B v místě, kde urazil vzdálenost sB = 33 m. Dáno: h = 45 m, vA0 = 0 ms-1, aA = 2,8 ms-2 , vB0 = 0 ms-1, a = 3,3 ms-2 . Výsledky: φ = 58,0 stupňů , vB 2asB , vB33 = 14,8 ms-1
25
-1
]
20
rychlost v
B
[ms
15
10
5
0
40
0
10
20
30
40 draha s
B
50 [m]
60
70
80
90
Str. 12, Příklad 1.19 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Po kružnicích o poloměrech r1 a r2 se pohybují body A a B z výchozích poloh A0 a B0 . Bod A se pohybuje rovnoměrně (vA = const.), bod B má počáteční rychlost vB0 a pohybuje se s konstantním tečným zrychlením aBt . Jak veliké musí být zrychlení aBt , aby se oba body setkaly v místě C, při druhém průchodu bodu A tímto místem. Vypočítejte také čas ts, za který se oba body setkají a výsledná zrychlení obou bodů v okamžiku setkání. Výsledky vyčíslete pro hodnoty r1 = 0,95 m , r2 = 1,3 m , vA = 0,7 ms-1 a vB0 = 0,1 ms-1 a nakreslete grafy drah sA a sB v závislosti na čase. Výsledky: aBt = 0,053 ms-2 , T = 10,7 s , aA = 0,52 ms-2 , aB = 0,35 ms-2 8 s s
A B
7
6
draha [m]
5
4
3
2
1
0
41
0
2
4
6 cas [s]
8
10
12
Str. 12, Příklad 1.20 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje z klidové polohy A0 po přímce p rovnoměrně zrychleným pohybem. Ve stejném okamžiku se začne z polohy B0 pohybovat bod B po kružnici k. V počáteční poloze má bod B rychlost vB0 a pohybuje se s konstantním tečným zrychlením aBt . Jaké musí být hodnoty vB0 a aBt , mají-li se body A a B postupně setkat v průsečících H a K? Výsledky vyčíslete pro hodnoty r = 1,0 m , l = 1,3 m , vA0 = 0 ms-1 a aA = 0,25 ms-2 a nakreslete grafy drah sA a sB v závislosti na čase. Výsledky: vB0 = -0,24 ms-1 , aBt = 0,45 ms-2
5 s s
A B
4
draha [m]
3
2
1
0
-1
42
0
1
2
3 cas [s]
4
5
6
Str. 13, Příklad 1.22 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Z počáteční klidové polohy nakreslené v obrázku se válec odvaluje rovnoměrně zrychleným pohybem vlevo. V bodě A je k němu kloubem připojena tyč AD . Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tyče. Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy obou bodů vyčíslete v čase t1 pro hodnoty vS0 = 0 ms-1, a = 0,4 ms-2, r = 200 mm, e = 140 mm, AD l = 800 mm a nakreslete grafy dráhy obou bodů v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: t1 = 2,51 s , sS = 1,26 m , sD = 1,26 m 1.4 s s
1.2
D S
draha [m]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
43
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 13, Příklad 1.23 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Struna připojená k tělísku T je provlečena úzkou štěrbinou a druhým koncem připevněna na obvodu válce o poloměr r. Válec se z počáteční klidové polohy nakreslené v obrázku odvaluje rovnoměrně zrychleným pohybem vpravo. Sestavte rovnice pohybu válce. Vyřešte pohyb tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce. Dále vypočtěte dráhu středu S válce a čas t1, za který se válec otočí o úhel 2 rad. Dráhy bodu S a tělíska T a úhlovou rychlost a úhlové zrychlení válce vyčíslete v čase t1 pro hodnoty l = 0,8 m , r = 0,2 m , vS0 = 0 ms-1 a a = 0,4 ms-2 a nakreslete grafy dráhy bodu a tělíska v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: t1 = 2,51 s , sS = 1,26 m , sT = 2,45 m , ωv = 5,01 s-1 , αv = 2,00 s-2
2.5 s s
T S
2
draha [m]
1.5
1
0.5
0
44
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 14, Příklad 1.27 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa se pohybuje harmonickým pohybem s = s0+s0*sin( t+0) po přímce x. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tělesa. Rovnice pohybu tělesa, souřadnice xD a yD bodu D a úhlovou rychlost tělesa vyčíslete pro hodnoty
AB l = 1500 mm, AC d = 950 mm, CD h = 350 mm, = /3 rad, s0 = 580 mm, = 2,5 s-1, 0 = -/2 rad v čase t1 = 2,1 s a nakreslete grafy souřadnic xD a yD v závislosti na čase od 0 do t1 . Výsledky: xA = 0,28 m , yA = 0,00 m , φ = 0,88 rad , yD = 0,96 m , ω = 0,73 s-1
xD = -0,050 m ,
1.2 x y
D D
1
souradnice [m]
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
cas [s]
45
Str. 15, Příklad 1.30 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Po přímce p v rovině yz se z počáteční klidové polohy Z0 pohybuje konstantním zrychlením a bodový světelný zdroj. Vyjádřete, jak se pohybuje stín, který vrhá bod A na rovinu xy. Souřadnice stínu xS a yS vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty h = 600 mm, = 20o, a = 0,6 ms-2, xA = 400 mm, yA = 250 mm, zA = 150 mm v čase t1 = 1,8 s a nakreslete grafy souřadnic stínu v závislosti na čase od 0 do t1. Výsledky: xS = 0,48 m , yS = 0,12 m
0.6 x y
0.55
S S
0.5
0.45
souradnice [m]
0.4
0.35
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
cas [s]
46
Str. 15, Příklad 1.31 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Úsečka DE je vedena koncovými body po přímkách d a e. Pohyb začíná v klidové poloze nakreslené na obrázku. Bod D se pohybuje rovnoměrně zrychleným pohybem se zrychlením a. Vyjádřete, jak se pohybuje bod L a vypočtěte jeho polohu v čase t1 . Souřadnice xL , yL a zL bodu L vypočtěte v zadaném nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému, vyčíslete je pro hodnoty OD0 h = 600 mm, OE0 p = 800 mm, OF q = 1600 mm, EL l = 600 mm, vD0 = 0 ms-1 a a = 0,6 ms-2 v čase t1 = 1,8 s a nakreslete grafy souřadnic bodu L v závislosti na čase od 0 do času, ve kterém bude bod E totožný s bodem F.
Výsledky: xL = 0,75 m , yL = 0,36 m , zL = 0,23 m 2.5 x y z
L L L
2
souradnice [m]
1.5
1
0.5
0
47
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 24, Příklad 2.14 Ze skript použijte pouze obrázek 2.14a !!! Rameno délky OL R = 1,4 m se má co nejrychleji otočit o úhel φc = 40 stupňů z jedné klidové polohy do druhé klidové polohy. Rameno se rozbíhá konstantním úhlovým zrychlením α1 = 13 s-2 a zastavuje se konstantním úhlovým zpožděním α2 = -19 s-2. Bod L se může pohybovat maximální rychlostí vmax = 5 ms-1. Vypočtěte dobu tc pohybu ramene a maximální rychlost vLmax bodu L. Dále odvoďte závislost rychlosti bodu L na proběhnuté dráze a nakreslete její graf.
Výsledky: tc = 0,43 s , vLmax = 4,60 ms-1 , 1. úsek vL 21RsL
, 2. úsek
vL 2 2 R( sL s1 max ) v 2L max , kde s 1max je dráha bodu L v prvním úseku 5
4.5
4
-1
]
3.5
rychlost bodu L [ms
3
2.5
2
1.5
1
0.5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5 draha bodu L [m]
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Str. 27, Příklad 2.18 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Lokomotiva zvyšuje svojí rychlost konstantním zrychlením a z počáteční rychlosti v0. Její kola se odvalují po kolejnicích. V počáteční poloze (v čase t0 = 0 s) byl bod L v nejnižší poloze. Sestavte rovnice pohybu lokomotivní spojnice s. Vyřešte pohyb, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol. Řešení proveďte v nepohyblivém pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě L0. Pro zadané hodnoty r = 450 mm , e = 400 mm , v0 = 10 ms-1 a a = 4 ms-2 vyčíslete souřadnice, rychlost a zrychlení bodu L a úhlovou rychlost kol v čase t1 = 3,2 s a nakreslete graf závislosti složek rychlosti bodu L na čase během jednoho otočení kola o 360 stupňů. Výsledky: xL = 52,6 m , yL= 0,77 m , vL = 42,3 ms-1, aL = 1025 ms-2 , ω = 50,7 s-1 20 v v
Lx Ly
15
-1
]
10
rychlosti [ms
48
0
5
0
-5
-10
0
0.05
0.1
0.15 cas [s]
0.2
0.25
0.3
49
Str. 35, Příklad 3.10 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru trojúhelníku se z nakreslené počáteční polohy pohybuje konstantní rychlostí vA po vodorovné přímce směrem k bodu S. Bod B je přitom veden po kružnici. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vypočtěte pohyb bodu C a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty vA = 0,8 ms-1, počáteční vzdálenost d bodů A a S: d = 1550 mm,
AB m = 1150 mm, BC k = 500 mm, AC l = 1500 mm a r = 450 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu C a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 0,3 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1 . Výsledky: xA = 1,31 m , yA = 0,00 m , φ = 0,34 rad , xC = 0,087 m , yC = 0,87 m , ω = 0,36 s-1 1.3 0.34 1.2 0.32 1.1
1
-1
]
0.3
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.28
0.26
0.24
0.22
0.9
0.8
0.7
0.6 0.2 0.5 0.18 0.4 0.16 0
50
0.05
0.1
0.15 cas [s]
0.2
0.25
0.3
0
0.05
0.1
0.15 cas [s]
0.2
0.25
0.3
Str. 35, Příklad 3.11 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tyče AB se z počáteční polohy A0 , ve které měl počáteční rychlost vA0 , pohybuje konstantním zrychlením aA . Bod B se smýká po nakloněné rovině. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu D, který leží na tyči ve vzdálenosti h od bodu A a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty: AB l = 1700 mm, AD h = 1400 mm, d = 900 mm, = 40o , vA0 = 0,3 ms-1 a aA = 0,35 ms-2 vyčíslete polohu tyče, polohu bodu D a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 2,0 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 1,30 m , φ = -0,49 rad , xD = 1,24 m , yD = 0,65 m , ω = -1,19 s-1
0.4
0
0.3 -0.2
0.2
]
-0.4 -1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.6
-0.8
-1 -0.3 -1.2 -0.4
-0.5
51
0
0.5
1 cas [s]
1.5
-1.4
2
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
Str. 36, Příklad 3.13 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Těleso AB se pohybuje z nakreslené počáteční polohy tak, že jeho bod A je veden konstantní rychlostí vA po kružnici směrem k bodu C. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu B a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadanou rychlost vA = 1,2 ms-1 vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu B a úhlovou rychlost tělesa v čase, kdy bod A urazí polovinu své dráhy směrem k bodu C a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do času, kdy bod A bude totožný s bodem C. Výsledky: xA = -0,28 m , yA= -0,28 m , φ = 0,62 rad , xB = 0,69 m , yB = 0,42 m , ω = -1,13 s-1 -0.95
1
0.9 -1
uhel fi [rad]
-1
uhlova rychlost omega [s ]
0.8
0.7
0.6
-1.05
-1.1
-1.15
0.5
-1.2 0.4
0
52
0.1
0.2
0.3 0.4 cas [s]
0.5
0.6
0.7
-1.25 0
0.1
0.2
0.3 0.4 cas [s]
0.5
0.6
0.7
Str. 36, Příklad 3.14 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje harmonickým pohybem se středem v nakreslené počáteční poloze. V pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě B je jeho souřadnice yA popsána vztahem yA = r + p + s0*sin( t+0). Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty: r = 450 mm, b = 1400 mm, m = 1850 mm, p = 150 mm, = 2,5 s-1 a 0 = 0 rad vyčíslete polohu tyče, polohu bodu M a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 3,2 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1.
Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 1,19 m , φ = -0,37 rad , xM = 1,67 m , yM = 0,38 m , ω = 0,12 s-1 0.5
1
0.4
0.8
0.6
]
0.3 0.4
-1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.2
0.1
0
-0.1
0.2
0
-0.2
-0.4 -0.2
-0.6
-0.3
-0.4
0
0.5
1
1.5 2 cas [s]
2.5
3
-1
3.5
0
0.5
1
1.5 2 cas [s]
2.5
3
3.5
Str. 36, Příklad 3.15 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Traktor pohybující se rovnoměrně zrychleným pohybem s počáteční rychlostí vA0 a konstantním zrychlením aA vytahuje kmen AB z polohy A0 B0 na vodorovnou plošinu. Sestavte rovnice pohybu kmenu, vypočtěte trajektorii koncového bodu B a úhlovou rychlost kmenu. Pro zadané hodnoty vA0 = 0,3 ms-1, aA = 0,5 ms-2 , AB l = 5500 mm, h = 300 mm, r = 600 mm a b = 150 mm vyčíslete polohu kmenu, polohu bodu B a úhlovou rychlost kmenu v čase t1 = 1,65 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti kmenu na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 1,33 m , yA= 0,90 m , φ = 0,21 rad , xB = -4,05 m , yB = -0,26 m , ω = -0,16 s-1 0.7
-0.15
0.65
0.6
-0.2
-1
]
0.55
uhlova rychlost omega [s
0.5
uhel fi [rad]
53
-0.8
0.45
0.4
-0.25
-0.3
0.35
0.3
-0.35
0.25
0.2
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
-0.4
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
54
Str. 37, Příklad 3.16 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A se pohybuje harmonickým pohybem se středem v bodě A0. V pravoúhlém souřadnicovém systému s počátkem v bodě A0 je jeho souřadnice xA popsána vztahem xA = s0*sin( t+0). Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu D a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty AB l = 850 mm, AC d = 600 mm, CD h = 200 mm, A0O b = 700 mm, s0 = 100 mm, = 3 s-1 a 0 = 0 rad vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu D a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 2,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,097 m , yA= 0,00 m , φ = 0,78 rad , xD = 0,38 m , yD = 0,56 m , ω = -0,12 s-1 0.8
0.8
0.75 0.6 0.7 0.4
-1
]
0.65
0.2
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.6
0.55
0.5
0
-0.2
0.45 -0.4 0.4 -0.6 0.35
0
1
1.5 cas [s]
2
2.5
-0.8
3
0
0.5
1
1.5 cas [s]
2
2.5
3
Str. 37, Příklad 3.17 Dodatek k zadání podle skript: Vypočtěte úhlovou rychlost tyče. Uvažujte s = v0t+½at2. Pro zadané hodnoty b = 500 mm, d = 140 mm, = /6 rad, KL l = 1400 mm, v0 = 0,3 ms-1 a a = 0,5 ms-2 vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L, složky rychlosti bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,1 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1 . Výsledky: xK = -0,67 m , yK= 0,39 m , φ = 0,32 rad , xL = 0,66 m , yL = -0,053 m, vLx = -0,80 ms-1, vLy = 0,24 ms-1, ω = 0,14 s-1 0.35
0.23
0.22
0.3
-1
]
0.21
uhlova rychlost omega [s
0.25
uhel fi [rad]
55
0.5
0.2
0.2
0.19
0.18
0.17
0.16 0.15
0.15
0.1
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
56
Str. 37, Příklad 3.18 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Tyč MN se smýká po kružnici k a její bod M se z počáteční klidové polohy pohybuje konstantním zrychlením a po přímce p. Sestavte rovnice pohybu tyče. Vyřešte pohyb bodu N a úhlovou rychlost tyče. Pro zadané hodnoty r = 400 mm, b = 1400 mm, MN l = 1800 mm a a = 0,35 ms-2 vyčíslete polohu tyče, polohu bodu N, složky rychlosti bodu N a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 1,6 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1. Výsledky: xM = 0,00 m , yM= 0,45 m , φ = -0,034 rad , xN = 1,80 m , yN = 0,39 m , vNx = -0,024 ms-1, vNy = -0,15 ms-1, ω = -0,40 s-1 0.3
0
-0.05
0.25
-0.1
-1
]
0.2
uhlova rychlost omega [s
-0.15
uhel fi [rad]
0.15
0.1
-0.2
-0.25
0.05 -0.3
0
-0.05
57
-0.35
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
-0.4
0
0.5
1 cas [s]
1.5
2
Str. 37, Příklad 3.19 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Z počáteční klidové polohy podle obrázku se pohybuje závaží Z konstantním zrychlením a dolů a lano uvádí do valivého pohybu válec. Sestavte rovnice pohybu válce a vyřešte jeho úhlovou rychlost. Pro zadané hodnoty r = 250 mm, b = 1200 mm a a = 0,6 ms-2 vyčíslete polohu válce a velikost jeho úhlové rychlosti v čase t1 = 1,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti válce na čase od 0 do t1. Výsledky: xS = 0,94 m , yS= 0,00 m , φ = 3,77 rad , ω = 5,69 s-1
4
6
3.5 5 3
-1
uhlova rychlost omega [s ]
4
uhel fi [rad]
2.5
2
1.5
3
2
1 1 0.5
0 0
0.5
1
1.5
0 0
2
0.5
58
1
1.5
2
cas [s]
cas [s]
Str. 38, Příklad 3.21 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa ve tvaru obdélníku se z počáteční polohy A0 , ve které měl počáteční rychlost vA0 orientovanou směrem doprava, pohybuje po přímce p s konstantním zrychlením aA. Bod B je přitom veden po kružnici k. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb střediska obdélníku T a úhlovou rychlost tělesa.
Pro zadané hodnoty vA0 = 0,15 ms-1, aA = 0,2 ms-2, d = 1200 mm, r = 400 mm, AB l = 850 mm a BC h = 300 mm vyčíslete polohu tělesa, polohu bodu T a úhlovou rychlost tělesa v čase t1 = 0,9 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tělesa na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,22 m , yA= 0,00 m , φ = 0,42 rad , xT = 0,54 m , yT = 0,31 m , ω = 0,20 s-1 0.3
0.5
0.29 0.45 0.28
0.27
uhlova rychlost omega [s
-1
]
0.4
uhel fi [rad]
0.35
0.3
0.26
0.25
0.24
0.23
0.25
0.22 0.2 0.21
0.2 0
0.2
0.4
0.6 cas [s]
59
0.8
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
cas [s]
Str. 38, Příklad 3.23 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Společný kloub A půlválce a tyče se pohybuje z počáteční polohy A0 , ve které měl počáteční rychlost vA0 orientovanou směrem dolů, s konstantním zrychlením aA. Sestavte rovnice pohybu půlválce. Vyřešte pohyb bodu M a úhlovou rychlost půlválce. Pro zadané hodnoty vA0 = 0,3 ms-1, aA = 0,2 ms-2, r = 600 mm a m = 250 mm, vyčíslete polohu půlválce, polohu bodu M a úhlovou rychlost půlválce v čase t1 = 1,1 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti půlválce na čase od 0 do t1.
Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 0,15 m , φ = 0,85 rad , xM = 0,56 m , yM = 0,79 m , ω = 1,31 s-1 1.4
0.8
1.3
0.7
1.2
]
0.9
-1
uhlova rychlost omega [s
uhel fi [rad]
0.6
0.5
0.4
0.3
1
0.9
0.8
0.2
0.7
0.1
0.6
0
0
0.2
0.4
0.6 cas [s]
0.8
1
1.2
0.5
1.4
0
0.2
0.4
0.6 0.8 cas [s]
1
1.2
1.4
Str. 38, Příklad 3.25 Ze skript použijte pouze obrázek!!! Bod A tělesa tvořeného dvěma úsečkami se pohybuje v drážce b rovnoměrně zrychleným pohybem vzhůru. Počáteční poloha spojnice bodů A a J byla vodorovná, počáteční rychlost bodu A byla vA0 a jeho konstantním zrychlení je aA. Sestavte rovnice pohybu tělesa. Vyřešte pohyb bodu L a úhlovou rychlost tělesa. Pro zadané hodnoty vA0 = 1,5 ms-1 , aA = 0,4 ms-2, d = 400 mm, AJ m = 250 mm a JL n = 150 mm vyčíslete polohu tyče, polohu bodu L a úhlovou rychlost tyče v čase t1 = 0,7 s a nakreslete grafy závislosti úhlu natočení a úhlové rychlosti tyče na čase od 0 do t1. Výsledky: xA = 0,00 m , yA= 1,15 m , φ = 1,24 rad , xL = -0,059 m , yL = 1,43 m , ω = 0,48 s-1 1.4
4
3.5
1.2
3
-1
]
1
uhlova rychlost omega [s
2.5 0.8
uhel fi [rad]
60
1.1
0.6
2
1.5
0.4 1
0.2
0
0.5
0
0.1
0.2
0.3 0.4 cas [s]
0.5
0.6
0.7
0
0
0.1
0.2
0.3 0.4 cas [s]
0.5
0.6
0.7
