Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Elipsa 2 rovnice elipsy
SOŠ InterDact Most, Mgr.Petra Mikolášková
1
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Název školy
SOŠ InterDACT s.r.o. Most
Autor
Mgr. Petra Mikolášková
Název šablony
III/2_Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Číslo projektu
VY_32_INOVACE_07
Předmět
Přírodní vědy matematika
Tematický celek
Rovnice elipsy 2
Téma
popis vlastností elipsy
Druh učebního materiálu
Výklad formou prezentace, součástí jsou praktické příklady
Metodický pokyn
seznámení s konstrukcí elipsy
2
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
opakování:
3
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Popis a vlastnosti elipsy > Elipsa má dvě ohniska, označme je E a F. > Elipsa obsahuje dva hlavní vrcholy, A a B a dva vedlejší vrcholy, C a D. > Střed elipsy, na obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohnisky. > Přímka, která prochází hlavními vrcholy (a také ohnisky), se nazývá hlavní osaelipsy, přímka která prochází vedlejšími vrcholy se nazývá vedlejší osa elipsy. > Úsečka, která spojuje libovolný hlavní bod a střed elipsy, se nazývá hlavní poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky AS a BS. > Úsečka, která spojuje libovolný vedlejší bod a střed elipsy, se nazývá vedlejší poloosa. Na obrázku se jedná o úsečky CS a DS. > Konstanta K, která je rovna součtu délek spojnic bodu elipsy s ohnisky, je rovna délce úsečky AB. To je hezky vidět, pokud chceme vypočítat součet pro bod B. Pro bod platí, že součet má tvar: |FB|+|EB|. Úsečka EB nám pokryje téměř celou úsečku AB a zbylá část, úsečka AE je stejně dlouhá jako úsečka FB. Proto|FB|+|EB| = |AB|.
4
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Elipsa je kuželosečka. Základní vlastností elipsy je, že každý bod elipsy má od daných dvou bodů v rovině stejný součet vzdáleností. Těmto bodům se říká ohniska.
5
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Excentricita Další důležitou konstantou v elipse je excentricita, značíme e, neboli výstřednost. Excentricita je rovna vzdálenosti ohnisek od středu elipsy, tedy e = |ES| = |FS|. Jak můžeme excentricity vypočítat? Nejdříve zjistíme, čemu je rovna vzdálenost |ED| a|FD|.
6
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Excentricitu už pak můžeme vyjádřit pomocí Pythagorovy věty jako
e = √ a2b2 Čím je elipsa více podobná kružnici, tj. čím méně zploštělá je, tím menší má excentricitu.
7
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Rovnice elipsy Platí:
8
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Dále musí nějak vyjádřit délku úseček EX a FX. Začneme s úsečkou FX. Dokreslíme do obrázku další dvě úsečky tak, aby nám vznikl pravoúhlý trojúhelník .
9
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
10
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
11
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Konstrukce pomocí obdélníku
n dílků
12
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Napište rovnici elipsy, která má ohniska v bodech E[3; 0] a F[3; 0] a hlavní poloosu a = 5.
Nejprve musíme určit výstřednost elipsy. Ta je rovna
.
Musí platit, že a2=b2+e2, můžeme lehce určit velikost vedlejší poloosy b:
Rovnice má předpis
potom
13
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Napište rovnici elipsy s ohnisky v bodech 1; 0] a
F[1; 0], která prochází bodem
E[
.
Nejprve musíme opět určit výstřednost e. Tu vypočítáme jako
.
e = 1
b2=a2e2 = a2 1
Pro proměnnou a nám vyšly dvě hodnoty.
bod X: Dosadíme b
Nyní musíme určit, jaká je správná. To zjistíme, pokud dosadíme danou hodnotu do rovnice b2=a2e2. V druhém případě by hodnota b2 vyšla záporná a proto můžeme s jistotou říci, že délka hlavní poloosy je a2 = 9. Rovnice dané elipsy proto bude
14
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Jestliže střed elipsy neleží v počátku má souřadnice S [m, n], pak rovnice elipsy má tvar:
hlavní osa rovnoběžná s x hlavní osa rovnoběžná s y
Souřadnice ohnisek:
15
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Úpravou rovnic dostáváme:
Po přeznačení získáme obecnou rovnici elipsy ve tvaru:
16
Rovnice elipsy.notebook
May 31, 2013
Napište rovnici elipsy ve středovém tvaru a určete souřadnice hlavních a vedlejších vrcholů A,B,C,D a souřadnice ohnisek E, F, jeli dáno a) a = 5, b = 3, S [0,0] b) a = 9, b = 15, S [3, 1]
A [5, 0], B [ 5, 0], C [0, 3], D [0, 3], E [4, 0], F [4, 0], (a)
b)
,
17
