Exercises in English Maximum: 100 points. In case you attended the excursion (or its replacement) you get 10 bonus points extra.
1. Chapter 2 of Luenberger (1998) You can score 25 points. 1. (a) Explain the difference between effective interest rate and nominal interest rate. Hint: 1 + r ′ = (1 + r/m)m . (3 points) (b) Suppose the nominal annual interest rate is 20%, what is then the effective interest rate in case of quarterly compounding? (3 points) 2. Suppose you borrow e1000 for two years in such a way that you pay back all in a single final installment after two years. Calculate the final installment, if the debt is calculated using a monthly interest and the nominal annual interest rate is 8%? (5 points) 3. You would like to invest e1000 somewhere for two years. You are offered to deposit your money on a “super” saving account. Interest is there added yearly and if you keep there your money for two years you are offered (for the first year only!) a guaranteed nominal interest of 12% p.a. At the end of each year (after interest) you have to pay a bank commission of e70 as a fix charge for this “super” saving account. You are considering to put your e1000 on this saving account for two years. In a worst case the interest rate for the second your can be 0% p.a. Consider the worst case. (a) What is the cash flow stream on your “super” saving account?
(3 points)
(b) What is the Internal Rate of Return (IRR) of this “super” saving investment?
(5 points)
(c) What is the Net Present Value (NPV) of this investment?
(3 points)
(d) Is this “super” saving account profitable according to you? What if you could deposit more money? (3 points)
2. Chapter 3 of Luenberger (1998) You can score 25 points. For the purchase of a new home the Becks family needs to borrow on mortgage. After comparing different offers from mortgage brokers they decide for the following: A loan of amount $150, 000. The yearly interest is 10% compounded monthly. They will make equal monthly payments of such a magnitude as to repay the loan over 30 years. 1. Under the monthly payment program, what are the monthly payments? 1
(5 points)
2. (Biweekly mortgage) The broker offers them to choose a biweekly mortgage program, i.e. that you pay biweekly instead of monthly. Specifically, if the monthly payments are x it is suggested that one instead pays x2 every two weeks (for a total of 26 payments per year). When will the mortgage be completely repaid using this program? (5 points) Consider a 10% bond with 10 years to maturity, a yield-to-maturity of 9% and a face value of 1000. Assume one coupon payment per year. 3. What is the price of this bond?
(4 points)
4. Consider two 10-year bonds: • One is the same bond as in the previous exercise. • The other has a 7% coupon selling for 932.9. Find the price of a 10-year zero coupon bond. 5. Explain the concept of the Price-Yield curve.
(6 points) (5 points)
3. Chapter 6 of Luenberger (1998) You can score 25 points. Assume that a mean variance investor can invest in three assets, two risky stocks and one risk free asset. The mean return of the first stock equals 0.08, and the mean return on the second stock equals 0.05. The return on asset three, the risk free asset, is 0.03. The variance of the first stock is 0.04, the variance of the second stock is 0.01, and their covariance equals 0.005. 1. Formulate the mean variance optimization problem.
(5 points)
2. Let wrmv denote the two dimensional column vector consisting of the optimal solution of the risky assets of the mean variance portfolio optimization. If the investor’s risk aversion parameter is given by γ, we have wrmv =
1 −1 Σ (rr − rf ιr ) , γ r
with rf the return on the risk free asset, ιr = (1, 1)′ , rr the two dimensional vector with the mean returns of the two risky assets, and Σr their covariance matrix. Calculate the mean variance optimal portfolio of the investor under consideration (as a function of γ). (7 point)
2
3. For the mean variance optimization problem with short selling allowed and with a risk free asset as one of the investment opportunities, we have the so-called “one fund result.” Suppose the investor’s risk aversion parameter satisfies γ = 1. How much will the investor invest in this single fund? Motivate your answer! (6 point) 4. Suppose we do not know the value of the investor’s risk aversion parameter γ. However, we do know that the investor’s optimal solution means going short in the risk free asset. What can you say about the investor’s risk aversion parameter γ? (7 point)
4. Chapter 7 of Luenberger (1998) You can score 25 points. 1. In the Capital Asset Pricing Model (CAPM) both the Capital Market Line and the Security Market Line play a fundamental role. What do we mean by these “lines”? (6 points) 2. Let rit denote the return on asset i in time period t, let rM t denote the return on the market portfolio in time period t, and let rf denote the return on the risk free asset. Consider the linear regression rit − rf = αi + βi (rM t − rf ) + ǫit , with E (ǫit ) = E (ǫit (rM t − rf )) = 0. The CAPM predicts r i − rf = βi (rM − rf ), where r i denotes the mean return of asset i. What is the link with the parameter αi in the linear regression? How to test the CAPM? (6 points) 3. Suppose assets 1,2, and 3 have the same total risk (measured by the variance), but for asset 1 we have β1 = 0.65, for asset 2 we have β2 = 1.3, and for asset 3 we have β3 = 0.95. What can you say about their systematic and idiosyncratic risks? (6 points) 4. The Sharpe ratio of asset i is defined as r i − rf , σi where ri denotes the mean return of asset i and σi its volatility. Use r i − rf = βi (r M − rf ) , with βi =
σiM , 2 σM
to show that in case of the CAPM the market portfolio has the largest possible Sharpe ratio. (7 points)
3
Opgaven in het Nederlands Maximum: 100 punten. In geval je de excursie hebt bijgewoond (of de vervangende opdracht hebt gemaakt) krijg je 10 bonuspunten extra.
1. Hoofdstuk 2 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 punten. 1. (a) Leg het verschil uit tussen de “effective interest rate” en de “nominal interest rate.” Hint: 1 + r ′ = (1 + r/m)m . (3 punten) (b) Stel de nominale jaarrente begraagt 20%, wat is dan de effectieve rentevoet in geval van “quarterly compounding”? (3 punten) 2. Stel je leent e1000 gedurende twee jaar zodanig dat je alles in ´e´en keer terugbetaalt aan het einde van het tweede jaar. Hoe groot is die terugbetaling dan als de schuld bepaald wordt door een maandelijkse rente en de nominale jaarrente bedraagt 8%? (5 punten) 3. Je wilt ergens e1000 investeren gedurende twee jaar. Je hebt een aanbod je geld te storten op een “super saving account.” Op die rekening wordt de rente jaarlijks bijgeschreven en als je je geld op de rekening laat staan gedurende twee jaar krijg je (alleen in het eerste jaar!) een gegarandeerde nominale rente van 12% per jaar. Aan het einde van van elk jaar (na de rente-uitkering) moet je de bank een commissie betalen van e70 als een vaste bijdrage aan deze “super saving account.” Je overweegt de e1000 gedurende twee jaar op deze spaarrekening te storten. In het slechtste geval is de rentevoet in het tweede jaar 0% per jaar. Ga uit van dit slechtste geval. (a) Wat is de kasstroom van je “super saving account”?
(3 punten)
(b) Wat is de Internal Rate of Return van deze “super saving” investering?
(5 punten)
(c) Wat is de Netto Contante Waarde van deze investering?
(3 punten)
(d) Is deze “super saving account” winstgevend? Wat is je antwoord als je meer geld kon storten op deze rekening? (3 punten)
2. Hoofdstuk 3 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 punten. Voor de aankoop van een nieuw huis moet het gezin Becks geld lenen voor een hypotheek. Na het vergelijken van een aantal offertes van hypotheekmakelaars besluiten ze een lening af te sluiten voor een bedrag van $150, 000 gedurende 30 jaar tegen een nominale rentevoet van 10%. Ze zullen de hypotheek afbetalen in gelijke maandelijkse bedragen. 4
1. Wat zijn de maandelijkse betalingen in geval van een maandelijks afbetalingsplan?
(5 punten)
2. (Tweewekelijkse hypotheek) De hypotheekmakelaar biedt het gezin Becks een afbetalingsprogramma aan met tweewekelijkse afbetaling, d.w.z. je betaalt tweewekelijks in plaats van maandelijks. Meer in het bijzonder, als de maandelijkse betaling x is, dan is het idee dat in plaats daarvan elke twee weken x2 wordt betaald (met een totaal van 26 betalingen per jaar). Wanneer zal de hypotheek geheel terugbetaald zijn als gebruik gemaakt wordt van dit betalingsprogramma? (5 punten) Bezie een 10% obligatie met looptijd van 10 jaar, een “yield-to-maturity” van 9% en een “face value” van 1000. Veronderstel dat de couponbetaling eenmaal per jaar plaatsvindt. 3. Wat is de prijs van deze obligatie?
(4 points)
4. Bekijk nu twee 10-jaar obligaties: • E´en is dezelfde als die in de vorgaande opgave. • De andere is een 7% coupon obligatie en kost 932.9. Wat is de prijs van een 10-jaar “zero coupon bond”? 5. Geef een uitleg van het concept van de “Price-Yield curve.”
(6 punten) (5 punten)
3. Hoofdstuk 6 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 punten. Stel dat een “mean variance” investeerder in drie activa kan investeren, twee risicovolle aandelen en een risicovrij activum. Het gemiddelde verwachte rendement van het eerste aandeel bedraagt 0.08 en het gemiddelde verwachte rendement van het tweede aandeel bedraagt 0.05. Het rendement op het risicovrije activum is 0.03. De variantie van het eerste aandeel is 0.04, de variantie van het tweede aandeel is 0.01, en hun covariantie bedraagt 0.005. 1. Formuleer het “mean variance optimization problem.”
(5 punten)
2. wrmv is de tweedimensionale kolomvector met de optimale oplossing voor de twee risicovolle aandelen van het “mean variance” portfefeuille optimalisatieprobleem. Als de risico-aversie parameter van de investeerder wordt gegeven door γ, dan geldt wrmv =
1 −1 Σ (rr − rf ιr ) , γ r
met rf het rendement op het risicovrije activum, ιr = (1, 1)′ , met rr de tweedimensionale vector met de gemiddelde rendementen van de twee risicovolle activa, en met Σr de covariantiematrix. Bereken de “mean variance” optimale portefeuille van de investeerder (als een functie van γ). (7 punten) 5
3. In geval van het “mean variance” optimalisatieprobleem met “short selling” toegestaan en met een risicovrij activum om in te beleggen hebben we het zogeheten “one fund result.” Veronderstel dat de risico-aversieparameter van de investeerder voldoet aan γ = 1. Hoeveel zal de investeerder investeren in dit ene fonds? Motiveer je antwoord! (6 punten) 4. Stel we kennen de waarde van de risico-aversie parameter γ van de investeerder niet. Maar we weten wel dat de optimale oplossing van de investeerder eruit bestaat “short” te gaan in het risicovrije activum. Wat kun je dan zeggen over de risicoaversieparameter γ? (7 punten)
4. Hoofdstuk 7 van Luenberger (1998) Deze opgave geeft maximaal 25 punten. 1. In het Capital Asset Market Model (CAPM) spelen zowel de “Capital Market Line” als de “Security Market Line” een belangrijke rol. Wat bedoelen we met deze “lines”? (6 punten) 2. Zij rit het rendement op activum i in tijdsperiode t, zij rM t het rendement op de marktportefeuille in tijdsperiode t, en zij rf het rendement op het risicovrije activum. Bekijk de lineaire regressie rit − rf = αi + βi (rM t − rf ) + ǫit , with E (ǫit ) = E (ǫit (rM t − rf )) = 0. Het CAPM voorspelt r i − rf = βi (r M − rf ), waarbij r i staat voor het gemiddelde rendement van activum i. Wat is de link met de parameter αi in de lineaire regressie? Hoe kun je het CAPM toetsen? (6 punten) 3. Stel activa 1,2, en 3 hebben hetzelfde totale risico (gemeten met de variantie), maar voor activum 1 hebben we β1 = 0.65, voor activum 2 hebben we β2 = 1.3, en voor activum 3 hebben we β3 = 0.95. Wat kun je zeggen over hun systematische en idiosyncratische risico’s? (6 punten) 4. De Sharpe ratio van activum i is gedefinieerd als r i − rf , σi waarbij r i staat voor het gemiddelde rendement van activum i en σi staat voor de bijbehorende volatiliteit. Gebruik σiM r i − rf = βi (r M − rf ) , with βi = 2 , σM om te laten zien dat in geval van het CAPM de marktportdefeuille de grootst mogelijke Sharpe ratio heeft. (7 punten)
6
