6. Matematika tanterv-kiegészítés Szakközépiskola Célok és feladatok

160 6.

Matematika tanterv-kiegészítés

6.1. Szakközépiskola 6.1.1 Célok és feladatok - A tanulók önálló, rendszerezett, logikus gondolkodásának kialakítása, fejlesztése. Ennek eléréséhez fokozatosan kiépítjük a matematika belső struktúráját (fogalmak, axiómák, tételek, bizonyítások elsajátítása), és a tanultakat változatos területeken alkalmazzuk - a pontos fogalomalkotás- melyet a tanulók számára a problémák felvetése tegyen indokolttá. - a tanulók absztrakciós és szintetizáló képességének fejlesztése; - a kombinatív készség, a kreativitás fejlesztése; - a problémahelyzetek önálló, megfelelő önbizalommal történő megközelítésének és megoldásának fejlesztése; ( Ezeket szolgálják: a célszerű, új fogalmak alkotása, az összefüggések felfedezése és az ismeretek feladatokben való alkalmazása.) - a tanulók matematizáló, modellalkotó tevékenységének fejlesztése; - a megfogalmazott összefüggések, hipotézisek bizonyítási igényének kialakítása; - a matematika hasznosságának, belső szépségének, az emberi kultúrában betöltött szerepének megmutatása; - a tanulók térbeli tájékozódásának esztétikai érzékének fejlesztése; - segítséget nyújtani (a matematika hagyományos és modern eszközeinek segítségével) a természettudományok, az informatika, a technikai, a humán műveltségterületek, a választott szakma ismeretanyagának tanulmányozásához, a mindennapi problémák értelmezéséhez, leírásához és kezeléséhez; - támogatni az elektronikus eszközök (zsebszámológép, számítógép, grafikus kalkulátor, inernet stb.) célszerű felhasználásának megismerését, alkalmazásukat; - a tanulókat képessé kell tenni a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, arra, hogy töreked-jenek az önellenőrzésre, legyenek képesek várható eredmények becslésére

161 - a pozitív motiváltság biztosítása, az önállóság fejlesztése;(ebben a törekvésben fontos terü-let a matematika alkalmazásának, eszköz jellegének sokoldalú bemutatása és a tanításban való érvényesítése) - tanításunkban egyre inkább a tárgy deduktív jellege kapjon hangsúlyt (bár továbbra sem nélkülözhető a szemléletre és tevékenységre épülő feldolgozás sem; - váljanak képessé a középszintű, valamint az emelt szintű érettségi vizsga sikeres letételére; Fejlesztési követelmények: Az elsajátított matematikai fogalmak alkalmazása. A matematikai szemlélet fejlesztése - a korábban szemléletesen, tevékenységek segítségével kialakított fogalmak megerősítése, bizonyos fogalmak definiálása, általánosítása; - a különböző témakörökben megismert összefüggések feladatokban, gyakorlati problémák-ban való alkalmazása, más témakörökben való felhasználhatóságának felismerése és alkalmazásképes tudása révén a tanulók matematizáló tevékenységének fejlesztése; - a valós számkör biztos ismerete, az e számkörben megismert műveletek gyakorlati és elvontabb feladatokban való alkalmazása ;( a számításoknál fontos a zsebszámológép, a számítógép biztos használata, a számítógép alkalmazása!) - a műveleteknek az algebrai kifejezések és a vektorok körében való értelmezése és használata; - az elemi függvények ábrázolása koordinátarendszerben és a legfontosabb függvénytulajdonságok meghatározása (nemcsak a matematika, hanem a természettudományos tárgyak megértése miatt, különböző gyakorlati helyzetek leírásának érdekében is); - a dinamikus geometriai szemlélet fejlesztése : a geometriai ismeretek bővítésével, a megismert geometriai transzformációk rendszerezettebb tárgyalásával; - a gyakorlat szempontjából fontos trigonometriai számítások ( távolságok, szögek meghatározása útján);

162 - a térszemlélet, az analógiás gondolkodás fejlesztése a sík-és térgeometriai fogalmak és tételek által. (A terület-,felszín-, térfogatszámítás más tantárgyakban is elengedhetetlenül fontos!) - a koordinátageometria elemeinek tanításával megmutathatjuk a matematika különböző területeinek összefüggéseit,s így a matematika komplexitását; - A következtetési, a bizonyítási készség fejlesztése hangsúlyos ennél a korosztálynál. A “ha…, akkor…”, az “akkor és csak akkor” helyes használata az élet számos területén fontos. Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban - Fontos feladat a problémaérzékenységre, a problémamegoldásra nevelés (ehhez elengedhetetlen egyszerű matematikai szövegek értelmezése, elemzése ,s az, hogy a tanulók minél többször önállóan oldjanak meg feladatokat.) - aktívan vegyenek részt a tanítási, tanulási folyamatban; - A diszkussziós képesség fejlesztése, a többféle megoldás keresése, megtalálása és megbeszélése a logikus gondolkodást is fejleszti. - Az élet és a különböző tudományok megértéséhez a gyakorlatban fontos témák megismerése, pl. a geometriai számítások, a leíró statisztika és valószínűségszámítás elemeinek alkalmazása igen hasznos.Ez megmutatja a tanulók számára a matematika használhatóságát. (El kell érnünk, hogy az érettségi előtt állók e területen bizonyos gyakorlottságra tegyenek szert.) Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása: - A deduktív következtetések az induktív módszer mellett nagyobb szerepet kapnak. A tanítandó anyagban sejtéseket fogalmazunk (fogalmaztatunk) meg, melyek néhány lépésben bizonyíthatók vagy megcáfolhatók. - Fontos a bizonyítás iránti igény felkeltése. Sor kerül néhány egyszerű tétel bizonyítására, bizonyítási módszerek megismerésére, valamint a fogalmak, szabályok pontos megfogalmazására.

163 - A matematikatanításban alapvetően fontos az absztrakciós képesség fejlesztése. - A matematika komplexitását mutatja meg a 12.évfolyamon való rendszerező összefoglaláskor az elemi halmazelméleti és logikai ismeretek alkalmazása különböző témakörökben, valamint egyszerű modellek (pl. gráfok) szerepeltetése. - A logikus gondolkodás a problémamegoldásban, az algoritmikus eljárások során és az alkalmazásokban egyaránt lényeges.(néhány lépéses algoritmusok készítése az informatika tanulmányozásához is fontos) - Szemléltető ábrák és egyéb eszközök alkalmazása ezen időszakban is elengedhetetlen. (geometriában, trigonometriában, kombinatorikában és statisztikában is) Az alkalmazásképes tudást fejleszthetjük az adatsokaságok különböző jellemzési lehetőségeinek megis-mertetésével. Helyes tanulási szokások fejlesztése: - A gyakorlati számítások során alkalmazott újabb ismeretek egyre fontosabbá teszik az elektronikus eszközök célszerű használatát. - Elengedhetetlen a becslés, a kerekítés, az ellenőrzés különböző módjainak az alkalmazása a közelítő értékekkel való számoláshoz. - Megkívánjuk a szaknyelv pontos használatát, a jelölésrendszer helyes alkalmazását. - A matematikai szöveg értő olvasása, tankönyvek, lexikonok használata, szövegekből a lényeg kiemelése, a helyes jegyzeteléshez szoktatás a felsőfokú tanulást is segíti. - A helyes érvelésre szoktatással sokat tehet a matematikatanítás a kommunikációs készség fejlesztéséért. - Nagyon fontos elérnünk, hogy a tanulók meg tudják különböztetni a definíciót, a sejtést és a tételt. Matematikatudásról akkor beszélhetünk, ha a definíciókat, tételeket alkalmazni is tudja a tanuló. - Nem hagyhatjuk figyelmen kívül, hogy a matematika a kultúrtörténet része. Komoly motiváció lehet tanításunkban a matematikatörténet egy-egy mozzanatának megismertetése, a máig meg nem oldott, egyszerűnek tűnő matematikai sejtések megfogalmazása, nagy matematikusok élete, munkássága. Ehhez segítséget ad a könyvtár és az internet használata is.

164 II. A fejlesztési feladatok, tevékenységek, tartalom és továbbhaladási feltételek évfolyamonként: 6.2

Nyelvi előkészítő évfolyammal induló osztály

74 óra Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A szemléletes fogalmak A megismert számhalmadefiniálása, tudatosítása. zok, ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmazképzés, két halmaz különbsége. Módszer keresése az összes kombinatorikai feladatok, eset áttekintéséhez. az összes eset áttekintése. A szükséges és elég-séges Az „akkor és csak akkor” feltétel megkülön-böztetése. használata – (folyama-tos). Tétel és megfordítása (folyamatos).

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racio-nális számkörben.

Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Algebra és számelmélet: Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A fogalom célszerű kiter- A hatványozás értelme-zése jesztése, a számok 0 és negatív egész kitevőre, nagyságrendjének tudá-sa. a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Algebrai kifejezések osztályozása (változók szá-ma, fokszám, tagok száma szerint) Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; (a ± b ) 2 , a 2 − b 2 ,

(a ± b )3 , a 3 − b 3 A szorzattá módszerei

alakítás (kiemelés,

A továbbhaladás feltételei Az azonosságok isme-rete és alkalmazásuk.

Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonossá-gok alkalmazása.

165

Fejlesztési feladatok, tevékenységek Műveletek végzése számokkal és algebrai kifejezésekkel, a szak-nyelv használata. A matematika iránti érdeklődés erősítése az elemi számelmélet alap-vető problémáival és matematikatörténeti vonatkozásaival.

nevezetes azonosságok alkalmazása.) Tartalom Azonosságok alkalma-zása egyszerű algebrai törtekkel végzett műve-leteknél. Egyes változók kifejezé-se fizikai, kémiai kép-letekben. Relatív prímek, oszthatósági feladatok, a prímszámok száma, pél-da számrendszerekre. A legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többszörös

A továbbhaladás feltételei A négy alapművelet egyszerű algebrai törtekkel. 3-mal, 9-cel való oszthatóság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása.

Függvények: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések sza-bályként való értelmezése. A megfelelő keresése.

Tartalom

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény; abszolútérték függvény; másodfokú függvény; modell a négyzetgyök függvény; gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény); a fordított arány , a x→ . x

Célszerű eszközhasz-nálat

Függvénytranszformá-ciók. Egyszerű egyenletek grafikus megoldása.

A továbbhaladás feltételei Tudjon a derékszögű koordinátarendszerben ponthalmazokat, egyszerű függvényeket ábrázolni. Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.

166 Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Fejlesztési feladatok, tevékenységek Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése, értő szövegolvasás.

Tartalom

A továbbhaladás feltételei

Egyenlet, azonosság fogalma. Egyenletek értelmezési tartományának és értékkészletének vizsgálata. Egyenletek algebrai és grafikus megoldása. Egyenlőtlenségek Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre veze-tő szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás.

Egyszerű egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlat-ban.

A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Halmazok : (7) - halmaz, részhalmaz, komplementer halmaz,Venndiagram; - számhalmazok :N;Z;Z+;Q;R; - ponthalmazok,mértani hely fogalma; - halmaz műveletek (unió, metszet, különbség); - /kieg.:,Descartes-féle szorzat,halmaz műveleti azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás vizsgálata/; - pontok, ponthalmazok jellemzése számokkal, rendezett számpárokkal. 2.) A számelmélet elemei, hatványozás: ( 8) - számelméleti alapfogalmak: osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás; - a legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, relatív prímek; - oszthatósági szabályok (2-vel, 5-tel, 4-gyel, 3-mal, 9-cel); - a pozitív egész, 0, negatív egész kitevőjű hatvány értelmezése; - a számok normálalakja.

167 3.) Polinomok, algebrai törtek: (18) - a polinom fogalma, polinomok összevonása (fokszám, egynemű, különnemű kifejezések) - polinomok szorzása, osztása, műveleti azonosságok; - nevezetes szorzatok; - polinomok hatványozása; - polinomok szorzattá alakítása; - az algebrai tört fogalma, értelmezési tartománya; - algebrai törtek összevonása, szorzása, osztása. 4.) Függvények: (15) - halmaz leképezése halmazba, halmazra; - egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, a függvény definíciója (Df; Rf ); - függvények megadása, jelölése, két függvény azonossága; - függvények ábrázolása; - a lineáris függvény; - az egyenes arányosság; - a fordított arányosság; - egyéb függvények ábrázolása ( törtfüggvény, parabola, abszolútérték függvény, egészrész, törtrész, sgnx függvény) 5.) Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek: (20) - lineáris egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek; - abszolútértéket tartalmazó egyenletek; - törtes egyenletek; - egyenlőtlenségrendszerek, törtes egyenlőtlenségek, - a lineáris kétismeretlenes egyenlet, egyenletrendszer fogalma; - a lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus és algebrai megoldása; - szöveges feladatok megoldása.

168 9.) Ismétlés, jegyek lezárása: Minimum követelmények 9.F. témakör Halmazok

tartalom -Halmazok megadása -halmazok egyenlősége -rézhalmaz, üres hal-maz -egyesítés, metszet, különbség, Venn-diagram -ponthalmazok, mértani hely -ábrázolás koordinátarend-szerben Számhalmazok: Természetes, egész, racionális, irracionális számok halmaza

-Oszthatósági alapfoA számelmélet galmak, prímszám, elemei, hatványozás összetett szám, legnagyobb közös osztó, legkisebb közös többAlgebrai egész és szörös, egyszerű oszttörtkifejezések hatósági szabályok - hatványozás (pozitív egész, nulla és negatív egész kitevőre), a hatványozás azonosságai, a számok normálalakja -Algebrai kif. fogalma, összevonás, kifejezés számértéke, alg.-i kif.-k szorzása, osztása, egyszerűsítése - törtkifejezések értelmezési tartománya -nevezetes azonossá-gok -szorzattá alakítás

követelmények -Tudjon egyszerű művele-teket végezni halmazokkal -tudja az alapműveleteket szemléltetni Venn-diagram segítségével - ismerje a Descartes-féle derékszögű k.-r.-t,

Javasolt feladatok Fgy.:1/1.-12. 39-43; 44-50. 70.

Legyen tájékozott a valós számkörben! (készség szinten tudjon alapműveleteket elvégezni, ismerje a műveletek azonosságait, tudja használni a számológépet) - A számok prímtényezőkre való bontása, lnko. és lkkt. meghatározása - a 2-es alapú számrendszer kapcsolata a 10-es alapú számrend-szerrel.

Fgy.:1/16-20;28; 29; 31;32

-A négy alapművelet egyszerű algebrai kifejezé-sekkel, szorzattá alakítás, egyszerűsítés -Nevezetes azonosságok (összeg, különbség négy-zete, négyzetek kül.-sége) alkalmazása

Fgy.: III/1;2;519;20;34; 48;52; 55;56;57;70;7478; IV/13;4;5;6;9;10;19/ah; 20;21;23/ae;28;35; 36; 37; 47;48; 49/a-f; 52./a55; 56./ak;58;59;60;61/ag;

169 témakör Függvények

Egyenletek

Tartalom -Halmaz leképezése halmazba, halmazra. -Egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárende-lés -A függvény definíciója -Függvények megadása, jelölése -Függvényábrázolás -A lineáris függvény, meredekség, monotoni-tás -egyenes és fordított arányosság -hiperbola, szakadás - parabola, abszolútérték, négyzetgyök függvény -töréspont, szélsőérték

követelmények -Alapfogalmak ismerete: értelmezési tartomány, képhalmaz, értékkészlet, hozzárendelés, zérushely - Tudjon képlettel adott lineáris függvényt táblázat nélkül ábrázolni. -Tudjon alapfüggvényeket ábrázolni -Ismerje az alapfüggvé-nyek tulajdonságait - Ismerje a különböző megadási módok közötti kapcsolatot (tudjon táblázathoz grafikont, esetleg képletet alkotni stb.) -Ismerje a legegyszerűbb függvénytranszformációkat -Megoldási módszerek: Egyenletek, egyenlőtlenmérlegelv, grafikus msz. ségek megoldása - azonos átalakítások - egyenletek alkalmazása szöveges feladatok megoldásában -lineáris egyismeretlenes egyenletek, egyenlőtlenségek -abszolútértéket tartalma-zó egyenletek - egyszerű törtes egyenle-tek -Fizikai, matematikai képletekben szereplő válto-zók kifejezése - „és”, „vagy” a matematikában

Javasolt feladatok II/1-5; 8.;9;11;12;13; 14/a-d;16; 20

Fgy. V./13.;4.;5;6;7;8; 11/ad;13/a-d,f,g,h,i; 17; 18/a-j; 23-31;35;37; 40;41; 46, 47, 50,51, 52, 53, 56, 58, 59, 63, 64, 71,72, 74,76,77,85

170 6.2.1 A 9. évfolyam Évi óraszám: 129,5 Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A szemléletes fogalmak de- A megismert számhalmafiniálása, tudatosítása. zok, ponthalmazok áttekintése, véges és végtelen halmazok, az intervallum fogalma. Halmazműveletek: unió, metszet, részhalmazképzés, két halmaz különbsége. Módszer keresése az összes kombinatorikai feladatok, eset áttekintéséhez. az összes eset áttekintése. A szükséges és elégséges Az „akkor és csak akkor” feltétel megkülönböztetése. használata – (folyamatos). Tétel és megfordítása (folyamatos).

A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a racionális számkörben.

Részhalmaz, unió, metszet, két halmaz különbsége.

Számtan, algebra: Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek A fogalom célszerű kiter- A hatványozás értelmezése jesztése, a számok nagyság- 0 és negatív egész kitevőre, rendjének tudása. a hatványozás azonosságai; számok abszolút értéke, normál alakja. Nevezetes azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás; 2 2 (a ± b ) , a − b 2 , 3

(a ± b ) , a 3 − b 3 szorzat

A továbbhaladás feltételei Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk.

Számok abszolútértéke, normál alakja. A másodfokú azonosságok alkalmazása.

alakja. Fejlesztési feladatok, Tartalom A továbbhaladás feltételei tevékenységek Műveletek végzése számok- Ezen azonosságok alkalma- A négy alapművelet egyszekal és algebrai kifejezések- zása egyszerű algebrai tör- rű algebrai törtekkel. kel, a szaknyelv használata. tekkel végzett műveletek-

171

Algoritmikus gondolkodás és a gyakorlati problémák modellezése,értő szövegolvasás.

A rendszerezőképesség fejlesztése. A matematika iránti érdek-lődés erősítése az elemi számelmélet alapvető prob-lémáival és matematikatör-téneti vonatkozásaival.

nél. Egyes változók kifejezése fizikai, kémiai képletekben. A lineáris egyenletek megoldásának áttekintése. Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldása. Egyenletrendszerre vezető szöveges feladatok, százalékszámítás, kamatszámítás, példák többismeretlenes egyenletrendszerre. Abszolútértékes egyenletek Relatív prímek, oszthatósá-gi feladatok, a prímszámok száma, példa számrendsze-rekre.

Egyszerű egyenletrendszerek biztos megoldása. A százalékszámítás alkalmazása a gyakorlatban.

3-mal, 9-cel való osztható-ság ismerete. Számok prímtényezőkre való bontása.

Függvények, sorozatok: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényszemlélet fejlesztése: a hozzárendelések szabályként való értelmezése.

Tartalom

Fejlesztési feladatok, tevékenységek Célszerű eszközhasználat

Tartalom

A függvény fogalma, elemi tulajdonságai; a lineáris függvény; abszolútérték függvény; másodfokú függvény; A megfelelő modell keresé- a négyzetgyök függvény; se. gyakorlati példák további függvényekre (egészrész-, törtrész-, előjelfüggvény); a fordított arány , a x→ . x

Függvénytranszformációk Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása.

A továbbhaladás feltételei Az alapfüggvények tulajdonságainak ismerete. Képlettel megadott függvény ábrázolása értéktáblázat segítségével.

A továbbhaladás feltételei Az alapfüggvények transzformációja egy lépés esetén.

172 Geometria: Fejlesztési feladatok, Tartalom tevékenységek Tájékozottság a megismert Geometriai alapfogalmak, síkidomok tulajdonságaiban háromszögekkel, négyszögekkel, sokszögekkel kapcsolatos ismeretek kiegészítése, rendszerezése. Sejtések megfogalmazása, A háromszög nevezetes voúj összefüggések felfedezé- nalai, beírt köre, körülírt se, bizonyítási igény kiala- kö-re. kítása.

A továbbhaladás feltételei Speciális háromszögek, négyszögek és szabályos sokszögek tulajdonságainak ismerete. A nevezetes vonalak ismerete, a háromszög beírt és köréírt körének ismerete.

Thalész tétele, a kör és érin- A körrel kapcsolatos fogaltői, érintősokszög fogalma. mak és az érintő tulajdonságának ismerete. A transzformációk, mint függvények értelmezése, a matematika különböző területei közötti kapcsolatok keresése. Síkbeli tájékozódás, tervezés, a konstrukciós, diszkussziós igény kialakítása, sokoldalú szemléltetés, szerkesztőprogramok megismerése.

A tengelyes és középpontos tükrözés, az eltolás áttekintése, rendszerezése, példa további egybevágósági transzformációra.(pont körüli elforgatás) A forgásszög fogalma, ívmérték, a kör középponti szöge, körív hossza, körcikk kerülete, területe. Egyszerű szerkesztési feladatok.

A megismert transzformációk tulajdonságainak felhasználása egyszerű, konkrét esetekben.

Valószínűség, statisztika Fejlesztési feladatok, tevékenységek A statisztikai adatok helyes értelmezése.

Tartalom Statisztikai adatok és ábrázolásuk (kördiagram, oszlopdiagram stb.), számtani közép, medián, módusz; adatok szóródásának mérése

A továbbhaladás feltételei Számsokaság számtani közepének kiszámítása, a középső érték (medián) és a leggyakoribb érték (módusz) ismerete. Kördiagram, oszlopdiagram adatainak értelmezése.

173 A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Halmazok : (7) - halmaz, részhalmaz, komplementer halmaz,Venn-diagram; - számhalmazok :N;Z;Z+;Q;R; - ponthalmazok,mértani hely fogalma; - halmaz műveletek (unió, metszet, különbség); - /kieg.:,Descartes-féle szorzat,halmaz műveleti azonosságok: kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás vizsgálata/; - pontok, ponthalmazok jellemzése számokkal, rendezett számpárokkal. 2.) Függvények: (19) - halmaz leképezése halmazba, halmazra; - egyértelmű, kölcsönösen egyértelmű hozzárendelés, a függvény definíciója (Df; Rf ); - függvények megadása, jelölése, két függvény azonossága; - függvények ábrázolása; - a lineáris függvény; - az egyenes arányosság; - a fordított arányosság; - egyéb függvények ábrázolása ( törtfüggvény, parabola, abszolútérték függvény, egészrész, törtrész, sgnx függvény) 3.) A számelmélet elemei, hatványozás: ( 11) - számelméleti alapfogalmak: osztó, többszörös, prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás; - a legkisebb közös többszörös, legnagyobb közös osztó, relatív prímek; - oszthatósági szabályok (2-vel, 5-tel, 4-gyel, 3-mal, 9-cel); - a pozitív egész, 0, negatív egész kitevőjű hatvány értelmezése; - a számok normálalakja. 4.)Polinomok, algebrai törtek: (14) - a polinom fogalma, polinomok összevonása (fokszám, egynemű, különnemű kifejezések) - polinomok szorzása, osztása, műveleti azonosságok; - nevezetes szorzatok; - polinomok hatványozása;

174 - polinomok szorzattá alakítása; - az algebrai tört fogalma, értelmezési tartománya; - algebrai törtek összevonása, szorzása, osztása. 5.) Egyenletek, egyenletrendszerek: (26) - lineáris egyismeretlenes egynletek, egyenlőtlenségek; - abszolútértéket tartalmazó egyenletek; - törtes egyenletek; - egyenlőtlenségrendszerek, törtes egyenlőtlenségek, paraméteres egyenletek, abszolútértéket tartalmazó egynlőtlenségek; - a lineáris kétismeretlenes egyenlet, egyenletrendszer fogalma; - a lineáris kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus és algebrai megoldása; - szöveges feladatok megoldása. 6.) Geometria: (27) - geometriai alapfogalmak (szögek, szögpárok, térelemek távolsága); - alapszerkesztések; - a háromszögek szögeire, oldalaira vonatkozó összefüggések; - a szakaszfelező merőleges, a háromszög köré írható kör; - a tengelyes tükrözés, tengelyesen szimmetrikus alakzatok; - a szögfelező, a háromszögbe írható kör; - Thalész tétele; - a kör érintője, érintőnégyszög; - a pontra vonatkozó tükrözés, középpontosan szimmetrikus alakzatok; - a paralelogramma, a háromszög, a trapéz középvonala; - a háromszög magasságvonalai, magasságpontja; - az eltolás, vektorok, vektorműveletek(összeadás, kivonás, skalárral való szorzás; - a pont körüli elforgatás; - a szög mérése, a forgásszög, a középonti szög; - a körív hossza, a körcikk területe; - a háromszögek egybevágósága; - a háromszöghöz írható körök, két kör közös külső, belső érintői;

175

7.) Valószínűség, statisztika: - statisztikai alapfogalmak; - középértékek, számtani közép, súlyozott számtani közép; - a szóródás mérőszámai. 8.) Dolgozatok:

( 8)

( 8)

9.) Ismétlés:

( 9,5)

10. évfolyam Évi óraszám: 111

Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A köznapi gondolkodás és a matematikai gondolkodás megkülönböztetése. Bizonyítási igény további fejlesztése.

Tartalom

A továbbhaladás feltétele

Tétel és megfordítása. A csak kimondott, illetve be Bizonyítási módszerek, jel- is bizonyított összefüggések legzetes gondolatmenetek megkülönböztetése. (indirekt módszer, skatulyaelv). Változatos feladatok.

kombinatorikai Egyszerű sorbarendezési és kiválasztási feladatok konkrét elemszám esetén.

Számtan, algebra: Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

A permanencia elve a szám- A valós szám szemléletes fogalom bővítésében. fogalma, kapcsolata a számegyenessel, a valós számok tizedestört alakja, példák ir-

A továbbhaladás feltétele Tájékozottság a valós számok halmazán, a racionális és irracionális számok tizedestört alakja, nevezetes ir-

176

A megoldás keresése többféle úton, tanulói felfedezések, önálló eljárások keresése. Az algoritmikus gondolkodás fejlesztése. A matematika eszközként való felhasználása gyakorlati és természettudományos problémák megoldásában.

racionális számokra.

racionális számok ismerete.

A négyzetgyökvonás azonosságai, az n-dik gyök fogalma. A másodfokú egyenlet megoldása, a megoldóképlet, gyöktényezős alak, gyökök és együtthatók összefüggése, összefüggés két pozitív szám számtani és mértani közepe között. Másodfokú egyenletre vezető szöveges feladatok.

A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása egyszerű esetekben.. A megoldóképlet biztos ismerete és alkalmazása. Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma.

Fejlesztési feladatok, Tevékenységek Diszkussziós igény az algebrai feladatoknál. Az algebrai és grafikus módszerek együttes alkalmazása a problémamegoldásban.

Tartalom

Különböző típusú egysze-rű szöveges feladatok megoldása.


Ekvivalens és nem ekviva- Egyszerű négyzetgyökös lens lépések egyenletek át- egyenlet megoldása. alakításánál, egyszerű A megoldások ellenőrzése. négyzetgyökös egyenletek. Másodfokú egyenlőtlenség megoldása.

Függvények, sorozatok: Fejlesztési feladatok, Tevékenységek Új függvénytulajdonságok megismerése, függvénytranszformációk további alkalmazása. A négyjegyű függvénytáblázatok és matematikai öszszefüggések célszerű használata.

Tartalom


forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, összefüggés a szög szögfüggvényei között. A szögfüggvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás,értékkészlet), a függvények ábrázolása

A szögfüggvények definíciójának ismerete, az x → sin x és x → cos x függvények ábrázolása és tulajdonságai.

Tartalom


A

Geometria: Fejlesztési feladatok, Tevékenységek

177 A transzformációs szemlélet A hasonlósági transzformá- A hasonlóság szemléletes fejlesztése. ció, síkidomok hasonlósága. tartalmának ismerete, a középpontos nagyítás és kicsinyítés alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Kreatív problémamegoldás. A háromszögek hasonlósáGeometriai ismeretek alkal- gának alapesetei. mazása, biztos számolási A hasonlóság alkalmazásai készség, zsebszámológép Háromszög súlyvonalai, célszerű használata. súlypontja, arányossági tételek a derékszögű háromszögben.Hasonló síkidomok területének aránya, hasonló testek térfogatának aránya.

Fejlesztési feladatok, Tevékenységek

A vektorok további alkalmazása.

Tartalom


Pitagorász tételének alkalmazása, szögfüggvények alkalmazása derékszögű háromszög hiányzó adatainak kiszámítására, gyakorlati feladatok. Síkbeli és térbeli számítások, nevezetes szögek szögfüggvényértékeinek kiszámítása. A vektor szorzása számmal, vektor felbontása síkban.

Az alapesetek ismerete. A felsorolt tételek ismerete és alkalmazása egy vagy két lépéssel megoldható számítási feladatoknál.

Tartalom


Valószínűség, statisztika: Fejlesztési feladatok, Tevékenységek

A valós helyzetek értelme- További valószínűségi ki- Egyszerű problémák megzése, megértése és értéke- sérletek, a valószínűség oldása a klasszikus valólése. becslése, kiszámítása egy- színűségi modell alapján. szerű esetekben. A valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben.

178 A tantervi anyag és javasolt óraszámok: 1.) -

Hasonlóság: (24) összemérhető és összemérhetelen szakaszok; a párhuzamos szelők tétele, a tétel megfordítása; a háromszögek szögfelezőjének egy tulajdonsága; középpontos hasonlóság, hasonlóság; a hasonlósági transzformáció fogalma; a háromszögek hasonlósága; hasonló alakzatok (síkidomok, testek) tulajdonságai, hasonló síkidomok területének, hasonló testek térfogatának aránya; a háromszög súlyvonalai, súlypontja; a számtani és mértani közép, és ezek összehasonlítása; arányossági tételek a derékszögű háromszögben (magasságtétel, befogótétel); arányos távolságok a körben; szerkesztési és számítási feladatok megoldása.

2.) Szögfüggvények: (21) - szögfüggvények értelmezése hegyesszögekre; - összefüggések a szögfüggvények között; - nevezetes szögfüggvények; - derékszögű háromszögek hiányzó adatainak meghatározása szögfügg-vények és Pitagorász tételének alkalmazásával, összetettebb feladatok megoldása, térelemek hajlásszögének meghatározása; - a vektor felbontása síkban, a vektor koordinátái, a vektor 900-os elforgatottjának koordinátái; - a forgásszög szögfüggvényeinek értelmezése, a szögfüggvények általánosítása; - a háromszög területének meghatározása a két oldal és a közbezárt szög segítségével; - a szögfüggvények ábrázolása és jellemzése (˙értelmezési tartomány, monotonitás, zérushelyek, szélsőértékek, periodicitás, értékkészlet, korlátosság, paritás); 3.) Négyzetgyök: (13) - a négyzetgyökvonás fogalma és azonosságai; - kiemelés a gyökjel alól, bevitel a gyökjel alá, értelmezési tartományok meghatározása; - gyöktelenítés; - az n-edik gyök fogalma és azonosságai; - a négyzetgyök függvény. 4.) Másodfokú egyenletek: (32) - másodfokú függvények ábrázolása; - szélsőérték-feladatok megoldása; - a másodfokú egyenlet grafikus megoldása; - a másodfokú egyenlet algebrai megoldása, a megoldó képlet; - a diszkrimináns; - gyöktényezős alak; - gyökök és együtthatók összefüggése; - másodfokú egyenletrendszerek megoldása; - másodfokú egyenlőtlenségek; - másodfokú egyenlettel, egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok; - egyenletek ekvivalenciája; - egyszerű négyzetgyökös egyenletek megoldása.

179 5.) Valószínűség, statisztika: ( 6) - valószínűségi kísérletek, a valószínűség becslése, kiszámítása egyszerű esetekben; - a valószínűség szemléletes fogalma, kiszámítása konkrét esetekben. 5.) Dolgozatok: 6.) Ismétlés:

( 8) ( 7)

11. évfolyam Éves óraszám: 111

Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, Tevékenységek A kombinatív készség fejlesztése, A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal A gráf modellként való felhasználása

Tartalom


Permutációk, variációk, Egyszerű kombinatorikai kombinációk. feladatok megoldása Binomiális együtthatók. Vegyes kömbinatorikai feladatok. Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal.

A gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai

Tartalom


Számtan, algebra: Fejlesztési feladatok, Tevékenységek

A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása. Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése

Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek. A hatványozás kiterjesztése pozitív alap esetén racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művlete. A logaritmus azonosságai.

A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete egész kitevő esetén. A logaritms fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása egyszerűbb esetekben.

180 (könyvtár- és internethasználat) Az absztrakciós és szintetizáló képesség fejlesztése. Az önellenőrzés igényének fejlesztése.

Exponenciális és logaritmikus egyenletek.

A definíció és az azonosságok egyszerű alkalmazása exp., logaritmusos és trigonometrikus egyenlet esetén.

Tartalom


Függvények, sorozatok: Fejlesztési feladatok, Tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban.

A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben.

A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, periodicitás, paritás) A szögfüggvények transzformációi: f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx).

Az alapfüggvények ábrái és legfontosabb tulajdonságainak vizsgálata (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték)

Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése

A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása

A vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás.) Vektorok alkalmazásai

Szinusztétel, koszinusztétel. Az alkalmazásukhoz szükséges egyszerű trigonometrikus egyenletek.

A szinusztétel és a koszinusztétel alkalmazása alapfeladatok megoldásában. (a háromszög hiányzó adatainak meghatározása)

Geometria, mérés:

181 A matematika gyakorlati Távolság, magasság és szög felhasználása.A zsebszámo- meghatározása gyakorlati lógép és a számítógép alkal- feladatokban és a fizikában mazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése.

Fejlesztési feladatok, tevékenységek Geometriai feladatok megoldása algebrai eszközökkel. A bizonyítási készség fejlesztése Adott probléma többféle megközelítése.

Tartalom Helyvektor. Műveletek koordinátákkal adott vektorokkal. Szakasz osztópontja. A háromszög súlypontja. Két pont távolsága, szakasz hossza.A kör egyenletei. Az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma. Az egyenes egyenlete. Két egyenes párhuzamosságának, merőlegességének feltétele, két egyenes metszéspontja. Kör és egyenes kölcsönös helyzete. A kör érintője. A parabola mint ponthalmaz.

A továbbhaladás feltétele Vektorok koordinátáinak biztos használata Szakasz felezőpontja koordinátáinak kiszámítása. A kör középponti egyenletének ismerete. Az egyenes egy szabadon választott egyenletének tudása. Két egyenes metszéspontjának meghatározása. Kör és egyenes kölcsönös helyzetének vizsgálata.

Valószínűség, statisztika: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Modellalkotásra nevelés

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve

Tartalom Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén. (“és”, “vagy”, “nem”). Relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje. Statisztikai mintavétel.


A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

182 véletlen jelenségek vizsgálatára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Hatvány, gyök, logaritmus: (23) - másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása; - a hatványozás álalánosítása racionális kitevőre, a hatványozás azonosságai (permanenciaelv); - műveletek hatványokkal és gyökös kifejezésekkel; - a logaritmus fogalma és azonosságai; - exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása; - exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek; - exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek; - különböző alapú logaritmusok. 2.) Függvények: (14) - az exponenciális függvény; - a logaritmus függvény (mint az exponenciális függvény inverze); - függvénytranszformációk, a tanult függvények transzformáltjainak ábrázolása és a függvények elemi vizsgálata . 3.) Trigonometria: (23) - vektorok skaláris szorzata, a skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása, vektor koordináták, vektor abszolútértéke; - skaláris szorzat meghatározása koordinátákkal; - a szinusztétel; - a koszinusztétel; - a szinusz-és koszinusztétel alkalmazása: távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában; - egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása; - addiciós tételek; - egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása; 4.) Koordináta-geometria: - helyvektor, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal; - szakasz osztópontjának koordinátái; - a háromszög súlypontja; - két pont távolsága, szakasz hossza; - az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma; - az egyenes egyenletei; - az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei; - két egyenes metszéspontja; - a kör egyenlete;

(27)

183 -

kör és egyenes kölcsönös helyzete; a kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete; két kör kölcsönös helyzete; a parabola mint ponthalmaz; a parabola tengelyponti egyenlete, a parabola és egyenes kölcsönös helyzete, parabola adott pontbeli érintője.

5.) Valószínűségszámítás, statisztika: (10) Leíró statisztika: - statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram); - gyakoriság, relatív gyakoriság; - átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz) - szórás; Valószínűségszámítás: - mintavételi eljárások- visszatevéses mintavétel - valószínűség, relatív gyakoriság. Matematikai statisztika: - sokaság, paraméter; - minta, relatív gyakoriság. 6.) Dolgozatok ( 8) 7.) Ismétlés

(Megjegyzés: a dőlt betűvel írott, kiegészítő anyag)

( 6)

184 12. évfolyam Éves óraszám: 96

Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, tevékenységek Az ismeretek redszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása. A deduktív gondolkodás fejlesztése

Tartalom


Ekvivalencia, implikáció. Az előző években felsorolt A halmazelméleti és logikai továbbhaladási feltételek ismeretek kapcsolata, rendszerezése. A megismert bizonyítási módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése


Tartalom

Rendszerező összefoglalás. Számhalmazok Matematikatörténeti ismere- Számelméleti összefoglalás. tek (könyvtár- és internetA valós számok és részhalhasználat). mazai. Szám- és műveletfogalom A műveletek értelmezése, biztos alkalmazása műveleti tulajdonságok. Közelítő érték Egyenletek Tervszerű, pontos és fegyel- Nevezetes másod- és harmezett munkára nevelés. madfokú algebrai Az önellenőrzés fontossága. azonosságok. Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, ill. egyenlőtlenségrendszerek. Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete-formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek.

A továbbhaladás feltétele Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

185

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése.

Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek Szöveges feladatok

Függvények, sorozatok: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben

Tartalom


A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás.

Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása egyszerű gyakorlati feladatokban. Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek.

Rendszerező összefoglalás Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Az alapfüggvények ábrázolása. Függvénytraszformációk. f(x)+c; f(x+c);cf(x);f(cx). Függvényvizsgálat függvényábrák segítségével.

Geometria, mérés: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése.

Tartalom Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge. Egyszerű poliéderek.

A továbbhaladás feltétele Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete

186 Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík-és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése.

A terület-és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. A poliéder felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. Rendszerező összefoglalás Geometriai alapfogalmak, ponthalmazok. A függvényszemlélet fejA geometriai transzformálesztése. ciók áttekintése. A deduktív gondolkodás Háromszögekre vonatkozó fejlesztése. tételek és alkalmazásaik. Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. A matematika különböző Vektorok, vektorok koorditerületei közötti összefüggé- nátái. sek felhasználása Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordinátarendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

A továbbhaladás feltétele A megismert felszín- és térfogatszámítási képletek alkalmazása egyszerű feladatokban.

Valószínűség, statisztika Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása

Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvéleménykutatás, minőségellenőrzés).


187 A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálata. Összefoglalás: Adathalmazok jellemzői: Egyszerű klasszikus valószámtani közép, mértani kö- színűség-számítási feladazép, súlyozott közép, medi- tok megoldása. án, módusz, szórás. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A klasszikus valószínűségi modell.

A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Számsorozatok: (21) - a számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása; - sorozatok monotonitása, korlátossága; - a számtani sorozat definíciója, az n. tag (an) és az első n elem összegének (Sn) meghatározása; - a mértani sorozat, az n. tag (an) és az első n elem összegének (Sn) meghatározása; - az an és Sn használata feladatokban; - kamatos kamat-számítás gyakorlati feladatokban. 2.) Kerület- és területszámítás: ( 6) - egymásba skatulyázott zárt intervallumok vizsgálata; - a kerület és terület fogalma; - egyszerű síkidomok (háromszögek, négyszögek, sokszögek, a kör és részei) kerületének és területének meghatározása, az ismeretek gyakor-lati alkalmazása; - hasonló síkidomok kerülete és területe. 3.) Felszín- és térfogatszámítás: (19) - a testek csoportosítása; - a hasábok származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a forgáshenger származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a gúla származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a csonkagúla származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - a forgáskúp származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - az egyenes csonkakúp származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; - feladatok az ismert testek felszínének, térfogatának a meghatározására 4.) Kombinatorika, gráfok: (3) - feladatok permutációkra, variációkra és kombinációkra; - a gráf szemléletes fogalma, egyszerű alkalmazásai; - gráfelméleti alapfogalmak. 5.) Valószínűség, statisztika: ( 3) - statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés;

188 5.) Rendszerező összefoglalás:

(38)

6.) Dolgozatok

( 6)

11. évfolyam (emelt szintű érettségire való felkészítés) (Éves óraszám: 37 x 5 =185)

Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A kombinatív készség fejlesztése, A többféle megoldási mód lehetőségének keresése. Előzetes becsléshez szoktatás, a becslés összevetése a számításokkal A gráf modellként való felhasználása

Tartalom


Permutációk, variációk, kombinációk. Binomiális együtthatók. Binomiális tétel. Vegyes kombinatorikai feladatok.

Kombinatorikai feladatok megoldása. A binomiális tétel ismerete, alkalmazása

Gráfelméleti alapfogalmak, alkalmazásuk. Feladatok megoldása gráfokkal.

A gráf szemléletes fogalma, alkalmazásai

Tartalom



Másodfokúra visszavezethető egyenletek, egyenletrendszerek.

A matematikai fogalom célszerű kiterjesztése, a fogalmak általánosításánál a permanencia elv felhasználása.

a n − b n szorzattá alakítása, alkalmazása A hatványozás kiterjesztése racionális kitevőkre. A hatványozási azonosságok Irracionális kitevőjű hatvány szemléletes fogalma.

A hatványozás definíciója, műveletek, azonosságok ismerete .

189 Bizonyítás iránti igény mélyítése. Matematikatörténeti vonatkozások megismerése (könyvtár- és internethasználat)

A logaritmus értelmezése. A logaritmus, mint a hatványozás inverz művelete. A logaritmus azonosságai. Különböző alapú logaritmusok.

Az absztrakciós és szinteti- Exponenciális és logaritzáló képesség fejlesztése. musos egyenletek és egyenAz önellenőrzés igényének lötlenségek fejlesztése.

A logaritmus fogalmának ismerete, azonosságainak alkalmazása .

A definíció és az azonosságok alkalmazása exp., logaritmusos egyenlet, egyenlőtlenség és trigonometrikus egyenlet esetén.

Függvények, sorozatok, az analízis elemei: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvényfogalom fejlesztése. Összefüggések felismerése a matematika különböző területei között. A bizonyításra való törekvés fejlesztése. Számítógép használata a függvényvizsgálatokban és a transzformációkban.

A differenciál- és integrálszámítás alapjainak elsajátítása. Függvényvizsgálat , szélsőérték feladatok megoldása a derivált ismeretében.

Tartalom A 2x, a 10x függvény, az exponenciális függvény vizsgálata, exponenciális folyamatok a természetben.

A függvény matematikai fogalma A szögfüggvényekről tanultak áttekintése. A tanult függvények tulajdonságai (értelmezési tartomány, értékkészlet, zérushely, szélsőérték, monotonitás, növekedés, fogyás, periodicitás, paritás, korlátosság, konvexitás) A szögfüggvények transzformációi: f(x)+c; f(x+c); cf(x); f(cx). A határérték szemléletes fogalma. A folytonosság szemlélees fogalma. Differenciálhányados. A derivált függvény alkalmazása (érintő egyenletének felírása, szélsőértékfeladatok, harmadfokú poli-


Az alapfüggvények és transzformáltjaik ábrái és tulajdonságainak vizsgálata

A differenciál- és integrálszámítás alapjainak ismerete és alkalmazása gyakorlati problémák megoldásában.

190 nomfüggvények vizsgálata). A kétoldali közelítés módszere, a határozott integrál szemléletes fogalma. A primitív függvény fogalma. Newton-Leibniz-tétel. Határozott integrál alkalmazása grafikon alatti terület számítására

Geometria, mérés: Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


A térszemlélet fejlesztése. Pontos fogalomalkotásra törekvés. Bizonyítás iránti igény továbbfejlesztése. A fizika és a matematika termékeny kapcsolatának megmutatása. Tervszerű munkára nevelés. Az esztétikai érzék fejlesztése

A vektorokról tanultak áttekintése. A vektorműveletek tulajdonságai. Két vektor skaláris szorzata. A skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása

A vektorműveletek és tulajdonságaik (összeadás, kivonás, skalárral való szorzás.) Vektorok alkalmazásai.

Szinusztétel, koszinusztétel. A szinusztétel és a kosziAz alkalmazásukhoz szük- nusztétel alkalmazása felaséges egyszerű trigonomet- datok megoldásában. rikus egyenletek. A matematika gyakorlati Távolság, magasság és szög felhasználása.A zsebszámo- meghatározása gyakorlati lógép és a számítógép alkal- feladatokban és a fizikában mazása. Az eredmények realitásának és pontosságának eldöntése. Geometriai feladatok megHelyvektor. Vektorok koordinátáinak oldása algebrai eszközökMűveletek koordinátákkal biztos használata kel. adott vektorokkal. A bizonyítási készség fejSzakasz osztópontja. Szakasz felező- és harmalesztése A háromszög súlypontja. dolópontja koordinátáinak kiszámítása. Két pont távolsága, szakasz A kör középponti egyenlehossza. A kör egyenletei. tének ismerete. Adott probléma többféle Az irányvektor, a normál- Az egyenes egyenletének megközelítése. vektor, az iránytangens fo- biztos tudása. galma. Az egyenes egyenletei. Két egyenes metszéspontKét egyenes párhuzamossá- jának meghatározása. gának, merőlegességének Kör és egyenes kölcsönös

191 feltétele, két egyenes met- helyzetének vizsgálata széspontja. .Két kör kölcsönös helyzetéKör és egyenes kölcsönös nek vizsgálata. helyzete. Két kör kölcsönös helyzete. A kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete. A parabola .

Valószínűség, statisztika: Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

A körülmények kellő figyelembevétele. Előzetes becslés összevetése a számításokkal.

Egyszerű valószínűségszámítási problémák. Néhány konkrét eloszlás vizsgálata. Műveletek eseményekkel konkrét valószínűségszámítási példák esetén. (“és”, “vagy”, “nem”). Mintavételi eljárások- viszszatevéses mintavétel. A binomiális eloszlás várható értéke, szórása Visszatevés nélküli modell. A nagy számok törvényének szemléletes tartalma. Eseményalgebra Események függetlensége. Gyakoriság, relatív gyakoriság. A valószínűség klasszikus modellje. Átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz). Szórás Átlagtól való eltérés 2-3 szórásnyi intervallumban Statisztikai mintavétel. Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, külön-

Modellalkotásra nevelés

A számítógép alkalmazása statisztikai adatok, illetve véletlen jelenségek vizsgá-


A relatív gyakoriság és a valószínűség közötti szemléletes kapcsolat ismerete, egyszerű valószínűségi feladatok megoldása.

192 latára. A mindennapi problémák értelmezése, a statisztikai zsebkönyvek, a napi sajtó adatainak elemzése. Matematikai statisztika

böző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram, hisztogram) Sokaság, paraméter Minta, relatív gyakoriság Relatív gyakoriság intervallum becslése. A közvéleménykutatás elemei

A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 2.) Hatvány, gyök, logaritmus: (28) - másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek megoldása; - a hatványozás álalánosítása racionális kitevőre, a hatványozás azonosságai (permanenciaelv); - műveletek hatványokkal és gyökös kifejezésekkel; - a logaritmus fogalma és azonosságai; - exponenciális és logaritmusos egyenletek megoldása; - exponenciális és logaritmusos egyenlőtlenségek; - exponenciális és logaritmusos egyenletrendszerek; - különböző alapú logaritmusok. 2.) Függvények: (14) - az exponenciális függvény; - a logaritmus függvény (mint az exponenciális függvény inverze); - függvénytranszformációk, a tanult függvények transzformáltjainak ábrázolása és a függvények elemi vizsgálata . 3.) Trigonometria: (29) - vektorok skaláris szorzata, a skaláris szorzat tulajdonságainak felsorolása, vektor koordináták, vektor abszolútértéke; - skaláris szorzat meghatározása koordinátákkal; - a szinusztétel; - a koszinusztétel; - a szinusz-és koszinusztétel alkalmazása: távolság, magasság és szög meghatározása gyakorlati feladatokban és a fizikában; - egyszerű trigonometrikus egyenletek megoldása; - addiciós tételek; - egyszerű trigonometrikus egyenlőtlenségek megoldása; 4.) Koordinátageometria: - helyvektor, műveletek koordinátákkal adott vektorokkal; - szakasz osztópontjának koordinátái; - a háromszög súlypontja; - két pont távolsága, szakasz hossza; - az irányvektor, a normálvektor, az iránytangens fogalma;

(34)

193 -

az egyenes egyenletei; az egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének feltételei; két egyenes metszéspontja; a kör egyenlete; kör és egyenes kölcsönös helyzete; a kör adott pontjába húzott érintőjének egyenlete; két kör kölcsönös helyzete; a parabola mint ponthalmaz, a parabola tengelyponti egyenlete, a parabola és egyenes kölcsönös helyzete, parabola adott pontbeli érintője. 5.) Az analízis elemei: (32) - a határérték szemléletes fogalma; - a folytonosság szemléletes fogalma; - differenciálhányados; - a derivált függvény alkalmazása; - szélsőérték-feladatok megoldása; - a kétoldali közelítés módszere, a határozott integrál szemléletes fogalma; - a primitív függvény fogalma; - Newton-Leibniz- tétel; - határozott integrál alkalmazása a grafikon alatti terület számítására. 6.) Kombinatorika: (16) - permutációk, variációk, kombinációk; - kombinatorikai feladatok megoldása; - binomiális tétel ismerete, alkalmazása; - gráfok: a gráf szemléletes fogalma, alkalmazásai. 5.) Valószínűségszámítás, statisztika: (10) Leíró statisztika: - statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, különböző ábrázolásai (kördiagram, oszlopdiagram); - gyakoriság, relatív gyakoriság; - átlagok: számtani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték (módusz) - szórás; Valószínűségszámítás: - mintavételi eljárások- visszatevéses mintavétel - valószínűség, relatív gyakoriság. Matematikai statisztika: - sokaság, paraméter; - minta, relatív gyakoriság. 6.) Dolgozatok ( 8) 7.) Ismétlés

( 14)

194 12. évfolyam (Emelt szintű érettségire való felkészítés) (Éves óraszám: 32 × 5=160)

Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

Az ismeretek redszerezése: A matematika különböző területei közti összefüggéseinek tudatosítása.


Ekvivalencia, implikáció. Az előző években felsorolt A halmazelméleti és logikai továbbhaladási feltételek ismeretek kapcsolata, rendszerezése. Rendszerező összefoglalás: követelmények: Halmazelmélet: -halmazelméleti alapfogalmak; -halmazműveletek, műveleti tulajdonságok; -a halmazfogalom és műveletek alkalmazása feladatokban; -véges és megszámlálhatóan végtelen halmazok számosLogikai műveletek. sága. Bizonyítások a matemati- Logika: kában. -a negáció, konjunkció, diszjunkció, implikáció ekvivalencia ismerete; -a “minden”,”van olyan” ismerete, alkalmazása; -a nyelv logikai elemeinek tudatos alkalmazása; -tétel, tétel megfordítása, egyes tanult tételek bizonyításának reprodukálása; -néhány bizonyítási típus ismerete és alkalmazása (pl.:skatulyaelv, indirekt biz.) -szükséges és elégséges feltételek helyes alkalmazása A deduktív gondolkodás A megismert bizonyítási fejlesztése módszerek összefoglalása. A kombinatorikai és gráfokkal kapcsolatos ismeretek áttekintése Matematika Szakkõzépiskola

195 Számtan, algebra, számelmélet: Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom Rendszerező összefoglalás. Számhalmazok Követelmények: -alapműveletek, műveleti tulajdonságok ismerete, biztos alkalmazása a valós számkörben; -fogalmak ismerete (egész szám, racionális szám, valós szám); -abszolútérték fogalma; -számok normálalakja.

Matematikatörténeti ismereSzámSzámelméleti összefoglalás. tek (könyvtár- és internetA valós számok és részhalhasználat). mazai. Szám- és műveletfogalom A műveletek értelmezése, biztos alkalmazása műveleti tulajdonságok. Közelítő érték Követelmények: -oszthatóság, a számelmélet alaptétele; -számok prímtényezőkre bontása, lnko., lkkt. -oszthatósági feladatok; -Diophantoszi egyenletek fogalma, egyszerűbbek megoldása. -Számrendszerek:a helyiértékes írásmód alapelvei Egyenletek, egyenlőtlenségek: Tervszerű, pontos és fegyel- Nevezetes másod- és harmezett munkára nevelés. madfokú algebrai azonosAz önellenőrzés fontossága. ságok. a n − b n szorzattá alakítása, alkalmazása; Az egyenletmegoldás módszerei. Az alaphalmaz szerepe. Egyenlőtlenségek. Egyenlet-, ill. egyenlőtlenségrendszerek.


196

A problémamegoldó gondolkodás, a szövegértés, a szövegelemzés fejlesztése

Másodfokú kifejezések. Másodfokú egyenletek, Viete-formulák. Négyzetgyökös kifejezések és egyenletek. Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus kifejezések, egyszerű egyenletek Követelmények: -első- és másodfokú egyenletek és egyenlőtlenségek megoldása; -paraméteres egyenletek; -másodfokúra visszavezethető magasabbfokú egyenletek; -az egyenletmegoldás alkalmazása szöveges feladatokban; -gyökös, algebrai törtes, abszolútértékes és egyszerű exponenciális és logaritmusos egyenletek és egyenlőtlenségek; -a középértékek, nevezetes egyenlőtlenségek alkalmazása; -többismeretlenes egyenletrendszerek; -egy- és kétismeretlenes egyenlőtlenségrendszerek.

Függvények, sorozatok, az analízis elemei: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A matematika alkalmazása a gyakorlati életben

Tartalom


A sorozat fogalma. Számtani és mértani sorozat, az n. tag, az első n elem összege. Kamatoskamat-számítás. Járadékszámítás. Végtelen mértani sor fogalma, összege

Számtani és mértani sorozat esetén az n-dik tag, és az első n elem összegének kiszámítása feladatokban. Kamatoskamat-számítás alkalmazása gyakorlati feladatokban.

Rendszerező összefoglalás

197 Az absztrakciós készség fejlesztése. A függvényszemlélet fejlesztése. A függvények alkalmazása a gyakorlatban és a természettudományokban.

A függvényekről tanultak áttekintése, rendszerezése. Követelmények: Az alapfüggvények és transzformáltjaik ábrázolása. Függvénytraszformációk. f(x)+c; f(x+c);cf(x);f(cx). A derivált függvény és a ha- Függvényvizsgálat függtározott integrál alkalmazá- vényábrák segítségével. sa feladatok és gyakorlati, Függvények jellemzése: zéfizikai problémák megoldá- rushely, növekedés, fogyás, sában. korlátosság, szélsőérték, periodicitás, paritás, konvexitás. Analízis elemei: határérték, folytonosság, differenciálhányados ,derivált függvény alkalmazása, szélsőérték feladatok, harmadfokú polinomfüggvények vizsgálata, a kétoldali közelítés módszere,a határozott integrál, a primitív függvény, a Newton-Leibniz-tétel, a határozott integrál alkalmazása grafikon alatti terület számítására

Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételek

Geometria, mérés: Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom


A térszemlélet fejlesztése. Az esztétikai érzék fejlesztése.

Térelemek kölcsönös helyzete, távolsága, szöge síkban és térben. Egyszerű poliéderek.

Az előző években felsorolt továbbhaladási feltételeken kívül: térelemek kölcsönös helyzetének, távolságuk, hajlásszögük definíciójának ismerete

A matematika gyakorlati alkalmazásai a térgeometriában. Sík-és térgeometriai ismeretek összekapcsolása, analógiák felismerése.

A terület-és kerületszámítással kapcsolatos ismeretek összefoglalása. -egyszerű síkidomok és részeik kerülete, területe; -a háromszög területének

A megismert felszín- és térfogatszámítási képletek alkalmazása feladatokban.

198

A függvényszemlélet fejlesztése.

A deduktív gondolkodás fejlesztése.

különböző kiszámítási módjai; -hasonló síkidomok területe. A poliéder felszíne, térfogata. A hengerszerű testek, a henger felszíne és térfogata. Kúpszerű testek. A kúpszerű testek felszíne és térfogata. A csonkagúla, csonkakúp térfogata, felszíne. A gömb felszíne, térfogata. A gömb érintősíkja. Rendszerező összefoglalás Követelmények: -geometriai alapfogalmak; -ponthalmazok : szakaszfelező merőleges, szögfelező, kör, gömb, parabola, ellipszis, hiperbola, szakaszfelező merőleges sík, szögfelező sík. A geometriai transzformációk áttekintése: -a geometriai transzformáció mint függvény; -egybevágósági transzformációk ismerete, alkalmazása; -a hasonlósági transzformáció fogalma; -a merőleges vetítés szemléletes fogalma; -az ismeretek alkalmazása számításos és bizonyítási feladatokban Háromszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. -Tételek az oldalakra, szögekre, nevezetes vonalakra, alkalmazásuk bizonyítási és szerkesztési feladatokban. -Thalész-tétel, Pitagorasztétel ismerete, alkalmazása; -arányossági tételek derék-

199 szögű háromszögben; Négyszögekre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. Nevezetes négyszögek. Körre vonatkozó tételek és alkalmazásaik. A kör részei. Középponti és kerületi szög, látókör ismerete, alkalmazása. A kör érintője. Szabályos sokszögek. A matematika különböző Vektorok, vektorok koorditerületei közötti összefüggé- nátái. sek felhasználása Vektorműveletek, műveleti tulajdonságok, alkalmazások. Derékszögű koordinátarendszer. Alakzatok egyenlete. Trigonometrikus összefüggések és alkalmazásaik.

Valószínűség, statisztika Fejlesztési feladatok, tevékenységek

Tartalom

A leíró statisztika és a valószínűségszámítás gyakorlati szerepe, alkalmazása

Statisztikai és mintavételi adatok vizsgálata (közvélemény-kutatás, minőség-ellenőrzés).


A számítógép felhasználása statisztikai adatok kezelésére, véletlen jelenségek vizsgálata.

Összefoglalás: Leíró statisztika

-Statisztikai adatok gyűjtése, rendszerezése, külön- Egyszerű klasszikus valóböző ábrázolásai; színűségszámítási felada-Adathalmazok jellemzői: tok megoldása. számtani közép, mértani közép, súlyozott közép, rendezett minta közepe (medián), leggyakoribb érték

200

Valószínűségszámítás

Matematikai statisztika

(módusz), - szórás. -Gyakoriság, relatív gyakoriság. -Átlagtól való eltérés 2-3 szórásnyi intervallumban A klasszikus valószínűségi modell. -Mintavételi eljárások- viszszatevéses mintavétel; -A binomiális eloszlás várható értéke, szórása; -Visszatevés nélküli modell; -Valószínűség, relatív gyakoriság; -A nagy számok törvényének szemléletes tartalma; -Eseményalgebra; -Események függetlensége. -Sokaság, paraméter; -Minta, relatív gyakoriság; -relatív gyakoriság intervallum becslése; -A közvélemény-kutatás elemei.

A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Számsorozatok: (30) - a számsorozat fogalma, megadása és ábrázolása; - sorozatok monotonitása, korlátossága; - a számtani sorozat definíciója, az n. tag (an) és az első n elem összegének (Sn) meghatározása; - a mértani sorozat, az n. tag (an) és az első n elem összegének (Sn) meghatározása; - az an és Sn használata feladatokban; - kamatoskamat-számítás gyakorlati feladatokban. - Járadékszámítás; - Végtelen mértani sor fogalma, összege. 2.) Kerület- és területszámítás: ( 18) - egymásba skatulyázott zárt intervallumok vizsgálata; - a kerület és terület fogalma; - egyszerű síkidomok (háromszögek, négyszögek, sokszögek, a kör és részei) kerületének és területének meghatározása, az ismeretek gyakor-lati alkalmazása; - hasonló síkidomok kerülete és területe. 3.) Felszín- és térfogatszámítás: (36)

201 -

a testek csoportosítása; a hasábok származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; a forgáshenger származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; a gúla származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; a csonkagúla származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; a forgáskúp származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; az egyenes csonkakúp származtatása, tulajdonságai, felszíne és térfogata; feladatok az ismert testek felszínének, térfogatának a meghatározására

5.) Rendszerező összefoglalás:

(68)

6.) Dolgozatok

( 8)

202 Taneszközjegyzék: Meglévő eszközök: -

Mindennapi matematika (1 db. CD angol nyelvű változat + 2-2 db. magyar és angol felhasználói kézikönyv) 1882 Kiss Jolán: Írásvetítő alkalmazása a geometria oktatásban. (fűzött fólia) 0776 Geometriai idomok 9574 ( kocka, négyzet alapú hasáb, téglatest, trapéz alapú hasáb, háromszög alapú hasáb, nyolcszög alapú hasáb, henger, háromszög alapú gúla, négyszög alapú gúla, téglalap alapú gúla, trapéz alapú gúla, nyolcszög alapú gúla, kúp, félgömb, gömb)

Ajánlott eszközök: -

4. 75. A gyakorlatban használatos számlák, betétek, kölcsönök stb. Aktuális űrlapjait és egyszerűbb esetekben a végösszeg kiszámítását bemutató munkaeszköz 4.76. Első fokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldási lehetőségeit bemutató eszközök 4.77. Másodfokú függvények grafikonjait, jellemzőit szemléltető eszköz 4.78. Hegyesszögek szögfüggvényeit szemléltető eszköz 4.79. Az életkorhoz és tananyagtartalomhoz illeszkedő munkaeszköz 4.80. Thalész tétele bizonyítását szemléltető eszköz 4.81.A háromszögek nevezetes pontjait és vonalait bemutató információ-hordozó 4.82. A háromszögek egybevágóságának és hasonlóságának alapeseteit bemutató információhordozó 4.83. Vektorfelbontást szemléltető eszköz 4.84. Szögfüggvényeket és tulajdonságaikat szemléltető eszköz. 5.85. Térbeli geometriai alakzatok szabályosságának megfigyelésére alkalmas demonstrációs eszköz 5.86. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek megoldási módszereit bemutató eszköz 5.87. Kétismeretlenes egyenlőtlenségek megoldásait szemléltető eszköz 5.88. Különböző testek síkmetszeteit bemutató eszköz 5.89. Különböző testek élvázait szemléltető eszköz 5.90. Különböző alapfüggvények és transzformáltjaik grafikonját és a geometriai transzformációkkal való kapcsolatát szemléltető eszköz 5.91. Az alakzat egyenletének fogalmát kialakító eszköz 5.92. A differenciálhányados fogalmát szemléltető eszköz 5.93. A kétoldali közelítés módszerének, a határozott integrál fogalmának szemléltetésére alkalmas eszköz 5.94. A határérték fogalmának szemléletésére alkalmas eszköz 5.95. Valószínűségi eloszlásokat szemléltető eszköz

(Megjegyzés: „4.”= 10. évfolyamig, „5.” = a 12. évfolyamig, „75-95.”-ig, az eszköz egyedi sorszáma a Matematika műveltségi területen belül. Ld. Művelődési Közlöny XLII.évfolyam, 2/II. szám 1998. január 23.)

203 6.3

Szakiskola, 9-10. évfolyam

6.3.1 Célok és feladatok A matematikatanítás célja és ennek kapcsán feladata, hogy megalapozza a tanulók korszerű, alkalmazásra képes matematikai műveltségét, biztosítsa a többi tantárgy tanulásához szükséges matematikai ismereteket és eszközöket, amelyekkel alkalmassá válhatnak a szakképzésre. A szakiskolákban ezt a pozitív motiváció biztosításával, az ismeretek konkrét, a mindennapi gyakorlatban előforduló feladatok alkalmazásával segítjük. Feladatunk az ő felzárkóztatásuk, az ismeretek, készségek stabilizálása és alapkészségeik fejlesztése. Fontos, hogy a tanulók képessé váljanak a pontos, kitartó, fegyelmezett munkára, törekedjenek önellenőrzésre, legyenek képesek a kapott eredmények reális voltának megítélésére. A matematikával való foglalkozás fejlessze a tanulók térbeli tájékozódását, esztétikai érzékét, alakítsa ki a problémahelyzetek megfelelő önbizalommal történő megközelítését, ismertesse meg a problémamegoldás örömét, és mutassa meg az emberi kultúrában betöltött szerepét. Célunk a megértésen alapuló gondolkodás kialakítása és fejlesztése, a valóságos szituációk és a matematikai modellek közötti kétirányú út megismertetése. A szakiskolai matematikatanítás tegye képessé a tanulókat további tanulmányok folytatására, valamint teremtsen alapokat a választott szakma elsajátításához. Az egyes témákban szerepeltetett különböző nehézségű problémák természetesen nyújtják a differenciálás lehetőségét. A fokozott szaktanári figyelem, az iskolai könyvtár és az elektronikus eszközök használatának lehetősége biztosítsák az esélyegyenlőséget.

204 6.3.2 Fejlesztési követelmények 6.3.3 A matematikai kompetencia fejlesztése a.)

A matematikai szemlélet fejlesztése A szakiskolában tanulóknál elsősorban a szemléletesen kialakított fogalmak megerősítésére kerül sor. Az alapműveletek körében a biztos műveletfogalom és a számolási készség fejlesztését a zsebszámológépek alkalmazása is egíti. A tananyag különböző fejejezeiben előforduló számításoknál is fontos a zsebszámológép biztos használata és egyéb moder technikai eszközök megismerése. Ezen eszközök használata a digitális kompetencia fejlesztése mellett a motivációs bázisnak is fontos elemei. A mindennapi élet, más tantárgyak és a szakma is megköveteli, hogy a matematika elemi fogalmait és műveleteit alkalmazzuk a feladatokban. A változó mennyiségek közötti kapcsolatok vizsgálatával fejlesztjük a függvényszemléletet. A grafikonok elemzése más tárgyak megértéséhez is nélkülözhetetlen. A jól megválasztott feladatok hozzájárulnak a természettudományos kompetencia fejlesztéséhez, megalapozzák a gazdasági kérdésekben való tájékozódás és véleményalkotás képességét. A geometriában modellek segítségével fejlesztjük a sík- és térgeometriai szemléletet, a szögfüggvények alkalmazása a gyakorlat szempontjából fontos. A tanításban tudatosan használjuk a matematikai logika elemeit. A “ha…akkor…” típusú következtetések helyes használata az élet számos területén hasznos.

b.)

Gyakorlottság a matematikai problémák megoldásában, jártasság a logikus gondolkodásban A mindennapi életben, más tárgyakban, a szakmában felmerülő problémák megoldásához elengedhetetlen a szövegértő és szövegelemző képesség fejlesztése. A többféle megoldás keresése,

205 megtalálása a különböző nézőpontok érvényesítésének képességét fejleszti. A került, terület, felszín térfogat szemléletes fogalmának, számítási módjának alkalmazása más tárgyakban is nélkülözhetetlen. Egyszerű feladatok segítségével értetjük meg a biztos, a lehetetlen és a lehetséges események, továbbá a valószínűség szemléletes fogalmát, ezek a vállalkozói képesség kifejlődésének fontos elemei. c.)

Az elsajátított megismerési módszerek és gondolkodási műveletek alkalmazása Fontos, hogy a mindennapi életből is szerepeltessünk állításokat, amelyek igaz vagy hamis voltát döntik el a tanulók. Ezek segítségével juttatjuk el őket sejtések és szabályszerűségek megfogalmazásához a matematikában. A különböző témakörökben végzett csoportosítás, sorbarendezés, a bizonyos feltételeknek eleget tévő elemek kiválasztása fejleszti a halmazszemléletet. A feladatokhoz készített ábrák és modellek, egyszerű gráfok segítik a feladatok megértését és megoldását. Ezek felhasználásával vezetjük rá tanulóinkat a modellek alkalmazásának fontosságára.

206

Matematika 9.-10. évfolyam szakiskola 9. évfolyam (37 x 3,5 óra =129,5 óra)

Gondolkodási módszerek Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom Kobbinatorikus gondolkodás Egyszerű kombinatorikai feladatok fejlesztése


Számtan, algebra Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom A számfogalom mélyítése, a A természetes szám, az egész szám szaknyelv használata és a racionális szám fogalma, ellentett, abszolút érték, reciprok, tört, tizedes tört. Ábrázolás a számegye-nesen. Műveletfogalom mélyítése, Alapműveletek egész szá-mokkal és kiterjesztése, a szaknyelv tizedes törtekkel. megértése. A négy alapmű-velet a zsebszámológépen. A szöveg értelmezése, megértése, a Arány, aránypár, arányos osz-tás. következtetési képesség fejlesztése. Az egyenes és fordított arányosság A gya-korlati életben felmerülő és a fogalma. Arányos-sági feladatok. matematikát felhasználó tan- Százalékszámítás. tárgyakban felmerülő fela-datok Az eredmények realitásának vizsgálata Az alapvető műveletek a Hatványozás pozitív egész kitevőre. zsebszámológépen. Azonosságok. Négyzetgyökvonás zsebszámológép vagy táblázat segítségével. A mérlegelv tudatos alkalma-zása. Elsőfokú egyenletek, egyenÉrtő, elemző olvasás, az ösz- lőtlenségek, képletek rendezészefüggések felismerése, mose. dellezése Egyszerű szöveges feladatok egyenlettel vagy következte-téssel

A továbbhaladás feltételei A tízes számrendszer biztos ismerete, a számok írása, olvasása, ábrázolása, összeha-sonlítása A négy alapművelet és a műveleti sorrend ismerete és alkalmazása véges tizedes törtekkel A szakmában, a mindennapi életben előforduló, konkrét arányossági és százalékszá-mítási feladatok megoldása.

Azonosságok alkalmazása a 10 pozitív egész kitevős hat-ványaira

Néhány lépésben megoldható egyszerű elsőfokú egyenletek, a megoldás ellenőrzése. Első sorban a szakmához kapcso-lódó szöveges feladatok meg-oldása

Függvények, sorozatok: Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom A továbbhaladás feltételei Tájékozottság a koordináta- A derékszögű koordináta-rendszer A pont ábrázolása és a koordináták rendszerben. ismerete, pontok áb-rázolása, leolvasása kész-ségszinten. grafikonok készíté-se, jellemzése.

207 Táblázat és grafikon konkrét függvényekhez.

készítése A függvény szemléletes fogalma, megadási módjai. Képlettel megadott függvény ábrázolása, jellemzése a gra-fikon alapján Változó mennyiségek közötti Az egyenes és a fordított arányosság kapcsolatok, szabályok felis- grafikonja merése, megfogalmazása kép-lettel

x → ax; x →

a ábrázolása x

konkrét pozitív „a” esetén.

Geometria Fejlesztési feladatok, tevékenységek A gyakorlati élethez, a természettudományi és szak-mai tárgyakhoz kapcsolódó mérések végzése, mérték-egységek átváltása

Tartalom


A hosszúság, terület, térfogat, A szabványos mértékegy-ségek ismerete, átváltásuk. tömeg, idő mértékegységei, átváltásuk. Szögmérés (ívmérték is), szögfajták

A háromszögek, négyszögek belső szögeinek összege. A háromszög külső szögének fogalma, a külső szögek öszszege. Képesség a tanult kerület-, terület-, Speciális háromszögek, a felszín- és térfogat számítási háromszögek osztályozása képletek alkal-mazására szögek szerint, kerületük, területük. Pitagorász tételének alkalmazása a hiányzó adat kiszámítására. Az eredmények reális vol-tának és A speciális négyszögek tupontosságának vizs-gálata. lajdonságai, kerületük, területük.A kör kerülete és területe. A kocka, a téglatest, egyenes hasáb és a forgáshenger hálója, felszíne és térfogata. A rendszerező képesség és a kommunikációs képesség fejlesztése. Geometriai alakzatok felisme-rése, tulajdonságaik vizsgálata

A szögösszegek alkalmazása egyszerű feladatokban.

A háromszögek kerülete, területe.

Pitagorász tételének ismerete

Speciális négyszögek tulajdonságai, kerületük, területük.

A kocka, a téglatest, az egyenes hasáb és az egyenes körhenger felszíne és térfo-gata egyszerű gyakorlati feladatokban.

Valószínűség, statisztika Fejlesztési feladatok, tevékenységek Adatok elemzése, értelmezése

Tartalom

Adatok gyűjtése, rendszerezése.

A továbbhaladás feltételei Grafikonok olvasása, készíté-se.

Táblázatok és grafikonok olvasása, értelmezése és ké-szítése. Tapasztalatszerzés események megfigyelésében, a relatív gyakoriság meghatározásában

Az átlag kiszámítása néhány Az átlag kiszámítása néhány elem esetén. elem esetén. Valószínűségi kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság.

208

A tantervi anyag és a javasolt óraszámok:

1.) Algebra: -

Javasolt óraszám: 55óra

Számok és műveletek Hatványok és gyökök Arányok és százalékok Osztók és többszörösök Egyenletek és egyenlőtlenségek

2.) Függvények - Grafikonok és függvények - Függvények és arányok

Javasolt óraszám:22 óra

3.) Geometria - Mértékegységek és átváltásaik - Térelemek és háromszögek - Sokszögek és a Pitagorász-tétel - Körök és testek

Javasolt óraszám: 41,5óra

4.) Statisztika - Események és adatok

Javasolt óraszám: 8 óra

5.) Év végi ismétlés, rendszerezés, javítás


10. évfolyam (37 x 3= 111 óra) Gondolkodási módszerek: Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom Konkrét halmazok és hal- A megismert számhalmazok. mazműveletek segítségével a Véges és végtelen halmazok. halmazszemlélet fejlesztése. Ponthalmazok. Halmazműveletek: unió, met-szet, részhalmaz. Gyakorlottság az összes eset Kombinatorikai feladatok: az rendszerezett felsorolásában, összes eset áttekintése, áttekintésében.

sorbarendezése és kiválasztása néhány elem esetén.

Számtan, algebra

A továbbhaladás feltételei Szemléltetés halmazábrán, számegyenesen, koordinátarendszerben.

Néhány elem összes lehet-séges sorrendjének előállítása.

209 Fejlesztési feladatok, tevékenységek A hatványozás fogalmának célszerű kiterjesztése, perma-nencia elv.

Tartalom

A nulla és a negatív egész kitevős hatvány fogalma.

A továbbhaladás feltételei A számok normálalakjának biztos ismerete.

A számok normálalakja. A zárójelek szerepe, felbon-tása, a szaknyelv értő hasz-nálata

Függvényszemlélet az algeb-rában, a számolási készség fejlesztése. Az egyenletek ellenőrzésével az önellenőrző képesség fejlesztése Értő, elemző szövegolvasás és gyakorlottság a szöveges feladatok megoldásában A gyakorlati életben kamatszámítási feladatok.

fellépő

Algebrai egész kifejezések azonos átalakításai. Nevezetes azonosságok, két tag négyzete, két tag négyzetének különbsége, szorzattá alakítások. Egyszerű gyakorlati feladatok Helyettesítési értékek kiszá-mítása. Egyszerűbb esetekben a helyettesítési érték kiszámítása. egyenletek biztos Elsőfokú egyenletek, elsőfokú Elsőfokú megoldása. kétismeretlenes egyenletrendszerek. A mindennapi gyakorlatban előforduló szöveges feladatok megoldása Kamatos kamat számítása

Függvények, sorozatok: Fejlesztési feladatok, tevékenységek A függvények jellemzőinek felismerése a grafikonon

Tartalom


Lineáris függvények ábrázo-lása Lineáris függvény, a pozitív egészeken értelmezett lineáris konkrét esetekben. függvény. Az y = ax+b egyenletű egyenes ábrázolása, konkrét „a” és „b” esetén. Két egyenes metszéspontja. 2 Az x → x függvény ábrázolása és jellemzése a grafikon alapján. Az abszolútérték függvény.

A feladatok különböző megoldási lehetőségeinek fel-ismerése. Összefüggések felismerésével a függvényszemlélet fejlesz-tése.

Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása grafikusan. A hegyesszögek szögfüggA szögfüggvények fogalma vényeinek felismerése (hegyesszög esetén)

210 Geometria Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom Tájékozottság a megismert A háromszögekkel, négyszö-gekkel, síkidomok tulajdonságaiban. körrel kapcsolatos fogalmak rendszerezése és kiegészítése, egyszerű szer-kesztések. Középpontosan hasonló síkidomok, A hasonlósági transzformáció, a a tulajdonságok alkalmazása. háromszögek hasonlósá-gainak alapesetei. A hasonlóság alkalmazása gyakorlati számítási és szerkesztési feladatokban A szabályszerűségek felisme-rése, Körív hossza, körcikk területe megfogalmazása, a kommunikációs készség fejlesztése. Gyakorlati jellegű feladatok, A gúla, a forgáskúp és a gömb felszín- és térfogatszámításra. felszíne és térfogata. Síkbeli és térbeli tájékozódás, az A szögfüggvények alkalmazá-sa eredmények helyes kere-kítése. kerület-, terület-, felszín- és térfogatszámítási feladatok-ban.

A továbbhaladás feltételei Gyakorlottság a körző és vo-nalzó használatában. A hasonlóság alkalmazásai.

gyakorlati

A felszín és térfogat kiszá-mítási módjának biztos isme-rete.

Valószínűség, statisztika: Fejlesztési feladatok, tevékenységek Tartalom A valószínűség becslése és A valószínűség szemléletes kiszámítása konkrét, egyszerű fogalma. esetekben (számítógéppel is) Statisztikai adatok és ábrázolásuk.(kördiagram, oszlopdiagram)

Adathalmazok elemzése (átlag, módusz, medián)


Az átlag kiszámítása kismé-retű adathalmazok esetén

A tantervi anyag és a javasolt óraszámok: 1.) Statisztika:

Javasolt óraszám: 18 óra -

Halmazok és műveletek Kombinatorika és valószínűség

-

Hatványok és alkalmazásuk Algebrai kifejezések és törtek Egyenletek és egyenletrendszerek

-

Másodfokú- és abszolútértékfüggvény Egyenletek és grafikonok Szögek és szögfüggvények

2.) Algebra :


3.) Függvénytan:

4.) Geometria



211 -

Háromszögek és sokszögek Testek és számítások Egybevágóságok Hasonlóságok

5.) Év végi ismétlés, rendszerezés, javítás:


6. Matematika tanterv-kiegészítés Szakközépiskola Célok és feladatok

Recommend Documents