2013 Matematika Teknik 1, Bab 3
BAB III LIMIT (Pertemuan ke 4)
PENDAHULUAN Diskripsi singkat Pada bab ini dibahas tentang limit, antara lain mengenai pengertian limit secara intuisi/tak formal, pengertian persis tentang limit, pengkajian mendalam tentang limit, teorema limit utama dan teorema subtitusi. Manfaat Pengertian limit memberikan gagasan baru, yang membedakan kalkulus dengan matematika lainnya. Kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Jadi fungsi limit merupakan andil yang sangat dominan ketika mendalami kalkulus. Relevansi Untuk mempelajjari kalkulus dengan baik, maka pengertian tentang limit sangat diperlukan, karena pemahaman tentang limit akan mendasari pemahaman tentang kalkulus. . Learning Outcomes Mahasiswa dapat mengenal, mamahami arti limit serta terapannya dalam bidang-bidang terkait, dan dapat mengerjakan soal-soal limit dengan baik.
s. johanes, dtm sv ugm
22
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3
PENYAJIAN Pengertian limit memberikan gagasan baru, yang membedakan kalkulus dengan matematika lainnya. Kalkulus dapat didefinisikan sebagai pengkajian tentang limit. Definisi (pengertian limit secara intuisi/tak formal) Untuk mengatakan bahwa berlainan dari c (atau
, berarti bahwa bilamana x dekat tetapi ) , maka f(x) dekat ke L.
Contoh 1: Pandang fungsi yang ditentukan oleh rumus berikut.
Fungsi tersebut tak terdefinisi pada x = 1, karena di titik ini Sebuah pertanyaan: “Apa yang terjadi pada
berbentuk , yang tanpa arti.
bila x mendekati 1?”. y 3,813
x 1,25
3,813
1,1
3,310
1,01
3,030
1,001
3,003
1,000
?
4 1,25 1,1 1,01 1,001 0,999 0,99 0,9
3,310 3,030 3,003 2,997 2,970
3
2 2,710
0,999
2,997
0,99
2,970
0,9
2,710
0,75
2,313
0,75
2,313
1
x Tabel nilai
Diagram skematis
1
x
x
Grafik:
Gambar 3-1
s. johanes, dtm sv ugm
23
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Telah dihitung beberapa nilai f(x) untuk x dekat 1 (lihat tabel), dan telah dibuat diagram skematisnya, serta telah disketsakan garfik
(Gambar 1).
Semua informasi tampaknya menunjuk ke kesimpulan yaitu f(x) mendekati 3 bila x mendekati 1. Dalam lambang matematis ditulis sebagai:
dibaca: “limit dari
untuk x mendekati 1 adalah 3”.
Berikut adalah definisi yang menurut sementara orang disebut definisi terpenting dalam kalkulus.
Definisi (pengertian persis tentang limit) Mengatakan bahwa
, berarti bahwa untuk tiap
> 0 yang
diberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga
asalkan bahwa
, yakni,
→
Perhatikan bahwa tidak disyaratkan agar sesuatu tepat benar di c. Fungsi f bahkan tidak perlu terdefinisi di c. Pemikiran limit dihubungkan dengan perilaku suatu fungsi dekat c, bukannya di c. Pertanyaan: seberapa dekat ? Contoh 1. Cari limit berikut : Bila x dekat 3, maka 4x – 5 dekat terhadap 4.3 – 5 = 7. Ditulis sebagai berikut:
Contoh 2. Cari limit berikut: Penyelesaian. Perhatikan bahwa
tidak terdefinisi di x = 3, tetapi tak
masalah (sama dengan contoh sebelumnya). Untuk mendapatkan gagasan tentang apa yang terjadi bila x mendekati 3, dapat memakai kalkulator untuk menghitung ungkapan yang diberikan, misalnya di 3,1; 3,01; 3,001,dan seterusnya.Tetapi adalah jauh lebih baik memakai sedikit aljabar untuk menyederhanakan persoalan. Maka
s. johanes, dtm sv ugm
24
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Contoh 3. Cari limit berikut : Penyelesaian. Contoh 4. Cari limit berikut : Penyelesaian. Tidak ditemukan cara unttuk menyederhanakan limit tersebut secara aljabar. Kalkulator akan menolong memperoleh bayangan tentang nilai itu (lihat tabel). Kesimpulannya (walau tak kuat) adalah: x
-1,0 0,84147
-0,5
-0,1
0,95885
0,99833
-0,01
0
0,99998
?
0,01 0,99998
0,1 0,99833
0,5
1,0
0,95885
0,84147
Tanda Peringatan Ternyata keadannya tidak semudah apa yang kelihatan. Kalkulator mungkin mengecoh, demikian juga dengan intuisi kita. Contoh berikut mengetengahkan jebakan yang mungkin terjadi. Contoh 5. Cari limit berikut : Dengan seperti yang terdahulu, maka disusun tabel nilai seperti terlihat pada Gambar.
Dengan melihat angka-angka yang ada pada
x 1
0,99995
0,5
0,24991
0,1
0,00990
0,01
0,000000005
0
tabel,
nampaknya
kesimpulan
nilai
limit
tersebut mengarah pada harga = 0. Tetapi itu salah. Jika diingat bahwa grafik
,
nilainya 1 untuk x mendekati 0. Maka :
?
Contoh 6. Cari limit berikut : Penyelesaian. Contoh ini mengetengahkan pertanyaan paling rumit tentang limit. Untuk itu perhatikan dua hal berikut:
s. johanes, dtm sv ugm
25
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 1. Ambil sebarisan nilai x yang mendekati 0,
jika
anda
menemukan
beruntung angka-angka
berakibat nilai
maka
x
yang
1
akan berayun
0
secara liar (lihat tabel). 2. Jika
-1
menggambarkan
gafik
0
, siapapun tidak akan
1
menghasilkan gafik yang sangat baik,
0
tetapi dengan bantuan nilai-nilai yang
-1
ada
0
pada
memberikan
tabel,
nampaknya
petunjuk
yang
baik,
1
tentang apa yang tejadi. Di sekitar titik
0
asal grafik bergoyang ke atas dan ke
-1
bawah di antara harga -1 dan 1
0
berulang kali secara tak hingga. Jelas bahwa
tidak berada pada
0
?
suatu bilangan unik L bila x dekat 0. Kesimpulannya
tidak
ada. y 1
x
-1 Gambar 3-2
s. johanes, dtm sv ugm
26
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Soal-soal. Carilah limit berikut. 1. 2.
8.
15.
9.
16.
10.
17.
11.
18.
12.
19.
13.
20.
3. 4. 5. 6. 7.
14.
Pengkajian mendalam tentang limit Seharusnya tidak mudah percaya terhadap apa yang dikatakan orang, dalam arti bijaksana dalam menyikapinya. Kehati-hatian menerima pernyataan orang menjadi hal penting, sambil memeriksanya. Jika mengatakan kepada seorang matematikawan bahwa sesuatu adalah benar, maka wajar jika kemungkinan mendapat tanggapan: ”buktikan!”. Untuk membuktikan, maka haruslah memahami arti kata-kata yang digunakan dengan sejelas-jelasnya, terutama yang menyangkut kata limit, karena kalkulus semuanya bersandar pada arti kata tersebut. Untuk mengatakan bahwa
, berarti selisih antara f(x) dan L dapat dibuat
sekecil mungkin, dengan mensyaratkan bahwa x cukup dekat tetapi tidak sama dengan c. Untuk mengemukakan buktinya, menggunakan huruf Yunani yaitu ε (epsilon) dan δ (delta) untuk menggantikan bilangan-bilangan kecil positif. Mengatakan bahwa f(x) berbeda dari L dan lebih kecil dari ε, sama saja mengatakan bahwa:
Ini berarti bahwa f(x) terletak dalam selang terbuka (L-ε, L+ε). Selanjutnya ucapan bahwa x cukup dekat tetapi berlainan dengan c, sama saja mengatakan bahwa untuk suatu δ, x terletak dalam selang terbuka (c-δ, c+δ), dengan c tidak diikutkan. Untuk mengatakan ini, dapat ditulis:
s. johanes, dtm sv ugm
27
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Definisi yang menurut sementara orang disebut definisi yang terpenting dalam kalkulus adalah sebagai berikut. Definisi (pengertian persis tentang limit) Mengatakan bahwa , berarti bahwa untuk setiap ε>0 yang deberikan (betapapun kecilnya), terdapat δ>0 yang berpadanan sedemikian sehingga asalkan bahwa ; yakni
→
Gambar 3-3, kiranya dapat membantu untuk memahami pengertian definisi tersebut di atas.
F(x)
F(x)
L
L
c c Untuk setiap
x >0
δ δ
terdapat
δ>0
x
sedemikian sehingga
F(x)
F(x)
LL
L L-
c-δ c c-δ
x
c
x
Gambar 3-3
s. johanes, dtm sv ugm
28
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Teorema Limit
Teorema A (Teorema Limit Utama) Andaikan n bilangan bulat positif, k konstanta, f dan g adalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c. maka : 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.
, asalkan
8. 9.
, asalkan
bilamana n genap
Contoh 1. Carilah 8
3
2
Penyelesaian.
Contoh 2. Carilah 5 5
3
Penyelesaian. 8
s. johanes, dtm sv ugm
2
29
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Contoh 3. Carilah
7 5
9
4
Penyelesaian. 8,1
2
Teorema B (Teorema Subtitusi) Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka:
Asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai penyebut c tidak nol.
Contoh 5. Carilah Penyelesaian. Contoh 6. Carilah Penyelesaian. Baik Teorema B ataupun pernyataan 7 Teorema A tidak berlaku, karena limit dari penyebut 0. Tetapi karena limit pembilang adalah 11, jika dibagi oleh bilangan positif dekat dengan 0, hasilnya sebuah bilangan positif yang besar (dapat dibuat sekehendak). Dikatakan bahwa limitnya tidak ada (atau + ).
Contoh 7. Carilah Penyelesaian. Lagi-lagi teorema B tak dapat diterapkan. Tetapi kali ini hasil baginya mengambil bentuk tanpa arti (
) di x = 2. Harus disederhanakan dulu secara aljabar (faktorisasi),
sebelum menentukan limitnya. Maka
s. johanes, dtm sv ugm
30
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3
Kekontinuan Fungsi Dalam arti umum, kata kontinu digunakan untuk memberikan suatu proses yang berkelanjutan tanpa perubahan yang mendadak. Gagasan inilah yang berkenaan fungsi, yang sekarang ingin dibuat persis. Pandang tiga grafik yang diperlihatkan dalam Gambar 1. Hanya grafik yang ketiga memperlihatkan kekontinuan di c. y
y
y
F(x)
F(x)
F(x)
c
c
x tidak ada
(a)
c
x
x
ada, tetapi Gambar 1 (b)
(c)
Gambar 3-4
Definisi (kekontinuan di satu titik) Dikatakan bahwa f kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c tekandung dalam daerah asal f dan
Dengan definisi ini, bermaksud mensyaratkan 3 hal: 1. 2.
ada, ada,
3. Jika salah satu dari ketiga hal tersebut tak dipenuhi, maka f tak kontinu (diskontinu) di c.
s. johanes, dtm sv ugm
31
2013 Matematika Teknik 1, Bab 3 Contoh 1. Andaikan
, x
2.
Bagaimana seharusnya f didefinisikan di x = 2, agar kontunu di titik it? Penyelesaian:x
y 4 3
,x
2
2 Karena itu definisikan f(2) = 4. Grafik dari
,x=2 1
fungsi yang dihasilkan, diperlihatkan pada Gambar 3-5. Kenyataannya dapat dilihat
1
bahwa f(x) = x + 2, kontinu untuk semua x.
2
3
x
Gambar 3-5
Soal-soal. Nyatakan apakah fungsi yang ditunjukkan kontinu di 2? Jika tak kontinu jelaskan sebabnya ! 21.
24.
22.
25.
23.
26. Dalam soal nomer 28 s/d 30 tak terdifinisi di suatu titik tertentu. Bagaimana
mendifinisikannya di sana, agar kontinu pada titik itu. 27.
29.
28.
30.
s. johanes, dtm sv ugm
32
