MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

MATEMATIKA TANTERV

Bevezetés A matematika tanítását minden szakmacsoportban és minden évfolyamon egységesen heti három órában tervezzük Az elsı évfolyamon mindhárom órát osztálybontásban tartjuk, segítve ezzel a heterogén elıképzettséggel érkezı diákok szintrehozását és az eredményesebb alapozó munkát. Tantervünk célja, hogy a középszintő érettségire készítsük fel tanítványainkat. Tervezzük az emeltszintő érettségire történı felkészítést is. Ehhez a 11. és a 12. évfolyamon osztályoktól független csoportokat szervezünk. Az emeltszintő érettségire való felkészítés óraszáma heti két óra. Ez a tanterv a 2003. év ıszén átdolgozott Kerettanterv által meghatározott tananyagot és annak az órakeret kb. 20%-át kitöltı kiegészítését és részletezését tartalmazza. Az egyes témakörök tanítási sorrendjét a tantervnek nem feladata meghatározni, ezt a tanterv alapján készülı tanmenet rögzíti. A Kerettanterv kiegészítésekor törekedtünk arra, hogy a tananyag spirális felépítése fokozottan érvényesüljön. Emellett fontosnak tartjuk a fogalmak kialakításában az induktív módszer alkalmazását. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során, ahol szakmailag indokolt, átcsoportosíthatók a hozzá tartozó anyagrészekkel együtt. Az alsóbb évfolyamokon az év végi ismétlésre két hetet javaslunk, míg a 12. évfolyam esetén az érettségire való közvetlen felkészülésre 8 órát szántunk. 9. oszt. 10. oszt. 11. oszt. 12. oszt. Összesen Gondolkodási módszerek 6 óra 6 óra 10 óra 12 óra 34 óra Számtan, algebra 39 óra 40 óra 31 óra 18 óra 128 óra Függvények, sorozatok 16 óra 12 óra 14 óra 19 óra 61 óra Geometria 39 óra 39 óra 40 óra 35 óra 153 óra Valószínőség, statisztika 5 óra 8 óra 10 óra 7 óra 30 óra Év végi ismétlés 6 óra 6 óra 6 óra 8 óra 26 óra 111 óra 111 óra 111 óra 99 óra Összesen: 432 óra

Célok és feladatok A matematikatanítás célja feladata a tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Mindezt az a folyamat biztosítja, amelynek során fokozatosan kiépítjük a matematika belsı struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk. A problémák felvetése tegye indokolttá a tanulók számára a pontos fogalomalkotást. Ezek a folyamatok váljanak a tanulók belsı, felfedezı tanulási tevékenységének részévé. Mindez fejleszti a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességét. A célszerő, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokban való alkalmazása fejleszti a kombinatív készséget, a kreativitást, a problémahelyzetek önálló, megfelelı önbizalommal történı megközelítését, megoldását. A matematikai nevelés sokoldalú eszközökkel fejleszti a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységét, kialakítja a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyításának igényét, megmutatja a matematika hasznosságát, belsı szépségét, az emberi kultúrában betöltött szerepét. Fejleszti a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét. -1-

A matematika a maga hagyományos és modern eszközeivel segítséget ad a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán mőveltségterületek, szakközépiskolákban a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez. A lehetıségekhez igazodva támogassa az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, Internet stb.) célszerő felhasználásának megismerését, alkalmazásukat. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek az önellenırzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére. Törekedni kell a tanulók pozitív motiváltságának biztosítására, önállóságuk fejlesztésére. Ebben a törekvésben fontos terület a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása, és a tanításban való érvényesítése. Az általános iskolai tanításhoz képest egyre inkább hangsúlyt kap a tárgy deduktív jellege, de továbbra sem nélkülözhetı a szemléletre és tevékenységre épülı feldolgozás sem. A tanulók váljanak képessé a középszintő érettségi vizsga sikeres letételére. A matematika kerettantervének új vonásai: a) a modellalkotás, matematizálás jelentıségének növekedése; b) a matematika alkalmazási terének növekedése; c) egyensúly a matematika belsı struktúrájának kiépítése és a tanultaknak a mindennapi életben, más tárgyakban való felhasználása, eszközként való alkalmazása között; d) a modern oktatási, tanulási technológiák beépítése a mindennapi iskolai oktatási, nevelési tevékenységbe. Fejlesztési követelmények Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása A matematikai szemlélet fejlesztése A középiskolai tanulmányok során a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerısítésére, bizonyos fogalmak definiálására, általánosítására kerül sor. A különbözı témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémákban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése, alkalmazásképes tudása fejleszti a tanulók matematizáló tevékenységét. Az idıszak végére szükség van a valós számkör biztos ismeretére, e számkörben megismert mőveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazására is. A tananyag különbözı fejezeteiben a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása. Mőveleteket az algebrai kifejezések és a vektorok körében is értelmezünk és használunk. Elengedhetetlen az elemi függvények ábrázolása koordináta-rendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különbözı gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is. A geometriai ismeretek bıvülése, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalása fejleszti a dinamikus geometriai szemléletet. A trigonometriai számítások a gyakorlat szempontjából fontosak (távolságok, szögek meghatározása számítás útján). A sík- és térgeometriai fogalmak és tételek mind a térszemlélet, mind az analógiás gondolkodás fejlesztése szempontjából lényegesek. A terület-, felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlen. A koordináta-geometria elemeinek tanításával a matematika különbözı területeinek összefüggéseit s így a matematika komplexitását mutatjuk meg. A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A "ha ..., akkor ..." az "akkor és csak akkor" helyes használata az élet számos területén (nem csak a matematikában) fontos. -2-

Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés fontos feladatunk. Ehhez elengedhetetlen egyszerő matematikai szövegek értelmezése, elemzése, s az hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat. Aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban. A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. Hasznos az élet és a különbözı tudományok megértéséhez (a társadalomtudományokéhoz is) a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínőség-számítás elemeinek alkalmazása. Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. El kell érnünk, hogy az érettségi elıtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.

Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási mőveletek alkalmazása A 9–12. évfolyam matematikatanításában az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak a deduktív következtetések is. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. Tanításunkban fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerő tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására. A matematikatanításban alapvetıen fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. Az érettségi elıtti rendszerezı összefoglaláskor a matematika komplexitását mutatja meg az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különbözı témakörökben, valamint egyszerő modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges. A matematika különbözı területein néhány lépéses algoritmus készítése az informatika tanulmányozásához is fontos. Természetesen ezen idıszakban is elengedhetetlen a szemléltetı ábrák és egyéb eszközök alkalmazása nemcsak a geometriában (trigonometriában), hanem a kombinatorikában és a statisztikában is. Az adatsokaságok különbözı jellemzési lehetıségeinek megismertetésével ezen a téren is fejlesztjük az alkalmazásképes tudást. Helyes tanulási szokások fejlesztése A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerő használatát. A közelítı értékekkel való számoláshoz különösen elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenırzés különbözı módjainak alkalmazása, az eredmény realitásának eldöntése. A tanulóktól megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. A matematikai szöveg értı olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekbıl a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsıfokú tanulást is segíti. A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet (és tesz is) a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. Fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott egyszerőnek tőnı matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az Internet használata is. -3-

9. évfolyam Évi óraszám: 111 óra Új ismeretek feldolgozása Gondolkodási 3 óra módszerek Számtan, 18 óra algebra Függvények, 8 óra sorozatok Geometria, 23 óra mérés Valószínőség, 2 óra statisztika Év végi ismétlés

Rendszerezés, gya- Ellenırzés korlás 2 óra 1 óra

Összesen

18 óra

3 óra

39 óra

6 óra

2 óra

16 óra

13 óra

3 óra

39 óra

2 óra

1 óra

5 óra

5 óra

1 óra

6 óra

6 óra

Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 6 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A szemléletes fogalmak definiálása, tudatosítása.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben.

A megismert számhalmazok (természetes számok, egész számok, racionális számok, valós számok), ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma (nyitott, zárt). Tájékozodás a számegyenesen. Halmazmőveletek: unió, metszet, rész- Részhalmaz, unió, halmaz képzés, két halmaz különbsé- metszet, két halmaz ge. Alaphalmaz, üres halmaz fogalma. különbsége. Egyszerő azonosságok szemléletes bizonyítása (Venn-diagram). Egyszerő feladatok a logikai szita-formulára. Egyszerő kombinatorikai feladatok, az összes eset áttekintése.

Módszer keresése az összes eset áttekintéséhez. A szükséges és elégsé- Az "akkor és csak akkor" használata – ges feltétel megkülön- (folyamatos) böztetése. Tétel és megfordítása (folyamatos).

-4-

Számtan, algebra Évi óraszám: 39 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A fogalom célszerő kiterjesztése, a számok nagyságrendjének tudása.

Kombinatív készség fejlesztése.

Mőveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szaknyelv használata.

Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értı szövegolvasás.

Tartalom Betők használata a matematikában, mőveletek betős kifejezésekkel. Egytagú, többtagú kifejezések; kifejezések fokszáma. A hatványozás értelmezése 0 és negatív egész kitevıre, a hatványozás azonosságai (legalább egy azonosság bizonyítása); számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a±b)2, a2–b2 szorzat alakja, (a±b)3, a3–b3 szorzat alakja. Szorzattá alakítás módszerei: kiemelés, csoportosítás, nevezetes azonosságok alkalmazása.

Ezen azonosságok alkalmazása egyszerő algebrai egészekkel és törtekkel végzett mőveleteknél. (Egyszerősítés, szorzás, osztás, összevonás.) Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben.

Elsıfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása (behelyettesítı módszer, egyenlı együtthatók módszere, grafikus módszer). Egyenletrendszerre vezetı szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás. A rendszerezıEgy abszolútértéket tartalmazó egyenképesség fejlesztése. letek. A matematika iránti Relatív prímek, oszthatósági feladatok érdeklıdés erısítése az (számolás maradékokkal, oszthatósági elemi számelmélet szabályok: 2-vel, 3-mal, 4-gyel, 5-tel, alapvetı problémáival 9-cel való oszthatóság). Prímtényezıs és matematikatörténeti felbontás, legnagyobb közös osztó, vonatkozásaival. Inlegkisebb közös többszörös. Példa duktív gondolkodás számrendszerekre. fejlesztése (próbálgatás, általánosítás).

A továbbhaladás feltételei Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása.

A négy alapmővelet egyszerő algebrai kifejezésekkel.

Egyszerő egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezıkre való bontása. 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10es alapú számrendszerrel. -5-

Függvények, sorozatok Évi óraszám: 16 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése. A megfelelı modell megkeresése.

Tartalom A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény, abszolútérték függvény, másodfokú függvény, gyakorlati példák további függvényekre, a fordított arány, a x a . A vizsgált függvények elemi x tulajdonságai: értékkészlet, zérushely, monotonitás, korlátosság, szélsıértékek.

A továbbhaladás feltételei Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Geometria Évi óraszám: 39 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tájékozottság a megismert síkidomok tulajdonságaiban.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei Speciális háromszöGeometriai alapfogalmak (pontok, egyenesek és síkok kölcsönös helyzete), gek, négyszögek és háromszögekkel, négyszögekkel, sok- szabályos sokszögek szögekkel kapcsolatos ismeretek kitulajdonságainak egészítése, rendszerezése. ismerete. Sejtések megfogalma- Nevezetes ponthalmazok a síkban és a A nevezetes vonalak zása, új összefüggések térben. és a háromszög beírt felfedezése, bizonyítá- A háromszög nevezetes vonalai, beírt és köréírt körének si igény kialakítása. köre, körülírt köre. ismerete. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Thalész tétele, néhány alkalmazása, a A körrel kapcsolatos kör és érintıi. fogalmak és az érintı tulajdonságának ismerete. A transzformációk, A geometriai transzformáció fogalma, Az eltolás és tükrömint függvények érpéldák geometriai transzformációkra. zések tulajdonságaitelmezése, a matema- A tengelyes és középpontos tükrözés, nak felhasználása tika különbözı terüle- ezek tulajdonságai, néhány alkalmazá- egyszerő, feladatoktei közötti kapcsolatok sa (tengelyes és középpontos szimmet- ban. keresése. ria; a paralelogramma, a háromszög és a trapéz középvonala, a háromszög súlypontja). Az eltolás áttekintése, rendszerezése, a vektor fogalma. pont körüli elforgatás és tulajdonságai. Az egybevágóság mint reláció; alakzatok egybevágósága; háromszögek egybevágóságának alapesetei. -6-

Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, analizáló képesség és a diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztıprogramok megismerése.

A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge. A körív hossza, körcikk kerülete, területe (képletek használata). Egyszerő szerkesztési feladatok.

Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 5 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése. A hétköznapi életben megjelenı statisztikai adatok elemzése.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei Statisztikai adatok és ábrázolásuk Számsokaság szám(kördiagram, oszlopdiagram stb.), tani közepének kiszámtani közép, medián, módusz; szó- számítása, a középsı rás. érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése. Év végi ismétlés és rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 6 óra

-7-

10. évfolyam Évi óraszám: 111 óra Új ismeretek Rendszerezés, gya- Ellenırzés feldolgozása korlás Gondolkodási 3 óra 2 óra 1 óra módszerek Számtan, 18 óra 19 óra 3 óra algebra Függvények, 6 óra 5 óra 1 óra sorozatok Geometria, 23 óra 13 óra 3 óra mérés Valószínőség, 4 óra 3 óra 1 óra statisztika Év végi ismétlés 5 óra 1 óra Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 6 óra Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A köznapi gondolko- Tétel és megfordítása. (folyamatos) dás és a matematikai Bizonyítási módszerek, jellegzetes gondolkodás megkügondolatmenetek (indirekt módszer, lönböztetése. skatulya-elv konkrét példákon A bizonyítási igény kersztül). további fejlesztése. Változatos kombinatorikai feladatok a hétköznapi életbıl.

Számtan, algebra Évi óraszám: 40 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A permanencia elve a számfogalom bıvítésében.

Összesen 6 óra 40 óra 12 óra 39 óra 8 óra 6 óra

A továbbhaladás feltételei A csak kimondott, illetve be is bizonyított összefüggések megkülönböztetése.

Egyszerő sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei A valós szám szemléletes fogalma, Tájékozottság a vakapcsolata a számegyenessel, a valós lós számok halmaszámok tizedestört alakja. Kapcsolat a zán, a racionális és racionális számok (közönséges) tört és irracionális számok tizedes tört alakja között. Példák irra- tizedestört alakja, cionális számokra (, szakaszok össze- nevezetes irracionális mérhetetlensége). számok ismerete. A négyzetgyök azonosságainak használata egyszerő esetekben. Gyökjel alól kihozatal, gyökjel alá bevitel, törtek nevezıjének gyöktelenítése. Az nedik gyök, azonosságai.

A négyzetgyök azonosságainak alkalmazása egyszerő esetekben. -8-

A másodfokú egyenlet megoldása (teljes négyzetté kiegészítés), a megoldóképlet (a megoldhatóság vizsgálata, a diszkrimináns szerepe), gyöktényezıs alak. A másodfokú egyenlet és a másodfokú függvény kapcsolata. Paraméteres másodfokú egyenletek. Összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Egyszerő szélsıérték-feladatok megoldása. A matematika eszköz- Másodfokú egyenletre vezetı szöveges ként való felhasználása feladatok. gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában. Diszkussziós igény az Ekvivalens és nem ekvivalens lépések algebrai feladatoknál. egyenletek átalakításánál, egyszerő négyzetgyökös egyenletek. Az értelmezési tartomány és az értékkészlet vizsgálata. Az algebrai és grafikus Egyszerő másodfokú egyenlıtlenség módszerek együttes megoldása. A megoldások ábrázolása alkalmazása a problé- számegyenesen. mamegoldásban. A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése.

Függvények, sorozatok Évi óraszám: 12 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformáci ók alkalmazása. A négyjegyő függvénytáblázatok és matematikai összefüggések célszerő használata.

A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Különbözı típusú egyszerő szöveges feladatok megoldása.

Egyszerő négyzetgyökös egyenlet megoldása. A megoldások ellenırzése.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei A négyzetgyök függvény. A tanult A szögfüggvények függvények néhány egyszerő transzdefiníciójának ismeformációja. rete, az A szögfüggvényfogalom kiterjesztése, a x a sinx és forgásszög szögfüggvényeinek értelx a cosx függvémezése, összefüggések a szög szögnyek ábrázolása és függvényei között (sin 2a + cos 2a = 1, tulajdonságai. pótszögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, kiegészítı szögek szögfüggvényei közötti kapcsolat, szögek ellentettjének szögfüggvényei). A trigonometrikus függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsıértékek, periodicitás, értékkészlet), a függvények ábrázolása. Egyszerő trigonometrikus egyenletek megoldása.

-9-

Geometria Évi óraszám: 39 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A transzformációs szemlélet fejlesztése.

A továbbhaladás feltételei A körrel kapcsolatos ismeretek bıvíté- A hasonlóság szemse: kerületi és középponti szög fogalléletes tartalmának ma, kerületi szögek tétele; húrnégyszög ismerete, a középfogalma, húrnégyszögek tétele. pontos nagyítás és Párhuzamos szelık és szelıszakaszok kicsinyítés alkalmatétele. A szögfelezıtétel. zása egyszerő gyaA középpontos hasonlósági transzfor- korlati feladatokban. máció fogalma és tulajdonságai. A hasonlósági transzformáció fogalma. Kreatív problémameg- A háromszögek hasonlósága alapesete- Az alapesetek ismeoldás. inek ismerete és alkalmazása egyszerő rete. Geometriai ismeretek esetekben. A felsorolt tételek alkalmazása, biztos A hasonlóság alkalmazásai: háromszög ismerete és alkalmaszámolási készség, súlyvonalai, súlypontja, arányossági zása egy vagy két zsebszámológép céltételek a derékszögő háromszögben lépéssel megoldható (befogótétel, magasságtétel), körhöz szerő használata. számítási feladatokhúzott érintı és szelıszakaszok tétele. nál. (Legalább egy tétel bizonyítása.) Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya. Pitagorasz tételének alkalmazása. Hegyesszögek szögfüggvényeinek értelmezése, szögfüggvények alkalmazása derékszögő háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása.

A vektorok további alkalmazása.

Tartalom

A vektorok összege, szorzása számmal, vektor felbontása különbözı irányú összetevıkre a síkban. Vektorok a koordinátarendszerben.

-10-

Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 8 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A valós helyzetek értelmezése, megértése és értékelése.

Tartalom

Valószínőségi kísérletek. A valószínőség szemléletes fogalma (esemény, lehetetlen esemény, biztos esemény, komplementer esemény fogalma, valószínősége). A valószínőség kiszámítása egyszerő esetekben. Év végi ismétlés, rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 6 óra

A továbbhaladás feltételei Egyszerő problémák megoldása a klasszikus valószínőségi modell alapján.

-11-

11. évfolyam Évi óraszám: 111 óra Új ismeretek feldolgozása Gondolkodási 5 óra módszerek Számtan, 14 óra algebra Függvények, 6 óra sorozatok Geometria, 20 óra mérés Valószínőség, 5 óra statisztika Év végi ismétlés


Összesen

14 óra

3 óra

31 óra

7 óra

1 óra

14 óra

17 óra

3 óra

40 óra

4 óra

1 óra

10 óra

5 óra

1 óra

6 óra

10 óra

Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 10 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív, rendszerezési készség fejlesztése. A többféle megoldási mód lehetıségének keresése. Becslés, a becslés öszszevetése a számításokkal. A gráf modellként való felhasználása.

Tartalom Vegyes kombinatorikai feladatok. Binomiális együtthatók, Pascalháromszög. Véges halmaz részhalmazainak száma.

A továbbhaladás feltételei Egyszerő kombinatorikai feladatok megoldása.

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazá- A gráf szemléletes suk. fogalma, egyszerő alkalmazásai. Feladatok megoldása gráfokkal.

Számtan, algebra Évi óraszám: 31 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

Másodfokúra visszavezethetı egyszerő magasabb fokú egyenletek. A matematikai fogaA hatványozás kiterjesztése pozitív lom célszerő kiterjesz- alap esetén racionális kitevıkre. tése, a fogalmak álta- A hatványozás azonosságai és alkallánosításánál a perma- mazásuk. nencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény A logaritmus értelmezése. mélyítése. A logaritmus azonosságai.

A továbbhaladás feltételei

A hatványozás definíciója, mőveletek, azonosságok ismerete egész kitevı esetén. A logaritmus fogalmának ismerete, -12-

Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat). Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenırzés igényének fejlesztése.

azonosságainak alkalmazása egyszerőbb esetekben. A definíciókon és a megismert azonosságokon alapuló exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek, egyenlıtlenségek.

Exponenciális, logaritmusos és trigonometrikus egyenlet, egyenlıtlenség egyszerő konkrét feladatokban.

Tartalom


Függvények, sorozatok Évi óraszám: 14 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különbözı területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban.

A 2 x, a 10 x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben. A logaritmus függvény, mint az exponenciális függvény inverze.

A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsıérték, monotonitás, periodicitás, paritás). Függvények transzformációi: f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx).

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési-tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsıérték).

Tartalom

A továbbhaladás feltételei Vektormőveletek és tulajdonságaik (öszszeadás, kivonás, skalárral való szorzás). Vektorok alkalmazásai.

Geometria, mérés Évi óraszám: 40 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerő munkára nevelés. Az esztétikai érzék

A vektorokról tanultak áttekintése, rendszerezése. A vektormőveletek tulajdonságai. Vektorok a koordinátarendszerben. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása. A skaláris szorzat koordinátákkal kifejezve. A skaláris szorzat alkalmazásai; addíciós tételek (sin(a ± b), cos(a ± b), sin2a, cos2a). Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkal- A szinusztétel és a mazásukhoz szükséges egyszerő trigo- koszinusztétel alkalnometrikus egyenletek. mazása alapfeladatok -13-

fejlesztése.

A matematika gyakorlati felhasználása. A zsebszámológép és a számítógép alkalmazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése.

Adott probléma többféle megközelítése.

megoldásában (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása). Távolság, szög, terület meghatározása gyakorlati feladatokban (fizikában).

Helyvektor. Mőveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz felezıpontja, harmadoló pontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza. A kör egyenletei. A kétismeretlenes másodfokú egyenlet és a kör egyenletének kapcsolata. Az egyenes irányára jellemzı adatok: az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma, kapcsolatuk. Az egyenes egyik egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merılegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör adott pontjához tartozó érintıje.

Vektorok koordinátáinak biztos használata. Szakasz felezıpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

-14-

Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 10 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A körülmények kellı figyelembevétele. Elızetes becslés öszszevetése a számításokkal.

Tartalom


Egyszerő valószínőség-számítási problémák. A binomiális eloszlás (visszatevéses mintavétel). Eseményekkel végzett mőveletek egyszerő, konkrét feladatokban. Modellalkotásra neve- Relatív gyakoriság. A relatív gyakoriság lés. Modell és valóság A valószínőség klasszikus modellje. és a valószínőség kapcsolata. közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerő valószínőségi feladatok megoldása. A számítógép alkalStatisztikai mintavétel a gyakorlati mazása statisztikai életben. (Visszatevéses és visszatevés adatok, illetve véletlen nélküli mintavétel.) jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Év végi ismétlés, rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 6 óra

-15-

12. évfolyam Évi óraszám: 99 óra Új ismeretek feldolgozása Gondolkodási 3 óra módszerek Számtan, algebra Függvények, 3 óra sorozatok Geometria, 9 óra mérés Valószínőség, 3 óra statisztika Év végi ismétlés


Összesen

16 óra

2 óra

18 óra

14 óra

2 óra

19 óra

23 óra

3 óra

35 óra

3 óra

1 óra

7 óra

7 óra

1 óra

8 óra

12 óra

Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 12 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése: A matematika különbözı területei közti összefüggéseinek tudatosítása.

Tartalom

Kijelentés fogalma, mőveletek kijelentésekkel: konjunkció, diszjunkció, negáció, ekvivalencia, implikáció. A logikai mőveletekre vonatkozó egyszerő azonosságok. A halmazelméleti és logikai ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A deduktív gondolko- A megismert bizonyítási módszerek dás további fejlesztése. összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése.

A továbbhaladás feltételei Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek.


Tartalom Rendszerezı összefoglalás Számhalmazok

Matematikatörténeti ismeretek (könyvtárés internethasználat). Szám- és mőveletfogalom biztos alkalmazása.


Számelméleti összefoglalás. A valós számok és részhalmazai. A mőveletek értelmezése, mőveleti tulajdonságok. Közelítı értékek. Egyenletek -16-

Tervszerő, pontos és fegyelmezett munkára nevelés. Az önellenırzés fontossága.

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

Nevezetes másod- és harmadfokú algebrai azonosságok. Elsı- és másodfokú egyenlet és egyenlıtlenség. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Egyszerő exponenciális, logaritmikus, trigonometrikus egyenletek és azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyszerő két ismeretlenes elsıfokú és másodfokú egyenletrendszer. Szöveges feladatok. Paraméteres feladatok.

Függvények, sorozatok Évi óraszám: 19 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben. Matematikatörténeti feladatok.

Tartalom A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az elsı n elem összege. Kamatoskamat-számítás.

Rendszerezı összefoglalás

Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

A továbbhaladás feltételei Számtani és mértani sorozat esetén az ndik tag, és az elsı n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamatszámítás alkalmazása egyszerő gyakorlati feladatokban. Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételek.

A függvényekrıl tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytranszformációk. f(x) + c; f(x + c); c f(x); f(cx). Függvényvizsgálat a függvények grafikonjainak segítségével.

-17-

Geometria, mérés Évi óraszám: 35 óra Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A térszemlélet fejlesz- Térelemek kölcsönös helyzete, távoltése. sága, szöge. Egyszerő kombinatorikus Az esztétikai érzék geometriai problémák vizsgálata. fejlesztése.

A terület- és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A A matematika gyakor- terület és a térfogat fogalma. lati alkalmazásai a A tanult poliéderek felszíne, térfogata. térgeometriában. A forgáshenger és a forgáskúp felszíne Sík- és térgeometriai és térfogata. ismeretek összekapA csonka gúla, a csonka kúp, a gömb csolása, analógiák fel- térfogata, felszíne. ismerése. Poliéderek és forgástestek körülírt és beírt gömbjei.

A függvényszemlélet fejlesztése. A deduktív gondolkodás fejlesztése.

A matematika különbözı területei közötti összefüggések felhasználása.

A továbbhaladás feltételei Az elızı években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete.

A megismert felszínés térfogat számítási képletek alkalmazása egyszerő feladatokban.

Rendszerezı összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. Egybevágósági és hasonlósági transzformációk áttekintése. Háromszögekre, négyszögekre és a körre vonatkozó tanult tételek és alkalmazásaik. Vektorok, vektorok koordinátái. Vektormőveletek, mőveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögő koordináta-rendszer. Egyenes és kör egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

-18-

Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 7 óra Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A leíró statisztika és a Adatkezelésnél osztálybasorolás. valószínőségszámítás Terjedelem. gyakorlati szerepe, alkalmazása. A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálatára. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzıi: számtani közép, mértani középsúlyozott közép, medián, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínőségi modell. Felkészülés az érettségire Évi óraszám: 8 óra


Egyszerő klasszikus valószínőségszámítási feladatok megoldása.

Az emeltszintő érettségire történı felkészítés tanterve A felkészítést osztályok fölötti csoportokban tervezzük, ami nemcsak a felkészítı munkát, de már a tanterv összeállítását is nagyon megnehezíti. A tanterv készítésekor elsısorban a hatályos Részletes érettségi vizsgakövetelméyt tartottuk szem elıtt. A tananyagrészek csoportosításánál figyeltünk arra, hogy az egyes témák az emeltszintő csoportban folytathatók legyenek. A párhuzamos haladás természetesen nem mindig biztosítható, hiszen új tananyagrészek is szerepelnek a követelmények között és a korábban tanult anyag magasabb szintő ismétlésére is sok idıt kell szánni. Kiemelt figyelmet kell fordítani - tekintettel a szóbeli vizsgára - a tételbizonyításokra, visszatekintve a korábbi években tanultakra is. Az alábbi táblázat az egyes témakörökre felhasználható óraszámokat tartalmazza. Ezek a tanmenet elkészítése során, ahol szakmailag indokolt, átcsoportosíthatók a hozzá tartozó anyagrészekkel együtt.

Gondolkodási módszerek Számtan, algebra Függvények, sorozatok Geometria Valószínőség, statisztika Év végi ismétlés Összesen:

11. oszt. 9 óra 12 óra 26 óra 12 óra 11 óra 4 óra 74 óra

12. oszt. 5 óra 10 óra 20 óra 20 óra 5 óra 6 óra 66 óra

Összesen 14 óra 22 óra 46 óra 32 óra 16 óra 10 óra 140 óra -19-

Célok és feladatok Az emelt szintő érettségi követelmény-rendszere tartalmazza a középszint követelményeit, ezért az elızıekben részletezett célok és feladatok itt is érvényesek. A különbség az, hogy ezek a célok és feladatok itt magasabb szinten kell, hogy megvalósuljanak. Konkrétan ez nehezebb, összetettebb feladatok megoldását, a bizonyítási kultúra fejlesztését, a matematikai szaknyelv pontosabb használatát, illetve a matematikai eredmények felhasználási lehetıségeinek ismeretét jelenti.

11. évfolyam Évi óraszám: 74 óra Új ismeretek feldolgozása Gondolkodási 3 óra módszerek Számtan, 4 óra algebra Függvények, 10 óra sorozatok Geometria, 4 óra mérés Valószínőség, 4 óra statisztika Év végi ismétlés Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 9 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív készség további fejlesztése.


Összesen

6 óra

2 óra

12 óra

14 óra

2 óra

26 óra

6 óra

2 óra

12 óra

6 óra

1 óra

11 óra

4 óra

9 óra

4 óra

Tartalom

A továbbhaladás feltételei A fogalmak és a kiKombinatorika: Véges halmaz permutációi, variációi számítási módok (ismétlés nélküli és ismétléses), ismét- ismerete; közepes lés nélküli kombinációi számának nehézségő feladatok meghatározása (bizonyítása) és alkal- megoldása. mazása. Binomiális tétel és alkalmazása. A gráf, mint modell A gráfokkal kapcsoGráfok: felhasználása gyakor- Pont, él, fok, út, kör, összefüggı gráf, latos fogalmak és lati problémák leírásá- fa definíciója. összefüggések ismeban. Az egyszerő gráf pontjainak foka és rete és egyszerő aléleinek száma, valamint a fa pontjai és kalmazásai. élei száma közötti összefüggés

-20-

Számtan, algebra Évi óraszám: 12 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematikai fogalom további lehetséges kiterjesztése a permanencia elv alapján. A többféle megoldás keresésének igénye. Az algoritmikus gondolkodás további fejlesztése. Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. A diszkusszió és az önellenırzés igényének fejlesztése.

Tartalom Hatvány, gyök, logaritmus: Irracionális kitevıjő hatvány értelmezése szemléletesen A logaritmus azonosságainak bizonyítása Egyenletek, egyenletrendszerek: Másodfokúra visszavezethetı egyenletek, egyenletrendszerek megoldása. Értelmezési tartomány, illetve értékkészlet-vizsgálattal, szorzattá alakítással, illetve négyzetre emeléssel megoldható feladatok Összetett exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek, egyenlıtlenségek, egyenletrendszerek Aritmetikai, geometriai, négyzetes, harmonikus közép fogalma; nagyságrendi viszonyaikra vonatkozó tételek és ezekkel kapcsolatos feladatok.

A továbbhaladás feltételei A logaritmus azonosságainak bizonyítása.

A témakörökhöz kapcsolódó közepes nehézségő feladatok megoldása

Függvények, sorozatok: Évi óraszám: 26 óra Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A függvényfogalom és Függvénytani fogalmak rendszerea függvényszemlélet zése: további fejlesztése. Függvények leszőkítése, kiterjesztése. Összetett függvény fogalma. Alapvetı függvények transzformáltjai: cf(ax+b)+d Korlátosság, konvexség, konkávság. Sorozatok: A számsorozat fogalma, jellemzése (korlátosság, monotonitás), a konvergencia szemléletes fogalma. A végtelen mértani sor fogalma, öszszege. A véges és a végtelen Az egyváltozós függvények analíziviszonyának vizsgála- sének elemei: ta. Végesben vett véges, végtelenben vett véges és a tágabb értelemben vett határérték szemléletes fogalma. A függvényvizsgálat Differenciálszámítás:

A továbbhaladás feltételei A függvénytani fogalmak definíciói. Összetett függvénytranszformá-ciók alkalmazása.

A fogalmak definícióinak ismerete. Egyszerőbb esetekben határérték megállapítása. A tanult függvénytí-21-

további mélyítése. A matematika kapcsolata a társtudományokkal; matematika- és fizikatörténeti összefüggések.

Geometria, mérés Évi óraszám: 12 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek

A differencia és a differenciálhányados. Összeg, konstansszoros, szorzat- és hányadosfüggvény deriválási szabályai és ezek alkalmazása. Összetett függvény deriválási szabálya és annak alkalmazása. Hatványfüggvény deriválási szabályának bizonyítása. Trigonometrikus függvények deriváltja. A differenciálszámítás alkalmazása: -érintı egyenletének felírása -szélsıérték-feladatok megoldása -polinomfüggvények (menet, szélsıérték, alak) vizsgálata

pusok deriváltjainak, a derválási szabályoknak az ismerete, egyszerőbb esetekben alkalmazása. Függvényvizsgálat deriváltfüggvény segítségével (fizikai alkalmazás).

Tartalom


Vektorok: Skalárszorzat kiszámítása koordinátákból. Trigonometria: Szinusz- és koszinusztétel bizonyítása és alkalmazása összetett feladatokban. Addíciós összefüggések alkalmazása. Adott probléma több- Koordinátageometria: féle megközelítésének A következı összefüggések levezetése igazolása és alkalmazása összetett feligénye. A bizonyítási kész-ség adatokban: további fejlesztése. -szakasz felezıpontjának, harmadoló pontjának koordinátái -háromszög súlypontjának koordinátái -síkbeli egyenesek egyenletei -kör egyenlete -két kör kölcsönös helyzete -körhöz külsı pontból húzott érintı egyenlete -parabola tengelyponti és a koordinátatengelyekkel párhuzamos tengelyő egyenlete

A tanult összefüggések, egyenletek levezetése. Több egymásra épülı lépésbıl álló feladatok megoldása.

-22-

Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 11 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A leíró statisztika és a valószínőség számítás gyakorlati szerepe, alkalmazása.

Tartalom

Leíró statisztika: Hisztogram készítése, adott hisztogramról adatok kiolvasása Adathalmazok egyesítése és átlaguk közöttiösszefüggés A valós helyzetek ér- A valószínőségszámítás elemei: telmezése, megértése Események egyesítésének, metszetének, komplementerének valószínősége, és értékelése. A körülmények kellı feltételes valószínőség, függetlenség, figyelembevétele. függıség és ezek alkalmazása. Modellalkotásra neve- A nagy számok törvényének szemlélelés. tes fogalma. Geometriai valószínőség. A binomiális eloszlás (visszatevéses modell) és a hipergeometriai eloszlás (visszatevés nélküli modell) tulajdonságai és ábrázolása. Várható érték, szórás fogalma és kiszámítása a diszkrét egyenletes és a binomiális eloszlás esetén. A binomiális eloszlás alkalmazása. A minta relatív gyakoriságának becslése a sokaság paraméterének ismeretében. Év végi ismétlés, rendszerezı összefoglalás Évi óraszám: 4 óra

A továbbhaladás feltételei Az alapvetı eljárások ismerete.

A fogalmak és összefüggéseik ismerete. Közepes nehézségő problémák elemzése, megoldása.

12. évfolyam Évi óraszám: 66 óra Új ismeretek feldolgozása Gondolkodási módszerek Számtan, 2 óra algebra Függvények, 8 óra sorozatok Geometria, 5 óra mérés Valószínőség, statisztika Év végi ismétlés


Összesen 5 óra

7 óra

1 óra

10 óra

10 óra

2 óra

20 óra

13 óra

2 óra

20 óra

4 óra

1 óra

5 óra

5 óra

1 óra

6 óra -23-

Gondolkodási módszerek Évi óraszám: 5 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek rendszerezése.


Tartalom

A továbbhaladás feltételei A halmazelméleti és logikai ismeretek Az elızı év(ek)ben kapcsolata, rendszerezése. felsorolt továbbhalaA kombinatorikai és gráfokkal kapcso- dási feltételek. latos ismeretek áttekintése.

Tartalom

Természetes számok: Számelméleti ismeretek rendszerezése Oszthatósági feladatok. Számok átírása 10-es alapú számrendszerbıl n alapúba és viszont. Valós számok: Bizonyítandó: 2 irracionális szám. Adott mőveletekre nézve zárt számhalmazok. A bizonyítási techniHatvány , gyök, logaritmus: kák ismétlése, pontosí- Egész kitevıjő hatványozás azonossátása. gainak bizonyítása (ismétlés). Mőveletek végzése A négyzetgyökvonás azonosságainak bizonyítása (ismétlés). algebrai kifejezésekIsmétlı, rendszerezı feladatok kel. Az a n − b n , illetve az a 2 m + 1 + b 2 m + 1 kifejezések szorzattá alakításának alkalmazása Tervszerő, pontos és Egyenletek, egyenletrendszerek: fegyelmezett munkára Paraméteres elsıfokú egyenletek. nevelés. Két- és három ismeretlenes elsıfokú Az algoritmikus gon- egyenletrendszerek. dolkodás további fej- Egyszerő kétismeretlenes lineáris palesztése. raméteres egyenletrendszerek Az absztrakciós és Másodfokú egyenletekre vonatkozó szintetizáló képesség tételek bizonyítása: fejlesztése. -megoldóképlet A diszkusszió és az -Viete-formulák önellenırzés igényéMásodfokú paraméteres feladatok nek fejlesztése. megoldása. Másodfokú függvényre vezetı szélsıérték-feladatok megoldása. Abszolutértékes egyenletek algebrai megoldása. Ismétlı, rendszerezı feladatok.


Az azonosságok alkalmazása összetett kifejezésekben. Bizonyítások ismerete.

Közepes nehézségő feladatok megoldása. Bizonyítások ismerete.

-24-

Függvények, sorozatok Évi óraszám: 20 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben.

A területszámítás axiomatizálása. A kétoldali közelítés hatékonyságának bemutatása a területszámításban.

Geometria, mérés Évi óraszám: 20 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek A korábban tanult ismeretek rendszerezése. A transzformációs szemlélet további fejlesztése.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei A tanult összefüggéSorozatok: A számtani és a mértani sorozat általá- sek levezetése; ösznos tagjára vonatkozó összefüggések, szetett feladatok valamint az összegképletek bizonyítása megoldása. és alkalmazása összetett feladatokban. A tanult fogalmak és Integrálszámítás: A határozott integrál fogalma, tulajazok jelentésének, donságai. valamint meghatároA területszámítás értelmezése. zási módjának ismeA kétoldali közelítés módszere. rete. Sokszögek, kör, parabolikus háromEgyszerőbb függvészög területe. nyek esetén görbe Az integrálfüggvény , a primitív függ- alatti terület kiszámívény. tása. Newton-Leibniz-tétel Grafikon alatti területek számítása polinomfüggvények, illetve szinusz és koszinusz függvények esetén.

Tartalom

Geometriai transzformációk: A tanult egybevágósági és hasonlósági trnszformációk ismétlı, rendszerezı alkalmazása. Térbeli egybevágósági transzformációk A merıleges vetítés definíciója, tulajdonságai, alkalmazása. A geometriai tételbiSíkbeli alakzatok: zonyítások technikájá- A következı tételek bizonyítása és nak fejlesztése. összetett feladatokban (ismétlés): Geometriai ismeretek -háromszögek nevezetes vonalaira, összekapcsolása; a pontjaira és köreire vonatkozótételek biztos számolási kész- -Pitagorasz tétele és megfordítása ség kialakítása. -magasság- és befogótétel -húrnégyszö, érintınégyszög tétele -konvex sokszög átlóinak száma, belsı és külsı szögeinek összege -kör érintıje merıleges az érintési pontba húzott sugárra, ill. körhöz külsı


A tanult tételek pontos ismerete és alkalmazása több témakört összekapcsoló feladatokban. Bizonyítások ismerete.

-25-

pontból húzott érintıszakaszok egyenlık -Thalész tétele és megfordítása Új: -kerületi és középponti szögek tétele -látókör fogalma és használata Kerület, terület: A háromszög, a nevezetes négyszögek, a szabályos sokszögek, a kör, a körcikk, a körszelet kerületének, területének kiszámítására használt képletek bizonyítása, alkalmazása. A térfogatszámítás Felszín, térfogat: axiomatizálása. A térfogatszámítás értelmezése. A térszemlélet további Hasáb, henger, gúla, csonkagúla, kúp, fejlesztése. csonkakúp térfogatának és felszínének meghatározása. Sík- és térgeometriai ismeretek összekapA forgástest térfogata. A gömb térfogata és felszíne. csolása. Összetett térgeometriai feladatok. Valószínőség, statisztika Évi óraszám: 5 óra Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom Rendszerezı összefoglalás, ismétlı feladatok.

Összetett térgeometriai feladatok megoldása. Egyszerő forgástestek térfogatának számítása integrállal.

A továbbhaladás feltételei Az elızı év(ek)ben felsorolt továbbhaladási feltételek.

Felkészülés az érettségire Évi óraszám: 6 óra

-26-

Ellenırzés - értékelés -

-

A tanulók felkészültségének ellenırzésére döntıen az írásbeli ellenırzés különbözı típusait alkalmazzuk. Emellett évenként és tanulónként legalább egy szóbeli feleletet is biztosítani kell. Az írásbeli ellenırzés típusai: - témazáró dolgozat, - témaközi összefoglaló dolgozat, - röpdolgozat. Témazáró dolgozatot minden nagy (a tantervben jelölt) témakör végén tervezünk, de évente legalább a heti óraszámmal egyenlı számú összefoglaló dolgozatot íratni kell. A témazáró dolgozat megírásának idıtartama 1 vagy 2 tanítási óra lehet. Témaközi összefoglaló dolgozatot egy nagy témakör önmagában lezárható részeinek öszszefoglalásakor javasolt íratni, 1 tanítási órának megfelelı idıtartamban. Röpdolgozatot az elızı 1-2 óra anyagából íratunk, kb. a szóbeli feleletek idıtartamában. Témazáró és témaközi összefoglaló dolgozatok estén a pontozásos értékelést javasoljuk. A teljesítmények érdemjeggyé történı átváltásánál a következı határokat javasoljuk: 0 - 29 % 30 - 49 % 50 - 74 % 75 - 89 % 90 - 100 %

elégtelen elégséges közepes jó jeles

Az osztályzat megállapításánál a témazáró dolgozat érdemjegyét kétszeres súlyozással, a többi érdemjegyet egyszeresen vesszük figyelembe. Témazáró és témaközi dolgozatot az egész csoporttal, míg röpdolgozatot egyénileg is írathatunk. Érdemjeggyel jutalmazhatunk órai szorgalmas munkát (vagy ennek bizonyíthatóan a nem tanulásból származó elmaradását), otthoni önálló munkát, projektmunkát is. A tanulók felkészültségének ellenırzését havi rendszerességgel, átlagosan legalább havi 1 érdemjegy adásával végezzük. Az osztályzatok megállapításánál az érdemjegyek súlyozott átlagát vesszük alapul. A kerekítés határát azonban módosíthatja a tanuló szorgalma, illetve az évközi teljesítmény változásának tendenciája. Az emeltszintő érettségire történı felkészítésben résztvevı diákok osztályzatát a két csoportban szerzett osztályzatoknak az óraszám szerint súlyozott átlagaként számítjuk. Mivel a tantárgyi követelmények elsajátításának elengedhetetlen feltétele az otthoni tanulás, gyakorlás, ezért a házi feladatok kijelölése minden órán ajánlott és ezek elkészítése minden tanuló számára kötelezı. -27-

A taneszközök kiválasztásának elvei: Tankönyvek: - lehetıség szerint a tananyag egészét tartalmazzák, - didaktikai szempontból a korosztálynak, ill. a tanulók elıképzettségének megfelelı legyen. Feladatgyőjtemények: - legyen olyan, ami segíti a kimeneti vizsgákra való felkészülést, eléri azok színvonalát, és alkalmas a felkészülés tesztelésére, - legyen olyan is, ami alkalmas az önálló tanulásra (tematikusan szerkesztett, megoldásokat tartalmazó). Egyéb taneszközök: - törekedni kell a különbözı szemléltetıeszközök használatára, - a lehetıségekhez mérten javasolt a különbözı számítógépes szoftverek felhasználása az órai munkában, illetve az otthoni vagy projektmunkák esetén (pl. statisztikai feladatok), - ajánlott a szakirodalom minél több hasznos és érdekes munkájának felhasználása a tanítási - tanulási folyamatban.

Az érettségi vizsga leírása matematikából Középszintő vizsga A középszintő matematika érettségi 180 perces írásbeli vizsga. Szóbeli vizsgát azok a tanulók tehetnek, akiknek az írásbeli vizsgájuk sikertelen, de az írásbeli vizsgapontszám 10%-át elérték. Mindkét vizsgán használható függvénytáblázat és számológép. Írásbeli vizsga Tartalmi szerkezet A feladatsor összeállításakor az alábbi tartalmi arányok az irányadók: Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 20% Aritmetika, algebra, számelmélet 25% Függvények, az analízis elemei 15% Geometria, koordinátageometria, trigonometria 25% Valószínőségszámítás, statisztika 15% A feladatsor feladatainak 30-50%-a a hétköznapi élet problémáiból indul ki, esetenként egyszerő modellalkotást igénylı feladat. A feladatsor jellemzıi Két különálló részbıl áll. I. rész: 10-12 feladatot tartalmazó feladatlap, amely az alapfogalmak, definíciók, egyszerő összefüggések ismeretét hivatott ellenırizni. Megoldási idı 45 perc. Elérhetı pontszám összesen 30 pont. II./a rész: 4, egyenként 12 pontos feladat, amelybıl hármat kell megoldani. II./b rész:3, egyenként 17 pontos feladat, amelybıl kettıt kell megoldani. Összetett feladatok, több témakört érintenek, több részkérdésbıl állnak. Megoldási idı összesen 135 perc. Elérhetı pontszám összesen 70 pont. Az írásbeli vizsgán elérhetı pontszám 100 pont. -28-

Szóbeli vizsga Legalább 20 tétel közül kell húzni. A tételsor tartalmi arányai az írásbeli vizsgánál meghatározott arányokat kell, hogy tükrözzék. A tétel tartalmaz 3 egyszerő elméleti kérdést (definíciót, tételkimondást), valamint 3 feladatot. A tétel egyes elemei más-más témakörbıl kerülnek kiválasztásra. Értékelés: A szóbeli vizsgán elérhetı pontszám 50 pont. Az értékelés szempontjai 1. Az elméleti kérdések összesen 15 pont 2. A három feladat összesen 30 pont 3. Önálló teljesítményre való képesség, a feladatok logikus elıadása, ill. a matematikai kommunikációs képesség 5 pont A szóbeli vizsgát is tett tanuló végsı értékelése az írásbeli és a szóbeli vizsga együttes pontszáma alapján történik. Emelt szintő vizsga Az emelt szintő matematika érettségi vizsga 240 perces írásbeli vizsgából és legfeljebb 20 perces szóbeli vizsgából áll. Mindkét vizsgán használható függvénytáblázat és számológép. Írásbeli vizsga Tartalmi szerkezet A feladatsor összeállításakor az alábbi tartalmi arányok az irányadók: Gondolkodási módszerek, halmazok, logika, kombinatorika, gráfok 25% Aritmetika, algebra, számelmélet 20% Függvények, az analízis elemei 20% Geometria, koordinátageometria, trigonometria 20% 15% Valószínőségszámítás, statisztika A feladatsor feladatainak 30-40%-a szöveges, a hétköznapi élet problémáiból kiinduló, egyszerő modellalkotás alkalmazását igénylı feladat. A feladatsor jellemzıi A feladatsor folyamatosan megoldandó, két különbözı részbıl áll. I. rész: 4 feladatból áll. Ezek az emelt szintő követelmények alapján egyszerőnek tekinthetık. Elérhetı összpontszám 51 pont. II. rész: 5 egyenként 16 pontértékő feladat, amibıl négyet kell kiválasztani és megoldani. Ezek közül legalább kettıben a gyakorlati életben elıforduló szituációkból származik a probléma. Elérhetı összpontszám 64 pont. Az írásbeli vizsgán elérhetı összpontszám 115 pont. Szóbeli vizsga Legalább 20 tétel közül kell húzni. A tételsor tartalmi arányai az írásbeli vizsgánál meghatározott arányokat kell, hogy tükrözzék. A tételek jellemzıi Az egyes tételek egy-egy témakörbıl kerülnek összeállításra. Minden tétel megköveteli a tanulótól - egy definíció kimondását, - egy tétel bizonyítását, - egy feladat megoldását, -29-

-

valamint, hogy mondjon példát az adott témakör alkalmazására a matematikán belül vagy azon kívül. Értékelés A szóbeli vizsgán elérhetı pontszám 35 pont. Az értékelés szempontjai: 1. Az elméleti kérdések és a feladat összesen 25 pont 2. Az alkalmazásra mutatott példa 5 pont 3. Az önálló teljesítményre való képesség, a feladatok logikus elıadása, ill. a szaknyelv használata és a matematikai kommunikációs képesség 5 pont

A matematika tantervének kapcsolódása az iskola környezeti nevelési programjához A matematika olyan alkalmazott tudomány, ami sok területen nyújt modellt, módszert, gondolkodásmódot bizonyos problémák leírására, megoldására. A matematika tantárgy tanításának egyik fontos célja is az, hogy ezeket a lehetıségeket megmutassuk diákjainknak. Ebbıl következıen a matematika tanítása során leginkább az iskola környezeti nevelési programjában meghatározott célok eléréséhez szükséges készségek kialakításában vállalhatunk feladatot. Az itt megjelölt és szükségesnek ítélt készségek közül a következıket emeljük ki: - Az alternatív, problémamegoldó gondolkodás képességének kialakítása a mi tantárgyunk esetén is az egyik legfontosabb fejlesztési tevékenység. - A rendszerszemlélet logikai alapjai is a matematikáig nyúlnak vissza. - Az értékelés és mérlegelés készsége, képessége is a matematikai logikára, gondolkodásmódra épül. - Mivel a beszélt nyelv és a matematika logikai rendszere között nagyon szoros kapcsolat van, ezért a szövegértés fejlesztésében a nyelvi órák mellett talán a matematika órák segíthetnek a legtöbbet. - Reméljük sikerül megmutatni tanulóinknak, hogy a matematika egy olyan nyitott rendszer, ami mindig kész megfelelni a felhasználói területek kihívásainak és egy ilyen dinamikusan változó rendszerhez - akár csak a megértés szintjén is - csak egész életen át tartó, hatékony tanulás képességével lehet közelférkızni. Ezen készségek kimunkálásának lehetıségét szinte valamennyi témakörben megtaláljuk, gyakorlati megvalósítására pedig szinte minden órán találunk módot.

-30-

MATEMATIKA TANTERV Bevezetés Összesen: 432 óra Célok és feladatok

Recommend Documents