TEORIE K M2A+ULA
MATICOVÉ OPERACE
Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice typu
×
je do obdélníku uspořádaná množina mn skalárů, která má m řádků a n sloupců. =
⋯ ⋱ ⋯
⋮
Symbolicky také někdy zapisujeme matici takto:
⋮
=
Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Nulová matice je matice, která má všechny prvky nulové. Obvykle se značí O. 0 0 = 0⋮0 0 0
0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 0 ⋯
Jednotková matice je matice, která má všechny prvky na hlavní diagonále rovné jedné, ostatní prvky jsou nulové. Obvykle se značí E, v některých publikacích též I. 1 0 = 0⋮1 0 0
0 0 ⋱ ⋮ ⋯ 1 ⋯
Vektor Vektor je matice, jejíž jeden z rozměrů je roven jedné. Podle toho rozeznáváme vektor řádkový a vektor sloupcový (z hlediska výpočtů je toto rozlišení někdy velmi důležité, někdy nemusí být příliš podstatné). Podle počtu prvků tvořících vektor mluvíme o vektorech n prvkových. Při řádkovém zápisu se pro přehlednost často jednotlivé prvky oddělují čárkou nebo středníkem. Vektor můžeme chápat i geometricky jako bod, který má v nějakém prostoru s daným souřadnicovým systémem souřadnice, které odpovídají jednotlivým složkám tohoto vektoru. Můžeme ho chápat rovněž tradičně jako šipku, jejíž počátek je v počátku souřadnicového systému a konec v bodu se souřadnicemi, které odpovídají jednotlivým složkám vektoru. Řádkový vektor
Sloupcový vektor ∀ ∃
=(
⋯
)=(
,…,
)= 1
TEORIE K M2A+ULA
MATICOVÉ OPERACE
= ⋯ =[ ]
Nulový vektor je vektor, jehož všechny prvky jsou nulové. Obvykle se značí o. = [0
⋯ 0]
Opačný vektor je vektor k nějakému vektoru je vektor, jehož všechny souřadnice mají obrácené znaménka. Geometricky vyjadřuje bod středově souměrný k původnímu, nebo šipku se stejnou velikostí ale opačným směrem, než měla šipka původní. − = (−
Vektorové operace
)
,…,−
S vektory je možné provádět stejné operace, jako s maticemi, proto je nebudeme popisovat zvlášť. Nicméně pro vektory existuje jedna specifická operace, kterou využijeme i u matic. Skalární součin Skalární součin dvou vektorů je definován pouze pro vektory se stejným počtem prvků (složek). Skalárním součinem dvou vektorů je skalár. Skalární součin je definován jako součet součinů jednotlivých sobě odpovídajících složek, neboli takto: =(
,…,
)( , … ,
)=
Maticové operace Sčítání Matice, které jsou stejného typu (mají stejný počet řádků a sloupců) lze sčítat. Součtem takových matic je matice téhož typu, jejíž jednotlivé prvky jsou součtem stejnolehlých prvků sčítaných matic, neboli +
=
⋮
⋯ ⋱ ⋯
⋮
⋮
+
⋯ ⋱ ⋯
⋮
=
Totéž můžeme symbolicky napsat ve zjednodušené formě takto +
=
+
Pro sčítání matic platí komutativní i asociativní zákon.
=
+ ⋮ +
⋯ ⋱ ⋯
+ ⋮ +
+
Odčítání Matice, které jsou stejného typu (mají stejný počet řádků a sloupců) lze odčítat. Rozdílem takových matic je matice téhož typu, jejíž jednotlivé prvky jsou rozdílem stejnolehlých prvků odčítaných matic, neboli −
=
⋮
⋯ ⋱ ⋯
⋮
⋮
−
⋯ ⋱ ⋯
⋮
=
Totéž můžeme symbolicky napsat ve zjednodušené formě takto
∀ ∃
−
=
−
=
−
− ⋮ −
⋯ ⋱ ⋯
− ⋮ −
2
TEORIE K M2A+ULA
MATICOVÉ OPERACE
Násobení skalárem Každou matici (bez ohledu na typ) lze vynásobit skalárem. Výsledkem násobení matice skalárem je matice téhož typu, jejíž každý prvek je součinem skaláru a odpovídajícího prvku původní matice, neboli ⋯ ⋱ ⋯
⋮
=
⋮
⋮
=
Totéž můžeme symbolicky napsat ve zjednodušené formě takto =
⋯ ⋱ ⋯
⋮
=
Pro násobení skalárem platí distributivní zákon.
Transpozice Transpozicí matice se rozumí její symetrické otočení podél hlavní diagonály. Je-li původní matice typu × , pak transponovaná matice je typu × . Transpozice je tedy definována takto =
⋯
⋮
⋱ ⋯
=
⋮
⋯
⋮
⋱ ⋯
Totéž můžeme symbolicky napsat ve zjednodušené formě takto =
⋮
=
Transpozici by bylo možné velmi stručně popsat i jako vzájemnou záměnu sloupců a řádků. Násobení matic Násobit lze pouze takové matice, které to svým typem umožňují. Přesně řečeno, matici typu × lze násobit maticí typu × . Výsledná matice (součin daných matic) pak bude typu × . To znamená, že první matice musí mít právě tolik řádků, kolik sloupců má druhá matice.
Jednotlivé prvky výsledné matice jsou skalárním součinem odpovídajícího řádku první (levé) matice a odpovídajícího sloupce druhé (pravé) matice. Z toho je jasně patrné, že záleží na pořadí násobení matic, které nelze zaměnit. Pro násobení matic tedy neplatí komutativní zákon. Součin matic tedy je definován jako
=
⋮
⋯ ⋱ ⋯
⋮
⋮
⋯ ⋱ ⋯
⎛ ⎜ =⎜ ⎜
⋮
⎝
Totéž můžeme symbolicky napsat ve zjednodušené formě takto =
∀ ∃
⋮
⋯ ⋱
⋯
⋮
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
=
3
TEORIE K M2A+ULA
MATICOVÉ OPERACE
Inverze matic Definice Inverzní matice k matici je matice, jejíž součin s maticí je jednotkovou maticí. Přitom nezáleží na pořadí násobení matic. Z toho plyne, že pojem inverzní matice se vztahuje pouze k maticím čtvercovým, neboli maticím typu × . Matici inverzní k matici značíme . Symbolicky Výpočet inverzní matice
=
=
Je známo několik metod výpočtu inverzní matice. My budeme používat metodu eliminační, protože pro ni už známe všechen potřebný aparát. Symbolicky můžeme tuto metodu zapsat takto ( | )≈( |
)
Tento zápis znamená, že vpravo vedle sloupců matice A (tu chceme invertovat) napíšeme sloupce odpovídající jednotkové matici. Takto vzniklou matici pak budeme transformovat tak, aby jednotková matice vznikla na levé straně. To, co vznikne na levé straně, je matice inverzní k dané matici . Přitom potřebnou transformaci provedeme již známou Gauss-Jordanovou eliminací (nejlépe její modifikovanou formou). Je vždy vhodné se přesvědčit o správnosti výpočtu zkouškou. Příklad Máme nalézt inverzní matici k matici
Vytvoříme matici
1 2 −1 = −2 3 −3 4 −4 5 1 2 −1 1 0 −2 3 −3 0 1 4 −4 5 0 0
0 0 1
Tuto matici budeme převádět Gauss-Jordanovou eliminací. Z výukových důvodů to nejprve provedeme její nemodifikovanou verzí. Aby byl výpočet laskavému čtenáři naprosto jasný, bude popsán zcela detailně. Řídícím prvkem je nyní první prvek na hlavní diagonále. Má hodnotu 1. Ptáme se nejprve, čím musíme vynásobit řídící prvek, abychom při součtu druhého řádku s prvním (na něm je řídící prvek) dostali pod řídícím prvkem na druhém řádku nulu. Odpověď je zřejmá. Hledaná konstanta je 2. 1 2 −1 1 −2 3 −3 0 4 −4 5 0
1 2 0 0 1 0 ~ 2∙1−2 2∙2+3 0 1 4 −4
−1 1 0 2 ∙ (−1) − 3 2 ∙ 1 + 0 2 ∙ 0 + 1 0 0 5
0 2∙0+0 1
Stejnou otázku si položíme pro třetí řádek. V tomto případě bude hledaná konstanta -4. Tedy celý první krok je
∀ ∃
4
TEORIE K M2A+ULA 1 2 −1 1 0 −2 3 −3 0 1 4 −4 5 0 0 1 2 −1 1 = 0 7 −5 2 0 −12 9 −4
MATICOVÉ OPERACE 1 0 0 ~ 2∙1−2 −4 ∙ 1 + 4 1 0 0 1 0 0 1
2 2∙2+3 −4 ∙ 2 − 4
−1 1 2 ∙ (−1) − 3 2 ∙ 1 + 0 −4 ∙ (−1) + 5 −4 ∙ 1 + 0
0 2∙0+1 −4 ∙ 0 + 0
0 2∙0+0 −4 ∙ 0 + 1
Tím je první krok dokončen. Přejdeme tedy na další řídící prvek. Tím je druhý prvek na hlavní diagonále, který má hodnotu 7. Ptáme se, čím musíme vynásobit řídící prvek, abychom při součtu třetího řádku s druhým (na něm je řídící prvek) dostali pod řídícím prvkem na třetím řádku nulu. Odpověď už není tak zřejmá, ale není problém se s ní vypořádat. Hledaná konstanta je 12⁄7. 1 2 −1 1 0 0 0 7 −5 2 1 0 ~ 12 12 12 12 0 ∙ 7 − 12 ∙ (−5) + 9 ∙2−4 ∙1+0 1 7 7 7 7 2 −1 1 0 0 7 −5 2 1 0 3 4 12 0 − 1 7 7 7
1 2 −1 1 0 0 7 −5 2 1 0 −12 9 −4 0
=
1 0 0
0 0
12 ∙0+1 7
Nyní máme nuly pod hlavní diagonálou a potřebujeme ještě přejít na tvar s nulami i nad hlavní diagonálou. Začíná tím Jordanovo rozšíření Gaussovy eliminace. Přejdeme na další řídící prvek. Tím je třetí (poslední) prvek na hlavní diagonále, který má aktuálně hodnotu 3⁄7. Ptáme se, čím musíme vynásobit řídící prvek, abychom při součtu druhého řádku s třetím (na něm je řídící prvek) dostali nad řídícím prvkem na druhém řádku nulu. Trochu si pohrajeme se zlomky a odpověď vidíme. Hledaná konstanta je 35⁄3. 1 2 0 7 0 0
−1 1 −5 2 3 4 − 7 7
1 0 0 ⎛0 1 0 ~⎜ 12 1 0 7 ⎝
1 0 0 −1 35 4 35 12 35 35 3 − +2 ∙ +1 ∙ 1 + 0⎞ 7 ∙ −5 3 7 3 7 3 3 7 ⎟ 3 4 12 0 − 1 7 ⎠ 7 7 2
Stejnou otázku si položíme i pro první řádek. V tomto případě je odpověď 7⁄3. Dostáváme 1 2 0 7 0 0
−1 −5 3 7
1 1 0 0 ⎛ 2 1 0 ~ ⎜0 4 12 ⎜ − 1 7 7 0 ⎝ 0 −1 1 2 1 3 ⎛ 0 −14 = ⎜0 7 1 3 ⎜ 3 4 0 0 − ⎝ 7 7
7 3 ∙ −1 3 7 35 3 7 ∙ −5 3 7 3 0 7 7 4 3⎞ 35 ⎟ 21 3⎟ 12 1⎠ 7 2
7 4 7 12 7 − +1 ∙ +0 ∙1+0 3 7 3 7 3 ⎞ 35 4 35 12 35 − +2 ∙ +1 ∙ 1 + 0⎟ 3 7 3 7 3 ⎟ 4 12 − 1 ⎠ 7 7
Hodnotu nula ve tvaru máme zapsanou jen kvůli čitelnosti celé matice při zápisu v editoru rovnic. Přejdeme na další řídící prvek. Tím je opět druhý prvek na hlavní diagonále (vracíme se), který má hodnotu 7. ∀ ∃
5
TEORIE K M2A+ULA
MATICOVÉ OPERACE
Ptáme se, čím musíme vynásobit řídící prvek, abychom při součtu třetího řádku s druhým (na něm je řídící prvek) dostali pod řídícím prvkem na třetím řádku nulu. Hledaná konstanta je −2⁄7. −1 7 4 1 3 3⎞ ⎛ −14 35 ⎟ ~ ⎜0 21 3 3⎟ ⎜ 4 12 − 1 ⎠ ⎝0 7 7 −1 0 1 −2 0 1⎞ 1 0 −14 35 ⎟ 7 21 1 3 3⎟ 3 4 12 0 − 1⎠ 7 7 7
0 1 ⎛ 0 ⎜0 7 1 ⎜ 3 0 0 ⎝ 7 1 2
1 ⎛ = ⎜0 ⎜ ⎝0
2 −14 1 2 − − ∙0+0 − ∙ 7 3 3 7 0 −14 1 3 3 4 − 7 7
2 − ∙7+2 7 7 0
2 − ∙ 21 + 4 7 21 12 7
2 35 7 − ∙ + 7 3 3⎞ 35 ⎟ 3 ⎟ 1
Nyní máme v levé části matice nenulové hodnoty jen na hlavní diagonále. Zbývá zajistit, aby levá část byla jednotkovou maticí. Vydělíme tedy druhý řádek hodnotou 7 a třetí řádek hodnotou 3⁄7. Dostaneme 1 0
⎛ ⎜0 7 ⎜ ⎝0 0
0 1 0 1 3 7
1
−14 3 4 − 7
−1 1 0 1⎞ ⎛ 35 ⎟ ~ ⎜0 1 3⎟ ⎜ 0 0 1⎠ ⎝ 1
−2 21 12 7
−1 0 1 −2 1⎞ 1 0 −2 5 ⎟ 3 1 3 3⎟ 4 7 1− 4 3 3⎠
Na levé straně je jednotková matice, na pravé jsme dostali matici inverzní k matici zadané. Tedy 1
⎛ −2 =⎜ ⎜ 3 4 ⎝− 3
−2 3 4
−1 1⎞ 5 ⎟ 3⎟ 7 3⎠
Vidíme, že ve jmenovatelích zlomků v jednotlivých prvcích matice je konstanta 3 (s výjimkou umělého zlomku vpravo nahoře). Z této matice tedy můžeme vytknout skalár a dostáváme
Poznámka
=
1 3 −6 −3 −2 9 5 3 −4 12 7
V průběhu eliminace jsme důsledně dodržovali eliminační postup (neboli jsme to dělali tak, jak by to dělal počítač). To ale není vždy nutné. Při ručním počítání je příjemné, jsou-li prvky hlavní diagonály rovny jedné. Toho lze skoro vždy (není-li tam nula) dosáhnout vydělením řádku s řídícím prvkem právě hodnotou řídícího prvku. Hledání vhodného koeficientu se tak velmi příjemně zjednoduší. Zkouška Jak jsme již uvedli výše, je vždy dobré udělat zkoušku. Víme, že součin zadané matice s maticí k ní inverzní, musí dát jednotkovou matici. Ověřme to tedy.
∀ ∃
6
⎠
TEORIE K M2A+ULA
MATICOVÉ OPERACE
1 2 −1 1 3 −6 −3 2 −1 1 1 = −2 3 −3 −2 3 −3 −2 9 5 = 3 3 4 −4 5 −4 12 7 4 −4 5
3 −6 −3 −2 9 5 −4 12 7
1 ∙ 3 + 2 ∙ (−2) + (−1) ∙ (−4) 1 ∙ (−6) + 2 ∙ 9 + (−1) ∙ 12 1 ∙ (−3) + 2 ∙ 5 + (−1) ∙ 7 1 (−2) ∙ 3 + 3 ∙ (−2) + (−3) ∙ (−4) (−2) ∙ (−6) + 3 ∙ 9 + (−3) ∙ 12 (−2) ∙ (−3) + 3 ∙ 5 + (−3) ∙ 7 = 3 4 ∙ 3 + (−4) ∙ (−2) + 5 ∙ (−4) 4 ∙ (−6) + (−4) ∙ 9 + 5 ∙ 12 4 ∙ (−3) + (−4) ∙ 5 + 5 ∙ 7 =
−6 + 18 − 12 1 3−4+4 −6 − 6 + 12 12 + 27 − 36 3 12 + 8 − 20 −24 − 36 + 60
−3 + 10 − 7 1 3 = 6 + 15 − 21 0 3 −12 − 20 + 35 0
Tím je správnost našeho výpočtu ověřena.
0 0 1 0 3 0 = 0 1 0 3 0 0
0 0 1
Rychlejší výpočet modifikovanou Gauss-Jordanovou eliminací V tomto případě již přepokládáme určitou zkušenost a proto výpočet provedeme tak, jak se to běžně dělá bez detailního popisování jednotlivých kroků. 1 2 −1 1 0 −2 3 −3 0 1 4 −4 5 0 0 1 ~ 0 0
∀ ∃
0 1 2 −1 1 0 0 ~ 0 7 −5 2 1 1 0 −12 9 −4 0
1 0 0 ~ 0 0 1
1 −2 −1 0 0 1 ⁄ ⁄3 ~ 0 −14 3 21 35 7 0 0 3⁄7 −4⁄7 12⁄7 1 0
0 3⁄7 3⁄7 −2⁄7 1 7 −5 2 ⁄ ⁄ 0 3 7 −4 7 12⁄7
0 0 1 1 0 −2⁄3 0 1 −4⁄3
−2 −1 3 5⁄3 4 7⁄3
0 0 1
7
